ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί α) (Κατακόρυφη ασύμπτωτη) Αν ένα τουλάχιστον απ' τα όρια f(), o o λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f. f() είναι +, ή -, τότε η ευθεία o β) (Οριζόντια ασύμπτωτη) Η ευθεία y ονομάζετaι οριζόντια ασύμπτωτη της C f στο + (ή στο - ), όταν f() (ή f() ). γ) (Πλάγια ασύμπτωτη) Η ευθεία y λ + β ονομάζεται πλάγια ασύμπτωτη της C f στο + (ή στο - ) αν [f() - (λ + β )] 0 (ή [f() - (λ + β )] 0). Θεώρημα (για τις πλάγιες ασύμπτωτες) α) Η ευθεία y λ + β είναι ασύμπτωτη της C f στο +, αν και μόνο αν f() λ και [f() λ] β. β) Η ευθεία y λ + β είναι ασύμπτωτη της C f στο -, αν και μόνο αν f() λ και [f() λ] β. Παρατηρήσεις. Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού μεγαλύτερου ή ίσου του δεν έχει ασύμπτωτες.. Κάθε ρητή συνάρτηση με βαθμό του αριθμητή μεγαλύτερο τουλάχιστον κατά βαθμούς απ' τον βαθμό του παρονομαστή δεν έχει πλάγιες ασύμπτωτες.. Η ευθεία y λ + β είναι οριζόντια ασύμπτωτη αν λ 0. Δηλαδή, οι οριζόντιες ασύμπτωτες μπορούν να βρεθούν και από το θεώρημα των πλάγιων ασύμπτωτων. - -

Επομένως, μπορούμε να αναζητούμε μόνο κατακόρυφες και πλάγιες ασύμπτωτες. Όταν όμως η C f έχει οριζόντια ασύμπτωτη υπολογίζεται πιο εύκολα με τον ορισμό της οριζόντιας ασύμπτωτης (ένα όριο) απ' ότι με το θεώρημα της πλάγιας ασύμπτωτης (δύο όρια). 4. Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f έχει το πολύ μια ασύμπτωτη στο + (οριζόντια ή πλάγια). Το ίδιο ισχύει και στο -. 5. Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f η οποία είναι συνεχής σε κλειστό διάστημα ή συνεχής στο δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες. 6. Για να έχει οριζόντια ή πλάγια ασύμπτωτη η γραφική παράσταση μιας συνάρτηση f στο +, θα πρέπει η f να ορίζεται σε διάστημα της μορφής (α, + ). Αντίστοιχα για να έχει οριζόντια ή πλάγια ασύμπτωτη η C f στο -, θα πρέπει η f να ορίζεται σε διάστημα της μορφής (-, β). - -

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ η Υπολογισμός ασύμπτωτων α) Κατακόρυφες ασύμπτωτες Κατακόρυφες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f αναζητούμε στα άκρα διαστημάτων του πεδίου ορισμού της f στα οποία η f δεν ορίζεται και στα σημεία στα οποία δεν είναι συνεχής. Αν ο είναι ένα από τα παραπάνω σημεία, τότε υπολογίζουμε τα όρια f(), o f(). Aν ένα τουλάχιστον από αυτά είναι + ή -, τότε η ευθεία o o είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f. β) Οριζόντιες ασύμπτωτες Οριζόντιες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f αναζητούμε στο + και στο -. Υπολογίζουμε το f(). Αν αυτό ισούται με πραγματικό αριθμό, τότε η ευθεία y είνaι οριζόντια ασύμπτωτη της C f στο +. Ομοίως εργαζόμαστε στο -. γ) Πλάγιες ασύμπτωτες Πλάγιες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f αναζητούμε στο + και στο -. f() Βρίσκουμε το και αν είναι πραγματικός αριθμός λ, βρίσκουμε [f() λ]. Αν και το τελευταίο όριο είναι πραγματικός αριθμός β, τότε η ευθεία y λ + β είναι πλάγια ασύμπτωτη της C f στο +. Αν κάποιο από τα προηγούμενα όρια δεν είναι πραγματικός αριθμός, τότε η C f δεν έχει ασύμπτωτη στο +. Ομοίως εργαζόμαστε στο -. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθούν οι ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: 9 α) f() β) g() + - -

, γ) h(). 4, Λύση α) Κατακόρυφες Ασύμπτωτες: Το πεδίο ορισμού της f είναι το, αφού η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι αρνητική. Η f είναι συνεχής στο ως ρίζα πολυωνυμικής συνάρτησης. Επομένως η C f δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες. Πλάγιες - Οριζόντιες Ασύμπτωτες: Στο + : 9 9 f() Για κάθε > 0 είναι: 9 9 9 0 0 λ και [f() λ] [ 9 ] ( 9 )( 9 ) 9 9 9 9 6. 9 ( 9 )() 9 Άρα η ευθεία y + 6 είναι ασύμπτωτη της C f στο +. 9 9 Στο - : 9 9 f() Για κάθε < 0 είναι: 9 9-9 0 0 - λ - 4 -

και [f() λ] [ 9 ] ( 9 )( 9 ) 9 9 9 9-6 β. 9 ( 9 )() 9 9 9 Άρα η ευθεία y - - 6 είναι ασύμπτωτη της C f στο -. β) Το πεδίο ορισμού της g είναι το. Κατακόρυφες Ασύμπτωτες: g() 0 0 ( + ) +, αφού 0 +. Επίσης g() 0 0 ( + ) +, αφού 0 +. Άρα η ευθεία 0 είναι ασύμπτωτη της C f. Πλάγιες - Οριζόντιες Ασύμπτωτες: g() () λ, αφού 0. [g() λ] ( ) 0 β. Άρα η ευθεία y είναι ασύμπτωτη της C f στο + και στο -. Σημείωση: Δεν αναζητούμε οριζόντιες ασύμπτωτες, αφού βρήκαμε ασύμπτωτες στο + και στο -. Άλλωστε αν υπήρχε οριζόντια ασύμπτωτη θα τη βρίσκαμε με τη διαδικασία που ακολουθήσαμε. γ) Κατακόρυφες Ασύμπτωτες: Η h είναι συνεχής στα διαστήματα (-, -) και (-, + ) ως ρητή σε καθένα από αυτά. Θα εξετάσουμε αν είναι συνεχής στο o -. h() +, αφού ( ) - < 0, ( ) 0 και + < 0 για κάθε < -. - 5 -

h() 4 4 5. Επομένως η h δεν είναι συνεχής στο o - και επειδή h() - είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C h. Οριζόντιες Ασύμπτωτες: Στο - : h(). Άρα η ευθεία y είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C h στο -. Πλάγιες Ασύμπτωτες: Στο + : 4 h() Άρα η C h δεν έχει ασύμπτωτη στο +. -. +, η ευθεία Σημείωση: Για την πλάγια ασύμπτωτη, θα μπορούσαμε να πούμε ότι για > - η h είναι ρητή με βαθμό αριθμητή μεγαλύτερο κατά δύο από το βαθμό του παρονομαστή κι επομένως δεν έχει ασύμπτωτη στο +. Επίσης, επειδή η h για < - είναι ρητή με ίδιο βαθμό αριθμητή και παρονομαστή, έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο -. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Να βρεθούν οι αριθμοί α, β, ώστε η ευθεία y - + να είναι πλάγια (a ) β ασύμπτωτη στο + του διαγράμματος της συνάρτησης f(). Λύση Για να είναι η ευθεία y - + πλάγια ασύμπτωτη στο + του διαγράμματος της f() συνάρτησης f, θα πρέπει - και [f() ]. (a ) β Είναι f() (a ) β. Αν α, τότε ο αριθμητής είναι μικρότερου βαθμού πολυώνυμο από τον f() παρονομαστή κι επομένως 0. - 6 -

f() (a ) β (a ) Αν α, a. f() Πρέπει - a - α -. β β β Είναι f() + + Αν β 0, τότε [f() ] 0. β β Αν β 0, τότε [f() ] β. Πρέπει [f() ] β β 4.. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω οι συναρτήσεις f, g ορισμένες στο (-, 0), για τις οποίες ισχύει f() - g(), για κάθε < 0. Αν η C f έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο - την ευθεία y, να βρεθεί η ασύμπτωτη της C g στο -. Λύση Αφού η C f έχει οριζόντια ασύμπτωτη στο - την ευθεία y ισχύει ότι f(). Είναι g() - + f(). Για κάθε < 0, είναι g() - f() Έχουμε + f(). 0, αφού f() και f() -. Επίσης. g() Άρα [- + f() ] - + 0 - λ. Είναι [g() + ] [- + f() + ] 4 4 [ + f()] [ + f()] -4 + f() -4 + - β. Άρα η ευθεία y - - είναι ασύμπτωτη της C g στο -. 4 + f() - 7 -

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 4 Να βρεθούν τα α, β, ώστε η συνάρτηση f() ασύμπτωτες τις ευθείες και. a β να έχει κατακόρυφες Λύση Επειδή η f είναι συνεχής ως ρητή, θα αναζητήσουμε κατακόρυφες εφαπτομένες στα άκρα των ανοιχτών διαστημάτων του πεδίου ορισμού της. Επομένως απαραίτητη προϋπόθεση για να είναι οι ευθείες και κατακόρυφες ασύμπτωτες της C f, είναι να μην ορίζεται η f στα σημεία και. Αυτό συμβαίνει όταν ο παρονομαστής μηδενίζεται για και. Έτσι έχουμε: + α + β 0 και + α + β 0. Από το σύστημα των παραπάνω εξισώσεων βρίσκουμε α -4 και β. Πράγματι για α -4 και β η f έχει τύπο: f() 4. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι f() +, f() -, f() - και f() +. 4 4 Επομένως οι ευθείες και είναι κατακόρυφες ασύμπτωτες της C f και οι τιμές α -4 και β είναι δεκτές. Άλλα παραδείγματα Β ομάδας. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 5 Δίνονται οι συναρτήσεις f() - α + β, α, β και g(). Να βρεθούν τα α, β ώστε το ο να είναι θέση τοπικού ακροτάτου της f και το σημείο Α( o, ) της C f να βρίσκεται πάνω στην κατακόρυφη ασύμπτωτη της C g. Λύση Πρώτα Θα βρούμε την κατακόρυφη ασύμπτωτη της C g. Η g έχει πεδίο ορισμού το - {}. Είναι f() -, αφού ( ) 6 > 0, - 8 - ( ) 0

και - < 0 για <. Επίσης f() +, αφού ( ) 6 > 0, ( ) 0 και - > 0 για >. Άρα η ευθεία είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f. Δηλαδή ισχύει ότι ο αφού το Α( ο, ) βρίσκεται στην ευθεία. Η f είναι παραγωγίσιμη στο με f () - α. Σύμφωνα με το θεώρημα Fermat για να παρουσιάζει η f τοπικό ακρότατο για ο πρέπει f () 0 ή 4 - α 0 ή α 4. Επίσης πρέπει f() αφού το Α(, ) είναι σημείο της C f. Δηλαδή 4 - α + β ή 4-8 + β ή β 6. Πράγματι για α 4, β 6 εύκολα αποδεικνύεται ότι στο Α(, ) η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 6 Θεωρούμε τη συνάρτηση f ορισμένη στο (0, + ), η οποία έχει ασύμπτωτη την ευθεία y -. Να αποδείξετε ότι: f() α) και [f() ] -. β) f() +. γ) Η συνάρτηση g() ευθεία y -. f() 5 f() έχει στο + οριζόντια ασύμπτωτη την Λύση α) Αφού, η ευθεία y - είναι ασύμπτωτη της C f θα είναι: f() λ και β [f() ] -. β) Είναι f(). Έστω h() f(), για την οποία ισχύει ότι h(). Τότε f() h() και f() +, αφού h() > 0, γ) Αρκεί να αποδείξουμε ότι g() -. +. - 9 -

Πράγματι g() [f() ] f() 5 f() 5 f() 0-0. (διαιρούμε με ) 5 f() f() - 0 -

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ομάδα. Να βρεθούν (αν υπάρχουν) οι κατακόρυφες ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω συναρτήσεων: a) f() β) f() 5 γ) f() 5 5, 0 ε) f(), 0 ζ) f() ln, θ) f() 5, δ) f() σφ, (0, π) στ) f() e η) f() ln ημ ι) f() συν, π π,.. Να βρεθούν (αν υπάρχουν) οι οριζόντιες ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω συναρτήσεων: 5 5 a) f() β) f() γ) f() ε) f() ζ) f() ημ 5 δ) f() 4 στ) f() η) f() συν. 4. Να βρεθούν (αν υπάρχουν) οι ασύμπτωτες των γραφικών παραστάσεων των παρακάτω συναρτήσεων: 4 a) f() β) f() γ) f() 4 δ) f() ε) f() συν στ) f() ζ) f() η) f() θ) f() 5 ( ) 5 ι) f() - -

ια) f() ιβ) f() 5 4. Να βρεθούν τα a, β ώστε η ευθεία y + 5 να είναι πλάγια ασύμπτωτη της (a )( β ) C f στο + όταν f(). 5. Να βρεθούν τα α, β με α > 0, β ώστε η ευθεία y + να είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f() a β 5 στο +. 6. Να αποδειχθεί ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f() έχει δύο ασύμπτωτες οι οποίες είναι κάθετες μεταξύ τους. a β 7. Δίνεται η συνάρτηση f(), α, β. Να βρεθούν τα α, β ώστε η ευθεία y - να είναι ασύμπτωτη της C f στο +. 8. Να βρεθούν τα α, β ώστε a β 0. 9. Να βρεθούν τα α, β ώστε a β 5 0. Β ομάδα. Να βρεθούν τα α, β ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης 5 f() να έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες τις ευθείες και. a β Στη συνέχεια να βρεθούν και οι υπόλοιπες ασύμπτωτες της C f.. Έστω ότι η ευθεία y + είναι ασύμπτωτη της C f στο +. f() a) Να βρεθούν τα όρια:, [f() ]. λf() 5 β) Να βρεθεί το λ αν ισχύει ότι:. f() 6 4. Έστω ότι η ευθεία y - είναι ασύμπτωτη της C f στο +. Να βρεθεί o πραγματικός αριθμός μ αν ισχύει ότι: f() μ 4 4 f() 9 5. - -

4. Να βρεθούν τα α, β ώστε να ισχύει ότι: [ 4(a β)] 0. 5. Δίνονται οι συναρτήσεις f() + α + β, α, β και g() 5 βρεθούν τα α, β ώστε το σημείο Α(, f()) να είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f και να βρίσκεται πάνω στην οριζόντια ασύμπτωτη της C g.. Να 6. Δίνονται οι συναρτήσεις f() - α + β, α, β και g(). Να βρεθούν τα α, β ώστε το σημείο Α( o, 0) να είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f και να βρίσκεται πάνω στην κατακόρυφη ασύμπτωτη της C g. 7. Δίνονται οι συναρτήσεις f() + α + β, α, β και g(). Να βρεθούν τα α, β ώστε το o - να είναι θέση τοπικού ακροτάτου της f και το σημείο Α(-, f(-)) να βρίσκεται πάνω στην ασύμπτωτη της C g στο +. 8. a) Αν για τη συνάρτηση f: ισχύει f() + f για κάθε, να βρείτε τις ασύμπτωτες της f. β) Αν για τη συνάρτηση g: ισχύει g() + g(-) για κάθε, να βρείτε τις ασύμπτωτες της g. 9. Δίνεται η συνάρτηση g() f() Αν η ευθεία y είναι οριζόντια ασύμπτωτη της C g, βρείτε το πολυώνυμο f()., όπου f() είναι μια πολυωνυμική συνάρτηση. f() 0 0. Να βρεθεί πολυώνυμο P(), αν η συνάρτηση f με τύπο f() και f (0), να λ λ, έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες τις ευθείες και και ισχύει f(). Ποιες τιμές μπορεί να πάρει το λ;, P(). Δίνεται η συνάρτηση f() + e - συν. α) Να βρεθεί η ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +. β) Να δειχθεί ότι η ασύμπτωτη που βρέθηκε έχει άπειρα κοινά σημεία με τη γραφική παράσταση της f. - -

. Δίνεται η συνάρτηση f: τέτοια, ώστε για κάθε, y να είναι: y f() - f(y). Δείξτε ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει 004 y κατακόρυφες ασύμπτωτες.. Για μια συνάρτηση f: ισχύει ότι + f() κάθε. Να εξεταστεί αν η C f έχει πλάγια ασύμπτωτη. για 4 4. Δίνεται η συνάρτηση f:(, 0) τέτοια, ώστε να ισχύει f () για κάθε < 0. Αν η ευθεία y - + είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f να βρεθεί ο τύπος της f. - 4 -