1. ZAKLADY VYŠŠEJ GEODÉZIE

1. ZAKLADY VYŠŠEJ GEODÉZIE Geodézi je náuk o merní Zeme lebo jej čstí o merní n zemi. (Modernejši verzi tej istej myšlienky by mohl znieť: geodézi je vedná disciplín o poznávní priestoru čsu v oblsti plnéty Zeme pomocou merni spôsobilých štruktúr, njmä zemského povrchu tižového poľ). Termín "geodézi" v zmysle plikovnej geometrie s nšiel u Aristotel v 3. storočí pred. n. l. Geodézi s delí n vyššiu nižšiu geodéziu. (Podľ - E.Buschmnn: Gednken über die Geodäsie. Konrd Witwer 199 s geodézi použív: - v poznávcích procesoch (tvr rozmery Zeme), - v prcovných procesoch (projektovnie, stvb prevádzk rôznych diel, plánovnie pod.), - v dokumentácii (geogrfické informčné systémy, ktster nehnuteľností). Zákldnou úlohou geodézie je určiť vzájomnú polohu bodov vo vodorovnom zvislom smere zobrziť tieto body n mpe. Technickou úlohou geodézie je určiť rozmer, tvr priestorovú polohu jednotlivých prirodzených lebo umelých predmetov merni to vo vzájomnom vzťhu lebo ku geodetickým zákldom. Nižši geodézi zhrňuje mernie, výpočty zobrzenie mlých čstí zemského povrchu, v ktorých je možné riešiť polohové úlohy v rovine vo výškových prácch pokldť Zem z guľu. Vyšši geodézi je vedný odbor, ktorý s zoberá určovním tvru rozmerov zemského teles, jeho vonkjším tižovým poľom, ich zmenmi s čsom. Táto čsť geodetických prác s oznčuje ko teoretická geodézi. Ďlšou úlohou vyššej geodézie je vybudovť geodetické zákldy - zákldné polohové výškové bodové pole. Vyšši geodézi zisťuje vzťhy medzi nlyticky definovným telesom (rotčným elipsoidom) fyzikálne definovným telesom (geoidom). Vyšši geodézi s delí n geometrickú fyzikálnu. Geometrická geodézi je tá čsť vyššej geodézie, ktorá s zoberá riešením geodetických úloh bez uvžovni tižového poľ n nlytickej ploche (guľ, rotčný elipsoid). Fyzikáln geodézi je tá čsť vyššej geodézie, ktorá skúm tižové pole Zeme jeho využitie v geodézii. (V iných jzykoch npr. frncúzštine, ngličtine nemčine s nepoužív prívlstok vyšši, le jednoducho Géodésie, frnc., Geodesy, ngl., v nemčine Erdmessungs. Tomu, čo u nás nzývme nižši lebo prktická geodézi, hovori Frncúzi Topométrie, Anglični Surveying, Nemci Lndmessung). Zákldnou úlohou vyššej geodézie je určiť tvr reálnej Zeme jej vonkjšieho tižového poľ jednoznčne stnoviť priestorovú polohu geodetických bodov n nlyticky presne definovnej, pokiľ možno čo njjednoduchšej ploche (guľ, elipsoid). N túto plochu s tieto body premietnu určí s poloh ich priemetu. Okrem toho s určí vzdilenosť kždého bodu nd touto plochou, ted jeho výšk. V priemete n zvolenej ploche s potom pomerne ľhko rieši osttné geodetické úlohy. Z hľdisk presnosti je dôležité, by s ploch n ktorú s premiet - tzv. referenčná ploch, s čo njlepšie primykl ku skutočnému povrchu Zeme. S vyššou geodéziou úzko súvisi: vyšši mtemtik, geodetická stronómi, mtemtická krtogrfi tď.). 1.1 Fyzikáln geodézi Fyzikáln geodézi je zložená n znlosti tižového poľ Zeme. Ved o tižovom poli Zeme s nzýv grvimetri. Má zásdný význm pre určenie tvru rozmeru Zeme. Tižové pole Zeme Zemské teleso hmotnosti M vytvár nd svojím povrchom v zmysle Newtonovho zákon grvitčné pole. V kždom bode priestoru v okolí Zeme, ko j n povrchu pôsobí príťžlivá (grvitčná) sil f - prejv grvitčného poľ odstredivá sil c - dôsledok otáčni Zeme okolo rotčnej osi O r, (obr. 1.1). Rotáciou grvitčného poľ s vytvár pole zemskej tiže. Je to priestor v ktorom pôsobí sil zemskej tiže, ktorý chrkterizuje tižové zrýchlenie g. 5

Grvitčné pole môže chrkterizovť intenzit grvitčného poľ K, ktorá chrkterizuje pole z hľdisk jeho silového pôsobeni n hmotnostnú jednotku m. Táto zložk s v kždom bode poľ rovná grvitčnému zrýchleniu f ( f K), ktoré grvitčné pole v tomto bode udeľuje telesám.veľkosť intenzity grvitčného pol guľovosymetrického teles polomeru R (približný tvr Zeme) n jeho povrchu v bode B vyplýv z Newtonovho grvitčného zákon K GMR -, kde G 6,67. 10-11 m 3 kg -1 s - je grvitčná konštnt M 5,974. 10 4 kg je hmotnosť Zeme. Veľkosť zložky zrýchleni tiže g je podmienená rotáciou Zeme (c ω ρ, kde ω je uhlová rýchlosť otáčni Zeme ρ je vzdilenosť bodu B od rotčnej osi Zeme). Obr. 1.1. Sily v tižovom poli Zeme Tižové zrýchlenie, lebo tiež intenzitu tižového poľ Zeme g tvorí vektorový súčet zložky vektor grvitčného zrýchleni f vektor odstredivého zrýchleni c (obr.1.1) g f + c. (1.1) Ak s silové pole znázorní siločirmi, potom je smer vektor g - smer intenzity tižového poľ v bode B, totožný so smerom dotyčnice k siločire t B v bode B. Siločir je čir, v smere ktorej pôsobí tiž. Smeruje do stredu otáčni Zeme. Dotyčnic V B s nzýv j vertikálou v bode B. Grvitčné pole, pole odstredivej sily tižové pole možno chrkterizovť j potenciálmi príslušných polí V, P W, ktoré zvýrzňujú energetické vlstnosti polí. (Potenciál je energi ptric polohe dnej sústvy.) Pltí W V + P, (1.) kde V je grvitčný potenciál, P odstredivý potenciál W tižový potenciál. Keď s bude neustále uvžovť kolmý smer n smer tižového zrýchleni, pre skutočný tižový potenciál potom všeobecne pltí (potenciál tižového zrýchleni) W C (konštnt). (1.3) Zmenou hodnoty C dostneme inú hldinovú plochu W 1, W, v ľubovolnej výške vo vzťhu k hldine mor. Pre dve nekonečne blízke hldinové plochy pltí tzv. Brunsov teorém dw - gdh. Ak dh je ortogonáln vzdilenosť hldinových plôch (vzdilenosť po tižnici), potom s nrstjúcou výškou dh s zmenšuje veľkosť tižového zrýchleni g nopk. Rovnic (1.3) vyjdruje plochy, z ktorých kždá má v ľubovoľnom bode rovnkú hodnotu potenciálu. Plochy s nzývjú ekvipotenciálnymi, geopotenciálnymi lebo hldinovými plochmi tiže. Z rovnice tiež vyplýv, že kždá ekvipotenciáln ploch je v kždom svojom bode kolmá n príslušný smer zemskej tiže. Siločiry tižového poľ ted vytvárjú vzhľdom n hldinové plochy systém ortogonálnych trjektórií (dve nvzájom kolmé osnovy čir definovné n určitej ploche). V dôsledku nehomogenity Zeme budú siločiry tižového poľ v jednotlivých bodoch povrchu Zeme, v závislosti n rozložení látok rôznej hustoty objemu meniť svoj priebeh. Keďže hldinové plochy sú kolmé k siločirm tižového poľ, priebeh hldinových plôch bude neprvidelný (obr.1.). 6

Hodnot tižového zrýchleni g rstie od rovník k pólom (odstredivá sil je tm nulová). Hldinové plochy s j pri svojich neprvidelných tvroch budú smerom k pólom nvzájom približovť (obr.1.). Obr. 1.. Hldinové plochy Z množiny hldinových plôch s konštntným potenciálom tiže, tá ploch, ktorej priebeh s njvic zhoduje z priebehom hldín oceánov prechádz zvoleným nulovým výškovým bodom (strednou hldinou niektorého mor) nzýv s geoid predstvuje nulovú hldinovú plochu s tižovým potenciálom W 0 konšt. Geoid je uzvretá spojitá ploch so zložitým neprvidelným priebehom povrchu, ktorá vyjdruje hustotné objemové zloženie látok zemskej kôry. Všeobecne s povžuje z plochu teles, chrkterizujúcu tvr veľkosť Zeme. Geoid nie je ted nlytickou plochou nemôže s použiť ko referenčná ploch pre polohové výpočty. Použív s všk ko referenčná ploch pre definovnie druhu výšky. Pole zemskej tiže je vystvené čsovým globálnym, regionálnym j lokálnym zmenám. Mení s v závislosti od grvitčného poľ Mesic Slnk, od presunu vzdušných vodných más od presunu más n pevnine (npr. priehrdy, bne). Geodetické merni robíme v tižovom poli Zeme, preto s merni všetkých prvkov vzťhujú n hldinovú plochu (resp. siločiru tižového poľ) prechádzjúcu stnoviskom prístroj (obr.1.3). Obr. 1.3. Mernie n fyzickom zemskom povrchu N stnoviskách A, B, postvením vertikálnej osi prístroj do smeru siločiry tižového poľ t A, t B,, s pre kždé stnovisko vytvorí krteziánsky súrdnicový systém. Os Z systému je totožná so smerom miestnej siločiry tižového poľ t A, t B osi X, Y tvori zdnlivý lokálny horizont. V rovine určenej osmi X, Y s merjú vodorovné uhly ω, v rovine n ňu kolmej prechádzjúcej osou Z s merjú zvislé uhly ( z, β ). V dôsledku odchýlok siločir tižového poľ, odmerný zimut strny s AB s BA s nebude presne líšiť o 00 g. Mernie zimutu s uskutoční v dvoch odlišných rovinách. 7

Normálne tižové pole. Pri určovní vonkjšieho tižového poľ Zeme, t.j. tižového poľ n nd zemským povrchom, s ko jeho proximáci použív normálne tižové pole. Je vytvorené telesom - tzv. normálnou Zemou - ktoré má mximálne verne zobrzovť skutočný tvr Zeme čo njlepšie nhrdzovť jeho skutočné tižové pole. Z geometrického hľdisk s z tkéto teleso prijím rotčný elipsoid, ktorému okrem geometrických prmetrov (veľkej poloosi splošteni i ( - b) -1 s prisudzujú j fyzikálne prmetre Zeme (hmotnosť M E uhlová rýchlosť rotácie ω E ). Normálne tižové pole normálneho tvru Zeme s potom vytvár grvitčnými rotčnými účinkmi elipsoidu, pričom povrch teles (normálnej Zeme) má chrkter hldinovej plochy. Tkýto elipsoid s nzýv hldinový lebo normálny elipsoid je proximáciou geoidu. Možno definovť rôzne hldinové elipsoidy, ten elipsoid, ktorého prmetre njlepšie zodpovedjú reálnej Zemi s nzýv stredný zemský elipsoid. Potenciál normálnej tiže oznčujeme U. Normálne tižové pole hldinového elipsoidu chrkterizuje normálne tižové zrýchlenie γ, (obr.1.4). Je to priemet intenzity grvitčného poľ normálnej Zeme f E do smeru normály k povrchu hldinového elipsoidu n tomto elipsoide. Obr. 1.4. Normálne hldinové plochy normálne tižové zrýchlenie V súčsnosti pre strednú hodnotu γ o konvenčná hodnot 9,80665 m.s -. 1.1.1 Tvr Zeme jeho proximácie normálneho tižového zrýchleni n povrchu Zeme pltí V súčsnosti s z geometrický tvr Zeme pokldá jednk geoid - hldinová ploch s tižovým potenciálom W 0 prechádzjúc nulovým výškovým bodom, jednk nehldinová ploch kvázigeoid. Pri určovní geoidu s prijím rd hypotéz, pretože nie je dosttočne známe rozloženie látok nd geoidom skutočné tižové pole medzi geoidom fyzickým povrchom Zeme. Tvr geoidu s stále spresňuje. Kvázigeoid je proximáci tvru Zeme určená výlučne n záklde vykonných geodetických, stronomických grvimetrických merní. Plochy geoidu kvázigeoidu sú si nvzájom blízke. Njväčšie rozdiely doshujú v oblsti pevnín sú približne m. V oblsti oceánov mjú obidve plochy totožný priebeh. Určenie plochy kvázigeoidu, le j jeho definície, si vysvetlíme nsledovnou úvhou. V bode B n fyzickom povrchu Zeme (obr. 1.5) oznčíme potenciál skutočného tižového poľ hodnotou W B potenciál normálneho tižového poľ hodnotou U B. Pritom potenciál normálneho tižového poľ U B závisí od zemepisnej šírky od výšky h nd hldinovým elipsoidom U B U(, h). (1.4) Hldinový elipsoid, vzťžnú nulovú plochu U 0 normálneho tižového poľ Zeme, zvolíme tk by U 0 W 0 konšt. (1.5) 8

Rozdiely skutočných normálnych potenciálov medzi hldinovými plochmi v bode B príslušnými nulovými plochmi sú vo všeobecnosti rôzne, ted W B - W 0 U B - U 0 U(, h) - U 0. (1.6) Obr. 1.5. Hldinové referenčné plochy N siločire t B prechádzjúcej bodom B je možné určiť tkú výšku H N, s ktorou s potenciálny rozdiel U(, h) - U 0 bude rovnť rozdielu W B - W 0, ted W B - W 0 U(,h) - U 0 (1.7) Výšk H N n siločire t B určuje bod B, v ktorom vzhľdom n rovnicu (1.5) bude podľ (1.7) pltiť W B U(, h) U B (1.8) ted normálny potenciál U B s v bode B bude rovnť skutočnému potenciálu W B v bode B. Výšk H N s nzýv normáln výšk bodu B. Je to výšk bodu B nd hldinovým elipsoidom. Ak s táto výšk nnesie z bodu B z fyzického povrchu Zeme n siločiru t B smerom do vnútr Zeme, koncový bod Q spolu s množinou podobne získných bodov determinuje plochu, ktorá s nzýv kvázigeoid (normáln výšk je vzdilenosť bodu n fyzickom povrchu Zeme od kvázigeoidu merná pozdĺž siločiry). Veličin ξ je výšk kvázigeoidu nd hldinovým elipsoidom. N predstvuje výšku geoidu nd elipsoidom (výšková nomáli). Kvázigeoid je ted nehldinová ploch, ktorá od zemského fyzického povrchu prebieh vo vzdilenostich H N, ležicich n siločirch normálneho tižového poľ. Je určená tk, by s rozdiely potenciálov skutočných W normálnych U v bode B príslušnými nulovými plochmi rovnli. Telluroid s nzýv tká nehldinová ploch, pre body ktorej pltí W B U B (skutočný potenciál s rovná normálnemu potenciálu). Kvázigeoid s ted určuje bez hypotéz o rozložení látok vo vnútri geoidu. 1.1. Tižové nomálie odchýlky siločir tižového poľ (tižnicové odchýlky) Pri merní v bode B n fyzickom povrchu Zeme s meri tižové zrýchlenie g v skutočnom poli zemskej tiže. Pri merní v bode B 0 n povrchu hldinového elipsoidu by s merlo zrýchlenie g 0. Ak prepočítme vhodnými korekcimi hodnotu g n redukovnú hodnotu g 0, rozdiel n povrchu hldinového elipsoidu g g 0 - γ 0 (1.9) 9

bude nomáliou tižového poľ Zeme v bode B 0, ktorá vyjdruje poruchy skutočného tižového poľ Zeme vzhľdom k normálnemu tižovému poľu. Zpríčiňuje to hustotná nehomogenit látok ich rozloženie v okolí merni. V ľubovoľnom bode povrchu Zeme príslušná normál siločir tižového poľ nie sú totožné. Zvierjú medzi sebou mlý uhol Θ, ktorý s nzýv reltívn (stronomicko-geodetická) odchýlk siločir tižového poľ (tižnicová odchýlk). Z uvedeného dôvodu nebudú totožné ni geodetické stronomické zemepisné súrdnice bodu, tiež ni geodetický stronomický zimut určitej zámery (kp. 1.3.1 geodetické zemepisné súrdnice, kp. 1.4 stronomické súrdnice). 1. Mernie tižového zrýchleni Zmen potenciálov medzi dvom hldinovými plochmi je dná vzťhom dw -g dh, ktorý použijeme n určenie geopotenciálnej kóty. Vo vzťhu je dôležité poznť g tižové zrýchlenie. Kždý fyzikálny jv, v ktorého zákonitosti vystupuje tižové zrýchlenie, umožňuje určiť číselnú 1 hodnotu tižového zrýchleni výpočtom z rovnice s gt vyjdrujúcej túto zákonitosť obshujúcej iné, pomerne ľhšie primo merné údje. Metódy určeni tižového zrýchleni fyzikálnych jvov môžeme ztriediť do skupiny dynmických metód lebo do skupiny sttických metód. Pozorovnie doby kyvu kyvdl lebo voľného pádu ptrí do skupiny dynmických metód. Porovnnie tižovej sily s pružnou silou teles vhodnej hmotnosti ptrí do skupiny sttických metód. Mernie tižového zrýchleni vo zvolenom bode, ktoré s vykonáv nezávisle od merní n iných bodoch je bsolútne mernie. Nproti tomu mernie rozdielu tižového zrýchleni dvoch bodov, z ktorých tižového zrýchlenie n jednom z nich je známe, je reltívne mernie. Absolútne mernie tižového zrýchleni vyžduje mimoridnu strostlivosť priznivé podmienky. Preto s koná ib n ojedinelých miestch zemského povrchu. Tižové zrýchlenie n osttných volených bodoch s odvodí metódou reltívneho merni. 1..1 Absolútne mernie tižového zrýchleni V súčstnej dobe s n bsolútne mernie tižového zrýchleni používjú bsolútne blistické grvimetre, ktoré určujú tižové zrýchlenie z merni čsu n mernej dĺžke pohybujúceho s teles vo vákuu. N mernie dĺžky úseku s použív lserový interferometer n mernie čsu rubídiový tomový oscilátor. Prvé prístroje tohto druhu vznikli okolo roku 1960. Stále s zdokonľujú dnes doshujú presnosť niekoľko desitok nms -. Mernie s vykonáv v lbortórnom prostredí v dlhšom čsovom úseku npr. 4 h. Prístroje mjú veľkú hmotnosť le s djú trnsportovť. U bsolútnych blistických grvimetrov existujú dv spôsoby tižového zrýchleni. Symetrický spôsob je zložený n zvislom vrhu nhor následnom voľnom páde teles nesymetrický spôsob, ktorý využív voľný pád pozorovného objektu. 1..1.1 Určenie tižového zrýchleni z pozorovni voľného pádu Dráhu s vykonnú z dobu t voľne pdjúcim telesom vo vákuu vyjdruje vzťh 1 s gt, (1.10) v ktorom s vyskytuje tižové zrýchlenie g pre zvolené miesto zemského povrchu. V pokusoch s použív homogénn, kovová lebo sklenená guľ. Z predpokldu, že teleso pdá vo vzduchoprázdnom priestore z výšky menšej ko 10 m, použije s vzťh 10

1 g0t + v t, (1.11) s 0 kde g 0 je tižové zrýchlenie. Telesu udelíme zčitočnú rýchlosť v 0. Pdjúce teleso vykoná z dobu t i dráhy s i. Dostneme rovnice 1, si g0ti + v0ti ktorých riešením odvodíme tižové zrýchlenie g 0 vo zvolenom mieste zemského povrchu, ko j udelenú zčitočnú rýchlosť v 0. 1..1. Určenie tižového zrýchleni reverzným kyvdlom Kyvdlové prístroje umožňujú dosiľ njpresnejšie bsolútne merni tižového zrýchleni. Kým o nich budeme hovoriť, je potrebné s spoň krátko zmieniť o mtemtickom fyzickom kyvdle. Mtemtické kyvdlo je hmotný bod hmotnosti m zvesený n bezváhovej (so znedbteľnou hmotnosťou proti hmotnosti m) pevnej nerozťžnej niti dĺžky l. Njväčši zvolená výchylk z rovnovážnej polohy kyvdl je mplitúd α (obr. 1.6). Obr. 1.6. Mtemtické kyvdlo Čs potrebný n vykonnie dráhy po čsti oblúk kružnice (z krjnej polohy A do krjnej polohy B), ted z jednej njväčšej mplitúdy (prvej) po druhú (ľvú), t.j. čs, ktorý uplynie medzi dvom po sebe idúcimi prechodmi hmotného bodu rovnovážnou polohou, je dob t, čiže polovic kmitu. Vo vzduchoprázdnom priestore je dob kyvu t zvolenej mplitúdy α dná vzorcom (Huyghensov vzťh) l 1 α 9 4 α t π 1+ + +.... (1.1) g 4 64 Zo vzorc vidíme, že dob kyvu t nezávisí od hmotnosti m. S ohľdom n tké mlé mplitúdy môžeme rovnicu (1.1) po vynechní tretieho, prirodzene i ďlších (neuvedených) členov písť v tvre l α t π 1 +. g 16 (1.13) Pre nekonečne mlú mplitúdu α je dob kyvu mtemtického kyvdl dná vzťhom l t π, (1.14) g 11

nezávisí už ni od mplitúdy. Tižové zrýchlenie g vo zvolenom bode zemského povrchu môžeme určiť z rovnice π l g (1.15) t z predpokldu, že dĺžk l je znám t merime. Musíme zistiť vyždovnú presnosť určeni l doby kyvu t. Mtemtické kyvdlo je vlstne fiktívne nie je možné ho relizovť. V prxi s prcuje s kyvdlom fyzickým, vo všeobecnosti je to kždé teleso j náhodného tvru, ktoré kýv bez treni okolo vodorovnej osi v bode O, ted neprechádzjúcej jeho ťžiskom S. N predĺženej spojnici O S (obr. 1.7) skusmo vyhľdáme tké miesto O pre novú os rovnobežnú s osou prechádzjúcou bodom O, by dob kyvu okolo tejto novej osi s dobou okolo pôvodnej osi bol rovnká. Merním doby kyvu t 1 t v oboch polohách (O,O ) reverzného kyvdl určíme dobu kyvu t t 1 + t, ktorú potrebujeme poznť n reltívne mernie tižového zrýchleni. 1.. Reltívne mernie tižového zrýchleni Obr. 1.7. Reverzné kyvdlo N štúdium zemského teles, ko j pre geodetické účely je potrebné poznť tižové zrýchlenie n rozličných bodoch celého zemského povrchu. Videli sme, že bsolútne merni tižového zrýchleni vyždujú špeciálne podmienky, veľmi zdĺhvé strostlivé merni, účelne zridenú miestnosť so stálou teplotou možnosťou pozorovť kyvy kyvdl v priestore s nízkym tlkom vzduchu. Treb zisťovť množstvo korekcií, čo vyžduje mnoho čsu. Preto opísný spôsob bsolútneho merni tižového zrýchleni nie je možné plikovť n zvolených miestch kdekoľvek v teréne. Bol ted vyprcovná tká metód n určenie tižového zrýchleni n zvolených bodoch v prírode, pri ktorej veľmi strostlivé určenie dĺžky kyvdl niekoľkých korekcií odpdá. Invribilit kyvdl, tj. nemennosť dĺžky kyvdl počs merni prenosu n druhý bod s kontroluje tým, že s používjú tri ž štyri kyvdlá rôznej lebo rovnkej doby kyvu. Zistená zmen doby kyvu (jedného kyvdl n niektorom bode oproti dobám kyvu osttných kyvdiel) upozorňuje n zmenu dĺžky kyvdl. Tieto kyvdlá nie sú zväčš reverzné. Sú polsekundové, dlhé 5 cm. Spôsob odvodeni tižového zrýchleni n zvolenej stnici s opier o tzv. zákldný bod, n ktorom s tižové zrýchlenie určilo bsolútnym merním. Ted tižové zrýchlenie g 0 v tomto bode je známe. Určovnie tižových zrýchlení n zvolených bodoch s zčne n spomenutom zákldnom bode, n ktorom s určí dob kyvu t 0 kyvdl poľnej kyvdlovej súprvy. Potom s kyvdlová súprv prenáš n zvolené body, n ktorých s určí dob kyvu t. Mernie s končí n zákldnom bode. Súhls dôb kyvu t 0 n zčitku merni n konci merni potvrdzuje invribilitu kyvdl. Z merných dôb kyvu t doby kyvu t 0 s n zákldnom bode odvodí zmen g tižového zrýchleni n zvolených bodoch, ko j tižové zrýchleni g n týchto bodoch. Touto cestou odvodené tižové zrýchleni chrkterizujú reltívnu metódu merni tižového zrýchleni. Pre zákldný bod so známou hodnotou tižového zrýchleni g 0 mernou dobou kyvu t 0 pltí vzťh 1

π l (1.16) t g0 0 pre zvolenú stnicu, n ktorej s merl dob kyvu t, pltí vzťh π g l. (1.17) t Z oboch týchto rovníc n určenie tižového zrýchleni g vyplýv vzťh t0 g g. (1.18) 0 t Ak vzájomné vzdilenosti zvolených bodov nie sú príliš veľké, vzťh (1.18) s podsttne zjednoduší úprvou t g g0. (1.19) t0 K zlomku v okrúhlej zátvorke pripočítme odpočítme 1 po menšej úprve dostneme t t t0 g g0 + 1 1 g0 1+ (1.0) t0 t0 Vzťh (1.0) rozvinieme do rdu podľ vzťhu 1 ( 1+ x) 1 x + 3x +... (1.1) g g t t 0 t t 0 t t 0 + 1 + g 0 1.... (1.) t 0 t 0 t 0 0 3 Pretože pre pomerne blízke zvolené body je rozdiel t t 0 t mlý, n dné účely úplne vyhovuje, k z rdu (1.) použijeme len prvé dv členy. t g g 0 g g 0. (1.3) t 0 g V tejto rovnici 0 K (konštnt) n stnici určený rozdiel tižového zrýchleni t0 g K t (1.4) s odvodí veľmi jednoducho násobením rozdielu dôb kyvu zistených n zákldnom bode n stnici s konštntou K. Algebrickým pripočítním tižového rozdielu g k tižovému zrýchleniu zákldného bodu s odvodí tižové zrýchlenie n zvolenej stnici g g 0 + g (1.5) Reltívne určenie tižového zrýchleni predpokldá, by sme n jednom bode mli tižové zrýchlenie veľmi strostlivo určené bsolútnym merním. N konci minulého n zčitku nášho storoči (v rokoch 1898 1904) tkéto mernie vykonli Kühnen v Postupime n Geodetickom ústve v bode so súrdnicmi 5,9 λ 13 04,1 východne od Greenwich s ndmorskou výškou h 87 m. Pre tento bod určili tižové zrýchlenie g 981,47 ± 0,003 cm s -. (1.6) Tento bod dosihol medzinárodný význm stl s zákldným tižovým bodom tzv. postupimskej svetovej tižovej sústvy. 13

U nás tižový bod zvolil v roku 196 prof. B. Kldivo v suteréne budovy Českej techniky v Brne v postupimskej tižovej sústve reltívnou metódou Fechnerovým štvorkyvdlovým prístrojom odvodil jeho tižové zrýchlenie, ktorého hodnot je g 980,961,1 ± 0,93 mgl. (1.7) 1.3 Geometrická geodézi N zložitej neprvidelnej ploche geoidu lebo kvázigeoidu nie možné v prxi riešiť geodetické úlohy, lebo n ne zobrziť väčšie čsti zemského povrchu, pretože tieto plochy nie je možné nlyticky jednoducho vyjdriť. Aproximácimi geoidu, resp. kvázigeoidu n výpočtové zobrzovcie práce sú rôzne definovné elipsoidy, guľové plochy roviny. 1.3.1 Referenčný elipsoid Prmetre zemského elipsoidu s určujú z tzv. stupňových merní. Z rôzne rozsihlych stále presnejších stupňových merní boli postupne určené prmetre vicerých rotčných zemských elipsoidov. Plochu geoidu by njlepšie proximovl trojosový zemský elipsoid. Geometri trojosového elipsoidu je všk tk zložitá, že v geodetickej prxi s zásdne používjú rotčné elipsoidy. Ak je určitý zemský elipsoid zvolený pre geodetický systém, nzýv s referenčný elipsoid. Z hldinových elipsoidov s ko optimáln proximáci geoidu prijím stredný zemský elipsoid. K tomuto optimálnemu modelu Zeme s približovli rôzne referenčné elipsoidy npr. Besselov (1841), Krsovského (1940). Ob tieto elipsoidy tvori zákld krtogrfického zobrzeni polohového súrdnicového systému v bývlom Československu terz n Slovensku. V súčsnosti stredný zemský elipsoid njlepšie proximuje referenčný elipsoid IAG 1980, prijtý n 17. vlnom zhromždení Medzinárodnej geodetickej geofyzikálnej únie. Oznčuje Európsky terestrický referenčný systém 1989 (ETRS 89). Je definovný tkto: - dĺžk veľkej poloosi ekvipotenciálneho elipsoidu 6 378 137 ± m, b 6 356 877 m, - geocentrická grvitčná konštnt GM (3 986 005 ± 0,5)10 9 m 3 s -, - dynmické sploštenie ( zonálny geopotenciálny koeficient druhého stupň) J (108,63 ± 0,005)10-6, - uhlová rýchlosť rotácie Zeme ω 7,9115.10-5 rd s -1. Rovnkými prmetrmi je definovný Svetový geodetický systém WGS 84. Vo všeobecnosti kždý rotčný zemský (referenčný) elipsoid je jednoznčne definovný dvom prmetrmi meridiánovej elipsy (veľkou poloosou mlou poloosou b, resp. poloosou sploštením elipsoidu i ). Besselov elipsoid má prmetre 6 377 397,15508 m i 1 : 99,15 81 853. Obr. 1.8. Geodetické elipsoidické súrdnice 14

1.3. Systém geodetických zemepisných súrdníc Súrdnicovým systémom n rotčných referenčných elipsoidoch sú zemepisné súrdnice S E ( g, λ g, H), (obr.1.8) kde S E je stred elipsoidu, g je geodetická zemepisná šírk, λ g je geodetická zemepisná dĺžk, geodetické elipsoidické H je elipsoidická (geodetická) výšk. Z nultý poludník je zvolený ten, ktorý prechádz dným bodom stronomického observtóri v Greenwichi. Geocentrická šírk b Pri riešení niektorých úloh v mtemtickej krtogrfii s nmiesto šírky bodu P zvádz geocentrická šírk β. Je to uhol, ktorý zvier spojnic bodu P so stredom elipsoidu (rádius vektor ρ, obr. 1.9). Druhou súrdnicou zostáv geodetická dĺžk λ. Obr. 1.9. Prvouhlé súrdnice x, y geocentrická šírk β Obr. 1.10. Redukovná šírk ψ 15

Redukovná šírk y V niektorých teoretických odvodenich s použív redukovná šírk ψ. Bodom P() veďme rovnobežky s osmi X, Y. Oblúk kružnice s polomerom, opísný zo stredu S meridiánovej elipsy, pretne rovnobežku s osou Y v bode Q. Uhol, ktorý zvier spojnic Q S s rovinou rovník (n obr. 1.10 s veľkou poloosou meridiánovej elipsy), je redukovná šírk ψ. Druhou súrdnicou ostáv geodetická dĺžk λ. x cosψ, y b cos( 100 ψ ) b ψ. (1.8) 1.3.3 Priestorové prvouhlé súrdnice X, Y, Z Riešenie geodetických úloh v priestorových prvouhlých súrdnicich má veľmi dôležitú úlohu v družicovej geodézii pri vyjdrovní priestorovej polohy bodov vo svetovom súrdnicovom systéme (WGS 84). Počitok súrdnicového systému je v strede elipsoidu. Os Z je totožná s osou rotácie. Os X je priesečnicou roviny rovník s rovinou nultého poludník, os Y je v rovine rovník kolmá n os X (obr. 1.11). Priestorové súrdnice bodu P sú dné vzťhmi ( 1 e ), X Ncoscos λ, Y Ncos λ, Z y N (1.9) kde N je priečny polomer krivosti v bode P. Rovnice (1.9) sú odvodené v kp. 1.3.7. Obr. 1.11. Priestorové súrdnice X, Y, Z 1.3.4 Elips Elips je množin bodov roviny, ktorých súčet vzdileností od dvoch pevných bodov nzývnými ohniskmi F 1 F je konštntný. Oznčme c vzdilenosť medzi ohniskmi F 1 F (obr. 1.1). Súrdnice ohnísk elipsy budú F 1 (-c, 0), F (c, 0). M(x, y) je ľubovoľným bodom elipsy. Potom pre vzdilenosť r 1 r bodu M(x, y) od bodov F 1 (-c,0) F (c,0) je ( x + c) r +, (1.30) 1 y ( x c) r +. y 16

Súčet týchto vzdileností musí byť konštntný, oznčíme ho r + r. (1.31) 1 Ak násobíme rovnicu (1.31) rozdielom r 1 r, dostneme ( r ) 1 r 1 r r z toho dostávme r1 r r1 r. (1.3) Obr. 1.1. Elips Ak do čitteľ prvej strny rovnice (1.3) nmiesto r 1 r dosdíme hodnoty (1.30), dostneme ( x + c) + y ( x c) ( + y ) x + xc + c + y ( x xc + c + y ) xc 1 r r 4 (1.33) Rovnic (1.3) po úprve bude cx r1 r. (1.34) Z rovnice (1.3 ) (1.34) po ich spočítní odčítní dostneme cx r 1 +, cx r + 1, cx r, cx r. (1.35) Ak terz do prvej rovníc (1.35) dosdíme nmiesto r 1 jeho hodnotu z rovnice (1.30), dostneme ( + c) x + y + cx Umocnením zlúčením dostneme ( x + c) x + y +. cx + cx + c + x y + xc + c ( c ) x + y ( c ) 4 + y cx c x cx c x + + 0,. (1.36) Pretože z definície elipsy r 1 + r > F 1 F c pltí > c, môžeme položiť, 17

c b. Rovnic (1.36) ndobudne tvr b x + y b. Keď rovnicu predelíme výrzom x + b y b dostneme rovnicu elipsy 1. (1.37) Ak v rovnici elipsy (1.37) položíme b, dostneme rovnicu kružnice x + y, (1.38) ktorá je zvláštnym prípdom elipsy. 1.3.5 Vzťh medzi geodetickou šírkou j g ( j) bodu P jeho prvouhlými súrdnicmi v rovine meridiánovej elipsy Bodom P n elipsoide prechádz poludník (meridián) o zemepisnej dĺžke λ. Je to elips s poloosmi, b, ktorú nzývme meridiánová elips. Ak zvolíme zčitok prvouhlého rovinného súrdnicového systému v strede S meridiánovej elipsy, veľkú poloos z os X, mlú z os Y, bude rovnic tejto elipsy (1.37), (obr.1.13) Uhol, ktorý zvier normál n k elipse v tomto bode s veľkou poloosou X, je geodetická šírk bodu P. (Pre jednoduchosť budeme používť oznčenie, nie g, pretože nie je potrebné rozlišovť medzi geodetickou šírkou g stronomickou šírkou. Dotyčnic t v bode P zvier s osou X uhol 100 g +. Jej smernic je dná vzťhom k dy dx tg (100g + ) - cotg. (1.39) Obr. 1.13. Prvouhlé súrdnice v rovine meridiánovej elipsy Derivovním rovnice elipsy (1.37) dostneme xdx ydy + 0, b dy b x. (1.40) dx y Z rovníc (1.39) (1.40) vyplýv 18

cotg b x y. (1.41) Táto rovnic vyjdruje geodetickú šírku ko funkciu prvouhlých súrdníc x, y v rovine meridiánovej elipsy. Dosďme do rovnice (1.41) cotg cos, rovnicu umocnime n druhú uprvíme cos 4, 4 b x y 4 y cos - b 4 x 0. (1.4) Ďlej využijeme uprvenú rovnicu meridiánovej elipsy (1.37) b x + y - b 0 (1.43) Riešme tieto dve rovnice. Z rovnice (1.43) vyjdríme x dosdíme do rovnice (1.4) vypočítme súrdnicu y x b y b, 4 y cos - b 4 ( b y b ) 0, y cos - b 4 + b y 0, y ( cos + b ) - b 4 0, y b cos + b. (1.44) Podobne odvodíme x cos cos + b. (1.45) Okrem splošteni i ( - b) -1 je ďlším prmetrom chrkterizujúcim rotčný elipsoid tzv. prvá excentricit e b. (1.46) Vzťh (1.46) môžeme uprviť n tvr b ( 1 e ) b 1 e, b 1 e (1.47) dosdiť do rovníc (1.44) (1.45). Postup úprvy menovteľ v rovnicich (1.44) (1.45): ( cos + b ) [cos + (1- e ) ] [(cos + )- e ] (1 - e ). 19

Spolu s úprvou čitteľ potom bude y ( 1 e ) ( 1 e ) ( 1 e ) 1 e b 1 e 1 e, (1.48) x cos ( 1 e ) cos 1 e. (1.49) Keď oznčíme W ( 1 e ) 1 e, rovnice (1.48) (1.49) zpíšeme y x cos. (1.50) W W Rovnice (1.44), (1.45), (1.48) (1.49) sú prmetrické rovnice meridiánovej elipsy. Prmetrmi sú zemepisná šírk, obe poloosi, b prvá excentricit e. Vzťh medzi geocentrickou šírkou b geodetickou šírkou j Podľ obr. 1.14 ( 1 e ) ( 1 e ) tg y tg β. (1.51) x cos Geocentrický polomer (rádius vektor) po dosdení z x y (1.49) (1.48) bude ρ W x + y 1 W cos 4 ( e e ). + 4 ( 1 e ) cos + ( 1 e + e ) W (1.5) Obr. 1.14 Geocentrická šírk β redukovná šírk ψ 0

Vzťh medzi redukovnou šírkou y geodetickou šírkou j Z predchádzjúceho vieme, že x cosψ, y b ψ odtiľ Podľ rovnice (1.51) ( 1 e ) tg y y tg ψ. (1.53) b x tgβ (1.54) x ďlej pltí 1. (1.55) b 1 e Po dosdení hodnôt (1.54) (1.55) do rovnice (1.53) dostneme zákldný vzťh medzi redukovnou šírkou ψ geodetickou šírkou v tvre ( 1 e ) tg tgψ 1 e tg. (1.56) 1 e 1.3.6 Polomery krivosti v dnom bode n elipsoide Normálou k elipsoidu v bode P môžeme preložiť nekonečne mnoho rovín, ktoré sú kolmé k povrchu elipsoidu. Existujú dv extrémne normálové rezy, ktorých krivosť je mximáln minimáln. Sú to hlvné normálové rezy zodpovedjúce polomery krivosti sú hlvné polomery krivosti: meridiánový polomer krivosti M priečny polomer krivosti N (v rovine kolmej n poludník). Meridiánový polomer krivosti Normálová rovin preložená osou rotácie elipsoidu bodom B pretín elipsoid v poludníku. Bod B má geodetickú šírku prvouhlé súrdnice v rovine meridiánu x, y (obr.1.15). Obr. 1.15. Meridiánový polomer krivosti Ak prejdeme z bodu B o dĺžkový element ds do bodu B, zmení s geodetická šírk o d, súrdnice x y s zmeni o hodnoty - dx + dy (x-ová súrdnic s zmenší). Z obr. 1.15 je zrejmé, že 1

ds M d. (1.57) Elementárny oblúk ds vyjdríme z trojuholník BB D dx dx ds ds. (1.58) Po dosdení rovnice (1.58) do rovnice (1.57) dostneme vzťh: M - 1 Hodnotu x 1 e podľ. dx d dx d dx d cos. (1.59), ktorú potrebujeme dosdiť do vzťhu (1.59) vypočítme derivovním funkcie cos ( 1 e ) 1 / 1 [ ( 1 e ) 1/ + cos ( 1 e ) 3 / ( e ) cos ] e + ( 1 e ) 1 1 cos ( e ) 3 ( 1 ) ( 1 e ) e + e cos 3 ( 1 e e cos ) 3 ( 1 e ) ( 1 e ). 3 ( 1 e ) 64447 1 4448 + cos [ 1 e ( )] 3 ( 1 e ) Po dosdení do rovnice (1.59) dostneme pre meridiánový polomer krivosti vzťh M ( 1 e ) ( 1 e ) 3 ( 1 e ) W 3 (1.60). (1.61) Zo vzťhu (1.61) je zrejmé, že meridiánový polomer krivosti M pre určitý elipsoid s prmetrmi, e je funkciou len geodetickej šírky. Minimálnu hodnotu má n rovníku ( 0 g, 0) M 0 ( 1 e ) mximálnu n póloch ( 100 g, 1) M100 ( 1 e ) Ak by sme plynulo vyšetrovli priebeh meridiánového polomeru krivosti od pólu (P s ) po rovník vo všetkých kvdrntoch, geometrické miest stredov polomeru krivosti M leži n krivke hviezdicového tvru (obr. 1.15). Priečny polomer krivosti Rovin, ktorá obshuje normálu n v dnom bode P je kolmá k rovine poludník, pretín elipsoid v priečnom normálovom reze. Je to tiež elips okrem prípdu keď bod P leží n rovníku, 1 /.

vtedy je to kružnic. Normály k elipsoidu skonštruovné vo všetkých bodoch tej istej rovnobežky s geodetickou šírkou, s pretínjú v bode V n mlej ose elipsoidu (obr. 1.16). Obr. 1.16. Priečny polomer krivosti Priečny polomer krivosti N je dný úsečkou normály N. Z obr. 1.16 je zrejmé, že x N cos ted N x cos. (1.6) Ak dosdíme z x rovnicu (1.49) N cos 1 e. cos 1 1 e W. (1.63) N rovníku ( 0 g ) je N 0 n póloch ( 100 g ) keď 1 e b je N 100 ( 1 e ) 1. (1.64) b b Stredný polomer krivosti Stredný polomer krivosti je dný geometrickým priemerom hlvných polomerov krivosti M N R MN. Po dosdení z M N môžeme písť R ( 1 e ) ( e ). 1 1 e 3 (1.65) 1 e 1 e. (1.66) 3

Polomer náhrdnej zemegule V niektorých menej náročných výpočtoch s celý zemský elipsoid nhrdzuje guľou. Polomer R tejto zemegule s určuje tromi spôsobmi: 1. Guľ má rovnký objem ko elipsoid, t. j. 4 3 4 π R π b ted 3 3 3 R b. (1.67). Guľ má rovnký povrch ko elipsoid, t. j. 3 4 4 6 4π R 4πb 1 + e + e + e +... ted 3 5 7 3 4 4 6 R b 1 + e + e + e +... (1.68) 3 5 7 3. Guľ má polomer rovný ritmetickému priemeru všetkých troch poloosí elipsoidu + b + R. (1.69) 3 Všetky tri hodnoty R sú po zokrúhlení n 0,1 km prkticky rovnké: R 6 370,3 km pre elipsoid Besselov, R 6 371,1 km pre elipsoid Krsovského, R 6 371,0 km pre elipsoid WGS 84. 1.3.7 Vzťh medzi geodetickými zemepisnými súrdnicmi j, l priestorovými prvouhlými súrdnicmi X, Y, Z Obr. 1.17. Vzťh geodetických zemepisných súrdníc, λ priestorových súrdníc X, Y, Z 4

N obr. 1.17 je nultý Greenwichský poludník nkreslený v rovine obrázk. Bodom P prechádz poludník P S - P - P J - P S o geodetickej dĺžke λ. V rovine tohto poludník má bod P prvouhlé súrdnice dné rovnicmi (1.50). Podľ definície prvouhlého súrdnicového systému v kp. 1.3.3 obr. 1.17 pltí X x cos λ, Y x λ, Z y. (1.70) Keď dosdíme do rovníc (1.70) súrdnice x y z rovníc (1.50) dostneme X cos cosλ N cos cosλ, W Y cos λ N cos λ, (1.71) W ( 1 e ) N( 1 e ) Z, W keď priečny polomer krivosti N (kp. 1.3.6). W 1.3.8 Výpočet dĺžky oblúk poludník rovnobežky Výpočet dĺžky oblúk poludník (rektifikáci meridiánu) N meridiánovej elipse leží bod B(). V diferenciálnej vzdilenosti ds od bodu B je bod B (+ d) (obr. 1.15). Polomer krivosti meridiánu v bode B je M. Z obrázku 1.15 je ds Md po dosdení do rovnice (1.61) dostneme diferenciál oblúk ( 1 e )( 1 e ) 3 / d ds. (1.7) Oblúk s od rovník ( 0 ) po bod s geodetickou šírkou vypočítme integrácii rovnice (1.7) ( e ) ( 1 e ) 3/ s Md 1 d. (1.73) 0 0 Eliptický integrál n prvej strne rovnice (1.73), ktorý nemá uztvorené riešenie, je možné počítť dvojkým spôsobom: 3 / 1. rozvinutím funkcie ( 1 ) e do rdu podľ binomickej vety lebo. numerickou integráciou n PC. Tkmer kždý softvér, určený pre numerické metódy, obshuje progrm pre numerickú integráciu. Dĺžk oblúk rovnobežky Rovnobežk o geodetickej šírke je kružnic s polomerom r N cos (obr. 1.16). Oblúk s rovnobežky medzi bodmi o geodetických dĺžkch λ 1, λ je oblúkom kružnice s polomerom r pri stredovom uhle λ λ λ1, t. j. 5

λ N s N cos cos λ (1.74) ρ ρ Poznámk: Veličin cos / ρ s zostvuje do tbuliek k rgumentu. 1.3.9 Povrch čsti celého elipsoidu Sieť poludníkov rovnobežiek vytvár n povrchu elipsoidu elipsoidické lichobežníky (obr. 1.18). Diferenciálny lichobežník môžeme povžovť z rovinný obdĺžnik o strnách Md N cos dλ, ktorého obsh je dp MN cos d dλ (1.75) Ak dosdíme z M, N dostneme ( 1 e ) cos ( 1 e ) dp d dλ. (1.76) Obr. 1.18. Povrch čsti zemského elipsoidu Obsh lichobežník, obmedzeného poludníkmi λ 1, λ rovnobežkmi 1,, by sme dostli integráciou rovnice (1.76) v medzich λ 1, λ 1,. Ploch s počít od rovník ( 0) po rovnobežku 1, resp. : P 0 λ ( 1 e ) cos( 1 e ) λ1 0 ddλ ( 1 e )( λ λ1 ) cos( 1 e ) Počítná ploch P je 0 1 0 0 d. (1.77) P P P (1.78) Eliptický integrál n prvej strne rovnice (1.77) je možné (podobne ko u dĺžky oblúk meridiánu) riešiť dvojkým spôsobom: 1. rozvinutím funkcie ( ). numerickou integráciou n PC. cos 1 e do rdy podľ binomickej vety lebo 6

1.3.10 Normálové rezy geodetická čir n referenčnom elipsoide Medzi dvom bodmi n referenčnom elipsoide P 1 P s rôznymi geodetickými šírkmi dĺžkmi existujú dv normálové rezy (obr. 1.19). Obr. 1.19. Normálové rezy n elipsoide medzi dvom bodmi Normál n 1 k elipsoidu v bode P 1 pretne jeho mlú os v bode V 1, normál n v bode P v bode V. Rovin určená bodmi P 1 V 1 P obshuje ted normálu n 1. Je to normálová rovin v bode P 1, ktorá prechádz bodom P. Táto rovin pretín rotčný (referenčný) elipsoid v primom normálovom reze s 1. Normálová rovin, obshujúc normálu n bod P 1 preto pretne elipsoid v spätnom normálovom reze s. Primy spätný normálový rez sú vzájomné normálové rezy (obr.1.19). Vzájomné normálové rezy splynú v jedinú čiru, k leži body P 1 P n rovnkom poludníku lebo n rovnkej rovnobežke. Geodetická čir - njkrtši spojnic dvoch bodov n ploche - je tká čir, ktorej hlvná normál je v kždom bode totožná s normálou plochy. Jej geodetická krivosť (krivosť prvouhlého priemetu dĺžkového elementu geodetickej čiry n dotykovú rovinu plochy vo zvolenom bode) je rovná nule. Z tejto definície geodetickej čiry je zrejmé, že normálové rezy nie sú geodetickými čirmi n elipsoide, pretože táto definíci pltí len pre východiskové body. Obr.1.0. Geodetická čir normálové rezy Medzi dvom bodmi n elipsoide existujú vo všeobecnosti dv normálové rezy, le len jedn geodetická čir s (obr. 1.0). Riešenie geodetických trojuholníkov n rotčnom elipsoide (obr. 1.1), bude jednoznčné len vtedy, k spojíme ich vrcholy geodetickými čirmi, pretože si treb uvedomiť, že zámerné roviny pri merní teodolitom pretínjú elipsoid v normálových rezoch ted merné uhly zimuty s vzťhujú k normálovým rezom. Preto s tieto uhly zimuty redukujú z normálových rezov n geodetické čiry. N guli je geodetickou čirou hlvná kružnic tzv. ortodróm, v rovine je to primk. 7

Vlstnosti geodetickej čiry Obr.1.1. Elipsoidický trojuholník 1. Pre geodetickú čiru n ľubovoľnej rotčnej ploche pltí Clirotová vet: Pre kždý bod určitej geodetickej čiry je súčin príslušného polomeru rovnobežky (obr. 1.16) sínusu zimutu hodnot konštntná ( r α N cos α konst. k. (1.79) i i i i i. Geodetická čir pretín poludníky pod dvom zimutmi, ktoré k sú rovnké, jeden merime od severnej vetvy, druhý od južnej vetvy poludník (obr. 1.). Obr. 1.. Azimuty geodetickej čiry 3. Geodetická čir, ktorá spáj body P 1 P všeobecne prebieh medzi obidvom normálovými rezmi s 1 s (obr. 1.0). Uhol ν medzi primym normálovým rezom s 1 geodetickou čirou je prkticky rovnký ko uhol medzi spätným normálovým rezom s geodetickou čirou rovná s tretine uhl ω medzi obidvom normálovými rezmi: ν ω 3. (1.80) Vo zvláštnych prípdoch, keď sú obidv koncové body n rovnkej rovnobežke, normálové rezy splynú do jedného rezu, všk geodetická čir prebieh mimo nich. Priebeh čir v obecnom sférickom trojuholníku A, B, C je schémticky znázornený n obr. 1.1. Tenšími čirmi sú vykreslené normálové rezy, hrubšími čirmi geodetické čiry medzi vrcholmi sférického trojuholník. 1.4 Referenčná guľ Riešenie geodetických krtogrfických úloh si môžeme podsttne zjednodušiť tým, že s čsť plochy referenčného elipsoidu nhrdí guľou, tzv. referenčnou guľou. Njčstejšie s nhrdzuje plochou gule so stredným polomerom krivosti R MN. Npríkld pre bývlé územie Československ s čsto používl guľ o polomere, ktorý s rovná strednému polomeru krivosti pre 8

strednú zemepisnú šírku m 55 g (49 30 ). Pri riešení elipsoidických trojuholníkov má guľ náhrdný polomer rovný strednému polomeru krivosti elipsoidu pre ťžisko trojuholník. N rozdiel od elipsoidu má guľ konštntnú krivosť všetky jej normály s pretínjú v strede gule. Normálové roviny prechádzjú stredom gule pretínjú ju v hlvných kružnicich o polomere R. Oblúk, ktorý spáj dv body n guli (njkrtši spojnic - geodetická čir) je ortodróm. Dĺžk ortodrómy s s vyjdruje pomocou stredového uhl (s / R) ρ, kde ρ je rdián, uhlu 3 cc (1") prislúch dĺžk si 31 m. Loxodróm je krivk, ktorá pretín poludníky pod konštntným zimutom. Oblúky hlvných kružníc (ortodróm), ktoré spájjú tri body n guli vytvárjú sférický trojuholník. Súrdnicovým systémom n referenčných guľových plochách je sústv sférických zemepisných súrdníc (obr. 1.3) S G (, λ, V), kde S G je stred referenčnej gule, je sférická zemepisná šírk, λ je sférická zemepisná dĺžk, V je sférická výšk. 1.4.1 Sférický exces Obr.1.3. Sférické súrdnice Súčet vnútorných uhlov sférického trojuholník je vždy väčší ko 00 g (180 ) o hodnotu, ktorú nzývme sférický exces oznčujeme ε. Hodnot excesu závisí n veľkosti trojuholník doshuje 3 cc (1") v trojuholníku so strnmi približne 0 km (v trojuholníku so strnmi 1 km je sférický exces 0,01 cc ). ε A + B + C - 00, (1.81) kde A, B C sú merné uhly. N referenčnej guli s polomerom R vypočítme sférický exces zo vzťhu ε cc cc P ρ R, (1.8) kde P je ploch trojuholník. Rovnicu (1.8) dokážeme tkto: N obr.1.4 je znázornený sférický, trojuholník s vrcholmi Q A, Q B, Q C dĺžkovo vyjdrenými strnmi, b, c tk, že strn c leží v rovine ppier. Plochu 9

tohoto trojuholník oznčme P. Z obrázku sú zrejmé ďlšie tri sférické trojuholníky: Q A Q B Q C s plochou P 1, Q A Q B Q C s plochou P, Q B Q A Q C s plochou P 3, ktoré s s trojuholníkom Q A,Q B,Q C doplňjú n tri sférické dvojuholníky s uhlmi A, B C. Ploch celej gule P G 4π R. Plochy jednotlivých dvojuholníkov (pre uhly vyjdrené v gonoch) budú Obr. 1.4. Sférický trojuholník P P P A B C 4π R P + P1 400 P + P P + P 3 4π R 400 4π R 400 A B g g C,, g. Po spočítní týchto rovníc dostneme P + (P + P 1 + P + P 3 ) π R 00 ( A + B + C). (1.83) Súčet plôch trojuholníkov v zátvorke n ľvej strne rovnice (1.83) dáv plochu pologule πr tkže môžeme písť: P + πr π R 00 Po úprve dostneme P π R 00 ( A + B + C). 6444 7ε 4448 ( A + B + C 00). (1.84) Výrz v zátvorke je sférický exces, tkže ho môžeme vyjdriť: ε 00 P π R. Pretože 00/π ρ (rdián) npíšeme výsledný vzorec v tvre 30

P ε ρ R, (1.85) k dosdíme rdián v grádových sekundách ρ cc 63660 cc pltí rovnic (1.8). 1.4. Riešenie elipsoidických sférických trojuholníkov Pri bežných tringulčných prácch súvisicich s riešením elipsoidických trojuholníkov (s < 60 km) povžujeme tieto trojuholníky z sférické n referenčnej guli s polomerom rovným strednému polomeru krivosti R MN pre strednú zemepisnú šírku ( QA + QB + QC ) 3. Všeobecné vzorce sférickej trigonometrie nie sú z prktického hľdisk vhodné pre riešenie týchto trojuholníkov (strny sú vyjdrené v uhlovej miere sú veľmi mlé vzhľdom k polomeru gule; výpočty je potrebné vykonávť s veľkým počtom destinných miest), preto s sférické trojuholníky rieši zvláštnymi metódmi: excesovou dimentovou metódou. Excesová metód je zložená n Legendreovej vete: Sférický trojuholník môžeme v geodézii riešiť ko rovinný s rovnkými strnmi, k zmenšíme kždý jeho uhol o tretinu excesu. Ak je npr. dná strn sférického trojuholník, obr. 1.14, vypočítme jeho strny b c so sínusovej vety : b : c A : B : C, (1.86) kde A A - ε 3, B B - ε 3, C C - ε 3. (1.87) Aditmentov (Soldnerov 190) metód Pri tejto metóde má náhrdný rovinný trojuholník dv uhly rovnké ko sférický trojuholník (obr. 1.5). Obr. 1.5 Sférický rovinný trojuholník Vo sférickom trojuholníku je súčet uhlov väčší ko 180 o sférický exces. Náhrdný rovinný trojuholník má rovnké uhly α, β le má krtšie strny, b. Podľ sférickej sínusovej vety n guli o polomere R pltí A B R. (1.88) b R V náhrdnom rovinnom trojuholníku je sínusová vet A B. (1.89) b 31

Rovnice (1.88) (1.89) porovnáme funkcie R 3 5 x x + 3! 5! b rozvinieme do rdu podľ Mc R 7 3 5 7 x x x x +... x + + 7! 6 10 5040 Lurin. Rozvoj funkcie x má tvr x x. N vyjdrenie rozvoj funkcie sínus postči prvé dv členy b R b R 3 6R 3 b 6R 3 3 3 6R 3 b b 6R. (1.90) Z rovnice (1.90) vyplýv, že strny v náhrdnom rovinnom trojuholníku mjú hodnoty 3 6R 3 b b b. (1.91) 6R Druhé vetné členy v rovnicich (1.91) predstvujú lineárny ditment (prídvok). Pri riešení sférického trojuholník, k máme dnú strnu uhly A, B potrebujeme vypočítť 3 strnu b, od strny sférického trojuholník odpočítme hodnotu lineárneho ditmentu. 6R 3 6R. (1.9) Potom zo sínusovej vety môžeme vypočítť strnu b b B. A Strnu b vypočítme tk, že k strne b pripočítme príslušný lineárny ditment b 3 /6R 3 b b b + 6R. Hodnoty lineárneho ditmentu v S JTSK pre R 6 380 703,6105 sú uvedené v tb. 1.1. Lineárny ditment Tb. 1.1 (1.93) s 10 km 0 km 30 km 40 km 50 km 75 km 100 km S 3 /6R 4,1 mm 3,7 mm 110,5 mm 6,0 mm 511,7 mm 177,0 mm 4093,7 mm Ak dĺžky s sú krtšie ko 10 km vyždujeme presnosť výpočtov n cm, vtedy výpočty vo sférickom trojuholníku riešime ko úlohy v rovinnom trojuholníku. Excesová metód je vhodná n výpočet dĺžok strán v trojuholníkoch, keď je dná jedn strn uhly. Aditmentová metód je vhodná n výpočet dĺžok v trojuholníkových reťzcoch, keď bol dná východisková strn keď ide o výpočet koncovej strny. Vtedy počítme len ditment východiskový koncovej strny. Aditmenty osttných strán reťzc nie je potrebné počítť. 3

Príkld 1: Úlohou je určiť stredný polomer krivosti pre ťžisko elipsoidického trojuholník (Besselov elipsoid). Dné sú geodetické šírky vrcholov trojuholník Meridiánový, priečny i stredný polomer krivosti určite výpočtom kontrolu vykonjte určením stredného polomeru krivosti z tbuliek. ) Výpočtom: Prmetre Besselovho elipsoidu sú: 6 377 397,155 m, ( b 6 356 078,963 m, e 0,006 674 37. Stredná geodetická šírk: + + ) 3 56,0118 g. Meridiánový polomer krivosti: M ( 1 e ) ( 1 e ) 3 Priečny polomer krivosti: N 1 e s A B C 6 37 684 m, 6 390 074 m. Stredný polomer krivosti: R MN 6 381 373 m. b) Z tbuliek: Kontrolu výpočtu stredného polomeru krivosti sme vykonli pomocou Schreiberových tbuliek (J.Ryšvý: Vyšší geodesie). Pre prácu s týmito tbuľkmi prevedieme s g z gónov n šesťdesitinné o delenie t.j. stupne minúty s 50 4,64. (Góny n stupne prevedieme vynásobením 0,9-56,0118. 0,9 50,4106 o, čsť z destinnou čirkou prevedieme n minúty vynásobením 0,6-0,4016. 0,6 4,64 ). log R pre 50 0 6,804 91 360 pre 4,64 53 pre 50 4,64 6,804 91 413 R 6 381 373 m. 33

Príkld : Úlohou je vypočítť dĺžku strny n Besselovom elipsoide excesovou metódou. Dné sú uhly A 67,7598 g, B 54,5909 g strn c 60 079,63 m. Ide o ten istý elipsoidický trojuholník, ko v príklde 1. Hodnoty geodetických šírok preberieme. Pre ťžisko elipsoidického trojuholník vypočítme stredný polomer krivosti (preberieme ho z príkldu 1), vypočítme plochu trojuholník sférický exces pre referenčnú guľu. Oprvíme merné uhly nkoniec zo sínusovej vety vypočítme dĺžku n Besselovom elipsoide. Plochu P vypočítme ko v rovinnom trojuholníku: P c A B c A B C ( A + B) 1,704.10 9 m. Sférický exces: ε cc cc P ρ R 19,86 cc, (ρ cc 636 60 cc ). Pri plikácii excesovej metódy s dĺžky ponechjú uhly s zmenši o tretinu excesu: A A - ε 3 67,753g, B B - ε 3 54,59143g. Nkoniec dosdením do sínusovej vety (pre rovinný trojuholník) vypočítme dĺžku strny n elipsoide: B c 55 93,89 m. A 1.4.3 Riešenie zákldných geodetických úloh n guli Zákldné (tiež hlvné) geodetické úlohy sú definovné (pre guľu j elipsoid) tkto: I. zákldná geodetická úloh: Sú dné geodetické súrdnice 1, λ 1 bodu P 1, zimut α 1 dĺžk geodetickej čiry s 1 n bod P. Máme vypočítť geodetické súrdnice, λ zimut α 1 v bode P (obr. 1.5). II. zákldná geodetická úloh: Sú dné geodetické súrdnice 1, λ 1, λ bodov P 1 P. Máme vypočítť dĺžku geodetickej krivky s 1 obidv zimuty α 1 α 1 v dných koncových bodoch krivky. Vo sférickom trojuholníku (obr. 1.5) plti vzťhy podľ nsledovných vzorov: cos cos b cos c + b c cos A cos A cos B cos C + B C cos A C c Obr. 1.6. Sférický trojuholník 34

Riešenie: I. zákldnej geodetickej úlohy n guli v zemepisných súrdnicich N guli s polomerom R je dný bod P 1 ( 1,λ 1 ), dĺžk geodetickej krivky (ortodromy) σ medzi bodmi P 1 P jej zimut v bode P 1. Máme vypočítť súrdnice zimut v bode P (,λ,a ). Obr. 1.7. Zákldné geodetické úlohy n guli Vo sférickom polárnom trojuholníku P 1 P P s (obr. 1.6) pltí kosínusová vet cos σ R ( 90 ) cos( 90 1 ) cos + ( 90 1 ) cos A1 po úprve σ σ 1 cos + cos1 cos A1 (1.94) R R Ďlej je podľ sínusovej vety σ A R σ A 1 1, (1.95) λ ( 90 ) R cos A1 λ ( 180 A ) A A cos1 cos1 (1.96) cos σ / R Z rovnice (1.94) vypočítme, z rovnice (1.95) λ ďlej λ λ 1 + λ. Kvdrnty uhlov λ s urči výpočtom z kosínusových viet vo sférickom trojuholníku. σ R Riešenie II. zákldné geodetické úlohy n guli v zemepisných súrdnicich N guli s polomerom R sú dné zemepisné súrdnice bodov P 1 ( 1,λ 1 ) P 1 ( 1,λ 1 ). Máme vypočítť dĺžku oblúk geodetickej čiry (ortodromy) σ 1 medzi bodmi P 1 P zimuty A 1, A v týchto bodoch. Vo sférickom trojuholníku (obr. 1.6) plti Neperove nlógie b cos A + B C tg cotg, + b cos 35

b A B tg + b C cotg. Všeobecne pltné vzťhy goniometrických funkcií sú: cos(-α) cosα, (-α) -α, tg (-α) -tgα, cotg(-α) -cotgα, tg(+90 ) -cotg, tg(α-90) -cotgα, cos(90-). Pre uhly ( A ( )) 1 + 180 A vo sférickom trojuholníku (obr. 1.6) pltí ( 90 ) 90 1 cos A1 A + 180 λ tg cot g, 90 1 + 90 cos 1 cos A1 A cot λ g.cot g, 1 + 1 + A A1 λ tg tg. (1.97) 1 cos Pri odvodení rovnice (1.93) sme použili úprvy: A1 A A A1 cot g cot g, cos cos ( ) 1 1 1 cos cos ( 180 ( + )) ( + ) 1 1 Pre uhly ( A ( )). 1 180 A vo sférickom trojuholníku (obr. 1.6) pltí, 36

( 90 ) 90 1 A + A 180 tg 90 + 90 1 cot g 1 λ A cot g 1 1 + A 1 + cos λ.cot g 1 + cos, 1 λ.cot g /. 1 1 + cos A1 + A λ tg tg (1.98) 1 Pri odvodení rovnice 1.94 sme použili úprvy: 1 1. Ľvé strny rovníc (1.97) (1.98) vypočítme z funkcií rctg prvých strán rovníc. Súčtom rozdielom uprvených rovníc 1.97 1.98 vypočítme neznáme uhly A 1 A. A A1 A + A1 A +, A + A1 A A1 A1 A ± 180. (1.99) A Podľ sínusovej vety je ďlej ( 90 1 ) ( 180 A ) σ λ λ R ( 90 ) A 1. Po úprve, keď sme použili ((180 - A )) A dostneme σ R cos A 1 λ λ. (1.100) cos A 1 Z rovníc 1.100 vypočítme σ/r v uhlovej miere; dĺžk oblúk (strny) v dĺžkovej miere je σ R σ. (1.101) R ρ Kvdrnty zimutov A 1, A kldný lebo záporný zmysel dĺžky σ s zvyčjne určuje n mpe, n globe lebo z vhodného obrázk. 37