Matematika Elementárny kalkulus Úvod Prehl ad. Tieto poznámky obsahujú podklady k prednáške Matematika na špecializácii Aplikovaná informatika: jedná sa o 2 dvojhodinových prednášok doplnených dvojhodinovými cvičeniami (ich členenie nie je definitívne). Poznámky obsahujú nasledujúce témy:. Reálne čísla 2. Elementárne funkcie 3. Limita číselnej postupnosti, číselné rady 4. Limita funkcie, spojitost a derivácia 5. Využitie derivácií: L Hospitalovo pravidlo, priebeh funkcie, Taylorov rozvoj funkcie 6. Integrovanie a jeho aplikácie: Neurčitý integrál, určitý integrál, obyčajné diferenciálne rovnice Motivácia. Aj ked v informatike sa pracuje najmä metódami diskrétnej matematiky a algebry, je vel mi užitočné ovládat aj základy analýzy a geometrie. Tieto aspekty sa prejavujú najmä v aplikáciách numerických a informatických metód. Často treba skúmat, simulovat alebo modelovat rôzne procesy, zobrazovat ich alebo prenášat do virtuálneho sveta počítačov. Na doplnenie treba uviest, že aj v rámci diskrétnej matematiky, pri formuláciách
2 problémov alebo ich analýze je užitočné mat základné vedomosti zo "spojitej matematiky". Zvyčajne, alebo aspoň vel mi často, skúmaný problém má svoj matematický alebo fyzikálny popis v rámci "klasickej" analýzy a geometrie. Ciel om prednášok Matematika je dat nevyhnutné základy analýzy a naučit sa ich aj prakticky využívat (podobne predmet Matematika 2 bude poskytovat základné poznatky z lineárnej algebry). Pojmový aparát bude preto budovaný len v nevyhnutnej miere. Dôraz bude kladený na praktické ovládanie metód, t.j. priebežné precvičovanie naučených poznatkov, riešenie najprv jednoduchých a potom (trochu) zložitejších problémov. Poznámka: Ospravedlňujem sa za preklepy, ktoré budú postupne odstraňované. Upozorňujem na to, že v texte sa používajú štandartné označenia goniometrických a cyklometrických funkcií, kým v obrázkoch sa to LATEXove označenia: Funkcia Text Obrázky tangens tg x tan x cotangens tg x cot x arctangens arctg x arctan x arccotangens arccotg x
3 Literatúra. Učebnice.. I. Kluvánek, L. Mišík, J. Švec: Matematika pre štúdium technických vied, Alfa, Bratislava, 96. 2. Ch. B. Morrey, jr: University Calculus with Analytic Geometry, Addison-Wesley Publ. Comp., 964. 3. J. B. Zel dovič: Vyššia matematika pre začiatočníkov, Alfa, Bratislava, 973. Zbierky úloh.. Z. Kubáček, J. Valášek: Cvičenia z matematickej analýzy I a II, skriptum UK Bratislava, 994. 2. J. Eliáš, J. Horváth, J. Kazan: Zbierka úloh z vyššej matematiky, 2. čast, Alfa, Bratislava, 966. 3. B. P. Demidovič: Sbornik zadač i upražnenij po matematičeskomu analizu, Nauka, Moskva, 977. Prehl ady.. I. N. Bronštejn, K. A. Semend ajev: Príručka matematiky, SNTL, Bratislava, 96. 2. Malá encyklopédia matematiky, Obzor, Bratislava, 978.
4 Hodnotenie predmetu. Výsledné hodnotenie sa skladá z priebežného hodnotenia a záverečného hodnotenia v pomere 50:50.. Priebežné hodnotenie 20 + 20 + 5 bodov "Malé" testy na cvičeniach (0 2)... 20 bodov "Vel ké" testy v strede a na konci semestra (2 0)... 20 bodov Aktivita na cvičeniach... 5 bodov 2. Záverečné hodnotenie 35 + 20 bodov Písomný test (treba získat aspoň 0 bodov)... 35 bodov Ústna skúška... 20 bodov 3. Známkovanie je rozrátané na 50 + 50 bodov (5 + 5 bodov je bónus za cvičenia a záverečný test): 9 bodov... A 8-90 bodov... B 7-80 bodov... C 6-70 bodov... D 5-60 bodov... E 50 bodov... Fx Kto zo všetkých písomných testov počas semestra a zo záverečného testu nezíska viac ako 30 bodov (z možných 90) nebude pripustený k ústnej skúške. Zlepšenie hodnotenia podl a písomných testov je dané počtom bodov získaných na skúške. Zlý výsledok ústnej skúšky môže znamenat zhoršenie známky o stupeň oproti hodnoteniu podl a písomných testov.
Chapter Reálne čísla Budeme predpokladat, že intuitívny pojem množiny a základných operácií s nimi sú známe. Zopakujme si ich: (i) Množina A je súbor určitých objektov, pričom o každom objekte vieme rozhodnút či do nej patrí alebo nie. Obyčajne budeme postupovat tak, že objekty patriace do množiny jednoducho vymenujeme A = {a,b,...,z}, alebo do zátvoriek {...} napíšeme presnú charakteristiku objektov patriacich do množiny. Ak objekt a patrí do A, tak píšeme a A. A B A B Zjednotenie A B Prienik A B Obr. a,b,c B A A je podmnožinou B A B 5
6 CHAPTER. REÁLNE ČÍSLA (ii) Zjednotenie A B dvoch množín A a B je súbor objektov patriacich aspoň do jednej z množín A a B: A B = {všetky x také, že x A alebo x B}; Prienik A B dvoch množín A a B je súbor objektov patriacich do oboch množín A a B súčasne: A B = {všetky x také, že x A a súčasne x B}. Podmnožina. Množina A je podmnožinou množiny B, ak každý prvok množiny A patrí aj do množiny B. Samozrejme, množina B môže mat aj rôzne d al šie prvky, (pozri Obr. ). Množina celých čísiel. Začnime náš výklad množinou celých čísiel Z = {0, ±, ±2,...}, na ktorej je definované sčítanie (n,m) n + m a násobenie (n,m) n.m s obvyklými vlastnost ami (i) komutatívnost súčtu a súčinu: n + m = m + n, n.m = m.n, pritom n + 0 = n,.n = n ; (ii) asociatívnost súčtu a súčinu: n + (m + k) = (n + k) + m, n.(m.k) = (n.m).k, (iii) distributívnost súčtu a súčinu: n.(m + k) = n.m + n.k. (iv) záporný prvok: rovnica n + x = 0 má práve jedno riešenie x = n. Množina s vlastnost ami (i)-(iv) sa nazýva okruh. Teda množina celých čísiel Z je okruh. Čísla Z + = {+, +2,...} sa nazývajú kladné celé čísla, pričom miesto +, +2,... jednoducho píšeme, 2,...; čísla Z = {, 2,...} sú záporné
7 celé čísla. Miesto n + ( m) sa zvykne písat n m. Poznamenajme, že platí n = ( ).n, podobne n = ( n). Ak platí (n m) Z + hovoríme, že číslo n je väčšie ako číslo m, zapisuje sa to ako n > m (prípadne m < n - m je menšie ako n): pre l ubovol né dve rôzne celé čísla platí bud n > m alebo m > n, ak n > m a m > k potom n > k. To znamená, že množina celých čísiel je lineárne usporiadaná. Číslo n + je nasledovník čísla n (najbližšie celé číslo väčšie ako n). Matematická indukcia. Čísla N = {0, +, +2,...} sa nazývajú prirodzené čísla. Množina prirodzených čísiel N je najmenšia množina, ktorá má nasledujúce dve vlastnosti: (i) 0 N, (ii) Ak n N potom aj n + N. Táto vlastnost je základom overovania formúl (dôkazu vzorcov) závislých na prirodzenom čísle n pomocou metódy matematickej indukcie: (i) Overíme formulu S n pre n = 0, (ii) Za predpokladu, že platí S n dokáže sa platnost S n+. Príklad: Overit pomocou matematickej indukcie súčtovú formulu pre konečný aritmetický rad S n = n k=0 n 0 + + 2 +...n = n(n + ). 2 Riešenie: (i) Pre n = 0 máme S 0 = 0, čo je zrejme správne; (ii) Pre súčet
8 CHAPTER. REÁLNE ČÍSLA S n+ postupne dostaneme: S n+ = S n + (n + ) = 2 n(n + ) + (n + ) = (n + )(n + 2). 2 Posledný výraz je presne súčtový vzorec pre n + : za predpokladu jeho platnosti pre n, overili sme ho pre n +. Základom úspešného výsledku bola už správna formula pre S n, my sme len overovali, že naozaj je správna. Keby sme nemali správnu formulu k dispozícii, museli by sme ju "uhádnut " alebo odvodit. V danom prípade to ale nie je t ažké: S n = 0 + + 2 +...n = [(0 + + 2 + + n) + (n + n + + + 0)] 2 2 [(0 + n) + ( + n ) + + (n + 0)] = n(n + ). 2 Množina racionálnych čísiel. Množinu racionálnych čísiel Q tvoria triedy ekvivalencie dvojíc celých čísiel (n, m), m 0, ktoré budeme zapisovat ako zlomky n m (prípadne v texte ako n/m): zlomky n/m a n /m sú ekvivalentné ak platí n m = n m ak nm = mn. (.) Toto napríklad nastane ak n = n.k a m = m.k, t.j. n m = n.k m.k. Teda zlomky môžeme krátit : vždy možno vykrátit čitatel a n aj menovatel a m tak, že n a m nesúdelitel né. Naopak, niekedy môže byt vhodné zlomky rozširovat.
Ak zlomok n/ (presnejšie s ním ekvivalentnú triedu) identifikujeme s číslom n Z, tak množina celých čísiel Z bude podmnožinou množiny racionálnych čísiel Q. Poznamenajme, že platí n m = n. m = m.n, 9 n m = n m = ( ). n m = n m. V množine racionálnych čísiel Q definujeme sčítanie a násobenie zlomkov nasledovne: n m + p q = n.q + m.p m.q, n m.p q = n.p m.q. (.2) Množina racionálnych čísiel je pole, t.j. pre operácie sčítania a násobenia zlomkov platí: (i) komutatívnost súčtu a súčinu: r + s = s + r, r.s = s.r, (ii) asociatívnost súčtu a súčinu: r + (s + t) = (r + s) + t, r.(s.t) = (r.s).t, (iii) distributívnost súčtu a súčinu: r.(s + t) = r.s + r.t, (iv) záporný prvok: ku každému racionálnemu číslu r = n/m existuje práve jedno racionálne číslo x = r = n/m, ktoré rieši rovnicu r + x = 0, (v) inverzný prvok: ku každému nenulovému racionálnemu číslu r = n/m 0 existuje práve jedno racionálne číslo y = r = m, ktoré rieši n rovnicu r.y =. Teda množina racionálnych čísiel je okruh s vlastnost ami (i)-(iv) a má ešte jednu dôležitú vlastnost (v) naviac. Takáto množina sa nazýva teleso.
0 CHAPTER. REÁLNE ČÍSLA Znázornenie celých a racionálnych čísiel. Celé čísla budeme znázorňovat ako body na číselnej osi: nakreslíme si priamku a na nej zvolíme počiatok - bod n = 0, smerom doprava (dol ava) v jednotkovej vzdialenosti od počiatku vyznačíme bod + ( ), dvojkovej vzdialenosti smerom doprava (dol ava) vyznačíme bod +2 ( 2), atd. (pozri Obr. 2a). 2-4 -3-2 - 0 2 3 4 5 Číselná os s celými číslami Obr. 2 a,b 3 0 2 Konštrukcia racionálneho čísla r = 3 Zlomku n/m, m 0, jednoduchou geometrickou konštrukciou priradíme bod na číselnej osi: Nakreslíme dve na seba kolmé číselné osi - na "vodorovnú" číselnú os nanesieme hodnotu n (čitatel a) a kolmú číselnú os nanesieme hodnotu m 0 (menovatel a). Nanesenými bodmi vedieme priamku p a bodom + na kolmej osi s ňou rovnobežnú priamku p ; priamka p pretne vodorovnú os práve v bode n/m. Ak je zlomok kladný priesečník odpovedajúci racionálnemu číslu n/m je napravo od bodu 0 na vodorovnej osi, ak je záporný je od bodu 0 nal avo. Toto
priradenie bodu na číselnej osi racionálnemu číslu má tú príjemnú vlastnost, že ekvivalentným zlomkom je priradený ten istý bod. Iné možné vyjadrenie celého čísla n je jeho zápis v dekadickom zápise pomocou číslic 0,,...,9: kladné k-ciferné číslo AB...Z, A 0, je zadané ako n = A.0 k + B.0 k +... Z. Teraz racionálnemu číslu r = n/m priradíme dekadický zápis príslušného podielu dvoch celých čísiel (vypočítaný pomocou bežného algoritmu). Ilustrujme si tento postup na niekol kých jednoduchých zlomkoch tvaru /m: (a) = : 2 = 0, 500... = 0, 50. Po prvom delení máme nulový 2 zvyšok a d al šie delenie by dávalo len samé 0; (b) = : 3 = 0, 333... = 0, 3. Ako je zvykom, opakujúce sa 3 číslo alebo skupina čísiel v podieloch (a) aj (b) je v poslednom zápise vyznačená čiarou nad opakujúcim sa súborom čísiel (0 sa nezvykne explicitne vyznačovat ); (c) = : 7 = 0, 4285742857... = 0, 42857. V tomto prípade 7 máme postupne zvyšky po delení:, 4, 2, 8, 5, 7, potom sa objaví opät a zvyšky sa začnú opakovat. Je si treba uvedomit, že je to nevyhnutné: všetky zvyšky po delení musia byt menšie ako m = 6 a nanajvýš po šiestich krokoch musia sa objavit dva rovnaké zvyšky a nastane opakovanie. Rovnaký argument platí pre l ubovol ný zlomok: každému číslu r = n/m Q je priradený dekadický rozvoj s periódou na konci r = A...B,C...DE...F: čast dekadického rozvoja pred desatinnou čiarkou sa nazýva celou čast ou čisla r a značí sa [r] = A...B, za desatinnou čiarkou môže byt najprv neperiodická čast C...D, po
2 CHAPTER. REÁLNE ČÍSLA ktorej nasleduje perióda E...F nanajvýš dĺžky m, perióda 0 sa explicitne nevyznačuje; číslo A...B,C...D9 s D < 9 sa identifikuje s číslom A...B,C...D s poslednou číslicou D = D+. Napríklad, 0, 9 = alebo 2, 9 = 2, 2. Príklad: Konečný geometrický rad je definovaný ako súčet S n = n q n + q +...q n. k=0 Dokážte súčtovú formulu S n = qn+ q, pre q 0. Riešenie: Vyjdeme jednak zo vzt ahu S n+ = = + q +...q n+ = S n + q n+, a tiež zo vzt ahu S n+ = + q +...q n+ = + q( + + q n ) = + q.s n. Porovnaním, pravých strán obdržíme hl adaný súčtový vzorec. Poznámka : V prípade q < je užitočné prepísat súčtový vzorec geometrického radu takto: S n = qn+ q = q qn+ q,. Pre vel ké n druhý člen bude malý (napríklad, ak q = 0 k, prvý člen dá číslo, ktoré ktoré sa bude líšit od S n nanajvýš na k-tom desatinnom mieste). Toto
motivuje nasledujúcu definíciu: Pri q < súčet nekonečného geometrického radu je rovný S(q) + 2 +... = 3 q, q <. (.3) K súčtovému vzorcu (.3) pre nekonečný geometrický rad sa vrátime neskôr. Poznámka 2: Aplikujme teraz súčtový vzorec pre nekonečný geometrický rad na číslo zadané v dekadickom zápise r = A...B,C...DE...Fr = A...B,C...D + 0, 0...0E...F. Číslo A...B,C...D je evidentne racionálne, ukážme že taká je aj jeho periodická čast 0, 0...0E...F (počet núl za desatinnou čiarkou sa rovna počtu cifier C...D). Ako a = 0, 0...0E...F označíme prvú čast periódy, jej druhá čast bude a.q, tretia a.q 2, atd ; tu q = 0 k, kde k je rovné počtu cifier v perióde E...F. Podl a súčtového vzorca periodická čast je rovná racionálnemu číslu: 0, 0...0E...F = a.( + q + q 2 +...) = a q. Lineárne usporiadanie racionálnych čísiel.v d al šom bez ujmy na obecnosti racionálne číslo berieme s kladným menovatel om v tvare r = n/m, m > 0: Racionálne číslo r je kladné r > 0 ak n > 0; r je záporné r < 0 ak n < 0; (kladné resp. záporné racionálne čísla sa zobrazujú sa kladnú pravú čast resp. zápornú l avú čast číselnej osi); Hovoríme, že r Q je väčšie s = Q práve ak r s > 0, zapisujeme to ako r > s. Číslo r je menšie ako s ak s r > 0, zapisujeme to ako r < s alebo s > r;
4 CHAPTER. REÁLNE ČÍSLA Pre l ubovol né dve rôzne racionálne čísla r a s platí bud r > s alebo s > r; usporiadanie je tranzitívne: ak r > s a s > t potom r > t; Množina racionálne čísiel je hustá: medzi dvoma racionálnymi číslami r > s vždy existuje racionálne číslo t také, že r > t > s. Ak r > s a t > 0 potom r.t > s.t; ak r > s a t < 0 potom r.t < s.t; špeciálne pre r > s dostaneme r < s. Teda množina racionálnych čísiel Q je lineárne usporiadané teleso: na číselnej osi menšie racionálne číslo je nal avo od väčšieho, kladné resp. záporné racionálne čísla sa zobrazujú sa kladnú pravú čast resp. zápornú l avú čast číselnej osi. Poznámka: Vzt ah r > s sa nazýva ostrá nerovnost. Neostrá nerovnost r s znamená r > s alebo r = s; analogicky r s znamená r < s alebo r = s. Množina reálnych čísiel. Množinu racionálnych čísiel je potrebné rozšírit aby bolo možné riešit (niektoré) algebraické rovnice. Ako príklad uvažujme rovnicu x 2 = 2. Predpokladajme, že jej riešením je racionálne číslo x = n/m Q s nesúdelitel nými n,m Q (t.j. vykrátili sme všetky spoločné faktory v n a m). Po dosadení do rovnice dostaneme n 2 m 2 = 2 alebo n 2 = 2m 2. Pravá strana je párne číslo a preto musí byt n = 2k. Po dosadení do posled-
5 ného vzt ahu dostaneme 2k 2 = m 2, takže aj m musí byt párne: obe čísla n a m sú párne a prišli sme k sporu s ich predpokladanou nesúdelitel nost ou. Vidíme, že rovnica x 2 = 2 nemá racionálne riešenia. Pretože riešenie x rovnice x 2 = 2 nie je racionálne, jeho dekadický rozvoj nemôže byt s periódou na konci. Množinu reálnych čísiel R definujeme ako čísla, ktoré majú všeobecný dekadický rozvoj x = A...B,CD...: čísla s periódou na konci sú racionálne, ostatné čísla sú iracionálne. Poznámka: Čísiel v R je ovel a viac ako racionálnych čísiel Q. Dajú sa ale l ubovol ne presne aproximovat číslami z Q. Napríklad, stačí zobrat z dekadického rozvoja x = A...B,C...C n... R jeho celú čast a prvých n = číslic za desatinnou čiarkou, t.j. x n = A...B,C...C n Q. Zrejme 0 < x x n < 0 n. Podrobnejšie sa budeme takýmito otázkami zaoberat neskôr. Množina reálnych čísiel R je usporiadané pole: V R sú definované komutatívne asociatívne a vzájomne distributívne operácie sčítania a násobenia (vlastnosti (i)-(iii)); Rovnice x + a = 0 a by = (pri b 0), majú práve jedno riešenie x = a resp. y = b (vlastnosti (iv)-(v)); V R máme lineárne usporiadanie x > y x y > 0 s obdobnými vlastnost ami ako v množine racionálnych čísiel. Intervaly na reálnej osi. Ohraničené intervaly na reálnej osi sú podmnožiny R zadané dvomi reálnymi číslami a b ako: [a,b] = {x R; a x b} uzavretý interval,
6 CHAPTER. REÁLNE ČÍSLA [a,b) = {x R; a x < b} zhora otvorený polouzavretý interval, (a,b] = {x R; a < x b} zdola otvorený polouzavretý interval, (a,b) = {x R; a < x < b} otvorený interval. Okrem toho sa definujú zhora neohraničené intervaly: [a, ) = {x R; x a} zhora neohraničený uzavretý interval, (a, ) = {x R; x a} zhora neohraničený otvorený interval. Zdola neohraničené intervaly (,a] = {x R; x a} a (,a) = {x R; x > a} sú definované obdobne; nakoniec sa zvykne definovat neohraničený interval (zdola aj zhora) (, ) = R.
Chapter 2 Funkcie Hovoríme, že f je reálna funkcia na podmnožine D f R reálnej osi, ak každému x D f je priradené reálne číslo f(x) R. Píšeme, f : D f R, alebo x D f f(x) R. Množina D f sa nazýva definičný obor funkcie f a množina R f = {y = f(x);x D f } sa nazýva obor hodnôt funkcie f. Graf funkcie. V rovine (na papieri alebo tabuli) nakreslíme reálnu x- ovú os a jej počiatkom vedieme na ňu kolmú y-ovú os. Každý bod roviny bude takto charakterizovaný dvojicou reálnych čísiel [x;y] R R = R 2. Na x-ovej osi vyznačíme definičný obor a každému x D f priradíme reálne číslo y = f(x) na y-ovej osi. Množina dvojíc bodov G f = {[x;f(x)] R 2 } sa nazýva graf funkcie. 7
8 CHAPTER 2. FUNKCIE Prehl ad funkcií. Niektoré nelementárne funkcie. 3 y=[x] 3 y= x 2 2-0 2 3-2 - 0 2 - - y = ε(x) -2-0 2 3 - Obr. 3 a,b,c. Celá čast čísla [x] je definovaná ako najväčšie celé číslo n x, t.j. pre x [n,n + ) je [x] = n. Napríklad, pre číslo x = A...B,D... R máme [x] = A...B. 2. Abslútna hodnota x čísla x je definovaná takto: x = x pre x 0, x = x pre x 0, (2.)
9 Ekvivalentne, x = max{x, x} (najväčšie z čísiel x a x). 3. Znamienková funkcia (signum x) značieva sa ako ε(x) (alebo sgn(x)). Je definovaná takto: ε(x) = pre x > 0, ε(0) = 0, ε(x) = pre x < 0. (2.2) Jednoducho s ňou súvisí Heavisideova funkcia θ(x) = [ + ε(x)]. Grafy 2 funkcií [x], x a ε(x) sú na Obr. 3. *4. Pre prirodzené n symbol n! (n-faktoriál) je definovaný takto: 0! =, n! =.2.3...(n ).n. Gamma funkcia Γ(x) je definovaná pomocou integrálu Γ(x) = 0 dt e t t x, pre x > 0, (2.3) Možno ukázat, že pre prirodzené čísla platí Γ(n+) = n!. Teda Γ(x) rozširuje faktoriál na všetky reálne kladné čísla. Čo sa za týmto skrýva dozvieme sa koncom semestra. Elementárne funkcie. Celočíselné mocniny a polynómy. Funkcia x n, n je prirodzené číslo. Definičný obor funkcie je celá reálna os D = R: pre všetky x R kladieme x 0 (x 0 je funkcia identicky rovná ), kým pre prirodzené kladné číslo n kladieme x n = x...x, n-násobný súčin x-ov. (2.4)
20 CHAPTER 2. FUNKCIE Funkcia x n má nasledovné vlastnosti: Ak x 0 potom x n 0, x n.x m = (x...x).(x...x) = x n+m (v prvej zátvorke n-násobný a v druhej m-násobný súčin), (x n ) m = x n...x n = x nm (v druhom kroku máme m-násobný súčin x n ), (xy) n = x n y n, Binomický rozvoj. Platí formula (x + y) n = n ( n k)x k y n k, (2.5) k=0 kde ( n k) = n! k!(n k)!. (2.6) 3 y = x 2 y = x 3 3 2 2 y=x y = x 2-2 - 0 2-0 2 - Obr. 4 a,b - Grafy funkcií y = f(x) = x a y = g(x) = x 2 sú znázornené na Obr.4a: graf funkcie y = x je priamka prechádzajúca počiatkom, kým y = x 2 je parabola v hornej polrovine prechádzajúca počiatkom symetrická okolo y-
2 ovej osi. Graf funkcie y = x n pre x > 0 je podobný grafu funkcie y = x 2 (pozri Obr.4b, kde sú nakreslené grafy funkcií x 2 a x 3 ). Polynóm n-tého stupňa p(x). Je to funkcia na D = R zadaná formulou p(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0, (2.7) kde a 0,a,...,a n sú pevne dané reálne čísla, pričom a n 0. Funkcia x n. Jej definičný obor tvoria všetky nenulové body na reálnej osi D = {x R;x 0} = (, 0) (0, + ). Je definovaná ako riešenie rovnice y.x n =, x 0. (2.8) Pri x 0 vzt ahy x n 0, x n.x m = x n+m, (x n ) m = x nm, (2.9) platia pre l ubovol né celočíselné mocniny. Špeciálne, x n = x...x je n- násobný súčin x. Racionálna funkcia je definovaná ako podiel dvoch (reálnych) polynómov m-tého a n-tého stupňa: f(x) = p(x) q(x) (2.0) p(x) = a m x m +.. a x + a 0, (2.) q(x) = x n +.. b x + b 0 (2.2) (bez ujmy obecnosti sme položili b n = ). Aby sme určili definičný obor využijeme (bez dôkazu) tvrdenie z teórie algebraických rovníc, podl a ktorého
22 CHAPTER 2. FUNKCIE polynóm q(x) má nasledujúci rozklad: q(x) = (x x )...(x x l ).[(x c ) 2 +d 2 ]...[(x c k ) 2 +d 2 k], d 0,..,d n 0, (2.3) pričom n = l +2k (môže byt l = 0 alebo k = 0). Čísla x,...,x l R sú práve reálne korene polynómu q(x). Definičný obor racionálnej funkcie p(x) q(x) tvoria všetky reálne čísla nerovnúce sa koreňom polynómu q(x): D = {x R;x x,...,x x l }. Pokial, polynóm p(x) má nižší stupeň ako q(x) a q(x) má vyššie uvedený rozklad na koreňové faktory, tak racionálna funkcia p(x)/q(x) môže byt rozložená na parciálne zlomky takto: p(x) q(x) = a x x +... + a l x x l +... + α.x + β ) (x c ) 2 + d 2 +... + α k.x + β k ) (x c k ) 2 + d 2 Túto formulu možno dokázat matematickou indukciou.. (2.4) Zložená a inverzná funkcia. Zložená funkcia. Uvažujme dve reálne funkcie f : D f R, g : D g R, (2.5) pričom budeme predpokladat, že obor hodnôt funkcie f je podmnožinou definičného oboru funkcie g: R f = {y = f(x);x D f } D g. (2.6)
23 Ak R f D g, má zmysel na D f uvažovat zložené zobrazenie x f(x) g(f(x)), ktoré definuje zloženú funkciu g f : D f to R: (g f)(x) = g(f(x)), x D f. (2.7) Poznámka: Pokial, R f nie je podmnožinou D g, niekedy pomôže zúžit definičný obor D f funkcie f na podmnožinu D f D f, tak aby R f = {y = f(x);x D f } už bolo podmnožinou D g. Príklad.: Nech f(x) = x 3 a g(x) = x 2 + 2, potom zložená funkcia bude (g f)(x) = (x 3 ) 2 + 2 = x 6 2x 3 + 3. Pretože D g = R, definičný obor zloženej funkcie môže byt celá reálna os: D g f = R. Príklad 2.: Nech f(x) = x 2 a g(x) = x. Pretože D g = [0, + ), tak zložená funkcia (g f)(x) = x 2, bude mat definičný obor D g f = [, +]. Inverzná funkcia. Hovoríme, že funkcia y = f(x) je prostá na podmnožine D D f, ak pre jej dva l ubovol né rôzne body x a x 2 z D sú rôzne ich obrazy f(x ) a f(x 2 ): x,x 2 D, x x 2 f(x ) f(x 2 ).
24 CHAPTER 2. FUNKCIE Medzi x D a y R = {y = f(x);x D } máme jedno-jednoznačné priradenie x y = f(x): ku každému y R najdeme práve jedno x D, pre ktoré y = f(x). Príklad: Z grafov funkcie y = x a y = x 2 vidíme, že funkcia y = x je prostá na R, kým funkcia y = x 2 je prostá na [0, + ] (alebo [, 0]), ale nie je prostá na žiadnej väčšej podmnožine reálnej osi. y=g(x) y = x 2 y=f(x) y = x 0 Graf funkcie g(x) inverznej k f(x) Graf funkcie y = x 2 a inverznej y = x Obr. 5a,b K funkcii y = f(x) prostej na množine D, môžeme definovat na R = {y = f(x);x D } inverznú funkciu y = g(x), ktorá má nasledujúcu vlastnost : Bodu x = f(x) R prirad uje g(x ) = x. (2.8)
25 Vo všeobecnosti medzi funkciou a k nej inverznou platí: (g f)(x) = g(f(x)) = x, pre x D, (f g)(x) = f(g(x)) = x, pre x R. (2.9) Grafom inverznej funkcie je množina bodov G g = {[x ;g(x ) = [f(x);x]}, t.j. oproti G f je x-ová súradnicová os vymenená s y-ovou osou: G g dostaneme z G f tak, že graf G f otočíme okolo priamky y = x (pozri Obr. 5a). Odmocnina. Funkcia f(x) = x n, n N (n-á mocnine) je pre x 0 jednoznačne zobrazuje množinu D f = [0; + ) na R f = [0; + ) (pozri Obr. 5b). Preto existuje inverzná funkcia, ktorá sa nazýva n-tá odmocnina a značí sa ako g(x) = x n alebo g(x) = n x s definičným oborom D g = [0; + ) = R f. Teda platí: (x n ) n = x pre x 0, (x n ) n = x pre x 0. (2.20) Racionálna a reálna mocnina. Ked už máme definovanú odmocninu x n, x 0, tak môžme vypočítat mocninu čísla x > 0 na racionálne číslo r = m/n takto: x r = (x m ) n = (x n ) m. (2.2)
26 CHAPTER 2. FUNKCIE Oba spôsoby výpočtu x r dávajú rovnaký výsledok. Poznamenajme, že pokial exponent r > 0, tak uvedené formuly môžme použit aj pre x = 0 (pritom 0 r = 0). Pre racionálne mocniny platia vzt ahy x r.x s = x r+s, (x.y) r = x r.y r, (x r ) s = x rs, (2.22) ktoré zovšeobecňujú analogické vzt ahy platné pre celé čísla. Poznámka. Pretože, reálne čísla možno l ubovol ne presne aproximovat racionálnymi číslami, tak pojem mocniny x a kladného čísla x možno rozšírit aj na reálne exponenty a R. Formuly (2.22) pre x a.x b, (x.y) a, (x a ) b sú rovnaké ako pre racionálne exponenty. Presnejšia argumentácia vyžaduje pojem limity a bude uvedená neskôr. Exponenciálna funkcia a logaritmus. Exponenciálna funkcia.v definícii reálnej mocniny x a pre x > 0 a a R, vymeníme úlohy x a a a budeme uvažovat pri kladnom a > 0 exponenciálnu funkciu a x definovanú na celej číselnej osi x R. Táto funkcia spĺňa nasledujúci vzt ah (dôsledok prvej rovnice v (2.22)). a x.a y = a x+y, a > 0 pevne zvolené, (2.23) ktorý platí pre l ubol né reálne čísla x a y (číslo a sa nazýva základom a číslo x exponentom).
27 y = e x y=ln(x) 0 Obr. 6 Medzi exponenciálnymi funkciami význačné postavenie má Eulerova exponenta zadaná nekonečným radom: e x = + x! + x2 2! + x3 3! +... = n=0 x n n!. (2.24) Neskôr ukážeme, že exponenciálny rad má definovaný súčet pre všetky x R. Jeho základom je Eulerova konštanta e = e = +! + 2! + 3! +... = 2, 78282.... (2.25) Teraz sa formálne presvedčíme, že funkcia e x spĺňa požadovanú rovnicu Postupne máme: e x.e y = e x+y. (2.26) e x.e y = ( + x! + x2 2! + x3 3! +... ).( + y! + y2 2! + y3 3! +... ) = +! (x + y) + 2! (x2 + 2xy + y 2 ) + 3! (x3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 ) +...
28 CHAPTER 2. FUNKCIE = + (x + y)! + (x + y)2 2! + (x + y)3 3! +... = n=0 (x + y) n Na základe rovnice (2.26) tiež máme e x.e x = e x x = e 0 =, takže e x = e x = x! + x2 2! x3 3! n! = e x+y. +.... (2.27) Funkcia e x je rastúca a kladná na celej číselnej osi (jej graf je na Obr. 6): (i) Pretože, x > y > 0 implikuje x n > y n > 0, tak e x je rastúca pre x > 0, (ii) pre x < 0 to zase vyplýva zo vzt ahu e x = /e x. Funkcia e x nadobúda všetky kladné hodnoty: jej obor hodnôt je nevlastný interval (0, + ). Logaritmus. Prirodzený logaritmus ln x je definovaný ako funkcia inverzná k e x. Teda, funkcia lnx je definovaná pre x > 0, pričom: ln e x = x, x reálne, e ln x = x, x reálne a kladné. (2.28) Na celom svojom definičnom obore logaritmus je rastúca funkcia (pozri Obr. 6). Ďalej platí: ln (x.y) = ln x + ln y, ln (x a ) = a.ln x. (2.29) Teraz už l ahko vyjadríme l ubovol nú exponenciálnu funkciu a x pomocou Eulerovej exponenty a x = (e ln a ) x = e x.ln a. (2.30) Vidíme, že k tomu aby sme vypočítali a x stačí dosadit do vzorca pre e y preškálovaný argument y = x.ln a. Poznamejme ešte že, pre reálnu mocninu platí x a = e a.ln x.
29 Poznámka. Logaritmická funkcia redukuje násobenie dvoch reálnych čísiel a a b na sčítanie ich logaritmov ln a a ln b (podstata logaritmického pravítka): a.b = e ln a.e ln b = e ln a+ln b. Komplexné čísla Teleso reálnych čísiel R rozšírime o nový matematický objekt o imaginárnu jednotku i: jej sčítanie s reálnym číslom a násobenie reálnym číslom definujeme tak, že pre všetky reálne čísla a, b platí i + a = a + i, (i + a) + b = i + a( +b), i + 0 = i, (2.3) i.a = a. i, (i.a).b = i.a(.b),i. = i, (2.32) a( +b).i = a. i + b.i, i 2 =. (2.33) Posledný vzt ah i 2 = definuje násobenie imaginárnej jednotky samej so sebou a podstatne ju odlišuje od reálnych čísiel (pre ktoré vždy platí a 2 0). Definícia: Množinu komplexných čísiel C tvoria čísla tvaru c = a + b.i, a,b reálne čísla. V tejto formuli imaginarna jednotka i má vlastnosti (2.3)-(2.33). Súčet c+c a súčin c.c dvoch komplexných čísiel c = a+b.i a c = a +b.i sú definované vzt ahmi: c + c = (a + a ) + (b + b ).i,
30 CHAPTER 2. FUNKCIE c.c = (a.a b.b ) + (a.b + a.b).i. Poznámky: ) Ku každému komplexnému číslu c = a + b.i definujeme komplexne združené číslo c = a b.i. Reálne čísla Re c := ( c + c) = a, 2 Im c := i ( c c) = b, 2 nazývajú sa reálnou čast ou a imaginárnou čast ou komplexného čísla. Komplexné čísla, s nulovou imaginárnou čast ou, pre ktoré c = c = a, identifikujeme s reálnymi číslami. 2) Absolútna hodnota (modul) komplexného čísla c = a+b.i je definovaná ako nezaporné reálne číslo zadané vzt ahom: c = c. c = a 2 + b 2. Komplexné číslo c = 0 práve vtedy ak c = 0, t.j. Rec = a = 0 a súčasne Im c = b = 0. 3) Ku každému komplexnému číslu c = a + b.i existuje práve jedno zaporné číslo c = ( a) + ( b).i = a b.i, pre ktoré platí c + ( c) = c c = 0. Pre každé komplexné číslo c = a + b.i 0 existuje práve jedno
3 inverzné číslo c = c c 2 = a b.i a 2 + b 2 = a a 2 + b 2 b a 2 + b 2. i, pre ktoré platí c.c =. 4) Na základe tohto jednoducho sa možno presvedcit, že komplexné čísla C tvoria teleso, podobne ako ho tvoria racionálne čísla Q a reálne čísla R: operácie sčítania a násobenia komplexných čísiel sú komutatívne a asociatívne, a tiež vzájomne distributívne, ku každému komplexnému číslu existuje zaporné číslo a ku každému komplexnému číslu rôznemu od 0 existuje inverzné číslo. Komplexné čísla, na rozdiel od racionálnych a reálnych čísiel, nemožno prirodzene lineárne usporiadat. 5) Každé komplexné číslo z = x + y.i C možno identifikovat s bodom [x;y] v rovine reálnych čísiel R 2 : Na vodorovnú x-ovú os v rovine nanášame reálnu čast komplexného čísla, na kolmú y-ovú os nanášame jeho imaginárnu čast. Komplexnému číslu z = 0 odpovedá počiatok v rovine. Komplexné číslo z = x + y.i môžme tiež identifikovat s vektorom ("šipkou") z v rovine R 2 s koncovym bodom [x;y], ktorá vychádza z počiatku. Vektor z odpovedajúci z ma dĺžku z a zviera s x-vou osou uhol ζ zadaný formulou tg ζ = x (podrobnejšie si to všimneme neskôr). y Pri znazornení pomocou vektorov v rovine, súčtu komplexných čísiel c a z odpovedá súčet vektorov c a z. Ak komplexné číslo z násobime kom-
32 CHAPTER 2. FUNKCIE plexným číslom c, tak súčinu c.z odpovedá vektor dĺžky c. z, ktorý zviera s x-vou osou uhol γ + ζ (ζ a γ označujú uhly, ktoré s x-ovou osou zvierajú vektory c a z). Goniometrické funkcie. η x ξ = cos x [ξ,η] η = sinx x ξ cosαsin β cos β sin(α + β) 0 α sin β. sin α β α sin α cos β Obr. 7a,b Uvažujme v rovine R 2 (s navzájom kolmými číselnými osami ξ a η) kružnicu C o polomere. Body na C parametrizujme uhlom, ktorý nanášame od bodu (; 0) na kružnicu v kladnom smere (t.j. proti smeru hodinových ručičiek). Uhly zadávame v radiánoch: 80 o = π, kde π = 3, 4592... je Ludolfovo číslo, t.j. o = π/80 (špeciálne 90 o = π/2). Podl a definície goniometrických funkcií z pravouhlého trojuholníka vyz-
33 načeného na Obr. 7a máme sin x = protil ahlá odvesna prepona = η, cos x = pril ahlá odvesna prepona = ξ. (2.34) Z obrázku vidno, že funkcie sinx a cosx nadobúdajú špeciálne hodnoty sin 0 = 0, sin( π 2 ) =, cos 0 =, cos( π 2 ) = 0. (2.35) Tiež jednoducho možno ukázat, že platia súčtové (presnejšie, rozdielové) vzorce sin(x y) = sinx cos y cos x sin y, cos(x y) = cosx cosy + sin x sin y. (2.36) Dôkaz týchto vzorcov je naznačený na Obr. 7b. Zo špeciálnych hodnôt (2.35) a súčtových vzorcov (2.36) plynú všetky formulky pre goniometrické funkcie. Zhrňme tie základné: (i) Ak v súčtových vzorcoch položíme x = 0, získameme nepárnost funkcie sinus a párnost funkcie cosinus: sin( y) = sin y, cos( y) = cosy, (2.37) (ii) Ak v súčtových vzorcoch položíme y = x, obdržíme známu rovnicu (Pytagorova veta pre trojuhoník s jednotkovu preponou): sin 2 x + cos 2 x =, (2.38)
34 CHAPTER 2. FUNKCIE (iii) Ak položíme x = π 2 a využijeme (i) dostaneme základný vzt ah medzi funkciami sinus a cosinus: sin( π 2 y) = cosy, cos(π 2 y) = sin y, (2.39) (iv) Ak v súčtových vzorcoch položíme y = π = π 2 + π 2 a použijeme ich dvakrát dostaneme zmenu znamienka funkcií sinus a cosinus pri zmene argumentu o π: sin(x + π) = sin(x + π 2 + π 2 ) = cos(x + π 2 ) = sin x, cos(x + π) = cos(x + π 2 + π 2 ) = sin(x + π ) = cos x, (2.40) 2 (v) Nakoniec, ak predchádzajúci vzt ah aplikujeme dvakrát dostaneme periodičnost funkcií sinus a cosinus pri zmene argumentu o 2π: sin(x + 2π) = sin(x + π + π) = sin(x + π) = sin x, cos(x + 2π) = cos(x + π + π) = cos(x + π) = cosx. (2.4) Okrem goniometrických funkcií sinx a cosx zavádzujú sa aj d al šie: tgx = sin x cos x cotg x = cos x sin x definovaná pre x ± π 2, ±3π 2,... definovaná pre x 0, ±,... (2.42) Z ich definičných oborov sme museli vynat body na číselnej osi, v ktorých cosx = 0 resp. sinx = 0. Ich základné vlastnosti plynú l ahko z formuliek funkcie sinx a cosx, ktoré sú uvedené vyššie. Napríklad, funkcie tgx a cotgx sú periodické s periódou π: tg(x + π) = tgx, cotg(x + π) = cotg x. (2.43)
Úplne podobne možno odvodit zo súčtových vzorcov rôzne d al šie vzt ahy medzi goniometrickými funkciami. 35 Poznámka: Uvažujme funkciu E(x) = cosx + i sin x. Použitím súčtových vzorcov pre goniometrické funkcie dostaneme E(x)E(y) = (cosx + i sin x) (cos y + i sin y) = (cosx cos y sin x sin y) + i (sin x cosy + cos x sin y) = cos(x + y) + i sin(x + y) = E(x + y). Teda funkcia E(x) je exponenta, ktorú možno vyjadrit pomocou Eulerovej exponenciálnej funkcie. Platia dôležité Moivreove vzorce e i x = cos x + i sin x, e i x = cos x i sin x. Obrátené Moivreove vzt ahy sú cos x = ei x + e i x, sin x = ei x e i x. 2 2i Teraz pomocou rozvojov (2.24) a (2.27) pre funkcie e x a e x dostaneme dôležité rozvoje pre goniometrické funkcie cos x a sin x: cos x = x2 2! + x4 4!... = ( ) n x2n (2n)!. (2.44) n=0 sin x = x x3 3! + x5 5!... = n=0 ( ) n x 2n+ (2n + )!. (2.45)
36 CHAPTER 2. FUNKCIE Cyklometrické funkcie. Cyklometrické funkcie sú funkcie inverzné ku goniometrickým. Funkcie sinx, cosx, tgx a cotgx sú monotónne (rastúce alebo klesajúce na vhodných intervaloch dĺžky π. Ich štandartná vol ba je nasledovná: (i) Funkcia sinx je rastúca na intervale ( π, 2 +π ), pričom jej obor hodnôt 2 je interval (, +). Funkcia arcsin x, inverzná k sin x je určená vzt ahmi (pozri Obr. 8a, funkcia sinx je vyznačená plnou čiarou a funkcia arcsinx) čiarkovane): arcsin(sin x) = x pre x ( π 2, +π 2 ), sin(arcsinx) = x pre x (, +). Podobne, funkcia tgx je rastúca na intervale ( π, 2 +π ), jej obor hodnôt je 2 interval (, + ). Inverzná funkcia arctg x spĺňa vzt ahy (pozri Obr. 8b, funkcia tgx je vyznačená plnou čiarou a funkcia arctgx čiarkovane): arctg (tgx) = x, x ( π 2, +π 2 ), tg (arctg x) = x, x (, + ). (ii) cosx a cotgx sú klesajúce na intervale (0,π). Ich obory hodnôt sú (, +) resp. (, + ). Vd aka reláciam cos x = sin( π 2 x), cotg x = tg (π 2 x), x ( π 2, +π 2 ) príslušné inverzné funkcie sú dané vzt ahmi: arccos x = π arcsinx, x (, +), 2
37 arccotg x = π 2 arctg x, x (, + ). Základné vzt ahy pre cyklometrické funkcie: arcsinx = arcsin( x) = π 2 x arccos x = arctg, x 2 arccos x = π arccos( x) = π x 2 arcsin x = arctg 2, x arctg x = arctg ( x) = π x arccotg x = arcsin 2, + x 2 arccotg x = π arccotg ( x) = π 2 arctg x = arcsin + x 2. Tieto vzt ahy plynú l ahko zo známych relácií medzi goniometrickými funkciami. Ako ilustráciu overíme vzt ah x arctg x 2 = arcsinx. Ak dosadíme na l avej strane x = sint, postupne dostaneme sin t arctg sin 2 t = arctgsin t cos t = arctg(tgt) = t. Toto je presne to, čo sa získa pri dosadení do pravej strany: arcsin(sint) = t.
38 CHAPTER 2. FUNKCIE y π 2 y = arcsin x y = x y y = tgx 3 y = x y = sin x π 2 2 y = arctgx π 2-0 π 2 x -3 π 2-2 - 0 2 - π 2 3 x - π 2-2 π 2 Graf funkcie y = sin x a k nej inverznej y = arcsinx -3 Graf funkcie y = tg x a k nej inverznej y = arctgx Obr. 8 a,b
Chapter 3 Limita číselnej postupnosti, rady Číselná postupnost. Číselná postupnost {a n } n=m {a m,a m+,a m+2,...} je funkcia definovaná na podmnožine prirodzených čísiel {m, m +, m + 2,...}, ktorá prirad uje každému číslu n z tejto podmnožiny reálne číslo a n : n {m,m +,m + 2,...} a n R. (3.) Poznámka: Zväčša sa uvažujú prípady m = (alebo m = 0). Nie je to podstatné, lebo ak položíme a n = a n+m, n = 0,, 2,..., máme jednojednoznačné priradenie medzi postupnost ou {a n } n=m a postupnost ou {a n} n= (alebo {a n} n=0). Monotónne a ohraničené postupnosti. Postupnost {a n } n=m je rastúca ak pre všetky členy postupnosti platí a n < a n+, klesajúca ak pre všetky členy postupnosti platí a n > a n+, neklesajúca ak pre všetky členy postupnosti platí a n a n+, 39
40 CHAPTER 3. LIMITA ČÍSELNEJ POSTUPNOSTI, RADY nerastúca ak pre všetky členy postupnosti platí a n a n+, ohraničená zdola resp. ohraničená zhora ak existuje také číslo K, že pre všetky členy postupnosti platí a n > K resp. a n < K, ohraničená ak je ohraničená zdola aj zhora; vtedy existuje kladné číslo K, že pre jej všetky členy platí a n < K. Niekol ko príkladov: ) {a n } n= = {, 2,...} alebo a n = n, n = 0,, 2,..., 2) {a n } n=0 = {3, 3 2, 3 4, 3 8,...}, alebo a n = 3.( 2 )n, n = 0,, 2,..., 3) {a n } n=0 = {,,,...}, alebo a n = ( ) n, n = 0,, 2,..., 4) a n = alebo {a n n} n= = {,,,...}, n =, 2,..., 2 3 5) {a n } n= = {, 2, 3, 4,...}, alebo a n = ( ) n n, n =, 2,... Poznámka. Postupnost. je rastúca, 4. je klesajúca, postupnosti. a 5. sú neohraničené, kým postupnosti 2., 3. a 4. sú ohraničené.
4 Limita číselnej postupnosti. Vlastná limita. Ak existuje k danej postupnosti {a n...} n=m číslo a R, ku ktorému čísla a n s rastúcim sa l ubovol ne približujú, vtedy číslo a nazývame limitou postupnosti {a n } n=m a značíme a = lim n a n. (3.2) Definícia (presné znenie). Hovoríme, že číslo a R je (vlastnou) limitou postupnosti {a n } n=m ak pre každé kladné číslo ε > 0 existuje také prirodzené číslo, že pre každé prirodzené číslo n > n 0 platí a ε < a n < a + ε. (3.3) Objasnime si bližšie, čo znamená táto presná definícia: (i) Ak zvolíme ε = 0 k, potom nerovnosti (3.3) nám hovoria, že všetky členy postupnosti a n s n > n 0 majú rovnaký dekadický rozvoj ako a aspoň do k-teho miesta za desatinnou čiarkou; (ii) Geometrický si môžme nerovnosti (3.3) predstavit takto. Uvažujme graf funcie n a n. Nerovnosti (3.3) nám zaručujú, že pre n > n 0 hodnoty an sú v ±ε páse okolo priamky y = a rovnobežnej s x=ovou osou, pozri Obr. 9a.
42 CHAPTER 3. LIMITA ČÍSELNEJ POSTUPNOSTI, RADY Nevlastná limita. Ak členy postupnosti {a n } n=m pri rastúcom n neohraničene rastú (resp. klesajú), tak hovoríme, že postupnost má nevlastnú limitu + (resp. ), pozri Obr. 9b. Toto označujeme symbolom lim a n = + resp. lim a n =. (3.4) n n Definícia (presné znenie). Hovoríme, postupnost {a n } n=0 má nevlastnú limitu + resp. ak pre každé kladné číslo K > 0 existuje také prirodzené číslo, že pre všetky prirodzené čísla n > n 0 platí a n > +K resp. a n < K. (3.5) Základné vety o limitách postupností.. Postupnost môže mat najviac limitu. Ak postupnost {a n } n=m má limitu, potom rovnakú limitu má aj jej každá podpostupnost {a n} n=0, kde a n = a in a m i < i 2 <..., je rastúca postupnost prirodzených čísiel. 2. Postupnost, ktorá má vlastnú limitu je ohraničená; ak má nevlastnú limitu + resp., tak nie je ohraničená zhora resp. zdola. 3. Ohraničená rastúca resp. klesajúca postupnost má vlastnú limitu, pričom a n a = lim n a n resp. a n a = lim n a n (podl a toho či postupnost je rastúca resp. klesajúca).
43 a + ε a a ε Všetky body za n 0 musia padnúť do (a ε,a + ε) K Všetky body za n 0 musia padnúť nad K 0 n 0 = f(ε) Konvergencia postupnosti 0 n 0 = f(k) Divergencia postupnosti Obr. 9a,b 4. Neohraničená rastúca resp. klesajúca postupnost má nevlastnú limitu + resp.. 5. Ak existujú vlastné limity a = lim n a n a b = lim n b n postupností {a n } n=0 a {b n } n=0, potom platí lim (a n + b n ) = a + b, lim (a n.b n ) = a.b, n n a n Ak b 0 potom lim = a n b n b. 6. Ak existuje vlastná limita lim n a n = a a nevlastná limita lim n b n = +, potom lim n (a n + b n ) = +. Ak a 0, potom lim n (a n.b n ) = ± (podl a znamienka a). 7. Ak {a n } n=m je postupnost kladných resp. záporných čísiel, pre ktorú lim n a n = 0, potom lim n (/a n ) = + resp. lim n (/a n ) =. Ak lim n a n = +, potom a = lim n (/a n ) = 0.
44 CHAPTER 3. LIMITA ČÍSELNEJ POSTUPNOSTI, RADY Niektoré dôležité limity. Nech a je reálne kladné číslo, potom. lim n na = +, lim n a = 0, n n a lim n n a ln n = 0, lim n n! = 0. 2. lim n an = +, pre a >, lim n an =, pre a =, lim n an = 0, pre a <. 3. lim n a n lim n n n = lim n n a =, = lim n n n =. 4. ( lim + n = e = 2, 78282..., n n) ( lim n = e n n) = 0, 36790..., ( lim + n 2 + + ) n n ln n = C = 0, 57722... (e = Eulerove číslo, C = Eulerova konštanta).
45 Číselné rady. Definícia: Výraz tvaru a n a 0 + a +..., n=0 kde {a n } n=0 tvoria číselnú postupnost, nazývame číselným radom; a n sa nazýva n-tým členom číselného radu a čísla S n = n a k = a 0 + a + + a n k=0 čiatočnými súčtami. Rad n=0 a n konverguje ak existuje limita S = lim n S n = a n. (3.6) n=0 Posledné značenie nie je dôsledné, ale bežne sa používa: symbol n=0 a n označuje jednak rad ako objekt a zároveň aj jeho súčet (jeho okamžitý význam obyčajne vyplynie z kontextu). Ak limita (3.6) neexistuje, rad diverguje (to značí, že lim n S n bud neexistuje alebo existuje nevlastná limita ± ). Príklady radov.. Konvergentný rad: 2 n = + 2 + 4 +... n=0
46 CHAPTER 3. LIMITA ČÍSELNEJ POSTUPNOSTI, RADY 2. Divergentný rad: 3. Divergentný rad: = + + +... n=0 ( ) n = + +... n=0 4. Divergentný harmonický rad: n=0 5. Konvergentný rad: n=0 n + = + 2 + 3 +... ( ) n n + = 2 + 3... Základné vety o konvergencii radov.. Na konvergenciu alebo divergenciu radu nemá vplyv vynechanie alebo pridanie niekol kých členov na začiatku radu. 2. Ak vynásobíme členy konvergentného radu tým istým číslom c dostaneme opät konvergentný rad, pričom ca n = c a n. n=0 n=0 3. Konvergentné rady môžeme po členoch sčítat a sčítat. Ak existujú S a = a n, S b = n=0 n=0 b n
potom existuje (a n ± b n ) = S a ± S b. n=0 4. Nutná podmienka konvergencie. Ak rad n=0 a n konverguje, potom lim n a n = 0. Táto podmienka ale nie je postačujúca (pozri príklad s harmonickým radom). 5. Rad s alternujúcimi znamiemkami. Ak a n > 0 pre n N, potom S a = n=0 ( )n a n nazývame radom s alternujúcimi znamiemkami. Leibnizovo kritérium. Rad s alternujúcimi znamiemkami konverguje ak 47 a 0 > a > a 2 >... a existuje lim a n = 0. n Absolútna konvergencia. V prípade ak rad n=0 a n má členy s rôznymi znamienkami (ktoré nemusia byt alternujúce), je výhodné skúmat rad n=0 a n s kladnými členmi. Možno ukázat, že ak konverguje rad n=0 a n, tak konverguje aj rad n=0 a n (naopak to neplatí). Definícia: Hovoríme, že rad n=0 a n absolútne konverguje ak konverguje rad n=0 a n. Hovoríme, že rad n=0 a n konverguje neabsolútne, ak je konvergentný, ale rad n=0 a n diverguje. Vlastnosti absolútne konvergentných radov.. V absolútne konvergentnom rade môžeme poradie jeho členov l ubovol ne
48 CHAPTER 3. LIMITA ČÍSELNEJ POSTUPNOSTI, RADY menit - jeho súčet sa nemení. Poznámka: V neabsolútne konvergentnom rade môžeme jeho členy usporiadat tak, že jeho súčet bude rovnat l ubovol nému číslu (Riemannova veta). 2. Absolútne konvergentné rady S a = n=0 a n a S b = n=0 b n môžeme po členoch násobit : (a 0 + a + a 2 +...).(b 0 + b + b 2 +...) = a 0 b 0 + (a b 0 + a 0 b ) + (a 2 b 0 + a b + a 0 b 2 ) +... = S a.s b 3. Jednoduché kritérium konvergencie. Rad n=0 a n absolútne konverguje, ak existuje kladné čislo q < a kladné číslo A, tak že pre všetky n platí odhad: a n Aq n. 4. D Alembertove a Cauchyho kritéria konvegencie. Nech pre rad n=0 a n existuje niektorá z limít: ρ = lim n a n+ a n, D Alembertovo kritérium, ρ = lim n n a n, Cauchyho kritérium. Ak ρ < potom rad absolútne konverguje, ak ρ > rad diverguje. Pri ρ = rad môže, ale nemusí, konvergovat. Príklady. Vyšetrite konvergenciu uvedených radov:. Rad n n=0 konverguje, lebo 2 n ρ = lim n a n+ a n = lim n n + 2 n+ 2 n n = 2.
2. Harmonický rad n= diverguje. n Tvrdenie dokážeme sporom. Budeme predpokladat, že existuje konečný súčet S = n=. Potom existujú konečný súčet jeho párnych členov n 49 S = n= 2n = 2 n= n = 2 S, ako aj nepárnych členov S = n= 2n > 2 n= 2n = 2 S. Pretože, S = S + S prídeme ku sporu: S = S + S > 2 S + 2 S = S. 3. Rad n+ n= n 2 n= diverguje, lebo n + 2 n 2 = n= ( n + ) n 2 > n= n = +. Poznámka. V posledných dvoch príkladoch D Alembertove alebo Cauchyho kritérium dáva ρ = a neurčuje konvergenciu alebo divergenciu uvažovaných radov. Súčty niektorých číselných radov.. n=0 n! = +! + 2! +... = e
50 CHAPTER 3. LIMITA ČÍSELNEJ POSTUPNOSTI, RADY 2. ( ) n n=0 n! =! + 2!... = e 3. 4. 5. n= n=0 ( ) n n=0 2 n = + 2 + 4 +... = 2 2 n = 2 + 4... = 2 3 n(n + ) =.2 + 2.3 + 3.4 +... = 6. n= (2n )(2n + ) =.3 + 3.5 + 5.7 +... =.2 7. n= n(n + 2) =.3 + 2.4 + 3.5 +... = 3 4 8. n=0 ( ) n n + = 2 + 3... = ln2 9. n=0 ( ) n 2n + = 3 + 5... = π 4 0. n= n 2 = + 4 + 9 +... = π2 4
5 Komentár k príkladom (i) Príklady a 2. Pre rad x n n=0 máme n! a n+ lim n a n x n+ = lim n (n + )!. n! x n = lim x n n + = 0. Tento rad (absolútne) konverguje pre l ubovol né x. Pre x = máme príklad, pre x = príklad 2. (ii) Príklady 3 a 4. Jedná sa o geometrický rad n=0 qn s q = 2 resp. q =. V oboch prípadoch máme 2 a n+ lim n a n q n+ = lim = q = n q n 2. Geometrický rad môžme sčítat takto. Označme Potom n S n = q k = + q + q 2 + q n k=0 S n+ = + q + q 2... + q n + q n+ Z posledného riadka dostávame = S n + +q n+ = + qs n. S n = qn+ q = q qn+ q. Zrejme, lim S n = n q. Stačí sem dosadit q = 2 resp. q = 2.
52 CHAPTER 3. LIMITA ČÍSELNEJ POSTUPNOSTI, RADY (iii) Príklady 5 až 7. V príklade 5 zapíšeme člen radu takto: a n = n(n + ) = n n +. Potom, a n = ( 2 ) + ( 2 3 ) +... =. n= V príklade 6 zapíšeme a n = 2n 2n + ) = 2 ( ) 2n 2n +, a použijeme rovnaký postup: a n = (( 3 2 ) + (3 5 ) ) +... n= = 2. Číselný rad v príklade 7 je súčtom oboch predchádzajúcich radov: = n= (.3 + 3.5 +... a n =.3 + 2.4 + 3.5 + 4.6... ) + 4 (.2 + 2.3 + ) 3.4 ) +... = 2 + 4 = 3 4. (iv) Príklady 8 až 0. Konvergenciu radov určíme odhadom súčtov zhora: Rad 8 : 2 + 3 4... = ( 2 ) + ( 3 4 ) +... < ( 2 ) + ( 2 3 ) + ( 3 4 ) + ( 4 5 )... =. Tu sme pri odhade pridali podčiarknuté kladné členy. V príklade 9 postupujeme obdobne: Rad 9 : 3 + 5 7... = ( 3 ) + ( 5 7 ) +...
53 < ( 3 ) + ( 3 5 ) + ( 5 7 ) + ( 7 9 )... =, kde sme opät pridali podčiarknuté kladné členy. Nakoniec rad 0 odhadneme pomocou radu z príkladu 5: Rad 0 : + 2 2 + 3 2 + 4 2... < +.2 + 2.3 + 3.4 +... = 2. V prídade alternujúcich znamienok možno využit aj Leibnizovo kritérium.
54 CHAPTER 3. LIMITA ČÍSELNEJ POSTUPNOSTI, RADY
Chapter 4 Limita funkcie, spojitost a derivácia Limita funkcie Nech funkcia f(x) je definová v δ-okolí bodu x = a U δ (a) = {x R; 0 < x a < 0}. (4.) V samotnom bode bode a pritom funkcia f(x) nemusí byt definovaná. Do U δ (a) patria reálne čísla, pre ktoré platí: x a a a δ < x < a + δ. limitu Hovoríme, že funkcia y = f(x) definová v okolí bodu a má v tomto bode c = lim x a f(x) ak s približovaním sa x k číslu a, hodnoty funkcie f(x) sa l ubovol ne približujú k číslu c. Geometrická interpretácia limity funkcie je naznačená na Obr. 0a. 55
56 CHAPTER 4. LIMITA FUNKCIE, SPOJITOST A DERIVÁCIA Definícia (presné znenie): Funkcia f(x) má v bode x = a limitu rovnajúcu sa číslu c: ak pre každé kladné číslo ε > 0 existuje také číslo δ > 0, že pre všetky x splňajúce nerovnosti 0 < x a < δ, platí c ε < f(x) < c + ε f(x) c < ε. (4.2) C + ε C C ε f(x) K a δ a a + δ a δ a a + δ Obr. 0a,b Nevlastná limita funkcie Hovoríme, že funkcia f(x) v bode x = a má nevlastnú limitu + resp. lim f(x) = +, resp. lim f(x) =, x a x a
57 ak funkcia neobmedzene rastie resp. klesá pri približovaní sa x k bodu a. Geometrická interpretácia nevlastnej limity + funkcie f(x) je naznačená na Obr. 0b. Definícia (presné znenie): Funkcia f(x) má v bode x = a limitu lim f(x) = + resp. lim f(x) = x a x a ak k l ubovol nému číslu K > 0 existuje také číslo δ > 0, že pre všetky x splňajúce nerovnosti platí f(x) > K resp. f(x) < K. 0 < x a < δ, Poznámka (dôležitá): Funkcia má v bode x = a (vlastnú alebo nevlastnú) limitu lim x a f(x) = c práve vtedy, ak pre l ubovol nú číselnú postupnost bodov {x,x 2,...} z okolia bodu a, ktorá má limitu a = lim n x n, príslušná postupnost hodnôt funkcie {f(x),f(x) 2,...} má konverguje k c, t.j. lim f(x n) = c. n Limita funkcie v nevlastných bodoch Číslo c je limitou funkcie f(x) pre x ±, čiže c = lim f(x), resp. c = lim x + f(x), x
58 CHAPTER 4. LIMITA FUNKCIE, SPOJITOST A DERIVÁCIA ak pre l ubovol né číslo ε > 0 existuje také číslo K > 0, že c ε < f(x) < c + ε pre všetky x > K resp. x < K. (4.3) Nevlastná limita v nevlastných bodoch je definovaná obdobne: lim f(x) = ±, resp. lim x + f(x) = ±, x ak pre l ubovol né číslo K > 0 existuje také číslo N > 0, že pre všetky x spĺňajúce nerovnosti x > N, resp. x < N platí f(x) > K v prípade, že limita je +, f(x) < K v prípade, že limita je. Poznámka 2 (analóg predchádzajúcej poznámky ): Pokial existuje (vlastná alebo nevlastná) limitu lim x ± f(x) = c, potom pre každú postupnost bodov {x,x 2,...}, ktorá má odpovedajúcu limitu lim n x n = ±, platí lim f(x n) = c. n Základné vety o limitách funkcií Nasledujúce tvrdenia sú priamym dôsledkom Poznámok a 2 spolu s analogicými tvrdeniami o limitách postupností:
) Limita súčtu a súčinu funkcií. Ak existujú vlastné limity lim x a f(x) a lim x a g(x) potom existujú limity 59 lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x), x a x a x a ( ) ( ) lim (f(x).g(x)) = lim f(x). lim g(x). (4.4) x a x a x a 2) Limita podielu funkcií. Ak existujú vlastné limity lim f(x) a x a lim g(x) 0 x a potom existuje limita podielu f(x) lim x a g(x) = lim x a f(x) lim x a g(x). (4.5) 3) Ak v okolí bodu x = a o funkcii f(x) platí φ(x) f(x) ψ(x) a ak potom aj lim x a f(x) = c. lim φ(x) = c a lim ψ(x) = c (4.6) x a x a 4) Ak existuje vlastná limita lim x a f(x) a nevlastná limita lim x a g(x) = ± potom existuje limita Ak naviac lim x a f(x) 0, potom lim (f(x) + g(x)) = ±. x a lim (f(x).g(x)) = ±. x a
60 CHAPTER 4. LIMITA FUNKCIE, SPOJITOST A DERIVÁCIA Znamienko poslednej limity je určené znamienkami lim x a f(x) a lim x a g(x). 5) Ak existuje také kladné číslo K, že f(x) < K v okolí bodu a, hovoríme, že funkcia f(x) je ohraničená v okolí bodu a. Ak existuje nevlastná limita lim x a g(x) a funkcia f(x) je ohraničená v okolí bodu a potom f(x) lim x a g(x) = 0. Niektoré dôležité limity Uved me dve dôležité limity, ktoré budeme využívat pri výpočte limít rôznych výrazov: ( lim + x sin x = e, lim x x) x 0 x =. (4.7) Prvá je zovšeobecnením analogickej limity pre číselné postupnosti (v ktorej celočíselná premenná n sa nahradila reálnou premennou x). druhej je naznačené na Obr., z ktorého pre 0 < x < π 2 nerovnosti cos x = sin x tgx < sin x x <. Odvodenie možno dedukovat Ak uvážime, že lim x 0 cos x =, tak v limite x 0 obdržime hl adanú limitu. Spojitost funkcie
6 f(x) f(x + h) f(x) α x tgx sin x 0 obr. x x+h f f(x+h) f(x) (x) = lim tgα h (x) = lim h 0 h 0 h obr. 2 Definícia: Funkcia f(x) definovaná v okolí bode x = c je v tomto bode spojitá ak bod c patrí do definičného oboru funkcie a existuje vlastná limita lim f(x) = f(c). (4.8) x c Funkcia je spojitá na intervale (a,b), ak je spojitá v každom bode c z intervalu (a,b). Poznámka: Ak funkcia je spojitá a existuje vlastná limita lim x a f(x) = c, potom môžeme funkciu f(x) spojito dodefinovat tým, že definujeme novú funkciu f(x) takto: f(a) = lim x a f(x) = c, f(x) = f(x) pre x a,. Funkcia f(x) je už spojitá v bode x = a.