1 9.5 9.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς 198 199 Ερωτήσεις κτνόησης 1. Στο πρκάτω σχήµ η Μ είνι διάµεσος κι ύψος. Ποι πό τις πρκάτω σχέσεις είνι σωστή. ιτιολογήστε την πάντηση σς. A i) Μ Μ ii) Μ iii) Μ iν) Μ Μ B Μ Σωστή σχέση είνι η (i) διότι : Μ Μ ( Μ) Μ Μ Μ Μ. Στο πρκάτω σχήµ ν συµπληρώστε τ κενά. Ν εξηγήσετε γιτί Μ Μ Μ Μ Ο Μ i) Μ Μ ΜΟ ii) Μ Μ ΜΟ Εξήγηση φού, τ δεύτερ µέλη των (i) κι (ii) είνι ίσ, άρ κι τ πρώτ.
3. Σε τρίγωνο είνι β γ 5 Τότε. µ β. µ 3 γ. µ 3 δ. µ 3 Κυκλώστε την σωστή πάντηση κι δικιολογήστε την πάντηση σς γ µ ( γ ) 10 9 οπότε µ 3 σκήσεις Εµπέδωσης 1. Σε τρίγωνο έχουµε β 7, γ 6 κι µ 7. Ν υπολογισθούν i) η πλευρά ii) η προβολή της διµέσου µ στη. i) γ β γ β γ µ 7 9 36 9 98 7 9 11 Άρ 11 7 6 ii) Έστω x η προβολή της διµέσου β γ x 7 6.11 x 9 36 x µ στη. 13 x x 13
3. Ν ποδείξετε ότι σε κάθε τρίγωνο ισχύει ρκεί ν ποδείξουµε ότι ή ότι ή ότι ή ότι βγ > γ βγ > γ βγ > γ βγ > γ βγ > ή ότι ( ) βγ > ή ότι γ > που ισχύει πό την τριγωνική νισότητ. 3. ίνετι κύκλος (Ο, R), µι διάµετρός του κι έστω, τ µέσ των Ο κι Ο ντίστοιχ. ν Μ Μ 5, όπου Μ τυχίο σηµείο του κύκλου, ν υπολογισθεί η κτίν του κύκλου. M Στο τρ.μ : Μ Μ ΜΟ O 5 10 10 5 R R R R R R R
. ίνετι τρίγωνο κι έστω Θ το βρύκεντρό του. Ν ποδείξετε ότι: i) ii) Θ β µ 3 γ ( Θ Θ 1 3 ( γ ) γ ) i) β µ γ γ 1 ( γ γ β β γ γ 1 (3 3β 3γ ) 3 ( β γ ) γ ). ii) Θ 3 Θ µ Θ Θ 9 Θ 9 µ κι κυκλικά 9 9 ( 9 β 3 ( β µ ) γ 9 µ γ γ ) 1 3 ( γ ) ποδεικτικές σκήσεις 1. ίνετι τρίγωνο µε ˆ 60 ο, β 5, γ 3. Ν υπολογισθεί η διάµεσός του µ. γ βγ συν ˆ 5 9 5 3 συν60 ο 3 30 1 3 15 19 µ γ 5 3 19 5 9 19 50 18 19 9 Άρ µ 7
5. ίνετι ισοσκελές τρίγωνο ( ) κι τυχίο σηµείο της. Ν ποδείξετε ότι Έστω Μ το µέσο της κι Κ. K M ο θεώρηµ διµέσων στο τρίγωνο : ΜΚ ρκεί ν δειχθεί ότι ΜΚ ΜΚ ΜΚ ΜΚ Μ ΜΚ Μ που ισχύει πό θεώρηµ Θλή, φού Κ Μ
6 3. i) ν ορθογώνιο κι Μ τυχίο σηµείο, ν ποδείξετε ότι MA M M M ii) ν τετράγωνο κι σηµείο Μ στο εσωτερικό του, ώστε Μ 1, Μ κι Μ 3, ν βρεθεί η πλευρά του τετργώνου. i) Φέρουµε τις διγώνιες,, οι οποίες Μ διχοτοµούντι στο Ο. τρ.μ: MA M MΟ Ο τρ.μ: M M MΟ Τ δεύτερ µέλη είνι ίσ, άρ κι τ πρώτ. ii) 1 Μ i) MA M 1 3 M M M M M 3 Έτσι είνι Μ Μ, άρ το Μ είνι σηµείο της µεσοκθέτου του τµήµτος, δηλδή σηµείο της διγωνίου. Έστω η πλευρά του τετργώνου. Τότε 1 3 1 3
7. ν Μ, Ν είνι τ µέσ των διγωνίων, ενός τετρπλεύρου, ν ποδείξετε ότι (Θεώρηµ Euler) N M τρ.ν διάµεσο ΝΜ : (1) Ν Τρ. µε διάµεσο Ν: Ν Τρ. µε διάµεσο Ν: Ν Προσθέτουµε κτά µέλη ΜΝ. ( Ν Ν ) Ν ΝΜ (ΝΜ ) ΝΜ (1)
8 5. Στην υποτείνουσ ορθογωνίου τριγώνου θεωρούµε τ σηµεί κι Ε τέτοι, ώστε Ε Ε. Ν ποδείξετε ότι Ε 5 9. Μ µέσο του Ε άρ κι της M Ε Τρ.Ε µε διάµεσο Μ: Ε Ε Μ λλά Μ κι Ε 3 Άρ 3 9 18 9 18 10 5 18 9 Ε 6. ν σε τρίγωνο ισχύει Είνι Η υπόθεση γ γ µ γίνετι µ γ µ, ν υπολογισθεί η γωνί ˆ. µ µ ( ) µ µ µ 0 µ 0 µ 0 µ µ ˆ 90 ο
9 Σύνθετ Θέµτ 1. ύο δέλφι κληρονόµησν γροτεµάχιο σχήµτος τρπεζίου κι ποφάσισν ν το µοιράσουν νοίγοντς δρόµο που θ ενώνει τ µέσ των πράλληλων πλευρών του. ν οι βάσεις είνι 8km κι 6km, ενώ οι µη πράλληλες πλευρές 5km κι 6km, πόσο θ στοιχίσει η διάνοιξη του δρόµου, ν έν χιλιόµετρο δρόµου κοστίζει 50.000 δρχ. 3 Κ 3 το γροτεµάχιο - τρπέζιο Κ, Λ τ µέσ των βάσεων 5 6 Φέρουµε ΚΕ κι ΚΖ. Τότε δύο πρλληλόγρµµ, άρ Μ Ε Λ Ο Ν Ζ ΚΕ 5, ΚΖ 6 κι ΛΕ ΛΖ Λ Ζ Κ 3 1 ΚΕ ΚΖ ΕΖ ΚΛ διάµεσος του τριγώνου ΚΕΖ ΚΛ 5 6 50 7 118 59 59 Άρ ΚΛ km.. 59 Οπότε κόστος διάνοιξης 50000 7500 δρχ περίπου. ίνετι τρίγωνο, µε > κι Μ, Ν τ µέσ των πλευρών κι ντίστοιχ. ν Ο το µέσο του ΜΝ, ν ποδείξετε ότι Ο - Ο Φέρουµε το Ο. ΟΜ διάµεσος του τριγώνου Ο Ο Ο ΟΜ (1) ΟΝ διάµεσος του τριγώνου Ο Ο Ο ΟΝ () (1) () Ο Ο
10 3. Σε ηµικύκλιο διµέτρου θεωρούµε τυχίο σηµείο Μ. Χωρίζουµε τη διάµετρο σε τρί ίσ τµήµτ. Ν ποδείξετε ότι το άθροισµ M MB M Μ είνι στθερό. M Πυθγόρειο στο τρ.μ: M MB ( ) (1) (1) () O Έστω Ο το κέντρο του ηµικυκλίου. 1 ο Θ. διµέσων στο τρ.μ: M Μ ΜΟ M Μ M MB M Μ 3 9 0 9 9 56 στθερό. 9 0 9 ()
11. ίνετι ρόµβος πλευράς, Ο το κέντρο του κι κύκλος (Ο, λ), λ > 0. ν γι τυχίο σηµείο Μ του κύκλου ισχύει βρεθεί ο πργµτικός ριθµός λ. O M M MB M Μ 18 1 ο Θ. διµέσων στο τρ.μ: M Μ ΜΟ ΜΟ 1 ( Ο ) ΜΟ Ο (1) Οµοίως 1 ο Θ. διµέσων στο τρ.μ: MB Μ ΜΟ Ο (), ν (1) () M MB M Μ ΜΟ ( Ο Ο ) (3) Πυθγόρειο στο τρ.ο: Ο Ο. (3) M MB M Μ ( ) 18 λ λ 18 λ λ 16 λ άρ λ
1 5. ίνετι ρόµβος πλευράς, µε διγώνιο. Έστω τυχίο σηµείο Ρ. Ν ποδείξετε ότι Ρ ( Ρ Ρ ) ( Ρ ρκεί ν δειχθεί ότι Ρ ). Ρ Ρ ( Ρ Ρ ) Ο 1 ο Θ. διµέσων στο τρ.ρ: Ρ Ρ ΡΟ ΡΟ 1 ( Ο ) ΡΟ Ο (1) Οµοίως 1 ο Θ. διµέσων στο τρ.ρ: Ρ Ρ ΡΟ Ο () (1) () Ρ Ρ ( Ρ Ρ ) Ο Ο 3 3 3.