5 Elekrický prúd Usmernený kolekívny pohyb elekrických nábojov nazývame elekrický prúd. Môže ísť o pohyb elekrónov, proónov, kladných alebo záporných iónov. Pohyb ýcho elekrických nábojov sa môže konať buď vo vákuu alebo v maeriálnom prosredí. Všeobecne budeme nazývať vodičom láku, v korej sú voľne pohyblivé elekricky nabié časice. Voľnými nabiými časicami v kovovom vodiči sú záporné elekróny, v elekrolyoch sú o kladné a záporné ióny, v plyne môže ísť o pohyb ako kladných a záporných iónov ak aj alekrónov, v polovodiči hovoríme o pohybe elekrónov a dier. Je zrejmé, že charaker a mechanizmus pohybu elekrických nábojov v uhom, kvapalnom a plynnom prosredí sa bude značne odlišovať. Budeme sa zaoberať všeobecnými zákoniosťami planými pre elekrické prúdy, bez ohľadu na konkrény mechanizmus vedenia elekrického prúdu v jednolivých médiách. 5.1 Základné pojmy a zákony 5.1.1 Elekrický prúd Fyzikálna veličina charakerizujúca pohyb elekrického náboja je elekrický prúd: dq I = (5.1) d Elekrický prúd je celkové množsvo elekrického náboja, koré preečie prierezom vodiča za jednoku času. Jednokou elekrického prúdu je 1 ampér, korý je aj základnou jednokou SI. O jeho definícii sa zmienime v kapiole o silových účinkoch vodičov preekaných prúdmi. Nosiče elekrického náboja sa bez príomnosi elekrického poľa vo vodiči pohybujú neusporiadane. Cez jednokovú plochu prierezu vodiča prejde rovnaké množsvo elekrického náboja obidvomi smermi. Aby mohol nasať usmernený pohyb nosičov náboja, musí na voľné časice pôsobiť sila, eda vo vodiči musíme udržovať nenulové elekrické pole. Ak inenzia elekrického poľa je E, poom na každý elekrický náboj bude pôsobiť sila F = Q E. Ak má inenzia elekrického poľa sále rovnaký smer, vznikne jednosmerný elekrický prúd. Ak sa smer inenziy periodicky mení na opačný, vzniká sriedavý elekrický prúd. Ak chceme, aby vodičom iekol sály elekrický prúd, musíme udržovať vo vodiči sále elekrické pole, eda rozdiel poenciálov. Elekrické pole poom premiesňuje voľné kladné náboje z mies vyššieho elekrického poenciálu do mies s nižším poenciálom, eda v smere inenziy elekrického poľa E a záporné elekrické náboje opačne. Ak by sa elekrické náboje pohybovali len pod vplyvom elekrického poľa, boli by sále urýchľované. Pri svojom pohybe však sále narážajú na seba navzájom a iež na mriežku maeriálu, korému odovzdávajú časť svojej kineickej energie. V dôsledku oho sa vodič zahrieva. Zrážkový mechanizmus umožňuje vznik usáleného savu. 55
5.1. Husoa elekrického prúdu Z definície elekrického prúdu nie je zrejmé ako sa elekrické náboje pohybujú, môžu preekať prierezom vodiča rôznymi smermi. Veličina I je skalárnou veličinou a preo kvôli popisu nielen veľkosi elekrického prúdu, ale aj jeho smeru (orienácie) sa zavádza vekorová veličina husoa elekrického prúdu J. Smer vekora husoy elekrického prúdu sa hisoricky definoval v smere pohybu kladného náboja. Veľkosť husoy elekrického prúdu sa rovná súču kladného elekrického náboja, korý prejde v smere inenziy elekrického poľa E za jednoku času cez plošnú jednoku kolmú na smer inenziy a záporného elekrického náboja, korý cez ú isú plôšku prejde v opačnom smere (obr.5.1) - J = J+ + J = ρ+ v+ + ρv [A m ], (5.) kde ρ +, ρ sú objemové husoy príslušného kladného, resp. záporného elekrického náboja, E v +, v sú ich sredné usmernené rýchlosi. + v + v - - J + J - Poznámka: Je porebné si uvedomiť, že zaiaľ čo vekory v +, v - sú nesúhlasne rovnobežné, vekory J + a J - sú súhlasne rovnobežné a rovnobežné s vekorom inenziy elekrického poľa E (obr. 5.1). Priesor, v korom preeká prúd, nazvime pole vekora J. Prúdové čiary sú myslené čiary, ku J = J + + J - korým má v každom bode vekor J smer doyčnice. Obr. 5.1 Elekrické náboje sa pohybujú po prúdových čiarach. Časť priesoru vymedzená plášťom súsavy prúdových čiar sa nazýva prúdová rubica. Uvažujme prúdovú rubicu prierezu S, korou preeká elekrický náboj (jednej polariy) s objemovou husoou ρ (obr. 5.a). Takou prúdovou rubicou je napríklad enký vodič. Nech d je posunuie elekrického náboja v rubici za čas d srednou rýchlosťou v, kolmou ds S J ds α J ds = ds cosα d = v d Obr. 5.a Obr. 5.b na prierez. Objem prúdovej rubice, v korom sa elekrické náboje za eno čas d posunú o vzdialenosť d je dv = Sv d. Poom pre veľkosť husoy elekrického prúdu môžeme písať dq dq I J = ρ v = v = v =. (5.3) dv Svd S Ak eno posup zovšeobecníme pre preekanie elemenárneho elekrického prúdu di d I nekonečne malou plôškou ds, kolmou na vekor J, dosaneme vzťah J =. ds 56
V prípade, že plôška ds nie je kolmá na vekor J a normála k plôške zviera s vekorom J uhol di α, bude plaiť (obr. 5.b): J =. ds cosα Odiaľ pre elekrický prúd vyplýva di = J ds I = J d S. (5.4) S Elekrický prúd je okom vekora husoy elekrického prúdu cez plochu S. 5.1.3 Ohmov zákon Ako sme už uviedli, podmienkou vzniku usmerneného pohybu elekrónov vo vodiči, eda podmienkou vzniku elekrického prúdu je exisencia elekrického poľa. Výsledky experimenov s elekrickými prúdmi v kovových vodičoch ukázali, že pri konšannej eploe husoa elekrického prúdu vo vodiči je priamo úmerná inenzie elekrického poľa. Priom plaí, že v izoropnom prosredí má vekor husoy J elekrického prúdu J rovnaký smer ako vekor inenziy elekrického poľa E (prúdové čiary sú oožné so siločiarami). Maemaicky môžeme eno zákon vyjadriť v vare J = σ E, (5.5) kde konšana úmernosi σ sa nazýva kondukivia a závisí od vlasnosí maeriálu. Vzťah (5.5) plaí len pre slabé elekrické polia, pri silných poliach je linearia vzťahu porušená v dôsledku zmien v mechanizme zrážok E (obr. 5.3). Obr. 5.3 Súvislosť inenziy elekrického poľa a vekora husoy elekrického prúdu môžeme vyjadriť aj nasledovne: 1 E = J = ρ J. (5.6) σ Prevráená hodnoa kondukiviy sa nazýva rezisivia ρ. Plaí, že vo vodiči, korým preeká usálený elekrický prúd je E 0 a naopak, ak E = 0 elekrický prúd vo vodiči neexisuje. Vzťahy (5.5), resp. (5.6) majú názov podľa nemeckého fyzika Georga Simona Ohma (1789-1854) a voláme ich Ohmove zákony v diferenciálnom vare. Tieo formulácie nezávisia od varu a objemu vodiča. A d V A E J Obr. 5.4 V B B Uvažujme časť vodiča, a v ňom elemenárnu prúdovú rubicu (obr. 5.4). V izoropnom prosredí bude smer vekora inenziy E rovnobežný s vekorom J a rovnobežný s osou rubice. Zvoľme si na omo úseku vodiča dva prierezy A a B. Každá prierezová plocha S nech je ekvipoenciálnou plochou. Charakerizujme ieo plochy elekrickými poenciálmi V A, V B, pričom nech plaí V A > V B. Zvolený dĺžkový elemen ležiaci na prúdovej čiare nech je d. Medzi elekrickým poenciálom a inenziou elekrického poľa plaí vzťah (.51) E d =d V. 57
Dosadením vzťahu (5.6) a inegrovaním po prúdovej čiare od hladiny A do B dosaneme B VB B I ρj d = dv ρ d = VA VB. S Α VA Α Pri úprave sme využili predpoklad E J d a uvažovali sme srednú hodnou husoy elekrického prúdu J = I/S. Predošlý výraz môžeme upraviť do varu B ρ I d = U I= U, (5.7) S A kde U = V A V B je napäie medzi hladinami poenciálov vodiča, je koeficien úmernosi medzi elekrickým prúdom a napäím na danom úseku vodiča a nazýva sa elekrický odpor. Inegrálny var Ohmovho zákona môžeme formulovať nasledovne: Elekrický prúd daným úsekom vodiča pri danej eploe a pre daný maeriál je priamo úmerný rozdielu poenciálov (napäiu) na koncoch oho vodiča. Maemaicky môžeme úo lineárnu závislosť medzi elekrickým napäím a prúdom vyjadriť vzťahom 1 U = I, resp. I = U = GU (5.8) pričom G =1/ je elekrická vodivosť úseku vodiča. Grafické vyjadrenie Ohmovho zákona je na obr. 5.5a. Ako vidieť z grafu I(U), v prípade, že elekrický odpor je konšanný ( = konš.) dosávame priamku so smernicou 1 g α = = G. Závislosť elekrického prúdu od elekrického odporu I() pri konšannom napäí U je znázornená hyberbolou na obr. 5.5b. I [A] I [A] α U = konš. Obr. 5.5a U [V] Obr. 5.5b [Ω] 58
5.1.4 Elekrický odpor vodiča Pri odvodení Ohmovho zákona v inegrálnom vare sme definovali novú veličinu - elekrický odpor úseku vodiča vzťahom B ρ = d. (5.9) S A Táo veličina závisí od druhu maeriálu, od geomerie vodiča (jeho dĺžky a prierezu) a závisí aj od eploy. Elekrický odpor kovov závisí napríklad aj od ich spracovania. Pre homogénne vodiče konšanného prierezu pri danej eploe plaí = ρ, (5.10) S kde je dĺžka uvažovaného úseku vodiča. Jednokou elekrického odporu vodiča je 1 ohm (1 Ω). Z Ohmovho zákona vyplýva jeho definícia: Jeden ohm je elekrický odpor vodiča, na korom pri elekrickom prúde 1 A vznikne medzi jeho koncami napäie (poenciálový spád) 1 V. 1V 3 Plaí: 1Ω= = 1m kg s A. 1A Jednokou elekrickej vodivosi G = 1/ je 1 siemens (1 S) a plaí: 1 S = 1 Ω 1. Maeriálové konšany rezisivia ρ a kondukivia σ (definované v časi 5.1.3) majú 1 nasledovné jednoky: ρ [ Ω m ], σ [S m ]. Hodnoy kondukiviy sa pre jednolivé druhy maeriálov výrazne líšia. Pre dobré vodiče (napr. meď) sú rádovo 10 8 S m 1 a naopak v prípade izolanov sú rádove 10 17 S m 1. Veľký vplyv na kondukiviu majú rôzne prímesi. Malé množsvo prímesi môže veľmi zmenšiť kondukiviu čisého kovu. 5.1.4.1 Spájanie rezisorov Elekroechnické súčiasky, koré môžeme charakerizovať elekrickým odporom, budeme nazývať rezisory. Pre poreby praxe poom môžeme akéo súčiasky rezisory - spájať buď do série, paralelne alebo do rôznych sériovo-parelných zapojení, podľa oho, aký porebujeme výsledný elekrický odpor. Sériové zapojenie rezisorov zv. zapojenie za sebou znamená, že spojíme vždy výsupnú svorku jedného rezisora so vsupnou svorkou nasledujúceho (obr.5.6a). Nech rezisory majú elekrické odpory 1,, 3,... n. Pre akéo zapojenie rezisorov poom plaí: a) všekými rezisormi preeká rovnaký elekrický prúd I a plaí Ohmov zákon v vare U = I, b) výsledné napäie U medzi bodmi A, B sa rozdelí na napäťové spády U i na jednolivých rezisoroch, pričom plaí n U = U = U + U + U +... = I + I + I +... = ( + + +...) I = I i 1 3 1 3 1 3 i= 1 i= 1 59 n i
c) ekvivalenný elekrický odpor sériového zapojenia rezisorov poom bude n U = = (5.11) I i= 1 i Výsledný elekrický odpor súsavy je rovný súču elekrických odporov jednolivých rezisorov. Takéo zapojenie používame, ak porebujeme elekrický odpor zväčšiť. Paralelné zapojenie rezisorov zv. zapojenie vedľa seba (obr. 5.6b). Spojíme navzájom vsupné svorky všekých rezisorov ako aj všeky výsupné svorky. Poom plaí: a) napäie na všekých rezisoroch je rovnaké U, je o spoločné napäie medzi uzlom vsupným a výsupným, b) elekrický prúd v nerozvevenej časi sa rovná súču elekrických prúdov v jednolivých n n U U U 1 1 1 1 vevách I = Ii = I1+ I + I3+... = + + +... = U( + + +...) = U, i= 1 1 3 1 3 i= 1 i c) ak je ekvivalenný elekrický odpor rozvevenej časi medzi bodmi A, B, plaí pre 1 elekrický prúd I: I = U, d) porovnaním predošlých vzťahov dosaneme pre výsledný elekrický odpor paralelného n n 1 1 zapojenia: =, resp. pre výslednú elekrickú vodivosť: G = Gi. (5.1) i= 1 i i= 1 Výsledný elekrický odpor je eda menší ako elekrický odpor korejkoľvek vevy. I 1 1 A I 1 3 n B A I I I 3 3 B A U 1 U U n U B I n n U U A B U Obr. 5. 6a Obr. 5.6b 5.1.4. Teploná závislosť elekrického odporu Elekrický odpor maeriálov závisí od eploy. Pre kovy a väčšinu vodivých láok môžeme úo závislosť vyjadriť vzťahom 0 1 1 A T T 0 = e, (5.13) kde je elekrický odpor pri eploe T, 0 je elekrický odpor pri eploe T 0, A je konšana s rozmerom eploy. Pre kovy plaí A < 0, pre polovodiče A > 0. Pre charakerizovanie eplonej závislosi zaveďme novú veličinu - eploný koeficien elekrického odporu vzťahom 60
1d 1 αt = [K ], (5.14) dt korý vyjadruje relaívnu zmenu elekrického odporu pri jednokovej zmene eploy. Po derivácii vzťahu (5.13) podľa eploy T a dosadení do (5.14) dosaneme súvis medzi konšanou A a koeficienom α T A α. T = (5.15) T Pre kovy a ich zliainy je eno koeficien kladný, pre polovodiče a izolany záporný. Hodnoy rezisiví a eploných koeficienov elekrického odporu sú pre niekoré maeriály uvedené v abuľke 5.1. Ak dosadíme (5.15) do (5.13), urobíme Taylorov rozvoj vzťahu (5.13) a zanedbáme vyššie mocniny, dosaneme 1 1 1 1 1 1 = 0[1 αtt + ( αtt ) +...], 1! T T0! T T0 čo môžeme zjednodušene zapísať v vare: 3 0[1 + αδ T + β( Δ T) + γ( Δ T) +...] (5.16) pričom plaí: Δ T = T T0, α, β, γ... sú koeficieny závislé od eploy a určia sa meraním elekrického odporu pri rôznych eploách. ρ ρ Pre malé zmeny eploy v okolí eploy = 0 0 C je závislosť elekrického odporu väčšiny kovov od eploy lineárna. Sačí uvažovať len c prvý člen radu (5.16) a plaí = 0(1 + α ), (5.17) resp. analogicky pre rezisiviu maeriálu b ρ = ρ0(1 + α), (5.18) 0 T c 5 15 Obr. 5.7 a T [K] pričom ρ 0 je rezisivia maeriálu pri eploe = 0 C. Hodnoa koeficienu α je závislá od vzťažnej eploy. Nielen hodnoy rezisiví ale aj eploných koeficienov elekrického odporu veľmi silne závisia od čisoy maeriálu a od spôsobu spracovania. Väčšina čisých kovov má eploný koeficien α približne rovnaký α 4 10 3 K 1 v rozmedzí eplô od 0 do 100 C. Závislosi rezisiviy od eploy pre čisé kovy (krivka a) ako aj pre kovy s prímesou (krivka b) a pre porovnanie aj závislosť rezisiviy od eploy pre polovodiče (krivka c) sú na obr. 5.7. Už malé množsvo prímesi spôsobí veľké zvýšenie elekrického odporu. 5.1.4.3 Supravodivosť Pri veľmi nízkych eploách je elekrický odpor kovov veľmi malý a pre niekoré kovy v blízkosi absolúnej nuly elekrický odpor zaniká akmer úplne. Teno jav sa nazýva supravodivosť a experimenálne ho objavil r. 1911 holandský fyzik Kammerlingh-Onnes (1853-196). Prechod do supravodivého savu nasáva skokom pri určiej, zv. kriickej eploe T c, korá je charakerisická pre daný kov, resp. zliainu (obr. 5.7, krivka a). Napríklad 61
pre olovo je o eploa 7,6 K, pričom elekrický odpor olova pri ejo eploe je 10 krá menší ako pri izbovej eploe. Ak v supravodivom prsenci vzbudíme elekrický prúd, poom aj pri odpojenom zdroji elekrického prúdu sa bude elekrický náboj pohybovať bez akýchkoľvek srá. Boli popísané experimeny, pri korých bol pokles elekrického prúdu v akomo supravodivom maeriáli aj po uplynuí roka ledva meraeľný. Zaujímavý jav u supravodičov objavili r. 1933 Meissner a Ochsenfeld - oiž, že magneické pole po prechode láky do supravodivého savu je v supravodiči nulové (B = 0). Táo skuočnosť je základom zv. supravodivej leviácie. Ak priblížime k supravodivej došičke pri príslušnej nízkej eploe magne, bude sa eno magne vznášať v určiej výške nad povrchom došičky. Približujúci sa magne vyvolá v supravodiči vznik indukovaných elekrických prúdov, korých magneické pole spôsobí leviáciu. Negaívnym javom u supravodičov je, že pôsobením magneického poľa supravodivosť zaniká. Každý maeriál v supravodivom save má zv. prahovú hodnou magneickej indukcie, pri korej eše osáva supravodivým. Zisilo sa iež, že niekoré kovy (napr. Cu, Ag, Au, Fe) nie je možné dosať do supravodivého savu. Široké prakické využiie supravodivosi limiuje fak, že sa dosahuje len pri veľmi nízkych eploách (eploy kvapalného hélia), čo je cenovo veľmi náročné. Po r. 1986 boli však objavené aké keramické maeriály, koré dosahovali supravodivosť pri oveľa vyšších eploách, napr. eploe kvapalného dusíka. V súčasnosi sa hľadajú supravodiče pri izbovej eploe. Cieľom výskumov v oblasi supravodivosi je nájsť maeriál, korý by bol supravodivý pri čo najvyššej eploe, dali by sa z neho vyvárať magney a súčasne by mal vysokú prahovú hodnou magneickej indukcie. Spekrum aplikácií supravodivosi už v súčasnosi je veľké. Využívajú sa najmä v supravodivých cievkach na vyváranie silných magneických polí, supravodivé vinuia generáorov, v kozmickom výskume a jadrovej echnike, na konšrukciu magneov pre magneo-hydrodynamické generáory (MHD) pri výskume ermojadrových synéz, ale budúcnosť môžu mať aj aplikácie v bežnom živoe, napr. pohyb vozidiel na supravodivých magneických poduškách. 5.1.5 Zdroje elekromoorického napäia Na voľné nosiče elekrického náboja vo vodiči musí sále pôsobiť sila, aby vodičom iekol elekrický prúd. Ak by sme prepojili nabié dosky kondenzáora vodičom, bude kladný elekrický náboj prechádzať z dosky (elekródy) s vyšším elekrickým poenciálom do miesa s nižším elekrickým poenciálom. Dokiaľ sa elekrické náboje na doskách kondenzáora nevyrovnajú, vodičom poečie elekrický prúd. Ak chceme vo vodiči dosiahnuť usálený elekrický prúd, musíme sále dodávať kladný elekrický náboj zo zápornej dosky (elekródy) na kladnú (obr. 5.8a). Zariadenie, koré dopĺňa elekrické náboje na ýcho elekródach ak, že udržuje na nich konšanný rozdiel poenciálov sa nazýva zdroj elekromoorického napäia. Elekróda s vyšším elekrickým poenciálom je kladný pól zdroja (+ svorka), druhá elekróda sa nazýva záporný pól zdroja ( svorka). Vnúri akéhoo zdroja sa kladné elekrické náboje pohybujú z mies s nižším elekrickým poenciálom do mies s vyšším poenciálom, eda ku kladnému pólu zdroja. Je o práve opačný smer, než smer, v korom by sa pohybovali za účinku elekrického poľa medzi ýmio elekródami. V zdroji elekromoorického napäia preo musia exisovať sily, koré konajú prácu proi silám elekrického poľa. Tieo sily sú neelekrického pôvodu a nazývame ich cudzie alebo vnúené sily F c. Môžu mať napr. mechanickú, chemickú, difúznu, elekromagneickú povahu. Pre inenziu akéhoo vnúeného poľa môžeme písať 6
c E c = F. (5.19) Q Výsledná inenzia je daná vekorovým súčom inenziy elekrického poľa a vnúeného poľa E výsl. = E c + E. (5.0) Základnými charakerisikami zdroja sú elekromoorické napäie (EMN) a vnúorný elekrický odpor zdroja. Definujme si posupne obe ieo veličiny. Elekromoorické napäie zdroja sa rovná práci, korú vykoná cudzia sila pri prenesení jednokového kladného elekrického náboja z miesa nižšieho elekrického poenciálu (zo zápornej svorky zdroja) do miesa s vyšším poenciálom (kladná svorka) proi silám exisujúceho elekrického poľa. Maemaicky úo definíciu zapíšeme nasledovne + + W + Fc E = = d c d Q = Q E. (5.1a) Inenzia cudzích (vnúených) síl je nenulová iba vo vnúri zdroja a definíciu elekromoorického napäia môžeme rozšíriť na inegráciu po uzavorenej krivke prechádzajúcej zdrojom ale v smere od svorky po svorku + + E = E d = E d. (5.1b) c c Uvažujme najprv zv. nezaťažený zdroj, eda zdroj neprepojený elekrickým obvodom. Elekrický prúd je nulový a husoa elekrického prúdu je iež nulová. Na základe Ohmovho zákona môžeme písať: ρ J = 0 = ( Ec + E) E c = E. Z definície EMN poom dosaneme: + + E = Ec d = E d = E d = E d + E d = E d E d = V V = U. (5.) + + + ozdiel poenciálov na svorkách zdroja sa nazýva svorkové napäie. 63 + Napäie na svorkách nezaťaženého zdroja sa rovná elekromoorickému napäiu zdroja. Ak pripojíme k svorkám zdroja EMN záťaž eda napr. určiý sporebič s elekrickým odporom a obvod uzavrieme, bude preekať elekrický prúd od kladnej svorky zdroja cez odporovú záťaž k zápornej svorke zdroja a odiaľ cez zdroj opäť ku kladnému pólu zdroja (obr. 5.8a). Vynásobme vekor husoy elekrického prúdu skalárne dĺžkovým elemenom prúdnice d a inegrujme rovnicu pozdĺž celého obvodu. Smer inegračnej cesy volíme ak, aby práca vnúených síl bola kladná, smer elekrických prúdov je kladný v smere inegračnej cesy. ρj = Ec + E (5.3) ρj d = ( Ec + E) d = Ec d + E d. Prvý inegrál na pravej srane predsavuje podľa (5.1b) elekromoorické napäie zdroja, druhý inegrál je nulový, preože elekrické pole je konzervaívne a eda ρj d = Ec d. (5.4) ozpíšme inegrál na ľavej srane ako súče inegrálov pozdĺž vonkajšej časi obvodu a inegrál po cese cez zdroj nasledovne:
+ ρ J d = ρ J d + ρ J d. + Preože smery vekorov J a d sú súhlasne rovnobežné, plaí J d = J d, pričom môžeme dosadiť za veľkosť husoy elekrického prúdu vzťah + ρjd + ρjd = E + + I J =. Nakoniec dosávame S ρd ρd E I + I = E I( + ) = E,resp. I =, i Sobv. Szdroja + + i (5.5) ρ d pričom výraz = predsavuje elekrický odpor vonkajšieho obvodu.j. elekrický S + obv. odpor záťaže, a analogicky výraz + ρ d i = (5.6) S zdroja znamená vnúorný elekrický odpor zdroja. Na základe odvodeného vzťahu (5.4) si môžeme predsaviť náhradnú schému zdroja EMN ak, že reálny zdroj EMN nahradíme sériovým zapojením ideálneho (bezodporového) zdroja EMN a jeho vnúorného elekrického odporu i (obr. 5.8b). I + E E c + _ Súvis medzi elekromoorickým E a svorkovým napäím U môžeme ďalej vyjadriť: i E = I( + i) = U + Ii = U(1 + ) (5.7) resp. U = E Ii. Svorkové napäie U = I je súčasne napäím na záťaži s elekrickým odporom. Svorkové napäie je menšie ako elekromoorické napäie o napäťový úbyok na vnúornom elekrickom odpore zdroja. Svorkové napäie sa rovná elekromoorickému napäiu v prípade nezaťaženého zdroja (I = 0) alebo v prípade ideálneho zdroja, pri korom môžeme jeho vnúorný odpor zanedbať ( i = 0). Zdrojmi elekromoorického napäia sú napr. galvanické články, akumuláory, dynamá, ermočlánky a pod. Podľa veľkosi vnúorného elekrického odporu delíme zdroje na vrdé a mäkké. Ak má zdroj malý vnúorný odpor hovoríme o vrdých zdrojoch EMN. Na akomo zdroji je napäťový spád malý v porovnaní s elekromoorickým napäím. Ide napr. o akumuláor používaný v auách, korého vnúorný elekrický odpor je rádovo 10 3 Ω a preo aj keď šarovací prúd je asi 00 A, predsavuje úbyok napäia na vnúornom elekrickom odpore len 0, V. I i + _ Obr. 5.8a Obr. 5.8b E 64
Mäkké napäťové zdroje sú zdroje s veľkým vnúorným elekrickým odporom sú o napr. elekrosaické generáory napäia. Zdroje EMN môžeme spájať do série aj paralelne. Pri sériovom zapojení zdrojov dosaneme výsledný zdroj, korého EMN bude dané súčom EMN jednolivých zdrojov (napr. zmienený 1 V akumuláor je sériovým spojením šiesich článkov, každý s EMN = V), ale súčasne aj vnúorný elekrický odpor výsledného zdroja je sumou vnúorných odporov jednolivých zdrojov, a preo sa výsledný zdroj sáva mäkším. Too vrdenie vyplýva z. Kirchhoffovho zákona (rovnica 5.41), korý si objasníme v časi 5... Paralelne môžeme zapojiť len idenické zdroje, pričom spájame spolu svorky rovnakej polariy. Výsledné EMN oho radenia je rovnaké ako EMN jedného zdroja, ale vnúorný elekrický odpor klesne n- krá v porovnaní s vnúorným odporom jedného zdroja. Môžeme ým dosať vrdší zdroj napäia. 5.1.6 Práca a výkon elekrického prúdu Uvažujme zdroj elekromoorického napäia pripojený k sporebiču (obr. 5.8b). Nech zdroj EMN má vnúorný elekrický odpor i a sporebič má elekrický odpor. Obvodom bude iecť elekrický prúd, poenciálna energia elekrických nábojov sa v sporebiči mení na iné formy energie napr. na mechanickú prácu, na chemickú energiu, na eplo. Vyjadrime elemenárnu prácu zdroja EMN pri prenášaní náboja dq cez uzavreý obvod dw = dq Evýsl. d = dqe = Id ( + i ) I = I ( + i )d, (5.8) pričom sme využili úpravu inegrálu analogicky ako v rovniciach (5.3) a (5.4). Práca vykonaná za jednoku času je výkon dw dqe P= = = EI, resp. d d (5.9) d W I ( + i )d P= = = I + I i EI = I + I i. d d Po dosadení elemenárnej práce (5.8) sme dosali energeickú bilanciu v obvode celkový odovzdávaný výkon zo zdroja P c =E I sa rovná súču výkonu sporebovaného v sporebiči P = I a výkonu, korý sa sporebuje v samonom zdroji P i = i I. Sraový výkon v zdroji sa prejaví zahrievaním zdroja, elekrická energia sa premieňa na Jouleovo eplo. Skúmajme eraz užiočný výkon, sporebovaný v záťaži. Dosaďme za elekrický prúd priebeh závislosi elekrického prúdu od elekrického odporu zo vzťahu (5.5). Poom pre užiočný výkon dosaneme P I E = =. (5.30) ( + i) Uvažujme liminé prípady: a) Ak elekrický odpor záťaže = 0, hovoríme, že zdroj je skraovaný. Obvodom bude preekať maximálny zv. skraový elekrický prúd Iskr = E. i Užiočný výkon P = 0, celý výkon zdroja sa realizuje ako sraový výkon v zdroji a môže spôsobiť zničenie zdroja: P skr = E. i 65
b) Ak elekrický odpor záťaže =, ide o ovorený zdroj, zv. zapojenie zdroja naprázdno.plaí I = 0, P = 0. Ak meníme hodnou elekrického odporu záťaže v inervale <0, >, mení sa užiočný výkon, pričom v ýcho liminých prípadoch je nulový. Musí preo exisovať aká hodnoa elekrického odporu záťaže, pri korej dosiahne užiočný výkon svoje maximum. Hľadajme preo exrém funkcie (5.30) P ( + i) ( + i) = 0 E = 0 = 4 i. (5.31) ( + i ) Zdroj bude odovzdávať do záťaže maximálny výkon vedy, keď bude splnená podmienka výkonového prispôsobenia zdroja a záťaže,. j. ak elekrický odpor záťaže je rovný vnúornému elekrickému odporu zdroja. Takáo záťaž sa nazýva prispôsobená záťaž. Maximálny užiočný výkon poom bude P = E. (5.3) 4i Ak vyjadríme účinnosť zdroja ako pomer užiočného a celkového výkonu P I 1 η = = = (5.33) Pc ( + i) I i 1+ vidíme, že v prípade prispôsobenej záťaže dodáva síce zdroj do záťaže maximálny výkon, ale je o len polovica celkového výkonu zdroja, účinnosť je η = 1/. Druhá polovica výkonu spôsobuje veľké zahrievanie zdroja. V akomo režime môžu pracovať zdroje len krákodobo, keď je porebné dodať do sporebiča okamžie veľkú energiu napr. pre šarovanie moora. V bežnej energeickej prevádzke sa vyžaduje čo najvyššia účinnosť η 1 (aj na úkor oho, že užiočný výkon nebude maximálny). To dosiahneme vedy, keď elekrický odpor záťaže bude oveľa väčší ako vnúorný elekrický odpor zdroja >> i. Priebeh užiočného výkonu P ako aj účinnosi zdroja η v závislosi od pomeru / i je na obr. 5.9. P η E 1 4 i P η 0,5 0 1 3 Obr. 5.9 i 66
5. Jednosmerné elekrické obvody Pod elekrickou sieťou rozumieme zapojenie rôznych elekroechnických prvkov ako sú kondenzáory, rezisory, cievky a zdroje EMN do určiých uzavreých konfigurácií. Jednosmerná sieť je poom aká elekrická sieť, v korej ečie usálený jednosmerný elekrický prúd. Pozosáva len zo zdrojov EMN, rezisorov a spojovacích vodičov. Uzlom siee nazývame mieso, kde sa spájajú aspoň ri vodiče. Veva siee je vodivé spojenie sériovo zapojených rezisorov a zdrojov EMN medzi dvoma uzlami. Časť elekrickej siee, voriaca uzavreý nerozvevený obvod sa nazýva slučka. iešiť elekrickú sieť znamená vypočíať jednolivé elekrické prúdy v jednolivých vevách obvodu. 5..1 ovnica koninuiy elekrického prúdu Jedným zo zákonov charakerizujúcich vlasnosi elekrického náboja je zákon zachovania elekrického náboja. Uvažujme spojenie viac ako dvoch vodičov - uzol v elekrickej siei. Vodičmi nech preekajú usálené (sacionárne) elekrické prúdy I i. Celkový elekrický náboj vekajúci do uzla sa musí rovnať elekrickému náboju vyekajúcemu z uzla, preože elekrický náboj podľa zákona zachovania elekrického náboja nemohol zaniknúť a ani sa nikde hromadiť, preože elekrické prúdy sú usálené. Bilanciu elekrického náboja v elekrických prúdoch I i. vyjadríme rovnicou vs vys I = I i j. (5.34) i j ovnica (5.34) vyjadruje I. Kirchhoffov zákon a je dôsledkom zákona zachovania elekrického náboja pre sacionárne elekrické prúdy. Elekrický prúd má v skuočnosi nespojiý charaker, preože ide o pohyb nabiých mikročasíc. Pre elekrické prúdy, koré nie sú exrémne malé môžeme zaviesť predsavu elekrického prúdu ako pohybu spojiého rozloženia elekrického náboja s určiou objemovou husoou. ovnica spojiosi, resp. koninuiy vyplýva zo zákona zachovania elekrického náboja. Zvoľme si vo vodiči (obr. 5.10) objem τ, ohraničený plochou S, a nech v omo objeme je elekrický náboj Q s objemovou d Q husoou ρ =, poom Q ρ d τ dτ =. S ds τ ρ J Výok vekora husoy elekrického prúdu J τ z uzavreej plochy sa rovná časovému úbyku náboja z objemu τ: Obr. 5.10 dq J d S = d (5.35) S ( τ ) ovnica (5.35) je rovnica koninuiy elekrického prúdu v inegrálnom vare. 67
5..1.1 ovnica koninuiy elekrického prúdu v diferenciálnom vare* Ľavú sranu rovnice (5.35) môžeme prepísať pomocou Gaussovej vey vekorovej analýzy na objemový inegrál z divergencie vekora J. Ak na pravej srane vyjadríme celkový elekrický náboj pomocou objemovej husoy náboja dosaneme d divj dτ = d d ρ τ τ τ. (5.36) ρ divj d τ = dτ τ τ Keďže husoa elekrického náboja môže závisieť nielen od času ale aj od polohy, prešla obyčajná derivácia v predošlom vzťahu na parciálnu deriváciu. Obor inegrácie je na obidvoch sranách rovnice rovnaký, preo musí plaiť ρ div J + = 0. (5.37) ovnica (5.37) je rovnica spojiosi elekrického prúdu v diferenciálnom vare a rovnako ako (5.35) vyjadruje zákon zachovania elekrického náboja. ovnica spojiosi elekrického prúdu plaí ako pre jednosmerné, ak pre nízkofrekvenčné aj vysokofrekvenčné elekrické prúdy. Dosaďme do rovnice (5.37) Ohmov zákon (5.5) v diferenciálnom vare J = σ E a za inenziu elekrického poľa diferenciálny var ρ Gaussovho zákona z elekrosaiky: dive =. Dosaneme ε 0 div ρ 0 ρ σ E + = σ = ρ. ε 0 Separáciou premenných a inegráciou dosaneme časovú závislosť objemovej husoy elekrického náboja v vare ρ dρ σ ρ σ = d ln ρ = ε ρ0 0 0 ρ0 ε0. (5.38) σ ε0 ρ = ρ0 e Vidíme, že ak sa vo vnúri vodiča z nejakej príčiny vyvoril elekrický náboj, ak sa s časom rozplynie podľa uvedenej rovnice, pričom mierou rýchlosi návrau k pôvodnému savu ε 0 r 0 je časová konšana τ = (pre vodiče je τ rádovo 10 15 10 13 s, pre polovodiče σ 10 13 10 10 s). 5.. Kirchhoffove zákony Z rovnice spojiosi (5.35) pre sacionárny (od času nezávislý) sav d Q 0 d = vyplýva J d S = 0. (5.39) S Uvažujme eraz časť elekrickej siee uzol, v korom sa sreajú napr. šyri vodiče. Obklopme uzol myslenou uzavreou plochou S, korá vyína na prierezoch vodičov plochy S 1, S, S 3, S 4. Týmio vodičmi preekajú elekrické prúdy I 1, I, I 3, I 4 (obr. 5.11). V akomo prípade musí plaiť 68
0= J d S = J d S + J d S + J d S + J d S = I + I + I I. 1 1 3 3 4 4 1 3 4 S S1 S S3 S4 Vekor husoy elekrického prúdu mimo vodičov je nulový, preo ok vekora husoy elekrického prúdu cez celú uzavreú plochu S je daný súčom inegrálov, koré predsavujú elekrické prúdy jednolivými vodičmi. Znamienko pri jednolivých elekrických prúdoch závisí od oho, či vekory J a ds sú súhlasne rovnobežné (prúd prierezom vyeká) alebo nesúhlasne rovnobežné (prúd prierezom veká do uzla). Ak zovšeobecníme úo úvahu pre n-vodičov, sreávajúcich sa v uzle, môžeme pre I 1 I 4 S 1 S 3 S 4 jednosmerný sacionárny sav maemaicky a slovne vyjadriť 1. Kirchhoffov zákon nasledovne: I = I, resp. I = 0. (5.40) vs vys alg i j k i j k Súče elekrických prúdov do uzla vekajúcich sa rovná súču elekrických prúdov z uzla vyekajúcich. Teno zákon sme v úvode k ejo časi jednoducho formulovali pre usálené prúdy. Teraz sme videli, ako vyplýva zo všeobecne planej rovnice koninuiy. Obr. 5.11 Majme časť elekrickej siee, voriacu uzavreý obvod, zv. slučku. Jednolivé vevy siee - medzi susednými uzlami obsahujú zdroje jednosmerného napäia, charakerizované elekromoorickými napäiami E i, a rezisory s elekrickými odpormi k (vnúorný elekrický odpor zdrojov môžeme formálne zahrnúť do elekrického odporu danej vevy). Posupujme eraz ak ako v prípade jednoduchého elekrického obvodu a rozpíšme rovnicu (5.4) ρj d = E d pre slučku na obr. 5.1 zvlášť pre jej ľavú a pravú sranu. uzol I 3 c S I B I + A I 1 1 E 1 I 4 4 + E I 3 3 C Pre ľavú sranu dosávame B C D A B C D A ρd ρd ρd ρd ρ J d = ρ J d + ρ J d + ρ J d + ρ J d = I + I I I = S S S S 1 3 4 A B C D A B C D = I+ III 1 1 3 3 4 4 D Obr. 5.1 69
Pre pravú sranu dosávame B C D A E c d E c d E c d E c d E c d 0 ( E1) + 0 E = E E1. A B C D Ak zovšeobecníme eno posup na n zdrojov EMN a m elekrických odporov v danej slučke, môžeme formulovať. Kirchhoffov zákon n m alg alg i = ( I k k) i= 1 k= 1 E. (5.41) Algebraický súče elekromoorických napäí zdrojov v ľubovoľnom uzavreom obvode sa rovná algebraickému súču napäťových úbykov na jednolivých vevách. Znamienka zdrojov a napäťových úbykov v algebraickom súče sú určené nasledovne: Znamienko elekromoorického napäia zdroja je kladné, ak inegračná cesa vo vnúri zdroja je od zápornej svorky ku kladnej, znamienko napäťového úbyku je kladné, ak zvolený smer elekrického prúdu má smer rovnaký ako je smer inegrácie. 5..3 iešenie jednoduchých elekrických sieí Pomocou 1. a. Kirchhoffovho zákona môžeme riešiť jednoduché elekrické siee. Pod riešením rozumieme výpoče elekrických prúdov vo všekých vevách danej siee alebo určenie elekrických poenciálov všekých uzlov. Posup pri analýze elekrickej siee je nasledovný: 1. Ľubovoľne si zvolíme a do schémy šípkami označíme smery elekrických prúdov v jednolivých vevách. (Ak vypočíaná hodnoa elekrického prúdu bude kladná smer elekrického prúdu v danej veve bol zvolený správne, ak vypočíaný elekrický prúd bude záporný, ečie v skuočnosi elekrický prúd opačným smerom ako bola naša voľba.). Zvolíme si kladný smer obehu slučky (je o v podsae voľba smeru inegrácie). 3. Zakreslíme si do schémy smery inenziy E c v zdrojoch od zápornej svorky ku kladnej. 4. Ak máme v analyzovanej siei celkove p-prúdov a u -uzlov, zosavíme podľa 1. Kirchhoffovho zákona (u 1) lineárne nezávislých rovníc pre elekrické prúdy. 5. Zosavíme pomocou. Kirchhoffovho zákona rovnice pre n nezávislých uzavreých obvodov, pričom musí plaiť: n = p (u 1), preože aby sme mohli vypočíať p neznámych elekrických prúdov porebujeme zosaviť celkove p lineárne nezávislých rovníc. 6. Ak smer obehu slučky je oožný so smerom E c, resp. so smerom elekrických prúdov vo vevách, budú EMN napäia E i, resp. napäťové úbyky k I k kladné, v opačnom prípade záporné. 7. iešime súsavu lineárnych rovníc a vypočíame neznáme elekrické prúdy. 70
Pre ilusráciu zosavme na základe 1. a. Kirchhoffovho zákona a použiím uvedenej konvencie a posupu súsavu lineárne nezávislých rovníc pre elekrický obvod na obr. 5.13. 3 E 1 I 1 I 3 I E I I I = 0 1 3 I + I = E 1 1 1 I + ( 3+ 4) =E iešením ýcho lineárne nezávislých rovníc môžeme dosať neznáme elekrické prúdy I 1, I a I 3 : E1( + 3+ 4) E I1 = ( + + ) + ( + ) I I 3 1 3 4 3 4 E1( 3+ 4) + E1 = ( + + ) + ( + ) 1 3 4 3 4 E1 E( 1+ ) = ( + + ) + ( + ) 1 3 4 3 4 1 4 Obr. 5.13 5..4 Prechodové javy v C obvode Každý elekrický obvod, obsahujúci kondenzáor (resp. 1 cievku) prechádza pri akejkoľvek zmene napäia zv. prechodovým savom. Popíšeme prechodový jav, vznikajúci na kondenzáore v C obvode jednosmerného elekrického prúdu + E (obr. 5.14) pri pripojení (spojenie konaku 1) a odpojení zdroja C elekromoorického napäia (spojenie konaku ). Časovo závislé napäia a elekrické prúdy budeme v ďalšom označovať malými písmenami. Nech je kondenzáor v čase 0 = 0 nenabiý. V okamihu Obr. 5.14 pripojenia (prepínač v polohe 1) jednosmerného zdroja elekromoorického napäia E bude obvodom preekať elekrický prúd: i(0) = I0 = E kondenzáor bude predsavovať skra, a elekromoorické napäie zdroja sa bude rovnať napäťovému úbyku na rezisore: E = U 0. 71
d Q ( ) Nabíjací elekrický prúd i () = privádza na dosky kondenzáora elekrický d Q () náboj, na kondenzáore vzniká elekrické napäie: uc() =. V čase sa už napäie zdroja C bude rovnať súču napäí na rezisore a na kondenzáore, pričom napäie na kondenzáore počas oho prechodového javu narasá, napäie na rezisore klesá. Časový priebeh však nie je lineárny. Aplikujme. Kirchhoffov zákon pre danú slučku a dosaďme doňho priebeh napäia na kondenzáore u C () a definíciu elekrického prúdu i(). Proces nabíjania kondenzáora bude charakerizovať poom diferenciálna rovnica, korú riešime separáciou premenných. E E Q () E = u() + uc() = i() + C 0 u C τ τ 3τ d Q ( ) Q ( ) E = + d C 0 τ τ 3τ Q dq 1 Q dq 1 u C = ( E ) = d d C Q 0 E 0 C Q E 1 Q C Cln C = E = E e E C 0 Z poslednej rovnice dosávame τ τ 3τ 0 τ τ 3τ u časový priebeh elekrického náboja u na kondenzáore, resp. hľadaný priebeh napäia na kondenzáore v vare: U 0 C τ τ 3τ Q () = CuC() = CE(1 e ), (5.4) 0 0 τ τ 3τ C uc() = E(1 e ). Konšanu τ = C voláme časová konšana C obvodu. Ak uplynie čas Obr. 5.15 a Obr. 5.15 b = τ, poom napäie na kondenzáore dosiahne hodnou u C (τ) = 0,63 E. Prechodový sav pri nabíjaní kondenzáora skončí približne za čas = 3τ, kedy napäie na kondenzáore vzrasie na 95 % napäia zdroja. Elekrický nabíjací prúd ako aj napäie na rezisore budú počas oho deja exponenciálne klesať z počiaočnej hodnoy I 0 (resp. U 0 ) C d Q ( ) d[ CE(1 e )] E C C i () = = = e = I0 e, d d C = = 0 = 0 C u () i() I e U e. (5.43) Podobný prechodový jav vzniká aj pri odpojení zdroja (prepínač v polohe ). Kondenzáor je nabiý na napäie U 0 (pričom hodnoa U 0 = E), počiaočný elekrický náboj kondenzáora je Q 0 = CU 0. Kondenzáor sa začne vybíjacím elekrickým prúdom vybíjať cez rezisor s elekrickým odporom. Pri vybíjaní sa vlasne premieňa elekrická energia 7
akumulovaná v kondenzáore na epelnú energiu sporebovanú v rezisore. Základná rovnica, popisujúca eno dej bude (zdroj je odpojený, preo E = 0) u() + uc() = 0 Q () i() + = 0 C Q dq Q dq 1 = d d C = Q C (5.44) 0 Q0 Q C ln = Q= Q0 e, Q C 0 C resp. uc( ) = U0 e a jej riešením sme dosali exponenciálny pokles napäia na kondenzáore. Časový priebeh vybíjacieho elekrického prúdu, resp. priebeh napäia na rezisore bude: C d Q ( ) d( Q0 e ) Q 0 C C () = = = e =I0e, i d d C C = = 0 = 0 (5.45) C u () i() I e U e. Na rezisore vzniká pri vybíjaní napäie opačnej polariy ako pri nabíjaní. Napäia na kondenzáore a na rezisore sa zmenšujú, za čas = τ, napäie na kondenzáore dosiahne hodnou u C (τ) = 0,368 U 0. Prechodový sav zanikne približne po uplynuí doby = 3τ. Časové priebehy napäia na kondenzáore a na rezisore pri zapínaní a vypínaní zdroja sú na obr. 5.15a, b. 5..5 Meranie jednosmerného elekrického prúdu a napäia Elekrické meracie prísroje využívajú väčšinou magneické účinky elekrických prúdov alebo naopak magneické pôsobenie na elekrické prúdy. Ide o magneoelekrické (deprézske) prísroje, elekromagneické a elekrodynamické meracie prísroje. V každom prípade preeká meracím prísrojom elekrický prúd. Ak má merací prísroj malý vnúorný elekrický odpor A [ (0,1 1) Ω pri rozsahu 1A], zapájame ho do elekrického obvodu sériovo a jeho výchylka je poom priamo úmerná preekajúcemu elekrickému prúdu. Supnica oho prísroja je okalibrovaná v jednokách elekrického prúdu a prísroj nazývame ampérmeer, resp. miliampérmeer, mikroampérmeer, podľa rozsahu meraných elekrických prúdov. A Ak rovnaký merací prísroj, ale s veľkým I vnúorným elekrickým odporom V ( V > 10 3 Ω ) pripojíme paralelne k zdroju alebo sporebiču, bude i slúžiť ako merač napäia. Prísroj nazývame volmeer V (milivolmeer) a jeho supnica je priamo okalibrovaná v jednokách napäia. Vnúorný elekrický odpor E volmera musí byť podsane vyšší ako vnúorný elekrický odpor zdroja EMN V >> i, aby sa jeho svorkové napäie pripojením volmera podsane Obr. 5.16 nezmenilo. Schéma zapojenia ampérmera a volmera 73
v jednoduchom elekrickom obvode je na obr.5.16. V súčasnosi sa najviac používajú digiálne meracie prísroje. Základ ýcho prísrojov vorí digiálno-analógový prevodník. Na reguláciu jednosmerných elekrických prúdov a napäí používame reosay a poenciomere. Ide zvyčajne o navinuý drô na keramickom valci, po vinuí sa pohybuje zv. jazdec uhlíkový zberný konak. Podľa spôsobu zapojenia akéhoo rezisora v elekrickom obvode môžeme regulovať buď elekrický prúd alebo napäie. V zapojení podľa obr. 5.17a plynule regulujeme elekrický prúd v obvode pomocou reosau. Jeho premenlivá časť s elekrickým odporom r medzi svorkami 1 a J je sériovo 1 J 1 J + U r + U p Obr. 5.17a pripojená k rezisoru sporebiča s elekrickým odporom. Tým dokážeme meniť celkový elekrický odpor v obvode a eda aj elekrický prúd, preekajúci sporebičom v rozmedzí U U I <, >. + r V zapojení podľa obr. 5.17b môžeme dosiahnuť plynulú reguláciu napäia od 0 po celkové svorkové napäie zdroja U. ezisor s pohyblivým jazdcom je eraz vo funkcii poenciomera deliča napäia. V obidvoch zapojeniach nesmieme prekročiť dovolené prúdové zaťaženie ako zdroja, ak rezisorov v ich celom regulačnom rozsahu. 5..5.1 Zväčšovanie rozsahov prísrojov Obr. 5.17b ozsah ampérmera môžeme zväčšiť ak, že časť meraného elekrického prúdu odvedieme do paralelnej vevy do zv. bočníka s elekrickým odporom b. Zo schémy (obr. 5.18a) vidíme, že vo vnúri ampérmera ide o paralelné radenie rezisorov s elekrickými odpormi ampérmera A a bočníka b. Na základe Kirchhoffových zákonov musí plaiť ampérmeer I I b I A b A volmeer I V A V i V U V U i E p U p E Obr. 5.18a Obr. 5.18b 74
I = I + I I A b b b AIA= 0. Ak základný rozsah ampérmera je elekrický prúd I A (hodnoa nameraná pri maximálnej výchylke základnej supnice prísroja), a chceme merať elekrický prúd, korý je n krá väčší,.j. I = n I A, musíme v prísroji zaradiť bočník, korého elekrický odpor bude I A A I A A I A A A b = = = =. (5.46) Ib I IA nia IA n1 ozsah volmera zväčšujeme ak, že vo vnúri prísroja zaradíme sériovo zv. predradný rezisor, korého elekrický odpor je p. Poom cez vnúorný elekrický odpor volmera V a predradný odpor p ečie rovnaký elekrický prúd, a na elekrických odporoch dosávame vlasne napäťový delič (obr. 5.18b). Bude plaiť: UV = VIV U V U = UV + Up = ( V + p) IV = ( V + p). V Ak chceme pôvodný rozsah volmera (plná výchylka meradla ukazuje hodnou U V ) zväčšiť n krá,.j. U = n U V, musíme pripojiť predradný rezisor s elekrickým odporom: U V nu V = ( V + p) p = ( n 1) V. (5.47) V 5..5. Bezpečnosť práce s elekrickým napäím Elekrický prúd pôsobí na ľudský organizmus rôznym spôsobom. Podľa Ohmovho zákona závisí elekrický prúd od aplikovaného napäia a od elekrického odporu. Nakoľko bunky ľudského ela obsahujú veľké perceno vody aj s rozpusenými soľami (napr. NaCl) vyznačujú sa veľkou vodivosťou. Izolačné vlasnosi má len povrchová vrsva pokožky, pokiaľ je v suchom save. Pre jednosmerné elekrické prúdy (ako aj nízkofrekvenčné sriedavé elekrické prúdy) je práve elekrický odpor kože rozhodujúci z hľadiska jeho účinkov na organizmus. Elekrický odpor kože sa mení rádovo od 10 5 Ω pre suchú kožu, po 10 3 Ω pre mokrú (spoenú) kožu. Preo elekrický prúd preekajúci cez elo (ak uvažujeme napäie siee 0 V), môže nadobúdať hodnoy ma, resp. 00 ma. Zaiaľ čo v prvom prípade preekajúci elekrický prúd cez elo nespôsobí vážne poranenia, môže v druhom prípade byť smreľným. Nebezpečie poškodenia organizmu elekrickým prúdom nezávisí len od jeho veľkosi ale aj od prúdovej cesy. ovnako veľký elekrický prúd preekajúci od prsov po rameno jednej ruky môže síce spôsobiť bolesi a nepríjemný šok, ale en isý elekrický prúd prechádzajúci z jednej ruky do druhej cez pľúca môže byť faálny. Jednolivé časi ľudského ela sú rôzne cilivé na účinky elekrického prúdu. Najviac ohrozené sú mozog, nervové cenrá konrolujúce dýchanie a chod srdca a hrudné svaly. Elekrický prúd môže poškodiť ľudský organizmus romi spôsobmi: - môže spôsobiť inenzívne zohriaie ela až horenie, - porušiť správnu činnosť nervového sysému a srdca, - spôsobiť nekonrolovaeľné a nekoordinované svalové kŕče a fibriláciu srdca. Pri veľkých elekrických prúdoch sa môže srdce zasaviť (bez fibrilácie), čo je z hľadiska oživenia činnosi srdca nádejnejšie ako sav fibrilácie. V prípade fibrilácie musíme najprv pomocou defibriláora, (korým aplikujeme na srdečný sval krákodobý elekrický prúd s 75
výkonom okolo 100 kw), vlasne srdce najprv celkom zasaviť a až poom nasavovať normálny srdcový rymus. V nasledujúcej abuľke sú orienačné hodnoy elekrického (nízkofrekvenčného) prúdu s uvedením ich účinkov na ľudský organizmus. Elekrický prúd I Biologický účinok [ma] 0 0,5 Žiadny 0,5,0 sraa cilivosi 10 svalové kŕče, bolesi 10 0 svalové kŕče, poruchy činnosi orgánov 0 100 paralýza dýchania 100 3 000 smreľné fibrilácie srdca > 3 000 Zasavenie srdca (pri krákodobom šoku je možné srdce akivovať), ťažké popáleniny 5.3 Základy eórie vodivosi V ejo časi kvaliaívne popíšeme rôzne mechanizmy vedenia elekrického prúdu v jednolivých médiách v kovoch, polovodičoch, elekrolyoch a v plynoch. 5.3.1 Elekrický prúd v kovoch Valenčné elekróny voľných aómov kovov (aómov eše nezabudovaných do kryšálovej mriežky kovu) sú pomerne slabo viazané. Ak sú aómy kovov usporiadané v kryšálovej mriežke kovu, ak ieo valenčné elekróny sa môžu od jedného aómu kovu k druhému voľne pohybovať. Kov si v prvom priblížení môžeme predsaviť ak, že je vyvorený z iónov aómov kovu umiesnených v kryšálovej mriežke kovu a plynu voľných elekrónov. Tieo elekróny sa z hľadiska pásmovej eórie aj nazývajú vodivosné elekróny. Pokiaľ nie je príomné elekrické pole je výsledný elekrický prúd nulový, preože poče elekrónov pohybujúcich sa v jednom smere je rovnaký ako poče elekrónov v smere opačnom. Až príomnosť elekrického poľa usmerní pohyb elekrónov v určiom smere. Klasická elekrónová eória vysveľuje vznik usáleného elekrického prúdu ak, že vodivosné elekróny v kovoch, pohybujúce sa pod vplyvom elekrického "urýchľovacieho" poľa, narážajú pri svojom pohybe na ióny v uzloch kryšalickej mriežky. Elekróny priom srácajú časť energie získanej od elekrického poľa, s čím súvisí exisencia elekrického odporu kovového maeriálu. Teória elekrónovej vodivosi kovov siaha do r. 1900, kedy P. Drude (1863-1906) navrhol klasickú eóriu vodivosi kovov. Pre srednú kineickú energiu ideálneho elekrónového plynu plaí v rámci klasickej fyziky Maxwellovo-Bolzmannovo rozdelenie energie, pričom pre srednú hodnou kineickej energie pri absolunej eploe T plaí 3 1 E = kt = mv (5.48) kde k je Bolzmannova konšana, m je hmonosť elekrónu, v je sredná epelná rýchlosť elekrónov (pri izbových eploách dosahuje hodnoy rádove 10 5 m s 1 ). 76
Ak na elekrón pôsobí sila od elekrického poľa, začne sa elekrón okrem oho chaoického epelného pohybu pohybovať aj drifovou unášavou rýchlosťou proi smeru inenziy elekrického poľa E, korú môžeme vyjadriť riešením pohybovej rovnice ee λ eeτ ma = ee v = a τ = =, (5.49) mv m kde λ označuje srednú voľnú dráhu, je o sredná vzdialenosť, korú elekrón prejde medzi λ dvomi zrážkami a je čas, korý priom uplynie: τ =. v Drifová rýchlosť v je sredná usmernená rýchlosť elekrónov v, korú sme zaviedli v rovnici (5.) pri definovaní husoy elekrického prúdu J. Preo po dosadení vzťahu (5.49) do (5.) dosaneme pre husou elekrického prúdu vzťah eeτ ne τ J = ρv = ne = E = σ E. (5.50) m m Objemovú husou náboja sme vyjadrili pomocou koncenrácie elekrónov n: ρ = n e. Drifová rýchlosť usporiadaného pohybu vodivosných elekrónov je veľmi malá. Napr. v medenom vodiči prierezu 1 mm, korým preeká elekrický prúd 4A, bude usmernená rýchlosť elekrónov len 4 10-4 m s -1. Porovnaním výrazu (5.50) s Ohmovým zákonom v diferenciálnom vare (5.5) dosaneme pre kondukiviu kovov výraz: ne λ σ =. (5.51) mv Elekrické pole neovplyvní srednú dobu medzi zrážkami elekrónov, korá je závislá na srednej rýchlosi. Túo rýchlosť elekrické pole môže zmeniť iba o drifovú rýchlosť a á je o mnoho rádov menšia. Výpočy kondukiviy pre mnohé kovy (napriek obiažnosi určenia λ) na základe ejo eórie pomerne dobre súhlasili s experimenom. Základným nedosakom modelu však je, že na pohyb elekrónu je aplikovaný Newonov zákon. Elekrón je mikročasica a pohyb mikročasíc sa riadi zákonmi kvanovej mechaniky. Kvanová eória elekrickej vodivosi kovov uvažuje pohyb vodivosných elekrónov v kove ako pohyb elekrónových vĺn. Pokiaľ by sme uvažovali dokonalý kryšál, elekróny by prechádzali cez akúo mriežku skoro ak ako vo vákuu, nenasával by žiaden rozpyl elekrónov. Akékoľvek "nedokonalosi" v mriežke kovu - ako sú defeky, prímesi, epelné kmiy a pod. sú miesami rozpylu elekrónov, kde vodivosné elekróny srácajú svoju hybnosť získanú od elekrického poľa. S rasúcou eploou nasáva väčší rozpyl elekrónov na defekoch vzniknuých epelnými kmimi mriežky. Tým sa zväčšuje elekrický odpor kovu. Základom kvanovomechanickej eórie supravodivosi je inerakcia elekrónov s kmimi aómov mriežky. Podľa J. Bardeena, L.N.Coopera a J.. Schrieffera (Nobelova cena za fyziku v roku 197) áo inerakcia umožňuje vznik viazaných savov dvoch elekrónov s opačnými spinmi ( Cooperove páry ). Tieo elekrónové dvojice majú nulový spin a pre ako viazané dvojice elekrónov už neplaí Pauliho princíp. Môžu obsadiť najnižší energeický sav a umožňujú pri veľmi nízkych eploách vznik supravodivosi. Je zaujímavé, že pre dobré vodiče ako sú zlao, sriebro a meď je inerakcia s kmimi mriežky veľmi slabá a pre čisé maeriály z ýcho prvkov sa supravodivý sav získať nedá. Najlepšie echnické uplanenie majú rôzne zliainy, napr. NbTi, Nb 3 Ge, Nb 3 Al a iné, s vyššími hodnoami kriických eplô. Nádeje sa vkladajú do supravodivých keramických maeriálov, u korých sa dosiahla supravodivosť nad eploami kvapalného dusíka. (Súčasný rekord má maeriál na 77
báze (Hg 0,8 Tl 0, )Ba Ca Cu O 8,33 a o 138 K). Bariérou pre echnické využiie keramík sú zlé mechanické vlasnosi a zánik supravodivosi v magneickom poli. 5.3. Elekrický prúd v polovodičoch Polovodiče môžeme definovať ako láky, koré za normálnych podmienok majú elekrickú vodivosť väčšiu ako izolany (nevodiče) a menšiu ako kovy. Ich rezisivia môže nadobúdať rádovo veľmi rozdielne hodnoy od 10 do 10 9 Ω m. Ako sme už uviedli, ďalším charakerisickým znakom pre polovodiče je, že ich rezisivia s rasom eploy klesá (obr. 5.7, krivka c). Elekrickú vodivosť polovodičov môžeme popísať pomocou klasickej eórie analogicky ako pre kovy, ale pôvod nosičov elekrického náboja je iný. Polovodiče delíme na zv. vlasné a nevlasné (prímesové) polovodiče. Vo vlasných polovodičoch exisujú v dôsledku preskoku elekrónov na vyššiu energeickú hladinu dva ypy voľných nosičov náboja voľné elekróny a kladné diery. Diera je vlasne zosakový kladný elekrický náboj na miese uvoľneného elekrónu. Výsledný elekrický prúd v polovodiči je súčom elekrického prúdu, voreného elekrónmi a prúdu, voreného dierami. Takejo vodivosi hovoríme vlasná vodivosť. Typickými vlasnými polovodičmi sú germánium a kremík. Závislosť kondukiviy vlasných polovodičov od eploy môžeme vyjadriť rovnicou ΔE kt 0 e σ = σ (5.5) kde ΔE je zv. šírka zakázaného pásma, je o energia, korú musíme elekrónu dodať, aby sa uvoľnil z valenčného energeického pásu, k je Bolzmannova konšana, σ 0 je od eploy A V 3 4 1 Obr. 5.19 nezávislá maeriálová konšana. Teploná závislosť kondukiviy vlasných polovodičov sa využíva napr. v ermisoroch, pri korých môžeme elekrický odpor riadiť eploou. Kondukivia (resp. rezisivia) vlasných polovodičov závisí však nielen od eploy, ale aj od iných vplyvov, napr. od magneického poľa, alebo od osvelenia. Foorezisory napr. využívajú možnosť regulácie elekrického odporu pomocou osvelenia. Meranie elekrickej vodivosi polovodičov sa robí dvojsondovou (švorbodovou) meódou (obr. 5. 19). V bodoch 1, sú napájacie bodové konaky, korými privádzame elekrický prúd do polovodiča. V bodoch 3, 4 meriame elekrické napäie. Z nameraných hodnô elekrického prúdu, napäia a zo známej geomerie polovodiča vieme určiť kondukiviu polovodiča. Vodivosť nevlasných polovodičov je spôsobená prímesami. Hovoríme o polovodičoch ypu N s elekrónovou vodivosťou, pri korých prímesové aómy zv. donory obsahujú voľný elekrón, korý sa nezúčasňuje na kovalennej väzbe so susednými aómami. Polovodiče ypu P majú zv. dierovú vodivosť, prímesové aómy v omo prípade zv. akcepory prijímajú voľný väzbový elekrón z okolia, čím v danom miese vznikne diera. Z hľadiska využiia polovodičov sú dôležié najmä zv. diódový a ranzisorový jav. Na rozhraní dvoch polovodičov s odlišným ypom vodivosi vznikne prechod PN. Ide o elekrickú dvojvrsvu s iónmi opačnej polariy, korá vznikne v dôsledku difúzie elekrónov a dier z jednej vrsvy do druhej. Tým vzniká elekrické pole v prechode PN, brániace ďalšej difúzii majoriných nosičov náboja. Ak zapojíme akýo PN prechod do vonkajšieho 78