R E Z I S T E N Ţ A M A T E R I A L E L O R

PVEL TRIP R E Z I S T E N Ţ T E R I L E L O R SOLICITĂRI SIPLE ŞI TEORI ELSTICITĂŢII ONOGRII REZT R E Z T Editur IRTON Timişor 999

Referenţi ştiinţifici: Prof. Dr. Ing. Eur. Ing. Tiberiu BBEU embru l cdemiei de Ştiinţe Tehnice din Români Prof. Dr. Ing. Nicole UR Tehnoredctre computerită: Conf. dr. ing. Pvel TRIP TRIP, PVEL Reistenţ mterilelor / Pvel Trip. Timişor: Editur irton, 999 58 p,; 4 cm Bibliogr. ISBN 97-578-95-9 59.4

C U P R I N S Prefţă... 4. NOŢIUNI INTRODUCTIVE. 6. Solid rigid: solid deformbil... 6. Obiectul şi problemele Reistenţei terilelor... 6. Clsificre corpurilor în Reistenţ terilelor... 8.4 orţe eteriore... 9.5 Reeme şi recţiuni (forţe de legătură)....6 Noţiuni fundmentle în Reistenţ terilelor: tensiuni, deplsări, deformţii, deformţii specifice... 4.7 Contrcţi trnsverslă... 7.8 Ipotee de bă în Reistenţ terilelor... 9.9 Coeficienţi de sigurnţă. Tensiuni dmisibile.... ORŢE INTERIORE (EORTURI). DIGRE DE EORTURI.... Definire eforturilor în secţiune trnsverslă unei bre drepte.... Relţii diferenţile între eforturi şi tensiuni... 6. Relţii diferenţile între eforturi şi srcini... 7.4 Trsre digrmelor de eforturi... 0.4. Digrme de eforturi l bre drepte....4. Digrme de eforturi l bre cotite în pln (cdre plne)... 44.4. Digrme de eforturi l bre curbe plne... 5.4.4 Digrme de eforturi l bre cotite în spţiu (cdre spţile)... 54.4.5 Bre solicitte prin forţe concentrte mobile. oment mim mimorum... 57. CRCTERISTICI GEOETRICE LE SUPREŢELOR PLNE 6. ri suprfeţei plne... 6. omentul sttic... 6. omente de inerţie... 64.4 R de inerţie (girţie)... 66.5 odulul de reistenţă... 66.6 omente de inerţie şi module de reistenţă pentru câtev suprfeţe simple... 67.7 Vriţi momentelor de inerţie fţă de e prlele... 70.8 Vriţi momentelor de inerţie fţă de e rotite. Direcţii şi momente de inerţie principle... 7.9 plicţii... 76 4. CRCTERISTICI ECNICE LE ETLELOR. ÎNCERCRE L TRCŢIUNE ŞI COPRESIUNE OŢELULUI... 80

4. Încercre l trcţiune oţelului de u generl... 80 4. Încercre l compresiune oţelului... 84 4. Încercre l trcţiune oţelului lit... 85 4.4 Clsificre mterilelor în funcţie de crcteristicile mecnice... 87 5. TRCŢIUNE ŞI COPRESIUNE BRELOR DREPTE. PLICŢII... 90 5. Tensiuni şi deformţii l solicitre ilă... 90 5. Concentrre tensiunilor... 96 5. Br de secţiune constntă solicittă il când se ţine sem şi de greutte proprie... 98 5.4 Br de eglă reistenţă... 0 5.5 Tensiuni pe o secţiune înclintă l br solicittă l trcţiune... 04 5.6 Energi de deformţie l solicitre ilă... 06 5.7 Sisteme sttic nedeterminte l solicitre ilă... 08 5.7. Sisteme de bre rticulte concurente sttic nedeterminte... 08 5.7. Sisteme de bre rticulte neconcurente sttic nedeterminte... 0 5.7. Sisteme cu inectităţi de eecuţie... 5.7.4 Bre cu secţiune neomogenă solicitte il... 6 5.7.5 Bre supuse vriţiilor de tempertură... 9 6. ORECRE PIESELOR DE GROSIE ICĂ... 6 6. Tensiuni şi deformţii l forfecre... 6 6. Clculul îmbinărilor de piese... 8 6.. Clculul îmbinărilor nituite... 9 6.. Clculul îmbinărilor sudte... 6 6. Clculul îmbinărilor de piese din lemn... 40 6.4 plicţii l clculul îmbinărilor de piese... 4 7. ÎNCOVOIERE BRELOR PLNE... 48 7. Tensiuni în bre drepte solicitte l încovoiere pură... 48 7. orme rţionle de secţiune pentru solicitre de încovoiere... 54 7. Încovoiere cu forţă tăietore... 55 7.. Tensiuni tngenţile l încovoiere cu forţă tăietore... 55 7.. Vriţi tensiunii tngenţile l suprfeţe simple... 59 7.4 Neglijre tensiunii tngenţile l unele clcule l încovoiere simplă... 65 7.5 Energi de deformţie l încovoiere pură... 66 7.6 Grini de eglă reistenţă... 68 7.7 Încovoiere oblică brelor drepte... 75 7.8 Tensiuni în bre curbe plne solicitte l încovoiere pură... 78 7.9 plicţii l solicitre de încovoiere pură... 86 8. TORSIUNE BRELOR DREPTE... 94 8. omentul de torsiune (răsucire)... 94 8. Torsiune brelor de secţiune circulră... 95 8. Torsiune brelor de secţiune dreptunghiulră... 99

8.4 Torsiune brelor tubulre cu pereţi subţiri... 0 8.5 Energi de deformţie l răsucire... 08 8.6 Dulitte tensiunilor tngenţile. Stre de forfecre pură... 08 8.7 Clculul rcurilor elicoidle cu ps mic... 8.8 plicţii l solicitre de torsiune... 5 9. NOŢIUNI DE TEORI ELESTICITĂŢII. STRE DE TENSIUNE ŞI DEORŢIE... 7 9. Tensorul tensiune... 7 9. Stre plnă de tensiune... 8 9.. Tensiuni pe secţiuni înclinte. Direcţii principle şi tensiuni principle... 8 9.. Cercul lui ohr pentru stre plnă de tensiune... 9.. Curi prticulre le stării plne de tensiune... 4 9. Stre plnă de deformţie... 5 9.4 Stre spţilă de tensiune... 7 9.4. Tensiuni pe secţiuni înclinte... 7 9.4. Tensiuni principle... 8 9.4. Tensiuni octedrice... 4 9.4.4 Elipsoidul tensiunilor... 4 9.4.5 Cercul lui ohr pentru stre spţilă de tensiune... 4 9.5 Stre spţilă de deformţie... 44 9.6 Lege lui Hooke generlită... 45 9.7 Relţi dintre constntele elstice E, G, ν... 49 9.8 Energi de deformţie... 5 0. BIBLIOGRIE... 56

Prefţă Reistenţ terilelor părut c urmre cerinţelor prctice legte de relire de construcţii durbile şi economice. Orice construcţie, indiferent de tipul său, trebuie să reiste cât mi bine l srcinile l cre este supusă şi în celşi timp, să fie relită cu consum minim de mteril şi mnoperă. Relire unor stfel de construcţii necesită o proiectre rţionlă tuturor elementelor componente şi sigurre unei sigurnţe ridicte în funcţionre. Reducere consumurilor specifice, constituie o cerinţă cre stă permnent în fţ proiectnţilor de mşini şi utilje, în vedere optimiării cestor, tât din punct de vedere l economiei de mteril cât şi l bunei funcţionări. Reistenţ terilelor, cre fce prte din disciplinele cre studiă mecnic corpului solid, este prim chemtă să pună l dispoiţi inginerilor, cunoştinţele necesre stbilirii formei şi dimensiunilor optime le pieselor, cu sigurre sigurnţei în funcţionre cestor. Reistenţ terilelor, c şi lte discipline de cultură tehnică generlă, îmbină cunoştinţele teoretice cu reolvre unui număr cât mi mre de probleme pe cât posibil rele şi cu lucrările de lbortor. Reolvre problemelor de reistenţ mterilelor, nu pote fi făcută fără cumulre unor cunoştinţe teoretice temeinice. Reultă de ici importnţ pe cre o re disciplin de Reistenţ terilelor în pregătire inginerului, mi les l celui din domeniul mecnic. Preent lucrre de Reistenţ terilelor, se dreseă în primul rând studenţilor de l învăţământul tehnic şi în specil celor din domeniul mecnic. De ltfel, lucrre urmăreşte progrm nlitică prevăută pentru profilul Inginerie ngerilă şi Tehnologică, unde utorul predă de câţiv ni cursul de Reistenţ terilelor, ecnic Plsticităţii şi Ruperii. În cestă lucrre se preintă numi ce prte mteriei cre se predă pe prcursul unui singur semestru. 4

Lucrre pote fi consulttă cu reultte bune şi de către inginerii din producţie şi mi les cei din proiectre şi cercetre, cre pe prcursul nilor din diferite motive, legătur lor cu clculele de reistenţă fost mi slbă. Pentru o eficienţă superioră, pe b noţiunilor trtte, în lucrre se preintă reolvre unor probleme concrete. S- căutt c noţiunile teoretice să fie preentte cât mi simplu, insistându-se mi mult supr fenomenelor, legilor şi noţiunilor fundmentle le mecnicii corpului solid deformbil, vându-se în celşi timp în vedere şi cpcitte de similre de către studenţi cestor cunoştinţe. Tote relţiile de clcul sunt deduse pe b unor demonstrţii simple şi în logic lor firescă. Conştient fiind de fptul că lucrre pote fi îmbunătăţită tât în conţinut cât mi les în preentre grfică, utorul mulţumeşte tuturor celor cre vor veni cu propuneri concrete pentru îmbunătăţire cestei, într-o ediţie viitore. utorul 5

PVEL TRIP - REZISTENŢ TERILELOR. NOŢIUNI INTRODUCTIVE. SOLID RIGID. SOLID DEORBIL Dcă un corp solid nu îşi modifică form şi dimensiunile sub cţiune unui sistem de forţe, tunci el este un solid rigid. Dcă sub cţiune sistemului de forţe solidul îşi modifică form şi dimensiunile, el este un solid deformbil. ecnic Corpurilor Deformbile, respectiv Reistenţ terilelor re în vedere deformbilitte corpurilor, cee ce-i permite să reolve o serie de probleme imposibil de reolvt în ecnic Rigidului.. OBIECTUL ŞI PROBLEELE REZISTENŢEI TERILELOR Prctic dovedeşte că sub cţiune forţelor eteriore, orice corp solid se deformeă. Dcă după îndepărtre forţelor eteriore corpul revine l form şi dimensiunile iniţile, se spune că este relit dintr-un mteril elstic su că re o comportre elstică. Dcă deformţiile corpului sunt proporţionle cu forţele plicte, mterilul este linir elstic. Reistenţ terilelor este o disciplină de cultură tehnică generlă, cre fce legătur între disciplinele fiico-mtemtice şi cele de specilitte, fiind în celşi timp o continure ecnicii Teoretice, însă cu unele prticulrităţi. În ecnic Teoretică, corpurile solide sunt considerte rigide, dică fără deformţii, indiferent de mărime forţelor eteriore cre solicită corpul. Reistenţ terilelor introduce un model nou, modelul solidului deformbil. Se consideră un corp solid supr cărui cţioneă două forţe, egle, colinere şi de sens contrr c în ig..- ) b) c) ig..- Vrinte de solicitre unui corp solid 6

PVEL TRIP - REZISTENŢ TERILELOR Din punct de vedere l ecnicii Teoretice, cele trei vrinte sunt identice: corpul este în echilibru şi nu suferă deformţii. Din punct de vedere l Reistenţei terilelor, cele trei curi preentte sunt diferite şi nume: Cul ) corpul este supus unei solicitări de trcţiune şi el se lungeşte, Cul b) corpul este comprimt şi se scurteă, Cul c) corpul nu este solicitt şi nu suferă deformţii. În mbele curi, corpul sub cţiune celor două forţe este în echilibru. Reultă de ici că în cul Reistenţei terilelor, este importnt să se cunoscă poiţi punctului de plicţie l forţelor. În principl, scopul Reistenţei terilelor este cel de stbili dimensiunile unei piese, relită dintr-un mteril cunoscut, stfel c cest să reiste în condiţii bune forţelor eteriore plicte. cestă operţie de clcul este o operţie de dimensionre. În cul problemelor de dimensionre se cunosc forţele plicte, modul de reemre l piesei, se cunoşte mterilul din cre este relită pies şi se determină numite crcteristici geometrice le secţiunii trnsversle le cestei. Dcă pies este dtă (c formă şi dimensiuni) ir forţele sunt cunoscute, se fce un clcul de verificre pentru se stbili dcă pies este sigură în funcţionre. În unele situţii este cunoscută form şi dimensiunile piesei, condiţiile pe cre cest trebuie să le stisfcă şi este necesr să se determine mărime forţelor cre pot cţion supr cestei. În cest c, se fce un clcul l încărcării cpbile. stfel în Reistenţ terilelor, se întâlnesc trei tipuri de probleme: probleme de dimensionre probleme de verificre probleme de încărcre cpbilă (su efort cpbil). În reolvre celor trei tipuri de probleme, Reistenţ terilelor, re în vedere următorele criterii: criteriul economic; orice piesă trebuie relită cu soluţi ce mi economică din punct de vedere l consumului de mteril şi mnoperă, criteriul bunei funcţionări; pies relită trebuie să-şi îndeplinescă rolul funcţionl pentru cre fost relită, un timp cât mi îndelungt. O bună funcţionre piesei, impune respectre următorelor condiţii: de reistenţă, dică pies să reiste solicitărilor l cre este supusă de rigiditte (deformbilitte), dică sub cţiune solicitărilor să nu sufere deformţii cre pun în pericol bun funcţionre piesei, de stbilitte, dică în timpul funcţionării, pies să-şi păstree tot timpul stre de echilibru stbil. Reistenţ terilelor este o disciplină cre se înrudeşte cu o serie de lte discipline, cum r fi: ecnic Teoretică, Teori Elsticităţii, Teori Plsticităţii, Teori Stbilităţii Elstice, Teori Oscilţiilor ecnice, Încercări de terile, ecnic Ruperii terilelor etc. 7

PVEL TRIP - REZISTENŢ TERILELOR. CLSIICRE CORPURILOR ÎN REZISTENŢ TERILELOR Clsificre corpurilor din punct de vedere l Reistenţei terilelor, se beă în principl pe rportul cre eistă între cele trei dimensiuni (lungime, lăţime, grosime) le cestor. Din cest punct de vedere, se disting trei mri ctegorii de corpuri: ) corpuri cre u o dimensiune (de obicei lungime) mult mi mre decât celellte două. ceste corpuri se numesc corpuri cu fibră medie su bre. Crcteristic pentru ceste corpuri este secţiune trnsverslă şi longitudinlă (ig..-). Secţiune trnsverslă este secţiune normlă l longitudinlă ir longitudinlă repreintă locul geometric l centrelor de greutte secţiunilor trnsversle. După form ei longitudinle, brele pot fi: drepte, curbe în pln, curbe în spţiu (strâmbe), ir după modul în cre vriă secţiune în lungul ei longitudinle, bre pot fi: cu secţiune constntă (ig..-) su cu secţiune vribilă (ig..-b,c). longitudinlă b) secţiune trnsverslă ) c) ig..- Tipuri de bre drepte După destinţie şi modul de solicitte, brele u diferite denumiri: cele solicitte l întindere se numesc tirnţi cele solicitte l compresiune se numesc stâlpi cele solicitte l încovoiere se numesc grini cele solicitte l torsiune se numesc rbori. Brele cre pot fi solicitte numi l întindere şi cre prctic nu opun nici o reistenţă solicitărilor trnsversle su celor de compresiune, se numesc fire. b) Corpurile cre u două dimensiuni mult mi mri decât ce de- trei (grosime) se numesc plăci (ig..-). Ele se crcterieă prin mărime grosimii şi prin form şi dimensiunile suprfeţei medine, cre împrte grosime în orice loc în două părţi egle. 8

PVEL TRIP - REZISTENŢ TERILELOR Plăcile cre u grosime forte mică şi nu pot prelu srcini trnsversle su de compresiune, se numesc membrne. După form suprfeţei medine, plăcile pot fi plne su curbe (cpce, cupole, plnşee, etc.). grosime suprfţ medină ig..- Elementele unei plăci c) Corpurile cre u dimensiunile de celşi ordin de mărime, se numesc msive su blocuri. În ctegori cestor corpuri intră: fundţiile, bilele su rolele de rulmenţi etc. Clculele de reistenţă diferă de l o grupă l lt de corpuri, ele fiind mi simple în cul brelor drepte, mi complicte l brele curbe şi mi dificile l plăci şi blocuri. Corpurile cu cre se opereă în Reistenţ terilelor portă şi denumire de elemente de reistenţă..4 ORŢE EXTERIORE Corpurile su elementele de reistenţă, sunt supuse cţiunii unor forţe su cupluri de forţe (momente). orţele su momentele direct plicte supr unui element de reistenţă se numesc srcini. Srcinile se pot clsific după mi multe criterii: stfel: ) după mărime suprfeţei pe cre ele cţioneă, srcinile pot fi: concentrte (ig..4-) reprtite su distribuite, uniform su cu intensitte vribilă în lungul elementului su pe o suprfţă (ig..4-b) ) b) ig..4- Srcini concentrte şi distribuite 9

PVEL TRIP - REZISTENŢ TERILELOR b) după modul de cţiune în timp, se disting (ig..4-): srcini sttice, cre se plică lent şi rămân constnte (ig..4-) srcini dinmice, cre se plică cu viteă reltiv mre (ig..4-b). Srcinile dinmice l rândul lor pot fi: srcini plicte în mod brusc, şocuri su srcini vribile periodice între o vlore minimă p min şi un mimă p m (ig..4-c). Dcă p min 0, tunci srcin se numeşte pulstore, ir dcă p m -p min, lterntiv simetrică. p p p p const. t t p min p m t ) b) c) ig..4- Srcini vribile în timp c) după locul de plicre, srcinile pot fi: de suprfţă su de contur, cele cre sunt plicte din eteriorul corpului msice, cre provin din ms corpului, cum sunt greutte şi forţele de inerţie d) În construcţii, după provenienţă, srcinile se clsifică stfel: srcini fundmentle, din rândul căror fc prte: srcinile permnente de intensitte constntă (greutte proprie) srcinile utile repreintă scopul pentru cre s- relit construcţi (greutte utovehiculelor pe un pod) şi cre pot fi fie su mobile srcinile ccesorii (forţele de inerţie, forţele de frecre, forţele termice etc.) srcinile ccidentle, cre cţioneă intermitent şi neregult (cţiune vântului, greutte ăpeii, forţ de frânre utovehiculului etc.) srcini etrordinre. ceste srcini cţioneă întâmplător, dr pot ve efecte destruose (eploiile, cutremurele, inundţiile etc.). Sub cţiune srcinilor, în reemele elementelor de reistenţă pr forţe de legătură, numite recţiuni. Srcinile împreună cu recţiunile formeă forţele eteriore. tât srcinile cât şi recţiunile, dică forţele eteriore, se consideră forţe plicte corpului şi sub cţiune cestor forţe, corpul este în echilibru şi în el i nştere o numită stre de solicitre. 0

PVEL TRIP - REZISTENŢ TERILELOR.5 REZEE ŞI RECŢIUNI (ORŢE DE LEGĂTURĂ). ECUŢII DE ECHILIBRU Între elementele de reistenţă le unei structuri, eistă o serie de legături numite reeme. În clculele obişnuite de reistenţă, cele mi întâlnite reeme sunt: reemul rticult mobil (rticulţi mobilă su reemul mobil) reemul rticult fi (rticulţi fiă) încstrre (înţepenire). rticulţi mobilă, cărei repreentre este preenttă în ig..5-, permite celor două elemente de reistenţă să se rotescă unul fţă de celăllt şi de semene o deplsre liberă pe o numită direcţie. În cul preentt în figură, este permisă deplsre liberă pe direcţie oriontlă. Pe direcţi verticlă (direcţie perpendiculră pe ce pe cre este permisă deplsre liberă), deplsre este împiedictă. rticulţi fiă (ig..5-b) permite rotire elementului, dr nu permite deplsre cestui pe nici o direcţie. Încstrre (ig..5-c) împiedică orice fel de deplsre elementului de reistenţă precum şi rotirile cestui. cest tip de reem se pote obţine dintr-o rticulţie fiă, l cre se blocheă rotirile. ) b) c) ig..5- Repreentre celor mi uule reeme Deorece elementele de reistenţă sunt supuse cţiunii diferitelor srcini, este firesc c în reeme să pră forţe de legătură numite recţiuni. ărime şi orientre recţiunilor este dtă de mărime şi orientre srcinilor cre solicită elementul, ir direcţi cestor este legtă de tipul reemului. După cum este bine cunoscut, recţiunile se opun cţiunii (srcinilor) şi c urmre ele pr pe cele direcţii pe cre mişcările (deplsările şi rotirile) elementului de reistenţă sunt împiedicte. Pentru rticulţi mobilă, fiind împiedictă deplsre pe o singură direcţie, recţiune R cre pre este o forţă (ig..5-) cre trece prin centrul rticulţiei mobile şi este dirijtă perpendiculr pe direcţi deplsării libere reemului (în mod obişnuit pe grinii). În cul rticulţiei fie, recţiune cre i nştere în reem este o forţă R cărei direcţie nu este cunoscută. Se cunoşte numi punctul de plicţie l cestei, cre este rticulţi. Pentru pute clcul recţiune din rticulţi fiă, se înlocuieşte recţiune R prin două componente le sle: H orienttă în

PVEL TRIP - REZISTENŢ TERILELOR lungul ei longitudinle elementului şi V dirijtă perpendiculr pe elementului (ig..5-b). şdr, rticulţi fiă preintă două componente pentru recţiuni: H şi V. Încstrre fiind o rticulţie fiă l cre s-u bloct tote rotirile, însemnă că fţă de rticulţi fiă l cest tip de reem pre în plus un moment (cuplu) (ig..5-c). Din cest motiv, l o încstrre, pr trei componente de recţiuni: H prlelă cu elementului, V perpendiculră pe elementului de reistenţă şi cuplul. În cul unui sistem spţil, într-o înţepenire pr trei componente de forţe şi trei cupluri (după cele trei direcţii, şi ). H H R V V R ) b) c) ig..5- Recţiuni în principlele tipuri de reem Sub cţiune forţelor eteriore, un sistem este în echilibru. Vlore recţinilor se determină din condiţi de echilibru sistemului solicitt. Este cunoscut fptul că un sistem pln este în echilibru dcă: nu se deplseă pe o direcţie (fie cestă direcţie) nu se deplseă pe o direcţie perpendiculră pe prim (fie cestă direcţie) nu se roteşte fţă de un punct l plnului (fie K cest punct). Cele trei condiţii enunţte mi îninte sunt stisfăcute dcă sum proiecţiilor tuturor forţelor pe direcţi, respectiv este nulă şi sum tuturor cuplurilor fţă de un punct l plnului, este nulă. ceste condiţii pot fi scrise sub form unor relţii de tipul: ( ) 0 ( ) 0 ( ) K 0.5- Sistemul de mi sus, pentru pute fi reolvt, pote conţine mim trei necunoscute. În cul bordt, cele trei necunoscute sunt recţiunile. Dcă sunt mi mult de trei necunoscute (recţiuni) sistemul nu pote fi reolvt şi în cest

PVEL TRIP - REZISTENŢ TERILELOR c el este un sistem sttic nedetermint. Pentru reolvre sistemelor sttic nedeterminte, sunt necesre ecuţii suplimentre. Determinând recţiunile unui element de reistenţă cu relţiile preentte, nu eistă o posibilitte simplă pentru verificre corectitudinii clculului efectut. Pentru ve posibilitte verificării corectitudinii clculului recţiunilor şi pentru obţine ecuţii uşor de reolvt, relţiile pentru clculul recţiunilor se vor scrie sub form: ( ) 0 ( ) 0.5- K ( ) 0 K Vlorile recţiunilor determinte cu relţiile.5- se introduc în relţi 5.-, ( ) Dcă se obţine: ( ) 0 recţiunile sunt corect clculte ( ) 0 recţiunile sunt greşit clculte..5- În cest ultim c, se refce clculul. În concluie, clculul recţiunilor pentru un sistem pln se fce cu jutorul relţiilor.5-, ir verificre corectitudinii clculului (etpă obligtorie), cu relţiile.5-. În Tbelul.5-, se preintă numărul ecuţiilor de echilibru cre se pot scrie pentru diferite tipuri de forţe. Tbelul.5- elul forţelor Numărul ecuţiilor de echilibru De proiecţii De momente Colinire - Concurente în pln - Concurente în spţiu - Prlele în pln Prlele în spţiu

PVEL TRIP - REZISTENŢ TERILELOR Orecre în pln Orecre în spţiu.6 ĂRII UNDENTLE ÎN REZISTENŢ TERILELOR: TENSIUNI, DEPLSĂRI ŞI DEORŢII, DEORŢII SPECIICE Tensiuni Se consideră un element de rie d din ri secţiunii trnsversle unui element de reistenţă şi pe cre cţioneă forţ d, vând o direcţie orecre (ig..6-). Dcă elementul de rie d este suficient de mic, forţ pote fi considertă uniform distribuită pe suprfţ cestui, ir reultnt d pote fi plictă în centrul de greutte l elementului. ărime efortului distribuit, plict pe unitte de suprfţă din ri secţiunii, d p.6- d se numeşte tensiune. Tensiune p re ceeşi direcţie cu forţ elementră d, ir mărime ei este determintă tât de mărime forţei d cât şi de orientre suprfeţei d fţă de direcţi forţei. d τ τ p d τ n ) b) ig..6- Tensiuni în secţiune unei bre Tensiune p vând o direcţie orecre, pote fi descompusă într-o componentă pe direcţi normlă l secţiune, tensiune normlă nottă cu şi o componentă în plnul secţiunii, tensiune tngenţilă nottă cu τ (ig..6-). 4

PVEL TRIP - REZISTENŢ TERILELOR După sensul pe cre îl re, tensiune normlă re un efect de trcţiune su de compresiune, eercitt de către prte de corp înlăturtă supr părţii rămse. L fel, tensiune tngenţilă τ re un efect de tăiere, forfecre su lunecre. Operţiile vectorile nu pot fi plicte tensiunilor, decât numi după ce ceste u fost înmulţite cu riile respective, dică u fost trnsformte în forţe. Din ig..6-, reultă următore relţie între cele trei tensiuni: p + τ.6- Deorece tensiune tngenţilă τ re o direcţie orecre pe secţiune, cest se descompune pe cele două e de coordonte şi le secţiunii, reultând componentele: τ pe direcţi, respectiv τ pe direcţi (ig..6-b). Primul indice indică pe cre tensiune este normlă, ir cel de-l doile, cu cre cest este prlelă. În litertur de specilitte, mi les în mnulele mi vechi, pentru noţiune de tensiune se mi întâlneşte şi denumire de efort specific. Deformţii şi deplsări Se consideră cum un cdru solicitt de o forţă (ig..6-). Sub cţiune forţei, tronsonul B se deformeă, ir tronsonul BC nu se deformeă (nu este solicitt). Se consttă că unghiul formt de B C cu tngent în B l fibr deformtă B, nu s- modifict, răms tot de 90 0. În schimb, tote secţiunile cdrului (cu ecepţi secţiunii ) s-u deplst în pln. În cest eemplu u părut două noţiuni: deformţie şi deplsre. B B C C ig..6- Deplsări şi deformţii Se consideră cum un corp solid rportt l un sistem de e ortogonl (ig..6-). După deformre corpului, un punct orecre l cestui se deplseă în poiţi. Vectorul portă numele de vectorul deplsării totle. 5

PVEL TRIP - REZISTENŢ TERILELOR u w ig..6- Deplsările punctelor unui corp solid Deplsre totlă reultă c o sumă deplsărilor pe trei direcţii ortogonle. Deplsările pe cele trei direcţii ortogonle se noteă stfel: pe direcţi cu u pe direcţi cu v pe direcţi cu w Deformţii specifice Dcă se decupeă din jurul punctului un element de volum ig..6-4), lturile cestui se vor lungi su scurt, în funcţie de solicitre. d Δd γ d O d d d d O O d ) b) c) γ ig..6-4 Deformţii specifice Este greu de închipuit dr mi les de repreentt, cum rtă un stfel de element după deformre. Din cest motiv, se preintă deformţiile sle numi în plnul O, după cre este uşor să se imginee deformţiile şi în celellte plne: O, respectiv O. Proiecţi cestui element în plnul O este preenttă în ig..6-4b. Dimensiune d elementului s- modifict pe direcţi cu Δd. Pe direcţiile respectiv, deformţiile sunt Δd, respectiv Δd. 6

PVEL TRIP - REZISTENŢ TERILELOR Se numeşte deformţie specifică (lungire specifică su scurtre specifică) pe direcţi, su, rportul: ε Δd d Δd d ε.6- ε Δd d De cele mi multe ori, deformţi specifică se eprimă în procente. Lungire specifică portă şi denumire de lungire. De semene şi unghiurile drepte dintre plne se modifică (ig..6-4c). Se numeşte deformţie specifică unghiulră su lunecre, mărime cu cre se modifică unghiul drept dintre plne: γ γ' + γ γ.6-4 γ γ' + γ γ' + γ În concluie, corpurile suferă două feluri de deformţii specifice: linire, respectiv unghiulre..7 CONTRCŢI TRNSVERSLĂ Prctic rtă că odtă cu lungire unei bre, pre o micşorre mărimii secţiunii trnsversle, mărime numită contrcţie trnsverslă (ig..7-) ig..7- Contrcţi trnsverslă 7

PVEL TRIP - REZISTENŢ TERILELOR Contrcţi trnsverslă este proporţionlă cu lungire specifică, coeficientul de proporţionlitte se noteă cu ν şi se numeşte coeficient de contrcţie trnsverslă su coeficientul lui Poisson. L o lungire specifică ε brei, contrcţi trnsverslă este: ε ε ν ε.7- tr Semnul ( - ) rtă că cele două mărimi sunt contrre, dcă un creşte, celltă scde şi invers. Se consideră cum o bră cilindrică de lungime l şi ri secţiunii trnsversle, solicittă l întindere ilă. L un moment dt, lungime brei este l(+ε), dimetrul d(-νε), ir ri secţiunii trnsversle (-νε). Dcă volumul brei îninte de solicitre fost l, după solicitre el devine: V + ΔV l ( νε) l( + ε) ( + ε νε νε + ν ε + ν ε ).7- Deorece lungirile sunt forte mici, ultimii trei termeni din prnteă se pot neglij, obţinându-se: V + ΔV su ΔV ε l + l ε ( ν) l ( ν).7- Prctic rătă, că o stfel de bră solicittă l întindere, îşi măreşte volumul, deci ΔV > 0, de unde reultă că: de unde ν > 0.7-4 ν < 0,5.7-5 Pentru cele mi multe mterile, ν 0,, ir pentru mterilele cre-şi păstreă volumul constnt, ν 0,5. 8

PVEL TRIP - REZISTENŢ TERILELOR.8 IPOTEZE DE BZĂ ÎN REZISTENŢ TERILELOR Reistenţ terilelor cceptă o serie de ipotee supr structurii mterilelor şi supr comportării lor sub cţiune forţelor eteriore. ceste ipotee trebuie să fie în deplină concordnţă cu relitte, ir lteori ele repreintă simplificări le fenomenelor rele, cre trebuie să conducă însă l reultte verificte în prctică. Cele mi utilite ipotee de către Reistenţ terilelor, sunt: ) Ipote mediului continuu, omogen şi iotrop. Reistenţ terilelor consideră mterilele c un mediu continuu, omogen, cre ocupă întregul spţiu repreentt de volumul lor. cestă ipoteă nu corespunde însă relităţii. E este mi propită de relitte l corpurile morfe şi mi depărttă l cele cristline. Dă însă reultte bune în clculele de reistenţă. De semene, Reistenţ terilelor consideră mterilele iotrope, dică ele preintă în tote direcţiile celeşi proprietăţi. În c contr, mterilele sunt niotrope. b) Ipote elsticităţii perfecte. cestă ipoteă presupune că tât timp cât solicitările nu depăşesc numite limite, mterilul re o comportre elstică, dică îşi recpătă form şi dimensiunile iniţile odtă cu înlăturre srcinilor. În relitte, mterilele nu preintă o elsticitte perfectă, ele vând deformţii remnente mici, cre însă pot fi neglijte în clculele de reistenţă. c) Ipote proporţionlităţii dintre tensiuni şi deformţii specifice. terilele solicitte în domeniul comportării elstice, preintă relţii linire de proporţionlitte între tensiuni şi deformţii specifice, dică stisfc lege lui Hooke ( E ε ), unde E este un fctor de proporţionlitte, numit modul de elsticitte longitudinl l mterilului. d) Ipote micilor deplsări. Pentru cele mi multe corpuri, deformţiile elstice sunt de mărimi mici. C urmre, corpurile solide sub cţiune srcinilor îşi modifică forte puţin form iniţilă. cestă ipoteă este cunoscută şi sub denumire de ipote menţinerii dimensiunilor iniţile. E permite scriere ecuţiilor de echilibru le stticii pe stre nedeformtă elementului, când nu se iu în considerre deplsările punctelor de plicţie le forţelor cre se produc c urmre deformării cestui. Clculul efectut pe schem nedeformtă, portă numele de clcul de ordinul I. Ipote micilor deplsări nu pote fi ccepttă pentru studiul problemelor de stbilitte su l problemele l cre nu pot fi îndeplinite condiţiile de echilibru în stre nedeformtă. Clculul de ordinul II dmite ipote micilor deplsări, dr ecuţiile de echilibru se scriu însă pentru stre deformtă elementului de reistenţă. Clculul de ordinul III nu mi cceptă ipote micilor deplsări, el referindu-se l cul deformţiilor mri, când ecuţiile de echilibru trebuie scrise pentru stre deformtă. 9

PVEL TRIP - REZISTENŢ TERILELOR Chir dcă mterilul stisfce lege lui Hooke, în urm clculelor de ordinul II se obţin de obicei relţii nelinire între srcini şi deplsări, ir pentru clculul de ordinul III, reultă ecuţii diferenţile nelinire. e) Principiul lui Sint-Vennt. cest principiu destul de folosit în Reistenţ terilelor, precieă că: dcă se înlocuiesc forţele cre cţioneă supr unui corp elstic cu un lt sistem de forţe echivlent din punct de vedere sttic cu primul, nou distribuţie forţelor produce l locul de plicre diferenţe semnifictive fţă de prim, dr rămâne fără efect su cu efect neglijbil, l distnţe mri de locul de plicre l forţelor (ig..8-) ) b) ig..8- Principiul lui Sint - Vennt În prim vrintă (ig..8-) forţ se plică întru-un punct (forţă concentrtă), ir în dou (ig..8-b) pe o lungime mică de bră. L locul de plicre srcinii, efectul supr brei este cu totul diferit de l o vrintă l celltă. Însă, l o distnţă mre de punctul de plicţie, spre eemplu în secţiune sitută l distnţ de cpătul brei su chir în încstrre, mbele bre sunt solicitte l fel. f) Ipote lui Bernoulli. Ipote lui Bernoulli su ipote secţiunilor plne, precieă că: o secţiune plnă şi normlă pe brei îninte de deformre, rămâne plnă şi normlă pe ă şi după deformre (ig..8-) ig..8- Principiul lui Bernoulli 0

PVEL TRIP - REZISTENŢ TERILELOR g) Ipote stării nturle corpului, su ipote bsenţei tensiunilor, conform cărei, pentru un corp nesolicitt, stre de tensiune şi deformţie este nulă. Perfecţionre mijlocelor de clcul şi de investigre, pot conduce l renunţre l unele ipotee su l introducere ltor noi, mi prope de stările rele. De ici reultă crcterul de continuă perfecţionre metodelor Reistenţei terilelor..9 COEICIENŢI DE SIGURNŢĂ. TENSIUNI DISIBILE O piesă corespunde, dcă tensiunile cre iu nştere în e dtorită srcinilor plicte, nu depăşesc numite vlori limită, stbilite convenţionl. ceste vlori limită le tensiunii sunt corelte cu crcteristicile mecnice le mterilelor. Tensiune limită utilită în clculele de reistenţă este cunoscută sub denumire de tensiune dmisibilă su reistenţă dmisibilă. Reistenţ dmisibilă repreintă vlore convenţionlă lesă în clcul, pe b prcticii, pentru tensiune mimă cre pote pre într-o piesă, în condiţii dte de mteril şi solicitre. Reistenţ dmisibilă (, τ) pote fi definită fţă de o stre limită periculosă, stre cre trebuie evittă: unde: lim.9- c lim tensiune corespunătore stării limită periculose c - coeficient de sigurnţă fţă de stre limită periculosă considertă. legere unor vlori inferiore pentru reistenţ dmisibilă fţă de tensiune corespunătore stării limită periculose este necesră deorece: cunoştere srcinilor este de cele mi multe ori proimtivă şi o depăşire cestor este forte posibilă crcteristicile mecnice le mterilelor vriă în limite destul de mri, ele fiind influenţte de mulţi fctori schem lesă pentru clcul (plicre srcinilor, schemtire structurii, ipoteele de clcul, etc.) depărteă modelul fţă de cel rel. Pentru clculele de verificre, tensiune efectivă mimă din elementul de reistenţă trebuie să fie mi mică su cel mult eglă cu ce dmisibilă:.9- ef m

PVEL TRIP - REZISTENŢ TERILELOR Vlore reistenţei dmisibile este influenţtă de forte mulţi fctori: ntur mterilului, trtmentele termice plicte piesei, durt de funcţionre piesei, modul de cţionre în timp srcinilor, felul solicitării, tempertur, grdul de periculoitte în cul cedării piesei etc. De semene, vlore coeficientului de sigurnţă se lege în principl ţinând sem de ceişi fctori cre influenţeă şi reistenţ dmisibilă. Reistenţele dmisibile pentru câtev mterile sunt următorele: pentru OL7, solicitre de întindere, compresiune su încovoiere: 50 P pentru lemn de brd solicitre de compresiune în lungul fibrelor şi încovoiere: 0 P trcţiune în lungul fibrelor: 7 P compresiune perpendiculr pe fibre:,5 P forfecre în lungul fibrelor: τ P forfecre perpendiculr pe fibre: 4,5 P terenuri de fundţie din pământ usct su umed: 0,... 0,5 P.

PVEL TRIP REZISTENŢ TERILELOR -. ORŢE INTERIORE ( EORTURI ). DIGRE DE EORTURI. DEINIRE EORTURILOR ÎN SECŢIUNE TRNSVERSLĂ UNEI BRE DREPTE Se consideră cul generl l unei bre încărctă cu un sistem orecre de forţe eteriore... 5, cre sunt în echilibru (ig..-). Secţionând br cu un pln perpendiculr pe longitudinlă, cest se sepră în două părţi (PS-prte din stâng şi PD-prte din drept), c în ig..-b,c). Sub cţiune forţelor, cele două porţiuni nu mi sunt în echilibru. Considerând prte din drept (PD), pentru restbilire echilibrului este necesr să se introducă în plnul secţiunii (D-fţ din drept), o forţă reultntă R şi un moment (cuplu) reultnt, cre să formee un sistem echivlent cu forţele... cre cţioneă pe prte din stâng (PS) şi cre u fost înlăturte. 4 ) 5 S R D 4 PD PS R 5 b) c) ig..- Evidenţiere eforturilor într-o bră ărimile R şi din secţiune trnsverslă brei portă numele de forţe interiore su forţe în secţiune su eforturi. Clculul sistemului R, este echivlent cu forţele eteriore plicte părţii din corp cre fost înlăturtă. L fel sistemul R, ce cţioneă pe fţ din stâng S (ig..-b) este echivlent cu forţele eteriore 4, 5 cre cţioneă pe prte din drept PD

PVEL TRIP REZISTENŢ TERILELOR - cre fost înlăturtă. Sistemul R, de pe cele două feţe sunt egle şi de sens contrr, cee ce sigură echilibru întregului corp. Dcă se consideră PD (ig..-c) supr ei cţioneă R,, 4 şi 5, cre îşi fc echilibru. Reultă tunci că R şi se pot clcul şi din condiţiile de echilibru le părţii de corp supr cărei ele cţioneă, în cul nostru PD. Componentele R şi se consideră plicte în centrul de greutte l secţiunii brei. În concluie, se pote preci: eforturile R, cţioneă în centrul de greutte l secţiunii şi sunt nloge oricăror forţe eteriore plicte brei. cestor li se pot plic ecuţiile de echivlenţă şi de echilibru cunoscute din mecnic teoretică. eforturile R şi formeă un sistem echivlent cu torsorul de reducere în centrul de greutte l secţiunii, tuturor forţelor eteriore plicte părţii de corp cre fost înlăturtă su un sistem egl şi direct opus cu torsorul forţelor eteriore plicte părţii de corp cre se cerceteă. În cul cel mi generl, eforturile R şi u direcţii orecre fţă de secţiune. Ele se descompun în componente pe norml l plnul secţiunii (pe brei) şi în plnul secţiunii, reultând: ) reultnt R re o componentă orienttă pe norml l secţiune, numită forţă normlă su forţă ilă şi nottă cu N, respectiv o componentă T conţinută în plnul secţiunii şi numită forţă tăietore (ig..-) b) momentul (cuplul) se descompune în momentul de torsiune t su moment de răsucire, orientt după norml l secţiune şi în momentul încovoietor i conţinut în plnul secţiunii (ig..-) t i N T i T ig..- Eforturile din secţiune unei bre ărimile N, T, i, t se numesc de semene eforturi. iecre stfel de efort, lut seprt, produce în bră o numită solicitre: 4

PVEL TRIP REZISTENŢ TERILELOR - forţ ilă N când este orienttă fţă de secţiune c în ig..- produce o solicitre de trcţiune su întindere, ir dcă re sens contrr, o solicitre de compresiune forţ tăietore T produce o solicitre de tăiere su de forfecre momentul de torsiune t produce solicitre de torsiune su de răsucire momentul încovoietor i produce solicitre de încovoiere. Dcă în secţiune trnsverslă brei se întâlnesc simultn mi multe solicitări simple, tunci în ce secţiune eistă o solicitre compusă. orţ tăietore T vând o orientre orecre şi fiind conţinută în plnul secţiunii, se descompune pe direcţiile respectiv, obţinându-se componentele T şi T. L fel şi pentru momentul încovoietor i se obţin componentele i, respectiv i. (ig..-). şdr, în secţiune trnsverslă unui element de reistenţă eistă următorele componente de eforturi: N (efort il), T, T (efort tăietor), t (moment de torsiune su răsucire), i, i (moment încovoietor). În relitte eforturile nu sunt concentrte în centrul de greutte l secţiunii, ci sunt distribuite pe întreg suprfţă cestei, eforturile repreentând reultntele lor. În Reistenţ terilelor este de mre importnţă determinre legii de distribuţie eforturilor în lungul elementului şi vlore cestor. Eforturile în generl diferă de l o secţiune l lt. Cu cine este eglă tunci vlore unui efort dintr-o secţiune trnsverslă unui element de reistenţă? orţ ilă în secţiune unei bre este eglă cu sum lgebrică proiecţiilor pe brei tuturor forţelor eteriore (inclusiv recţiunile) cre cţioneă supr părţii considerte îndepărttă su de pe ceeşi prte dr, cu semn schimbt. orţ tăietore într-o secţiune este eglă cu sum lgebrică proiecţiilor pe norml l brei tuturor forţelor eteriore cre cţioneă supr părţii considerte îndepărttă, su de pe ceeşi prte dr, cu semn schimbt. omentul încovoietor într-o secţiune este egl cu sum lgebrică momentelor încovoietore le tuturor forţelor eteriore, plus cuplurile încovoietore eteriore (inclusiv le recţiunilor) cre cţioneă pe prte considertă îndepărttă, su pe ceeşi prte dr, cu semn schimbt. omentul de torsiune (răsucire) într-o secţiune este egl cu sum lgebrică momentelor de torsiune le tuturor forţelor eteriore, plus cuplurile de torsiune eteriore (inclusiv le recţiunilor) cre cţioneă pe prte considertă îndepărttă, su pe ceeşi prte, dr cu semn schimbt. Pentru se fce sum lgebrică, cestor eforturi trebuie să li se sociee o convenţie de semn. Pentru cul unui sistem pln, convenţi de semn poitiv pentru eforturi este preenttă în ig..-. 5

PVEL TRIP REZISTENŢ TERILELOR - i i fţ din stâng N T T N fţ din drept ig..- Convenţi de semne poitive le eforturilor l o bră dreptă. RELŢII DIERENŢILE ÎNTRE EORTURI ŞI TENSIUNI Eforturile devoltă într-o secţiune unui element de reistenţă tensiuni normle şi tngenţile τ, căror repreentre este preenttă în ig...- (vei şi ig..6-b). În ig..-b sunt repreentte eforturile din secţiune brei (vei şi ig..-). τ τ i N T i t T d ) b) ig..- Echivlenţ între tensiuni şi eforturi Componentele eforturilor se pot eprim în funcţie de tensiunile de pe suprfţ secţiunii trnsversle, reultând un sistem de ecuţii de echivlenţă între eforturi şi tensiuni, su relţiile diferenţile între eforturi şi tensiuni: 6

PVEL TRIP REZISTENŢ TERILELOR - N d T τ d T τ d.- i i d d t ( τ τ ) d Relţiile.- repreintă cele şse relţii de echivlenţă între eforturi şi tensiuni, su relţiile diferenţile între eforturi şi tensiuni.. RELŢII DIERENŢILE ÎNTRE EORTURI ŞI SRCINI ie o bră dreptă încărctă cu o srcină distribuită după o lege orecre (ig..-). Pe un element de lungime infinit mică d, se pote consider că srcin p este uniform distribuită (ig..-). Se detşeă elementul de lungime d şi pe feţele sle se plică eforturile, considerte poitive (ig..- b). Cum ceste eforturi vriă în lungul brei, pe secţiune din stâng cţioneă eforturile T şi i, ir pe ce din drept T+dT şi +d i. pconst. T p() i +d i d d T+dT ) b) ig..- Echivlenţ între eforturi şi srcini 7

PVEL TRIP REZISTENŢ TERILELOR - Ecuţiile de echilibru scrise pentru elementul din ig..-b, conduc l stbilire unor relţii forte importnte: de unde reultă: ( ) 0 T p d ( T + dt) 0 dt d p.- Relţi.- rtă că derivt funcţiei forţei tăietore în rport cu bscis secţiunii, este eglă cu srcin distribuită normlă l brei din ce secţiune, lută cu semn schimbt. semănător se deduce că derivt funcţiei forţei ile în rport cu bscis secţiunii este eglă cu srcin distribuită ilă din ce secţiune, lută cu semn schimbt. Sum de momente fţă de centrul de greutte l secţiunii din drept, conduce l: ( d) i ( i + d i ) + T d p 0 de unde după neglijre infinitului mic de ordinul doi (d) /, se obţine: d i T d.- Relţi.- rtă că derivt funcţiei momentului încovoietor în rport cu bscis secţiunii, este eglă cu forţ tăietore din ce secţiune. Dcă relţi.- se mi deriveă încă o dtă în rport cu d, se obţine următore relţie diferenţilă între eforturi şi srcini: d d i dt p.- d Relţiile diferenţile stbilite între eforturi şi srcini permit obţinere unor informţii deosebit de importnte cu privire l trseul digrmelor de eforturi. 8

PVEL TRIP REZISTENŢ TERILELOR - Se preintă în continure câtev stfel de informţii reultte din relţiile diferenţile dintre eforturi şi srcini şi de cre trebuie ţinut sem pentru obţinere unor digrme de eforturi corecte: Vlore efortului tăietor într-o secţiune repreintă tngent trigonometrică unghiului pe cre îl fce cu brei, tngent l digrm i în secţiune respectivă. Dcă pe o porţiune (intervl) orecre: efortul tăietor T > 0 (poitiv), momentul încovoietor i este crescător efortul tăietor T < 0 (negtiv), momentul încovoietor i este descrescător efortul tăietor T trece prin vlore ero schimbând semnul din + (plus) în (minus), tunci în ce secţiune, momentul încovoietor i re un mim, ir când semnul se schimbă din în +, momentul încovoietor i re un minim efortul tăietor T este nul (T 0), momentul încovoietor i este constnt. Dcă srcin distribuită este nulă (p 0) pe un intervl (intervl neîncărct), pe cel intervl efortul tăietor T este constnt (T const.). Pe cest intervl, digrm momentul încovoietor i este repreenttă prin drepte oblice, numi dcă T nu este nul. Dcă p < 0, efortul tăietor T, scde. Pe intervle încărcte cu srcină uniform distribuită (p const.), digrm i este o prbolă, it digrm T o dreptă înclintă. În cul unei distribuţii neuniforme srcinii distribuite p, mbele digrme (T şi i ) sunt curbe căror formă depinde de tipul srcinii. În secţiunile din dreptul forţelor trnsversle concentrte, digrm T preintă o discontinuitte de vlore (slt), eglă cu vlore celei forţe şi produsă în sensul cestei, ir digrm i preintă o discontinuitte de tngentă (o frângere, schimbre de pntă) porţiunilor vecine le digrmei. Dcă srcin distribuită este orienttă în jos (p < 0), digrm i este o curbă cărei conveitte este orienttă în jos (ig..-), ir dcă srcin distribuită este orienttă în sus (p > 0), digrm i pe ce porţiune re conveitte în sus (ig..-b). Pe intervle încărcte cu srcini distribuite linir, efortul tăietor T vriă după o curbă de grdul doi, ir momentul încovoietor i după o curbă de grdul trei. Conveitte digrmei i se stbileşte l fel c în cul p const. (ig..-). Conveitte efortului tăietor T, se stbileşte uşor pe b celor cunoscute din nli temtică. Pe reemul rticult de l cpătul grinii, momentul încovoietor i este egl cu ero dcă pe cest reem nu se găseşte un cuplu (moment) concentrt. Dcă în secţiune de l cpătul consolei nu este 9

PVEL TRIP REZISTENŢ TERILELOR - plictă o forţă concentrtă, efortul tăietor T pe consolă este egl cu ero. în jos ) b) în sus ig..- Conveitte digrmei momentului încovoietor L cpătul încstrt l brei, eforturile T şi i sunt egle cu recţiune, respectiv momentul din încstrre. În secţiunile în cre se plică un cuplu concentrt (moment concentrt eterior), digrm i preintă o discontinuitte în vlore (slt) eglă cu vlore celui cuplu eterior concentrt şi produsă în sensul de cţiune l cuplului. supr digrmei T, cest cuplu eterior concentrt, nu re nici o influenţă..4 TRSRE DIGRELOR DE EORTURI Digrmele de eforturi nu sunt ltcev decât repreentre grfică funcţiilor eforturilor în lungul unui element de reistenţă. C urmre, pentru pute obţine digrmele de eforturi pentru un element de reistenţă, mi întâi trebuie scrise funcţiile eforturilor în lungul elementului. Scriere funcţiilor eforturilor se fce pe câte un intervl crcteristic, cre este ce porţiune elementului pe cre funcţiile de eforturi preintă o funcţie unică. Îninte de scriere funcţiilor de eforturi şi repreentre lor grfică, trebuie clculte şi verificte recţiunile (vei clculul şi verificre recţiunilor, prgrful.5). L scriere funcţiilor eforturilor pe fiecre intervl crcteristic, se ţine sem de convenţi de semne poitive le cestor (vei convenţi, ig..-) 0

PVEL TRIP REZISTENŢ TERILELOR -.4. Digrme de eforturi l bre drepte Pentru brele drepte din eemplele următore, să se trsee digrmele de eforturi. Eemplul nr. Br simplu reemtă încărctă cu o forţă concentrtă (ig..4.-) Br -B este solicittă de o forţă concentrtă înclintă cu unghiul α fţă de longitudinlă brei H α B ) V l b VB N cosα b) T ( sinα)/ l ( b sinα)/ l c) i d) ( b sinα) / l ig..4.- Clculul recţiunilor. Recţiunile sunt poiţionte în reeme şi preentte în ig..4.-. de unde reultă: ( ) 0 H cos α 0

PVEL TRIP REZISTENŢ TERILELOR - H cosα Pentru clculul recţiunilor V şi V B B se scriu ecuţiile de momente fţă de reemele, respectiv B. de unde se obţine de unde se obţine ( ) V l sin α b 0 B V ( b sinα) / l ( ) VB l sin α 0 V B B ( sinα) / l Se trece cum l verificre recţiunilor: ( ) V sin α + V b sin α sin α + sin α l l B l ( + b) sin α sin α 0 Se pote constt că recţiunile verifică ecuţi de echilibru corespunătore, putându-se trece cum l trsre digrmelor de eforturi. uncţiile de eforturi şi trsre cestor. uncţiile de eforturi se vor scrie pe fiecre intervl crcteristic şi poi se repreintă grfic. Pe intervlul -. În ig..4.- se preintă secţiune relită în cest intervl şi poiţiontă prin coordont. Se ţine sem de convenţi de semn eforturilor şi în cest c funcţiile eforturilor se scriu pe fţ din drept brei. Efortul il în secţiune, este: N H cosα reultă un efort il constnt, nu depinde de poiţi secţiunii şi poitiv. Vlorile poitive pentru efortul il se repreintă desupr ei de vlore ero (desupr ei longitudinle brei). Repreentre grfică efortului il N este preenttă în ig..4.-b. Efortul tăietor T în secţiune, este:

PVEL TRIP REZISTENŢ TERILELOR - T V ( b sinα) / l de semene constnt, poitiv, ir repreentre grfică este răttă în ig..4.- c. Vlorile poitive le efortului tăietor T se repreintă desupr ei de vlore ero (desupr ei longitudinle brei). omentul încovoietor din secţiune, este: i i V [( b sinα) / l ] ( b sinα) / l şi preintă o vriţie liniră (depinde linir de poiţi secţiunii ). Se clculeă cum vlorile momentului l cpetele intervlului -, dică în secţiunile, respectiv. Se obţin vlorile: pentru 0, i 0 pentru, i ( b sinα) / l Digrm reulttă este preenttă în ig..4.-d. L momentul încovoietor i, vlorile poitive se repreintă sub de vlore ero (sub longitudinlă brei), tocmi pentru c digrm i să pră totdeun de prte fibrei întinse brei. cestă observţie trebuie reţinută, e fiind de un rel folos l repreentre digrmelor de eforturi pentru sistemele spţile. Se scriu cum funcţiile de eforturi pe intervlul B-. Se prcurge intervlul de l B spre (de l drept spre stâng), ir funcţiile eforturilor se scriu pe fţ din stâng (tenţie l convenţi de semne poitive le eforturilor pentru cestă fţă). Se obţin funcţiile: pentru efortul il N 0 Nu eistă efort il pe cest intervl. pentru efortul tăietor: T - V B B - ( sinα) / l efort constnt, negtiv. Vlorile negtive l efortul tăietor se repreintă sub de vlore ero (sub brei). Vriţi efortului tăietor T pe cest intervl este preenttă în ig..4.-c. pentru momentul încovoietor:

PVEL TRIP REZISTENŢ TERILELOR - V B B i [( sinα) / l ] ( sinα) / l vriţie liniră, vlori poitive. L cpetele intervlului, vlorile momentului încovoietor, sunt: pentru 0, pentru b, ib 0 i ( b sinα) / l Cu cest s- încheit trsre digrmelor de eforturi pentru eemplul preentt. Se pote constt că informţiile dte de relţiile diferenţile dintre eforturi şi srcini (legi de vriţie, slturi, mime etc) sunt stisfăcute. Reultă de ici că digrmele de eforturi preentte în ig..4.- sunt corecte. Eemplul nr.. Br simplu reemtă încărctă cu srcină uniform distribuită (ig..4.-) p V pl / l B ) V B T l / pl / b) i c) pl / 8 ig..4.- 4

PVEL TRIP REZISTENŢ TERILELOR - Clculul recţiunilor. Se pote constt uşor că cele două recţiuni sunt egle şi u vlorile: V V B B p l / Nu eistă recţiune pe oriontlă, deorece pe cestă direcţie nu eistă nici cţiune (componente orientte după direcţi ei longitudinle brei). uncţiile şi digrmele de eforturi. Pentru cest eemplu, nu eistă efort il. Br preintă un singur intervl crcteristic, intervlul -B. Efortul tăietor T în secţiune, se scrie pentru fţ din drept (prte prcursă de l l se consideră înlăturtă) şi re epresi: T V p p l / p vriţie liniră, semn poitiv. L cpetele de intervl, vlorile efortului tăietor T sunt: pentru o, pentru l, T V p l / T B B V p l p l / p l - p l / Digrm de vriţie efortului tăietor T este preenttă în ig..4.-b. Se observă că efortul tăietor se nuleă (este ero), ir în cestă secţiune momentul încovoietor preintă etrem. Poiţi secţiunii în cre T 0, trebuie determintă. E reultă din condiţi: T p l / p 0 de unde reultă poiţi secţiunii în cre efortul tăietor T este nul: l / cestă poiţie este preenttă în ig..4.-b. În ceeşi secţiune, se scrie funcţi momentului încovoietor : i V p / (p l / ) p / i Reultă o ecuţie de grdul doi, cre preintă un etrem l l /. Vlorile momentului încovoietor l cpetele intervlului şi vlore etremă, sunt: 5

PVEL TRIP REZISTENŢ TERILELOR - pentru 0, i 0 pentru l /, pentru l, i etr. i m p l / 8 ib 0 Digrm momentului încovoietor i pentru cest eemplu este preenttă în ig..4.-c. Şi pentru cest eemplu se verifică tote condiţiile reultte din relţiile diferenţile dintre eforturi şi srcini. Eemplul nr.. Br simplu reemtă încărctă cu srcină triunghiulră (ig..4.-) l / p p V l B V B ) p l / 6 T b) / l / p l / i c) ig..4.- / pl / 7 6

PVEL TRIP REZISTENŢ TERILELOR - Încărcre totlă brei este p l /, cre re punctul de plicţie l l/ de reemul. Cu cestă încărcre se clculeă recţiunile cu metodologi cunoscută, ir după efecture clculelor se obţin vlorile: V V B p l 6 p l Într-o secţiune orecre (ig..4.-), srcin distribuită re intensitte (din semănre): p p l uncţiile şi digrmele de eforturi. Efort il nu eistă. uncţi efortului tăietor este: T V p p l 6 l p p l p 6 l Reultă o vriţie prbolică. L cpetele intervlului -B, vlorile efortului tăietor T sunt: pentru 0, T p l / 6 pentru l, T B B - p l / Se consttă că efortul tăietor se nuleă, poiţi cestei secţiuni reultând din relţi: T p l 6 p l 0 de unde se obţine pentru vlore: 7

PVEL TRIP REZISTENŢ TERILELOR - l l Digrm efortului tăietor T este preenttă în ig..4.-b. uncţi momentului încovoietor este: i i V p p l p 6 6 l L cpetele intervlului şi în secţiune unde efortul tăietor se nuleă, momentul încovoietor i re vlorile: pentru 0, i 0 / pentru l / 0,577 l, pentru l, / i m p l / 7 ib 0. Digrm momentului încovoietor este preenttă în ig..4.-c. i Eemplul nr. 4. Br simplu reemtă încărctă cu un moment (cuplu) concentrt (ig..4.-4) B ) V b V B l b) T - / l - / l i c) b / l ig..4.-4 8