1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale (S) a 11 X 1 + a 12 X 2 + + a 1n X n = b 1 a 21 X 1 + a 22 X 2 + + a 2n X n = b 2, a......... ij, b i K. a m1 X 1 + a m2 X 2 + + a mn X n = b m Dacă b 1 = = b n = 0, atunci spunem că (S) este un sistem omogen. 2) Un vector x = (x 1,..., x n ) K n este soluţie pentru (S) dacă înlocuind necunoscutele sistemului cu componentele vectorului X i := x i toate egalităţile ce se obţin sunt adevărate. 3) Sistemul (S) este compatibil dacă are cel puţin o soluţie şi este incompatibil dacă nu are soluţii. (S) este compatibil determinat dacă are exact o soluţie, iar dacă are cel puţin două suluţii, atunci spunem că este compatibil nedeterminat. Definiţia 1.2. Fiind dat un sistem (S), matricea A = (a ij ) s.n. a 11... a 1n b 1 matricea sitemului (S). Matricea A e =.... s.n. a m1... a mn b m matricea extinsă ataşată lui (S). Observaţia 1.3. (Forma matriceală) Dacă A = [a ij ] este matricea sistemului (S), atunci sistemul poate fi scris sub forma: (S) AX t = b t, unde X = (X 1,... X n ) şi b = (b 1,..., b m ). Observaţia 1.4. (Forma vectorială) Dacă privim coloanele matricii A ca vectori coloană din K-spaţiul vectorial K n, atunci sistemul poate fi pus sub forma: (S)X 1 c A 1 + + X n c A n = b t. Teorema 1.5. (Kroneker-Capelli) Sistemul de ecutaţii liniare (S) este compatibil dacă şi numai dacă rang(a) = rang(a e ). Demonstraţie.. Presupunem că sistemul (S) este compatibil. Există, deci, (α 1,..., α n ) K n astfel încât α 1 c A 1 + + α n c A n = b t 1
2 Dar, de aici, rezultă că b t c A 1,..., c A n, adică c A 1,..., c A n = c A 1,..., c A n, b t rang[c A 1,..., c A n ] = rang[c A 1,..., c A n, b t ] rang(a) = rang(a e ).. Presupunem acum că rang(a) = rang(a e ), adică rang[c A 1,..., c A n ] = rang[c A 1,..., c A n, b t ]. Conform definiţiei rangului unui sistem de vectori, avem dim K c A 1,..., c A n = dim K c A 1,..., c A n, b t, iar ţinând cont de faptul că c A 1,..., c A n este un subspaţiu a lui c A 1,..., c A n, b t, deducem că c A 1,..., c A n = c A 1,..., c A n, b t. Vectorul b t c A 1,..., c A n, există deci (α 1,..., α n ) K n astfel încât α 1 c A 1 + + α n c A n = b t, adică, sistemul (S) este compatibil. Observaţia 1.6. Criteriul lui Rouché, studiat în liceu este o consecinţă a teoremei Kroneker-Capelli. Teorema 1.7. Soluţiile unui sistem omogen (S) cu n necunoscute formează un subspaţiu al K-spaţiului vectorial K n, de dimensiune n rang(a). Demonstraţie. Fie (S) un sistem cu m ecuaţii şi n necunoscute, cu forma matriceala A X t = 0 t. Trecând la transpuse, în identitatea matriceală anterioară, obţinem (X 1,..., X n )A t = (0,..., 0). Considerăm aplicaţia liniară f A : K n K m, cu [f A ] bb = A t, unde e este baza canonică lui K n, iar e este baza canonică lui K m. Dacă (X 1,..., X n ) K n, avem f A (X 1,..., X n ) = (X 1,..., X n )[f A ] ee e t = (X 1,..., X n )A t e t. Deducem că (α 1,..., α n ) K n este soluţie a sistemului (S), dacă, şi numai dacă, (α 1,..., α n ) Ker(f A ). Mulţimea soluţiilor sistemului (S) coincide deci cu Ker(f A ). Dar Ker(f A ) este subspaţiu a lui K n, de dimensiune def(f A ) = n rang(f A ) = n rang(a t ) = n rang(a).
2. REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUAŢII LINIARE 3 Corolarul 1.8. Un sistem omogen (S) are doar soluţia banală (0,..., 0) dacă şi numai dacă n = rang(a). Observaţia 1.9. Din demonstraţia teoremei se deduce că subspaţiul soluţiilor unui sistem omogen coincide cu nucleul aplicaţiei liniare f : K n K m cu [f] ee = A t, unde e şi e sunt bazele canonice. Prin urmare, pentru determinarea solţiilor unui sistem omogen se pot aplica metodele prezentate pentru determinarea nucleelor de aplicaţii liniare. Teorema 1.10. Fie (S) AX t = b t un sistem de ecuaţii liniare şi (S 0 ) sistemul omogen AX t = 0 (obţinut prin înlocuirea coloanei b cu 0). Dacă x 0 este o soluţie particulară a lui (S) şi S 0 este mulţimea soluţiilor lui (S 0 ), atunci mulţimea soluţiilor sistemului (S) este S = x 0 + S 0 = x 0 + y y S 0 }. Demonstraţie. Fie (S) un sistem de m ecuaţii, cu n necunsocute. Considerăm aplicaţia liniară f A : K n K m cu [f A ] ee = A t, unde A M m,n (K) este matricea sistemului (S). Am notat cu e şi e baza canonică din K n, respectiv K m. Dacă x = (x 1,..., x n ) K n, avem f A (x 1,..., x n ) = (x 1,..., x n )A t K m. Vectorul x este o soluţie a lui (S) dacă şi numai dacă Ax t = b t xa t = b f(x) = b. Deci, x 0, fiind o soluţie pariculară a lui (S) avem f(x 0 ) = b şi x S f(x) = f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) = 0 f(x x 0 ) = 0. Un vector y K n este soluţie a sistemului (S 0 ), dacă şi numai dacă f(y) = 0, deci f(x x 0 ) = 0 x x 0 S 0 y S 0 a.i. x x 0 = y y S 0 a.i. x = x 0 + y x x 0 + S 0. 2. Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare Teorema 2.1. (Regula lui Cramer) Un sistem (S) AX t = b t cu n ecuaţii şi n necunoscute (adică A M n (K)) este compatibil determinat dacă şi numai dacă det(a) 0. În aceste condiţii soluţia este x = (x 1,..., x n ) cu x i = (det(a)) 1 det[c A 1,..., c A i 1, b t, c A i+1,..., c A n ], i 1,..., n}.
4 Demonstraţie.. Presupunem că sistemul (S) este compatibl determinat. Mulţimea soluţiilor lui (S), S, are deci un singur element. Conform Teoremei 1.10 avem S = x 0 + S 0 = x 0 + y y S 0 }. În consecinţă, mulţimea S 0 nu poate avea decât un singur element. Dar, S 0 fiind un K-subspaţiu a lui K n, nu poate fi egal decât cu 0}. Conform Corolarului 1.8, rang(a) = n, deci det(a) 0.. Presupunem că det(a) 0. Sistemul omogen ataşat, (S 0 ), are deci doar soluţia banală, adică S 0 = 0}. Conform Teoremei 1.10, mulţimea S are cel mult un elemet. Nu ne rămâne să demonstrăm, decât existenţa unei soluţii particulare a sistemului (S). Considerăm scalarii x i K, definiţi astfel x i = (det(a)) 1 det[c A 1,..., c A i 1, b t, c A i+1,..., c A n ], i 1,..., n}. Pentru a ajunge la concluzia că x 0 = (x 1,..., x n ) este o soluţie a lui (S) e suficient să arătăm că Ax t 0 = b t x t 0 = A 1 b t x t 0 = (det(a)) 1 A b t, unde A este adjuncta matricii A. Avem deci Ax t 0 = b t x i = (det(a) 1 (Γ 1i Γ 2i... Γ ni ) b 1. b n = (det(a)) 1 n b j Γ ji, unde Γ ji sunt complemenţii algebrici corespunzători. Dar, n j=1 b jγ ji nu reprezintă altceva decât dezvoltarea după coloana a i-a a determinantului det[c A 1,..., c A i 1, b t, c A i+1,..., c A n ] i 1,..., n}. Aşadar, x 0 reprezintă unica soluţie a sistemului (S). Metode de rezolvare I. Metoda lui Cramer Example 2.2. Să se rezolve sistemul x 1 + x 2 x 3 = 0 3x 1 2x 2 + 2x 3 = 5 2x 1 + 3x 2 2x 3 = 2. Calculând determinantul matricii sistemului 1 1 1 det(a) = 3 2 2 2 3 2 = 5, j=1
2. REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUAŢII LINIARE 5 deducem că sistemul este compatibil determinat. soluţia calculăm determinaţii. 0 1 1 d 1 = 5 2 2 2 3 2 = 5, 1 0 1 d 2 = 3 5 2 2 2 2 = 10, 1 1 0 d 3 = 3 2 5 2 3 2 = 5. Pentru a obţine d i este determinantul matricii obţinute din A prin înlocuirea coloanei a i-a cu coloana termenilor liberi. Componenetele soluţiei sunt x 1 = d 1 det(a) = 5 5 = 1, x 2 = d 2 det(a) = 10 5 = 2, x 3 = d 3 det(a) = 15 5 = 3. II. Folosind lema substituţiei Observaţia 2.3. Este suficient să găsim o bază pentru spaţiul soluţiilor sistemului omogen (numit sistem fundamental de soluţii) şi o soluţie particulară. Considerăm sistemul (S) Ax t = b t, cu m ecuaţii şi n necunoscute. Aplicăm lema substituţiei pentru a calcula rang(a), adică rangul sistemului de vectori [c A 1,..., c n ], format din coloanele lui A. Tabelul ini ţial va arăta astfel c A 1 c A 2... c A n b t e 1 b 1 e 2 A b 2. e m Presupunem că după un număr de r paşi ajungem la următoarea situaţie. b m
6 c A 1 c A r c A r+1 c A n b t c A 1 1 0 β 1,r+1 β 1,n b 1...... c A r 0 1 β r,r+1 β r,n b r c A r+1 0 0 0 0 b r+1...... c A m 0 0 0 0 b m Observăm că rang(a) = r. Ca sistemul (S) să fie compatibil rangul matricii extinse, A e, trebuie să fie tot r. Această condiţie este echivalentă cu În aceste condiţii avem b r+1 = = b m = 0. b t = b 1 c A 1 + + b r c A r + 0 c A r+1 + + 0 c A n, adică x 0 = (b 1,..., b r, 0,..., 0) este o soluţie particulară a sistemului (S). Dimensiunea subspaţiului soluţiilor sistemului omogen ataşat, S 0 este n rang(a), adică n r. Pentru a determina o bază a lui S 0 este suficient să găsim n r vectori liniari independenţi. Din ultimul tabel avem c A r+1 = β 1,r+1 c A 1 + + β r,r+1 c A r, c A n = β 1,n c A 1 + + β r,n c A r adică β 1,r+1 c A 1 + + β r,r+1 c A r + ( 1) c A r+1 + 0 c A r+2 + + 0 c A n = 0 β 1,n c A 1 + + β r,n c A r + 0 c A r+1 + 0 c A r+2 + + ( 1) c A n = 0. Obţinem astfel următoarele soluţii ale sistemului omogen y 1 = (β 1,r+1,..., β r,r+1, 1, 0,..., 0) S 0. y n r = (β 1,n,..., β r,n, 0, 0,..., 1) S 0 Vectorii y 1,..., y n r, fiind liniari independenţi, formează o bază în S 0. Cunoscând soluţia particulară x 0 şi o bază a lui S 0 putem determina soluţiile lui (S).
2. REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUAŢII LINIARE 7 Example 2.4. a) Să se rezolve sistemul x 1 x 2 + 2x 3 + x 4 + 3x 5 = 2 x 1 x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 1 3x 1 + 2x 2 + x 3 4x 4 + 4x 5 = 3 Folosind lema substituţiei avem tabelul c A 1 c A 2 c A 3 c A 4 c A 5 b t e 1 1 1 2 1 3 2 e 2 1 1 1 1 1 1 e 3 3 2 1 4 4 3 c A 1 1 1 2 1 3 2 e 2 0 0 1 0 2 1 e 3 0 1 7 1 13 3 c A 1 1 1 0 1 1 0 c A 3 0 0 1 0 2 1 e 3 0 1 0 1 1 4 c A 1 1 0 0 2 0 4 c A 3 0 0 1 0 2 1 c A 2 0 1 0 1 1 4 Observăm că rang(a) = rang(a e ) = 3, deci sistemul este compatibil. Coloana termeilor liberi se poate exprima astfel b t = 4c A 1 + 1c A 3 + 4c A 2 = 4c A 1 + 4c A 2 + 1c A 3 + 0c A 4 + 0c A 5, de unde deducem că x 0 = (4, 1, 1, 0, 0) este o soluţie a lui (S). Conform ultimului tabel avem c A 4 = 2c A 1 + c A 2 c 5 = 2c A 3 + c A 2, adică 2c A 1 + c A 2 + 0c A 3 + ( 1)c a 4 + 0c A 5 = 0 0c A 1 + c A 2 + 2c A 3 + 0c a 4 + ( 1)c A 5 = 0. Obţinem astfel următoarele soluţii ale sistemului omogen ataşat y 1 = (2, 1, 0, 1, 0) S 0 y 2 = (0, 1, 2, 0, 1) S 0. Ştim că dim R S 0 = 5 rang(a) = 5 3 = 2. Vectorii y 1, y 2, fiind liniar independenţi, formează o bază în S 0. Aşadar S 0 = y 1, y 2 = αy 1 + βy 2 α, β R} = (2α, α + β, 2β, α, β) α, β R},.
8 de unde deducem că multimea soluţiilor sistemului (S) este S = x 0 + S 0 = (4 + 2α, 4 + α + β, 1 + 2β, α, β) α, β R}. b) Să se rezolve sistemul x 1 x 2 + 2x 3 + x 4 + 3x 5 = 2 x 1 x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 1 2x 1 2x 2 + 3x 3 + 2x 4 + 4x 5 = 3 Folosind lema substituţiei avem tabelul c A 1 c A 2 c A 3 c A 4 c A 5 b t e 1 1 1 2 1 3 2 e 2 1 1 1 1 1 1 e 3 2 2 3 3 4 3 c A 1 1 1 2 1 3 2 e 2 0 0 1 0 2 1 e 3 0 0 1 0 3 7 c A 1 1 1 0 1 1 0 c A 3 0 0 1 0 2 1 e 3 0 0 0 0 0 6 Sistemul este incompatibil pentru că rang(a) = 2 3 = rang(a e ). III. Metoda lui Gauss Definiţia 2.5. Spunem că două sisteme de ecuaţii liniare sunt echivalente dacă ambele sunt compatbile şi au aceleaşi soluţii sau dacă ambele sunt incompatibile. Teorema 2.6. Dacă sistemele (S) şi (S ) au matricile extinse echivalente pe linii, atunci ele sunt echivalente. Metoda lui Gauss constă în aducerea matricii extinse la o fomă eşalon şi rezolvarea sistemului care are ca matrice extinsă matricea eşalon obţinută. Example 2.7. a) Să se rezolve folosind metoda lui Gauss sistemul x 1 x 2 + 2x 3 + x 4 + 3x 5 = 2 x 1 x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 1 3x 1 + 2x 2 + x 3 4x 4 + 4x 5 = 3 Aducem matricea extinsă a asistemului la o matrice eşalon 1 1 2 1 3 2 l 2 =l 2 l 1 l 1 1 1 1 1 1 3 =l 3 +3l 1 1 1 2 1 3 2 0 0 1 0 2 1 3 2 1 4 4 3 0 1 7 1 13 3
Obţinem sistemul 2. REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUAŢII LINIARE 9 l 2 =l 3 l 3 = l 2 1 1 2 1 3 2 0 1 7 1 13 3 0 0 1 0 2 1. x 1 x 2 + 2x 3 + x 4 + 3x 5 = 2 x 2 + 7x 3 x 4 + 13x 5 = 3 x 3 + 2x 5 = 1, echivalent cu cel iniţial, iar rezolvându-l obţinem S = (4 2α, 4 α β, 1 2β, α, β) α, β R}. b) Să se rezolve folosind metoda lui Gauss sistemul x 1 x 2 + 2x 3 + x 4 + 3x 5 = 2 x 1 x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 1 2x 1 2x 2 + 3x 3 + 2x 4 + 4x 5 = 3 Aducem matricea extinsă a sistemului la o matrice eşalon 1 1 2 1 3 2 l 2 =l 2 l 1 l 1 1 1 1 1 1 3 =l 3 2l 1 1 1 2 1 3 2 0 0 1 0 2 1 2 2 3 2 4 3 0 0 1 0 2 7 l 3 l 2 1 1 2 1 3 2 0 0 1 0 2 1 0 0 0 0 0 6 Observăm că rang(a) = 2 3 = rang(a e ), deci sistemul este incompatibil. c) Să se rezolve folosind metoda lui Gauss sistemul x + y + z = 0 x + 4y + 10z = 3 2x + 3y + 5z = 1. Aducând matricea extinsă a sistemului la o matrice eşalon 1 1 1 0 l 2 =l 2 l 1 l 1 4 10 3 3 =l 3 2l 1 1 1 1 0 0 1 3 1 l 3=l 3 l 2 1 1 1 0 0 1 3 1 2 3 5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 observăm că rang(a) = 2 = rang(a e ). Sistemul este deci compatibil nedeterminat. Sistemul echivalent este x + y + z = 0 iar rezolvându-l obţinem y + 3z = 1,. S = (2α 1, 1 3α, α) α R}.,
10 Metoda lui Gauss-Jordan se bazează pa acelaşi principiu ca şi metda lui Gauss, cu diferenţa că se aduce matricea la o formă care este diagonală pe primele n coloane (corespunzătoare matricii sistemlui). Example 2.8. a) Considerând sistemul din Exemplul 2.7 a), am văzut că A e 1 1 2 1 3 2 0 1 7 1 13 3. 0 0 1 0 2 1 Aplicând succesiv transformări elementare pe linii avem l 2 =l 2 7l 3 1 1 0 1 1 0 l 1 =l 1 l 2 A e l 1 =l 1 2l 3 l 0 1 0 1 1 4 2 = l 2 1 0 0 2 0 4 0 1 0 1 1 4 0 0 1 0 2 1 0 0 1 0 2 1 Obţinem sistemul echivalent cu cel iniţial. x 1 + 2x 4 = 4 x 2 + x 4 + x 5 = 4 x 3 + 2x 5 = 1, Example 2.9. Să se rezolve cu toate metodele studiate sistemele: 3x 1 + 4x 2 + x 3 + 2x 4 = 3 a) 6x 1 + 8x 2 + 2x 3 + 5x 4 = 7 9x 1 + 12x 2 + 3x 3 + 10x 4 = 13 3x 1 + 4x 2 + x 3 + 2x 4 = 3 b) 6x 1 + 8x 2 + 2x 3 + 5x 4 = 7 9x 1 + 12x 2 + 3x 3 + 10x 4 = 14 a) I. Folosind lema substituţiei avem tabelul. c A 1 c A 2 c A 3 c A 4 b t e 1 3 4 1 2 3 e 2 6 8 2 5 6 e 3 9 12 3 10 13 c 3 3 4 1 2 3 e 2 0 0 0 1 1 e 3 0 0 0 4 4 c 3 3 4 1 0 1 c 4 0 0 0 1 1 e 3 0 0 0 0 0
2. REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUAŢII LINIARE 11 Observăm că rang(a) = rang(a e ) = 2, deci sistemul este compatibil. Coloana termeilor liberi se poate exprima astfel b t = c A 3 + c A 4 = 0c A 1 + 0c A 2 + 1c A 3 + 1c A 4, de unde deducem că x 0 = (0, 0, 1, 1) este o soluţie a sistemului. Conform ultimului tabel avem c A 1 = 3c A 3 c 2 = 4c A 3, adică c A 1 3c A 3 = 0 c 2 4c A 3 = 0, Obţinem astfel următoarele soluţii ale sistemului omogen ataşat y 1 = (1, 0, 3, 0) S 0 y 2 = (0, 1, 4, 0) S 0. Ştim că dim R S 0 = 4 rang(a) = 4 2 = 2. Vectorii y 1, y 2, fiind liniar independenţi, formează o bază în S 0. Aşadar S 0 = y 1, y 2 = αy 1 + βy 2 α, β R} = (α, β, 3α 4β, 0) α, β R}, de unde deducem că multimea soluţiilor sistemului (S) este S = x 0 + S 0 = (α, β, 1 3α 4β, 1) α, β R}. II. Aplicăm metoda Gauss şi aducem matricea extinsă a sistemului la o matrice eşalon astfel A e 3 4 1 2 3 l 2 =l 2 2l 1 l 6 8 2 5 7 3 =l 3 3l 1 3 4 1 2 3 0 0 0 1 1 9 12 3 10 13 0 0 0 4 4 l 3 =l 3 4l 2 3 4 1 2 3 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 Observăm că rang(a) = 2 = rang(a e ). Sistemul este deci compatibil nedeterminat. Sistemul echivalent este 3x1 + 4x 2 + x 3 + 2x 2 = 3 x 4 = 1,.
12 iar rezolvându-l obţinem x 1 = α, x 2 = β, x 3 = 1 3α 4β x 4 = 1, α, β R. III. Putem aplica şi metoda Gauss-Jordan. Avem A e 3 4 1 2 3 0 0 0 1 1 l 1=l 1 2l 2 3 4 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Sistemul obţinut astfel este 3x1 + 4x 2 + x 3 = 1 x 4 = 1, iar rezolvându-l ajungem la aceeaşi soluţie. b) Folosind lema substituţiei avem tabelul. c A 1 c A 2 c A 3 c A 4 b t e 1 3 4 1 2 3 e 2 6 8 2 5 6 e 3 9 12 3 10 14 c 3 3 4 1 2 3 e 2 0 0 0 1 1 e 3 0 0 0 4 5 c 3 3 4 1 0 1 c 4 0 0 0 1 1 e 3 0 0 0 0 1 Sistemul este incompatibil pentru că rang(a) = 2 3 = rang(a e ). II. Aplicăm metoda Gauss şi aducem matricea extinsă a sistemului la o matrice eşalon astfel A e 3 4 1 2 3 6 8 2 5 7 9 12 3 10 14 l 3 =l 3 4l 2 l 2 =l 2 2l 1 l 3 =l 3 3l 1 3 4 1 2 3 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 3 4 1 2 3 0 0 0 1 1 0 0 0 4 5.
2. REZOLVAREA SISTEMELOR DE ECUAŢII LINIARE 13 Observăm că rang(a) = 2 3 = rang(a e ). Ajungem la aceeaşi concluzie.