Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei unei transformări liniare 3 Diagonalizarea matricei unei transformări Polinom caracteristic
Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări Fie V şi W spaţii liniare peste Γ, unde Γ = R sau complexe Γ = C. Definiţie Se numeşte transformare (operator) liniară funcţia f : V W dacă satisface 1 f (u + v) = f (u) + f (v), u, v V 2 f (α u) = α f (u), u V, α Γ.
Proprietăţi Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări Propoziţie Dacă f este o transformare liniară, atunci au loc 1. f (0 V ) = 0 W 2. f ( u) = f (u), u V. Demonstraţie. 1. f (0 V ) = f (0 0 V ) = 0 f (0 V ) = 0 W. 2. Din u + ( u) = 0 V deducem f (u) + f ( u) = 0 W, adică f ( u) = f (u).
Spaţiul transformărilor liniare Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări Fie V şi W spaţii liniare peste Γ, unde Γ = R sau complexe Γ = C. Notăm L(V, W ) = {f : V W, f transformare liniară}. Teoremă L(V, W ) este spaţiu liniar peste Γ. Demonstraţie. Definim operaţiile f, g L(V, W ) (f + g)(u) = f (u) + g(u), u V. f L(V, W ), α Γ, (α f )(u) = α f (u).
Alte operaţii cu transformări Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări Teoremă Fie U, V, W spaţii liniare peste Γ şi f L(U, V ), g L(V, W ). Atunci g f L(U, W ) Teoremă Fie f L(U, V ) o transformare liniară bijectivă. Atunci există f 1 şi f 1 L(V, U).
Nucleul şi imagine Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări Definiţie Numim nucleu al transformării liniare f : V W mulţimea Ker f = {u V f (u) = 0 W.} Definiţie Numim imagine a transformării liniare f : V W mulţimea Im f = {v W u V, f (u) = v}.
Proprietăţi Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări Propoziţie Fie f : V W o transformare liniară atunci 1. Ker f este subspaţiu liniar în V. 2. Im f este subspaţiu liniar în W. Propoziţie Fie f : V W o transformare liniară atunci 1. f este injectivă dacă şi numai dacă Ker f = {0 V } 2. f este surjectivă dacă şi numai dacă Im f = W.
Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări Teoremă 1. Dacă f L(V, W ) atunci f transformă un sistem de vectori liniar dependenţi într-un sistem de vectori liniar dependenţi. 2. Dacă f L(V, W ) este injectivă atunci f transformă un sistem de vectori liniar independenţi într-un sistem de vectori liniar independenţi.
Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări Demonstraţie. 1. Presupunem că u 1, u 2,, u n sunt liniar dependenţi; există α i Γ nu toţi nuli astfel ca α i u i = 0 V. Aplicăm f şi avem f ( i=1 α i u i ) = i=1 α i f (u i ) = 0 W. 2. Presupunem că u 1, u 2,, u n sunt liniar independenţi. Fie α i f (u i ) = 0 W, care implică n i=1 f ( i=1 α i u i ) = 0 W, i=1
Morfisme Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări Definiţie Fie f : V W o transformare liniară atunci f se numeşte izomorfism dacă f este bijectivă. Dacă V = W, atunci f se numeşte endomorfism. Notam L(V ) mulţimea tuturor endomorfismelor. Endomorfismul liniar f : V V se numeşte automorfism, dacă f este bijectivă.
Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări Rangul şi defectul unei transformări Definiţie Numim rangul transformării f : V W liniare dimensiunea subspaţiului Im f. Definiţie Numim defectul transformării f : V W liniare dimensiunea subspaţiului Ker f.
Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei unei transformări liniare Fie V, W două spaţii liniare finit dimensionale, astfel ca dim V = n, dim W = m, m, n N. Fie B 1 = {e 1, e 2,, e n } o bază în V şi B 2 = {g 1, g 2,, g m } o bază în W. Au loc f (e 1 ) = a 11 f 1 + a 21 f 2 + + a m1 f m f (e 2 ) = a 12 f 1 + a 22 f 2 + + a m2 f m. f (e n ) = a 1n f 1 + a 2n f 2 + + a mn f m Relaţiile sunt echivalente cu: f (e i ) = m a ji g j, i = 1,, n. (1) j=1
Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei unei transformări liniare Definiţie Matricea A = A B 1,B 2 f = (a ji ), j = 1, m, i = 1,, n se numeşte matricea transformării în perechea de baze B 1, B 2. Observaţie. Matricea are pe coloane coordonatele vectorilor f (e i ) în baza din W.
Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei unei transformări liniare Teoremă Între mulţimea transformărilor liniare L(V, W ) şi mulţimea matricelor M m,n (Γ) există o corespondenţă bijectivă. Demonstraţie. Fie f L(V, W ), unde dim(v ) = n, dim(w ) = m. Dacă folosim notaţiile predente, avem pentru orice u V, w W u = x i e i w = i=1 m y j f j. (2) j=1
Demonstraţie. Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei unei transformări liniare Au loc Deducem w = f (u) = f ( x i e i ) = x i f (e i ) = = m x i i=1 j=1 i=1 i=1 a ji f j = m ( a ji x i )f j j=1 i=1 y j = a ji x i, j = 1,, m (3) i=1
Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei unei transformări liniare Dacă notăm Y = y 1 y 2 y m X = x 1 x 2 x n, relaţia (3) devine Y = A X. (4) Oricare ar fi matricele A M m,n (Γ), X M n,1 (Γ), Y M m,1 (Γ), relaţia (4) defineşte o transformare liniară.
Consecinţe Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei unei transformări liniare 1. Tranformarea identic nulă, f : V W, f (u) = 0 W, are matricea O m,n 2. Transformarea identică f : V V, f (u) = u are matricea A = I n. 3. Dacă f, g L(V, W ) au matricele A, B M m,n (Γ) atunci f + g are matricea A + B M m,n (Γ). 4. Dacă α Γ, f L(V, W ), iar f are matricea A M m,n (Γ), atunci transformarea α f are matricea α A M m,n (Γ).
Compunerea transformărilor Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei unei transformări liniare 5. Fie U, V, W spaţii liniare peste Γ cu dim(u) = n, dim(v ) = m, dim(w ) = p, m, n, p N. Fie f L(U, V ), g L(V, W ). Are sens compunerea g f L(U, W ). f g U V W. A M m,n (Γ) B M p,m (Γ) Atunci transformării g f îi corespunde matricea B A M p,n (Γ).
Inversarea unei transfromări Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei unei transformări liniare 6. Dacă V = W şi f L(V ) cu matricea A M n (Γ) este o transformare inversabilă, atunci transformării f 1 îi corespunde matricea A 1.
Relaţia dintre rang şi defect Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei unei transformări liniare Fie V, W spaţii liniare peste Γ cu dim(u) = n şi dim(w ) = m. Teoremă Fie f L(U, W ) atunci are loc dim(im(f )) + dim(ker f ) = n. Demonstraţie. Fie A M m,n (Γ) matricea lui f într-o pereche de baze. Atunci f (u) = w înseamnă A X = Y. Dacă w Im(f ) atunci sistemul de mai jos este compatibil a 11 x 1 + + a 1n = y 1 a 21 x 1 + + a 2n = y 2. a m1 x 1 + + a mn = y m
Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei unei transformări liniare Sistemul este echivalent cu C 1 x 1 + + C n x n = Y, (5) unde C 1,, C n sunt coloanele matricei A. Relaţia (5) exprimă faptul că Y Sp{C 1,, C n }. Ştim că rang(a) = dim(sp{c 1,, C n }), deci rang(a) = dim(im(f )). Pe de altă parte ker f reprezintă mulţimea soluţiilor unui sistem liniar omogen, cu dimensiunea n rang(a), de unde concluzia.
Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei unei transformări liniare Teoremă Fie f L(V ) cu dim(v ) = n şi B = {e i,, e n } o bază în V, în care f are matricea A M n (Γ). Fie B = {e i,, e n} o altă bază în V, în care f are matricea A M n (Γ). Fie C matricea de schimbare de la baza B la B. Are loc A = C 1 A C. (6)
Demonstraţie. Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei unei transformări liniare Calculăm în două moduri f (e j ). Rezultă f (e j ) = f (e j ) = f ( c ij e i ) = c ij f (e i ) = = c ij i=1 k=1 a ij e i = i=1 i=1 a ki e k = a ij i=1 i=1 k=1 ( a ki c ij )e k. k=1 i=1 c ki e k = A C = C A. ( c ki a ij )e k. k=1 i=1
Diagonalizarea matricei unei transformări Polinom caracteristic Definiţie Fie V un spaţiu liniar peste Γ, unde Γ = R sau C şi f L(V ). λ Γ se numeşte valoare proprie dacă există u V, u 0 V astfel ca f (u) = λu. (7) Vectorul u se numeşte vector propriu. Mulţimea tuturor vectorilor proprii se numeşte spectrul operatorului şi se notează cu σ(f ).
Diagonalizarea matricei unei transformări Polinom caracteristic Teoremă Fie λ Γ o valoare proprie. 1. Mulţimea V λ = {u V f (u) = λu} este subspaţiu liniar în V. 2. Oricare ar fi u V λ are loc f (u) V λ. Demonstraţie. 1. Dacă u, u V λ rezultă că u + u V λ. Dacă α V λ, u V λ atunci αu V λ. 2. Fie u V astfel ca f (u) = λu. Rezultă f (f (u)) = λf (u). V λ se numeşte subspaţiu propriu.
Diagonalizarea matricei unei transformări Polinom caracteristic Teoremă Dacă λ, λ Γ sunt valori proprii distincte, iar u, u sunt vectorii proprii corespunzatori, atunci u şi u sunt liniar independenţi. Demonstraţie. Dacă u, u ar fi liniar dependenţi, ar exista α Γ, α 0 astfel ca u = αu, Aplicând f deducem : De unde λ αu = λ u = f (u ) = f (αu) = αf (u) = αλu α(λ λ)u = 0 V ceea ce antrenează, prin absurd, λ = λ.
Diagonalizarea matricei unei transformări Polinom caracteristic Teoremă Dacă V este spaţiu liniar n-dimensional peste Γ, atunci orice f L(V ) are cel puţin o valoare proprie în Γ. Demonstraţie. Fie A M n (Γ) matricea transformării într-o bază fixată B = {e 1,, e n }. Dacă u = x 1 e 1 + + x n e n din condiţia f (u) = λu găsim A x 1 x 2 x n = λ x 1 x 2 x n.
Ecuaţia caracteristică Diagonalizarea matricei unei transformări Polinom caracteristic Se obţine a 11 λ a 12 a 1n a 21 a 22 λ a 2n a n1 a n2 a nn λ x 1 x 2 x n = 0 0 0. Sistemul are soluţie nebanală dacă a 11 λ a 12 a 1n a 21 a 22 λ a 2n = 0 (8) a n1 a n2 a nn λ Ecuaţia (8) se numeşte ecuaţie caracteristică.
Forma diagonală Diagonalizarea matricei unei transformări Polinom caracteristic Definiţie Spunem că o transformare liniară admite forma diagonală, dacă există o bază în care matricea este diagonală. Teoremă Dacă spaţiul liniar V admite o bază de vectori proprii, atunci în această bază transformarea liniară admite formă diagonală. Demonstraţie. Fie λ i Γ valori proprii şi {u 1,, u n } o bază de vectori proprii. Atunci f (u i ) = λ i u i, adică matricea are pe diagonală valorile proprii λ i, iar în rest 0.
Lema lui Gersgorin Diagonalizarea matricei unei transformări Polinom caracteristic Lemă Fie A M n (C). Pentru orice i = 1,, n fie r i = a ij D i = {z C z a ii r i }. j=1,j i Are loc n σ(a) D i, unde σ(a) este spectrul transformării liniare de matrice A. i=1
Diagonalizarea matricei unei transformări Polinom caracteristic Demonstraţie. Fie λ o valoare proprie, astfel ca există x i, i = 1,, n nu toţi nuli astfel ca A x 1 x n = λ x 1 x n.
Diagonalizarea matricei unei transformări Polinom caracteristic Fie i astfel ca x i = max( x 1,, x n ) de unde x i 0. Ecuaţia i este a i1 x 1 + + (a ii λ)x i + + a in = 0. Deducem de unde Urmează (a ii λ)x i = a ii λ x i a ii λ j=1,j i j=1,j i j=1,j i a ij x j, a ij x j. a ij x j x i r i.
Polinom caracteristic Diagonalizarea matricei unei transformări Polinom caracteristic Definiţie Fie A M n (Γ). Polinomul se numeşte polinom caracteristic. Teoremă P(λ) = det(a λi n ) (9) Fie A M n (Γ) şi P(λ) polinomul caracteristic. Atunci au loc: 1. A şi A t au acelaşi polinom carateristic. 2. P(λ) = ( 1) n λ n + ( 1) n 1 λ n 1 (a 11 + a 22 + + a nn ) + + a n unde a n = det(a). 3. Date A, B M n (Γ) şi C M n (Γ) nesingulară astfel ca B = C 1 AC atunci A şi B au acelaşi polinom caracteristic.
Demonstraţie Diagonalizarea matricei unei transformări Polinom caracteristic P(λ) = (a 11 λ)(a 22 λ) (a nn λ)+polinom de grad n 2 = ( 1) n λ n + ( 1) n 1 (a 11 + a 22 + + a nn )λ n 1 + + a n. Dacă λ = 0 deducem a n = det(a). Consecinţe. 1 λ 1 + λ 2 + + λ n = Tr(A) 2. λ 1 λ 2 λ n = det(a).
Teorema Cayley-Hamilton Diagonalizarea matricei unei transformări Polinom caracteristic Teoremă Fie A M n (Γ) şi P polinomul caracteristic. Atunci P(A) = 0.