1.UVOD. 1.1 Matematički model

1.UVOD 1.1 Matematički model Matematički model se može definisati kao skup matematičkih relacija koje opisuju ili definišu veze između pojedinih fizičkih veličina u posmatranom procesu (dimenzije uređaja, svojstva supstanci,kinetički parametri, protoci, itd.). Matematički model predstavlja manje ili više uprošćenu predstavu stvarnih veza između veličina koje karakterišu neki proces i odražava najvažnije karakteristike procesa. Tako se dobrim matematičkim modelom smatra onaj koji odstupa od realne slike u granicama tolerancije, a pri tome nije tako kompleksan da bi određivanje brojnih vrednosti parametara koji figurišu u modelu (kao i njegovo rešavanje) bilo vrlo otežano ili nemoguće. Pre no što se formuliše model mora se jasno definisati sistem koji se modeluje ili posmatra. Pod sistemom podrazumevamo jasno izdvojen deo procesa tj. postrojenja ili ceo proces, ograničen granicom sistema. Pod procesom se podrazumeva jedna ili niz operacija ili jediničnih procesa koji za cilj imaju dobijanje nekog produkta. Jedinični procesi se u hemijskom inženjerstvu dele na: mehaničke operacije (transport čvrstih materija i fluida, drobljenje, oblikovanje, itd) toplotne operacije (proizvodnja i razmena toplote) separacione operacije (destilacija, ekstrakcija, membranski procesi, itd.) hemijske reakcije biohemijske reakcije Hemijsko-inženjerski sistemi se mogu podeliti na jednostavne i složene. Dok se jednostavni sistemi sastoje samo od jednog uređaja, složeni sistemi se sastoje od više međusobno povezanih uređaja. Matematički modeli složenih sistema sastoje se od matematičkih modela jediničnih uređaja iz kojih su sastavljeni i opisa veza između njih (opis topologije sistema). Osnovu matematičkog modela jednostavnog sistema predstavljaju zakoni održanja (konzervacije) mase, energije i količine kretanja. Opšti izraz zakona održanja, tj. opšti oblik bilansa glasi: ULAZ - IZLAZ + GENERISANJE = AKUMULACIJA (1.1) U SISTEMU U SISTEMU i odnosi se na neki period vremena t. Definisanje pojedinih članova u bilansu (1.1), kao i dodatnih jednačina ili ograničenja zahteva : 1 0 Podatke o fizičko-hemijskim karakteristikama supstanci (gustine, specifične toplote, naponi pare, entalpije, itd.) ; 2 0 Opisivanje ravnoteža faza ; 3 0 Opisivanje reakcione ravnoteže ; 1

4 0 Metode proračuna brzina prenosa toplote, mase i količine kretanja (fizička kinetika) i kinetiku hemijskih reakcija. PRIMER 1.1 Uzmimo, kao poznat, primer razmenjivača toplote tipa cevi sa omotačem (Sl.1.2): F 1, T 1 F 1, T 1 F 2, T 2 F 2, T 2 Slika. 1. 2. Skica razmenjivača toplote Matematički model čine: 1 0 zakon održanja mase: F 1 = F 2 = F (kg/s) (1.1 a) F 1 = F 2 = F (kg/s) (1.1 b) 2 0 zakon održanja energije: F Cp ( T T = F Cp T T 2 1 ) ( 1 2 ) = Q ( J / s) (1.2) Q predstavlja razmenjenu količinu toplote između dva fluida i jednako je: Q = k Tsr A (J/s) (1.3) A je površina toplotne razmene, a T sr srednja logaritamska razlika temperatura: T T T T T = ( 1 2 ) ( 2 1 ) sr T T 1 2 ln T T 2 1 (1.3a) U izrazu za razmenjenu količinu toplote (1.3) figuriše koeficijent prolaza toplote, koga treba proceniti. Ako se zanemari krivina cevi, 1 1 1 k = + δ α λ + α α, α - koeficijenti prelaza toplote za jedan i drugi fluid λ - koeficijent provođenja za zid cevi δ - debljina zida cevi (1.3b) 2

Koeficijent prelaza se najčešće određuje pomoću odgovarajuće kriterijalne jednačine, αd Nu = = f (Pr, Re) λ (1.3c) gde je λ koeficijent prevođenja fluida a d karakteristična dimenzija (ovde prečnik cevi). Pr i Re su bezdimenzioni kriterijumi, wdρ Re =, Pr = µ C p λ µ (1.3d) koji zahtevaju vrednosti srednje brzine proticanja fluida w i njegove karakteristike: gustina (ρ), specifična toplota (Cp), toplotna provodljivost (λ) i dinamički viskozitet (µ). Iz jednačina (1.3b - 1.3d) sledi relacija: k = f ( F F 1, 1, ρ, ρ, µ, µ, λ, λ, d, d, λ, δ ) (1.4) Treba imati u vidu da su fizičke osobine fluida funkcije temperature, koja se menja duž razmenjivača i kao aproksimacija se usvajaju konstantne vrednosti koje odgovaraju srednjoj temperaturi: ρ = ρ ( T ), µ = µ ( T ), λ = λ ( T ), Cp = Cp ( T ) ( 15. a) s s s s ρ = ρ ( Ts ), µ = µ ( Ts ), λ = λ ( Ts ), Cp = Cp ( Ts ) ( 15. b) gde su: T + T T T Ts = 1 2 + Ts = 1 2, 2 2 Pretpostavke pri formulisanju modela Svaki model, kao približna predstava procesa, bazira se na nekim pretpostavkama. Dobre pretpostavke su rezultat iskustva, teorijskog znanja i inženjerskog osećaja i zahvaljujući njima model se uprošćava uz očuvanje neophodnog stepena realističnosti. Pretpostavke zavise od cilja analize, i ne smeju da unesu greške koje bi dovele do značajnih odstupanja od korektnih rezultata i zaključaka. Treba ih (izuzimajući eventulano uobičajene) navesti kao sastavni deo modela. PRIMER 1.2 Pobrojaćemo pretpostavke na kojima se bazira model razmenjivača toplote u prethodnom primeru: zanemaruju se gubici toplote u okolinu (omotač je idealno izolovan) - vidi jedn. (1.2) zanemaruje se prisustvo taloga onečišćenja na zidovima cevi (vidi jedn. 1.3b) zanemaruju se radijalne promene temperatura jednog i drugog fluida fizički parametri fluida: µ, ρ, λ kao i λ zida cevi su konstante (ne menjaju se sa temperaturom) (vidi jedn. 1.5a, b) 3

zanemaren je efekat promene pritiska na entalpiju fluida, i one su linearne funkcije temperature (jedn. 1.2), tj. Cp=const. Klasifikacija matematičkih modela Uobičajene podele matematičkih modela su date na sl. 3. Deterministički model sadrži promenljive kojima se mogu pripisati tačno određene vrednosti pri zadatim uslovima, odnosno nisu podložne slučajnim kolebanjima. U inženjerstvu se najčešće bavimo determinističkim modelima zanemarujući pri tom prisutne neodređenosti u promenljivama, koje su najčešće posledice eksperimentalnih varijacija slučajnog karaktera i nemaju značajan udeo u ukupnim vrednostima (naprimer slučajne greške merenja). deterministički stohastički stacionaran nestacionaran MATEMATIČKI MODEL podele po matematičkoj strukturi sa raspodeljenim parametrima sa uniformnim parametrima sl. 1.3. - Klasifikacija matematičkih modela Ponekad je međutim neke promenljive neophodno smatrati slučajnim što znači da njihove vrednosti upadaju u određeni interval sa nekom verovatnoćom u skladu sa nekim zakonom raspodele. Takvi procesi se nazivaju stohastičkim i opisuju se statističkim ili stohastičkim modelima, uz pomoć teorije verovatnoće i matematičke stohastike. Primer su problemi u okviru kojih je neophodno opisati raspodelu veličina čvrstih čestica, ili raspodelu veličina pora u poroznom materijalu, zatim problemi modelovanja turbulentnog strujanja fluida kao i sistemi kod kojih su neke promenljive određene sa malom preciznošću (velika slučajna greška merenja). U okviru ovog kursa nećemo se baviti stohastičkim procesima. Za nestacionarne procese je karakteristično da se sve ili neke od promenljivih menjaju u toku vremena, a odgovarajući modeli se zovu nestacionarni. U bilansnim jednačinama (1.1) za nestacionarne sisteme, postoji član akumulacije. Za stacionaran sistem ili proces važi da se svojstva sistema odnosno promenljive ne menjaju sa vremenom, a član akumulacije u bilansnim jednačinama (1.1) jednak je nuli. Dakle, možemo da pišemo, X, X t 0, za nestacionaran model (1.6a) X, X t 0, za stacionaran model (1.6b) gde X označava promenljivu u modelu, a t vreme. 4

Diskontinualni ili šaržni (engl. batch) procesi se opisuju nestacionarnim modelima. Na primer šaržni hemijski reaktor se napuni smešom reaktanata (punjenje ili šarža) i pusti da se reakcije odvijaju neko vreme, u toku koga se sastav reakcione smeše, temperatura, a nekad i pritisak menjaju (nestacionarnost). Zatim se reaktor isprazni tj. ispusti se šarža, koja sadrži proizvode reakcija. Dakle, kroz granice sistema nema proticanja mase u posmatranom (operativnom) periodu vremena, tj. u pitanju su zatvoreni sistemi. Pri opisivanju kontinualnih procesa, odnosno otvorenih ili protočnih sistema, kod kojih postoji razmena mase sa okolinom kroz granicu sistema, ako su oni vremenom ustaljeni, koriste se stacionarni modeli. Pri opisivanju reakcije ili odziva kontinualnog sistema na vremenske poremećaje pojedinih parametara, neophodno je naravno, zbog prisutnih vremenskih promena pojedinih promenljivih, formulisati nestacionarne modele. Tako se u hemijskom inženjerstvu kontinualni procesi projektuju pomoću stacionarnih modela, ali je za projektovanje sistema automatskog upravljanja tih procesa neophodno koristiti nestacionarne modele. Ako se pri opisivanju sistema mogu zanemariti prostorne varijacije promenljivih tj. njihove vrednosti smatrati uniformnim po celoj zapremini sistema, rezultat je model sa ne raspodeljenim ili uniformnim parametrima (engl. lumped model). Primer su šaržni ili protočni reator sa idealnim mešanjem sadržaja. Dakle, za sisteme sa uniformnim parametrima imamo, X X, x, 0 (1.7a) x gde x označava prostornu koordinatu. Sistemi kod kojih su prisutne promene pojedinih promenljivih duž jedne ili više prostornih koordinata kao i odgovarajući modeli nazivaju se sistemi (modeli) sa raspodeljenim (distributed) parametrima, i za njih važi, X X, x, 0 (1.7b) x U pogledu matematičke strukture, modeli mogu predstavljati: 1 0 Jednu ili više algebarskih jednačina, 2 0 Jednu ili više običnih diferencijalnih jednačina (ODJ), 3 0 Jednu ili više parcijalnih diferencijalnih jednačina (PDJ), 4 0 Jednu ili više integralnih jednačina, ili 5 0 Kombinaciju navedenih struktura. Jasno je da su stacionarni uniformni sistemi opisani algebarskim modelima. Model nestacionarnog uniformnog sistema kao i model stacionarnog sistema čija se svojstva menjaju samo po jednoj prostornoj koordinati je tipa 2 0 (obične diferencijalne jednačine). Parcijalne diferencijalne jednačine opisuju nestacionarne sisteme sa prostorno promenljivim svojstvima, kao i stacionarne sisteme čija se svojstva menjaju u bar dva koordinatna pravca. Integralne 5

jednačine se dobijaju kao alternativa diferencijalnim modelima, pri formiranju materijalnog bilansa za ceo ili konačno veliki deo sistema sa raspodeljenim parametrima (umesto za njegov beskonačno mali deo). Navedena podela modela po strukturi se odnosi na polazne modele. Međutim, kada se diferencijalni modeli (obične ili parcijalne diferencijalne jednačine), ako je to moguće, analitički reše, rezultat se takođe naziva matematički model, ali on za razliku od polaznog modela ima strukturu algebarskog modela. Tako, polazni energetski bilans razmenjivača toplote iz Primera 1.1 je sistem od dve obične diferencijalne jednačine, koje opisuju temperature oba fluida, koje se menjaju duž razmenjivača. Algebarske jednačine 1.2-1.3a su rezultat rešavanja polaznog, diferencijalnog modela. Granični uslovi Poznato je da je pri rešavanju diferencijalnih modela (nalaženje partikularnih rešenja) neophodan određen broj graničnih uslova za funkcije opisane diferencijalnim jednačinama. Uopšte, može se reći da je broj potrebnih graničnih uslova u vezi neke zavisno promenljive, jednak tačno redu njenog najvišeg izvoda koji figuriše u modelu. Na primer, da bi dobili rešenje y(x) diferencijalne jednačine prvog reda, F(x, y, y ) = 0, neophodan je jedan granični uslov za traženu funkciju: x = x 0, y(x) = y 0 koji se obično zove početni uslov, a problem rešavanja pomenute diferencijalne jednačine početnim problemom (initial value problem). Za rešavanje modela oblika: F(x, y, y, y ) = 0 neophodna su, zbog drugog izvoda funkcije y(x), dva granična uslova u vezi sa vrednošću funkcije i/ili njenog prvog izvoda. Oni mogu biti dati u jednoj tački x 0 : x = x 0, y = y 0, y = y 0 i tada opet imamo početni problem. Ako su granični uslovi razdvojeni tj. dati u dve tačke, x 1 i x 2, recimo: x = x 1, y = y 1 ili opštije: x = x 2, y = y 2 x = x 1, a 1 y + b 1 y = c 1 x = x 2, a 2 y + b 2 y = c 2 (a 1, a 2, b 1, b 2, c 1, c 2 su konstante) u pitanju je, teži za rešavanje, granični problem (boundary value problem). Uzmimo sada na primer parcijalnu diferencijalnu jednačinu: 2 F ( t, z z x, z z y, z, t, x, y, y ) = 2 0 6

Da bi dobili partikularno rešenje, z = z(t, x, y) neophodan je po jedan granični uslov po t i po x i dva po y, recimo: z( x, y, t = 0) = z z( x = x 0 1, y, t) = z ( x, y) 2 ( y, t) z( x, y = y, t) = z 0 3 ( x, t) z ( x, y = y y, t) = z 0 4 ( x, t) 1.1 Tipovi računskih problema Hemijsko inženjerske proračune, pod kojima ovde podrazumevamo rešavanje postavljenih matematičkih modela posmatranih sistema, možemo podeliti na 1 0 Maseni i energetski bilans 2 0 Simulacioni proračun 3 0 Projektni proračuni 4 0 Optimizacioni problemi Maseni i energetski bilansi Maseni i energetski bilansi predstavljaju najjednostavniji tip proračuna čiji je cilj zadovoljavanje materijalnih i (ili) energetskih bilansa jednog ili više jediničnih uređaja pri čemu se sami jedinični procesi ili uređaji posmatraju kao crna kutija. To znači da model ne sadrži opise brzina jediničnih procesa (napr. izraz za brzinu hemijske reakcije u reaktoru ili izraz za toplotni fluks u izmenjivaču toplote) već su umesto njih dati podaci o stepenima napredovanja odnosno efektima jediničnih procesa (recimo stepen konverzije reaktanta u reaktoru, ulazna i izlazna temperatura grejanog fluida u razmenjivaču, i sl.). Simulacioni proračuni Simulacioni proračuni, za razliku od prethodnih se baziraju na modelima koji sadrže i opise brzina jediničnih procesa, kojima se oni simuliraju ili imitiraju (kinetički izrazi pri proračunu reaktora, izrazi za toplotni fluks pri simuliranju izmenjivača toplote i sl.). Simulacioni problemi se dele na: 1 0 Otvorenu simulaciju (open simulation) 2 0 Kontrolisanu simulaciju (controlled simulation) Za otvorenu simulaciju karakteristično je da su zadati projektni parametri jediničnih uređaja (napr. veličina površine toplotne razmene u izmenjivaču toplote, ili zapremina protočnog reaktora) kao i parametri svih ulaznih struja, a računaju se parametri izlaznih struja (protoci, temperature, koncentracije). 7

Kod kontrolisane simulacije, koja je teži računski problem od otvorene simulacije, pored projektnih parametara i ne svih parametara ulaznih struja zadati su i neki parametri izlaznih struja. Računaju se preostali izlazni parametri i nedostajući ulazni parametri, koji predstavljaju najvažniji rezultat. Projektni proračuni Kod projektnih (design) problema nisu zadati svi parametri uređaja već ih treba odrediti polazeći od zadatih parametara ulaznih struja i odgovarajućeg broja parametara izlaznih struja. PRIMER 1.3. Otvorena i zatvorena simulacija razmenjivača toplote iz Primera 1.1. Odredićemo najpre neophodan broj podataka da bi računski problem bio matematički određen tj broj stepeni slobode d za postavljeni model. Ukupan broj promenljivih koje figurišu u modelu je 23 i to: promenljiva: broj: maseni protoci, F 1, F 2, F 1, F 2 4 temperature T 1, T 2, T 1, T 2 4 dimenzije sistema d, d, δ, A 4 fizička svojstva ρ, Cp, λ, µ 8 fluida ρ, Cp, λ, µ provodljivost zida i koeficijent prolaza toplote λ, k 2 toplotni fluks Q 1 Broj jednačina je 14. = 23 jednačine: broj: maseni bilansi (1.1 a, b) 2 energetski bilans (1.2) 2 za toplotni fluks (1.3 uz 1.3a) 1 za koeficijent prolaza toplote (1.4) 1 za fizička svojstva (1.5 a, b) 8 = 14 Dakle, d = 23-14 = 9 i da bi računski problem bio matematički određen, neophodno je 9 nezavisnih podataka. Izbor tih 9 podataka kod otvorene simulacije i za jedan primer kontrolisane simulacije dati su u Tabeli. 8

Tabela uz primer 1.3 Zadato: parametri uređaja: parametri ulaznih struja: parametri izlaznih struja: Dobija se: ostale promenljive od kojih su najvažnije: otvorena simulacija kontrolisana simualcija d, d, A, λ, δ T 1, T 1, F 1, F 1 T 1, F 1, F 1 - T 2 T 2, T 2, Q T 1, T 2, Q Cilj otvorene simulacije razmenjivača u kome se hladi neki fluid je predskazivanje izlaznih temperatura hlađenog ( ) i rashladnog ( ) fluida, u datom razmenjivaču, pri različitim protocima i ulaznim temperaturama dva fluida. Cilj kontrolisane simulacije, specificirane u Tabeli, je pak određivanje neophodne temperature rashladnog fluida da bi se u datom razmenjivaču hlađeni fluid rashladio do zadate temperature. PRIMER 1.4 Projektni proračun razmenjivača toplote. Tipičan projektni problem je: parametri uređaja: d, d, λ, δ zadato: ulazni parametri: T 1, T 1, F 1, F 1 izlazni parametri: T 2 Dobija se: Ostalo, a najvažnija je površina ramenjivača, A. Optimizacioni proračuni Neki matematički neodređen projektni ili problem kontrolisane simulacije se nekad prevodi u određeni, postavljanjem dodatnog uslova da neka funkcija promenljivih koje figurišu u modelu, koju zovemo funkcija cilja, za rešenje problema, tj. za izračunate vrednosti promenljivih ima ekstremum (minimum ili maksimum). Opisani problem se zove problem optimizacije sa ograničenjima (constrained optimization) gde su ograničenja definisana samim modelom, koga moraju zadovoljiti koordinate ekstremuma. Uzmimo, na primer, kontrolisanu simulaciju razmenjivača toplote (Primer 1.3). Pretpostavimo da je postavljen uslov da iz datog izmenjivača (dati parametri uređaja: d, d, A, λ, δ) hlađeni fluid izlazi sa temperaturom T 2, pri čemu su dati njegov protok i ulazna temperatura (F 1, T 1 ). Treba odrediti protok i ulaznu temperaturu rashladnog fluida. Očigledno imamo manjak podataka - umesto 9 imamo 8 podataka, pa je problem matematički neodređen. Problem se može rešiti kao optimizacioni: postavićemo uslov da ukupni troškovi vezani za pripremu rashladnog fluida (eventualno hlađenje i njegov transport), koji zavise od njegove temperature i protoka, budu minimalni: troškovi = f(f 1, T 1 ) = min 9

i tako odrediti optimalnu kombinaciju protoka i temperature rashladnog fluida. Optimizacioni proračuni nisu uključeni u sadržaj ovog, već su predmet posebnog kursa. ZADACI 1. a) Razlikuju li se mat. modeli za slučajeve hlađenja i zagrevanja procesnog fluida, koji protiče kroz cev razmenjivača toplote? b) Razlikuju li se i kako matematički model protiv- i istostrujnog razmenjivača toplote? c) Skiciraj temperaturne profile grejanog fluida (u cevi) i grejnog fluida (oko cevi), T ( x), T ( x) za istostrujni i suprotnostrujni razmenjivač. Posebno razmotriti slučaj, kada je grejni fluid suvozasićena para. 2. Najjednostavniji uparivač u prehrambenoj industriji je duplikator (sud sa omotačem plaštom). Kroz omotač struji grejna para, a sadržaj suda se intenzivno meša mešalicom. Duplikator može da bude šaržni (a) ili protočni - kontinualan (b). Matematički model uparivača definiše temperaturu i sadržaj suve materije u proizvodu. (a) (b) Skica uz zadatak 2. a) Za šaržni i protočni uparivač, izaberi od jednačina (1.6a 1.7b) one koje definišu tip njegovog matematičkog modela i navedi konkretna značenja promenljivih X, x i t u njima. b) Kakvu strukturu imaju ti modeli? 3. Najjednostavnija sušnica za sušenje prehrambenih proizvoda je šaržna komorna sušnica (tray dryer) (Skica 1). Proizvod se suši na policama, razastrt u tankom sloju, toplim vazduhom koji struji preko slojeva. Sistem koga modelujemo je sloj koji se suši na jednoj od polica (Skica 2). 10

Skica 1 uz zadatak 3.- Komorna sušnica z y 0 x Skica 3 uz zadatak 3. Sloj materijala na polici sušnice Fizičke veličine koje treba definisati modelom su temperatura i sadržaj vlage u sloju, ali zbog interakcije materijala koji se suši i vazduha, u modelu takođe figurišu temperatura vazduha i njegova vlažnost. a) Da li je posmatrani sistem stacionaran ili nestacionaran.? Navedi značenja promenljive X u odgovarajućoj od jednačina 1.6a i 1.6b. b) U kojim pravcima bi trebalo uzeti u obzir promene temperature i sadržaja vlage u sloju, imajući u vidu način strujanja vazduha? Kakvu strukturu ima takav model? 4. Jedan tip sušnice u prehrambenoj industiji je dobošasta sušnica. Na povšinu doboša koji se okreće i zagreva parom koja struji kroz njega, nanosi se tanak sloj proizvoda koji se suši. On ostaje na površini doboša u toku jednog dela punog ciklusa doboša i onda se skida sa nje (Skica). Skica uz zadatak 4. S obzirom na geometriju sistema (sloj proizvoda koji se suši), pri formulisanju matematičkog modela, kojim se definiše temperatura i sadržaj vlage u sloju, pogodno je koristiti cilindrični koordinatni sistem.( r,ϕ, z ). Koordinatni sistem se postavlja tako da se osa z poklapa sa osom doboša. 11

a) Koja koordinata se menja po debljini sloja koji se suši, a koja po njegovoj dužini, tj po obimu doboša? b) Od kojih od promenljivh: t, r, ϕ, z zavise temperatura i sadržaj vlage u sloju i kakvu strukturu ima odgovarajući model? 5. Za zagrevanje nekog tečnog prehrambenog proizvoda se često koristi diskontinualni duplikator sud sa omotačem (plaštom) kroz koga struji grejna para (vidi skicu uz zadatak 2.). Duplikator je snabdeven mešalicom koja meša sadržaj. Primer je primarna obrada soka od paradajza. Matematički model duplikatora opisuje promenu temperature namirnice,t koja se greje u toku vremena, t. Uz pretpostavke: - mešalica idealno meša sadržaj duplikatora, - duplikator je idealno izolovan - u omotač se uvodi suvozasićena para koja delimično kondenzuje, tako da je njena temperatura,t u toku zagrevanja konstantna, - specifična toplota proizvoda, c p je konstantna, matematički model glasi: mc dt = K S( T T T ), T (0) T0 dt p = m masa sadržaja duplikatora, kg S površina toplotne razmene, 2 m K koeficijent prolaza toplote, W ( m 2 K) T0 T početna temperatura proizvoda a) Odredi tip modela, prema datoj klasifikaciji. b) Koju dimenziju ima jednačina modela? Koje je značenje leve, a koje desne strane jednačine? c) Izvedi sledeće rešenje modela: K = T A T ( t) T ( T T t 0 ) exp mc p i proveri da li ono zadovoljava dati početni uslov. d) Čemu teži temperatura proizvoda, kada se vreme zagrevanja beskonačno produžava i da li rešenje zadovoljava taj uslov? Skiciraj krivu T (t). 6. Šaržni duplikator za zagrevanje tečnog proizvoda, opisan u Zadatku 5., ima površinu toplotne razmene od 0.43 m 2, koja je potpuno pokrivena sadržajem duplikatora. Proizvod, čija je specifična toplota 3.1 kj (kgk), treba zagrejati od 10 0 C do 99 0 C. Kapacitet duplikatora je 50kg. Grejni fluid je suvozasićena para, temperature 120 0 C. Izračunati potrebno vreme zagrevanja. Za koeficijent prolaza toplote uzeti K 900 ( m 2 T = W K). 12