Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl integrls. Mthemticl Suject Clssifiction: 97D5 1 În clculul integrlei f(x)dx unde f : [,] R este o funcţie integrilă, este utilă schimre de vriilă + x = t deorece prin e se pstreză limitele de integrre, oţinând f( + t)dt 59
6 Ion Alemn Acestă metodă se foloseşte deseori şi l integrle definite ce conţin funcţii trigonometrice. Mi întâi vom enunţ câtev propoziţii, după cre cu jutorul lor, prin prticulrizări,vom clcul câtev integrle din funcţii trigonometrice. Propoziţi 1. ([1], []) Dcă, R, <,s = + şi f : [,] R este o functie integril pe [,], tunci: f(x)dx = f(s x)dx Demonstrţie. Fcem schimre de vriilă t = ρ(x) = s x cu ρ (x) = 1,ρ() =,ρ() = şi tunci : f(x)dx = f(s x)( 1)dx = f(s x)dx Propoziţi. ([1], []) Dcă, R, <,s = + şi funcţiile integrile f, g : [, ] R u proprietăţile: f(s x) = f(x),g(x) + g(s x) = c R, x [,] tunci: f(x)g(x)dx = c f(x)dx Demonstrţie. Comform propoziţiei 1, vem: f(x)g(x)dx = f(s x)g(s x)dx = f(x)g(s x)dx
Asupr unei metode pentru clculul unor integrle... 61 Prin urmre: f(x)g(x)dx + f(x)g(s x)dx = = f(x)[g(x) + g(s x)]dx = c f(x)dx Propoziţi 3. Dcă, R, <,s = + ir f : R R, g : R R + sunt funcţii integrile stfel încât: tunci: f(s x) = f(x),g(x) + g(s x) R +, x [,] f(x)g(x) g(x) + g(s x) dx = Demonstrţie. Conform propoziţiei 1, vem: f(x)g(x) g(x) + g(s x) dx = de unde oţinem că: f(x)dx f(s x)g(s x) g(x) + g(s x) dx = f(x)g(s x) g(x) + g(s x) dx f(x)g(x) + f(x)g(s x) dx = f(x)dx g(x) + g(s x) dică relţi din enunţ. 1.1 Aplicţii 1. Să se clculeze: ln(1 + tgx)dx
6 Ion Alemn Soluţie. ln(1 + tgx)dx = = 4 ln de unde rezultă 8 ln Generlizre plicţiei 1 r fi : Să se clculeze: ln(1 + tg( 4 x))dx = ln(1 + tgx)dx = 4 ln I ln[1 + tg( + )tgx]dx cu < Soluţie. Conform propoziţiei 1 vem : ln[1 + tg( + )tgx]dx = ln 1 + tg 4 1 + tgx dx = [Mihi Sndu G.M 9/] ln[1 + tg( + )tg( + x)dx = = = tg( + ) tgx ln[1 + tg( + ) 1 + tg( + )tgx ]dx = ln 1 + tg ( + ) 1 + tg( + )tgx dx = de unde 1 ( ) ln[1 + tg ( + )] I =. Să se clculeze: I 1 = (sin x) cos x (sin x) cos x +(cos x) sin x dx ln[1 + tg ( + )] I (tgx) ctgx (tgx) ctgx +(ctgx) tgx dx dcă, R, < < şi + =.
Asupr unei metode pentru clculul unor integrle... 63 Soluţie. Din propoziţi 1 rezultă că: I 1 = [sin( x)]cos( x) [sin( x)]cos( x) + [cos( x)]sin( x)dx = = (cos x) sin x (cos x) sin x + (sinx) cos xdx = I 1 dr I 1 + I 1 =, de unde I 1 =. Anlog I = (ctgx) tgx (ctgx) tgx + (tgx) ctgxdx = I1 dr I + I =, deci I = O generlizre cestei plicţii r fi: I = I 1 = (sin n x) cosn x (sin n x) cosn x +(cos n x) sinn ndx (tg n x) ctgn x (tg n x) ctgnx +(ctg n x) tgn xdx cu, R, < < şi + =,n N [D. M. Bătineţu Giurgiu, [3]] Vlore celor dou integrle este ceeşi, dică I 1 = I =. 3. Să se clculeze : Soluţie. I= = (cos 4 x + sin 4 x) ln(1 + tgx)dx [D. Acu G.M 8 /1985] [cos 4 ( x) + sin4 ( x)] ln[1 + tg( 4 x)]dx = (cos 4 x + sin 4 x) ln dx = = ln 1 + tgx (cos 4 x + sin 4 x)dx I
64 Ion Alemn Prin urmre, ln (sin 4 x + cos 4 x)dx = 3 3 ln 4. Dcă (, ] şi R, să se clculeze 4 (x x + ) ln(1 + tgtgx)dx [V.Gorgot-GM 4/1998] Soluţie. Fie f(x) = x x +,g(x) = ln(1 + tgtgx) Este evident că: f(-x)=f(x) si g(-x)=ln(1+tg )-g(x), x [,] tunci conform proprietăţii 3 f(x)g(x) = 1 ln(1 + tg ) f(x) = = 1 ln(1 + tg ) (x x + )dx = ln(1 + tg )( ) O generlizre prolemelor 4 şi 5 r fi: dcă, R + cu < şi f : [,] R este o funcţie integrilă stfel încât f(x) = f( + x) x [,], tunci: f(x) ln[1 + tg( + )tgx]dx = ln[1 + tg ( + )] 5. Să se clculeze f(x)dx (sin 4 x + cos 4 x) ln(1 + tg x )dx
Asupr unei metode pentru clculul unor integrle... 65 Soluţie. [sin 4 ( x) + cos4 ( x)] ln[1 + tg( 4 x )] = (sin 4 x + cos 4 x) ln 1 + tg x dx = = ln (sin 4 x + cos 4 x)dx I De unde Generlizre. ln (sin 4 x + cos 4 x)dx = 3 ln 16 Dintr-un clcul nlog se oţine: (sin n x + cos n x) ln(1 + tg x )dx, n N, ln (sin n x + cos n x)dx Dr folosind formulele de recurenţă pentru I n = sin n xdx şi J n = cos n xdx, dică I n = 1 n sinn 1 x cos x + n 1 n I n, n J n = 1 n cosn 1 x sin x + n 1 n J n, n.
66 Ion Alemn Oţinem: I n = J n = (n 1)!! (n)!! Prin urmre: 6. Să se clculeze: ln (n 1)!!. (n)!! 1 (x x + 1) ln(1 + tg x 4 )dx Soluţie. Fie f,g : [, 1] R cu f(x) = x x + 1, g(x) = ln(1 + tg x 4 ) Deorece f(1 x) = f(x) şi g(1 x) = ln(1+tg ) g(x) rezultă tunci 4 că vem, conform propoziţiei 3: 1 1 ln(1 + tg 4 ) (x x + 1)dx = ln 3 Generlizre. Dcă (, 1], R să se clculeze (x x + ) ln(1 + tg 4 tgx 4 )dx Soluţie. Fie f,g : [,] R cu f(x) = x x + 1, g(x) = ln(1 + tg x 4 tg 4 ) [D.Btinetu OCTOGON./] Deorece f( x) = f(x) şi g( x) = ln(1 + tg ) g(x) tunci : 4 1 ln(1 + tg 4 ) f(x)dx
Asupr unei metode pentru clculul unor integrle... 67 7. Să se clculeze 1 (x 4 x 3 + x x 1) ln(1 + tg x 4 )dx Soluţie. Procedând nlog c mi sus oţinem: 13 ln 3 Generlizre. Dcă (, 1], R şi f : [,] R cu Atunci f(x) = x 4 x 3 + x 3 x + [D.Acu G.M.7/198] f(x) ln(1 + tg 4 tgx 4 )dx = 1 ln(1 + tg 4 ) f(x)dx 8. Să se clculeze: Soluţie. Punem u(x) = cos3 x 1+e x şi notăm cos 3 x 1 + e xdx t = + x Atunci u( t) = et cos 3 t 1+e t, de unde u(x) + u( x) = cos 3 x. Se oţine: u(x)dx = u( x)dx = [cos 3 x u(x)]dx = [L.Niculescu G.M./1998] cos 3 xdx I de unde 3.
68 Ion Alemn Generlizre Să se clculeze: Se oţine: cos n+1 x 1 + e x dx,n N u( x)dx = [cos n+1 x u(x)]dx = cos n+1 xdx I De unde cos n+1 xdx = (n)!! (n + 1)!!, n N. Biliogrfie [1] D.M.Btineţu-Giurgiu, Anliză mtemtică proleme pentru cls XII-, MATRIXROM Bucureşti [] Colecti Gzet mtemtic [3] Colecti Revist Octogon Grupul Şcolr Energetic Siiu E-mil: mi l co@yhoo.com