Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele speciale ale unui corp. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spunem că o operaţie externă : K V V, K V (α, x) αx determină o structură de K-spaţiu vectorial pe V dacă sunt îndeplinite axiomele: (SV1) α(x + y) = αx + αy, α K, x, y V ; (SV2) (α + β)x = αx + βx, α, β K, x V ; (SV3) α(βx) = (αβ)x, α, β K, x V ; (SV4) 1x = x, x V. Notăm cu K V un K-spaţiu vectorial. Observaţia 1.2. În definiţia anterioară s-au folosit notaţiile standard din teoria spaţiilor vectoriale. Atragem atenţia că + şi notează fiecare câte două operaţii. De exemplu în (SV2) primul + este operaţia din corp, iar al doilea este operaţia din grup. Definiţia 1.3. În situaţia descrisă de definiţia 1.1 se foloseşte următoarea terminologie: elementele lui V s.n. vectori. Elementul neutru din V se notează cu 0 sau 0 V şi s.n. vectorul nul. elementele lui K s.n. scalari. operaţia externă s.n. înmulţirea cu scalari. Example 1.4. 1) K n 1

2 SPAŢII VECTORIALE 2) V 2 = R 2 3) K A 4) K[X], Z 2 [X] Propoziţia 1.5. Fie V un K-s.v. a) α K, t α : V V, t α (x) = αx este un morfism de grupuri. a) x V, t x : (K, +) (V, +), t x (α) = αx este un morfism de grupuri. Corolarul 1.6. (reguli de calcul)

2. SUBSPAŢII ALE SPAŢIILOR VECTORIALE 3 a) α K, α0 V = 0 V ; b) x V, 0 K x = 0 V ; c) α K, x V, α( x) = αx = ( αx). d) α K, x V ; αx = 0 V α = 0 K sau x = 0 V. 2. Subspaţii ale spaţiilor vectoriale Definiţia 2.1. Fie V un K-s.v. şi S V. Spunem că S este K-subspaţiu al lui V (şi notăm S K V ) dacă S este stabilă faţă de adunarea vectorilor (i.e. x, y S, x + y S) şi faţă de înmulţirea cu scalari (i.e. α K x S, αx S) şi împreună cu restricţiile acestor operaţii S este un K-s.v. Observaţia 2.2. Dacă S K V, atunci S este subgrup în (V, +), deci 0 V S. Teorema 2.3. (teorema de caracterizare a subspaţiilor) Fie V un K-s.v. şi S V. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: a) S este un subspaţiu al lui V ; b) (i) 0 V S (S ), (ii) x, y S x + y S, (iii) α K, x S, αx S. c) (i) 0 V S (S ), (ii) α, β K, x, y S, αx + βy S.

4 SPAŢII VECTORIALE Definiţia 2.4. Fie V un K-s.v., α 1,..., α n K şi x 1,..., x n V. Vectorul n not v = α 1 x 1 +... α n x n = α i x i = (α 1,..., α n )[x 1,..., x n ] t i=1 s.n. combinaţie liniară a vectorilor x 1,..., x n cu scalarii α 1,..., α n. Corolarul 2.5. Subspaţiile vectoriale sunt închise la combinaţii liniare. Prin inducţie după numărul vectorilor din combinaţia liniară. Example 2.6. Propoziţia 2.7. Dacă (S i ) i I este o familie de subspaţii vectorial ale K-s.v. V, atunci i I S i K V. [Intersecţia unei familii de subspaţii ale unui s.v. este un subspaţiu.] Definiţia 2.8. Fie V un K-s.v. şi X V. Subspaţiul X = S s.n. subspaţiul generat de X. X S K V

2. SUBSPAŢII ALE SPAŢIILOR VECTORIALE 5 Observaţia 2.9. X este cel mai mic subspaţiu care conţine pe X. Teorema 2.10. Dacă V este un K-s.v. şi X V, atunci n X = { α i x i n N, α i K, x i X i I}. i=1 [ X este mulţimea combinaţiilor liniare de elemente din X.] Corolarul 2.11. a) x = {αx α K}; b) x, y = {αx + βy α, β K}; c) x 1,..., x m = { m i=1 α ix i α i K, i {1,..., n}}. Observaţia 2.12. În general reuniunea a două subspaţii nu este subspaţiu. Example 2.13. Propoziţia 2.14. Fie V un K-s.v. a) Dacă S, T K V, atunci S T = {s + t s S, t T } not = S + T.

6 SPAŢII VECTORIALE b) Dacă S 1,..., S n K V, atunci n { n } Si = s i i, s i S i i=1 i=1 not = n S i. i=1 3. Aplicaţii liniare Definiţia 3.1. Fie K un corp, V şi V două spaţii vectoriale. Spunem că o funcţie f : V V este o aplicaţie liniară (sau K- morfism) dacă sunt îndeplinite condiţiile: x, y V, f(x + y) = f(x) + f(y) (f este aditivă), α K, x V, f(αx) = αf(x) (f este omogenă). Dacă, în plus, f este bijectivă, atunci f s.n. izomorfism. În această situaţie spunem că spaţiile vectoriale sunt izomorfe şi notăm V = V. Dacă V = V, atunci f s.n. endomorfism al lui V. Un endomorfism bijectiv s.n. automorfism. Teorema 3.2. Fie V şi V două K-spaţii vectoriale. O funcţie f : V V este aplicaţie liniară dacă şi numai dacă α, β K, x, y V f(αx + βy) = αf(x) + βf(y).

3. APLICAŢII LINIARE 7 Corolarul 3.3. Orice aplicaţie liniară păstrează combinaţiile liniare: f((α 1,..., α n )[x 1,..., x n ] t ) = (α 1,..., α n )[f(x 1 ),..., f(x n )] t. Example 3.4. 1) 1 V 2) θ 3) s : R 2 R 2, s(a, b) = (b, a). 4) f : K[X] K, f(p ) = P (0). Observaţia 3.5. 1) Orice aplicaţie liniară este un morfism de grupuri, pentru că este aditivă, prin urmare, dacă f : V V este o aplicaţie liniară, atunci f(0 V ) = 0 V ; f( x) = f(x) x V. Propoziţia 3.6. a) Compusa a două (sau mai multe) aplicaţii liniare este o aplicaţie liniară. b) Inversa unui izomorfism între spaţii vectoiale este un izomorfism de spaţii vectoriale. Notaţia 3.7. Dacă V şi V sunt K-s.v., atunci vom nota Hom K (V, V ) = {f : V V f este o aplicaţie liniară}. Mulţimea Hom K (V, V ) se notează End K (V ). Propoziţia 3.8. Fie V şi V două K-s.v. Pe mulţimea Hom K (V, V ) definim operaţia +, dată de: f, g Hom K (V, V ) f + g : V, (f + g)(x) = f(x) + g(x).

8 SPAŢII VECTORIALE Sunt adevărate afirmaţiile: a) Operaţia + este bine definită. b) (Hom K (V, V ), +) este un grup abelian. c) (End K (V ), +, ) este un inel (numit inelul endomorfismelor lui V ). d) Grupul Hom K (V, V ) este un K-s.v. faţă de înmulţirea cu scalari: : K Hom K (V, V ) Hom K (V, V ), αf : V V, (αf)(x) = αf(x) α K, f Hom K (V, V ). TEMĂ Definiţia 3.9. Dacă f : V V este o aplicaţie liniară între K- s.v., atunci Ker(f) = {x V f(x) = 0 V } s.n. nucleul lui f. Teorema 3.10. Fie f : V V o aplicaţie liniară. Sunt adevărate afirmaţiile: a) Ker(f) K V ; b) f este injectivă Ker(f) = 0(= {0 V }). Teorema 3.11. (de corespondenţă) Fie f : V V o aplicaţie liniară. Sunt adevărate afirmaţiile: a) S K V f(s) K V ; b) S K V f 1 (S ) K V ; c) Dacă f este surjectivă, atunci funcţia ϕ : {S S K V, Ker(f) S} {S S K V } este bijectivă.

4. DEPENDENŢĂ ŞI INDEPENDENŢĂ LINIARĂ. BAZE 9 4. Dependenţă şi independenţă liniară. Baze Definiţia 4.1. Fie V un K-spaţiu vectorial şi a = [v 1,..., v n ] un sistem de vectori din V. Spunem că: a este liniar dependent dacă există un n-uplu α = (α 1,..., α n ) (0,..., 0) de scalari din K astfel încât αa t = n i=1 α iv i = 0; a este liniar independent dacă nu este liniar dependent; a este bază dacă este un sistem de generatori liniar independent. Din definiţiile de mai sus deducem următoarele proprietăţi 1) Un sistem format dintr-un singur vector este liniar dependent dacă şi numai dacă vectorul este nul. 2) Dacă există un indice i astfel încât v i = 0, sistemul a = [v 1,..., v n ] este liniar dependent. 3) Sistemul a = [v 1,..., v n ] este liniar independent dacă şi numai dacă din n i=1 α iv i = 0 rezultă α 1 = = α n = 0. Example 4.2. În R-spaţiul vectorial R3 avem: a) Sistemul a = [u 1, u 2, u 3 ] cu u 1 = (1, 0, 1), u 2 = (2, 1, 0), u 3 = (0, 1, 2) este liniar dependent pentru că 2u 1 + u 2 u 3 = 0. b) Sistemul b = [v 1, v 2 ] cu v 1 = (1, 0, 1), v 2 = (2, 1, 0) este liniar independent. Acest sistem nu formează o bază pentru că (0, 1, 1) u 1, u 2. c) Sistemul c = [w 1, w 2, w 3 ] dat de w 1 = (1, 0, 0), w 2 = (1, 1, 0) şi v 3 = (1, 1, 1) este o bază a R-spaţiului vectorial R 3. Example 4.3. În K-spaţiul vectorial Kn, sistemul e = [e 1,..., e n ] cu e 1 = (1, 0, 0,..., 0), e 2 = (0, 1, 0,..., 0),..., e n = (0, 0,..., 0, 1) este o bază, numită baza canonică.

10 SPAŢII VECTORIALE Propoziţia 4.4. Fie V un K-spaţiu vectorial şi a = [v 1,..., v n ] un sistem de vectori din V. Sistemul a este liniar dependent dacă şi numai dacă există un indice i astfel încât v i este o combinaţie liniară de ceilalţi n 1 vectori din a. Notaţia 4.5. Dacă a = [v 1,..., v n ] este un sistem de vectori din K- spatiul vectorial V şi F = {i 1,..., i k } {1,..., n}, prin a \F = a \i 1,...,i k vom nota sistemul obţinut din a prin scoaterea vectorilor de pe toate poziţiile i F. Corolarul 4.6. Dacă a = [v 1,..., v n ] este un sistem de vectori din K-spaţiul vectorial V şi v i este o combinaţie liniară de ceilalţi vectori, atunci a = a \i. Definiţia 4.7. Spunem că un spaţiu vectorial este de tip finit dacă el admite un sistem de generatori finit. Teorema 4.8. Orice spatiu vectorial nenul de tip finit admite o bază. Fie V 0 un spaţiu vectorial de tip finit şi a = [v 1,..., v n ] un sistem de generatori pentru V.

4. DEPENDENŢĂ ŞI INDEPENDENŢĂ LINIARĂ. BAZE 11 Propoziţia 4.9. Fie V un K-s.v. Un sistem a = [v 1,..., v n ] de vectori din V este bază în V dacă şi numai dacă pentru orice v V există un singur n-uplu α = a = (α 1,..., α n ) K n astfel încât v = αa t. Definiţia 4.10. Spunem că sistemul de scalari α reprezintă coordonatele vectorului v în baza a. Example 4.11. Teorema 4.12. (Proprietatea de universalitate) Fie V un K-s.v. şi a = [v 1,..., v n ] o bază în V. Oricare ar fi W un K-s.v. şi b = [w 1,..., w n ] un sistem de vectori din W, există o unică aplicaţie liniară f : V W astfel încât f(v i ) = w i pentru orice i {1,..., n}. Mai mult: a) f este injectivă b este liniar independent; b) f este surjectivă b este sistem de generatori; a) f este bijectivă b este bază;

12 SPAŢII VECTORIALE Corolarul 4.13. Dacă V este un K-s.v. care are o bază cu n- elemente, atunci V = K n. 5. Dimensiunea unui spaţiu vectorial Teorema 5.1. (a înlocuirii, Steinitz) Fie V un K-s.v. Dacă a = [a 1,..., a n ] este un sistem de generatori pentru V şi b = [b 1,..., b r ] este un sistem liniar independent de vectori din V, atunci: a) r n; b) sistemul b poate fi completat cu vectori din a până când se obţine un sistem b = [b 1,..., b r, a i1,..., a in r ] care este un sistem de generatori pentru V. FĂRĂ DEMONSTRAŢIE. Teorema 5.2. Orice două baze ale unui spaţiu vectorial de tip finit V 0 au acelaşi număr de elemente.

5. DIMENSIUNEA UNUI SPAŢIU VECTORIAL 13 Definiţia 5.3. Numărul elemetelor unei baze ale unui spaţiu vectorial s.n. dimensiunea spaţiului vectorial. Notaţia 5.4. Vom nota cu dim K (V ) dimensiunea K-spaţiului vectorial V. Observaţia 5.5. Teorema 5.2 are loc pentru toate spaţiile vectoriale, nu doar pentru cele de tip finit. Example 5.6. 1) dim R R = 1 2) dim R R n = n, dim K K n = n. Din demonstraţiile toeremelor 4.8 şi 5.2 deducem şi următoarele consecinţe: Corolarul 5.7. Sunt adevărate airmaţiile: 1. Din orice sistem de generatori se poate extrage o bază. 2. Orice sistem liniar independent poate fi completat până la o bază. 3. dim K V =nr. maxim de vectori liniar independenţi=nr minim de vectori dintr-un sistem de generatori. Teorema 5.8. (a alternativei) Fie V un K-s.v. cu dim K V = n şi a = [a 1,..., a n ] un sistem de vectori din V. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: a) a este o bază; b) a este liniar independent; c) a este sistem de generatori pentru V.

14 SPAŢII VECTORIALE 6. Formule legate de dimensiune Propoziţia 6.1. Fie f : U V o aplicaţie liniară între K-spaţii vectoriale. Atunci dim K U = dim K Ker(f) + dim K Im(f). Propoziţia 6.2. Fie V un K-s.v. şi S, T K V. Atunci dim K (S + T ) + dim K (S T ) = dim K S + dim K T.

7. LEMA SUBSTITUŢIEI 15 Propoziţia 6.3. Fie V un K-s.v. (de tip finit) şi S K V. Atunci: a) dim K S dim K (V ); b) dim K S = dim K (V ) S = V. Propoziţia 6.4. Dacă V este un K-s.v. şi m dim V, atunci există S K V cu dim K S = m. Corolarul 6.5. Fie f : U V o aplicaţie liniară între K-spaţiile vectoriale de tip finit U şi V cu dim K U = dim K V. Următoarele afirmaţii sunt echivalente: a) f este bijectivă; b) f este injectivă; c) f este surjectivă; 7. Lema substituţiei Observaţia 7.1. Coordonatele unui vector se modifică dacă schimbăm baza. Example 7.2. Lema 7.3. (lema substituţiei) Fie b = [v 1,..., v n ] o bază a K-spaţiului vectorial V şi u V cu u = (α 1,..., α n )b t. Pentru un indice i {1,..., n} considerăm sistemul de vectori b = [v 1,..., v i 1, u, v i+1,..., v n ]. Sunt adevărate afirmaţiile: a) b este o bază α i 0; b) Dacă b este o bază şi x V este un vector cu coordonatele (λ 1,..., λ n ) în baza b, respectiv (λ 1,..., λ n) în baza b, atunci a) λ i = α 1 i λ i λ j = λ j α 1 i α j λ j, j i.

16 SPAŢII VECTORIALE

7. LEMA SUBSTITUŢIEI 17 Observaţia 7.4. Lema substituţiei furnizează o metodă de calcul care este folosită des în elaborarea de algoritmi pentru rezolvarea de probleme de algebră liniară. Calcul tipic: Se pleacă de la o bază cunosută (de obicei baza canonică) şi se înlocuieşte câte un vector folosind formulele date în lemasubstituţiei până când se obţin informaţiile dorite despre sistemul de vectori sudiat. Transformările furnizate de lema substituţiei pot fi evidenţiate în tabele astfel: Paşii ce trebuie urmaţi: 1) Declarăm un pivot α i 0. 2) Înlocuim vectorul de pe linia pivotului cu cel de pe coloana pivotului. 3) Înmulţim scalarii de pe linia pivotului cu α 1 i. 4) Elementele de pe coloana pivotului, diferite de pivot se înlocuiesc cu 0. 5) Pentru celelalte elemente se aplică regula dreptunghiului : α i... λ i.. α j... λ j 1.... α 1 i λ i. 0... α 1 i (α i λ j α j λ i ) Problema 7.5. Fie b = [b 1,..., b n ] un sistem de vectori din K- s.v. K n şi x K n. Verificaţi dacă b este o bază a lui K n. Dacă da, atunci determinaţi coordonatele lui x în baza b. Dacă nu, determinaţi o relaţie de dependenţă liniară între vectorii din b.

18 SPAŢII VECTORIALE Soluţie. Considerăm ca bază de plecare baza canonică e = [e 1,..., e n ]. Contruim primul tabel (cu datele iniţiae) Se repetă procedeul până când ajungem la una din situaţiile: I) Înlocuim toţi vectorii din e cu vectorii din b (eventual în altă ordine). Rezultă că b este o bază. Coordonatele lui x se citesc de pe coloana sa. II) Ga sim o coloană (linie) formată numai de 0. Atunci nu e bază. Pentru determinarea unei relaţii de dependenţă liniară, continuaă înlocuirea vectorilor de e cu vectori din b până când procedeul se blochează şi scriem un vector in b pe care nu l-am mutat ca o combinaţie liniară de vectorii din ultima bază obţinută. Example 7.6. a) v 1 = (2, 1, 1), v 2 = (3, 2, 1), v 3 = ( 1, 1, 2), x = (1, 1, 2).

7. LEMA SUBSTITUŢIEI 19 b) v 1 = (2, 1, 1), v 2 = (3, 2, 1), v 3 = ( 1, 1, 0). Definiţia 7.7. Fie V un K-s.v. şi a = [a 1,..., a n ] un sistem de vectori din V. Prin rangul sistemului a înţelegem dimensiunea subspaţiului generat de a: rang(a) = dim K a 1,..., a n. Problema 7.8. Să se determine rangul unui sistem de vectori. Soluţie. Se aplică algoritmul furnizat de lema substitţiei până când acesta se blochează. Numărul de vectori mutaţi reprezintă rangul sistemului de vectori. Sistemul format din vectorii mutaţi este o bază a subspaţiului generat. Example 7.9. a) Exemplul 7.6 b) v 1 = (1, 2, 1), v 2 = (2, 4, 2), v 3 = ( 1, 0, 2), v 4 = (2, 6, 1).