Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ), td je fx) fx), 7 Ako je f neprn funkcij fx) f x), x R ), td je fx), 8 Ako je f periodičn funkcij s periodom T fx + T ) fx), x R ), td je +T fx) T fx). Čuvjmo drveće. Nemojte štmpti ovj mterijl, ukoliko to nije neophodno.
Osnovne metode integrcije: METOD SMENE fx) x ut) α ϕ) t ϕx) β ϕb) β fut))u t)dt. α METOD PARCIJALNE INTEGRACIJE udv uv b b vdu. Primen odred enog integrl: POVRŠINA RAVNE FIGURE Nek je fx) z x [, b]. Površin krivolinijskog trpez ogrničenog krivom y fx), prvm x, x b i x osom, iznosi S fx). f x S b Ukoliko je fx) z x [, b], td je S fx). S f x b f x S fx). S b
DUŽINA LUKA KRIVE Dužin luk krive fx) od tčke n grfiku s pscisom do tčke n grfiku s pscisom b, iznosi l + f x) ). f x l b POVRŠINA I ZAPREMINA ROTACIONOG TELA Površin i zpremin tel nstlog rotcijom del luk krive fx) oko koordintnih os izrčunvju se s: V x π P x π fx), fx) + f x) ). V y π π P y π d c d c xfx) xy) dy, xy) + x y) ) dy. Zdci. Odrediti sledeće integrle > ) : xx + ) x + x 65 4 4 x + x 6 ) 5 x 6 x + x x
4 xx + ) x / x + x + x + ) x x / + x 7/ + x 4/ + x / / ) ) / + x/ / + x7/ 7/ + x4/ 4/ + 9 + 9 7 + 4. x x +. + x rctn x π 4. 4 65 x 6 ) x + x t6 x 6t 5 dt 6 65 6 65 t 6 + t dt 6 t + + t dt 6 6t 6 rctn t π + 6 rctn ). dt 6 dt + t 5 x x sin t cos t dt π/ π/ sin t cos t dt / / cos t dt +cos t dt t π/ 4 sin t π/ π 4.
5 4 x + 6 x x+ t x 4 t 6 t ) dt t t + + log 6t dt t ) 6 u t dv t dt t ) du dt v t ) dt t + log t t + +. t t ) dt. Odrediti sledeće integrle n N) : / sin x sin x cos x sin x / π/6 sin x cos 4 x /6 /4 4 x ) sin x 5 x cos nx 6 sin x cos x sin x 5 cos x sin x sin x cos x cos 4x) 4 sin x π 8 sin 4x π. / cos x sin x / ). sin x sin x ) cos x π/ cos x π/ / sin x cos 4 x π/6 / π/6 / π/6 sin x + cos x sin x cos x cos x + tn x + tn x tn x + tn x tn x ) dtn x) cos x + tn x sin x +tn x tn x ) π/ 8 π/6 7.
6 /6 4 x ) sin x u x dv sin x du v cos x x cos x π/6 + /6 cos x + 9 sin x π/6 9. 5 x cos nx x cos nx u x dv cos nx du x v n sin nx n x sin nx π 4 x sin nx 4 x sin nx n n ux dv sin nx du v n cos nx 4 n x cos nx π 4 n cos nx ) n 4π n 4 n sin nx π 4π )n n. /4 6 sin x cos x sin x 5 cos x t sin x 5 cos x dt4 sin x cos x 5 π/4 / 4 / 5 dt t 4 log t / 5 4 log.. Odrediti sledeće integrle: sin x sin x +cos x) / sin x sin x 4 cos x cos x / 5 +cos x)+cos x) / 7π 6 cos x sin x cos x x π 4 sin x π π.
7 sin x +cos x) sin x cos x cos x sin x cos x π. sin x sin x sin x sin x) sin x cos x / tsin x dtcos x sin x cos x sin x cos x π/, π/, π t / t dt t dt t dt / 4. / 4 cos x cos x 4. / / 5 +cos x)+cos x) / +cos x dt + t / / π rctn. +cos x +cos x) +cos x) +cos x)+cos x) t tn x dt +t π/ dt 4 + t rctn t rctn t 7π 6 7π cos x sin x 7 sin x 7 cos x π 4.
8 4. Odrediti sledeće integrle: /4 5 log 5 /4 tn x + tn x x logx + + x ) + x e x e x e x + tn x + tn x /4 4 6 4 6 t + t) + t ) dt dt t + log. tn x x log + x x e x e x + e x + dt t tn x +t π/4 t + + t t) t) + t ) dt t dt t + log t + log t + /4 tn x /4 cos x cos x tn x x) π/4 π 4. x logx + + x ) u logx + + x ) dv x +x + x du +x v + x + x logx + + x ) log + ). 6 4 x log x+ x 4 ulog x+ x du 4 8 log 8 log + 4 x 6 8 log 8 log + x dv x v x x x+ log 6 6 x + x 4 4 x 4 x 4 + 4 4 x 4 6 log x + 4 6 6 log 6 log + 4. x 4
9 log 5 5 e x e x e x + t e x t dt e x log 5 t t + dt t + t dt t rctn t ) + 4 rctn. log 6 e x e x + e x + t 6 e x + 6t 5 dt e x 6 4 log 6 5 6 7 t7 6 5 6 4 6 7 5 6 5 4 6 4 ). 6 5 6 t 6 dt 6 4 5. Izrčunti vrednost integrl I + fx) cos x, I + pri čemu je funkcij fx) dt s { x, x, fx), x < x >. fx) sin x, Kko je fx) z x / [, ], to je ond i fx) cos x, fx) sin x z x / [, ]. Integrl I td glsi I + fx) cos x fx) cos x x ) cos x ) x cos x cos x x cos x sin x x cos x u x dv cos x du v sin x sin x sin x ) sin x cos x cos ).
S obzirom d je fx) sin x neprn funkcij, to je I. 6. Izrčunti integrle cos nx cos mx, i sin nx sin mx, gde su n, m N i vži ) n m ; b) n m ; c) n m. ) I, I n,m Oznčimo cos nx cos mx, J n,m π, J,. sin nx sin mx. b) I n,n J n,n cos nx cos nx x + n sin nx ) π π. sin nx sin nx x n sin nx ) π π. + cos nx) cos nx) ) c) I n,m cos nx cos mx cosn m)x + cosn + m)x n m sinn m)x π + n + m sinn + m)x π. ) J n,m sin nx sin mx cosn m)x cosn + m)x n m sinn m)x π n + m sinn + m)x π.
7. Dt je integrl I n ) Izrčunti I i I. e xlog x) n, n N. b) Odrediti n i b n u relciji I n n I n + b n. c) Nći vrednost integrl I. ) I e x x e I x log x u log x du x e +. 4 e e. dv x v x x log x e e x b) I n e xlog x) n u log x) n du nlog x) n x x log e x)n n I n e n I n, dv x v x n n, b n e. c) I e I e e ) I e + 8 8. Odrediti koeficijente n i b n u relciji I n+ n I n+ + b n I n, n N, gde je I n Izrčunti vrednost integrl I. x ) n/, n N..
I n+ x ) n+ x ) x ) n I n x x ) n ux dv x x ) n du v n+ x ) n+ I n + x n + x ) n+ n + I n+ I n n + I n+. I / n + n + I n+ I n I n+ n + n + I n n, b n n + n +. x x sin t π/ I 4 I π 6. + cos t)dt π 4. cos t dt / cos t dt 9. Dti geometrijsku interpretciju odred enog integrl, ztim izrčunti površinu figure ogrničene lukom krive fx) e x e x, prvom x i x osom. f x S S e x e x ) t x t dt t e t e t) dt ut dv e t e t) dt dudt v e t +e t t e t +e t) e t +e t) dt e + e e t e t) 4 e.. Izrčunti površinu figure ogrničene linijm y log x, y, x 4, ko i zpreminu tel nstlog rotcijom figure oko x ose.
S 4 ) 4 ) 4 fx) log x log x u log x dv du x v x x log x 4 x 4 4 log 4 6. 4 ) 4 π ) ulog x dv log x ) V x π fx) log x du x v xlog x ) πxlog x )log x ) 4 4 π log x ) 4log 4 ) π.. Odrediti površinu figure ogrničene lukom krive fx), x [, 4] x + x i x osom, ztim izrčunti zpreminu tel nstlog rotcijom tog luk oko x ose. 4 S 4 x + x 4 x + )x ) tx+) 6t dt x+)x ) / 4 / / dt / t log + t / t / log + ). t )
4 4 V x π π 4 4 x + x π x + x ) x + )x ) x π 4 x + π log x 4 x + π log.. Dt je funkcij fx) x + x. Izrčunti površinu figure ogrničene krivom fx), x osom i prvom x. Izrčunti zpreminu tel nstlog rotcijom dte figure oko x ose. x S + x log + x ) log. x V x π + x ) u x dv x +x ) du v +x ) x + x ) + π + x π 4 + π rctn x π 8 π 4.. Izrčunti površinu figure ogrničene lukovim krivih f x) x x +, f x) x + 4x + 5 i y. Izrčunti zpreminu tel nstlog rotcijom oko x ose ove figure. Odredimo njpre presečnu tčku grfik krivih f i f : x x + x + 4x + 5 x /. Primetimo d je slik simetričn u odnosu n prvu x /.
5 S / / f x) + f x) / x x + ) x ) x + x / 4. V x π / f x) π / x x + ) π x ) + ) 84π / 8. 4. Izrčunti zpreminu tel nstlog rotcijom luk krive yx) cos x, x [/, π/] oko x ose. V x π π / / / cos 4 x π + cos x + / cos 4 x π + cos 4x / ) π 8. + cos x) 5. Izrčunti zpreminu tel nstlog rotcijom oko x ose figure ogrničene lukom krive fx) x log x i x osom. Kko je log x lim x log x lim x x /x lim /x x /x, i f), to posmtrmo deo luk krive f z x, ]. V x π x log x π 7. 6. Izrčunti zpreminu tel koje nstje rotcijom figure ogrničene delovim krivih y x + i y oko x ose.
6 V x π x + ) ) 64π 5. 7. Izrčunti zpreminu tel nstlog rotcijom oko x ose figure ogrničene linijm y e x + e x, x, y e + e. V x π e + e) e x + e x ) ) 6 7 + e + 9e 4 + 5e 6 )π. 8. Izrčunti dužinu luk krive L dte s yx) log x ), x [, /]. y x) x x. f x l / / + 4x x ) + / / x + x x log. 9. Izrčunti dužinu luk krive yx) 8 x z x 9, ko i površinu rotcione površi nstle rotcijom tog luk oko x ose.
7 y x x), + y x) 8 x 9 8 x. 9 9 l + y x) 9 8 x x 9 sin t 9 cos t dt rcsin 9 π 9 rcsin π ) 9 rccos. P x π 9 yx) + y x) 8π 9 8π.