Prof. Dr. Vojko Kir kdemij z ikovno umetnost Oddeek z industrijsko oikovnje Univerz v Ljujni NEKJ TEORETIČNIH OSNOV IN PRKTIČNIH PRIMEROV Z UPORO RVNOTEŽNIH POGOJEV Z RČUN PREVRNITVE TELES, REKCIJ IN NOTRNJIH SIL Vojko Kir decemer 005 1
Prof. Dr. Vojko Kir Sie Izrz si (=force) se v sttiki uporj z kkršnokoi kcijo n teo, ki rezutir v njegovem premiku, sprememi ginj i sprememi veikosti ozirom oike. Sio oičjno rzumemo kot potisk i poteg tees, kot je n primer poteg z vrv, ki je pritrjen n teo. Osnovni zkoni mehnike so: 1) Vsko teo n ktero deujejo sie, ki so v medseojnem rvnotežju, miruje i se gije z enkomerno hitrostjo. ) Si, ki deuje n teo, je premosorzmern produktu mse in pospešku tees. 3) Medseojni učinek dveh tees drugeg n drugo je vedno enk in nsprotno usmerjen. Oičjn enot z sio je N (Newton) i njegov mnogokrtnik kn (1000 N). Po drugem Newtonovem zkonu mehnike vej: Si = ms pospešek Enot z sio je torej kg m s = N Upoštevjoč, d je pospešek prosteg pd g enk 9.81 m/s, doimo: 1 kn = 101.93 kg i 100 kg = 0.981 kn Oičjno upoštevmo, d je pospešek prosteg pd g enk priižno 10 m/s. Iz teg sedi, d je 1 kn 100 kg ozirom 0.1 tone. Si je vektrorsk koičin. Grfično je doočen z nsednjimi podtki: dožin smernic Prijemišče sie točk ; Usmeritev sie smernic in puščic, ki prikzuje smer deovnj; Veikost dožin puščice, oičjno v izrnem meriu; V prvokotnem (Krtezijevem) koordintnem sistemu je si nitično doočen z nsednjimi podtki:
Prof. Dr. Vojko Kir Y Y y X α x X Prijemišče sie Koordinti x in y ; Usmeritev sie kot α gede n os X i predznki komponent; Veikost Veikost sie i komponent v N i kn; Pri oteži konstrukcij sie vedno nstopjo kot porzdejene poskovne oteže ( p ). Porzdejene inijsk otež ( ) i koncentrirn otež () predstvjt e ideizirn primer deovnj si! p = p * = p ** / Ideizcij površinske oteže z inijsko otežo je v sttiki zeo pogost, poseej pri rvninski ideizciji konstrukcij. Predstvitev inijske oteže z ekviventno koncentrirno sio (gej siko zgorj) ni točn, sj so npetosti in pomiki pod koncentrirno sio precej večji! Rezutnt Seštevek vseh si, ki deujejo n teo imenujemo tudi rezutnt. Rezutnt R je si, ki ndomešč deovnje vseh ostih si n teo. Teo je v rvnotežju, če je rezutnt vseh si, ki dejujejo n teo, enk nič. R R=0 1 3 1 Komponente Orten postopek od sestvjnj si v rezutnto je rzstvjnje si n komponente. Komponente imjo enk učinek kot prvotn si. Enoično doočene je e rzstvjnje sie v dve komponenti n pojuno izrnih dveh smernich. ktivne sie in rekcije ktivne sie so sie, ki predstvjjo oremenitve konstrukcije (V, H), rektivne sie p so sie, ki se pojvjjo v podporh tees (R 1, R ) in urvnotežujejo teo. Rezutnt kcijskih si mor iti nsprotno enk rezutnti podpornih si. Oe rezutnti mort ežti n isti smernici. 3
Prof. Dr. Vojko Kir V= v * h v H= h *h R kcij h R 1 R R podpor Rvnotežje Teo n ktero deujejo sie je v rvnotežju (i se enkomerno gije), če je rezutnt vseh si, ki deujejo nnj enk nič. Vsko mirujoče teo je v rvnotežju. kcijske sie so v rvnotežju z rekcijskimi simi v podporh. Zrdi prenos kcijskih si po teesu v podpore se pojvjjo v teesu notrnje sie. Posedic deovnj notrnjih si so deformcije tees. Zunnje in notrnje sie Posedic deovnj zunnjih si, ki se preko tees prenšjo v podpore so notrnje sie. Te sie niso vidne, povzročjo npetosti in deformcije v teesu. Doočimo jih hko s prereznim postopkom, pred tem p je potreno poznti rekcijske sie v podporh. Notrnje sie pri rvninskih konstrukcijh so upogini moment (M), prečn si (Q) in osn si (N). Prerezni postopek Prerezni postopek omogoč rčun notrnjih si n pojunem mestu v konstrukciji. Notrnje sie predstvjjo sie, ki održijo prerezni de konstrukcije v rvnotežju. Rezutnt zunnjih si in rekcij ter notrnjih si z prerezni de konstrukcije mor iti enk nič! V= v */ h v M H= h *h Q N h R 1 / Podpore Podpore so mest kjer je konstrukcij podprt. Poznmo rzične vrste podpor: vpete (preprečen je vskršen premik in zsuk), čenkste (preprečen je e vskršen premik, zsuk ni 4
Prof. Dr. Vojko Kir preprečen) in pomične (preprečen je e eden od pomikov, zsuk in osti pomiki so prosti). Podpore so ideizcij dejnskeg stnj, vsk podpor im svojo krkteristično oznko. N spodnji siki so prikzne vpet, čenkst in čenkst pomičn podpor. Vpet Vrtijiv dopuščen je zsuk Pomičn vrtijiv, dopuščen st horizontni pomik in zsuk Pritisk/npetost Pritisk je zunnj koncentrirn si normirn n enoto površine (re - ) n ktero si deuje. Enot z pritisk je N/m (Psc P = 0.1 kn/cm ), ozirom druge dimenzijsko ustrezne enote kot so kn/m, kn/cm, kn/mm. Kot primer si hko predstvjmo pritisk vode n jez, pritisk pre v rezervorju ipd. Npetost (σ) im enke enote kot pritisk, vendr p je notrnj sttičn koičin in se pojvj v mteriu kot posedic zunnje oremenitve. Ločimo več vrst npetosti kot so osne, upogine in strižne npetosti. Osne npetosti (hko so tčne i ntezne) so definirne kot sedi: σ = = Ms Koičino mterije v teesu imenujemo ms tees. Merimo jo v kg i tonh. Mso tees hko doočimo tko, d voumen tees pomnožimo s prostorninsko mso tees. Tež Sio, ki jo povzroč ms tees (stn tež) doimo tko, d mso tees pomnožimo s pospeškom prosteg pd. Vej recij 100 kg = 0.981 kn, ozirom priižno 100 kg = 1 kn. Težo tees hko doočimo tko, d voumen tees pomnožimo s prostorninsko težo tees. 5
Prof. Dr. Vojko Kir Gostot Ločimo med prostorninsko mso (kg/m 3 ) in prostorninsko težo (kn/m 3 ). Gostot oičjnih mteriov je podn v grdenih priročnikih in se uporj pri doočitvi oremenitve z stno težo. Okvirne prostorninske teže nekterih oičjnih mteriov so: Vrst mteri Prostorninsk tež (kn/m 3 ) eton (rmirni) 5.0* Jeko 77.0 eton (nermirni) 4.0* Les 4.0-10.0** uminij 7.0 Svinec 11.0 etonski zidki 1.0-19.0 Opečni zidki 15.0-0.0 * Odvisno od uporjeneg gregt. ** Odvisno od vrste es in njegove vžnosti; gede n vžnost so hko rzike tudi ±30%. Otež Otež je izrz z zunnje sie, ki deujejo n konstrukcijo. Ločimo med rzičnimi vrstmi otež kot so: Lstn tež (izrčunmo jo hko iz gostote mteri); Stn otež (fiksni eementi, ki so pritrjeni n konstrukcijo, kot n primer tki, predene stene, stroji, ipd.); Koristn otež (to je tež judi, opreme, ipd, koristn otež normno zsedenih prostorov znš 1.5 kn/m ; otež prostorov kjer se hko zere večj koičin judi hko znš tudi do 5 kn/m ); Otež vetr (okvirno vej: v ref =0 m/s v =0.5 kn/m ; v ref =30 m/s v =0.56 kn/m ; v ref =40 m/s v =1.0 kn/m, merjeno n vertikno površino izpostvjeno vetru; v ref je doočen v vetrovnih krth z posmezne držve); Otež sneg (odvisn od cone in ndmorske višine; Ljujn s =1.9 kn/m, doočen je s poseno krto, ki dei držvo n rzične cone); Otež potres (pogosto jo simuirmo s horizontnimi simi n ojekte, ki so odvisne od njegove mse); Temperturne sprememe (dnevn temperturn nihnj hko dosežejo tudi 30 C); Posene oteže (zvorne sie, pritisk vodneg tok ). Moment Moment M je tendenc sie, d povzroč rotcijo okrog osi skozi neko točko (). Moment hko izrčunmo kot produkt sie in ročice r, pri čemer je ročic njkrjš (t.j. prvokotn) rzdj med smernico sie in osjo. V strojništvu je moment sie poznn tudi kot nvor. Enot z moment je knm, kncm, knmm i drug ekviventn enot. M = r 6
Prof. Dr. Vojko Kir prostor rvnin M r M r Torzij Torzij je posen oik momentne oteže, ki povzroč rotcijo (zvoj) okrog stne vzdožne osi. Torzijske npetosti se n primer pojvijo v kjuču s kterim odkepmo kjučvnico, v cevstem kjuču z odvijn je mtic koes vtomoi ipd. Torzijo povzroč dvojic dveh nsprotno usmerjenih momentov. Spodnj sik prikzuje primer čiste torzije in mrežo ortogonnih inij n torzijsko oremenjenem nosicu pred in po oremenitvi. Spodnj sik prikzuje primer torzije v stvi, kjer pride do torzijskeg zsuk v sredini grede CD zrdi upogi centrne grede. 7
Prof. Dr. Vojko Kir Sie v rvnini Vse sie deujejo v isti rvnini. Ločimo med simi s skupnim prijemiščem (smernice si se sekjo v isti točki) in simi, ki nimjo skupneg prijemišč (spošni sistem si - smernice si se ne sekjo v isti točki). Sie hko med seoj seštevmo (doočmo njihovo rezutnto) i p jih rzstvjmo n komponente. Oičjno ns še poseej znim kdj je posmezni sistem si v rvnotežju, ozirom kkšno sio mormo dodti, d o sistem si v rvnotežju. Ločimo med grfičnim in med nitičnim postopkom sestvjnj in rzstvjnj si ter doočnj rezutnte ozirom rvnotežj si. Poseej pomemno je nitično doočnje rvnotežj spošneg sistem si, ki nm dje 3 rvnotežne pogoje, ki morjo iti izponjeni z vsko mirujoče teo v rvnini. Spošen sistem si v rvnini Vse sie deujejo v isti rvnini. Smernice posmeznih si se ne sekjo v isti točki. Grfičn doočitev rezutnte več si Pri grfičnem seštevnju si si pomgmo s postopkom denih rezutnt, pri kterem seštevku prvih dveh si prištejemo še nsednjo sio. Če je si več, postopek ponvjmo. Pri tem sie premikmo vzdož njihovih smernic nprej in nzj kot je prikzno pri spodnjem primeru. 1 3 1 ' R 1 ' R 1 R 1 ' R 3 3 ' Den rezutnt R 1 je seštevek si 1 in. Dojen rezutnt R ndomešč deovnje vseh treh si 1, in 3. Grfično hko odmerimo njeno veikost in kot pod kterim deuje.sie rišemo v meriu! Tudi v tem primeru je mnogokotnik si (gej desno) skenjen. Zvedti se je potreno, d si ne moremo pojuno premikti po rvnini, sj sistem si tko ne ostj isti! Ločimo med: ) premiknjem si vzdož njihove smernice nprej i nzj in ) premiknjem sie prvokotno n njeno smernico. 8
Prof. Dr. Vojko Kir Pri premiknju sie vzdož njene smernice, se zunnje rvnotežje tees ne spremeni. Notrnje sie v teesu se seved spremenijo, kot kže spodnj sik. Rvnotežjhe oeh si je sicer v oeh primerih izpoonjeno, vendr p je teo enkrt oremenjeno tčno, drugič p ntezno. nteg tk Če sio premikmo v smeri prvokotno n njeno njeno smernico (smernic premknjene sie ostne vzporedn s prvotno), porušimo tudi zunnje rvnotežje sistem. Tk premik nčeom ni možen, rzen v primeru, d premknjeni sii dodmo še moment M =r, ki g tvori dvojic dveh nsprotno deujočih si n medseojni rzdji r. Spodnj sik prikzuje premik sie v točko, ki je od njene smernice oddjen z rzdjo r (njmnjš prvokotn rzdj). D sistem ostne v rvnotežju je potreno dodti še sio. Dvojic si in povzroč moment M =r. V tem primeru zunnje rvnotežje sistem si ostj nespremenjeno. r - r M =r Grfičn doočitev rvnotežj si Sistem si v rvnini je v rvnotežju, če je njegov rezutnt enk nič. Sistem si orvnvn n prejšnji strni hko urvnotežimo, če mu dodmo dodtno sio 4, ki eži n isti smernici kot rezutnt R in je enke veikosti, nsprotno usmerjen kot rezutnt R. V tem primeru je mnogokotnih si skenjen! 1 3 4 4 =-R 1 3 9
Prof. Dr. Vojko Kir nitičn doočitev rezutnte spošneg sistem si v rvnini Vpejemo prvokotni koordintni sistem in doočimo koordinte prijmišč in smerne kote si. Vzemimo, d z pojuno sio i vej: x i, y i α i r i koordinti prijemišč sie i kot med smernico sie in osjo X koordintneg sistem ročic z rčun moment okrog izhodišč koordintneg sistem Vsko sio rzstvimo n komponento v smeri X in v smeri Y. X i = i cos α i Y i = i sin α i Istosmerne komponente med seoj seštejemo (enko kot pri sistemu si s skupnim prijemiščem). Doimo oe komponenti rezutnte: X y Y α 1 y 1 α 1 Y 1 X 1 r 1 x 1 x α 3 3 Y 3 X Y X 3 = = = X1 X X 3 = 1 cosα 1 cosα 3 cosα3 i= 1 R X i = = = Y1 Y Y3 = 1 sinα 1 sinα 3 sinα3 i= R Y i 1 Veikost rezutnte hko nto doočimo kot: n 3 n 3 R = X R Y R kot smernice rezutnte p je: Y tg α R = X R R 10
Prof. Dr. Vojko Kir Pri sih s skupnim prijemiščem je io prijemišče rezutnte v nprej znno. Pri spošnem sistemu si je potreno doočiti ego rezutnte s pomočjo dodtneg momentneg pogoj n izhodišče koordintneg sistem. Moment sie 1 n izhodišče koordintneg sistem znš: M 1 = - P 1 r 1 = - X 1 y 1 Y 1 x 1 z sio i p: M i = - P i r i = - X i y i Y i x i Pri tem vpejemo dogovor o pozitivnem in negtivnem momentu. Pozitivni momenti so tisti, ki v rvnini vrtijo v smeri nsprotni urinemu kzcu. Moment si hko predstvjmo tudi kot vrtenje desnosučneg vijk z osjo preno osi Z. Če je moment pozitiven, se o vijk premik (odvij) v smeri Z. Po tej definiciji je n primer tudi moment z odvijnje zmšk pozitiven. Momenti, ki vrtijo v drugo smer so negtivni. M -M Momente vseh si med seoj seštejemo, pri čemer upoštevmo dejnske predznke momentov: M = M M M = r r r n 3 = = i= R 1 3 1 1 3 3 M i 1 Ročico rezutnte nto doočimo kot: r R = M R R y R α R Y R r X R x Rezutnt eži kjerkoi n smernici, ki jo doočt ročic r in kot α R. V spošnem ostj več možnosti: X R 0; Y R 0 in M R 0 X R 0; Y R 0 in M R = 0 rezutnt ne gre skozi izhodišče rezutnt gre skozi izhodišče 11
Prof. Dr. Vojko Kir X R = 0; Y R = 0 in M R 0 rezutnt je nič, ostj rezutirjoči moment (vrteneje) X R = 0; Y R = 0 in M R = 0 RVNOTEŽJE! Rvnotežni pogoji Sistem si v rvnini je v rvnotežju, ko je rezutnt vseh si enk nič in ko je rezutntni moment enk nič. V tem primeru so izponjeni trije rvnotežni pogoji, ki pogojujejo rvnotežje si v rvnini. To pomeni, d mor iti vsot vseh si v smeri X enk nič, vsot vseh si v smeri Y enk nič in vsot vseh momentov enk nič: X = 0 Y = 0 M = 0 Pri tem ni nujno, d vsoto momentov rčunmo rvno n koordintno izhodišče. V istvu i si hko z koordintno izhodišče izri kterokoi točko in z enkim rzmisekom priši do istih treh rvnotežnih pogojev. Z rčun momentov si hko torej izeremo ktero koi točko v rvnini. Oičjno vrtišč z rčun momentov izirmo tko, d immo z doočnjem ročic si čim mnj de. V nekterih primerih je enostvneje uporiti več momentnih pogojev in mnj pogojev o vsoti si. Možn je komincij dveh momentnih pogojev in eneg pogoj o vsoti si: X = 0 M = 0 M = 0 Opom: pri tem smer X ne sme iti prvokotn n djico, ki povezuje točki in! i p komincij e treh momentnih pogojev: M M = 0 = 0 M C = 0 Opom: pri tem točke, in C ne smejo ežti n isti premici! Zgorj izpejne rvnotežne pogoje omo uporji z: ) Doočnje prevrnitve tees; ) Rčun rekcij; c) Rčun notrnjih si 1
Prof. Dr. Vojko Kir Upor momentneg rvnotežneg pogoj - doočnje prevrnitve tees Uporo momentneg rvnotežneg pogoj hko njenostvneje prikžemo pri doočnju prevrnitve tees. Če z rčun momentov izeremo točko (vrtišče) okrog ktereg se i teo prevrnio, hko pogoj rvnotežj izrzimo smo z enim momentnim pogojem in iz njeg izrčunmo sio, ki je potren z prevrnitev tees. Primer 1: Teo (stv) s težo G=100 kn, širine d=3 m in višine h=10 m je oremenjeno s horizontno sio H. Horizontn si i jo prevrni tko, d i jo poskuš zvrteti okrog točke kot kže sik: M = 0 - H h G d/ = 0 H = G d / (h) H = 100 kn 3 m / (10) = 15 kn Z prevrnitev tees potreujemo sio 15 kn. Pri tem hko očimo med simi, ki poizkušjo prevrniti teo in povzročjo prevrnitveni moment M prev in simi, ki urvnotežujejo teo in povzročjo urvnotežnostni moment M rv. Teo je v rvnotežju, če je prevrnitveni moment mnjši od rvnotežnostneg moment. Vpejemo hko tudi vrnostni fktor proti prevrnitvi (oičjno od 1,50 do,00). M prev γ M rv Primer : Podn je večj nmizn svetik s težo senčnik 0,15 kg in dožino gijivih ročic 1,00 m. Koiko znš potren tež postvk G z izrn poožj svetike? Lučk i se prevrni tko, d i se zvrte okrog točke (desneg ro podstvk). 13
Prof. Dr. Vojko Kir Poožj 1: M = G 0 cm 0,1 kg 0 cm 0,1 kg 30 cm 0,15 kg 80 cm = 0 Doimo G=0,65 kg. Ker je jsno, d t poožj svetike ni njneugodnejši z njeno prevrnitev, izeremo še nekoiko težji podstvek. N primer, d se odočimo z težo podstvk 1,0 kg. Preverimo še rvnotežje v poožju : M prev M rv = 0,1 kg 10 cm 0,1 kg 90 cm 0,15 kg 140 cm = 31,0 kg cm = 1,0 kg 0 cm = 0 kg cm Vidimo hko, d je prevrnitveni moment večji od rvnotežnostneg moment (tudi, če ne upoštevmo vrnostneg fktorj). Svetik se torej kju temu prevrne. Potreno i io še povečti težo podstvk (njneugodnejši poožj je dejnsko pono iztegnjen rok v horizontni rvnini), rzširiti podstvek i p uporiti žji mteri z svetiko oz. težjeg z podstvek. 14
Prof. Dr. Vojko Kir VJE UPOR RVNOTEŽNIH POGOJEV Z RČUN PREVRNITVE : NLOG 1 Koiko znš si H, d se ok prevrne? Rešitev: Si H mor iti 15kN i več. NLOG Koiko hko znš si Q, d se miz ne prevrne? Upoštevj, d je tež mize 0,5 kn, težišče mize p je 10 cm evo od osi noge mize. Rešitev: Si Q hko znš njveč 0,75 kn (=75 kg) NLOG 3 Izrčunj potreno dožino x, d se oešnik ne prevrne! Upoštevj vrnostni fktor.0. Rešitev: rez upoštevnj vrnostneg fktorj: x min =,86 cm Z upoštevnjem vrnostneg fktorj: x min = 45,71 cm 15
Prof. Dr. Vojko Kir NLOG 4 Koikšno težo hko dvigne žerjv, d se ne prevrne! Upoštevj vrnostni fktor.0. Rešitev: rez upoštevnj vrnostneg fktorj: tež mx = 4,57 t Z upoštevnjem vrnostneg fktorj: tež mx =,9 t NLOG 5 Izrčunj sii 1 in tko, d se čjn mizic dimenzij 70/70 cm ne prevrne. Rešitev: 1 = = 6,67 kg NLOG 6 Izrčunj potreno dožino x, d se t pod pritiskom vetr ne prevrne. Tež te G je 1, kn. Upoštevj vrnostni fktor.0. Rešitev: rez upoštevnj vrnostneg fktorj: x min = 133,33 cm Z upoštevnjem vrnostneg fktorj: x min = 66,66 cm Si vetr se pretvori v koncentrirno sio V, ki deuje v težišču te, prvokotno n njeno rvnino. V = 0,8 kn. O upoštevnju vrnostneg fktorj se sio V pomnoži z,0 (V = 1,6 kn) 16
Prof. Dr. Vojko Kir Rekcije rvninskih konstrukcij Mtemtični modei in rvninsk ideizcij konstrukcije Z potree sttičneg rčun si dejnske tro-dimenzionne konstrukcije ponzorimo z enostvnejšimi kjer je to mogoče dvo-dimenzionnimi (rvninskimi modei). Sterov, gred, sten, pošč ipd. ne rišemo z dejnskimi deeinmi, temveč e črtno. Posmezne inije doimo tko, d povežemo težišč vseh prerezov z rvno inijo. Spodnj sik prikzuje most n dveh sterih, ki g je mogoče dokj ntnčno ponzoriti z rvninskim rčunskim modeom. Z močnejši temej n ojših teh hko predpostvimo vpeto podporo, medtem ko drugje predpostvimo, d so podpore nepomične vrtjive. Zrdi temperturnih spremem in krčenj ter širjenj mostu je oičjno vsj en podpor v vzdožni smeri sproščen (v nšem primeru podpor n evi strni). Rvninsk ideizcij je mogoč, ko je: ) konstrukcij simetričn n vzdožno rvnino, ) konstrukcij oremenjen v tej rvnini in c) konstrukcij podprt v tej rvnini. p H d Veik temej dor t Mjhen temej s t Površinsko otežo p (kn/m ) pomnožimo z vpivno širino in doimo inijsko otežo (kn/m). Konstrukcij im štiri podpore v rvnini, otež nnjo deuje tko, d se vsi premiki konstrukcije izvršijo e v tej rvnini. = p d D C V mnogih primerih očnih otež, ki povzročjo premike izven vzdožne rvnine, nesimetričnih vertiknih otež, ki povzročjo torzijo, nesimetričneg podpirnj ipd., rvninsk ideizcij ni mogoč. 17
Prof. Dr. Vojko Kir veter Ekscentričn vertikn otež Rčun rekcij nitično Gede n dne možnosti z opirnje konstrukcije v t izeremo vrste podpor: - vpet (3 rekcije), - vrtiv nepomičn (dve rekciji) i - vrtjiv pomičn (en rekcij hko v rzičnih smereh). Nsednji primer prikzuje rvninsko ideizcijo podporne poščdi z ntovrjnje dij. Konstrukcij je nepomično vrtjivo pritrjen n reg, n steer p je e poožen. Tkšno konstrukcijo hko ideizirmo kot sttično doočeno konstrukcijo s tremi neznnimi rekcijmi. Konstrukcije je otežen s koristno otežo k v poju dožine, stno težo in sio, ki predstvj udrec dje o pristnku (pod kotom α). Rekcije hko izrčunmo iz treh rvnotežnih pogojev. Pri rčunu ndomestimo zvezno otežo s koncentrirno sio, ki deuje v njenem težišču (pri enkomerni zvezni oteži je to kr v sredini). k α / H k α V V 18
Prof. Dr. Vojko Kir () V V H ()/ α cosα 0 cos = = = H H X 0 sin ) ( = = α V V Y k 0 ) ( sin ) ( = = V M k α Iz zgornjeg pogoj izrčunmo rekcijo V : V k ) ( sin ) ( = α Iz vsote vseh si v vertikni smeri Y hko s pomočjo znne V izrčunmo še rekcijo V : sinα ) ( = V V k Kontro: Izrčunne rekcije hko tudi preverimo z uporo eneg i več rvnotežnih pogojev, ki še niso ii uporjeni. N primer, izerimo si vsoto momentov vseh si n prijemišče sie : 0 ) ( ) ( ) ( = = V V M k Če st rekciji V in V prvino izrčunni, mor iti rezutt zgornje enče enk nič! S to kontroo ne moremo preveriti prvinost izrčunne rekcije H. Števični primer: =10 m, =5 m, k =50 kn/m, = 10 kn/m in =100 kn pod kotom α=30. Doimo: H =86,60 kn, V =5011,5075= 437,50 kn in V =6,50 kn. 19
Prof. Dr. Vojko Kir Pozor: Vse rekcije so pozitivneg predznk, kr pomeni, d deujejo v isti smeri v kteri so ie predpostvjene. V rvnini immo e tri rvnotežne pogoje, zto hko izrčunmo e rekcije konstrukcij, ki so podprte sttično doočeno, to je e s tremi neznnimi rekcijmi. V tem primeru je nosiec podprt z njmnjšim možnim števiom rekcij. Nekj tipičnih sttično doočenih nosicev je prikznih v ndjevnju. Prostoežeči nosiec rzpon oremenjen z zvezno otežo i koncentrirno sio. H V V H V / V Konzoni nosiec previs oremenjen z zvezno otežo i koncentrirno sio. M H V H V M Okvirn konstrukcij rzpon in višine h oremenjen z zvezno otežo i koncentrirnim sim. Vozišči in st čenksti podpori, vozišči C in D p prosti, pri čemer je steer v gredo vpet! H C V Vpeti (npr. vrjeni stik) V D C h H V / Vpeti (npr. vrjeni stik) V D 0
Prof. Dr. Vojko Kir VJE UPOR RVNOTEŽNIH POGOJEV Z RČUN REKCIJ : NLOG 1 Izrčunj rekcije ( V in V ) z podno konstrukcijo. V = 10 kn V = 0 kn NLOG Izrčunj rekcije ( V in V ) z podno konstrukcijo. V = 80 kn V = 80 kn NLOG 3 Izrčunj rekcije ( V in V ) z podno konstrukcijo. V = - 60 kn V = 180 kn NLOG 4 Izrčunj rekcije ( V in V ) z podno konstrukcijo. V = 350 kn V = 550 kn 1
Prof. Dr. Vojko Kir NLOG 5 Izrčunj rekcije z spodnje primere, če je =10 kn/m, =50 kn in =10 m (Opom: pri nekterih primerih je mogoče rekcije doočiti n pmet rez rčunnj). H V V H V / V H V / V V = 50 kn, V = 50 kn, H = 0 kn V = 5 kn, V = 5 kn, H = 0 kn V = 37,5 kn, V = 1,5 kn, H = 0 kn H V /4 V M H V H V M V = 37,5 kn, V = 1,5 kn, H = 0 kn V = 100 kn, H = 0 kn, M = 500 knm V = 50 kn, H = 0 kn, M = 500 knm NLOG 6 Izrčunj rekcije z prostoežeči nosiec n desni strni, če je 1 = = 3 =50 kn in = m, = 6m, c= m in d=4 m. H 1 3 V c d V V = 78,57 kn V = 71,43 kn H = 0 kn