8//05 Da bi rednosti ugiba bile poitine kada ertikalne sile deluju naniže, usaja se koordinatni sistem u leom osloncu tako da je apscisa osa usmerena udesno, a ordinata osa y usmerena naniže. U oom slučaju se može primenjiati konencija o naku sila u preseku. ELASTČNA LNJA GREDE SAVJENE SLAMA OTPORNOST MATERJALA Ugao rotacije poprešnog preseka a slučaj malih deformacija, smatra se jednakim uglu nagiba tangente na elastičnu liniju grede. Ugao nagiba tangente na elastičnu liniju je poitian ukoliko tangenta rotira od ose ka osi y u smeru kaaljke na satu. Ugibi se mere u centimetrima ili milimetrima, a nagibi u radijanima ili stepenima. Saremeni diajn građeinskih konstrukcija baira se na adooljenju sledeća četiri kritetijuma: deplanacija poprečnog preseka Bernulijea predpostaka Kriterijum črstoće σ st < σ do Kriterijum upotrebljiosti kriterijumi a proeru deformacija Kriterijum stabilnosti Kriterijum trajnosti U proračunima se anemaruje uticaj smičućih sila na deformaciju aži Bernulijea hipotea ranih preseka. DEORMACJA GREDE PR SAVJANJU SLAMA y B Elastična linija Jednačina elastične linije: ( ) U otpornosti materijala deformisani oblik osoine grede naia se elastična linija. Njene ordinate naiaju se ugibi i obeležaaju sa. Ugao koji aklapa tangenta na elastičnu liniju sa probitnom osom grede naia se nagib ili obrtanje preseka. y q Ugao obrtanja preseka: ( ) d tg d Elastična linija Β A B U Otpornosti materijala se ramatraju samo male deformacije, d pa su ugibi i nagibi male eličine: tg Nagib tangente na elastičnu liniju je pri iod ugiba po apscisi ( )
8//05 Teorija elastične linije saijene grede asnia se na jednačini: M ρ Kriina elastične linije jednaka je količniku momenta saijanja i krutosti grede na saijanje. Za iođenje diferencijalne jednačine elastične linije polai se od iraa a kriinu. Da bi se dobio poitian ugib kada je transeralna sila usmerena naniže, usaja se koordinarni sistem sa koordinatnim početkom na leom kraju, a osa y se usmeraa naniže. Pri tome konencija o naku sila u preseku a određianje naka momenta saijanja i transeralne sile aži. U proioljnom poprečnom preseku na rastojanju od leog kraja poluprečnik kriine je ρ, a njegoa recipročna rednost ponata je kao kriina κ/ ρ. matematike je ponat obraac a kriinu: ρ + ( ) Kako je nagib mali tj: anemaruje se u odnosu na jedinicu, pa je: ρ Prema usojenom smeru ose y i prema konenciji o naku momenta saijanja, moment M i su uek raličitog naka, što je prikaano na slici, tako da se konačno dobija diferencijalna jednačina elastične linije u obliku: M ra d d M M ρ ra na kome se asnia teorija elastične linije saijene grede je promena nagiba pri promeni apscise ρ ra a kriinu d d Diferencijalna jednačina elastične linije Znak minus je ueden bog usaglašaanja nakoa kriine i momenta saijanja Diferencijalna jednačina elastične linije Metode rešaanja diferencijalne jednačine elastične linije: direktna metoda (integraljenje u korišćenje graničnih usloa) indirektne ili približne metode ( ) ( ) d M Konencija o naku u diferencijalnoj jednačini elastične linije Kod proste grede ugao sa porastom apscise postaje se manji, tj. d je negatian broj. M Da bi ira ostao poitian mora se usojiti nak minus Prema tome, ima uek suprotan nak od momenta saijanja. M ntegracijom oe jednačine dobija se jednačina elastične linije u konačnom obliku. Potrebno je samo iraiti moment saijanja M () u funkciji apscise. REŠAVANJE DERENCJALNE JEDNAČNE ELASTČNE LNJE POSTUPKOM DREKTNE NTEGRACJE ( ) ( ) d M Diferencijalna jednačina elastične linije Postupak pri rešaanju diferencijalne jednačine elastične linije: podeliti gredu na deloe-polja u kojima je moment saijanja predstaljen jednim analitičkim iraom odrediti analitičke irae a moment saijanja u sakom delu grede (polju) napisati diferencijalnu jednačinu elastične linije koja odgoara sakom polju M integraliti oako dobijenu diferencijalnu jednačinu u da koraka M + C - jednačina a nagib l M + C + C - jednačina elastične linije l l odrediti integracione konstante i graničnih usloa Pri postaljanju graničnih usloa treba imati u idu da je koordinatni početak na leom kraju grede, a l je dužina a, odnosno polja
8//05 GRANČN USLOV (POZNATA POMERANJA L OBRTANJA) d( ) d() M () dm () T() dt() q( ) T() T () () () Moro sta q() M () M () M () () () Moro sta Ugib u nekom preseku a je jednak odnosu momenta saijanja u tom preseku na fiktinom u i krutosti na saijanje. Nagib tangente elastične linije u nekom preseku jednak je odnosu transeralne sile u fiktinom u u tom istom preseku i krutosti a na saijanje. Ako amislimo gredu čije bi specifično opterećenje u sakom trenutku bilo jednako eličini M (), tada je transeralna sila a tako opterećenje jednaka φ, a moment saijanja je jednak eličini. Momentni dijagram a koristi se kao neko fiktino opterećenje i to tako što se on okrene (ako je bio na donjoj strani a, u fiktinom u je na gornjoj strani) a fiktine sile se usmere prema u, da bi se dobili odgoarajući naci ugiba i nagiba tangente na elastičnu liniju. ODREĐVANJE UGBA NAGBA ELASTČNE LNJE MOHR-MAXWELL-OVA ANALOGJA OTPORNOST MATERJALA Međutim, analogija prethodnih diferencijalnih jednačina nije dooljna. Da bi analogija bila potpuna fiktinim opterećenjem mora se opteretiti ne originalan, eć fiktini koji se mora formirati tako da bude ostarena analogija i u odnosu na granične usloe. Transeralne sile i momenti saijanja na oakom u opterećenom fiktinim opterećenjem predstaljaće u određenoj rameri nagibe, odnosno ugibe starnog a pod datim starnim opterećenjem. Zaisnost imeđu ugiba (), nagiba () i momenta saijanja M () predstaljena je jednačinama: d Oe jednačine mogu biti napisane i u obliku: d M () Da bi se postigla analogija u graničnim usloima mora na mestu gde je na starnom u krajnji oslonac, kod koga je ugib jednak nuli a nagib raličit od nule 0, 0 biti na fiktinom u takođe krajnji oslonac jer je kod oslonca na kraju grede moment jednak nuli, a transeralna sila raličita od nule M 0, T 0 d( ) d( ) M () Jednačinama sličnog oblika predstaljene su i diferencijalne aisnosti imeđu momenta saijanja, transferalne sile i raspodeljenog opterećenja: dm () T() dt() q( ) Matematička analogija imeđu prethodnih jednačina je osnoa Mohr-Makswelloe metode a određianje ugiba i nagiba tangente elastične linije.
8//05 Slobodnom kraju 0, 0 odgoara uklještenje M 0, T 0 Uklještenom kraju 0, 0 odgoara slobodan kraj M 0, T 0 Postupak pri određianju ugiba i nagiba tangente elastične linije a konstantnog poprečnog preseka: a dati i opterećenje sračunati rednosti i nacrtati dijagram momenta saijanja datom u odrediti odgoarajući fiktini poštujući granične usloe kod adatog a opteretiti fiktini fiktinim opterećenjem koje je jednako momentnom dijagramu a dati (okrenuti i usmeriti sile prema u) sračunati rednosti momenta saijanja i transferalne sile u odgoarajućim presecima fiktinog a usled fiktinog opterećenja primenom Moroih staoa odrediti rednosti ugiba i nagiba tangente elastične linije adatog a Srednjem osloncu 0, 0 odgoara srednji glob M 0, T 0 () M () T() () Srednjem globu 0, leo desno 0 odgoara srednji oslonac M 0, Tleo Tdesno 0 Metoda fiktinog a naročito je pogodna i bra kada se traži ugib ili nagib u nekoj određenoj tački a, pa se do tih podataka može doći neposredno, be ponaanja cele elastične linije. Konencija o naku Poitian ugib je na dole a poitian ugao obrtanja je ukoliko je u smeru kretanja kaaljke na satu. 4
8//05 Starni iktini iktini mora da ispuni analogiju graničnih usloa. Presek a Starni iktini 0 M 0 0 T 0 Starni Presek b iktini 0 M 0 leo desno 0 T T 0 leo desno Reakcija menja rednost T sile u preseku. Nema promene T sile nema oslonca PRMENA METODE KTVNOG NOSAČA Odrediti primenom metode fiktinog a maksimalni ugib i maksimalni nagib proste grede opterećene koncentrisanom silom na sredini raspona. Treba odrediti nagib u osloncu A i ugib u sredini raspona grede. q l l Q 4 6 T V Q 6 A A 6 ma A M V l l l l Q 6 6 6 6 48 C A MC 48 C ma TA A 6 C 48 Starni Presek c Starni iktini 0 M 0 leo desno leo 0 T Tdesno 0 Reakcija menja rednost T sile u preseku. ma promene T sile ima oslonca-reakcija Određianje ugiba i nagiba tangente elastične linije metodom fiktinog a a Primer a ežbu Odrediti primenom metode fiktinog a ugib u A i nagib u A i B leo desno iktini Presek e Starni iktini 0 M 0 0 T 0 PRMENA METODE KTVNOG NOSAČA Odrediti primenom metode fiktinog a ugib i nagib slobodnog kraja konole M () () T() () q l l Q MB Q l l MB B ma MB B l q l l l TB B T B Q TB ma B l l l MA VB l Q l + + MA A Q l l Y 0 VB + Q VC 0 l V B, VC M B 0 Q VC l 0 6 TB VB TB B Y 0 VA Q VB 0 + + 5 VA 6 5 6 TA 5 A 6 TA VA 5
8//05 GREDE PROMENLJVOG POPREČNOG PRESEKA Odrediti maksimalni ugib i nagib tangente elastične linije proste grede na slici. Određianje ugiba i nagiba tangente elastične linije metodom fiktinog a Primer a ežbu Odrediti primenom metode fiktinog a ugib i nagib u tački C Moment inercije je promenlji i može se redukoati na neku pogodnu osnonu rednost, na primer na eličinu momenta inercije gde je on najmanji. AC 0 C Usojena uporedna krutost DB 0 C CD 0 C C ( ) M q q AC M M M A q M M M DB DB 0 q M M M CD CD 0 l Q 6 6 l Q 6 l Q 8 44 Y 0 VA VB + 0 l l l l MB 0 VA l Q + Q + l l l Q + Q 0 A B V V T A VA l TA ma A l l Q Q M l l l l l VA Q + 6 6 6 M l ma 0,006559 M l 0,006559 0 6