Periodične uplate i isplate

Sadržaj 1 Periodične uplate i isplate 2 1.1 Geometrijski niz.......................... 2 1.2 Periodične uplate ili isplate.................... 3 1.3 Konačna vrijednost periodičnih uplata ili isplata........ 4 1.3.1 Oznake........................... 4 1.4 Financijske rente. Početna (sadašnja) vrijednost periodičnih uplata ili isplata.......................... 8 1.5 Vječna renta............................ 12 2 Zajmovi 16 2.1 Zajam uz nominalno jednake anuitete.............. 17 2.2 Zajam uz nominalno jednake otplatne kvote.......... 21 2.3 Interkalarna kamata....................... 24 2.4 Konverzija zajma......................... 26 1

Poglavlje 1 Periodične uplate i isplate 1.1 Geometrijski niz Geometrijski niz je niz brojeva sa stalnim kvocijentom izmedu bilo kojeg člana (osim prvog) i člana ispred njega. Taj se kvocijent naziva kvocijent niza i označava se s q. Primjer 1 Brojevi 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 tvore geometrijski niz jer je a 2 2 a 1 1 Opći član geometrijskog niza: 2 q 2 a n a 1 q n 1 Primjer 2 Napisati 4. i 5. član geometrijskog niza kojemu je prvi član 3 i kvocijent 2. Rješenje: a n a 1 q n 1 a 4 a 1 q 3 3 ( 2) 3 24 a 5 a 1 q 4 3 ( 2) 4 48 Zbroj prvih n članova geometrijskog niza: S n a 1 qn 1 q 1 2

POGLAVLJE 1. PERIODIČNE UPLATE I ISPLATE 3 Specijalno 1 + x + x 2 +... + x n 1 xn 1 x 1 Primjer 3 Odrediti zbroj prvih 10 članova geometrijskog niza čiji je opći član: a n 2 n. Rjeenje: a 1 2, a 2 2 2 4, q a 2 a 1 4 2 2, n 10 S n a 1 qn 1 q 1 2 210 1 2 1 2046 1.2 Periodične uplate ili isplate U praksi se često vrši uplata ili isplata jednakih iznosa u jednakim vremenskim razmacima. Takve se uplate ili isplate zovu periodične. Takve se uplate ili isplate mogu vršiti na dva načina: a) na početku termina, to su prenumerando uplate ili isplate, b) na kraju termina, to su postnumerando uplate ili isplate. Periodične uplate ili isplate mogu trajati odredeno vremensko razdoblje, neoodredeno vremensko razdoblje(na primjer osobne rente koje se korisniku isplaćuju iz nekog trajnog izvora) ili vječno (na primjer vječne rente koje se korisniku isplaćuju neograničeno od iznosa neke trajno jednake vrijednosti.) Kod periodičnih uplata ili isplata izračunava se konačna vrijednost svih periodićnih uplata ili isplata nakon odredenog broja termina ili sadašnja vrijednost periodičnih uplata ili isplata koje su se pojavljivale odredeni broj termina.

POGLAVLJE 1. PERIODIČNE UPLATE I ISPLATE 4 1.3 Konačna vrijednost periodičnih uplata ili isplata Formulu za konačnu vrijednost periodičnih uplata ili isplata možemo izvesti uz sljedeće pretpostavke: 1. uplate (isplate) su medusobno jednake, 2. uplate (isplate) se obavljaju u jednakim vremenskim intervalima, 3. razdoblje izmedu dviju uplate (isplata) jednako je razdoblju ukamaćivanja, 4. Kamatnjak je nepromjenljiv tijekom cijelog vremena, 5. ukamaćivanje je složeno i dekurzivno. 1.3.1 Oznake - R godišnja jednaka uplata (isplata), - n broj godina ukamaćivanja, - p(g) godišnji dekurzivni kamatnjak, - r 1 + p godišnji dekurzivni kamatni faktor, - S n konačna vrijednost n prenumerando uplata (isplata) na kraju n te godine, - S n konačna vrijednost n postnumerando uplata (isplata) na kraju n te godine. S n R r rn 1 r 1 S n R rn 1 r 1

POGLAVLJE 1. PERIODIČNE UPLATE I ISPLATE 5 Primjer 4 U banku je ulagano po 24 000 kn uz godišnji kamatnjak 9% i uz godišnju kapitalizaciju. S kojim će se iznosom raspolagati nakon 10 godina ako se ulagalo a) na početku godine, b) na kraju godine, p 9% r 1 + p 1.09 R 24 000 n 10 a) S n R r rn 1 r 1 24 000 1 1.091.0910 1.09 1 b) S n R rn 1 r 1 24 1 0001.0910 1.09 1 3 646 303.13 3 974 470.41 Primjer 5 Koliki je bio godišnji ulog ako je za 12 godina uz godišnji kamatnjak 9% i složenu, dekurzivnu godišnju kapitalizaciju konačna vrijednost iznosila 540 000 kn? Ulagalo se a) na početku godine, b) na kraju godine. n 12 p 9% r 1 + p 1.09 S n S n 540 000 a) S n R r rn 1 r 1 R S n (r 1) r () 540 000 (1.09 1) 1.09 (1.09 12 1) 24 597.57 b) S n R rn 1 r 1 R S n (r 1) 540 000 (1.09 1) 1.09 12 1 26 811.15 Primjer 6 Koliko je dugo trajalo periodično ulaganje od 35 000 kn godišnje uz godišnji kamatnjak 7.5% ako je konačna vrijednost iznosila 400 000 kn, a kapitalizacija je bila složena, godišnja i dekurzivna? Ulagalo se

POGLAVLJE 1. PERIODIČNE UPLATE I ISPLATE 6 a) na početku godine, b) na kraju godine. R 35 000 p 7.5% r 1 + p 1.075 S n S n 400 000 a) S n R r rn 1 r 1 8.107 godina n log[ Sn(r 1) R r + 1] log r log[ 400 000(1.075 1) 35 000 1.075 + 1] log 1.075 b) S n R rn 1 r 1 8.561 godina Sn log[ (r 1) + 1] R n log r log[ 400 000(1.075 1) 35 000 + 1] log 1.075 Primjer 7 Investitor uplaćuje 15 premija početkom svake godine. Nakon 15 godina primit će akumulirani iznos svojih uplata, koji je izračunat na bazi kamatne stope 6% prve 4 godine, 5% idućih 6 godina, te 4% završnih 5 godina. Koliki je iznos isplate ako je svaka uplata iznosila 200. p 1 6% r 1 1.06, p 2 5% r 2 1.05, p 3 4% r 3 1.04, n 1 4, n 2 6, n 3 5, n 15, R 200 Vrijednost prvih 4 uplata na kraju 4. godine: S n R r rn 1 r 1 S 4 200 1.06 1.064 1 1.06 1 927.42 Vrijednost prvih 4 uplata, od kraja 4. od kraja 15. godine, na kraju 15. godine: C n C r n C 15 S 4 r n 2 2 r n 3 3 927.42 1.05 6 1.04 5 1 507.20 Vrijednost idućih 6 uplata, od kraja 5. do kraja 10. godine, na kraju 10. godine: S 6 200 1.05 1.056 1 1.06 1 1 428.40

POGLAVLJE 1. PERIODIČNE UPLATE I ISPLATE 7 Vrijednost tih 6 uplata na kraju 15. godine: C 15 1 428.40 1.04 5 1737.87 Vrijednost završnih 5 uplata, od kraja 11. do kraja 15. godine, na kraju 15. godine: S 5 200 1.04 1.045 1 1.04 1 1 126.60 Vrijednost tih pet uplata na kraju 15. godine: C 15 1 126.60 Vrijednost svih uplata na kraju 15. godine: C 15 C 15 + C 15 + C 15 1 507.20 + 1737.87 + 1 126.60 4 371.67

POGLAVLJE 1. PERIODIČNE UPLATE I ISPLATE 8 1.4 Financijske rente. Početna (sadašnja) vrijednost periodičnih uplata ili isplata Renta je niz od n jednakih isplata (uplata) u jednakim vremeskim intervalima. Sve isplate(uplate) su izvjesne, neovisne o smrti ili doživljenju neke osobe. Takva serija se naziva renta ili financijska renta (annuity-certain). Promatraju se i rastuće i padajuće rente. Ukoliko isplate nisu izvjesne i ovise o smrti ili doživljenju, radi se o životnoj renti (contingent annuity). Ako plaćanje renti počinje odmah, zovemo je neposrednom rentom, a ako počinje nakon izvjesnog vremena, onda je to odgodena renta. Više jednakih svota R koje se javljaju u jednakim vremenskim razmacima zamjenjujemo jednom svotom koja dospijeva odmah, tj. izračunavamo im početnu vrijednost. Dakle, svote sa kasnijim dospijećima svodimo na ranije dospijeće, pa ih moramo diskontirati. Ovisno o ekonomskom problemu kojeg razmatramo svote R mogu biti: dugovanja, isplate, ulozi itd. Razlikujemo slučajeve kada svote R dospijevaju krajem ili početkom termina, tj. da li su postnumerando ili prenumerando svote. Početnu ćemo vrijednost takvih uplata (isplata) izvesti uz iste pretpostavke (1)-(5) koje smo koristili kod izračunavanja konačne vrijednost periodičnih uplata ili isplata, a uvodimo i nove oznake: - A n početna vrijednost n postnumerando uplata (isplata), - A n početna vrijednost n prenumerando uplata (isplata). Početna vrijednost postnumerando uplata (isplata): A n R r n (r 1) Početna vrijednost prenumerando uplata (isplata): A n R r n 1 (r 1) Primjer 8 Koliki iznos valja danas uložiti u banku da se osigura pet godišnjih postnumerando isplata po 30 000 kn? Obračun kamata je godišnji, složen i dekurzivan, uz godišnji kamatnjak 4% n 5

POGLAVLJE 1. PERIODIČNE UPLATE I ISPLATE 9 R 30 000 p 5% r 1 + p 1.05 A n? A n R r n (r 1) 30 000 1.05 5 1 1.05 5 (1.05 1) 129 884.30 kn Primjer 9 Koliki se jednaki godišnji iznosi mogu podizati krajem svake godine tijekom iduće četiri godine, na temelju uloženog iznosa od 60 000 kn? Obračun kamata je godišnji, složen i dekurzivan, uz godišnji kamatnjak 3.5% n 4 A 4 60 000 p 3.5% r 1 + p 1.035 R? A n R r n (r 1) R A n rn (r 1) R 60 000 1.0354 (1.035 1) 1.035 4 1 16.335.07 kn Primjer 10 Koliko će se godina, krajem svake godine podizati po 8 734.18kn, a na temelju jednokratne uplate od 40 000kn? Obračun kamata je godišnji, složen i dekurzivan, uz godišnji kamatnjak 3% R 8 734.18 A n 40 000 p 3% r 1 + p 1.03 n? A n R r n (r 1) n log R R (r 1)A n log r n log 8 734.18 8 734.18 (1.03 1) 40 000 log 1.03 5

POGLAVLJE 1. PERIODIČNE UPLATE I ISPLATE 10 Primjer 11 Koliki iznos valja danas uložiti u banku da se osigura šest godišnjih prenumerando isplata po 10 000 kn? Obračun kamata je godišnji, složen i dekurzivan, uz godišnji kamatnjak 4.5% n 6 R 10 000 p 4.5% r 1 + p 1.045 A n? A n R r n 1 (r 1) 10 000 1.045 6 1 r 5 (1.045 1) 53 899.77 kn Primjer 12 Koliki se jednaki godišnji iznosi mogu podizati početkom svake godine tijekom idućih pet godina, na temelju uloženog iznosa od 65 000 kn? Obračun kamata je godišnji, složen i dekurzivan, uz godišnji kamatnjak 5% n 5 A n 65 000 p 4% r 1 + p 1.04 R? A n R r n 1 (r 1) R A n rn 1 (r 1) R 65 000 1.045 1 (1.04 1) 1.04 5 1 14 039.19 kn Primjer 13 Koliko će se godina, početkom svake godine podizati po 12 966.73kn, a na temelju jednokratne uplate od 50 000kn?Obračun kamata je godišnji, složen i dekurzivan, uz godišnji kamatnjak 2.5% R 12 966.73 A n 50 000 p 2.5% r 1 + p 1.025

POGLAVLJE 1. PERIODIČNE UPLATE I ISPLATE 11 n? A n R r n 1 (r 1) n log n log 12 966.73 1.025 12 966.73 1.025 (1.025 1) 50 000 log1.25 R r R r (r 1) A n log r 4

POGLAVLJE 1. PERIODIČNE UPLATE I ISPLATE 12 1.5 Vječna renta Koliko se mora danas uložiti ako se želi na temelju tog jednog iznosa vječno podizati nominalno jednake postnumerando iznose R, uz pretpostavku da je obračun kamata slošž, godišnji i dekurzivan uz primjenu fiksnog godišnjeg kamatnjaka p%? Vidjeli smo da početna vrijednost n nominalno jednakih postnumerando iznosa R,uz pretpostavku da je obračun kamata slošžen, godišnji i dekurzivan uz primjenu fiksnog godišnjeg kamatnjaka p% jednaka: A n R r n (r 1) Budući da se traži vječna renta, treba ispitati što se s gornjom formulom dogada kada broj n nominalno jednakih postnumerando iznosa raste u beskonačnost: A lim A n lim (R n n r n (r 1) ) A R r 1 lim n r n A R p Primjer 14 Kolika je sadašnja vrijednost vječne rente od 5 000 kn koja dospijeva na kraju svake godine ako je godišnji kamatnjak 10%? Rješenje: R 5 000, p 10%, A? A R p 5 000 10 50 000 Primjer 15 Kolika je sadašnja vrijednost običnih dionica kojima se ostvaruje fiksna dividenda od 8 000 kn na kraju svake godine? Dividenda traje a) 20 godina, b) vječno,

POGLAVLJE 1. PERIODIČNE UPLATE I ISPLATE 13 a primjenjuje se godišnji kamatnjak 8%. Rješenje: R 8 000, p 8% r 1.08, A 20, A? a) A n R r n (r 1) 8 000 1.08 20 1 1.08 20 (1.08 1) 78 545.18 b). A R p 8 000 8 000.00 Primjer 16 Tržišna vrijednost trosobnog stana u Opatiji je 2 000 000kn. Ako poslovne banke na oročena sredstva plaćaju godišnje kamate 8%, odrediti minimalnu godišnju najamninu za taj stan. A R p R 8 2 000 000 R p A 160 000 kn Primjer 17 Je li povoljnije prodati trosobni stan u Opatiji kojemu je tržišna vrijednost 2 000 000kn i dobiveni novac oročiti u poslovnoj banci koja na oročena sredstva plaća godišnje kamate 6% ili stan dati u najam za godišnju neto najamninu 140 000 kn? Ako vlasnik proda stan i dobiveni novac oroči u banci uz 6% godišnje, može računati s godišnjom rentom R 6 2 000 000 120 000 kn, pa mu se uz navedene uvjete više isplati stan dati u najam. Primjer 18 Za prodaju kuće stigle su tri ponude: a) kupac A nudi 250 000 EUR odmah, b) kupac B nudi 000 EUR odmah i 200 000 EUR na kraju desete godine,

POGLAVLJE 1. PERIODIČNE UPLATE I ISPLATE 14 c) kupac C nudi krajem svake godine kroz deset godina po 30 000 EUR. Koja je ponuda najpovoljnija ako je godišnja kamatna stopa 5%? Obračun kamata je godišnji i dekurzivan. a) A... C 10 407 223.66, b) B... C 10 362 889.463, c) C... C 10 377 336.78. Ponuda A je najpovoljnija. Primjer 19 Neka je osoba uplaćivala u banku početkom svake godine po 5 000 kn kroz pet godina. Koliko će ta osoba imati u banci na kraju desete godine ako je banka primjenjivala godišnju kamatnu stopu 6%. Obračun kamata je godišnji i dekurzivan. Primjer 20 Početkom svake godine, kroz pet godina, ulagano je u banku iznos od 15 000 kn. Koji će iznos biti u banci na kraju šeste godine, ako je godišnja kamatna stopa 5%, a obračun kamata polugodišnji i dekurzivan? (Rez: 91380.13) Primjer 21 Koji bi iznos trabalo ulagati u banku početkom svakg mjeseca kroz jedan kvartal da bi se na kraju treće godine moglo podići 000 kn? Obračun kamata je mjesečni i dekurzivan, a godišnja kamatna stopa 6.96%. Rez: a) Koristite relativnu kamatnu stopu. b) Koristite konformnu kamatnu stopu. a) 27 224.93 b) 27 393.35. Primjer 22 Neka osoba ulaže, počevši od danas, pet puta po 50 000 kn početkom svake godine. S kojim će iznosom raspolagati na kraju sedme godine ako je krajem druge godine podigla 000 kn? Godišnja kamatna stopa je 6%, a obračun kamata godišnji i dekurzivan.

POGLAVLJE 1. PERIODIČNE UPLATE I ISPLATE 15 (Rez:201 870.84) Primjer 23 Osoba ulaže, počevši od danas, tri puta po 10 000 kn početkom svake godine. Na kraju prve godine osoba je podigla odredeni iznos. Koji je to iznos ako je osoba na kraju četvrte godine raspolagala s 20 000 kn? Godišnja kamatna stopa je 6%, a obračun kamata godišnji i dekurzivan. (Rez: 13 241)

Poglavlje 2 Zajmovi Zajam je poseban imovinsko pravni odnos izmedu davatelja zajma (kreditora) i korisnika zajma (zajmoprimatelja) koji se temelji na ugovoru o zajmu. U ugovoru se, izmedu ostalog, odreduje: (a) iznos zajma, (b) kamatnjak, (c) način obračuna kamata, (d) vrijeme otplate, (e) način otplate. Kada je ugovor o zajmu zaključen, kreditor isplaćuje ugovoreni iznos korisniku zajma odjednom ili u obrocima (tranšama). U pravilu, ako se radi o zajmu namijenjenom financiranju neke investicije, zajam se isplaćuje u obrocima prema odvijanju radova, pristizanju i montiranju opreme, odnosno nakon što su ispunjeni dogovoreni uvjeti. Zajmoprimatelj vraća odobreni iznos otplatama, koje se nazivaju anuiteti jer su to nekad bile u pravilu godišnje otplate.ako zajmoprimatelj koristi zajam u obrocima, kreditor svaki obrok ukamaćuje od trenutka doznake obroka do trenutka kada počinje redovito vraćanje zajma. Zbog toga zajmoprimatelj plaća interkalarne kamate. Anuitet je periodični iznos koji plaća zajmoprimatelj, a sastoji se od dva dijela: otplatne kvote (dio kojim se otplaćuje osnovni dug, uključujući i interkalarnu kamatu ako nije prije plaćena) i složenih kamata (dio kojim 16

POGLAVLJE 2. ZAJMOVI 17 se plaća naknada za korištenje ustupjenih financijskih sredstava). Otplata (amortizacija) vodi se pregledno prema rokovima otplate i za svaki se rok računa nominalni iznos anuiteta, kamata, otplatne kvote i ostatka duga. Takav pregled u formi tablice naziva se plan otplate. Plan otplate je za zajmoprimatelja pregled iznosa i rokova njegovih obveza, a za kreditora plan priljeva sredstava od odobrenih zajmnova i kamata na ta sredstva. Kamate se najčešće računaju dekurzivno (na kraju obračunskog razdoblja). Anuiteti se mogu plaćati početkom svakog razdoblja (prenumerando anuiteti) ili na kraju svakog razdoblja (postnumerando anuiteti). Uobičajeno je, kada je plan otplate gotov, da se provode sljedeće kontrole: (a) otplatna kvota zadnjeg razdoblja jednaka je ostatku duga iz prethodnog razdoblja, (b) zbroj svih otplatnih kvota jednak je iznosu zajma, (c) zbroj svih otplatnih kvota i svih kamata jednak je zbroju svih anuiteta. Postoje različiti modeli otplate zajma. 2.1 Zajam uz nominalno jednake anuitete Najčešće primjenjivani model otplate zajma je model otplate zajma nominalno jednakim anuitetima. Pretpostavke su modela: (a) obračun kamata je složen i dekurzivan, (b) anuiteti su (nominalno) jednaki i dospijevaju u jednakim vremenskim jedinicama krajem razdoblja (oznaka a), (c) razdoblje ukamaćivanja jednako je jedinici vremenskog dospijeća izmedu anuitetta, (d) kamatnjak je konstantan tijekom razdoblja otplate.

POGLAVLJE 2. ZAJMOVI 18 Za izgradnju ovog modela koriste se oznake: (a) C C 0 nominalni iznos zajma, (b) n broj razdoblja otplate zajma, (c) I k iznos kamata na kraju k tog razdoblja, (d) R k iznos otplatne kvote nakraju k tog razdoblja, (e) C k ostatak duga na kraju k tog razdoblja razdoblja, (f) p konstantni kamatnjak za obračunsko razdoblje. Formule: C a(rn 1) r n (r 1) a C rn (r 1) r n 4 1 C k a r n k (r 1) R k R k 1 r R 1 r k 1 C 0 rk 1 (r 1) Primjer 24 Zajam je odobren poduzeću na 10 godina uz 8% složenih godišnjih dekurzivnih kamata i otplaćuje se nominalno jednakim anuitetima krajem godine u iznosu od po 000 kn. Odrediti iznos zajma. Rješenje: a 000, n 10, p 8%, C? C a(rn 1) r n (r 1) 000 (1.0810 1) 1.08 10 (1.08 1) 671 008.14 Primjer 25 Zajam u iznosu od 200 000 kn odobren je poduzeću na 10 godina uz 8% složenih godišnjih dekurzivnih kamata i otplaćuje se nominalno jednakim anuitetima krajem godine. Odrediti iznos nominalno jednakog godišnjeg anuiteta. Rješenje: C 200 000, n 10, p 8%, a? a C rn (r 1) 200 000 1.0810 (1.08 1) 1.08 10 1 29 805.90

POGLAVLJE 2. ZAJMOVI 19 Primjer 26 Zajam od 200 000 kn odobren je poduzeću na 5 godina uz 8% složenih godišnjih dekurzivnih kamata i plaćanjem jednakih anuiteta krajem godine. Odredite iznos nominalno jednakog godišnjeg anuiteta. Sastavite plan otplate. Rješenje: C 200 000, n 5, p 8%, a? a C rn (r 1) 200 000 1.085 (1.08 1) 1.08 5 1 50 091.29 k a k I k R k C k 0 200 000.00 1 50 091.29 16 000.00 34 091.29 165 908.71 2 50 091.29 13 272.69 36 818.59 129 090.12 3 50 091.29 10 327.21 39 764.08 89 326.04 4 50 091.29 7 146.08 42 945.21 46 380.83 5 50 091.29 3 710.46 46 380.83 Σ 250 456.45 50 456.45 200 000.00 I 1 200 000 0.08 16 000, R 1 a I 1 34 091.29, C 1 C R 1 165 908.71 I 2 165 908.71 0.08 13 272.69, R 2 a I 2 36 818.59, C 2 C 1 R 2 129 090.12 I 3 129 090.12 0.08 10 327.21, R 3 a I 3 39 764.08, C 3 C 2 R 3 89 326.04 I 4 89 326.04 0.08 7 146.08, R 4 a I 4 42 945.21, C 4 C 3 R 4 46 380.83 C 5 0.00, I 5 42 945.21 0.08 3 710.46, a I 5 + R 5 50 091.29 Primjer 27 Zajam od 300 000 kn otplaćuje se 7 godina jednakom anuitetima krajem mjeseca, uz dekurzivno obračunavanje kamata uz mjesečnu kamatnu stopu 0.5%. Prikažte detaljno plan otplate za zadnja 3 mjeseca otplate Rješenje: C 0 300 000, n 7 12 84, p 0.4% r 1.005, a?

POGLAVLJE 2. ZAJMOVI 20 k8184-3 a C rn (r 1) C 81 4 382.57 300 000 1.00584 (1.005 1) 1.08 84 1 C k a r n 4 1 r n k (r 1) r 84 81 1 r 84 81 (r 1) 4 382.57 1.005 3 1 1.005 31 (1.005 1) k a k I k R k C k 81 13 017.32 82 4 382.57 65.09 4 317.84 8 699.84 83 4 382.57 43.50 4 399.07 4 360.77 84 4 382.57 21.80 4 360.77 0.00 4 382.57 13 017.32

POGLAVLJE 2. ZAJMOVI 21 2.2 Zajam uz nominalno jednake otplatne kvote Jedan od modela otplate zajma promjenljivim anuitetima je model otplate kod kojeg su otplatne kvote jednake. Pretpostavke modela: (a) obračun kamata je složen i dekurzivan, (b) otplatne kvote su jednake, a anuiteti dospijevaju u jednakim vremenskim jedinicama krajem razdoblja, (c) razdoblje ukamaćivanja jednako je jedinici vremenskog dospijeća izmedu anuiteta, (d) kamatnjak je stalan tijekom cijelog razdoblja otplate zajma. Za izgradnju ovog modela koriste se oznake: (a) C C 0 nominalni iznos zajma, (b) n broj razdoblja otplate zajma, (c) I k iznos kamata na kraju k tog razdoblja, (d) R iznos nominalno jednakih otplatnih kvota, (e) a k niznos anuiteta na kraju k tog razdoblja razdoblja, (f) C k ostatak duga na kraju k tog razdoblja razdoblja, (g) p konstantni kamatnjak za obračunsko razdoblje. Formule: C R n R C n C k C(1 k n ) a k C p ((n k + 1) n + 1) n I k C p (n + 1) 200 k1

POGLAVLJE 2. ZAJMOVI 22 Primjer 28 Zajam u iznosu 000 kn odobren je poduzeću na pet godina uz 10% godišnji dekurzivnih kamata i plaćanjem anuiteta krajem godine, pri čemu su nominalno jednake otplatne kvote. Izračunati otplatne kvote i sastaviti plan otplate. Rješenje: C 000, n 5, p 10%, R? I 1 C 0 p 000 10 R C n 000 5 C 1 C 0 R 000 20 000 80 000 I 2 C 1 p 80 000 10 C 2 C 1 R 80 000 20 000 60 000 I 3 C 2 p 60 000 10 C 3 C 2 R 60 000 20 000 40 000 I 4 C 3 p 40 000 10 C 4 C 3 R 40 000 20 000 20 000 I 5 C 4 p 20 000 10 C 5 C 4 R 20 000 20 000 0 20 000 10 000, a 1 I 1 + R 20 000 + 20 000 40 000 8 000, a 2 I 2 + R 8 000 + 000 18 000 6 000, a 3 I 3 + R 6 000 + 000 16 000 4 000, a 4 I 4 + R 4 000 + 000 14 000 2 000, a 5 I 2 + R 2 000 + 000 12 000

POGLAVLJE 2. ZAJMOVI 23 k a k I k R k C k 0 000.00 1 30 000.00 10 000.00 20 000.00 80 000.00 2 28 000.00 8 000.00 20 000.00 60 000.00 3 26 000.00 6 000.00 20 000.00 40 000.00 4 24 000.00 4 000.00 20 000.00 20 000.00 5 22 000.00 2 000.00 20 000.00 Σ 130 000.00 30 000.00 000.00

POGLAVLJE 2. ZAJMOVI 24 2.3 Interkalarna kamata Interkalarna kamata je kamata koju zajmoprimatelj plaća na odobrena sredstva za razdoblje od trenutka doznake tih sredstava do trenutka kada se ona počinju otplaćivati. Interkalarna kamata se može: (a) otplatiti odjednom, u trenutku početka otplate zajama, (b) dodati iznosu odobrenog zajma u trenutku početka otplaćivanja zajma. Primjer 29 Zajam od 450 000 kn odobren je poduzeću na deset godina, uz godišnji kamatnjak 10%, plaćanje jednakih anuiteta krajem godine i poček od dvije godine. Obračun kamata je složen, godišnji i dekurzivan. Izračunati anuitet ako se interkalarne kamate (a) plaćaju odmah, (b) dodaju iznosu zajma. Rješenje: C 0 450 000, n 10, p(g) 10 r 1 + 10 1.1 Najprije izračunamo vrijednost zajma nakon dvije godine Interkalarne kamate: C 2 C 0 r 2 450 000 1.1 2 544 500 kn I C 2 C 0 544500 450 000 94 500 (a) Interkalarne kamate se plaćaju odmah, pa je C 0 450 000. Računamo anuitet za preostalih osam godina. a C rn 2 (r 1) r n 2 1 450 000 1.18 (1.1 1) 1.1 8 1 84 349.81 (b) Interkalarne se kamate dodaju iznosu zajma, pa je sad novi zajam C 2 544 500 kn, a anuitet za preostalih osam godina a C 2 rn (r 1) 544 500 1.18 (1.1 1) 1.1 8 1 102 063.27 kn

POGLAVLJE 2. ZAJMOVI 25 Primjer 30 Poduzeću je odobren zajam od 500 000 kn pod sjedećim uvjetima: - početkom je prve godine doznačeno 300 000 kn, - početkom je druge godine doznačeno 200 000 kn. Rok otplate zajma je osam godina, uz godinji kamatnjak 12% i plaćanje anuiteta krajem godine, počevši od četvrte. Obračun kamata je složen, godišnji i dekurzivan. Izračunati anuitet ako se interkalarne kamate (a) plaćaju odmah, (b) dodaju iznosu zajma. Rješenje: C 0 500 000, C 0 500 000n 8, p(g) 12 r 1 + 12 1.12 Najprije izračunamo vrijednost doznaka na kraju treće godine. C 3 300 000 r 3 +200 000 r 2 300 000 1.12 3 +200 000 1.12 2 641 300 kn Interkalarne kamate: I C 3 (C 0 + C 1 ) 641 300 500 000 141 300 (a) Interkalarne kamate se plaćaju odmah, pa je C 0 500 000. Računamo anuitet za preostalih pet godina. a 500 000 1.125 (1.12 1) 1.12 5 1 138 704.87 kn (b) Interkalarne se kamate dodaju iznosu zajma, pa je sad novi zajam C 3 641 300 kn, a anuitet za preostalih pet godina a 641 300 1.125 (1.12 1) 1.12 5 1 177 902.86 kn

POGLAVLJE 2. ZAJMOVI 26 2.4 Konverzija zajma Konverzija zajma je svaka promjena uvjeta otplate zajma. U trenutku konverzije zajma, izračuna se ostatak duga u skladu s prvobitno ugovorenim uvjetima. Primjer 31 Zajam od 400 000 kn odobren je poduzeću na tri godine uz 12% godišnjih kamata i plaćanje jednakih anuiteta krajem godine. Nakon uplate drugog anuiteta, vrijeme otplate produžava se za godinu dana. Sastaviti plan otplate. Obračun kamata je godišnji, složen i dekurzivan. Rješenje: C 0 400 000, n 3, p(g) 12 r 1 + 12 1.12 a C 0 rn (r 1) 400 000 1.123 (1.12 1) 166 539.59 1.12 3 1 Prva su dva anuiteta jednaka 166 539.59 kn. Na kraju druge godine mijenjaju se uvjeti, pa računamo ostatak duga na kraju druge godine. Po formuli dobivamo C 2 a C k a C 2 166 539.59 r n 4 1 r n k (r 1) r n 2 1 r n 2 (r 1) a r 3 2 1 r 3 2 (r 1) 1.12 1 1.12(1.12 1) 148 696.06 To je sada novi zajam C 0 na temelju kojeg računamo novi anuitet. Novi podaci su: C 0 148 696.06, n 2, p(g) 12 r 1 + 12 1.12 Anuitet za preostale dvije godine: a C 0 r2 (r 1) r 2 1 148 696.06 1.122 (1.12 1) 1.12 2 1 87 983.18

POGLAVLJE 2. ZAJMOVI 27 Otplatna tablica: - Kraj 0. godine: C 0 400 000 - Kraj 1. godine: I 1 400 000 12 48 000, R 1 a I 1 166 539.59 48 000 118 539.59 C 1 C 0 R 1 400 000 118 539.59 281 460.41 - Kraj 2. godine: I 2 281 460.41 12 33 775.25, R 2 a I 2 166 539.59 33 775.25 132 764.34 C 2 C 1 R 2 281 460.41 132 764.34 148 696.07 U ovom trenutku mijenjaju se uvjeti, pa je novi anuitet a 87 983.18 kn. - Kraj 3. godine: a 3 a, I 3 148 696.07 12 17 843.53 R 3 a I 3 87 983.18 17 843.53 70 139.65 C 3 C 2 R 3 148 696.07 70 139.65 78 556.42 - Kraj 4. godine (zadnja godina otplate): I 4 R 4 C 3 78 556.42, I 4 78 556.42 12 9426.77 a 4 R 4 + I 4 78 556.42 + 9426.77 87 983.19 k a k I k R k C k 0 400 000.00 1 166 539.59 48 000.00 118 539.59 118 539.59 2 166 539.59 33 775.25 132 764.34 148 696.07 3 87 983.18 17 843.53 70 139.65 78 556.42 4 87 983.19 9426.77 78 556.42 0.00 Σ 509 045.54 109 045.55 400 000.00