BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15

Sadržaj Granični uticaji transverzalnih sila - primeri 1 Granični uticaji transverzalnih sila - primeri Primer 1a: područje τ r < τ n < 3 τ r Primer 1b/1: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Primer 1b/2: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r 2 Proračun preseka za granične uticaje M T Proračun armature za prijem M T 3 Nominalni smičući napon i granice Primer analize uticaja M T Primer analize uticaja T i M T

Sadržaj Granični uticaji transverzalnih sila - primeri Primer 1a: područje τ r < τ n < 3 τ r Primer 1b/1: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Primer 1b/2: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r 1 Granični uticaji transverzalnih sila - primeri Primer 1a: područje τ r < τ n < 3 τ r Primer 1b/1: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Primer 1b/2: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r 2 Proračun preseka za granične uticaje M T Proračun armature za prijem M T 3 Nominalni smičući napon i granice Primer analize uticaja M T Primer analize uticaja T i M T

Granični uticaji transverzalnih sila Primer 1a: područje τ r < τ n < 3 τ r Primer 1b/1: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Primer 1b/2: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Savijanje grede silama - primer 1 Odrediti potrebnu površinu armature za prijem glavnih napona zatezanja za pravougaoni presek dimenzija b/h/d = 40/90/97cm, sa kvalitetom materijala MB 40 i RA 400/500. Presek ja armiran podužnom armaturom usled normalnih napona (momenti savijanja): A a1 : 7RΦ32 U preseku deluju transverzalne sile T g i T p : (a) T g = 150 kn, T p = 180 kn, koje su istog znaka na dužini nosača l 01 = 2.05m (b) T g = 350 kn, T p = 400 kn, koje su istog znaka na dužini nosača l 01 = 3.95m

Granični uticaji transverzalnih sila Primer 1a: područje τ r < τ n < 3 τ r Primer 1b/1: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Primer 1b/2: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Savijanje grede silama - primer 1 Za usvojeni materijal betona i čelika i dati presek je: MB 40 f B = 25.5 MP a MB 40 τ r = 1.3 MP a τ r = 1.3 MP a 3τ r = 3.9 MP a 5τ r = 6.5 MP a RA 400/500 σ v = 400 MP a h = 90 cm z = 0.9 h = 81 cm

Granični uticaji transverzalnih sila Primer 1a: područje τ r < τ n < 3 τ r Primer 1b/1: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Primer 1b/2: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Savijanje grede silama - primer 1a Slučaj (a): transverzalne sile su T g = 150 kn, T p = 180 kn, na dužini l 01 = 2.05m Granična transverzalna sila T u = 1.6 T g + 1.8 T p = 564 kn Merodavna transverzalna sila: T mu = T u = 564 kn Nominalni smičući napon: τ n = T mu b z = 0.564 = 1.741 MPa 0.40 0.81 Područje smičućih napona: τ r < τ n < 3 τ r

Granični uticaji transverzalnih sila Primer 1a: područje τ r < τ n < 3 τ r Primer 1b/1: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Primer 1b/2: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Savijanje grede silama - primer 1a Transverzalna sila koju prima betonski presek: T bu = 1 2 (3 τ r τ n ) b z = 349.8kN Transverzalna sila koju prima armatura: T Ru = T mu T bu = 564.0 349.8 = 214.2 kn Smičući napon koji prima armatura τ Ru = T Ru b z = 0.2142 = 0.661 MPa 0.40 0.81

Granični uticaji transverzalnih sila Primer 1a: područje τ r < τ n < 3 τ r Primer 1b/1: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Primer 1b/2: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Savijanje grede silama - primer 1a Dužina osiguranja glavnih napona zatezanja ( λ = l 01 1 τ ) r = 2.05 (1 1.3 τ n 1.741 ) = 0.519 m Proračun uzengija: α u = 90 Bira se ugao nagiba pritisnutih dijagonala θ, sečnost uzengija i prečnik uzengija: θ = 45 m = 2 URΦ8 a (1) au = 0.5 cm 2 µ u,min = 0.2%

Granični uticaji transverzalnih sila Primer 1a: područje τ r < τ n < 3 τ r Primer 1b/1: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Primer 1b/2: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Savijanje grede silama - primer 1a Rastojanje uzengija: e u1 = m a(1) au b σv cot θ τ Ru e u1 = 15.126 cm e u2 = m a(1) au b µ u,min e u2 = 12.5 cm e u = min(e u1, e u2 ) = 12.5 cm Najveće dozvoljeno rastojanje uzengija: e u,max = min ( h 2, b, 25 cm ) = 25 cm

Granični uticaji transverzalnih sila Primer 1a: područje τ r < τ n < 3 τ r Primer 1b/1: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Primer 1b/2: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Savijanje grede silama - primer 1a Usvojene uzengije: m = 2, U RΦ8/12.5cm Stvarni procenat armiranja uzengijama: µ u = m a(1) au b e u = 2 10 3 = 0.2% µ u = µ u,min Stvarni smičući napon u uzengijama: τ Ru,u = µ u σ v cot θ = 0.80 MPa > τ Ru = 0.661 MPa Dodatna podužna armatura: A a1 = T mu 2 σ v cot θ = 7.05 cm 2 usv. 2RΦ22 (7.60 cm 2 )

Granični uticaji transverzalnih sila Primer 1a: područje τ r < τ n < 3 τ r Primer 1b/1: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Primer 1b/2: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Savijanje grede silama - primer 1a Usvojene uzengije i dodatna podužna armatura

Granični uticaji transverzalnih sila Primer 1a: područje τ r < τ n < 3 τ r Primer 1b/1: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Primer 1b/2: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Savijanje grede silama - primer 1 Odrediti potrebnu površinu armature za prijem glavnih napona zatezanja za pravougaoni presek dimenzija b/h/d = 40/90/97cm, sa kvalitetom materijala MB 40 i RA 400/500. Presek ja armiran podužnom armaturom usled normalnih napona (momenti savijanja): A a1 : 7RΦ32 U preseku deluju transverzalne sile T g i T p : (a) T g = 150 kn, T p = 180 kn, koje su istog znaka na dužini nosača l 01 = 2.05m (b) T g = 350 kn, T p = 400 kn, koje su istog znaka na dužini nosača l 01 = 3.95m

Granični uticaji transverzalnih sila Primer 1a: područje τ r < τ n < 3 τ r Primer 1b/1: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Primer 1b/2: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Savijanje grede silama - primer 1 Za usvojeni materijal betona i čelika i dati presek je: MB 40 f B = 25.5 MP a MB 40 τ r = 1.3 MP a τ r = 1.3 MP a 3τ r = 3.9 MP a 5τ r = 6.5 MP a RA 400/500 σ v = 400 MP a h = 90 cm z = 0.9 h = 81 cm

Granični uticaji transverzalnih sila Primer 1a: područje τ r < τ n < 3 τ r Primer 1b/1: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Primer 1b/2: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Savijanje grede silama - primer 1b Slučaj (b): transverzalne sile su T g = 350 kn, T p = 400 kn, na dužini l 01 = 3.95m Granična transverzalna sila T u = 1.6 T g + 1.8 T p = 1280 kn Merodavna transverzalna sila: T mu = T u = 1280 kn Nominalni smičući napon: τ n = T mu b z = 1.280 = 3.951 MPa 0.40 0.81 Područje smičućih napona: 3 τ r < τ n < 5 τ r

Granični uticaji transverzalnih sila Primer 1a: područje τ r < τ n < 3 τ r Primer 1b/1: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Primer 1b/2: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Savijanje grede silama - primer 1b Transverzalna sila koju prima betonski presek: T bu = 0 Transverzalna sila koju prima armatura: T Ru = T mu = 1280 kn Smičući napon koji prima armatura τ Ru = T Ru b z = 1.280 = 3.951 MPa 0.40 0.81

Granični uticaji transverzalnih sila Primer 1a: područje τ r < τ n < 3 τ r Primer 1b/1: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Primer 1b/2: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Savijanje grede silama - primer 1b Dužina osiguranja glavnih napona zatezanja ( λ = l 01 1 τ ) r = 3.95 (1 1.3 τ n 3.951 ) = 2.65 m Proračun uzengija: α u = 90 Bira se ugao nagiba pritisnutih dijagonala θ, sečnost uzengija i prečnik uzengija: θ = 45 m = 2 URΦ10 a (1) au = 0.79 cm 2 µ u,min = 0.2%

Granični uticaji transverzalnih sila Primer 1a: područje τ r < τ n < 3 τ r Primer 1b/1: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Primer 1b/2: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Savijanje grede silama - primer 1b Rastojanje uzengija: e u1 = m a(1) au b σv cot θ τ Ru e u1 = 3.999 cm e u2 = m a(1) au b µ u,min e u2 = 19.75 cm Smičući naponi u preseku su suviše veliki da bi mogli da se prihvate samo dvosečnim uzengijama U RΦ10, jer je e u1 = 4cm < e u,min = 7.5cm

Granični uticaji transverzalnih sila Primer 1a: područje τ r < τ n < 3 τ r Primer 1b/1: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Primer 1b/2: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Savijanje grede silama - primer 1b Moguće su dve varijante rešenja: 1 usvajanje četvorosečnih uzengija 2 prihvatanje dela smicanja koso povijenom podužnom armaturom Varijanta (b1) sa četvorosečnim uzengijama Proračun uzengija: α u = 90 θ = 45 m = 4 URΦ10 a (1) au = 0.79 cm 2 µ u,min = 0.2%

Granični uticaji transverzalnih sila Primer 1a: područje τ r < τ n < 3 τ r Primer 1b/1: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Primer 1b/2: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Savijanje grede silama - primer 1b Rastojanje uzengija: e u1 = m a(1) au b σv cot θ τ Ru e u1 = 7.999 cm e u2 = m a(1) au b µ u,min e u2 = 39.5 cm e u = min(e u1, e u2 ) = 7.999 cm usvojeno: e u = 7.5 cm Najveće dozvoljeno rastojanje uzengija: e u,max = min ( h 2, b, 25 cm ) = 25 cm

Granični uticaji transverzalnih sila Primer 1a: područje τ r < τ n < 3 τ r Primer 1b/1: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Primer 1b/2: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Savijanje grede silama - primer 1b Usvojene uzengije: m = 4, U RΦ10/7.5cm Stvarni procenat armiranja uzengijama: µ u = m a(1) au b e u = 1.053% µ u > µ u,min Stvarni smičući napon u uzengijama: τ Ru,u = µ u σ v cot θ = 4.213 MPa > τ Ru = 3.951 MPa Dodatna podužna armatura: A a1 = T mu 2 σ v cot θ = 16.0 cm 2 usv. 2RΦ32 (16.09 cm 2 )

Granični uticaji transverzalnih sila Primer 1a: područje τ r < τ n < 3 τ r Primer 1b/1: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Primer 1b/2: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Savijanje grede silama - primer 1b/1 Usvojene uzengije i dodatna podužna armatura

Granični uticaji transverzalnih sila Primer 1a: područje τ r < τ n < 3 τ r Primer 1b/1: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Primer 1b/2: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Savijanje grede silama - primer 1b/2 Varijanta (b2): dvosečn uzengije i koo povijana armatura Ukupna horizontalna sila veze: H vu = τ Ru λ 2 Proračun uzengija: α u = 90 b = 2093.988 kn θ = 45 m = 2 URΦ10 a (1) au = 0.79 cm 2 µ u,min = 0.2%

Granični uticaji transverzalnih sila Primer 1a: područje τ r < τ n < 3 τ r Primer 1b/1: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Primer 1b/2: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Savijanje grede silama - primer 1b/2 Rastojanje uzengija: e u1 = m a(1) au b σv cot θ τ Ru e u1 = 3.999 cm e u2 = m a(1) au b µ u,min e u2 = 19.75 cm Usvojeno rastojanje uzengija: e u = 10 cm Usvojene uzengije: m = 2, U RΦ10/10cm

Granični uticaji transverzalnih sila Primer 1a: područje τ r < τ n < 3 τ r Primer 1b/1: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Primer 1b/2: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Savijanje grede silama - primer 1b/2 Stvarni procenat armiranja uzengijama: µ u = m a(1) au b e u = 0.395% µ u > µ u,min Stvarni smičući napon u uzengijama: τ Ru,u = µ u σ v cot θ = 1.58 MPa Horizontalna sila veze u uzengijama: H vu,u = τ Ru,u λ 2 b = 837.464 kn

Granični uticaji transverzalnih sila Primer 1a: područje τ r < τ n < 3 τ r Primer 1b/1: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Primer 1b/2: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Savijanje grede silama - primer 1b/2 Proračun koso povijene armature: α k = 45 Horizontalna sila veze u koso povijenoj armaturi: H vu,k = H vu H vu,u = 2093.988 837.464 = 1256.523 kn Dužina osiguranja kosom armaturom: ( λ k = λ 1 τ ) Ru,u = 1.59 m τ Ru

Granični uticaji transverzalnih sila Primer 1a: područje τ r < τ n < 3 τ r Primer 1b/1: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Primer 1b/2: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Savijanje grede silama - primer 1b/2 Potrebna površina kose armature: A ak = H vu,k = 22.212 cm2 σ v (cos α k + sin α k cot θ) Može da se povija samo već postojeća podužna armatura (u ovom slučaju 7RΦ32) Usvojeno: 3RΦ32 (A ak,stv = 24.13 cm 2 ) Dodatna podužna armatura: A a1 = T mu 2 σ v cot θ = 16.0 cm 2 usv. 2RΦ32 (16.09 cm 2 )

Granični uticaji transverzalnih sila Primer 1a: područje τ r < τ n < 3 τ r Primer 1b/1: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Primer 1b/2: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Savijanje grede silama - primer 1b/2 Usvojene uzengije, koso povijena armatura i dodatna podužna armatura

Sadržaj Granični uticaji transverzalnih sila - primeri Proračun preseka za granične uticaje M T Proračun armature za prijem M T 1 Granični uticaji transverzalnih sila - primeri Primer 1a: područje τ r < τ n < 3 τ r Primer 1b/1: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Primer 1b/2: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r 2 Proračun preseka za granične uticaje M T Proračun armature za prijem M T 3 Nominalni smičući napon i granice Primer analize uticaja M T Primer analize uticaja T i M T

Proračun preseka za granične uticaje M T Proračun armature za prijem M T Greda izložena uravnoteženim momentima torzije na krajevima

Proračun preseka za granične uticaje M T Proračun armature za prijem M T Ako je z osa štapa, a x i y glavne centralne ose inercije poprečnog preseka, uz pretpostavku da su zapreminske sile = 0 i da su samo komponentalni naponi τ zx i τ zy 0, Navier-ove jednačine ravnoteže i uslovi kompatibilnosti deformacija su zadovoljeni ako važi 2 ϕ x 2 + 2 ϕ = ϕ = H = const y2 Sa ϕ = ϕ(x, y) označena je funkcija napona pri torziji, pri čemu su smičući napon dati sa τ zx = ϕ y τ zy = ϕ x

Proračun preseka za granične uticaje M T Proračun armature za prijem M T Ravno stanje napona - čisto smicanje

Proračun preseka za granične uticaje M T Proračun armature za prijem M T Mohr-ov krug napona pri torziji

Proračun preseka za granične uticaje M T Proračun armature za prijem M T Raspodela smičućih napona u poprečnom preseku pri torziji

Proračun preseka za granične uticaje M T Proračun armature za prijem M T Torzija grede pravougaonog poprečnog preseka

Proračun preseka za granične uticaje M T Proračun armature za prijem M T pravougaonog preseka Najveći smičući naponi su na sredinama stranica pravougaonog preseka dimenzija a b (pri čemu je a b) Najveći napon na sredini duže stranice je označen sa τ max, a na sredini kraće stranice sa τ 1 Naponi τ max i τ 1 dati su sa τ max = M t W t τ 1 = γ τ max gde je - W t... otporni momenat pri torziji, dat sa W t = β a 3 Koeficijenti β i γ se numerički određuju

Proračun preseka za granične uticaje M T Proračun armature za prijem M T pravougaonog preseka Koeficijenti β i γ se numerički određuju Za neke vrednosti odnosa stranica b/a koeficijenti β i γ dati su sa: b/a 1.0 1.5 2.0 3.0 4.0 β 0.208 0.346 0.493 0.801 1.150 γ 1.000 0.859 0.795 0.753 0.745

Proračun preseka za granične uticaje M T Proračun armature za prijem M T Torzija kod prostornih linijskih nosača

Proračun preseka za granične uticaje M T Proračun armature za prijem M T Granični momenti torzije Granični momenat torzije M T u je kombinacija torzionih momenata za stalno, promenljivo i naročito opterećenje: M T u = γ ui M T i (koeficijenti γ ui su minimalni: 1.6, 1.8,... ) Usled uticaja torzije u nosaču se javlja ravno stanje napona i nastali smičući naponi generišu glavne napone zatezanja Analiza uticaja torzije ima sličnosti sa analizom uticaja transverzalnih sila Nosač u stanju granične nosivosti usled uticaja torzije može da se posmatra kao ekvivalentna prostorna rešetka

Proračun preseka za granične uticaje M T Proračun armature za prijem M T Nosač napregnut torzijom u stanju granične nosivosti

Proračun preseka za granične uticaje M T Proračun armature za prijem M T Granični momenti torzije U zamišljenoj prostornoj rešetki zategnute pojasne štapove i vertikale čini armatura, a pritisnute dijagonale čine pritisnuti betonski štapovi između kosih prslina Lom AB grede pri delovanju graničnih momenata torzije može da nastupi po armaturi, dostizanjem granice razvlačenja čelika (σ a = σ v i σ b < f B ) po betonu, kada je σ b = f B i σ a < σ v

Proračun preseka za granične uticaje M T Proračun armature za prijem M T Granični momenti torzije Usled delovanja čiste torzije, prsline koje se javljaju u Fazi II pružaju se koso i po čitavom obimu preseka, pod uglom od 45 u odnosu na osu nosača Smičući naponi usled trozije se (linearno) povećavaju od ose nosača ka obimu preseka Eksperimentima je utvrđeno da je granična torziona nosivost punih preseka neznatno veća od nosivosti šupljih preseka istih spoljašnjih dimenzija

Proračun preseka za granične uticaje M T Proračun armature za prijem M T Raspodela smičućih napona u preseku usled torzije

Proračun preseka za granične uticaje M T Proračun armature za prijem M T Granični momenti torzije Drugim rečima, u oblasti loma učešće u nosivosti graničnog momenta trozije ima dominantno samo periferni sloj betona relativno male debljine Zbog toga se, u proračunu uticaja torzije pun presek može da aproksimira šupljim, odn. sandučastim presekom istih spoljašnjih dimenzija Dimenzionisanje preseka se vrši na osnovu veličine nominalnog smičućeg napona τ n(mt )

Proračun preseka za granične uticaje M T Proračun armature za prijem M T Granični momenti torzije Nominalni smičući napon τ n(mt ) određuje se iz uslova ravnoteže momenata torzije: M T u δ 0 τ n(mt ) r ds = 0 s Uz pretpostavku da su smičući naponi τ n(mt ) ravnomerno raspoređeni po debljini zida ekvivalentnog sandučastog preseka, dobija se nominalni smičući napon usled torzije u obliku: τ n(mt ) = M T u 2 A b0 δ 0 (1)

Proračun preseka za granične uticaje M T Proračun armature za prijem M T Granični momenti torzije U izrazu (1) uvedene su oznake: - A b0... površina ograničena podužnom torzionom armaturom - δ 0... debljina zida ekvivalentnog tankozidnog profila Veličina debljine zida ekvivalentnog sandučastog preseka δ 0, prema PBAB 87, određuje se kao: δ 0 d m 6 gde je veličina d m data na sledećoj slici, a za šuplje preseke je δ 0 jednako debljini zida

Proračun preseka za granične uticaje M T Proračun armature za prijem M T Određivanje geometrijskih karakteristika u proračunu smičućih napona

Proračun preseka za granične uticaje M T Proračun armature za prijem M T Granični momenti torzije Kao i kod osiguranja od glavnih napona zatezanja usled delovanja graničnih transverzalnih sila, tako se i usled uticaja torzije osiguranje vrši kada je τ n(mt ) > τ r Računska čvrstoća pri smicanju u funkciji marke betona je ista i za transverzalne sile i za momente torzije: MB 15 20 30 40 50 60 τ r [MPa] 0.6 0.8 1.1 1.3 1.5 1.6 Ukoliko je τ n(mt ) τ r ne proračunava se posebna armatura za prihvatanje uticaja od torzije

Proračun preseka za granične uticaje M T Proračun armature za prijem M T Granični momenti torzije Podrazumeva se da je nosač armiran konstruktivnom armaturom u podužnom i poprečnom pravcu Ukoliko je τ r < τ n(mt ) 3 τ r vrši se redukcija momenta torzije: M T Ru = M T u M T bu gde je (slično kao i kod redukcije transverzalnih sila), momenat torzije koji prima beton dat sa M T bu = 1 2 [3 τ r τ n(mt )] 2 A b0 δ 0 = [3 τ r τ n(mt )] A b0 δ 0

Proračun preseka za granične uticaje M T Proračun armature za prijem M T Granični momenti torzije Potrebna površina poprečne armature (uzengija) izračunava sa na osnovu dobijene vrednosti redukovanog momenta torzije M T Ru Ukoliko se nominalni smičući napon usled graničnog momenta torzije nalazi u granicama 3 τ r < τ n(mt ) 5 τ r ne vrši se redukcija momenta torzije Zbog pojave prslina većih širina, nosivost betona se isključuje, M T bu = 0, pa sve uticaje prima armatura M T Ru = M T u Kao i kod uticaja transverzalnih sila, ne dozvoljava se oblast τ n(mt ) > 5 τ r

Proračun preseka za granične uticaje M T Proračun armature za prijem M T Granični momenti torzije Posle pojave kosih prslina u nosaču usled torzije, sila pritiska D b u kosim štapovima (zamišljene) rešetke prihvata se uzengijama i podužnom armaturom Uzengije za prijem glavnih napona zatezanja usled torzije (torzione uzengije) uvek se preklapaju po kraćoj strani preseka (zbog raspodele smičućih napona po obimu preseka usled torzije) Potrebna površina torzionih uzengija i podužne armature raspoređene po obimu preseka, određuju se iz uslova ravnoteže

Proračun preseka za granične uticaje M T Proračun armature za prijem M T Proračun armature za prijem M T Ne ulazeći u detalje izvođenja, potrebna površina uzengija određuje se iz izraza a (1) au = M T Ru 2 A b0 σ v e u tan θ (2) dok je potrebna ukupna površina podužne armature data sa A ap = M T u 2 A b0 σ v O b0 cot θ (3)

Proračun preseka za granične uticaje M T Proračun armature za prijem M T Proračun armature za prijem M T U izrazima (2) i (3) uvedene su oznake - A b0... površina ograničena podužnom torzionom armaturom - O b0... obim srednje linije ekvivalentnog tankozidnog preseka (odn. obim površine A b0 ) - θ... ugao nagiba pritisnutih dijagonala prostorne rešetke θ [25 55 ] Površina podužne armature ne određuje se sa redukovanim momentom torzije, već sa ukupnim M T u, imajući u vidu da je ova armatura dodatno napregnuta usled uticaja skupljanja betona i temperaturnih promena

Proračun preseka za granične uticaje M T Proračun armature za prijem M T Proračun armature za prijem M T Maksimalno rastojanje uzengija usled uticaja torzije dato je sa e u,max = min { dm2 25 cm Minimalna površina preseka jedne šipke uzengije je data sa a (1) au,min = τ r δ 0 e u 2 σ v

Proračun preseka za granične uticaje M T Proračun armature za prijem M T Postupak proračuna uticaja torzije 1 Odredi se granični momenat torzije M T u (sa minimalnim parcijalnim koeficijentima sigurnosti, kao za ε a 3 ) M T u = γ ui M T i 2 Odrede se geometrijske karakteristike (pravougaonog) preseka (d > b) a = a 0 + Φ u + Φ 2 0.10 d d m = b 2 a δ 0 = d m 8 A b0 = d m (d 2 a) O b0 = 2 d m + 2 (d 2 a)

Proračun preseka za granične uticaje M T Proračun armature za prijem M T Postupak proračuna uticaja torzije 3 Odredi se nominalni smičući napon: τ n(mt ) = M T u 2 A b0 δ 0 4 Odredi se uslov (oblast) granične nosivosti pri smicanju: (a) τ n(mt ) τ r M T bu = M T u ; M T Ru = 0 (b) τ r < τ n(mt ) 3 τ r M T bu = (3τ r τ n(mt )) A b0 δ 0 (c) 3 τ r < τ n(mt ) 5 τ r M T bu = 0; M T Ru = M T u U slučaju (b) je M T Ru = M T u M T bu Armatura se određuje za delovanje M T Ru

Proračun preseka za granične uticaje M T Proračun armature za prijem M T Postupak proračuna uticaja torzije 5 Bira se neki od uobičajenih prečnika uzengija: UΦ8, 10, 12 (poznata površina šipke a (1) au ) i bira se ugao pritisnutih dijagonala θ u granicama θ [35 45 ] 6 Rastojanje uzengija je dato sa e u = 2 A b0 σ v cot θ a (1) au d m M T Ru 2 25 cm

Proračun preseka za granične uticaje M T Proračun armature za prijem M T Postupak proračuna uticaja torzije 7 Ukupna površina podužne armature data je sa A ap = M T u 2 A b0 σ v O b0 cot θ 8 Posle usvajanja podužne armature (i uzengija) proverava se stvarno rastojanje a stv i upoređuje sa pretpostvljenim iznosom U slučaju većeg odstupanja, postupak se ponavlja

Sadržaj Granični uticaji transverzalnih sila - primeri Nominalni smičući napon i granice Primer analize uticaja M T Primer analize uticaja T i M T 1 Granični uticaji transverzalnih sila - primeri Primer 1a: područje τ r < τ n < 3 τ r Primer 1b/1: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r Primer 1b/2: područje 3 τ r < τ n < 5 τ r 2 Proračun preseka za granične uticaje M T Proračun armature za prijem M T 3 Nominalni smičući napon i granice Primer analize uticaja M T Primer analize uticaja T i M T

Nominalni smičući napon i granice Primer analize uticaja M T Primer analize uticaja T i M T Granični uticaji usled T i M T Istovtremeno delovanje T i M T U slučaju simultanog delovanja transverzalnih sila i momenata torzije, vrši se sabiranje nominalnih napona Ukupni nominalni smičući napon τ n dat je sa τ n = τ n(t ) + τ n(mt ) Kada je nominalni smičući napon τ n 3 τ r, redukcija T i M T vrši se na sledeći način: T bu = 1 2 τ n(t ) τ n [3 τ r τ n ] b z T Ru = T mu T bu M T bu = τ n(m T ) τ n 3 τ r τ n ] A b0 δ 0 M T Ru = M T u M T bu

Nominalni smičući napon i granice Primer analize uticaja M T Primer analize uticaja T i M T Granični uticaji usled T i M T Istovtremeno delovanje T i M T Čak i u slučaju kada pojedinačni smičući naponi od transverzalne sile ili od momenta torzije ne prelaze granicu τ r, potrebno je da se predvide uzengije za uticaje transverzalnih sila, jer zbirni smičući napon prekoračuje računsku čvrstoću pri smicanju U slučaju istovremenog delovanja momenata savijanja i momenata torzije posebno kod sandučastih preseka, potreno je da se proveri glavni napon pritiska u pritisnutoj zoni betona

Nominalni smičući napon i granice Primer analize uticaja M T Primer analize uticaja T i M T Granični uticaji usled T i M T Istovtremeno delovanje T i M T Glavni napon pritiska u pritisnutoj zoni preseka određuje se iz - smičućeg napona usled momenta torzije M T u τ n(mt ) = 2 A b0 δ 0 - srednjeg normalnog napona u pritisnutoj zoni, koji je približno dat sa σ xu = M u z b δ 0 Veličina M u je granični momenat savijanja u preseku u kome se vrši kontrola glavnog napona pritiska i u kome deluje i granični momenat torzije M T u

Nominalni smičući napon i granice Primer analize uticaja M T Primer analize uticaja T i M T Granični uticaji usled T i M T Istovtremeno delovanje T i M T Sa b je označena širina preseka u pritisnutoj zoni, dok je z krak unutrašnjih sila, približno dat sa z d a δ 0 2 Imajući u vidu ravno stanje napona, glavni napon pritiska dat je izrazom: σ 1 = σ xu σ 2 + 2 xu 4 + τ n(m 2 T ) 0.6 f bk gde je f bk marka betona (čvrstoća kocke) Proverom glavnog napona pritiska u pritisnutoj zoni betona izbegava se pojava krtog loma u betonu

Nominalni smičući napon i granice Primer analize uticaja M T Primer analize uticaja T i M T Uticaj momenta torzije - primer 2 Odrediti potrebnu površinu armature za prijem glavnih napona zatezanja za pravougaoni presek dimenzija b/d = 48/60cm, sa kvalitetom materijala MB 30 i GA 240/360. U preseku deluju dve kombinacije graničnih momenata torzije M T u : (a) M T u = 48 knm (b) M T u = 76.5 knm

Nominalni smičući napon i granice Primer analize uticaja M T Primer analize uticaja T i M T Granični uticaji transverzalnih sila Geometrijske karakterisitke - primer 2 Ulazni podaci za usvojeni materijal betona i čelika i dati presek su: b = 48 cm d = 60 cm a = 4 cm MB 30 τ r = 1.1 MP a GA 240/360 σ v = 240 MP a Najkraće rastojanje šipki podužne armature (b/d=48/60) d m = b 2 a = 40 cm

Nominalni smičući napon i granice Primer analize uticaja M T Primer analize uticaja T i M T Granični uticaji transverzalnih sila Geometrijske karakterisitke - primer 2 Debljina ekvivalentnog tankozidnog preseka: δ 0 = d m 8 = 40 8 = 5 cm Površina A b0 ograničena podužnom armaturom i odgovarajući obim O b0 : b 1 = d m A b0 = b 1 d 1 = 2080 cm 2 d 1 = d 2a = 60 8 = 52 cm O b0 = 2 (b 1 + d 1 ) = 184 cm

Nominalni smičući napon i granice Primer analize uticaja M T Primer analize uticaja T i M T Granični uticaji transverzalnih sila Nominalni smičući napon - primer 2/a Slučaj (a): M T u = 48 knm Nominalni smičući napon: τ n(mt ) = M T u 2 A b0 δ 0 = 2.308 MPa τ r < τ n(mt ) < 3τ r Momenat torzije koji prima betoski presek: M T bu = (3 τ r τ n(mt )) A b0 δ 0 = 10.32 knm Momenat torzije koji rima armatura: M T Ru = M T u M T bu = 37.68kNm

Nominalni smičući napon i granice Primer analize uticaja M T Primer analize uticaja T i M T Granični uticaji transverzalnih sila Proračun uzengija - primer 2/a Bira se ugao nagiba pritisnutih dijagonala i prečnik uzengija: θ = 45 UΦ8 a (1) au = 0.50 cm 2 Rastojanje uzengija: e u = 2 A b0 σ v cot θ M T Ru a (1) au = 13.248 cm Najveće rastojanje uzengija: e u,max = min { dm2 25cm e u,max = 20 cm

Nominalni smičući napon i granice Primer analize uticaja M T Primer analize uticaja T i M T Granični uticaji transverzalnih sila Proračun uzengija - primer 2/a Usvojene uzengije U Φ8/12.5cm Proračun podužne armature: A ap = M T u 2 A b0 σ v O b0 cot θ = 8.846 cm 2 Usvojena podužna armatura: 6Φ12 + 2Φ14 (A ap,stv = 9.87 cm 2 )

Nominalni smičući napon i granice Primer analize uticaja M T Primer analize uticaja T i M T Armiranje preseka - Slučaj 2a

Nominalni smičući napon i granice Primer analize uticaja M T Primer analize uticaja T i M T Granični uticaji transverzalnih sila Nominalni smičući napon - primer 2/b Slučaj (b): M T u = 76.5 knm Nominalni smičući napon: τ n(mt ) = M T u 2 A b0 δ 0 = 3.678 MPa 3 τ r < τ n(mt ) < 5 τ r Momenat torzije koji prima betoski presek: M T bu = 0 Momenat torzije koji rima armatura: M T Ru = M T u = 76.5kNm

Nominalni smičući napon i granice Primer analize uticaja M T Primer analize uticaja T i M T Granični uticaji transverzalnih sila Proračun uzengija - primer 2/1 Bira se ugao nagiba pritisnutih dijagonala i prečnik uzengija: θ = 45 UΦ10 a (1) au = 0.79 cm 2 Rastojanje uzengija: e u = 2 A b0 σ v cot θ M T Ru a (1) au = 10.31 cm Najveće rastojanje uzengija: e u,max = min { dm2 25cm e u,max = 20 cm

Nominalni smičući napon i granice Primer analize uticaja M T Primer analize uticaja T i M T Granični uticaji transverzalnih sila Proračun uzengija - primer 2/1 Usvojene uzengije U Φ10/10cm Proračun podužne armature: A ap = M T u 2 A b0 σ v O b0 cot θ = 14.099 cm 2 Usvojena podužna armatura: 6Φ16 + 2Φ12 (A ap,stv = 14.32 cm 2 )

Nominalni smičući napon i granice Primer analize uticaja M T Primer analize uticaja T i M T Armiranje preseka - Slučaj 2b

Nominalni smičući napon i granice Primer analize uticaja M T Primer analize uticaja T i M T Granični uticaji T i M T Simultani uticaj T i M T - primer 3 Odrediti potrebnu površinu armature za prijem glavnih napona zatezanja za pravougaoni presek dimenzija b/d = 48/60cm, sa kvalitetom materijala MB 30 i GA 240/360. U preseku istovremeno deluju: (a) granični momenat torzije... M T u = 48 knm (b) granična transverzalna sila... T u = 165 kn

Nominalni smičući napon i granice Primer analize uticaja M T Primer analize uticaja T i M T Granični uticaji T i M T Geometrijske karakterisitke - primer 3 Ulazni podaci za usvojeni materijal betona i čelika, kao i dati presek su: b = 48 cm d = 60cm a = 4 cm h = d a h = 56 cm MB 30 τ r = 1.1 MPa GA 240/360 σ v = 240 MPa Krak unutrašnjih sila z = 0.9 h = 50.4 cm

Nominalni smičući napon i granice Primer analize uticaja M T Primer analize uticaja T i M T Granični uticaji transverzalnih sila Geometrijske karakterisitke - primer 3 Najkraće rastojanje šipki podužne armature (b/d=48/60) d m = b 2 a = 40 cm Debljina ekvivalentnog tankozidnog preseka: δ 0 = d m 8 = 40 8 = 5 cm

Nominalni smičući napon i granice Primer analize uticaja M T Primer analize uticaja T i M T Granični uticaji transverzalnih sila Geometrijske karakterisitke - primer 3 Površina A b0 ograničena podužnom armaturom i odgovarajući obim O b0 : b 1 = d m A b0 = b 1 d 1 = 2080 cm 2 d 1 = d 2a = 60 8 = 52 cm O b0 = 2 (b 1 + d 1 ) = 184 cm

Nominalni smičući napon i granice Primer analize uticaja M T Primer analize uticaja T i M T Granični uticaji transverzalnih sila Nominalni smičući napon - primer 3 Nominalni smičući napon: - usled torzije τ n(mt ) = - usled transverzalne sile M T u 2 A b0 δ 0 = 2.308 MPa τ n(t ) = T mu b z = 0.682MPa

Nominalni smičući napon i granice Primer analize uticaja M T Primer analize uticaja T i M T Granični uticaji transverzalnih sila Nominalni smičući napon - primer 3 Ukupan nominalni smičući napon (τ r = 1.1 MPa): τ n = τ n(mt ) + τ n(t ) = 2.308 + 0.682 = 2.99 MPa Oblast smičućih napona: τ r < τ n < 3 τ r

Nominalni smičući napon i granice Primer analize uticaja M T Primer analize uticaja T i M T Granični uticaji transverzalnih sila Redukcija uticaja - primer 3 Momenat torzije koji prima beton: M T bu = τ n(m T ) τ n Momenat torzije koji prima armatura: (3τ r τ n ) A b0 δ 0 = 2.491 knm M T Ru = M T u M T bu = 45.509kNm

Nominalni smičući napon i granice Primer analize uticaja M T Primer analize uticaja T i M T Granični uticaji transverzalnih sila Redukcija uticaja - primer 3 Transverzalna sila koju prima beton: T bu = τ n(t ) τ n (3τ r τ n ) b z = 8.562 kn Transverzalna sila koju prima armatura: T Ru = T mu T bu = 156.438 kn

Nominalni smičući napon i granice Primer analize uticaja M T Primer analize uticaja T i M T Granični uticaji transverzalnih sila Proračun uzengija - primer 3 Smičući napon od T Ru koji primaju uzengije: τ Ru,T = T Ru b z Proračun uzengija α u = 90 : = 0.647 MPa Bira se ugao θ, sečnost m i razmak uzengija e u : θ = 45 m = 2 e u = 10 cm Potrebna površina jedne šipke uzengije a (1) au = τ Ru,T b e u 2 σ v cot θ + M T Ru e u 2 A b0 σ v cot θ = 1.102 cm2

Nominalni smičući napon i granice Primer analize uticaja M T Primer analize uticaja T i M T Granični uticaji transverzalnih sila Proračun podužne armature - primer 3 Usvojeno: UΦ12/10 cm (A u,stv = 1.13 cm 2 ) Proračun podužne armature: - usled momenta torzije: A ap = M T u 2 A b0 σ v O b0 cot θ = 8.846 cm 2 - usvojeno 6Φ16 + 2Φ14... (A ap,stv = 9.87 cm 2 ) - usled transverzalne sile A a1 = T mu 2 σ v cot θ = 3.438 cm 2 - usvojeno: 3Φ12... ( A a1,stv = 3.39 cm 2 )

Nominalni smičući napon i granice Primer analize uticaja M T Primer analize uticaja T i M T Granični uticaji T i M T Armiranje preseka - Slučaj 3