GEMETRIJK VERVTNĆ U slučju kd se ishod nekog oi definiše slučjnim oložjem čke u nekoj oblsi, ri čemu je roizvoljni oložj čke u oj oblsi jednko moguć, korisimo geomerijsku verovnoću. ko, recimo, obeležimo d je dimenzij cele oblsi, dimenzij del e oblsi, čije se sve čke smrju ovoljnom z ishod dogđj, ond se verovnoć izrčunv: P=. Reč dimenzij smo nmerno svili od nvodnike jer i mogu redsvlji duži, ovršine, zremine id. U zdcim s geomerijskom verovnoćom je goovo neohodno ncri sliku, uočii koj dužin, ovršin ili zremin je nm ovoljn. Pžljivo čije zdk.... U kvdru je uisn krug. dredii verovnoću d slučjno izbrn čk u kvdru rid i krugu. Definišimo dogđj : slučjno izbrn čk je u krugu D skicirmo roblem: r=/ vde nm očigledno rebju ovršine. Površin kvdr srnice je =. Polurečnik uisnog krug je olovin srnice kvdr, je ovoljn ovršin π = r π = π = 4 dvde je π 4 π π P( ),785 4 4 www.memirnje.com
. redine srnic kvdr, srnice, sjnjem dju onovo kvdr. Tčk M je n slučjn nčin izbrn. dredii verovnoću d je izbrn čk M iz drugog ( mnjeg) kvdr. Definišimo dogđj : slučjno izbrn čk M je u mnjem kvdru D M ko je srnic većeg kvdr, ond dužinu srnice mnjeg kvdr možemo izrčuni rimenom Pigorine eoreme:. Jsno je d se oe rdi o ovršinm. je ovoljn ovršin mnjeg kvdr, dok je celokun ovršin, ovršin većeg kvdr: 4 P( ) = =. U du kocku uisn je lo. dredii verovnoću d slučjno izbrn čk rid i unuršnjosi loe. Dogđj : slučjno izbrn čk je u unuršnjosi loe U ovom rimeru ćemo rčuni odnos zremin. Ncrjmo sliku i nđimo vezu između olurečnik i dužine srnice kocke.
r=/ je zremin kocke ( ovoljn zremin) je zremin loe olurečnik, koj je uisn u kocku. 4 4 r π V π L P( ) = V K 4 π 8 π = 6,5 4. Duž dužine odeljen je n ri del. dredii verovnoću d se od dobijenih delov može konsruisi rougo. Izdelimo njre du duž n roizvoljne delove:, y, i --y. y --y bls u rvni čine sve čke čije koordine zdovoljvju jednkos: + y< N slici bi o bilo: www.memirnje.com
y +y= +y< d rzmišljmo kko d dobijemo ovršinu koj je nm ovoljn. Znmo d z srnice rougl mor d vži eorem d je zbir dve srnice rougl veći od reće srnice! rnice smo obeležili s, y, i --y, je dkle: + y > - - y odvde je + y> + (- - y) > y odvde je y + (- - y) > odvde je y< < Ncrjmo ove ri rve n nšoj slici i dobićemo ovršinu koj nm je ovoljn: y y< + y> +y= < 4
d možemo nći i rženu verovnoću: : od dobijenih delov se može konsruisi rougo P( ) 4 =, 5 4 5. Dve osobe zkzle su ssnk u oku jednog s, n nznčenom mesu, uz obvezu čeknj minu ( s). dredii verovnoću susre ko je dolzk svke od osob jednko moguć u roizvoljnom momenu nznčenog vremen. Pošo su osobe zkzle susre u oku jednog s, u rvni o možemo redsvii ko ovršinu kvdr srnice jedn. y s s = P kvdr znčimo ovko: - je renuk dolsk rve osobe y - je renuk dolsk druge osobe Kko je obvez čeknj min, o jes s, mor d vži: y i y Ncrrjmo ove dve rve i d vidimo koje oblsi zdovoljvju nejednčine: 5
y (,) (, ) (,) (, ) Površinu ćemo dobii kd od ovršine kvdr oduzmemo ovršine ov dv rvougl rouglić srnice 4 5 = Pkvdr Prougl = = = 9 9 : susre osob u oku s s obvezom čeknj min 5 9 5 P( ) =,56 9 6. Dv brod morju d signu u jedno iso risniše. Vreme dolsk obdv brod je nzvisno i jednko moguće u oku dn. Nći verovnoću d će jedn od brodov mori čeki n oslobđnje risniš, ko je vreme zdržvnj rvog brod jedn, drugog dv s. beležimo s : - vreme dolsk rvog brod y - vreme dolsk drugog brod Pošo u zdku kže d se rdi o celom dnu, o je 4 i y 4, odnosno, ovršin je ovršin kvdr s srnicm 4. 4 576 = P kvdr Iz odk d je vreme zdržvnj rvog brod jedn drugog dv s, dobijmo dve nejednčine: 6
y i y. Ncrjmo ove dve rve n slici i uočimo koje oblsi zdovoljvju nejednčine: y 4 8 zelen ovršin nm je ovoljn 5 9 6 y y 6 9 5 8 4 lično ko i u rehodnom zdku, ovršinu ćemo dobii kd od ovršine kvdr oduzmemo ovršine ov dv rvougl rougl, je: P( ) =, gde je : brod ček n oslobđnje risniš 7. dredii verovnoću d slučjno izbrn eiv kružnice bude već od srnice jednkosrničnog rougl koji je uisn u u kružnicu. ( ERTRNDV PRDK) : nsumice izbrn eiv je duž od srnice uisnog jednkosrničnog rougl vj roblem je zdo frncuski memičr errnd još dvne 889. godine i u memici se o njemu i zove errndov rdoks. Prdoks se ssoji u ome d se dobijju ri rzliči rešenj zdk, u zvisnosi od og kko je ovučen eiv. Posmrmo ri nčin ( nsumičnog ) ovlčenj eive: www.memirnje.com 7
I nčin ( fiksirn je jedn krjnj čk eive) N eriferiji krug roizvoljnog olurečnik r uočimo čku i kroz nju ovučemo eivu u nsumice izbrnom rvcu ( slik ). Uišemo u di krug jednkosrnični rougo čije je jedno eme čk. ojimo čku s cenrom krug ( može i d rodužimo d bude ceo rečnik ), ogledje sliku. r 6 o α slik slik slik slik 4 znčimo s α ugo koji eiv grdi s olurečnikom. ( slik ) d rzmišljmo: eiv će bii duž od srnice rougl ko rvi uglove s rečnikom do izvesi s obe srne ( slik 4), zključujemo d su nm ovoljni uglovi do Ugo α može d uzim sve vrednosi do 8, o jes do π. π Tržen verovnoć je : P( ) = = π II nčin ( ko je fiksirn rvc eive) 6, o jes do. kko o možemo 6 π =. Fiksirmo jedn rvc i ovučemo nsumice eivu krug rlelno fiksirnom rvcu. Uišemo u krug jednkosrničn rougo li ko d je jedn njegov srnic rleln s izbrnim rvcem ( slik.) r/ { r/ { r/ r/ r/ r/ rvc rvc rvc slik. slik. slik. Rsojnje srnice rougl od cenr dog krug je očigledno r. beležimo rsojnje eive do cenr s (slik.) d rzmišljmo: d bi eiv bil duž od srnice rougl, njeno rsojnje mor bii krće od r. Isu siuciju immo i ko okrenemo rougo (slik.), šo nm govori d rsojnje ide od do r. 8
Tržen verovnoć je u ovom slučju r P( ) r III nčin ( znmo oložj središ eive) Izberemo u krugu jednu čku i kroz nju ovučemo eivu koj će bii reolovljen om čkom( slik.) slik. slik. slik. Uišemo jednkosrničn rougo d srnic bude rleln s eivom( slik.) d rzmišljmo: eiv će imi veću dužinu od srnice jednkosrničnog rougl ko i smo ko njeno središe leži unur krug koji je uisn u j jednkosrnični rougo! ( slik.) Polurečnik ovko uisnog krug ( sivog) je r ovršin r r π π = 4 Tržen verovnoć je u ovom slučju r π 4 P( ) = r π = 4 Ko šo vidimo, u sv ri slučj smo dobili rzličie verovnoće, šo redsvlj rdoks. bjšnjenje z ovj rdoks leži u činjenici d zdk ( roblem ) nije recizno formulisn! vde se usvri rdi o ri rzliči zdk, u zvisnosi od og š odrzumevmo od ojmom roizvoljne eive. Zo mi slno onvljmo d zdke iz verovnoće reb žljivo čii i olko roučvi uz odgovrjuću skicu roblem www.memirnje.com 9