Symbolická logika. Stanislav Krajči. Prírodovedecká fakulta

Symbolická logika Stanislav Krajči Prírodovedecká fakulta UPJŠ Košice 2008

Názov diela: Symbolická logika Autor: Doc. RNDr. Stanislav Krajči, PhD. Vydala: c UPJŠ Košice, 2008 Recenzovali: Doc. RNDr. Miroslav Repický, CSc., RNDr. Jozef Pócs, PhD. ISBN: 978-80-7097-707-1 Rozsah: 293 strán Umiestnenie: http://ics.upjs.sk/~krajci/skola/vyucba/ucebnetexty/logika.pdf Dostupné od: 14. 7. 2008 Formát: pdf

En arqh hn o logoc kai o logoc hn proc ton jeon, kai jeoc hn o logoc. (kata Iwannhn 1,1) (... ) to gar gramma apoktennei, to de pneuma zwopoiei. (proc Korinjiouc B' 3,6) kai gnwsesje thn alhjeian, kai h alhjeia eleujerwsei umac (kata Iwannhn 8,32)

Predslov Vážení čitatelia. Predkladaný učebný text je písomným podkladom k rovnomennému predmetu vyučovanému na Prírodovedeckej fakulte UPJŠ v Košiciach, no je koncipovaný tak, že môže existovat úplne samostatne a nevyžaduje žiadne špeciálne vedomosti okrem základných matematických pojmov. Je členený na tri kapitoly: V prvej, ktorá je inšpirovaná úvodnou čast ou knihy M. Goldsterna a H. Judaha The Incompleteness Phenomenon (A K Peters, 1995), sa zaoberá tzv. induktívnymi štruktúrami, ktoré sa potom v mnohých rôznych podobách vyskytujú v d alších častiach textu. Ďalšie dve kapitoly sledujú pražskú školu logiky (naznačenú napr. v knihe J. Kolářa, O. Štěpánkovej a M. Chytila ogika, algebry a grafy (SNT a Alfa, 1989) alebo v prednáške P. Vojtáša) a týkajú sa základných pojmov výrokového a predikátového počtu. Netradičným je tu použitie viacerých dátových typov (v súlade s potrebami informatiky), za pridanú hodnotu možno považovat aj vyjasnenie používania symbolov pre netotálne funkcie. Snahou tohto textu je dôkladne rozpracovat všetky konštrukcie elementárnej logiky do najmenších detailov, aby nemohli vzniknút ani najmenšie pochybnosti o ich správnosti. Aj tak sa však nad všetkým vznáša hrozba paradoxu typu vajce vs. sliepka, ked logika je vysvetl ovaná prostredníctvom základných pojmov teórie množín, ktorá je však špeciálnym prípadom teórie jazyka logiky... Takémuto miešaniu úrovní jazyka a metajazyka sme sa pokúsili zabránit použitím rôznych farieb: Konkrétne znaky skúmaného jazyka logiky sú dôsledne označované tučným červeným písmom, kým na metajazyk, ktorým tento jazyk popisujeme, používame štandardnú čiernu farbu. Tvárime sa teda, že svety jazyka a metajazyka sú úplne odlišné: kým v metajazyku máme matematické pojmy vybudované (a nezaujíma nás, kedy a ako sa tak stalo), v jazyku ich len budujeme. Že sú nakoniec takýmto skúmaním jazyka nájdené pravidlá platné aj pre metajazyk, chápeme len ako akýsi bonus. Ak chceme byt dôslední, výraznej formálnosti sa v podstate nedá vyhnút (isteže, ved ide o formálnu logiku). Napriek tomu sa však snažíme takmer každú definíciu ilustrovat na konkrétnom príklade, prípadne pridáme komentár, ktorý veci niekedy možno trochu znepresňuje, ale azda prispieva k ich lepšiemu pochopeniu. V texte sa vyskytuje niekol ko typov odsekov označených pri ich l avom hornom rohu obvykle jednou z týchto značiek: D definícia, V veta (vždy s číslom a niekedy aj s názvom; vety sú číslované od 1 v rámci podkapitoly), S sublema (pomocné tvrdenie výlučne v rámci vety, často aj s číslom alebo iným označením; ak je sublem vo vete viac než jedna, sú číslované v rámci vety vždy od 1), Ô dôkaz príslušného tvrdenia: Ô dôkaz časti zl ava doprava (ak má dokazované tvrdenie formu ekvivalencie), Ô dôkaz časti sprava dol ava (ak má dokazované tvrdenie formu ekvivalencie), Ô dôkaz, že množina na l avej strane je podmnožinou množiny na strane pravej (ak má dokazované tvrdenie formu rovnosti dvoch množín), Ô dôkaz, že množina na pravej strane je podmnožinou množiny na strane l avej (ak má dokazované tvrdenie formu rovnosti dvoch množín),

1 prvý indukčný krok (občas osobitne členený (napr. na 1a a 1b) v súlade s členením príslušnej induktívnej štruktúry), 2 druhý indukčný krok (často osobitne členený (napr. na 2a, 2b a 2c) v súlade s členením príslušnej induktívnej štruktúry), P poznámka, ilustračný príklad, položka zoznamu. Na tvrdenia sa často odvolávame, a to takýmto spôsobom: Ak sme práve v podkapitole s označením x.y (uvedeným spravidla v záhlaví strany), máme tieto možnosti: Vz znamená odkaz na vetu s číslom z v tej istej podkapitole x.y. Vw.z znamená odkaz na vetu s číslom z v podkapitole x.w (teda v rámci tej istej kapitoly x, ale inej jej podkapitoly). Vv.w.z znamená odkaz na vetu s číslom z v podkapitole v.w (teda v rámci inej kapitoly). Sx znamená odkaz na sublemu s číslom x (ak nie je uvedené inak) v rámci príslušnej vety. Ak má tvrdenie viac častí, občas sa v niektorej z nich odvolávame na niektorú inú (avšak už dokázanú) čast tohto tvrdenia. Takáto odvolávka je vždy zrejmá z kontextu. Na tomto mieste zdôraznime, že text je v princípe lineárny, a preto sú vety, na ktoré sa v dôkaz odvoláva, výlučne pred odvolávajúcim sa miestom. Učebný text je vysádzaný programom A TEX. Jeho primárna (elektronická) verzia podporuje aj takéto hypertextové odkazy (iniciované, samozrejme, kliknutím na príslušné miesto): Každá odvolávka na vetu na l ubovol nom mieste textu odkazuje na miesto jej znenia. Každá položka indexu pojmov odkazuje na prvý výskyt (t. j. definíciu) tohto pojmu a naopak. Každá položka indexu označení odkazuje na prvý výskyt (t. j. definíciu) tohto označenia a naopak. Každá položka indexu pomenovaných viet odkazuje na znenie príslušnej vety. Každá položka obsahu odkazuje na príslušnú kapitolu alebo podkapitolu. Názov každej kapitoly a/alebo podkapitoly odkazuje na obsah. Na záver mi dovol te pod akovat všetkým, ktorí prispeli k zrodu a skvalitneniu tohto učebného textu, špeciálne však Mirkovi Repickému a Jožovi Pócsovi za starostlivé a podnetné zhodnotenie podstatných častí textu a Pet ovi Elovi Eliašovi za inšpiratívne nápady, ako sa vysporiadat s netotálnymi funkciami. Vd aka patrí aj mojim študentom, ktorí svojimi otázkami na prednáškach poukázali na potrebu poopravit či zrozumitel nejšie rozpracovat niektoré pasáže textu. Miĺı čitatelia. Tento text je o základoch symbolickej/formálnej/matematickej logiky, ani zd aleka neodkrýva všetky jej zákutia. Budem však št astný, ak sa mi ním aspoň trochu podarí sprostredkovat čo len jednému z vás tú radost z fascinujúcej hĺbky a krásy, ktorú jej štúdium poskytuje. ogika je král ovnou racionálneho poznávania sveta, siaha do našej najhlbšej podstaty. Jej najväčším výsledkom je však paradoxne spoznanie svojich vlastných hraníc. A tak aj Toho, čo ju (a nás) presahuje...

Obsah 1 Induktívne štruktúry.............................................................. 1 1.1 Induktívne štruktúry okolo nás......................................................... 1 1.2 Induktívna štruktúra a jej indukt....................................................... 7 1.3 Vytvárajúca postupnost.............................................................. 10 1.4 Prostá induktívna štruktúra.......................................................... 15 1.5 Definícia indukciou cez induktívnu štruktúru........................................... 20 1.6 Abeceda.............................................................................26 2 Výrokový počet................................................................. 33 2.1 Výroky.............................................................................. 33 2.2 Výrokové schémy.................................................................... 41 2.3 Ohodnotenie výrokov a ekvivalencia výrokových schém................................. 49 2.4 Splnitel nost výrokov..................................................................62 2.5 Dokázatel né výroky.................................................................. 70 2.6 Úplnost výrokového počtu............................................................ 83 3 Predikátový počet............................................................... 88 3.1 Abeceda predikátového počtu, termy a formuly........................................ 88 3.2 Sémantika predikátového počtu......................................................107 3.3 Formálny systém predikátového počtu................................................144 3.4 Rozšírenie jazyka................................................................... 175 3.5 Úplnost predikátového počtu........................................................ 212 3.6 Práca s rovnost ou.................................................................. 235 3.7 Definície nových symbolov.......................................................... 249 3.8 Prenexný normálny tvar formuly..................................................... 259 3.9 Práca s netotálnymi funkciami.......................................................269 I Indexy......................................................................... 283 I.1 Index označení...................................................................... 283 I.2 Index pomenovaných viet............................................................ 284 I.3 Index pojmov....................................................................... 285

1.1 Induktívne štruktúry okolo nás 1 1 Induktívne štruktúry 1.1 Induktívne štruktúry okolo nás Všetci iste poznáme čarovnú hračku s názvom ego. Každá jej sada obsahuje kúsky (l udovo zvané kocky ) rôznych tvarov, vel kostí a farieb. Dômyselne členený povrch zabezpečuje možnost ich mechanického spájania do zložitejších útvarov. Nie je náhoda, že táto hračka sa používa na školách ako pomôcka na znázornenie atómov. Čo majú tieto dve veci spoločné? Ako jednotlivé kocky ega, tak i atómy predstavujú akési základné prvky. V oboch prípadoch tiež platí, že spájanie týchto prvkov, ale aj už pripravených konštrukcíı do väčších celkov má svoje pravidlá, nemožno spojit hocičo s hocičím. Tieto pravidlá spájania kociek do väčších konštrukcíı či zlučovania atómov do molekúl a molekúl do makromolekúl môžeme chápat ako metódy vzniku alebo konštruktory. Obe tieto množiny jedna tvorená všetkými možnými konštrukciami z legových kociek, druhá všemožnými chemickými zlúčeninami tak vzniknú akýmsi induktívnym procesom, nazveme ich preto indukty. Indukt je tak produktom induktívnej štruktúry, danej množinou základných prvkov a množinou konštruktorov, ktoré na tieto prvky postupne aplikujeme. Uvedomme si, že s takýmto princípom sa stretávame aj na mnohých iných miestach. Pekné príklady induktívnych štruktúr poskytuje sama príroda, a to ako život jedinca (za základné prvky môžeme považovat dve rodičovské bunky a za konštruktory okrem iného predpisy zakódované v jeho DNA), tak život vo všeobecnosti (základnými prvkami sú prvé živé bunky a konštruktormi trebárs princípy evolučnej teórie), ale i svet ako celok (základným prvkom je situácia po vel kom tresku s dobre nastavenými konštantami, konštruktormi sú prírodné zákony). A ešte jeden výstižný príklad z kuchyne: Základnými prvkami sú tu suroviny zo špajze či chladničky (múka, sol, cukor, vajcia,... ), konštruktormi sú jednotlivé kuchárske úkony, ako miešanie, varenie, pečenie, či grilovanie. Často sa induktívne štruktúry (vo svojej formalizovanej podobe) objavujú aj v mnohých oblastiach matematickej informatiky. Uved me niekol ko príkladov: V teórii vypočítatel nosti môžeme za induktívnu štruktúru považovat konštrukciu (primitívne, všeobecne i čiastočne) rekurzívne (alebo vypočítatel né) funkcie. Základnými prvkami sú tu funkcie nasledovník, nulová konštanta a celá sada projekcíı, konštruktormi nových funkcíı sú substitúcie (pre každý počet argumentov jedna), rekurzia a prípadne (regulárna) minimalizácia. (Všimnime si, že v tomto prípade nie sú konštruktory totálne funkcie.) Relačná algebra databázových systémov je tiež induktívna štruktúra. Základnými prvkami sú tabul ky databázy, konštruktormi databázové operácie nad nimi selekcia, transformácia stĺpcov, projekcia, spojenie, zjednotenie, či tranzitívny uzáver, ktorých výsledkom je pohl ad alebo odpoved na dopyt. S databázou spriazneným príkladom je prologovský program. Jeho základnými prvkami sú fakty (z databázového hl adiska sú to riadky v príslušných tabul kách) a konštruktormi pravidlá (tie sú pendantmi pohl adov či odpovedí na dopyty). V teórii formálnych jazykov je príkladom induktívnej štruktúry každá gramatika: Základné prvky sú terminálne symboly, konštruktory zodpovedajú pravidlám práce s neterminálmi. ast but not least matematická logika. Tu sú podstatnými príkladmi induktívne štruktúry produkujúce výroky, termy, formuly i dokázatel né výroky a formuly. Bližšie sa so všetkými z nich zoznámime v nasledujúcich statiach.

1.1 Induktívne štruktúry okolo nás 2 V každej induktívnej štruktúre sú potrebné ako základné prvky, tak konštruktory. Ak by sme nemali základné stavebné jednotky, darmo by sme ovládali metódy konštrukcie, nič by sa nám zostrojit nepodarilo. Rovnako bezradní by sme boli, keby sme síce základné prvky mali, ale nepoznali by sme konštruktory. Pekne to vidiet na d alšej hravej induktívnej štruktúre na domine. Ked dostatočne bĺızko vedl a seba postavíme kocky domina a potom do prvej z nich cvrnkneme, nespadne len ona, ale vyvolá domino efekt popadá celý rad. Základným prvkom je tu pád prvej kocky, konštruktor tu predstavuje fakt, že pád l ubovol nej (nielen prvej) kocky spôsobí pád kocky nasledujúcej. Akokol vek však môžeme kocky ukladat, ak sa nezvaĺı prvá, domino efekt neuvidíme. Neúspešní by sme boli i vtedy, ked by sme nedodržali vhodnú vzdialenost medzi l ubovol nými dvoma susednými kockami pád kociek sa na takom mieste preruší a ostatné kocky nespadnú. Domino efekt v sebe ukrýva jednu dôležitú štruktúru prirodzené čísla. Pád každej kocky (za predpokladu, že ich je nekonečne vel a) reprezentuje jedno prirodzené číslo. Padnutie prvej kocky, čiže základný prvok, je najmenšie prirodzené číslo nula (0), súvislost medzi pádmi susedných kociek tu reprezentuje konštruktor už spomínanú funkciu nasledovník (označenú S a definovanú vzt ahom S(x) = x + 1). Všimnime si, že táto induktívna štruktúra je najjednoduchšia možná má totiž jediný základný prvok a jediný konštruktor. Práve táto jednoduchost je dôvodom tol kej dôležitosti prirodzených čísel. Induktívny charakter tejto množiny umožňuje používat v dôkazoch princíp matematickej indukcie: Ak máme pre pre každé prirozené číslo n dokázat nejaké tvrdenie V n, napríklad 0 2 + 1 2 + 2 2 + + n 2 = 1 n(n + 1)(2n + 1), 6 nebudeme to robit priamo, ale v prvom indukčnom kroku to ukážeme pre nulu v našom prípade tvrdenie V 0 hovorí, že 0 2 = 1 0 (0 + 1) (2 0 + 1), 6 čo je zrejme pravda, a v druhom indukčnom kroku využijeme indukčný predpoklad V k v našom prípade na dôkaz tvrdenia V k+1 čiže tu A naozaj, platí 0 2 + 1 2 + 2 2 + + k 2 = 1 k(k + 1)(2k + 1) 6 0 2 + 1 2 + 2 2 + + k 2 + (k + 1) 2 = 1 (k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1). 6 0 2 +1 2 +2 2 + +k 2 +(k +1) 2 = (0 2 +1 2 +2 2 + +k 2 )+(k +1) 2 = 1 k(k +1)(2k +1)+(k +1)2 6 (na tomto mieste sme použili predpoklad V k ), čo je po jednoduchej algebraickej úprave požadované 1 6 (k + 1)(k + 2)(2k + 3). Uvedomme si však, že sme dokazovali niečo úplne iné, než sme pôvodne mali, ved ciel om bolo ukázat, že pre každé n platí V n. Prečo sme to mohli takto urobit? Čo nás na to oprávňuje? Je to nasledujúca veta o matematickej indukcii, resp. jej vzápätí uvedená alternatívna formulácia. V dôkaze pritom budeme využívat fakt, že každá podmnožina množiny prirodzených čísel (na metaúrovni) má minimum:

1.1 Induktívne štruktúry okolo nás 3 V1 (o matematickej indukcii) Nech A je podmnožina množiny N, pre ktorú platí: 1 0 A. 2 Pre každé prirodzené číslo k z platnosti k A vyplýva platnost k + 1 A. Potom A = N. Ô Označme P množinu N A. Za predpokladu, že je neprázdna, musí mat najmenší prvok, označme ho m. Vlastnost 1 hovorí, že toto m nemôže byt 0, musí preto existovat prirodzené číslo k, pre ktoré platí m = k + 1. Ked že toto k je menšie než minimum m množiny P, nemôže do nej patrit, a preto k A. Podl a vlastnosti 2 však potom musí platit aj k + 1 A, t. j. m A, čo však znamená, že minimum m množiny P do nej nepatrí spor. Náš predpoklad neprázdnosti množiny P bol teda nesprávny. Táto množina je preto prázdna, t. j. pre každé prirodzené číslo n platí n A, čo sme chceli dokázat. P Táto veta je častejšie formulovaná ekvivalentne v takejto (trochu vágnej) podobe: Majme pre každé prirodzené číslo n tvrdenie V n. Nech sú splnené tieto podmienky: 1 V 0 platí. 2 Pre každé prirodzené číslo k z platnosti V k vyplýva platnost V k+1. Potom pre každé prirodzené číslo n platí V n. Ako A sa tu totiž berie množina všetkých prirodzených čísel n, pre ktoré platí tvrdenie V n, t. j. V n znamená presne n A. Užitočnou verziou tejto vety (využitel nou okrem iného napríklad na dôkaz základnej vety aritmetiky o rozklade prirodzeného čísla väčšieho než 1 na prvočísla) je tzv. jednokroková matematická indukcia: V2 (o jednokrokovej matematickej indukcii) Nech B je podmnožina množiny N taká, že pre každé prirodzené číslo k z platnosti i B pre všetky i menšie než k vyplýva k B. Potom platí B = N. Ô Označme A množinu {n N : ( i < n)i B}, zrejme A N. Overíme, že A spĺňa aj ostatné podmienky predchádzajúcej vety 1: 1 Podmienka 0 A je splnená, pretože ( i < 0)i B je splnené automaticky. 2 Nech k je l ubovol né prirodzené číslo a nech platí k A, t. j. i B je pravdivé pre všetky i menšie než k. Podl a predpokladu však z toho vyplýva, že platí aj k B. Môžeme teda zhrnút, že i B je pravdivé pre všetky i menšie než k + 1, čo je inými slovami k + 1 A. Ukázali sme teda, že z k A vyplýva k + 1 A. Z vety 1 teda dostávame, že A = N. Ak n je prirodzené číslo, aj n + 1 je prirodzené číslo, a teda preň platí n + 1 A, t. j. i B pre všetky i menšie než n + 1. Špeciálne dostávame n B. Ukázali sme tým, že každé prirodzené číslo je prvkom množiny B, a teda B = N. P Aj túto vetu ekvivalentne preformulujme do použitel nejšieho tvaru: Majme pre každé prirodzené číslo n tvrdenie V n. Nech pre každé prirodzené číslo k z platnosti V i pre všetky i menšie než k vyplýva platnost V k. Potom pre každé prirodzené číslo n platí V n.

1.1 Induktívne štruktúry okolo nás 4 Ako B sa tu totiž berie množina všetkých prirodzených čísel n, pre ktoré platí tvrdenie V n, t. j. V n znamená presne n B. A ešte dve verzie predchádzajúcich dvoch viet týkajúce sa počiatočného úseku množiny prirodzených čísel: V3 (o matematickej indukcii na konečnej množine) Nech C je podmnožina množiny {0,..., n}, pre ktorú platí: 1 0 C. 2 Pre každé prirodzené k číslo menšie než n z platnosti k C vyplýva platnost k+1 C. Potom C = {0,..., n}. Ô Označme A množinu {m N : m > n m C}, zrejme A N a 0 A. Overíme, že A spĺňa aj druhú podmienku vety 1, z čoho vyplynie A = N: Nech k je l ubovol né prirodzené číslo a nech platí k A, chceme ukázat, že platí aj k + 1 A. Rozoberme dve možnosti: Ak k n, tak k + 1 > n, a teda k + 1 A. Ak k < n, tak z definície A platí k C. Podl a podmienky 2 potom aj k + 1 C, a z definície A tak dostávame k + 1 A. V oboch prípadoch teda k + 1 A, podl a vety 1 preto platí A = N. Ak teda pre prirodzené číslo m platí m n, z definície A nutne m C, čo znamená C {0,..., n}, a teda C = {0,..., n}. P Aj tu vyslovme prístupnejšiu verziu: Nech n je prirodzené číslo. Majme pre každé prirodzené číslo m nepresahujúce n tvrdenie V m. Nech sú splnené tieto podmienky: 1 V 0 platí. 2 Pre každé prirodzené číslo k menšie než n z platnosti V k vyplýva platnost V k+1. Potom pre každé prirodzené číslo m nepresahujúce n platí V m. Za C sa vezme množina všetkých prirodzených čísel m nepresahujúcich n, pre ktoré platí tvrdenie V m, t. j. V m znamená presne m C. V4 (o jednokrokovej matematickej indukcii na konečnej množine) Nech n je prirodzené číslo a nech D je podmnožina množiny {0,..., n} taká, že pre každé prirodzené číslo k nepresahujúce n z platnosti i D pre všetky i menšie než k vyplýva k D. Potom pre každé m z {0,..., n} platí m D, a špeciálne n D. Ô Označme B množinu {m N : m > n m D}, zrejme B N. Overíme, že B spĺňa podmienku vety 2, z čoho vyplynie B = N: Nech k je l ubovol né prirodzené číslo a nech platí i B pre všetky i menšie než k. Chceme ukázat, že platí aj k B. Rozoberme dve možnosti: Ak k > n, tak z definície B máme k B. Nech k n. Pre každé i menšie než k platí i < k n, teda preň neplatí i > n, preto z indukčného predpokladu i B dostávame i D. Pre všetky i menšie než k teda platí i D, z predpokladu vety preto platí aj k D, a teda k B.

1.1 Induktívne štruktúry okolo nás 5 V oboch prípadoch k B, podl a vety 2 preto platí B = N. Ukázali sme tak, že pre všetky prirodzené m platí m B. Ak navyše m n, t. j. neplatí m > n, z definície B dostávame požadované m D, a teda D = {0,..., n}. P Aj tu použitel nejšia verzia: Nech n je prirodzené číslo a nech pre každé i z {0,..., n} je V i nejaké tvrdenie. Nech pre každé prirodzené číslo k nepresahujúce n z platnosti V i pre všetky i menšie než k vyplýva platnost V k. Potom pre každé m z {0,..., n} platí V m, a špeciálne V n. Ako D sa tu totiž berie množina všetkých prirodzených čísel m nepresahujúcich n, pre ktoré platí tvrdenie V m, t. j. V m znamená presne m D. Ďalším využitím induktívnosti prirodzených čísel je možnost definície matematickou indukciou. Pripomeňme definíciu funkcie faktoriál: 0! = 1 a (k + 1)! = k! (k + 1) (pre l ubovol né prirodzené číslo k). Najprv (v 1. indukčnom kroku) explicitne definujeme hodnotu funkcie pre základný prvok 0 a potom (v 2. indukčnom kroku) povieme, ako sa k tejto funkcii zachová konštruktor S. Opät vzniká otázka: Naozaj stačia takéto dve rovnosti na jednoznačné definovanie celej funkcie? Odpoved dáva nasledujúca veta: V5 (o definícii matematickou indukciou) Nech A je množina, c jej prvok a g funkcia z množiny N A do množiny A. Potom existuje jediná funkcia f z N do A (t. j. postupnost prvkov A) taká, že platí: 1 f(0) = c. 2 Pre každé prirodzené číslo k je f(k + 1) = g(k, f(k)). Ô Vezmime systém F všetkých zobrazení h spĺňajúcich tieto podmienky: 0.1 Dom(h) (t. j. definičný obor funkcie h) je N a Rng(h) (t. j. obor hodnôt h) je podmnožina množiny A. 0.2 Z platnosti k Dom(h) vyplýva, že {0,..., k} Dom(h). 1 Ak 0 Dom(h), tak h(0) = c. 2 Pre každé prirodzené číslo k platí, že ak k + 1 Dom(h), tak h(k + 1) = g(k, h(k)). Množina F je neprázdna, lebo do nej určite patrí napríklad prázdna funkcia, ale aj zobrazenie { 0, c }. Všimnime si, že pre každé dve zobrazenia h 1 a h 2 z F a pre každé prirodzené číslo n platí, že ak n Dom(h 1 ) Dom(h 2 ), tak h 1 (n) = h 2 (n). Toto tvrdenie dokážeme (pri pevných h 1 a h 2 ) matematickou indukciou, t. j. podl a vety 1: 1 Ak 0 Dom(h 1 ) Dom(h 2 ), tak podl a vlastnosti 1 funkcíı h 1 i h 2 platí h 1 (0) = c = h 2 (0). 2 Nech pre prirodzené k toto tvrdenie platí a nech k + 1 Dom(h 1 ) Dom(h 2 ). Podl a vlastnosti 0.2 funkcíı h 1 a h 2 platí {0,..., k + 1} Dom(h 1 ) Dom(h 2 ), a špeciálne k Dom(h 1 ) Dom(h 2 ). Z indukčného predpokladu tak dostávame h 1 (k) = h 2 (k), z čoho podl a vlstnosti 2 funkcíı h 1 a h 2 dostávame požadované h 1 (k + 1) = g(k, h 1 (k)) = g(k, h 2 (k)) = h 2 (k + 1).

1.1 Induktívne štruktúry okolo nás 6 To však znamená, že F (t. j. zjednotenie všetkých množín zo systému F) je tiež zobrazenie (teda neexistujú dva rôzne prvky s rovnakou prvou zložkou), a to do množiny A. Označíme ho f a ukážeme, že je to hl adaná funkcia. Najprv dokážeme, že N Dom(f), a to opät matematickou indukciou: 1 Ked že funkcia { 0, c } patrí do F, platí { 0, c } f, teda 0 Dom(f). 2 Nech prirodzené číslo n patrí do Dom(f), teda existuje h z F, že n Dom(h). Ak platí aj n + 1 Dom(h), tak aj n + 1 Dom(f), čo práve potrebujeme. Nech teda n + 1 / Dom(h). ahko vidiet, že množina h definovaná vzt ahom h = h { n + 1, g(n, h(n)) } je funkcia, pretože žiadne dva jej rôzne prvky nemajú rovnaké prvé zložky (h je funkcia a prvá zložka n + 1 dodanej dvojice n + 1, g(n, h(n)) do Dom(h) nepatrí). Overíme ešte, že aj h patrí do F: 0.1 Z definície h máme Dom(h ) = Dom(h) {n + 1} N, a to z vlastnosti 0.1 funkcie h. 0.2 Ak k Dom(h ), tak bud k Dom(h), alebo k = n + 1. V prvom prípade z vlastnosti 0.2 funkcie h máme {0,..., k} Dom(h) Dom(h ), v druhom opät z vlastnosti 0.2 funkcie h dostávame {0,..., n + 1} = {0,..., n} {n+1} Dom(h) {n + 1} = Dom(h ). 1 Z vlastnosti 1 funkcie h dostávame h (0) = h(0) = c. 2 Nech k je prirodzené číslo také, že k + 1 Dom(h ). Ak k + 1 = n + 1, t. j. k = n, tak z definície h máme h (k + 1) = h (n + 1) = g(n, h(n)) = g(n, h (n)) = g(k, h (k)). Nech, naopak, k + 1 n + 1, a teda k + 1 Dom(h). Potom z vlastnosti 0.2 funkcie h platí aj k Dom(h) Dom(h ), a preto z definície h h (k + 1) = h(k + 1) = g(k, h(k)) = g(k, h (k)). Našli sme teda funkciu h z F, pre ktorú platí n+1 Dom(h ), takže n+1 Dom(f). Ked že platí aj opačná inklúzia (ved Dom(f) = h F Dom(h) N), definičný obor zobrazenia f je naozaj práve N. Ukážeme, že f vyhovuje aj ostatným dvom žiadaným podmienkam: 1 Ked že { 0, c } F, platí f(0) = c. 2 Ak k je prirodzené číslo, tak aj k + 1 je prirodzené číslo, a teda k + 1 Dom(f). Existuje teda funkcia h z F taká, že k + 1 Dom(h), z čoho podl a vlastnosti 0.2 funkcie h z F tiež k Dom(h). Potom platí f(k + 1) = h(k + 1) = g(k, h(k)) = g(k, f(k)). Ukážeme ešte, že táto funkcia f je jediná: Nech existuje ešte iná funkcia e vyhovujúca podmienkam vety. Matematickou indukciou (t. j. podl a vety 1) dokážeme, že pre každé prirodzené číslo n potom platí e(n) = f(n), z čoho vyplynie sporné e = f: 1 Podl a podmienky 1 pre obe funkcie platí e(0) = c = f(0). 2 Predpokladajme, že tvrdenie pre prirodzené číslo n platí, t. j. e(n) = f(n). Potom podl a podmienky 2 pre obe funkcie e(n + 1) = g(n, e(n)) = g(n, f(n)) = f(n + 1).

1.2 Induktívna štruktúra a jej indukt 7 Tým je dôkaz jedinosti f ukončený. V prípade funkcie faktoriál (!) bola A množina reálnych čísel, c = 1, funkcia g bola definovaná vzt ahom g(x, y) = y (x + 1) (a teda g(k,!(k)) =!(k) (k + 1)). Hodnoty funkcie! sú potom podl a tejto vety určené jednoznačne pre všetky prirodzené čísla. 1.2 Induktívna štruktúra a jej indukt Nastal čas spresnit naše úvahy a definovat základné pojmy: D Induktívnou štruktúrou nazývame usporiadanú trojicu U, B, C, pre ktorú platí: U je neprázdna množina, nazveme ju univerzum alebo rámec tejto induktívnej štruktúry. B je neprázdna podmnožina U. Každý prvok množiny B nazveme základným prvkom tejto induktívnej štruktúry. Každý prvok K množiny C je funkcia, pre ktorú Dom(K) U n pre nejaké kladné prirodzené číslo n a Rng(K) U. Nazveme ju konštruktorom tejto induktívnej štruktúry. Na popis množiny N prirodzených čísel v súlade s predchádzajúcou stat ou 1.1 možno zvolit induktívnu štruktúru R, {0}, {S}. Množina N potom obsahuje jednak jej základný prvok 0, jednak s každým svojím prvkom x aj jeho nasledovníka S(x), t. j. x + 1. Skúsme tento fakt zovšeobecnit do takejto definície: D Hovoríme, že množina A rešpektuje induktívnu štruktúru U, B, C, ak platí: 0 A U (t. j. množina A nepresiahne rámec induktívnej štruktúry). 1 B A (t. j. každý základný prvok induktívnej štruktúry je obsiahnutý v tejto množine). 2 Pre každý konštruktor K z množiny C a každú ticu x 1,..., x n prvkov z Dom(K) platí, že ak sú všetky x 1,..., x n v množine A, aj prvok K(x 1,..., x n ) je v množine A. Množina N teda rešpektuje induktívnu štruktúru R, {0}, {S}. Uvedomme si však, že ju rešpektuje aj vel a d alších množín, napríklad množina Z celých čísel či množina { n 2 : n N}, ale i samotné R. Ktorá z nich je teda touto štruktúrou generovaná? Očakávanú odpoved dáva nasledujúca veta: V1 Nech A je systém všetkých množín rešpektujúcich nejakú induktívnu štruktúru. Potom túto induktívnu štruktúru rešpektuje aj množina A (t. j. prienik všetkých množín systému A). Ô Nech je táto induktívna štruktúra U, B, C. Najprv si uvedomme, že systém A je naozaj neprázdny, pretože obsahuje samotnú množinu U. Množina A teda existuje. 0 Ked že U A, platí A U. 1 Podl a podmienky 1 rešpektovania induktívnej štruktúry pre každú množinu A zo systému A platí B A, teda platí aj B A.

1.2 Induktívna štruktúra a jej indukt 8 2 Nech pre K z C a prvky x 1,..., x n z A platí x 1,..., x n Dom(K). Potom sú však x 1,..., x n aj prvkami každej množiny A zo systému A. Podl a podmienky 2 rešpektovania induktívnej štruktúry pre takéto množiny A je však prvkom každej z nich aj K(x 1,..., x n ), čo však znamená, že je aj prvkom ich prieniku A. D Najmenšiu množinu rešpektujúcu danú induktívnu štruktúru U, B, C nazývame induktom tejto štruktúry a označujeme ju Indukt(U, B, C). Ekvivalentne budeme hovorit, že táto množina je touto induktívnou štruktúrou generovaná. Ked že N je najmenšou spomedzi množín rešpektujúcich induktívnu štruktúru R, {0}, {S} (a teda je ich prienikom), práve ju budeme považovat za množinu touto induktívnou štruktúrou generovanú, a teda platí N = Indukt(R, {0}, {S}). Teraz už môžeme vyslovit zovšeobecnenie vety 1.1 platné pre l ubovol nú induktívnu štruktúru. Samotná formulácia je vel mi jednoduchá, zaujímavejšia a použitel nejšia je však aj tu jej ekvivalentná verzia používajúca vágny pojem tvrdenie : V2 (o matematickej indukcii cez induktívnu štruktúru) Nech U, B, C je induktívna štruktúra a nech A je podmnožina jej induktu, ktorá ju rešpektuje. Potom A = Indukt(U, B, C). Ô Tvrdenie je zrejmým dôsledkom definície induktu, pretože ten je najmenšou množinou rešpektujúcou svoju induktívnu štruktúru. P A spomínaná reformulovaná verzia: Nech U, B, C je induktívna štruktúra a nech pre každý prvok p z množiny Indukt(U, B, C) je V p nejaké tvrdenie. Nech d alej platí: 1 (1. indukčný krok:) Pre l ubovol ný prvok b z B platí V b. 2 (2. indukčný krok:) Pre l ubovol ný konštruktor K z C a prvky q 1,..., q n z množiny Indukt(U, B, C) také, že q 1,..., q n Dom(K), z platnosti (tzv. indukčných predpokladov) V q1,..., V qn vyplýva platnost V K(q1,...,q n). Potom V p platí pre každé p z množiny Indukt(U, B, C). Ak totiž označíme A množinu tých prvkov p induktu, pre ktoré platí V p, tak 1. indukčný krok je presne podmienka 1 a 2. indukčný krok presne podmienka 2 toho, že A rešpektuje induktívnu štruktúru U, B, C. Ked že A Indukt(U, B, C) U, je splnená aj podmienka 0, a teda A rešpektuje túto induktívnu štruktúru. Podl a vety 1 teda A = Indukt(U, B, C). Ak teda budeme chciet dokázat nejakú vlastnost pre všetky prvky induktu danej induktívnej štruktúry, bude stačit ukázat ju pre základné prvky a dokázat, že každý konštruktor ju zachováva. Použitie tejto vety (dokonca hned dvojnásobné) si ukážme na nasledujúcom príklade: Majme induktívnu štruktúru {0, 1}, {e}, {f, g}, (pod {0, 1} rozumieme všetky slová z dvojprvkovej abecedy {0, 1}, pod e prázdne slovo), kde f(x) = 0x (teda pred vstup sa doplní písmeno 0) a g(x) = x1 (za vstup sa doplní 1). Ako bude vyzerat jej indukt?

1.2 Induktívna štruktúra a jej indukt 9 Označme M množinu Indukt({0, 1}, {e}, {f, g}. Prvé pokusy ukážu, že napríklad e M (je to základný prvok), 0 = f(e) M (aplikácia konštruktora na prvok z M), 1 = g(e) M (opät aplikácia (tentoraz druhého) konštruktora na prvok z M), 01 = g(0) M, ale aj 01 = f(1) M (máme tu teda dve možnosti). Ďalej napríklad 00 = f(0) M, 000 = f(00) M, 0000 = f(000) M a tak d alej. Podobne 11 = g(1) M, 111 = g(11) M, 1111 = g(111) M a tak d alej. Konštruktory môžeme aj kombinovat (napokon, už sme to pri 01 urobili): 001 = f(01) M, 0011 = g(001) M, 00011 = f(0011) M a podobne. Začíname teda mat dojem, že každý prvok M má tvar 0 m 1 n (teda m-krát napísaný znak 0 a za tým n-krát napísaný znak 1) pre nejaké prirodzené čísla m a n. Túto hypotézu dokážeme, a to matematickou indukciou cez induktívnu štruktúru {0, 1}, {e}, {f, g}, t. j. podl a vety 1: Ô Pre každé slovo s z M najprv sformulujeme V s : Existujú prirodzené čísla m s a n s, že s = 0 ms 1 ns.. 1 Jediný základný prvok je e, pre ten platí e = 0 0 1 0. Stačí teda vziat m e = n e = 0, a tvrdenie V e platí. 2 Konštruktory sú dva, každý vybavíme osobitne: f Nech platí tvrdenie V s, teda s = 0 ms 1 ns pre isté prirodzené čísla m s a n s. Potom platí f(s) = 0s = 00 ms 1 ns = 0 ms+1 1 ns. Stačí teda položit m f(s) = m s + 1 a n f(s) = n s, a vidno, že tvrdenie V f(s) platí. g Nech platí tvrdenie V s, teda s = 0 ms 1 ns pre isté prirodzené čísla m s a n s. Potom platí g(s) = s1 = 0 ms 1 ns 1 = 0 ms 1 ns+1. Stačí teda položit m g(s) = m s a n g(s) = n s + 1, a vidno, že tvrdenie V g(s) platí. Tvrdenie V s teda platí pre všetky slová s z množiny M, čo sme chceli ukázat. Zatial sme však ukázali len nutnú podmienku, ako musia slová z M vyzerat. Aby bola naša odpoved úplná, musíme ukázat, že každé slovo tvaru 0 m 1 n do M naozaj patrí. Tu však využijeme inú induktívnu štruktúru, a to R R, { 0, 0 }, {S 2 1, S 2 2}, kde S 2 1( x, y ) = x+1, y a S 2 2( x, y ) = x, y + 1, ktorej induktom je N N. Ô Pre každú dvojicu m, n z N N chceme ukázat tvrdenie W m,n : 0 m 1 n M : 1 Jediný základný prvok induktívnej štruktúry R R, { 0, 0 }, {S 2 1, S 2 2} je 0, 0, pre jemu zodpovedajúce slovo platí 0 0 1 0 = e M (je to základný prvok induktívnej štruktúry {0, 1}, {e}, {f, g} ). Tvrdenie W 0,0 teda platí. 2 Konštruktory sú opät dva: S 2 1 Nech platí tvrdenie W m,n, teda 0 m 1 n M. Potom (z definície induktívnej štruktúry {0, 1}, {e}, {f, g} ) platí i M f(0 m 1 n ) = 00 m 1 n = 0 m+1 1 n, čo je tvrdenie W m+1,n, t. j. W S 2 1 ( m,n ). S 2 2 Nech platí tvrdenie W m,n, teda 0 m 1 n M. Potom (z definície induktívnej štruktúry {0, 1}, {e}, {f, g} ) platí i M g(0 m 1 n ) = 0 m 1 n 1 = 0 m 1 n+1, čo je tvrdenie W m,n+1, t. j. W S 2 2 ( m,n ). Tvrdenie W m,n teda platí pre všetky prvky m, n z Indukt(R R, { 0, 0 }, {S 2 1, S 2 2}), čo sme chceli ukázat. Zistili (a dokázali) sme teda, že Indukt({0, 1}, {e}, {f, g}) = {0 m 1 n : m, n N N}. Intuícia hovorí, že indukt obsahuje len základné prvky a vynútené prvky vzniknuté aplikáciou nejakého konštruktora. Potvrdzuje ju táto veta:

1.3 Vytvárajúca postupnost 10 V3 Nech U, B, C je induktívna štruktúra. Ak p Indukt(U, B, C), tak preň platí aspoň jedna z podmienok: 1 p B. 2 Existuje konštruktor K z C a prvky q 1,..., q n z množiny Indukt(U, B, C) také, že p = K(q 1,..., q n ). Ô Nech existuje prvok p z Indukt(U, B, C), pre ktorý neplatí ani jedna z týchto podmienok. Ukážeme, že potom aj množina Indukt(U, B, C) {p} rešpektuje induktívnu štruktúru U, B, C : 0 Zrejme Indukt(U, B, C) {p} Indukt(U, B, C) U, a to podl a podmienky 0 toho, že indukt rešpektuje svoju induktívnu štruktúru. 1 Z podmienky 1 toho, že indukt rešpektuje svoju induktívnu štruktúru, máme B Indukt(U, B, C). Podl a predpokladu p nespĺňa podmienku 1 v znení tejto vety, takže p / B, z čoho B Indukt(U, B, C) {p}. 2 Nech K je konštruktor z množiny C a q 1,..., q n tica prvkov z Dom(K) taká, že všetky q 1,..., q n sú v množine Indukt(U, B, C) {p}. Potom sú však aj v množine Indukt(U, B, C), teda (z podmienky 2 toho, že indukt rešpektuje svoju induktívnu štruktúru) aj prvok K(q 1,..., q n ) je v množine Indukt(U, B, C). Podl a predpokladu ale p nespĺňa ani podmienku 2 v znení tejto vety, preto platí K(q 1,..., q n ) p, a teda K(q 1,..., q n ) Indukt(U, B, C) {p}. Podl a vety 2 teda dostávame Indukt(U, B, C) {p} = Indukt(U, B, C), čo je spor, lebo p Indukt(U, B, C). 1.3 Vytvárajúca postupnost Pre každý prvok induktívnej štruktúry vieme vystopovat v jednotlivých krokoch históriu jeho vzniku. Ked si budeme značit každý úkon, dostaneme akýsi návod na jeho konštrukciu. Ten sa v podstate vôbec neĺıši od klasického kuchárskeho receptu, ktorý obsahuje jednak informácie o základných surovinách (to sú naše základné prvky), jednak pokyny typu zmiešaj, var, peč, či griluj (to sú naše konštruktory). Pri dôslednom dodržiavaní dobre napísaného receptu potom môže aj menej originálny kuchár (avšak ovládajúci potrebné kuchárske operácie ) jedlo dokonale zrekonštruovat. D Nech U, B, C je induktívna štruktúra. Vytvárajúcou postupnost ou (v tejto induktívnej štruktúre) nazývame (konečnú) postupnost (p 0,..., p m ) prvkov U takých, že pre každé i z množiny {0,..., m} (t. j. pre každý člen vytvárajúcej postupnosti) platí aspoň jedna z podmienok: 1 p i B (t. j. p i je základný prvok). 2 Existuje konštruktor K z C a indexy j 1,..., j k menšie než i také, že p i = K(p j1,..., p jk ) (t. j. p i vznikne aplikáciou nejakého konštruktora na niektoré z prvkov, ktoré sú v tejto postupnosti pred ním). D Vytvárajúcou postupnost ou prvku p nazývame vytvárajúcu postupnost, ktorej posledný člen je práve p.

1.3 Vytvárajúca postupnost 11 V spomínanej induktívnej štruktúre R, {0}, {S} generujúcej prirodzené čísla má prvok 3 vytvárajúcu postupnost (0, 1, 2, 3). Naozaj, táto postupnost spĺňa podmienky oboch definícíı na jej konci je prvok 3 a každý jej prvok je základný (to platí pre prvok 0 na jej začiatku) alebo vznikol z niektorého z predchádzajúcich prvkov aplikáciou konštruktora S (toto platí pre všetky ostatné prvky). Práve tak dobre však definícii vyhovujú aj postupnosti (0, 1, 2, 3, 4, 3) či (0, 0, 1, 0, 2, 1, 3, 4, 3). Všimnime si, že definícia nevylučuje, že vytvárajúcich postupností pre jeden prvok môže byt aj viac. Prvky v nich sa môžu aj opakovat (a to včítane prvku na poslednom mieste), dokonca tam môžu byt aj prvky, ktoré sa na konštrukcii výsledku (t. j. posledného prvku) vôbec nepodiel ajú. V (bližšie nešpecifikovanej) induktívnej štruktúre so základnými prvkami z {b 1, b 2, b 3, b 4, b 5 } a konštruktormi z {K 1, K 2, K 3 } má prvok K 1 (K 2 (b 1, b 2 ), K 2 (b 1, b 4 ), b 3 ) vytvárajúcu postupnost (b 1, b 2, b 3, b 4, K 2 (b 1, b 2 ), K 2 (b 1, b 4 ), K 1 (K 2 (b 1, b 2 ), K 2 (b 1, b 4 ), b 3 )), ale rovnako dobre aj (b 1, b 2, K 2 (b 1, b 2 ), b 4, K 2 (b 1, b 4 ), b 3, K 1 (K 2 (b 1, b 2 ), K 2 (b 1, b 4 ), b 3 )) alebo aj (b 2, b 5, K 3 (b 2, b 5 ), b 1, b 2, K 2 (b 1, b 2 ), b 4, K 2 (b 1, b 4 ), b 3, K 1 (K 2 (b 1, b 2 ), K 2 (b 1, b 4 ), b 3 )). Všimnime si, že prvé dve postupnosti majú rovnakú dĺžku (členy v nich sú poprehadzované, ale vždy tak, aby jednoduchšie boli pred tými, ktoré z nich vznikli). Tretia postupnost zas používa prvok b 5 a konštruktor K 3, ktoré napokon vo výsledku nepotrebujeme, a tiež obsahuje dvakrát prvok b 2, definícii vytvárajúcej postupnosti to však neodporuje. Dokážme intuitívne zrejmé tvrdenie, že členy vytvárajúcej postupnosti musia patrit do induktu: V1 Nech U, B, C je induktívna štruktúra a nech (p 0,..., p m ) je vytvárajúca postupnost. Potom pre všetky i z {0,..., m} platí p i Indukt(U, B, C). Ô Dokážeme indukciou podl a vety 1.3. Podl a definície vytvárajúcej postupnosti p i spĺňa jednu z jej podmienok. Rozoberme ich: 1 Ak p i B, tak podl a vlastnosti 1 z definície rešpektovania p i Indukt(U, B, C) platí. 2 Nech p i = K(p j1,..., p jk ) pre nejaké K z C a indexy j 1,..., j k menšie než i. Z indukčného predpokladu pre každé l z {1,..., k} platí p jl Indukt(U, B, C). Podl a vlastnosti 2 z definície rešpektovania pre Indukt(U, B, C) potom platí K(p j1,..., p jk ) Indukt(U, B, C), t. j. p i Indukt(U, B, C). Všimnime si, že každý počiatočný úsek vytvárajúcej postupnosti je tiež vytvárajúca postupnost (hoci nie nutne toho istého prvku): V2 Ak (p 0,..., p m ) je vytvárajúca postupnost, tak pre každé n z {0,..., m} je (p 0,..., p n ) tiež vytvárajúca postupnost. Ô Ak je i z množiny {0,..., n}, je aj z množiny {0,..., m}. A ked že (p 0,..., p m ) je vytvárajúca postupnost, prvok p i je základný alebo má tvar K(p j1,..., p jk ) pre nejaký konštruktor K a indexy j 1,..., j k menšie ako i. To je však presne podmienka toho, aby (p 0,..., p n ) bola vytvárajúca postupnost.

1.3 Vytvárajúca postupnost 12 Takže ak je (0, 1, 2, 3, 4, 3) vytvárajúca postupnost prvku 3, jej počiatočný úsek (0, 1, 2, 3) je tiež vytvárajúca postupnost prvku 3, a aj počiatočný úsek (0, 1, 2, 3, 4) je vytvárajúca postupnost, ale prvku 4. Vytvárajúcu postupnost môžeme napísat aj detailnejšie, s tzv. komentárom ku každému prvku napíšeme, či vznikol spôsobom 1 (ako základný prvok) alebo spôsobom 2 (ako aplikácia konštruktora), a to vrátane prípadných parametrov. Napríklad vytvárajúcu postupnost (0, 1, 2, 3) prvku 3 môžeme rozpísat takto: p 0 = 0 (podl a 1), p 1 = 1 = S(0) = S(p 0 ) (podl a 2, kde K = S a j 1 = 0 < 1), p 2 = 2 = S(1) = S(p 1 ) (podl a 2, kde K = S a j 1 = 1 < 2), p 3 = 3 = S(2) = S(p 2 ) (podl a 2, kde K = S a j 1 = 2 < 3). Prvá z uvedených vytvárajúcich postupností prvku K 1 (K 2 (b 1, b 2 ), K 2 (b 1, b 4 ), b 3 ) vyzerá v detailnejšej podobe takto: p 0 = b 1 (podl a 1), p 1 = b 2 (podl a 1), p 2 = b 3 (podl a 1), p 3 = b 4 (podl a 1), p 4 = K 2 (b 1, b 2 ) = K 2 (p 0, p 1 ) (podl a 2, kde K = K 2, j 1 = 0 < 4 a j 2 = 1 < 4), p 5 = K 2 (b 1, b 4 ) = K 2 (p 0, p 3 ) (podl a 2, kde K = K 2, j 1 = 0 < 5 a j 2 = 3 < 5), p 6 = K 1 (K 2 (b 1, b 2 ), K 2 (b 1, b 4 ), b 3 ) = K 1 (p 4, p 5, p 2 ) (podl a 2, kde K = K 1, j 1 = 4 < 6, j 2 = 5 < 6 a j 3 = 2 < 6). Nasledujúca veta dáva malý návod, ako jednu z vytvárajúcich postupností skonštruovat : V3 Nech pre prvok p z Indukt(U, B, C) platí p = K(x 1,..., x n ) pre nejaký konštruktor K z C a nejaké prvky x 1,..., x n tiež z množiny Indukt(U, B, C). Ak pre každé j z {1,..., n} je (p j 0,..., pj k ) vytvárajúca postupnost prvku x j j, tak (p 1 0,..., p 1 k,..., p n 1 0,..., p n kn, p) je vytvárajúca postupnost prvku p. Ô Každý prvok našej postupnosti je bud p j i pre nejaké j z {1,..., n} a i z {0,..., kj }, alebo záverečné p. Rozoberme preto obe možnosti:

1.3 Vytvárajúca postupnost 13 p j i je členom vytvárajúcej postupnosti (p j 0,..., pj k ). To znamená, že je základný j (a teda spĺňa podmienku 1) alebo sa dá vyjadrit v tvare (pj v 1,..., p j v n ) pre nejaký konštruktor z C a indexy v 1,..., v n menšie než i. Ked že postupnost (p j 0,..., pj k ) j je podpostupnost ou celej (p 1 0,..., p 1 k,..., p n 1 0,..., p n k n, p), prvky pj v 1,..., p j v n sú aj v nej, a to tiež pred p j i. Prvok pj i teda spĺňa podmienku 2, čo sme chceli dokázat. Ked že (p j 0,..., pj k ) je vytvárajúca postupnost x j j, platí x j = p j k, takže všetky x j j sú členmi postupnosti (p 1 0,..., p 1 k,..., p n 1 0,..., p n kn, p) a sú pred posledným p. Prvok p teda spĺňa podmienku 2 definície. Ak má teda prvok K 2 (b 1, b 2 ) vytvárajúcu postupnost (b 1, b 2, K 2 (b 1, b 2 )), prvok K 2 (b 1, b 4 ) vytvárajúcu postupnost (b 1, b 4, K 2 (b 1, b 4 )) a prvok b 3 vytvárajúcu postupnost (b 3 ), z nich konštruktorom K 1 vytvorený prvok K 1 (K 2 (b 1, b 2 ), K 2 (b 1, b 4 ), b 3 ) má podl a tejto vety vytvárajúcu postupnost (b 1, b 2, K 2 (b 1, b 2 ), b 1, b 4, K 2 (b 1, b 4 ), b 3, K 1 (K 2 (b 1, b 2 ), K 2 (b 1, b 4 ), b 3 )). ahko vidíme, že to naozaj jeho vytvárajúca postupnost je (hoci sa v nej opakuje prvok b 1 ). Vieme už, že každý prvok z vytvárajúcej postupnosti patrí do induktu. Pomocou predchádzajúcej vety 3 už l ahko môžeme potvrdit silný pocit, že medzi pojmami induktu a vytvárajúcej postupnosti platí aj opačný vzt ah: V4 Vytvárajúcu postupnost v induktívnej štruktúre majú práve prvky jej induktu. Ô Z vety 1 priamo vyplýva jedna z dokazovaných implikácíı (a to, že každý koniec vytvárajúcej postupnosti patrí do induktu), sústred me sa preto na druhú: Označme V množinu tých prvkov z Indukt(U, B, C), ktoré majú nejakú vytvárajúcu postupnost. Ukážeme, že táto množina rešpektuje induktívnu štruktúru, z čoho podl a vety 2.2 vyplynie V = Indukt(U, B, C). 1 Zrejme V Indukt(U, B, C) U. 1 Podl a definície induktívnej štruktúry každý základný prvok b z B patrí aj do množiny Indukt(U, B, C). Existuje preň aj vytvárajúca postupnost, napríklad jednočlenná (b), teda b patrí do V. Platí teda B V. 2 Nech K je konštruktor a x 1,..., x n Dom(K). Nech x 1,..., x n patria do V, teda pre ne existujú vytvárajúce postupnosti, pre x j nech je to (p j 0,..., pj k j ). Potom podl a predchádzajúcej vety 3 je (p 1 0,..., p 1 k 1,..., p n 0,..., p n k n, K(x 1,..., x n )) vytvárajúca postupnost prvku K(x 1,..., x n ), takže platí aj K(x 1,..., x n ) V. Videli sme, že vo vytvárajúcej postupnosti sa môžu členy opakovat, no intuícia nám určite napovedá, že opakované výskyty sú zbytočné. Potvrdzuje to nasledujúca veta: V5 Nech (p 0,..., p m ) je vytvárajúca postupnost prvku p z množiny Indukt(U, B, C). Potom existuje z nej vybraná postupnost, t. j. (p j0,..., p jk ), pričom 0 j 0 < < j k m, ktorá je tiež vytvárajúca postupnost a prvku p, ale navyše je prostá. Ô Nech h je najmenší index výskytu p v postupnosti (p 0,..., p m ), t. j. h = min{l {0,..., m} : p l = p}

1.3 Vytvárajúca postupnost 14 (minimovaná množina je zrejme neprázdna, lebo obsahuje m). Podl a vety 2 je potom vytvárajúcou postupnost ou (zrejme prvku p) aj postupnost (p 0,..., p h ), pričom zrejme obsahuje p iba raz, a to na konci. Označme teraz (pre každé j z {0,..., h}) I j množinu indexov výskytov prvku p j, čiže I j = {l {0,..., h} : p l = p j }, zrejme j I j. Vezmime množinu M indexov prvých výskytov jednotlivých prvkov, avšak iba v úseku {0,..., h}, teda M = {j {0,..., h} : j = min I j }. Ked že I h obsahuje iba h, platí h = min I h. Takže h M, a teda h = max M. Ak prvky množiny M zoradíme do rastúcej postupnosti (j 0,..., j k ), tak (p j0,..., p jk ) bude prostá (ked že M obsahuje práve minimá množín I j ) a jej posledný člen bude p h, teda p. Ukážeme, že to je hl adaná vytvárajúca postupnost : Nech (pre nejaké i z {0,..., k}) nie je p ji základný prvok (inak nie je čo dokazovat ). Ked že je členom vytvárajúcej postupnosti (p 0,..., p h ), má tvar p ji = K(p w1,..., p wn ), kde K je z C a indexy w 1,..., w n sú menšie než j i. Pretože (pre každé v z {0,..., h}) z definície I v vyplýva p v = p min Iv, platí p ji = K(p min Iw1,..., p min Iwn ). Pritom pre každé l z {1,..., n} platí min I wl w l < j i a (z definície množiny M) tiež min I wl M = {j 0,..., j k }. Prvok p ji teda vznikol aplikáciou konštruktora K na prvky, ktoré sú v postupnosti (p j0,..., p jk ) pred ním, čo sme chceli dokázat. Konkretizujme tento konštruktívny dôkaz na vytvárajúcej postupnosti (0, 0, 1, 0, 2, 1, 3, 4, 3) prvku 3: p = 3. m = 8. p 0 = 0, p 1 = 0, p 2 = 1, p 3 = 0, p 4 = 2, p 5 = 1, p 6 = 3, p 7 = 4, p 8 = 3. h = min{l {0,..., 8} : p l = 3} = min{6, 8} = 6. I 0 = {l {0,..., 6} : p l = 0} = {0, 1, 3}, I 1 = {l {0,..., 6} : p l = 0} = {0, 1, 3}, I 2 = {l {0,..., 6} : p l = 1} = {2, 5}, I 3 = {l {0,..., 6} : p l = 0} = {0, 1, 3}, I 4 = {l {0,..., 6} : p l = 2} = {4}, I 5 = {l {0,..., 6} : p l = 1} = {2, 5}, I 6 = {l {0,..., 6} : p l = 3} = {6}. min I 0 = 0, min I 1 = 0, min I 2 = 2, min I 3 = 0, min I 4 = 4, min I 5 = 2, min I 6 = 6. M = {j {0,..., 6} : j = min I j } = {0, 2, 4, 6}. (Všimnime si, že naozaj h = max M.) j 0 = 0, j 1 = 2, j 2 = 4, j 3 = 6. Výsledná postupnost je teda (p 0, p 2, p 4, p 6 ), čiže (0, 1, 2, 3), čo je naozaj prostá vytvárajúca postupnost prvku 3. Spomedzi všetkých vytvárajúcich postupností určite existuje najkratšia (môže ich byt aj viac, ba dokonca, ako uvidíme neskôr, nemusia obsahovat ani rovnaké prvky). Vzhl adom na predchádzajúcu vetu 5 o nej vieme povedat toto:

1.4 Prostá induktívna štruktúra 15 V6 Každá najkratšia vytvárajúca postupnost je prostá. Ô Nech (p 0,..., p m ) je vytvárajúca postupnost prvku p, ktorá nie je prostá, t. j. platí {p 0,..., p m } < m + 1. Podl a predchádzajúcej vety 5 existuje prostá z nej vybraná postupnost (q 0,..., q k ), ktorá je tiež vytvárajúca postupnost prvku p, pričom zrejme k m a {q 0,..., q k } {p 0,..., p m }. Z jej prostoty však vyplýva {q 0,..., q k } = k + 1, a teda k + 1 = {q 0,..., q k } {p 0,..., p m } < m + 1, čo znamená k < m. Vytvárajúca postupnost (p 0,..., p m ) teda nie je najkratšia. 1.4 Prostá induktívna štruktúra Každý prvok induktu môžeme vyjadrit aj vo forme stromu, t. j. konkrétneho grafického znázornenia orientovaného grafu, ktorého jeden vrchol koreň nemá žiadneho predka (t. j. má vnútorný stupeň 0) a všetky ostatné majú práve jedného predka (t. j. majú vnútorný stupeň 1). V každom liste takéhoto stromu je základný prvok (tento uzol nemá potomkov), v uzle s aspoň jedným potomkom je konštruktor (jeho potomkovia sú (v príslušnom poradí) koreňmi stromov argumentov konštruktora). Orientáciu pritom nebudeme vyjadrovat šípkami, ale polohou koreň bude hore a vetvenie smerom nadol (horizontálne posuny sú povolené). Napríklad strom známeho prvku K 1 (K 2 (b 1, b 2 ), K 2 (b 1, b 4 ), b 3 ) v našej induktívnej štruktúre U, {b 1, b 2, b 3, b 4, b 5 }, {K 1, K 2, K 3 } je: K 1 K 2 K 2 b 3 b 1 b2 b1 b4 Pre prirodzené čísla má strom len jednu vetvu, napríklad strom čísla 3 vyzerá takto: S S S 0 Definíciu matematickou indukciou môžeme dobre sledovat práve na takomto strome, ked k uzlom postupne prirad ujeme hodnoty definovanej funkcie. Začneme, ako káže prvý indukčný krok, základnými

1.4 Prostá induktívna štruktúra 16 prvkami, teda listami stromu a potom postupujeme po jednotlivých vetvách smerom nahor hodnotu v uzle s potomkami, ktorých hodnoty sú už známe, zistíme podl a druhého indukčného kroku. Výsledok potom bude ohodnotenie koreňa. Napríklad pre už spomínanú funkciu faktoriál strom prvku 3 vyzerá takto: S 6 S 2 S 1 0 1 V prípade prvej uvedenej induktívnej štruktúry skúsme definovat funkciu PP na zistenie počtu (priamych aj nepriamych) potomkov: 2K 1 2K 2 1 PP(b 1 ) = PP(b 2 ) = PP(b 3 ) = PP(b 4 ) = PP(b 5 ) = 0, t. j. listy (základné prvky) nemajú žiadneho potomka. Ak x 1, x 2 a x 3 sú prvky príslušného induktu (vzhl adom na kontext sa môžeme domnievat, že K 1 má tri argumenty), tak PP(K 1 (x 1, x 2, x 3 )) = 3+PP(x 1 )+PP(x 2 )+PP(x 3 ) (lebo každý priamy potomok uzla s prvkom K 1 (x 1, x 2, x 3 ) je jeden z uzlov s prvkami x 1, x 2, alebo x 3 a každý jeho nepriamy potomok je (priamy alebo nepriamy) potomok bud uzla s prvkom x 1, alebo uzla s prvkom x 2, alebo uzla s prvkom x 3 ). Ak x 1 a x 2 sú prvky príslušného induktu (tu môžeme analogicky predpokladat, že K 2 má dva argumenty), tak PP(K 2 (x 1, x 2 )) = 2 + PP(x 1 ) + PP(x 2 ) (platí podobný argument ako pri K 1 ). 2K 3 Analogicky (za predpokladu, že K 3 má dva argumenty) definujme PP(K 3 (x 1, x 2 )) = 2 + PP(x 1 ) + PP(x 2 ). Pri tejto definícii môžeme nakreslit strom prvku K 1 (K 2 (b 1, b 2 ), K 2 (b 1, b 4 ), b 3 ) s ohodnotením uzlov: K 1 7 K 2 2 K 2 2 b 3 0 b 1 0 b 2 0 b 1 0 b 4 0 Neuvedomili sme si tu však jednu závažnú vec: Povedali sme, že táto induktívna štruktúra nie je bližšie špecifikovaná. Môže sa pokojne stat, že jej rámec je množina R a konštruktor K 1 je definovaný tak, že pre l ubovol ný vstup x, y, z je K 1 (x, y, z) = 0. V takom prípade je náš prvok K 1 (K 2 (b 1, b 2 ), K 2 (b 1, b 4 ), b 3 ) rovný 0. Potom ho (teda vlastne číslo 0) však môžeme vyjadrit aj d alšími spôsobmi trebárs ako K 1 (b 1, b 1, b 1 ), takže má aj iný strom (zakreslený už aj s ohodnotením uzlov):