ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το Δ A Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Κάθε συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο, είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό» α Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας στο τετράδιό σας το γράμμα Α, αν είναι αληθής, ή το γράμμα Ψ, αν είναι ψευδής (μονάδα ) β Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας στο ερώτημα α (μονάδες ) Μονάδες A Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Μονάδες A Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α) Για κάθε ζεύγος συναρτήσεων f: και g:, αν lim f και lim g τότε lim f g β) Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού A, B αντίστοιχα, τότε η g f ορίζεται αν f A B, γ) Για κάθε συνάρτηση f: που είναι παραγωγίσιμη και δεν παρουσιάζει ακρότατα, ισχύει f για κάθε δ) Αν, τότε lim ε) Η εικόνα f(δ) ενός διαστήματος μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα Μονάδες Α Έστω, με Θα δείξουμε ότι f( ) f( ) Πράγματι, στο διάστημα [, ] η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ Επομένως, υπάρχει (, ) τέτοιο, f ( ) f ( ) ώστε f ( ), οπότε έχουμε f( ) f( ) f ( )( ) Επειδή f ( ) και, έχουμε f( ) f( ), οπότε f( ) f( ) Α α Ψ β Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο, αλλά δεν f f είναι παραγωγίσιμη σ αυτό, αφού lim lim, f f ενώ lim lim O Α Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα,, όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του, και επιπλέον lim f () f ( ) και lim f () f ( ) Α α) Λ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ
ΘΕΜΑ Β Δίνονται οι συναρτήσεις f ln, και B Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f g βρείτε την αντίστροφή της B Αν h f g ln,, h, B Αν g, Μονάδες 5, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h αντιστρέφεται και να, να μελετήσετε τη συνάρτηση φ ως προς τη μονοτονία, τα Μονάδες ακρότατα, την κυρτότητα και τα σημεία καμπής B Να βρείτε τις οριζόντιες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης φ και να τη σχεδιάσετε (Η γραφική παράσταση να σχεδιαστεί με στυλό) f g g f f g f g ln A / g A / /,, Β h ln ln h, h B Η h είναι παραγωγίσιμη στο, με οπότε η h αντιστρέφεται lim h lim ln ln Είναι και lim h lim ln ln Επειδή η h είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο, έχει αντίστοιχο σύνολο τιμών το f,, οπότε h h ln,άρα h, οπότε h, B Η φ είναι παραγωγίσιμη στο με έχει ακρότατα Η είναι παραγωγίσιμη στο με Είναι Για κάθε είναι άρα η φ είναι κυρτή στο, άρα η φ είναι κοίλη στο,, οπότε η φ δεν και για κάθε είναι
Η φ έχει σημείο καμπής το A,, Β lim lim ασύμπτωτη της C στο γιατί lim, οπότε ο άξονας είναι οριζόντια lim lim lim ασύμπτωτη της C στο lim, άρα η είναι οριζόντια ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f,, και το σημείο Γ Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ακριβώς δύο εφαπτόμενες,, της γραφικής παράστασης της f που άγονται από το Α, τις οποίες και να βρείτε Μονάδες 8 και : είναι οι ευθείες του ερωτήματος Γ, τότε να σχεδιάσετε τις Γ Αν :, και τη γραφική παράσταση της f, και να αποδείξετε ότι, όπου: 8 είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τις ευθείες, και είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f και τον άξονα ' Μονάδες Γ Να υπολογίσετε το όριο lim Γ Να αποδείξετε ότι Μονάδες f d Γ Έστω f, το σημείο επαφής της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση C της συνάρτησης f, τότε ( ): f f f και άρα, αφού f, σημείο της
Θεωρούμε τη συνάρτηση, με Είναι και, [, ], με:, όμως η λ είναι παραγωγίσιμη στο Για κάθε, είναι γνησίως φθίνουσα στο, και για κάθε, είναι γνησίως αύξουσα στο, Οπότε η μοναδική ρίζα στο, και η μοναδική ρίζα στο, Για η εξίσωση της εφαπτομένης είναι και για η εξίσωση της εφαπτομένης είναι Γ Είναι d και, οπότε 8 ος τρόπος Έστω συνάρτηση, με,, Η φ είναι παραγωγίσιμη στο, με Είναι < για κάθε, Για κάθε, άρα Γ Είναι lim lim άρα η φ είναι γνησίως φθίνουσα στο, lim lim αφού lim και lim, άρα ος τρόπος Επειδή η f είναι κοίλη βρίσκεται πάνω από κάθε εφαπτομένη της στο διάστημα, εκτός του σημείου επαφής, άρα f με την ισότητα να ισχύει μόνο για Άρα Γ Επειδή η f είναι κυρτή βρίσκεται πάνω από κάθε εφαπτομένη της στο διάστημα, εκτός του f σημείου επαφής, άρα f,, άρα
f d d ln ΘΕΜΑ Δ, Δίνεται η συνάρτηση, f,, Δ Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα, και να βρείτε τα κρίσιμα σημεία της Μονάδες 5 Δ Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα, και να βρείτε το σύνολο τιμών της Μονάδες Δ Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τη γραφική 5 παράσταση της g, με g,, τον άξονα ' και την ευθεία Δ Να λύσετε την εξίσωση f 8 Δ Είναι lim f f, lim f f οπότε η f είναι συνεχής στο - και στο π Η f είναι συνεχής στο, ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων Η f είναι συνεχής στο, ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων Στο είναι, lim f lim f lim f lim, οπότε η f είναι συνεχής και στο άρα είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της Η f είναι παραγωγίσιμη στο, f Η f είναι παραγωγίσιμη στο, με f με f f Είναι lim lim lim και f f lim lim, άρα η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο και επειδή είναι συνεχής στο σημείο αυτό, η f έχει κρίσιμο σημείο το Για κάθε, είναι f Για κάθε, είναι: Μονάδες Μονάδες 8 f () ος τρόπος στο, οπότε η () γίνεται:, 5 5 και επειδή, είναι άρα ος τρόπος 5
Παρατηρούμε ότι η () έχει προφανή λύση την Από τις γραφικές παραστάσεις των και στο διάστημα, παρατηρούμε ότι η προφανής λύση είναι μοναδική Άρα η f έχει κρίσιμο σημείο το f και επειδή η f είναι συνεχής, είναι γνησίως φθίνουσα στο, ος τρόπος Είναι f για κάθε Διάστημα,,, και επειδή η f είναι επιλεγμένο 5 συνεχής, διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα αυτό f 5 Επειδή f, είναι f για κάθε, και πρόσημο f + f επειδή η f είναι συνεχής, είναι γνησίως αύξουσα στο, Είναι f για κάθε, και επειδή η f είναι συνεχής, διατηρεί σταθερό 5 5 πρόσημο στο διάστημα αυτό Επειδή f, είναι f για Δ Για κάθε, είναι κάθε, και επειδή η f είναι συνεχής, είναι γνησίως φθίνουσα στο, ος τρόπος Από τις γραφικές παραστάσεις των και του Δ παρατηρούμε ότι f για κάθε είναι γνησίως αύξουσα στο κάθε,, και επειδή η f είναι συνεχής, Ακόμη f για, και επειδή η f είναι συνεχής, είναι γνησίως φθίνουσα στο Η f έχει τοπικό μέγιστο το f f, τοπικό ελάχιστο το και τοπικό ελάχιστο το f, f, τοπικό μέγιστο το Στο διάστημα, η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα, οπότε έχει αντίστοιχο σύνολο τιμών το f,
Στο διάστημα, η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, οπότε έχει αντίστοιχο σύνολο τιμών το f, Στο διάστημα, η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα, οπότε έχει αντίστοιχο σύνολο τιμών το f, f f f f,, Είναι Είναι ln ln ln που ισχύει αφού ln και f,, οπότε Δ Το ζητούμενο εμβαδόν είναι το ος τρόπος 5 Είναι 5 d για κάθε, δεν ισχύει ταυτόχρονα ( και ) ος τρόπος Σχεδιάζοντας τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και παρατηρούμε ότι για κάθε 5, άρα, 7 γιατί, Είναι και η ισότητα d d d d d 5 5 5 7 5 5 5 d d d 5 Δ f 8 f f () Επειδή η f έχει μέγιστο το, είναι f για κάθε, και η ισότητα ισχύει μόνο για Όμως για κάθε και η ισότητα ισχύει μόνο για, οπότε η () ισχύει μόνο όταν