Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict) crescatoare pe I, daca sensul inegalitatii dintre oricare doua valori ale argumentului se pastreaza pentru valorile functiei. c) functia f este (strict) crescatoare, daca f( x) f( y) f( x) f( y) x y > 0, respectiv 0 x y x y ) a) functia f este (strict) descrescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) > f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict) descrescatoare pe I, daca sensul inegalitatii dintre oricare doua valori ale argumentului se schimba pentru valorile functiei. c) functia f este (strict) crescatoare, daca f( x) f( y) f( x) f( y) x y < 0, respectiv 0. x y x y Fie f : A B si g: B C, atunci g f : A C 3) a) Daca f : A B, g: B C, h: C D h ( g f) = ( h g) f (asociativitatea compunerii functiilor ) 1 1 b) Daca f si g sunt inversabile, atunci ( g f) = f g 1 II Fie f : a) functia f este para daca f(-x)=f(x), x b) functia f este impara daca f(-x)=-f(x), x c) graficul functiei f are axa de simetrie dreapta x=a, daca f(a+x)=f(a-x) sau f(x)=f(a-x) d) graficul functiei f are centrul de simetrie punctual A(a,b) daca f(x)+f(a-x)=b.
III Fie f : si T>0 1) functia f este periodica daca f(x+t)=f(x), x ) cel mai mic numar pozitiv T 0 (daca exista) se numeste perioada principala 3) f(x+kt)=f(x), x, k Z IV Fie f : A B a) 1) functia f este injectiva, daca x, y A, x y f( x) f( y) ) functia f este injectiva, daca din f(x)=f(y) x=y 3) functia f este injectiva, daca orice paralela la axa 0x intersecteaza graficul functiei in cel mult un punct 4) functia f este injectiva, daca y B, exista cel mult un x A astfel incat f(x)=y. b) 1) functia f este surjectiva, daca y B, x A, ai.. f( x) = y ) functia f este surjectiva, daca f(a)=b 3) functia f este surjectiva, daca orice paralela la axa 0x, dusa printr-un punct al lui B, intersecteaza graficul functiei in cel putin un punct. 4) functia f este surjectiva, daca ecuatia f(x)=y, are solutii in A pentru orice y din B. c) 1) functia f este bijectiva, daca este injective si surjectiva. ) functia f este bijectiva, daca pentru orice y B, exista un singur x Aaif,.. ( x) = y(ecuatia f(x)=y, are o singura solutie, pentru orice y din B). 3) functia f este bijectiva, daca orice paralela la axa 0x, dusa printr-un punct al lui B, intersecteaza graficul functiei intr-un punct si numai unul. d) 1 A : A A prin 1 ( x A ) = x, x A 1) functia f : A B este inversabila, daca exista o functie g: B A, astfel incat g f =1 A si f g = 1 B, unde functia g este inversa functiei f si se noteaza cu f 1 ) f(x)=y x = f 1 ( y) 3) f este bijectiva f este inversabila. V Fie f : A B si g: B C, doua functii 1) Daca f si g sunt injective atunci g f este injectiva ) Daca f si g sunt surjective, atunci g f este surjectiva. 3) Daca f si g sunt bijective, atunci g f este bijectiva. 4) Daca f si g sunt (strict) crescatoare, atunci g f este (strict) crescatoare.
5) Daca f si g sunt (strict) descrescatoare, atunci g f este (strict) Crescatoare 6) Daca f si g sunt monotone, de monotonii diferite, atunci g f este descrescatoare. 7) Daca f este periodica, atunci g f este periodica 8) Daca f este para, atunci g f este para. 9) Daca f si g sunt impare, atunci g f este impara 10) Daca f este impara si g para, atunci g f este para. VI Fie f : A B si g: B C, doua functii a) Daca g f este injectriva, atunci f este injectiva. b) Daca g f este surjectiva, atunci g este surjectiva. c) Daca g f este bijectiva, atunci f este injective si g surjectiva. d) Daca f, g:a B, iar h: B C bijectiva si h f = h g, atunci f=g. VII Fie f : A B si X, Y multimi oarecare a) Functia f este injectiva, daca si numai daca oricare ar fi functiile u, v:x A, din f u = f v u = v b) Functia f este surjectiva, daca si numai daca oricare ar fi functiile u,v:b Y, din u f = v f u = v VIII 1) Daca f : A B este strict monotona, atunci f este injectiva. ) Daca f : este periodica si monotona, atunci f este constanta. 1 3) Daca f : este bijectiva si impara, atunci f este impara. 4) Fie A finita si f : A A, atunci f este injectiva f este surjectiva. IX Fie f : E F, atunci 1) f este injectiva g: F E( surjectiva) astfel incat g f =1 E ) f este surjectiva g: F E( injectiva) astfel incat f g = 1 F 3) f bijectiva f inversabila. X Fie f : E F 1) functia f este injectiva daca si numai daca A, B E, f( A B) = f( A) f( B) ) functia f este surjectiva daca si numai daca B FexistaA,, Eaif,.. ( A) = B 3) functia f este injectiva daca f ( A B) = f( A) f( B), A, B E
XI Fie f : E F si A E, B E, atunci f ( A) = { y F/ x A, ai.. f( x) = y} f 1 ( B) = { x E/ f( x) B}. Fie f : E F si A E, B E, atunci 1) a) A B f( A) f( B) b) f ( A B) = f( A) f( B) c) f ( A B) f( A) f( B) d) f ( A) f( B) f( A B) Fie f : E F si AB, F, atunci ) a) b) c) d) e) 1 1 A B f A f B ( ) ( ) 1 1 1 f A f B f A B ( ) ( ) ( ) 1 1 1 f A f B = f A B ( ) ( ) ( ) 1 1 1 f A f B = f A B ( ) ( ) ( ) f 1 ( F) = E. XII Fie f : E F si A E, B E, atunci au loc afirmatiile 1) functia f este injectiva f ( CA) Cf ( A), A Ρ ( E) ) functia f este surjectiva Cf ( A) f ( CA), A Ρ( E) 3) functia f este bijectiva f ( CA) = Cf ( A), A Ρ ( E) ( CA= C A= E A, Cf( A) = C f( A) = F f( A) ) XIII Fie f : E F A B, A si B finite. A are n elemente si B are m elemente.atunci: 1) numarul functiilor f : A B este n m. ) numarul functiilor injective f : A B este C n m,( n m) 3) numarul functiilor surjective f : A B este 1 3 m n C ( m 1) n C ( m ) n C ( m 3) n... ( 1) m + + + C m m m 1 m 1 m
FUNCTII POBLEME POPUSE 8 IANUAIE 15 IANUAIE 1) Sa se arate ca nu exista functii care sa verifice relatiile de mai jos: a) f ( x) f( x) = x, x Solutie: se dau lui x valorile 1 si -1 f(1) f( 1) = 1 si f(-1)-f(1)=1 - contradictie b) f ( x) + f( a x) = x, x, a Solutie: se dau lui x valorile 0 si a f(0) + f(a)=0 si f(a) + f(0)= a contradictie c) f ( xgy ) ( ) = x+ y+ 1, xy, Solutie: evident f(0)=a 0 si g(0)=b 0, deoarece pentru x=y=0 f(0)g(0)=1. x + 1 Pentru y=0 f(x)=. b y + 1 Pentru x=0 g( y) =, care nu verifica relatia din enunt pentru x, y. a ) Sa se determine functia f : care satisface relatia 3 f ( x) 5 f( x) = x + 4x+ 4, x. Solutie: Facand substitutia x x in relatia data, obtinem 3 f ( x) 5 f( x) = x 4x+ 4.Eliminand f(-x) rezulta f( x) = x + 3x 3) Sa se determine functiile f : care verifica inegalitatile: f( x+ a) x f( x) + a, x si a, dat. Solutie: Facand substitutia x x a in f( x+ a) x f( x) x a, ori din x f( x) + a f( x) x a, deci f( x) = x a
4) Sa se determine functiile f : care verifica egalitatea : f ( x) + f( [ x] ) f({ x}) = x, x Solutie: Se stie ca x=[x]+{x} si pentru x=0 relatia devine : f(0)+f(0)f(0)=0 f(0)=0 sau f(0)=-1. Daca f(0)=-1, fie x0 (0,1), atunci f( x = 0) + f(0) f( x0) = x0 f( x0) f( x0) = x0 x0 0, absurd. Deci f(0)=0. Efectuand substitutia x [ x] si x {x}, obtinem f ([ x]) + f([ x]) f(0) = [ x] f([ x]) = [ x] si respectiv f ({ x}) + f(0) f({ x}) = { x} f({ x}) = { x}, de unde rezulta forma relatiei din f( x) + [ x]{ x} = x f( x) = x [ x]{ x}, sau enunt: f( x) = x [ x]( x [ x]) = x x[ x] + [ x] 5) Sa se arate ca daca f : satisface relatia f ( x+ a) = f( x) + b, x cu a si b reali fixate, a 0, atunci f se poate scrie ca suma a doua functii, una periodica si alta liniara. Solutie: Punand (1) g(x)=f(x)-mx-n si impunand ca g sa fie periodica, adica b gx ( + a) = gx ( ), x ma= b m= si prin urmare, din (1) avem a b f ( x) = g( x) + mx= n f( x) = g( x) + x+ b, x. a 6) Fie f :. Sa se arate ca: a) Dreapta x=a este axa de simetrie a graficului functiei, daca si numai daca f ( x) = f( a x), x. b) Daca graficul functiei f are doua axe de simetrie, atunci f este periodica. c) Punctul A(a,b) este centrul de simetrie al graficului functiei, daca si numai daca f ( x) + f( a x) = b, x. Solutie: a) Dreapta x=a este axa de simetrie pentru graficul functiei daca si numai daca f(a+x)=f(a-x), x. Efectuand substitutia x x a in ultima relatie, obtinem f(x)=f(a-x) b) Daca dreptele x=a si x=b sunt axe de simetrie, atunci din f(x)=f(a-x) si f(x)=f(b-x), obtinem f(a-x)=f(b-x) si efectuand substitutia x a x, obtinem f(x)=f(b-a+x), deci f este periodica cu perioada T=(b-a). c) Daca A(a,b) este centrul de simetrie al graficului functiei, atunci f( a x) + f( a+ x) = b si efectuand substitutia x a x obtinem f ( x) + f( a x) = b
7) Sa se gaseasca functia f : + care indeplineste conditiile: a) f(x)f(-x) 1, x b) mn, N astfel ca nf( x) + mf( x) = m+ n, x Solutie: Facand substitutia x x in nf ( x) + mf ( x) = m + n, obtinem nf ( x) + mf ( x) = m + n.adunand si scazand membru cu membru in ipoteza m n obtinem f(x)+f(-x)= si f(x)-f(-x)=0 de unde rezulta ca f(x)=1. Daca m=n atunci relatia din enunt devine: f(x)+f(-x)= =f(x)+f(-x) f( x) f( x). Daca f(x) f(-x) in cel putin un punct se obtine o contradictie, deci f(-x)=f(x) f(x)=1. 8) Sa se determine toate functiile f : care verifica egalitatea: 4 x f( x) + f(1 x) = x x, x. Solutie: Dand lui x valorile 0 si 1 obtinem f(1)=0 si respectiv f(1)+f(0)=1 f(0)=1.facand substitutia x 1 x obtinem: (1 x) f(1 x) + f( x) = (1 x) (1 x) 4.Eliminand f(1-x) din cele doua relatii, 4 4 rezulta (1 x) [ x x x f( x)] + f( x) = (1 x) (1 x) 4 3 4 f( x)(1 x+ x )(1 + x x ) = (1 x)[ (1 x) (1 x)( x x )] f( x)( x x+ 1)( x x 1) = (1 x )( x x+ 1)( x x 1). Pentru x \{ α, β}, unde α si β sunt radacinile ecuatiei x x 1= 0 obtinem f( x) = 1 x, x \{ α, β}. Sa determinam valorile functiei pentru x= α si x= β. Observam ca (1) α + β = 1 si αβ=-1 si () α α 1= 0, β β 1= 0. Dand lui x valorile α si β obtinem 4 α f( α) + f(1 α) = α α (3) 4 β f( β) + f(1 β) = β β Dat din (1) rezulta 1 α = β si 1-β =α si din () rezulta 4 α = α + 1 α = 3α + 4 β = β + 1 β = 3β + Sistemul (3) devine α f( α) + f( β) = α f( α) + β f( β) = β, inmultind ecuatia a doua cu Obtinem tinand seama de (1) si () α f( α) + f( β) = α ( β ) = α α = α ( α + 1) = α si sistemul devine α,
α f α + f β = α ( ) ( ) sistemul este compatibil nedeterminat. Notand cu f( α) + β f( β) = β f( α) = a si f( β) = α a α = a( α + 1) α si deci, 1 x, x αβ, f( x) = a, x= α a( α + 1) α, x = β 9) Sa se determine functiile f : care satisfac relatia: af ( x 1) + bf (1 x) = cx, unde a, b, c. Solutie: Efectuand substitutiile x x+ 1 si x 1 x, obtinem af ( x) + bf ( x) = c(1 + x). Studiind solutiile sistemului, obtinem: bf ( x) + af ( x) = c(1 x) c c a) f ( x) = x+, daca a b a b a+ b b) f nu exista daca a = b si c 0 c) f este orice functie impara daca a = b 0 si c= 0 d) f este orice functie para daca a = -b si c = 0. 10) Fie a, b, c, nu toate egale si a+b+c 0. Sa se demonstreze ca pentru orice functie g: \{0,1} exista o singura functie f : \{0,1} care x 1 1 verifica relatia : af ( x) + bf ( ) + cf ( ) = g( x), x \{0, 1}. x 1 x x 1 1 Solutie : Efectuand substitutiile x si x in relatia data, obtinem x 1 x x 1 1 x 1 af ( ) + bf ( ) + cf ( x) = g( ), x \{0, 1} si respective x 1 x x 1 x 1 1 af ( ) + bf ( x) + cf ( ) = g( ), x \{0, 1}. 1 x x 1 x 1 x 1 ezolvand sistemul in necunoscutele f(x), f( ), f( ), obtinem 1 x x x 1 1 ( a bc) g( x) + ( c ab) g( ) + ( b ac) g ( ) f( x) = x 1 x. 3 3 3 a + b + c 3abc
1 11) Sa se determine functia f : \ ± care satisface relatia : 3 x + 1 1 f = x f( x), x \ ±. 1 3x 3 Solutie : Efectuand in relatia data substitutia x + 1 1 1 se obtine x x + x+ 1 x f = f 1 3x 1+ 3x 1 3x 1 3x (1) Efectuand din nou in (1) substitutia x 1 x 1 x 1 x se obtine f ( x) = f (). 1+ 3x 1+ 3x 1+ 3x elatia din enunt impreuna cu cele din (1) si () da un sistem de unde rezulta 3 9x + 6x x+ f( x) =. 9x 1 1) Sa se determine f : care verifica relatia f ( x ) f( xy) + f( y ) = x 4xy+ y + 5, x, y. Solutie: Pentru y=0 f ( x ) f(0) + f(0) = x + 5, deci pentru x 0 f( x) = x+ 5. x Daca y =, atunci din relatia data, rezulta x x f( x ) + f f( x ) = x + x + + 5 f( x ) = x + 5 4 Deci, pentru x < 0 rezulta f(x) = x + 5, asadar f(x) = x + 5 x. 13) Sa se determine functiile f : care verifica relatia f ( x+ y) f( xy), x, y. Solutie: Din relatia data pentru y = 0, obtinem f ( x) f(0), x (1). Daca in relatia data se fac substitutiile y x si x x cu x [0, + ] f(0) = f( x x) f( x) x [0, + ] () si tinand seama de (1) rezulta f(-x) = f(0), x [0, + ]. Daca in relatia data se fac substitutiile y x si x x obtinem f (0) = f( x) f( x ) si tinand seama de (1) rezulta f(x) = f(0), x [0, + ], De unde avem f(x) = f(0) = a, x [0, + ], prin urmare numai functiile constante verifica relatia data.
14) Fie functia f : \{ 1,0} cu proprietatile : f(1) = 0 si x 1 f = f( x) f( y), x \{ 1,0}, x y si k Z \{ ± 1,0}. y k n a) Sa se exprime f ( x ) in functie de f(x) pentru n Z. b) Sa se arate ca f nu este injectiva. Solutie : In relatia data se fac substitutiile k + 1 x x, y x si obtinem f( x ) = f( x) (1). Facand din nou substitutiile k 3 k + x x 3, y x si tinand seama de (1), obtinem f ( x ) = k f( x). n k+ n 1 f x f x k n N atunci, notand m = -n N, obtinem 1 n m 1 m k+ m 1 n+ 1 k f ( x ) = f( x ) = f = f( x ) = f( x) = f( x), deci x k k k k+ n 1 ( ), f x daca n N n f( x ) = k n + 1 k ( ), \ f x daca n Z N k b)pentru n par, f este functie para, deci neinjectiva. Prin inductie dupa n, obtinem ( ) = ( ),. Daca n Z \ N, 15) Sa se determine functia f : care verifica relatiile : a) f(x)+f(y) = f(x+y), x, y b) f(1) = 1 1 c) x f f( x), x x = Solutie : Daca x = 0 f (0) = 0 si pentru y = x f(0) = f( x) + f( x) f( x) = f( x), x Din ultima conditie pentru 1 1 f (1) f( x) 1 f( x) x \{0,1} f = f(1 x) = = 1 x 1 x (1 x) (1 x) Dar, 1 x x x 1 x f = f 1 + = f(1) + f = 1+ f = 1 x 1 x 1 x 1 x x x 1 x 1 = 1+ f 1 = 1 + f f(1 1 x x 1 x ) = x (1)
x f( x) f( x) x 1 x+ f( x) = 1+ 1 = 1+ = () 1 x x (1 x) (1 x) (1 x) D in (1) si () f ( x) = x, x \{0,1} dar f(0) = 0 si f(1) = 1 f( x) = x, x.
FUNCTII POBLEME POPUSE 8 IANUAIE 15 IANUAIE 1) Sa se arate ca nu exista functii care sa verifice relatiile de mai jos: a) f ( x) f( x) = x, x b) f ( x) + f( a x) = x, x, a c) f ( xgy ) ( ) = x+ y+ 1, xy, ) Sa se determine functia f : care satisface relatia 3 f ( x) 5 f( x) = x + 4x+ 4, x. 3) Sa se determine functiile f : care verifica inegalitatile: f( x+ a) x f( x) + a, x si a, dat. 4) Sa se determine functiile f : care verifica egalitatea : f ( x) + f( [ x] ) f({ x}) = x, x 5) Sa se arate ca daca f : satisface relatia f ( x+ a) = f( x) + b, x cu a si b reali fixate, a 0, atunci f se poate scrie ca suma a doua functii, una periodica si alta liniara. 6) Fie f :. Sa se arate ca: a) Dreapta x=a este axa de simetrie a graficului functiei, daca si numai daca f ( x) = f( a x), x. b) Daca graficul functiei f are doua axe de simetrie, atunci f este periodica. c) Punctul A(a,b) este centrul de simetrie al graficului functiei, daca si numai daca f ( x) + f( a x) = b, x. 7) Sa se gaseasca functia f : + care indeplineste conditiile: d) f(x)f(-x) 1, x e) mn, N astfel ca nf( x) + mf( x) = m+ n, x
8) Sa se determine toate functiile f : care verifica egalitatea: 4 x f( x) + f(1 x) = x x, x. 9) Sa se determine functiile f : care satisfac relatia: af ( x 1) + bf (1 x) = cx, unde a, b, c. 10) Fie a, b, c, nu toate egale si a+b+c 0. Sa se demon streze ca pentru orice functie g: \{0,1} exista o singura functie f : \{0,1} care x 1 1 verifica relatia : af ( x) + bf ( ) + cf ( ) = g( x), x \{0, 1}. x 1 x 1 11) Sa se determine functia f : \ ± care satisface relatia : 3 x + 1 1 f = x f( x), x \ ±. 1 3x 3 1) Sa se determine f : care verifica relatia f ( x ) f( xy) f( y ) x 4xy y 5, x, y + = + +. 13) Sa se determine functiile f : care verifica relatia f ( x+ y) f( xy), x, y. 14) Fie functia f : \{ 1,0} cu proprietatile : f(1) = 0 si x 1 f = f( x) f( y), x \{ 1,0}, x y si k Z \{ ± 1,0}. y k n f) Sa se exprime f ( x ) in functie de f(x) pentru n Z. b) Sa se arate ca f nu este injectiva 15) Sa se determine functia f : care verifica relatiile : g) f(x)+f(y) = f(x+y), x, y h) f(1) = 1 1 i) x f = f( x), x x