½µ S = F 1 (y 0 ) = {x X F(x) = y 0 }. F 1 (y 0 ) X Y

ÅÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ù Þ Ó ÖÒÙØÓµ ß ÒÓ ÒÓÖÑ ÐÒÓ ÔÖ Ú ½ ß Ö Ó Å Ð Ò ÓÚ ÓÚÓ Ø Ø Ò ÜØÓ Ð Ñ ÒØ ÖÒ Ò Õ Ò ÑÓØ Ú Ü ÙÚ ÔÓ ¹ ÑÓÚ Ú Þ Ò Þ Ø ÓÖÙ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ò Ú Ò ÞÓÒ Þ Ó ÑÓ Ù ÓÖÑÙÐ ÜÙ Ò ÞÙ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø º ÈÓ ÚÐ Õ ÑÓ Ö ÑÓ Ó ÙÔÓØÖ Þ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Þ Ñ Ù Ö ÞÑ ØÖ ÑÓ Þ Õ ÒØ ÖÔÖ Ø Ú Ò ÔÓ ÑÓÚ º ½º Ø Ù ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Å Ø Ñ Ø Õ Ö Õ ØÓ Ð Ö Ü Ò Õ ÒÙ F(x) = y 0 F : X Y Ò ÙÒ X Y ÙÔÓÚ y 0 Y º ÖÙÑ Ö Õ Ñ Ð Ò ÆÙ ÙÔ ½µ S = F 1 (y 0 ) = {x X F(x) = y 0 }. Í ØÓÑ Ö Ø Ó Ù Ô ÚÙ Î ÓÑ Ñ Ð ÖÓ Ò Õ Ò ÑÓ Ö Ü ÔÐ ¹ ØÒÓº Ã Ó Ò ÔÖÚ ÔÓ Ðµ Ñ Ñ ÓÞ Ò ÑÓÑÓ ÔÓ Ø Ú ÑÓ Þ Ø ÓÔ Ü ÑÓ ØÖÙ ØÙÖÙ ÙÔ S Ø º ÓÔ Ü ÑÓ ÜØ Ø ÙÔ Ò Ð ÆÙ Ó ÔÖ ØÔÓ Ø Ú Ò Ð Ú ÜØ Õ Ò Ñ ØÒÙØ µ ØÖÙ ØÙÖ ÙÔ X ÙÞ ÔÓÑÓ ÔÖ Ø¹ ÔÓ Ø Ú Ò Ð ÓÒ ØÖÙ Ò µ ØÖÙ ØÙÖ ÙÔ Y Ò Ö ÚÒÓ Ó ÓÒ ÔÖ ¹ Ð Ú Fº F F 1 (y 0 ) y 0 X Y ËÐ ½ ÁÒÚ ÖÞÒ Ð Ø Õ y 0 ÑÓ ÐÙ ØÖÓÚ Ð ÓÚ ÔÖ Ò Ô ÔÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ Ù X Y ÚØÓÖ ÔÖÓ ØÓÖ Ð Ö Õ Ò ÓØÒ ØÖÙ ØÙÖ ØÖÙ ØÙÖ Ð ÒÖÒÓ ÔÖÓ ØÓÖ µº ÈÖÓ Ð Ñ ÓÔ ÙÔ S Ö Þ ÚÓ ÑÓ Ò Ú ÐÙÕ µ ÈÖ Ð Ú F Ð ÒÖÒÓº Ó y 0 = 0 Y ÓÒ S ÚØÓÖ ÔÖÓ ØÓÖº ÔÖÓ ÞÚÓ ÒÓ y 0 Y ÙÔ S Ò ÔÖÓ ØÓÖº ½ Ç ÖÒÓ Ù ÔÖ ÐÙ ¾¼½½º Ù ÒÓÑ Ó Ø ÖÑ Ò ÙÖ Ó Ì ÓÖ Ö Ð Ø ÚÒÓ Ø Ó ÖÓ ÔÖÓ º º ÅÐÓÚ Ò Å Ø Ñ Ø Õ ÓÑ ÙÐØ ØÙº ½

¾ ÈÖ Ñ Ö Æ X = Y = C (R) ÙÔ ÓÒ ÕÒÓ ÔÙØ Ö Ò Ð¹ Ò ÖÐÒ ÙÒ ÖÐÒ ÔÖÓÑ Ò Ú ¾ d n F(x) = a n dt nx(t)+ +a d 1 dt x(t)+a 0x(t). ÂÒ Õ Ò F(x) = y Ð ÒÖÒ Ö Ò ÐÒ Ò Õ Ò n¹øó Ö º Ì ÓÖ ÓÚÚ Ò Õ Ò Þ ÑÒÓ Ó ØÓ ÑÓ ÞÚ Ð Ä ÒÖÒÓ Ð Ö ÙÔ S Ò Ð ÆÙ Ð ÒÖÒÙ ØÖÙ ØÙÖÙ µ ÒÓÚÓ Ø ÓÖ Ñ Ó ÒÓ Ø Õ Ó Ö ÒØÙ Þ Ø ÒÙ Ö Ü ÓÕÒ Ö Ò ÐÒ Ò Õ Ò ÑÔÐ ¹ ØÓÔÓÐÓÜ ØÖÙ ØÙÖ ÙÔ X Ò ÙÔ S µº µ ÈÖ Ð Ú F Ò Ð ÒÖÒÓº ÇÚ Ò ØÙ Ú Ð ÓÑÔÐ¹ º Æ ÔÙ Ø ÑÓ Þ ØÓ ÐÓÒ ÓÒ ÕÒÓ Ñ ÒÞ ÓÒ ÚØÓÖ ÔÖÓ ØÓÖ Þ ÔÖ Ø Ó ÒÓ ÔÖ Ñ Ö Ó Ö ÒÕ ÑÓ Ò ÐÙÕ X = R n Y = Rº Ì Ú Ð Ð Ñ º Ä Ñ ÈÖÓ ÞÚÓ Ò Þ ØÚÓÖ Ò ÙÔ S R n ÑÓ Ò Ô Ü Ù Ó ÐÙ ½µ Þ ÒÙ Ð Ø Ù ÙÒ Ù Fº Ë ÓÞ Æ V n S Ò Þ ÓØÚÓÖ Ò ÙÔÓÚ ØÚ n=1 V n = S Ò V n U n Sº Æ Þ ÚÓ n ψ n Ð Ø ÙÒ ØÚ ψ n (x) 1 Ò U n ψ n (x) 0 Ú Ò V n 0 ψ n (x) 1 ÓÚÚ ÙÒ ÓÒ ØÖÙ Ü ÙÞ ÔÓÑÓ ÙÒ e 1/x2 µº Ì F(x) = n=1 2 n ψ n (x) ÞÓÚÓ¹ Ú Ù ÐÓÚ Ä Ñ º Æ Ö ÚÓÙÕ Ò Å ÓÐÓ Ð Ô ÙÒ F ÙÔ S ÑÓ Ù Ò ÓÔ ÚÓ Ò ÔÖ Ú Ð Òº Ð ÑÓ Ð Ù Ø Ù ÓÔ Ü ÑÓ ØÖÙ ØÙÖÙ ÙÔ ½µ ÔÓØÖÒÓ Ò Ñ ÓÜ Ò ÜØÓ Ñ Ð ÔÓØ ÙÒ Fº ËÐ Ò ¹ Ò Ñ ÓÞÆÙ ØÓ Ò ÜØÓ Ú Ø Ø ÓÖ ÑÙ Þ µº Ò Æ D ÓØÚÓÖ Ò ÔÓ ÙÔ Ù R n F : R n R Ð Ø ÙÒº Ì Õ x 0 D Ò Þ Ú Ò ÙÐ ÖÒÓÑ Ø Õ ÓÑ ÙÒ F Ó F(x 0 ) = 0º Ì Õ y 0 Y ÖÙÐ ÖÒ ÚÖÒÓ Ø ÙÒ F Ó y 0 Ò Ð Ò Ò ÙÐ ÖÒ Ø Õº Ì ÓÖ Ñ Ó y 0 ÖÙÐ ÖÒ ÚÖÒÓ Ø ÙÒ F S = F 1 (y 0 ) ÓÒ Ð S = Ð Ú Ø Õx 0 S Ñ Ó ÓÐ ÒÙU ØÚÙ U S ÓÑ ÓÑÓÖ ÒÓ ÒÓÑ ÓØÚÓÖ ÒÓÑ ÙÔÙ Ù R n 1 º ÓÞ Ð Þ Ì ÓÖ Ñ Ó ÑÔÐØÒÓ ÙÒ Ð Ì ÓÖ Ñ Ó Ö Ò Ù Ð Ì ÓÖ Ñ Ó ÒÚ ÖÞÒÓ ÙÒ Ú ÓÚ Ø ÓÖ Ñ Ù Ú Ú Ð ÒØÒ µº Æ ÔÓÑ Ò Ó ØÓ Ú Ü ÙÒ F 1,...,F k ÓÒ Ø Õ Ù x 0 Ò Þ ¹ Ú ÑÓ Ò ÙÐ ÖÒÓÑ Ó Ù Ö ÒØ F 1 (x 0 ),..., F k (x 0 ) Ð ÒÖÒÓ Þ Ú Ò º ËÐÙ (F 1 (x 0 ),...,F k (x 0 )) R k Ò ÙÐ ÖÒ Ø Õ Ò Þ Ú ÑÓ Ò ÙÐ ÖÒÓÑ ÚÖ¹ ÒÓÜ Ù kßøóö ÙÒ F 1,...,F k Ú Ó Ø Ð Ø Õ Ù R k Ò Ñ ÖÙÐ ÖÒ Ñ ÚÖÒÓ Ø Ñ º Î Ø ÓÖ Ñ Ó ÙÓÔÜØ Ú ÔÖ Ø Ó ÒÙ Ò ÓÚÙ ØÙ Ù ÁÒ¹ Ú ÖÞÒ Ð ÖÙÐ ÖÒ ÚÖÒÓ Ø Ð ÔÖ ÞÒ Ð ÐÓÐÒÓ ÓÑ ÓÑÓÖ Ò ÓØÚÓÖ ÒÓÑ ÙÔÙ Ù R n k º ÈÖ Ø Ó Ò Ø ÓÖ Ñ ÓÕÐÒÓ ÔÐÒ ÐÙÕ ÓÚ Ò ÔÓÑ Ò Þ k = 1º ¾ ÇÚÚ ÙÒ ÑÓ Ù ÓÚÓÑ Ø ØÙ ÞÚ Ø Ð ØÑº ËÚ ÙÒ ÚØÓÖ ÔÓ Ó Ø Ð ÓØ Þ Ó ØÓ Ñ Ñ Ð µ Ó Ù Ø ØÙ ÔÓÚ Ù Ù Ñ ØÖ ÑÓ Ð ØÑ Õ Ó ØÓ Ò ÑÓ ÔÐØÒÓº

Ë ÙÔÓÚ Ó ÓÔ Ù ÔÖ Ø Ó Ò Ø ÓÖ Ñ ÔÖ Ø Ó Ò Ò ÔÓÑ Ò µ Þ Ú ÑÓ Ð ÓÑ Ò ÓÑº Ò À Ù ÓÖ ÓÚ ØÓÔÓÐÓÜ ÔÖÓ ØÓÖ M Ò Þ Ú ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó¹ Ü Ù Ñ ÒÞ n Ó Ú Ø Õ x 0 M Ñ ÓØÚÓÖ ÒÙ Ó ÓÐ ÒÙ Ó ÓÑ Ó¹ ÑÓÖ Ò ÓØÚÓÖ ÒÓÑ ÙÔÙ Ù Ù Ð ÓÑ ÔÖÓ ØÓÖÙ R n º ÇÕÐÒÓ Ú ÓØÚÓÖ Ò ÔÓ ÙÔ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ñ ÑÒÓ Ó ØÖÙ¹ Ó Øº ÈÖ Ñ Ö ½º ÃÖ Ú r = 2sinθ ÒÓÑ ÒÞ ÓÒ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ö Ú r 2 = 4cosθ Ò r θ Ù ÔÓÐ ÖÒ ÓÓÖÒ Ø Ù R Rµº ¾º ÃÖ Ú r = 1 cosθ ÒÓÑ ÒÞ ÓÒ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ð Ò Ñ Ø ÒÒØÙ Ù (0,0)º º ËÚ ÒÓÑ ÒÞ ÓÒ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø ÓÑ ÓÑÓÖ Ò ØÓÔÓÐÓÜ Ú ¹ Ú Ð ÒØÒ µ ÖÙ Ò Ð ÔÖ ÚÓ º º ÚÓÑ ÒÞ ÓÒ Ö ÚÓÑ ÒÞ ÓÒ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Øº ËÚ ÚÓÑ Ò¹ Þ ÓÒ ÓÑÔØÒ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ù Ð ÓÚ Ò Ó Ù ØÓ ÜØÓ Ò Ö Ò ÔÖ Ú ÒÓÐÓ ÖÙÔ ÓÒ Þ ÔÙÜ Ð ÅÙ ÓÚ Ñ ØÖ Ñ Ð ÖÙÕÑ º ÆÔÖº Ö ÒÓÑ ÖÙÕ ÓÑ ØÓÖÙ Ö ÒÓÑ ÅÙ ÓÚÓÑ ØÖÓÑ ÔÖÓ Ø ÚÒ Ö Ú Ò Ö Ú ÅÙ ÓÚ ØÖ ÃÐÒÓÚ Ð Ü º ËÚ ÓÚ ÔÓÚÖÜ Ù ÚÓ Ø Õ ÑÙ Ø ÒÒØÒÙ Ö Ú Òº ËÐ ¾ ÚÓÑ ÒÞ ÓÒ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø ¹ ÔÓÚÖÜ º ÃÐ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ñ ÒÞ ÓØÚÓÖ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ð ¹ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ñ ÒÞ Ú Ó Ò Ö Ü Ú ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÚÓ¹ Ú Ò Ð Ù ÓÒ ÕÒÓ Ò Ö Ò ÖÙÔ Ù Ù Ú ÓÒ ÕÒÓ Ò Ö Ò ÖÙÔ ÑÓ ÖÐ ÞÓÚ Ø Ó ÙÒÑ ÒØ ÐÒ ÖÙÔ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ñ ÒÞ Ú Ó µ ÔÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ö Ü Ú ÔÖÓ Ð Ñ Ö Õ Ì ÓÖ Ñ Å Ú Þ Å Ø Ñ Ø Õ ÐÓµº º Ë ÙÔ Ú Ñ ØÖ n n ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ö ÓÚ ÙÔ ÓÑ ÓÑÓÖÒ µ R n n º Ë ÙÔ GL(n) ÒÚ ÖØ ÐÒ n n Ñ ØÖ ØÓÆ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ö ØÓ ÓØÚÓÖ Ò ÔÓ ÙÔ Ù R n n Ù Ù Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÔÖÒÓ ÔÓÐ ¹ ÒÓÑ Óµ ÔÖ Ð Ú ÙÔ GL(n) ÓÑÔÐ Ñ ÒØ ÙÔ det 1 (0)º Á Ó Ø Ð ÔÓÞÒ Ø Ñ ØÖ ÕÒ ÖÙÔ Ù ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø º Æ ÔÖ Ñ Ö ÖÙÔ O(n) ÓÖØÓ Ó¹ Ò ÐÒ Ñ ØÖ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ö Ò Õ Ò A A T = E Ú Ò ÔÓ Ó¹ ÓÖÒ Ø Ñ Ó Ò Õ Ò Ù R n n ÞÓÚÓ ÚÙ Ù ÐÓÚ ÔÖ Ø Ó Ò Ø ÓÖ Ñ Ò ÔÓÑ Ò Þ Ñ ØÖ Ñ Ü Ø ÓÐÓÚ Ô Ô Ö ØÓ ÔÖÓÚ Ö ÐÓµº ÁÑÙ Ù ÚÙ Ò ÐÓÚ ÓÚÓ Ø Ø Õ Ò Ù ÚØÓÖ ÖÞ Ò Ø ÒÒØÒ ÚØÓÖ Ò ØÖØÓÖÙ Ó ÓÑ Ø Õ Ö Ù Ù Ù ÑÓ ÔÓ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó¹ Ø Ñ ÔÓ Ö ÞÙÑ Ú Ø ÑÓ ØÞÚº Ð Ø ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ø º ÓÒ Ó ÑÙ

Ø ÒÒØÒ ÔÖÓ ØÓÖ Ù ÚÓ Ø Õ º Ò Õ ÓÚÓ Ó ÓÚÓÖ ÐÙ ØÖÙ Ð Þ Øº Ø ÇÚÓ Ó ÐÓÑ Þ ÔÖ Õ Ë Ö º Ãº Ó Ð Ë ÑÓ Ø Ò Ü ÓÐ ß Ã Ó ÜØÓ Ú Ø ÓÚ ØÖ Ó Ø Ú Ó Þ Ó ÓÑ Ð Ó ÓÐ Þ Ó Ó Ü ÓÐ º ß Þ Ö Ð Ò ÑÓÓ ÔÖ Ñ Ü ÓÐ ß Æ Ò Ö ÑÓ ÎÓØ ÓÒ º Ò Þ ØÓÕ Ò ÓÑ Ø ÜØ Õ Ø ÚÓ Ø Ö Ø Ó Ø Ú Ù ØÖÓÚ º ËÙÖÒÓ Ø ÔÖ Ñ Ø Ð Þ ØÓÕ ÔÖ Ü ÚÜ Ò ÒÓÐÓ Ñ Ø ÔÖÓ ØÖ ÔÖ ØÓÕ ÔÓØÔÙÒÓ Þ ØÖÓ ÓÚ ØÖÓÚ Ó Ù ÔÐ º ÌÓ Ò ÙÑ ÚÓ ÓÞÙ Ð Ø ÓÐ Þ Ó Ó Ü ÓÐ º µ ÁÑ Ð Ñ Ð ÓÚÓ ÜØÓ ÓÚÓÖ ÖÐÓ ÀÓÐÑ µ ÅÓ Ð Ó Ö Ñ Ö Ö Ø Ð Ò Ó ÒÓÚÙ ÓÚÓ ØÖ ÈÖ ÙÞ ØÓ Þ ÓÑ ØÖ Ñ ÜØ ÃÓÒÚ Ó Ð ÐÑ Ò ÌÖ ØÓÒº ¾º ÙØÒÓÚ Ñ Ò Ø ÓÖ Ö Ò ÐÒ Ò Õ Ò º ÖÙ ÙØÒÓÚ ÞÓÒ Ð d ¾µ F = ma, Ó ÒÓ ÒÓ 2 q dt 2 = 1 m F. Þ ØÓ ÚØÓÖ Ó ÔÓ F : R 3 R 3 ÓÚÓ ÓÕÒ Ö Ò ÐÒ Ò Õ Ò ÖÙ Ó Ö ÔÓ qº ÁÞ Ø ÓÖ Ö Ò ÐÒ Ò Õ Ò Ò Ñ ÔÓÞÒ ØÓ ÓÒ Ñ Ò ØÚ ÒÓ Ö Ü Ù ÓÐÓ Ù Þ Ø Ú Ù ÐÓÚ Ö Ö Ó Ò Õ Ò ÖÙ Ó Ö µ ÒÔÖº ÔÓÕ ØÒ ÔÓÐÓ ÔÓÕ ØÒ ÖÞ Ò º ÇÚÓ Ù Ú ÚØÓÖ Ù R 3 º Ð Ú Ø Õ ÔÖÓ ØÓÖ R 3 R 3 Ó Ö ÆÙ ÒÓ Ö Ü Ò Õ Ò ¾µ Ó ÒÓ ÒÓ Ú ÙÖ Æ Ò Ô Ö ÚØÓÖ Þ ØÓ ÔÖÓ ØÓÖ Ú Ò Ó Ô Ö ÔÓÕ ØÒ ÔÓÐÓ ÔÓÕ ØÒ ÖÞ Ò µ ÔÓØÔÙÒÓ Ó Ö ÆÙ ØÖØÓÖÙ ÔÓ Ó Ó Ø ÐÓ Ö º ÈÖÓ ØÓÖ R 3 R 3 Ò Þ Ú ÓÒ ÙÖÓÒ Ñ ÔÖÓ ØÓÖÓÑ Ø Ñ Ù ÓÑ Ð F ØÚÙ Ò ÒÓ Ø ÐÓº ÇÔÜØ Ó Ø Ñ ØÓ Ó n Ø Ð ÓÒ ÙÖÓÒ ÔÖÓ ØÓÖ R 3n R 3n Ò Õ Ò ¾µ Þ Þ ØÓ ÚØÓÖ Ó ÔÓ F : R 3n R 3n ÚØÓÖ Ð Ó ÐÙ Ù Ò ÚÓ Ó Ø Ð Ò ÒÓ ØÖ Ò Ò Õ Ò ¾µ Ú Ó ÑÒÓ ÖÔÖÓÕÒÓÑ ÚÖÒÓÜ Ù Ñ ÓÓÚ ÖÙ Ø Ð µ Ò Õ Ò ÔÓ Ò ÔÓÞÒ ØÓ ÚØÓÖ ÓßÚÖÒÓ ÒÓ ÙÒ q : R R 3n ÚØÓÖ ÔÓÐÓ n Ø Ð Ù ØÖÓÑ ÒÞ ÓÒÓÑ Ú ØÙ Ù ØÖ ÒÙØ Ù t Rµº ÅÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø ÓÒ Ó Ù ÔÖ Ø Ó ÒÓ Ø ÓÖ Ñ Ó ÒÚ ÖÞÒ Ð ÖÙÐ ÖÒ ÚÖ¹ ÒÓ Ø Ð Ø ÔÖ Ð Ú Ù Ð Ø ß ÓÚ Ø ÒÒØÒ ÔÖÓ ØÓÖ Ù ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ ÓÑ¹ ÔÐ Ñ ÒØ Ö ÒØßÚØÓÖ ÙÒ Ó Ò ÜÙº ÓÖÑ ÐÒ Ò Ð Ø ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø ÅÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø M Ñ ÒÞ n Ð Ø Ó Þ ÚÙ Ø Õ Ù x M ÔÓ ØÓ Ó ÓÐ Ò U x ÓÑ ÓÑÓÖÞ Ñ ψ U : U B U Ó ÓÐ Ò U Ò ÓØÚÓÖ Ò ÔÓ ÙÔ B U R n ØÚ Ó (V,ψ V,B V ) ÓÜ Ò ØÖÓ ØÚ ÓÑ ÓÑÓÖÞ Ñ ÔÖ ¹ Ð Ú ψ U ψ 1 V : ψ V (U V) ψ U (U V) ÓÑÓÖÞ Ñ ÓØÚÓÖ Ò ÔÓ ÙÔÓÚ Ù R n º ÌÖÓ (V,ψ V,B V ) Ð Ò Ñ ÔÖ Ð Ú ψ U µ Ò Þ Ú ÑÓ ÐÓÐÒ Ñ ÖØ Ñ Ð ÐÓÐÒ Ñ ÓÓÖÒ Ø Ñ º Ã ÑÓ Ú Ö Ú γ 1,γ 2 : ( ε,ε) M ÓÖÙ Ù Ù Ø Õ q = γ 1 (0) = γ 2 (0) M Ó Ö Ú ψ γ 1 ψ γ 2 ÑÙ Ø ÞÚÓ Ù ¼ Þ ÒÙ ÚÙµ ÐÓÐÒÙ ÖØÙ ψº ÃÐ Ù Ú Ú Ð Ò Ö Ú Ó ÓÖÙ Ù Ù q M Ò Þ Ú ÑÓ Ø ÒÒØ¹ Ò Ñ ÚØÓÖÓÑ Ù ØÓ Ø Õ ÙÔ Ú Ø ÒÒØÒ ÚØÓÖ Ù q ß Ø ÒÒØÒ Ñ ÔÖÓ ØÓÖÓÑ Ù q ÓÞÒ Õ Ú ÑÓ T qmº Æ Ð ØÑ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ñ ÑÓÑÓ ÓÚÓÖ ÑÓ Ó Ð ØÑ ÔÖ Ð Ú Ñ ß f : M N Ð Ø Ó Ó Þ ÚÙ ÒÙµ ÖØÙ φ Ò M ψ Ò N ψ f φ 1 Ð Ø Ó ÔÖ Ð Ú Ù Ð ÔÖÓ ØÓÖ º

Ó Ù Ò Õ Ò ¾µ ÞÚÖÜ ÑÓ Ñ ÒÙ r = q+tv ÓÑÓ d 2 r dt 2 = 1 m F, ÜØÓ Ò Õ Ò ¾µ ÔÓ ÒÓÚÓ ÔÖÓÑ Ò ÚÓ rº Ð ÖÙ ÙØÒÓÚ ÞÓÒ ÒÚ Ö ÒØ Ò Ù Ó ÒÓ Ù Ò ÔÖ Ð Ú µ Γ : R 3 R R 3 R, Γ(q,t) = (q+tv,t). ËÐ ÕÒÓ Ó Ð Ò Õ Ò ¾µ Ò Ñ Ó Ù Ù ÙÚ ÑÓ Ñ Ò µ r = q+u Ð r = Rq, u ÓÒ Ø ÒØ Ò ÚØÓÖ Þ R 3 R Ñ ØÖ ÖÓØ Ø º ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Ñ ¹ ØÖ Þ Ó Ù detr = 1º ÌÖ Ò ÓÖÑ µ Ù ÖØÒ ÞÓÑ ØÖ ØÖ Ò ÓÖÑ Ù Ð Ó ÔÖÓ ØÓÖ Ø º ØÖ Ò ÓÖÑ ÔÖÓ ØÓÖ Ó ÕÙ¹ ÚÙ Ö ØÓ ÓÖ ÒØ Ùº ÌÖ Ò ÓÖÑ µ µ Ú ÓÚ ÓÑÔÓÞ Ò Þ Ú ÑÓ Ð Ð Ú Ñ ØÖ Ò ÓÖÑÑ ÙÔ Ð Ð Ú ØÖ Ò ÓÖÑ ÖÙÔ ÞÓÚ ÑÓ ¹ Ð Ð ÚÓÑ ÖÙÔÓÑº ÁÒÚ Ö ÒØÒÓ Ø Ò Õ Ò ¾µ Ù Ó ÒÓ Ù Ò Ð Ð Ú ØÖ Ò ¹ ÓÖÑ ÞÒ Õ ÞÓÒ ÙØÒÓÚ Ñ Ò Ò Ñ Ù Ù ÓÓÖÒ ØÒÓÑ Ø ÑÙ Ó Ò Ð Þ Ò ÖÙ ÓÑ Ñ ØÙ Ù ÔÖÓ ØÓÖÙ Ð Ö ÓÒ Ø ÒØÓÑ ÖÞ ÒÓÑ Ù Ó ÒÓ Ù Ò ÔÓÕ ØÒ ÔÓ Ù ÐÓÚÓÑ ØÓ ÓÖ ÒØ Òµº ÈÓ ÐÑÓ Ú ÔÖ Ñ Ö Þ ÚÓ Ò ÚÒÓ ÚÓØ º Ø µ Ó ½ º ÓÒ Ú Ø ÖÓÖ Ò ØÑ Õ Ñ Ù Þ Ú Ù Õ Ô Þ Ó Ü ÑÔ ÞÒÓ Ó ½¼ ØÓÔ ÒÕ ÖÓ Ô Ø Ò Ö Ø Ò Ö Ú ÖØ Ö Å Ð À Ðº ÃÓ ÓÑ ÖÞ ÒÓÑ º À Ð Þ Ó Õ Ô Þ Ó Ó ÞÒ ÓÙ ÖÓ Ò ÔÓÚÖÜ Ò Ñ ÔÓ Ù ÐÓÑ Ó Ø Ô Ò µ ÆÓÚ Ú Ø ÖÓÖ Ó ½ ØÓÔ ÒÕ ÔÓ Ø Ó º ÙÒ ½ º ÓÒ Ò ØÑ Õ Ù Ù Ú Ò Ö ÎÙ Ö ÎÒÖ ÔÖÓ ÓÖ º ÀÒÖ ÈÓÐ ØÒ Õ Ó Ò Ø ØÙØ Ù Ê Ò Ð ÖÙº ÇÒ ÔÖ Þ Ú Ù Õ Ô ÓÙ ÖÓ Ò Ú Ò Ó ØÓÔ ÞÒ ÔÓÚÖÜ Ò Ñ ÔÓ Ù ÐÓÑ Ó Ø Ô Ò º ÃÓ ÓÑ ÖÞ ÒÓÑ ÔÖÓ ÓÖ ÀÒÖ Þ Ó Õ Ô Þ Ó ÈÖ ÙÞ ØÓ Þ ÌÓÑ ÓÚ Ñ Ø Ñ Ø Õ Ð ÖÔº ÔÖ ÚÓ Þ º Ã Ó Öº Ø Í ÒÓ Þ Ñ Õ Ò ÙÕ Ò ØÓ Ò ØÓÖ Ù Ú Ó ÓÑ y Ñ Ø Ö ÓÚ ÙÕ Ø Ù Ó ÙÑ ØÒÓ Ø ÖÙ ÓÚ ÐÙ ÓÑ ØÖ ÐÓÑµ Ñ Ö ÒÓ ØÓ Ù Ò x Ñ Ø Ö Ó ØÓÖ ÔÓÚ ÞÓÑ ÔÖÓ ÓÕÙº Í ØÖ ÒÙØ Ù ÙÕ Ò Ù Ù ØÓÖ ÙÕ Ø ÓÔ ØÖ ÐÙ ÔÓÕ ØÒÓÑ ÖÞ ÒÓÑ v 0 ÔÓ Ù ÐÓÑ α = arctan(y/x) ÔÓÆ Ù Ù Ù Ð ØÙº Ð ÓÚÓ ÔÓ Ð µ ÐÙÕÒÓ Ó ÖÓ ÞÖ Ò ÔÓÕ ØÒ ÖÞ Ò v 0 µ ÙÕ Ø Ú ÒØÙ Ú ÜØ Ò ÓÒ ÒØÖ Úµ Ò Õ Ó ÔÓÒÙÆ Ò ÓÓÚÓÖ ÈÓ ÒØ ÔÖ Ø Ó ÒÓ Þ Ø Ù ØÓÑ ØÖ Ð Ù ÚÓÑ ÐÙÕÙ ÔÓÆ Ù Ù Þ Ó Þ Ö ÓÐÓ Ó Ù Ø Ù Ò ÔÒ ÐÙ Ó ÓÑ ÖÞ ÒÓÑ ÓÔÒ ØÖ ÐÙ ÔÓ Ù ÐÓÚÓÑ ÞÒ ÞÖ ÕÙÒ ÙÓ ÔÓ ÓÑ ØÖ ÓÔÒ µº Ð ÞÚ Ù Ù Ö Ò ÐÒ Ñ Ò Õ Ò Ñ Ù Ù ÑÓ ÔÓ Ó ÚÓ Ñ ÓÐÓ Ò Ò ÔÖ Ø Ò Ð ÔÐ Ü Úº ÌÓ ÑÓ Ñ ØÖ Ø ÔÓÕ Ø ÓÑ ÙÚÓÆ ÑÓ Ö Ø Ù Ù Ó º ººº ÜØÓ ÔÓ Ð ÕÒÓ ÓÚ ÐÓ Ó ÔÖÓÔ Ø ÓÚ ÔÐ Ñ Ò Ø Ú ÜØ Ò ÒÓ Ô Ù ÞÓÖ Úº

º Å Ò Ó Ú ÖÓÒ Ö ÕÙÒº Æ L : R m R m R R Ð Ø Ó ÔÖ Ð Ú Ò Þ Ú ÑÓ ÐÖ ÒÒÓÑµº Ö ÚÙ q : [0,1] R m Ó Ô Ø Õ q(0) = a q(1) = b Ò Ü ÑÓ µ S(q) = 1 0 L(q, q,t)dt, q ÓÞÒ Õ Ò ÞÚÓ d dtqº Î ÖÓÒ Ö ÕÙÒ Ú Ñ Ò Ñ Þ ÓÑ Ð ÓÔÜØ Ò Ð Ñ ØÖ Ñ Ð µ ÓÚÚ Ð ÕÒ ÙÒÓÒ Ð º ÆÑ Ö Ú [0,1] t q(t) R m Ò Þ Ú ØÖ Ñ ÐÓÑ ÙÒÓÒ Ð S Ù ÔÖÓ ØÓÖÙ Ö Ú Ö Ò Ñ Ö Ú Ñ Ó Þ ÚÙ Ú Ö Ù Ö Ú q Ó Ö Ö Ú Ø º Þ a q s ËÐ Î Ö Ö Ú b ÚÙ Ñ ÐÙ Ö Ú q s : [0,1] R m,, ε < s < ε, ØÚÙ q s (0) a q s (1) b q 0 (t) = q(t) Ú d µ ds S(q s (t)) = 0. s=0 Ö Ò Ö Ñ ÞÖ Þ µ ÔÓ ÞÒÓÑ ÒØÖ Ð Þ Ù ÐÓÚ µ ÓÑÓ 1 ( ) L dq s 0 = 0 q ds + L dq 1 [ s L dq s dt = q ds 0 q ds + d ( ) L dq s d ( ) ] L dqs dt. dt q ds dt q ds ÈÓ Ð ÒÓ Ø Ð Þ ÔÖÓ Ø ÔÖ Ñ Ò Ä Ò ÓÚÓ ÔÖ Ú Ð Þ ÞÚÓ ÔÖÓ ÞÚÓº ÁÒØÖ Ð Ö Ö Ò ÒÓ ØÖ Ò Ò ÒÙÐ Þ Ó ÙØÒßÄ Ò ÓÚ ÓÖÑÙÐ Õ Ò q s Ñ Ð Ö Ú Ó Ö Ö Ú Ô Ò ÞÚÓ ÔÓ s Þ t = 0 t = 1 Ò ÒÙÐ º ØÓ Þ ÔÓ Ð ÒÓ Ø Ð q ØÖ Ñ Ð ÙÒÓÒ Ð S Ó ÑÓ Ó 1 ( L 0 q d ) L dqs dt q ds dt = 0 Þ ÚÙ Ú Ö Ù q s Ó Ö Ö Ú º ÌÓ ÑÓ Ù ÑÓ Ó L µ q d L dt q = 0. ÇÚÓ Ù ÕÙÚ Ò Ç Ð ÖßÄÖ ÒÚ Ò Õ Ò º Ø Æ L(q, q,t) = q º Ì S(q) = 1 0 q(t) dt, ÓÞÒ Þ ÙÒÙ ÒØ ÒÞ Ø Øµ ÚØÓÖ ÙÒ Ö Ú q(t)º ÃÓ¹ Ö Ø Ç Ð ÖßÄÖ ÒÚ Ò Õ Ò ÓÞ Ø Ù ØÖ Ñ Ð ÓÚÓ ÙÒ¹ ÓÒ Ð ÔÖ Ú ÔÖ Ú Ò Ö Ö ØÓ ÞÑ ÆÙ Ú Ø Õ µº Ò Þ Ò Ñ Ú ÐÙÕ m = 3n ÐÖ ÒÒ L ÙÒ Ò ¹ Ò Ò ÞÒÓÑ ÔÖÓ ØÓÖÙ Ó Ù ÓÔÜØ Ñ ÐÙÕÙ ÑÓ Þ Ú Ó ÚÖ Ñ Ò

Ø º Ò ÑÓÖ Ù ÙØÓÒÓÑÒ µº ÈÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ ÔÓ Ð F : D R m Ò ÒÓ Ù ÒÓ Ó Ð Ø D R m º Ã ÑÓ ÔÓ F ÔÓØ Ò ÐÒÓ Ó ÔÓ ØÓ Ð ÖÒ ÙÒ V : D R ØÚ Ú µ F(q) = V(q) Þ Ú q R m. ÙÒ V Ò Þ Ú ÔÓØ Ò ÐÓÑ ÚØÓÖ Ó ÔÓ F Ð ÔÓØ Ò ÐÒÓÑ Ò Ö ÓÑ Ö ÞÑ ØÖ ÒÓ Ø Ñ ÔÖ Ñ Ø ÑÓ ÓÒ Ò Ò Ó Ò ÓÒ¹ Ø ÒØÙº Æ ÓÔ ÓÒ Ù ÐÓÚ Þ Ø Ò ÔÓØ Ò Ð ØÓ ÚØÓÖ Ó ÔÓ F F = 0 Ö V = 0µº ÇÚ Ù ÐÓÚ ÓÚÓ Ò Ù ÓÐÓ Ó Ð Ø D Ù Ó Ó Ò ÒÓ ÔÓ F ÔÖÓ ØÓ ÔÓÚ Þ Ò Ø º Ó Ú ÔÖÓ Ø Þ ØÚÓÖ Ò Ö Ú Ù D Ó Ö Ò Õ Ú Ó ØÓÆ ÔÖ Ô Ó Ð Ø D ÒÔÖº Ö Ú Ò Þ ÓÓÖÒ ØÒÓ ÔÓÕ Ø Ò ÔÖÓ ØÓ ÔÓÚ Þ Ò µº ÈÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ Ö ÒÓ Ø ÚÒÓ Ø Þ Ô ÙÜØ Ò ØÓ Ò Ó Ö Ò Õ Ú ÓÔÜØÓ Ø Ú ÑÓ ÞÚ ÓÑÔÐÓÚ Ò Þ Ô Ú Ü Ñ m 1,...,m k µ Ø Ñ ØÓ Þ ÒÓ Ø Ð ÔÓ Ñ ØÖÑÓ ÙÒ Ù L(q, q,t) = m q 2 V(q), 2 ÞÖ Þ m q 2 /2 Ò Þ Ú Ò Ø Õ ÓÑ Ò Ö ÓÑµº Ç Ð ÖßÄÖ ÒÚ Ò ¹ Õ Ò µ ÔÖ Ñ Ò Ò ØÙ ÙÒ Ù Ð Ø m d2 q + V(q) = 0, dt2 ÜØÓ ÑÙ Ù ÚÙ µ ÙÔÖ ÚÓ ÖÙ ÙØÒÓÚ ÞÓÒº Ð ÓÞ Ð ÑÓ Ð Ù Ø ÓÖ ÑÙ Ì ÓÖ Ñ ÌÖØÓÖ ÔÓØ Ò ÐÒÓ Ø Ñ Ù ØÖ Ñ Ð ÙÒÓÒ ¹ Ð µ Þ ÙÒ Ù L Ó Ö ÞÐ Ò Ø Õ ÔÓØ Ò ÐÒ Ò Öº Ø Æ V 0º ÓÞ Ø Ù Ö Ü Ç Ð ÖßÄÖ ÒÚ ¹ Ò Õ Ò ÔÖ Ú ÜØÓ Ð ÒÓ ÈÖÚ Ñ ÙØÒÓÚ Ñ ÞÓÒÓÑ µº º Å Ò Ó Ê Ñ ÒÓÚ ÓÑ ØÖ ÄÖ ÒÚ Ñ Ò º ÈÖ Ø¹ ÔÓ Ø Ú ÑÓ Ð ÑÓ ÓÔ Ü ÑÓ Ö Ø Ð ØÒ Ó Ó ÐÙ Ù ÒÓ Ö ÚÒ º Æ Ó Ñ Ð Ö Ú Ø ÐÙ Ð Þ Ø Þ Ò Ô Þ Ó Ú Þ ÒÓº ÌÓ ÞÒ Õ ÚØÓÖ Ð Ù ÖÙ ÓÑ ÙØÒÓÚÓÑ ÞÓÒÙ Ø º Ò ØÖ Ò Ö¹ Ò ÐÒ Ò Õ Ò ¾µ ÐÓÒ ÒÓ Ù ÐÙÕÙ Ø Ð Ó ÐÓ Ó ÒÓ Ö Ù Ö Ú ØÓÒÓÑ ÔÓ Ù Ó Ù ÞÑ Ó Ù ÓÙ Ü ÑÔ Ùµº ÌÙ Ò Ð Ø Õ Ù ÓÑÔÐ Ù ÑÓÑÓ Ð Ñ Ò Ü ÑÓ Ó ÔÖ Ø Ò ÑÓ Ò ØÓ Ò ÖÙ Ò Õ Ò Ð ÑÓ ÔÖÓ ØÓÖº ÆÑ Ð Þ Ø Þ Ñ ÔÖÚ Ú Ø Ð ØÒÓ Ö ÔÓ ÖÙ Ò Ø º ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø S 1 º Ö Ú Ø Ó Ø Ö Ú Øº Ð Ð ØÒÓ ÑÓÑÓ ÔÓ Ñ ØÖ ÑÓ ØÓ Ó ØÖ ÐÙ Ð Õ Ô Ð Ü Ü Ñ¹ Ô Ó Ú Ù ÔÖÓ ØÓÖÙ S 1 ÔÖÓ Ð Ñ ÓÔ ÓÚÓ Ö Ø ÑÓ Á Ú Ü Ó ØÓ Ö ÞÙÐØ Ø ÓÚÓ Ø ÙÔÖ ÚÓ ÈÖÚ ÙØÒÓÚ ÞÓÒ Ö Ö Ü ÓÐ Þ Ø ÕÒÓÑ Ô Ö Ñ ØÖ Þ ÓÑ Ø Ñ Ø ÕÒÓ Ó Ö Æ Ò Ñ ÓÒ Ø ÒØÒ Ñ ÚØÓÖÓÑ ÖÞ Ò µº ÍÔÓÖ Ø ÓÚÓ ÔÖ Ø Ó Ò Ñ Þ Ø ÓÑ Ù Ö Ü ØÓÆ Ð ÔÖ Ú Ð ÐÓ ÚÓÑ Ô Ö Ñ ØÖ Þ ÓÑº Ê ÞÐÓ Ð Ù ØÓÑ ÜØÓ q(t) dt Ò Þ Ú Ó Ô Ö Ñ ØÖ Þ q(t) 2 dt Þ Ú º Â ÞÓÑ Ê Ñ ÒÓÚ ÓÑ ØÖ ÚÓ ØÚÓ Ø ÓÞ Ð Ò Ò ÒÚ Ö ÒØÒÓ Ù Ó ÒÓ Ù Ò Ö Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ùº ÇÚÓ ÑÓ ÓØ Ù Ð Ñ Ô ÖÖÙº

ÓÖÑÙÐ Ü Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÓÔ Ö Ø Ø Õ ÔÓ S 1 Ò Ó Ù ÐÙ Ð Ö Ú¹ Øº ÖÙÑ Ö Õ Ñ ÓÒ ÙÖÓÒ ÔÖÓ ØÓÖ Ø ÑÓ ØÓ ÔÖÓ ØÓÖ ÔÓÕ ØÒ ÔÓÐÓ ÔÓÕ ØÒ ÖÞ Ò Ð Ô ÖÓÚ Ø ÕßØ ÒÒØÒ Ú¹ ØÓÖµ Ñ Ò Õ Ó Ø Ñ Ð ØÒÓ TS 1 ß Ø ÒÒØÒÓ Ö ÐÓ ÖÙ Òº S 1 ËÐ ÃÐ ØÒÓ ÖÙ Ò ËÐ ÕÒÓ ÓÒ ÙÖÓÒ ÔÖÓ ØÓÖ ÚÓ ØÖÙ Ó Ð ØÒ Ø ÒÒØÒÓ Ö ÐÓ ØÓÖÙ S 1 S 1 º ËÐ ÚÓ ØÖÙ Ó Ð ØÒÓ ØÓÖÙ Ø ÈÓÞÒ Ø Ó Ö Ò ØÓÖ ÖÓØ ÙÑ Ò Ø ÐÑ Ö Ö ÐÙÑ ÓÚ Õ ÖÓ Ù Ð ½ ½¼ß½ µ Ð Ø Ó ÞÒ Ã Ð ¹ ÑÒ Ö ÑÓ ÞÙÑ Þ Ù ÔÖ ÕÚÖÜ ÒÓ Þ Ú ÓÒº ÇÔ Ø ÓÒ¹ ÙÖÓÒ ÔÖÓ ØÓÖ Ù ÓÑ ÓÚ ÖÓ Ó Ú Ð º Ì ÒÒØÒÓ Ö ÐÓ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø ÙÒ Ø ÒÒØÒ ÔÖÓ ØÓÖ Ù Ú Ñ Ò Ñ Ø ÕÑ º Ð ØÓ Ð Ø Ó ÞÒ Ò ÖÙ ÚÖÓÔ ÖÓÚ ÞÚÓÓ ÖÙ Ò Ú ÖÓÚ ØÒ Ø Õ Ó ÔÓ Ö Þ Ô ØÓ ÞÑ ÆÙ Þ Ö Þ Þ ÜØ ØÒ ÑÖ µ Ú Õ Ð ÕÒ Ü Ô Ó ÐÓÆ Þ Ú Þ Ó Ú Ú Ó Ó Ò ÖÚ ØÙ Ó ÓÖ Ø Ò ¹ ÔÐÓÞ ÚÙ Þ Õ ÒÓÑ Þ Ð Ò ÓÑ Ú Þ ÔÖ ÕÚÖÜ Òº Æ Ñ Ð ÔÖÓ Ó ÚÓ ÖÓØ¹ ÔÖ Ø Ú ÔÓ Ð Ó Ö ÞÒ Ñ ÙÑ Ò Ø ÖÒ Ñ ÔÓÖØ Ñ ÖÙÑ Ù ÖÙ Ñ Þ Ó Õ Ó ÑÒÓ Ó Ð Ú Ò Ù ÚÖÓÔ Ó ÜØ ÑÔ ÞÑ ÆÙ Ú Ö Ø º Ë ÖÙÔÓÑ ÒØÙÞ Ø ½¾º ÓÒ ÔÓ Ò Ñ Õ ÓÑ Ó ÙÔ ÓÑ Ù Ñ Ø Ö Ñ Ù ÐÓÚ Ñ Ò Ñ Ó ÔÖÚ ÖÔ ØÓÒ ÐÑ Æ Ú ÒÓ Ø Þ Þ ÜØ Ø Ó Ó Ù ÕÙÚ Ò ÑÓ ÐÓÚ ÓÒ ÑÓ Ù Ú Ø Ù ØÓ Ñ ÒÓÑ ÐÑÙ ÙÜ Ò Å Ú Ú Þ ½ µº ËØ Ö Ó Ö Æ Ò ÔÖ ÕÙ Ó ÔÐ ÙÞ ÔÖ ÐÓÑ ¹ ÓÚ ÔÖÓ Ù Ó ÙÔ Ö ÒÓÑ Ó ÖÙ Ò ÑÓ Ð ÕÙ ÑÙÞ Ù Ù ÒÓÑ Ò Ñ Õ ÓÑ Ó ÓÔÙº Ð Ñ Ó Ò ÚÓ Ò Ñ ÕÑ Ó ÙÔÓÒ Ñ ÚÐ Ø Ñ Ó ÓÔØÙÒ Þ ÔÓ Ö Ú ÌÖ Öº ÈÓ Ð Ö Ø ÒÓÚ ÚÐ Ø Þ Ó Ò Ñ ÐÑ ÔÓ Ó ÙÔ ÓÑ ÓÔØÙÐ Þ Ö Ù Ó ÙÔ ØÓÖÓÑ Ú ÔÙØ ÞÚ Ð ÔÖ Ù Ó Ó ÔÙØ Ó ÐÓ Ó¹ Ó Ú ÓÔØÙ º ÍÑÖÓ Ù Ú ÐÓ ÖÓÑ ÜØÚÙ Ù Ø Ö Õ ÓÑ ÓÑÙ Ò Ò Ó ÃÓ º Ò Ù ÑÙÒÙ ÔÓ ØÓ ÍÐ ÖÓØ Ð º

ÈÖ Ø Ó Ò ÔÖ Ñ Ö Ò Ñ ÓÚÓÖ Ð Ó Ñ Ò Õ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ú ÒÓ ÐÓÚ Ò Ð Ó Ò Þ Ú ÑÓ Ð Ñ Ú Þ µ Ó Ö Ò Õ Ú Ö Ø Ø Ñ Ò ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø M ÓÒ Ñ ÒÙ ØÓ Ø Ñ ÑÓÑÓ ÓÖÑÙÐ Ü ÑÓ Ó Ñ ÒÙ Ù ÞÒÓÑ ÔÖÓ ØÓÖÙ TMº ÑÓ Ñ ÒÙ Ò ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ñ ÓÖÑÙÐ Ð Ù Ù Ù ÙØÒÓÚ Ñ Ò ÑÓÖ ÑÓ ÞÚÖ¹ Ü ÑÓ Ñ ÐÙ Ö Ú ÞÙ ÓÖÑÙÐ F = maº ÆÑ Ù ÙØÒÓÚÓ Ñ Ò Ñ Ò Ù Ù Ð ÓÑ ÔÖÓ ØÓÖÙµ ÒØÙÑÓ ÚØÓÖ Ó ÑÙ Ø ÒØ Ò¹ Þ Ø Ø ÔÖ Ú Ñ Ö Ø º ÓÒ Ó Ô Ö Ð ÐÒÓÑ ØÖ Ò Ð ÓÑ ÑÓ Ù ÔÖ Ú Ø Ò Ù ÖÙº Æ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ø ÒÒØÒ ÚØÓÖ Ù Ö ÞÐ Õ Ø Ñ Ø ÕÑ Ò ÑÓÑÓ ÒØÙÑÓ Ö ÑÓ Ó ÙÞ Ñ ÑÓ ÔÓÑ Ô Ö Ð ÐÒÓ Ø Ò ÔÓ ØÓ Ó ÒÓÒ ÔÓÑ ÓÚÓ ÔÓ ØÙÐ Ö Ú Ú Ð ÒØÒÓ Þ ÓÖÙ ÓÓÚ ÖÙ Ø ÓÖ ÓÒ Ó ÒÓ ÒÓ Ø ÓÖ Ô Ö Ð ÐÒÓ ÔÖ ÒÓ Ó Ò Ñ ÓÑÓ Ù Ú ÑÓ Ñ Ó ÚØÓÖÙ Ù ÖÞ Ó ÞÚÓ Ù ÚØÓÖ ÖÞ Ò º ÆÑ ÞÖ Þ v(t µ 0 +h) v(t 0 ) a(t 0 ) = lim h 0 h Ù ÙÕÙ Ö ÚØÓÖ Þ Ö ÞÐ Õ Ø ÔÖÓ ØÓÖ Ø ÒÒØÒ ÚØÓÖ ØÖØÓÖ q(t) Ù Ø ÕÑ q(t 0 ) q(t 0 +h)º Í ÐÙÕÙ Ù Ð Ó ÔÖÓ ØÓÖ ÓÚÙ Õ Ò Ù Ò ÔÖ Ñ ÙÑÓ Ö ÑÓ Ò ÚÐ ÒØÙÑÓ ÚØÓÖ Ô Ö Ð ÐÒÓÑ ØÖ Ò Ð ÓÑº Å ÆÙØ Ñ Ô Ö Ð ÐÒ ØÖ Ò Ð Ò ÔÓ ØÓ Ó ÒÓÒ ÔÓÑ Ò ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ò Ø Ò Ð ÆÙ Þ ÑÒØÒÓ ÔÖÓ ØÓÖ º Å ÆÙØ Ñ ÑÓÑÓ Ó ÓÚÓÖ ÑÓ ÔÓ Ô Ö Ð ÐÒ Ñ ÔÖ ÒÓ ÓÑ ÚØÓÖ v Þ Ø ÒÒØÒÓ ÔÖÓ ØÓÖ T x M ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø M R n Ò ÞÓÖ Ú ÑÓ Ò Ü ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø M Ò Ø Ð Ù Ù Ð ÓÑ ÔÖÓ ØÓÖÙ Ó Ö ÞÙÐØ Ø Ö ØÖ Ð Ú Þ Ò Ø Ñ Ù ÐÙÕÙ Ð ØÒ Ø Ð Ú Þ Ð Þ Ø Þ Ò Ô µ Ù Ø Õ x M Ù Ø ÒÒØÒ ÔÖÓ ØÓÖ T y M Ù Ø Õ y M ÔÓ Ö ÞÙÑ Ú ÑÓ ÚØÓÖ Ó Ó ØÓ ÜØÓ v Ô Ö Ð ÐÒÓ Ù Ñ ÐÙ R n µ ØÖ Ò Ð Ö Ó Ø Õ y ÔÓØÓÑ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒÓ Ù Ñ ÐÙ Ù Ð Ó Ð ÖÒÓ ÔÖÓ ÞÚÓ Ù R n µ ÔÖÓ ØÙ Ò ÔÖÓ ØÓÖ T y Mº ÇÚ Ò Õ Ò Ô Ö Ð ÐÒÓ ÔÖ ÒÓ ÚØÓÖ Ò Þ Ú ÓÒ ÓÑ Ò M ½¼ º Æ Ø Ò Õ Ò ÞÖ Þ µ Ñ Ñ Ð ØÓ ÑÓÑÓ Ò Ü ÑÓ ÞÚÓ ÐÓ Ó Ø ÒÒØÒÓ ÚØÓÖ Ó ÔÓ Y Ò ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø M Ù ÔÖ ÚÙ Xº Ã ÒÓÒ ÞÒ Õ Ó Ü Ú ÙÞ ÔÓÑÓ Ó Ò Ò ÔÓ ÑÓÚº ÆÔÖº ¹ Ò Ü ÑÓ ÚØÓÖ ÔÖÓ ØÓÖ ÑÓÑÓ ÑÓ ÔÓ ØÓ ÞÓÑÓÖÞ Ñ ÞÑ ÆÙ ÚØÓÖ Ó ÔÖÓ ØÓÖ V ÓÚÓ Ù Ð V Ø º ÙÔ Ú Ð ÒÖÒ ÔÖ Ð Ú V Rµº Å ÆÙØ Ñ Ò ÔÓ ØÓ ÒÓÒ ÞÓÑÓÖÞ Ñ ÑÓ ÓÒ ØÖÙ Ð Ø Ú ÞÓÑÓÖÞ Ñ ÔÓØÖÒ Ò Ñ ÓÜ Ò ØÖÙ ØÙÖ Ó Ñ ÓÒ Ó Ó Ó ÔÖ Õ ÑÓ ÚØÓÖ µ Þ Ð ÖÒ ÔÖÓ ÞÚÓ Ð Ò ÜØÓ Ð ÕÒÓº Ð Ö Õ Ò ÒÓÒ ÞÓÑÓÖÞ Ñ Ò ÔÓ ØÓ Ù ØÓÖ ÚØÓÖ ÔÖÓ ØÓÖ Ð ÔÓ ØÓ ÒÔÖº Ù ØÓÖ ÚØÓÖ ÔÖÓ ØÓÖ Ð ÖÒ Ñ ÔÖÓ ÞÚÓ ÓÑº ÆÔÖº Ó T ÚØÓÖ Ó Ø ÒÒØ Ò Ò ÖÙ Ò Ë Ú ÖÒÓÑ ÔÓÐÙ ÑÙ Ô Ö Ð Ð Ò ÚØÓÖ Ò Ú ØÓÖÙ Ò ÔÖ Ô Ø ÒÒØÒÓÑ ÔÖÓ ØÓÖÙ Ö º ½¼ ÈÓ ØÓ Ö ÞÐ Õ Ø Ò Õ Ò ÚØÓÖ ÔÖÓ ØÙ Ò T ym Ô ÔÓ ØÓ Ö ÞÐ Õ Ø ÓÒ º Å ÑÓ ÓÚ Ó Ö Ð ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒÙ ÔÖÓ Ù ÜØÓ Ù ÙÕÙ Ñ ØÖÙ ØÓ ÓÒ ÓÒ ÞÚ Ò Þ Ñ ØÖ º ÌÚ ÓÒ Ò Þ Ú Ñ ØÖ Õ ÓÑ Ð Ä Ú ß É Ú Ø ÒÓÑ ÓÒ ÓÑº ÈÖ Ñ Ø ÑÓ ÑÓ ÓÚ Þ Ò Ù ÓÒ ÔÓ ÐÙÐ ÑÒØÒ Ñ Ù Ð Ñµ ÔÖÓ ØÓÖÓÑ Ù Ó ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ñ ÜØ Ò ÓÒ Ù ÑÓ Ù Ò Ø Þ ØÓ ÓÒ ÙÒÙØÖ Ü Ó Ø Ò ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ò Þ Ú Ò Ó ÑÒØ Ù ÓÑ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ò Ð Þ Ð Ò Ò Ð Þ ÓÖÑ ÐÒ Ò ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ù ½ Ò ÔÓ Ö ÞÙÑ Ú Ò Ú ÑÒØ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø ÑÓ Ò Ò Ð Þ Ò Ù ÚÓÑ Ú Ñ ÑÒØÙµº

½¼ Æ Ö ÚÒÓ ÓÚ ÞÚÓ Ò Ø ØÓ ÜØÓ ÓÕ Ò ÞÚÓ Ù ÔÖ ÚÙ ß ÓÚ Ù ÙÕ Ò ÔÖÓ Ò T y Mº Ì ÒÓÚ ÞÚÓ ÞÓÚ ÑÓ ÓÚ Ö ÒØÒ Ñ ÞÚÓ ÓÑ ÚØÓÖ Ó ÔÓ Y Ù ÔÖ ÚÙ X ÓÞÒ Õ Ú ÑÓ X Y º Ø ÓÞ Ø X Y Ñ Ð ÚÓ ØÚ fx+gy Z = f X Z +g Y Z, ½¼µ X (Y +Z) = X Y + X Z, X (fy) = f X Y +df(x)y. ÖÙ ÙØÒÓÚ ÞÓÒ γ = m 1 F ÑÓ ÓÖÑÙÐ Ü Ù Ó ÐÙ ½½µ γ γ = m 1 F T, F T Ø ÒÒØÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÚØÓÖ Ð Ù ÐÙÕÙ Ö Ø Ð ØÒ Ú ¹ ÒÓ Ó Ö Ø Ø Õ ÔÓ S 1 ØÓ Ø ÒÒØÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÚØÓÖ Ð Ö Ú¹ Ø F = mgkµº ÂÒ Õ Ò ½½µ Ú Ú Ð ÒØÒ Ð Ó Ø ÓÖ Ñ º Ì ÓÖ Ñ ÌÖØÓÖ γ Ø Ñ Ò M ÞÓÚÓ ÚÙ Ò Õ Ò m d2 γ dt 2 F,ξ = 0 Þ ÚÓ ξ TM, ÓÞÒ Õ Ò Ð ÖÒ ÔÖÓ ÞÚÓ Ù ÑÒØÒÓÑ Ù Ð ÓÑµ ÔÖÓ ØÓÖÙº ÇÚ Ø ÓÖ Ñ Ò Þ Ú Ð ÑÖÓÚ Ñ ÔÖ Ò ÔÓÑ Ð ÈÖ Ò ÔÓÑ Ú ÖØÙ Ð¹ Ò ÔÓÑ Ö Ò ÓÖÑÙÐ Ü Ò Ð Ò Õ Ò Ê Ð Ú Þ Ò ÔÖÓ¹ ÞÚÓ ÒÓÑ Ú ÖØÙ ÐÒÓÑ ÔÓÑ Ö Ù Ò ÒÙÐ º m γ F ξ Ú ÖØÙ ÐÒÓ ÔÓÑ Ö ÔÓÑ Ö Ù ØÖØÓÖ ËÐ Ð ÑÖÓÚ ÔÖ Ò Ô ÍÑ ØÓ Ù ÙÐ Ù Ø ÓÖÙ ÓÒ Ñ ÒÙ Ò ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø M ÑÓÑÓ ÑÙ Ù ÚÙ ÔÖ Ø Ó Ò Ô ÖÖ ÓÖÑÙÐ Ü ÑÓ Ò Ð Ò Õ Òº Æ V ÔÓØ Ò Ð Ð Ó ÐÙ Ù Ò Ø Ñ Ò Ö ÕÙÒÙ Ð Ó ÔÖ ÒÙÆÙ Ù Ö ÔÓ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø M Õ ÙØ ÙÖ ÕÙÒ Ø ÓÑ ØÖ ÙÔÖ ÚÓ Ó Ó Ö Ò Õ Ø Ñ Ö ÔÓ Mµº Ì Ú Ì ÓÖ Ñ ÌÖØÓÖ Ø Ñ Ò ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø M ÔÓØ Ò ÐÓÑ V : M R Ù ØÖ Ñ Ð ÙÒÓÒ Ð S(γ) = (K V)dt, γ K Ò Ø Õ Ò Ö Ø Ñ Ò ÔÖÓ ØÓÖÙ Ö Ú Ò ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø M Ö Ò Ñ Ö Ú Ñ º

Ø ÓÞ Ø Þ ÔÖ Ø Ó Ò Ø ÓÖ Ñ Ð ÓÚ Ö ÒØÒ ÓÖÑÙ¹ Ð ÖÙ Ó ÙØÒÓÚÓ ÞÓÒ ½½µº ÇÚÓ ÑÓ ÔÖØ ÕÒÓ ÓÞ Ð Ù ÔÖ Ø Ó ÒÓÑ Ô ÖÖÙº ÇÚ ÑÓ ØÖ Ô ÚÓ ÔÓÒÓÚ Ø Ö ÕÙÒ ÔÖÓÚ Ò Ø ÑÓ ÓØ Ö ÚÙ Ù ÔÙØ Ó ÚÓ ØÚ ÓÕÒÓ ÞÚÓ Ñ ÓÚ Ö ÒØÒ ÜØÓ Ò Ú Þ ÒÓ Ó ÓÚÓ Ö ÔÖÚ ÔÙØº ÈÖ Ñ Ø ÑÓ Ò Ø Õ Ò Ö Ø Ñ K = m v 2 /2 Ó ÒÓ ÒÓ Þ Ø Ñ Ú Ü Ø Ð K = 1 m k v k 2, 2 k v 2 ÒØ ÒÞ Ø Ø ÚØÓÖ ÖÞ Ò vº Ã ÑÓ Ò ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø M Þ ¹ Ø Ê Ñ ÒÓÚ ØÖÙ ØÙÖ Ó Þ Ø Ð Ø Ñ Ð Ð ÖÒ ÔÖÓ ÞÚÓ g : TM TM R Ò Ø ÒÒØÒ Ñ ÔÖÓ ØÓÖ Ñ º ÅÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø ÓÚÚÓÑ ØÖÙ ØÙÖÓÑ Ò Þ ¹ Ú ÑÓ Ê Ñ ÒÓÚ Ñ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ñ º Ã Ò Ø Õ Ù Ò Ö Ù Ó ÚÖ ØÒ ÓÖÑ Ò TM ÑÓÑÓ Ú Ø ÑÓ Ó Ê Ñ ÒÓÚÙ ØÖÙ ØÙÖÙ Ô ÙÒÓÒ Ð S ÑÓÑÓ Ò Ô Ü ÑÓ Ó S(γ) = (g( γ, γ) V(γ))dt. ËÔÐÒÓ Þ V = 0 γ S(γ) = γ g( γ, γ)dt. ØÖ Ñ Ð ÓÚÓ ÙÒÓÒ Ð Ò Þ Ú ÑÓ ÓÞ Ñ Ð Ò Ñ º ÅÓ Ó Ù ÓÒ Ù ÒÓ ØÖ Ñ Ð ÙÒÓÒ Ð ÙÒ Ö Ú ½¾µ l(γ) = g( γ, γ)dt, γ Ø º ÓÞ Ð Ò Ò ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø ÙÓÔÜØ ÚÙ ÔÖ Ú Ù Ù Ð ÓÑ ÔÖÓ ¹ ØÓÖÙ Ú Ø Þ Ø Þ ÔÖ Ø Ó ÒÓ Ô ÖÖ µ ½½ º ÇÚÓ Ò ÓÚÓ Ó Ð ÙÓÔÜØ ÈÖÚÓ ÙØÒÓÚÓ ÞÓÒ Ì ÓÖ Ñ Ó Ò Ø Ñ Ò ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø M Ò ÐÙ Ù ÖÙ Ð Ñ ÓÒ Ó ÔÖ ÒÙÆÙ Ù Ö ÔÓ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Mµ ÓÒ Ù ÓÚ ØÖØÓÖ ÓÞ Ð Ò º ÈÓ Ð ÓÞ Ð Ò Ù Ö Ü Ö Ò ÐÒ Ò Õ Ò ÖÙ¹ Ó Ö γ γ = 0 Ò Õ Ò ½½µ Þ Ð µ ½¾ º ½½ Å ÆÙ Ñ Ñ ÆÙØ Ñ ÔÓ ØÓ ÚÒ Ö ÞÐ ÓÞ Ð Ò ÑÓ ÐÓÐÒÓ Ñ Ò ¹ Ñ ÞÙ Ù Ö ØÓ º ÆÔÖº ÓÞ Ð Ò Ò ÚÓÑ ÒÞ ÓÒÓ Ö S 2 Ù Ú Ð ÖÙ ÓÚ ÔÖ Ö Ö ÚÒ Ñ ÖÓÞ Ò ÒØ Öº ½¾ Í Ð Ø Ö ØÙÖ Õ ØÓ ÓÚ Ò Õ Ò ÙÞ Ñ Þ Ò Ù ÓÞ Ð Ò º Ò Þ ¹ Ô Ù ÓÓÖÒ Ø Ñ d2 x k dt 2 + i,j Γk dx i ij dt Ñ ÓÐ º Ç Ö Ø ÑÓ Ô Ù Ò Õ Ò Ù ÔÖ Ú x = t,y = t ÓÞ Ù Ù Ð Ó Ö ÚÒ Ð Ø Øµ ÔÖ Ú x = t 3 y = t 3 Ò ß ÔÓÑ Ø ÓÞ Ò Þ Ú ÑÓ Ó ÔÙØ Ú Ó ÖÞ Ò Ø º Ô Ö Ñ ØÖ Þ ½½ dx j dt = 0 Þ k = 1,...,n Ù Γ k ij ØÞÚº ÃÖ ØÓÐÓÚ

½¾ Å ÆÙØ Ñ Ù ÐÙÕÙ ÔÖ Ù ØÚ ÔÓØ Ò Ð V ÓÔ Ú ØÖØÓÖ ÑÓ Ú Ò ÓÔ Ú ÓÞ Ð Ò Ð ÔÖÓÑ ÒÓÑ Ñ Ø¹ ÖÓÑ Ì ÓÖ Ñ ½ Æ M Ê Ñ ÒÓÚ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ê Ñ ÒÓÚÓÑ Ñ ØÖÓÑ g Ó Ò Ü Ò Ø Õ Ù Ò Ö Ùµº Ì Ù ØÖØÓÖ Ø Ñ Ù ÙÔÒÓÑ Ò Ö ÓÑ E ÓÞ Ð Ò Ñ ØÖ g E := (E V)gº º Å Ò Ó ÑÔÐØ Õ ÓÑ ØÖ À Ñ ÐØÓÒÓÚ Ñ Ò º Æ F : R k R ÓÒÚ Ò Ø º ÔÓÞ Ø ÚÒÓ Ò ØÒÓÑ Ñ ØÖ ÓÑ ÖÙ¹ Ó ÞÚÓµ ÙÒº Ä Ò ÖÓÚÓÑ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÑ ÙÒ F Ò Þ Ú ÙÒ G(p) = p x F(x), p := F º x Ì ÓÖ Ñ ÈÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ Ø Ñ Þ Ø Ð Ò Ö ÒÒÓÑ L : R n R n R R ÓÒÚ Ò Ñ ÔÓ ÖÙ Ó ÔÖÓÑ Ò ÚÓ Ò H Ä Ò ÖÓÚ ØÖ Ò ÓÖ¹ Ñ ÙÒ L ÔÓ ØÓ ÔÖÓÑ Ò ÚÓ ½ µ H(q,p,t) := p q L(q, q,t), p := L q. Ì Ø Ñ µ Ò Õ Ò ÖÙ Ó Ö Ú Ú Ð ÒØ Ò Ø ÑÙ dq dt = H p ½ µ dp dt = H q. Ò Õ Ò ÔÖÚÓ Ö º ÓÞ Ö Ò Ö Ñ ÓÑÓ dh = H H H L dq+ dp+ dt = Ldq+ qdp q p t q t dt, Ó Ð Ð ½ µ q = H p, L q = H q, L t = H t. ÁÞ µ ½ µ Ð ṗ = H q Ô Ù Ú Ñ Ù ½ µ ÓÑÓ Ø Ñ ½ µº Ò Æ Ø Ñ Þ Ø ÐÖ ÒÒÓÑ Lº ÈÖÓÑ Ò ÚÙ ½ µ p := L q Ò Þ Ú ÑÓ ÑÔÙÐ ÓÑº Ë Ø Ñ Ò Õ Ò ½ µ Ò Þ Ú ÑÓ À Ñ ÐØÓÒÓÚ Ñ Ò Õ ¹ Ò Ñ º Æ ÔÓÑ Ò Í Ù Ð ÓÑ ÔÖÓ ØÓÖÙ Ó ÖÞ Ò ÚØÓÖ v Ò Ø Õ Ò¹ Ö K = m v 2 /2 ÐÖ ÒÒ L = K(v) V(q) ÑÔÙÐ p = mv Ö L v = K v = mvº Å ÆÙØ Ñ ÑÔÙÐ ÖÞ Ò Ò Ù ÓØ ØÓ ÓÑ ØÖ Ó Ø Ô º ÖÞ Ò Ð Ñ ÒØ Ø ÒÒØÒÓ Ö ÐÓ TM Ó ÑÔÙÐ Ù ÐÒ Ó Ø ß ÓÚØÓÖ Ø º Ð ÒÖÒ ÙÒÓÒ Ðµº ÈÖÚ Ö Ù ½ µ ØÖ Ú Ø Ø Ó ØÚÓ ÓÚØÓÖ p Ò ÚØÓÖÙ q Ó Ù Ù Ð ÓÑ ÔÖÓ ØÓÖÙ ½ ÇÚ Ø ÓÖ Ñ Ñ Ò Ø ØÞÚº ÅÓÔ ÖØ ÚÓ ÔÖ Ò Ô Ù Ð Ø Ö ØÙÖ ÔÓÚ Ù Ó ÂÓÚ Ø ÓÖ Ñ º

ÙÚ ÑÓ ÖÐ ÞÙ ÔÙØ Ñ Ð ÖÒÓ ÔÖÓ ÞÚÓ ÓØÙ ØÙ ÑÔÙÐ ÑÓ Ú Ø Ø Ó ÚØÓÖµº ÇÚ ÓÔ Ø Ö Ó ÔÓ ØÓ Ù ÒÓÒ Ò¹ Ø Ù Ù Ð ÓÑ ÔÖÓ ØÓÖÙ Ò Ó ÑÓ Ò ÚÐ Ð Ó Ò ÔÓ ØÓ Ù ÓÔÜØ Ñ ØÙÑ º ØÓ ÔÖ ÖÓ ÑÔÙÐ Ú Ú Ù Ñ Ò Ò ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ñ º ÈÓÞ Ú ÑÓ Ñ ÐÓ Ø Ò ÓÚÓÑ Ò ÔÓÑ ÒÓÑº Ò ÑÓ Ä ¹ Ò ÖÓÚÙ ØÖ Ò ÓÖÑ Ù Ò Þ Ú ÒÓ Ó ÓÓÖÒ Ø ½ º Æ T q M Ø ÒÒØÒ ÔÖÓ ØÓÖ Ð Ø ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø M Ù Ø Õ q Mº ÓÚ Ù Ð TqM Ò Þ Ú ÓØ ÒÒØÒ Ñ ÔÖÓ ØÓÖÓÑ Ù Ø Õ q ÙÒ T M := Tq M q M ÓØ ÒÒØÒ Ñ Ö ÐÓ Ñ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Mº ÃÓØ ÒÒØÒÓ Ö ÐÓ T M Ò Þ Ú ÓÜ ÞÒ Ñ ÔÖÓ ØÓÖÓÑ Ñ Ò Õ Ó Ø Ñ Õ ÓÒ ÙÖÓÒ ÔÖÓ ØÓÖ TMº Í ÓÔÜØ Ñ ÐÙÕÙ Ó M ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ä Ò ÖÓÚ ØÖ Ò ÓÖ Ñ Ò Ò ÐÖ ÒÒÓÑ L : TM R Ó ØÚ ÖÙ ÞÓÑÓÖÞ Ñ D vert L : TM = T M, D vert Ú ÖØ ÐÒ ÞÚÓ ÞÚÓ Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ ÖÞ Ò µ ½ ÔÖÖÙ Ù ÙÒ L Ñ ÐØÓÒ Ò H : T M R H(η,t) := η,(d vert L) 1 η L((D vert L) 1 η,t). ÇÚ, Ô Ö Ú ÙÒÓÒ Ð ÚØÓÖ º ÃÓÚØÓÖ ζ Ñ Ú ÓÑÔÓ¹ Ò ÒØ ÔÖÓ ØÓÖÒÙ Ú Þ ÒÙ Þ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó ØMµ Ú ÖØ ÐÒÙ Ù ÞÓÚ ÑÓ ÑÔÙÐ¹ ÓÑµ Ú Þ ÒÙ Þ ÚØÓÖ ÔÖÓ ØÓÖ T qmº ÁÑÔÙÐ ÖÞ ÒÓÑ ÔÓÚ Þ Ò ÔÓÑÓ Ù Ú ÖØ ÐÒÓ ÞÚÓ D vert L Ó ÔÖ Ð Ú Ø ÒÒØÒ ÔÖÓ ØÓÖ Ù ÓØ ÒÒØÒ ÔÖÓ ØÓÖº Ð ÖÞ Ò Ú Ù Ø ÒÒØÒÓÑ ÑÔÙÐ Ù ÓØ ÒÒØÒÓÑ Ö ÐÓ¹ Ùº Ó ÄÖ ÒÚ Ñ Ò Ñ Ò Ø ÒÒØÒÓ Ö ÐÓ À Ñ ÐØÓÒÓÚ Ñ Ò Ñ Ò ÓØ ÒÒØÒÓ Ö ÐÓ º Í ÔÖ Ø Ó ÒÓÑ Ô ÖÖÙ ÑÓ Ú Ð Ñ Ø Ñ Ø Õ Þ ÄÖ ÒÚ Ñ Ò ß Ê Ñ ÒÓÚ ÓÑ ØÖ º ÁÓ ÓØ ÒÒØÒÓ Ö ÐÓ ÞÓÑÓÖ ÒÓ Ø ÒÒØÒÓÑ Ù ØÓÔÓÐÓÜ ÓÑ Ð¹ Ö ÓÑ Ñ ÐÙµ ÓÒÓ Ñ ØÖÙ ØÙÖÙ Ó Ù Ø ÒÒØÒÓ Ö ÐÓ Ò Ñ ß ØÖÙ ¹ ØÙÖÙ ÑÔÐØ Õ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø º ÑÓ Ù ÙÚ Ð ÔÓØÖÒÓ Ò Ñ Ñ ÐÓ ÒÓÚ Ø ÖÑ ÒÓÐÓº Æ f : M R Ð Ø ÙÒ q Mº Ì df(q) T q M ß Þ Ú ÚØÓÖ v T q M ÚÖÒÓ Ø ÙÒÓÒ Ð df(q)(v) ÞÚÓ ÙÒ ½ f Ù ½ Ó Ò Ó Ø Ò Ü ÑÓ Ù ÓÓÖÒ Ø Ñ Ò ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Õ Ó Ö Ó ÐÓÐÒÓÑ ÓØÙ Ò ÓÔ Ó ÒÓ ÙØÚÖØ Ð Ø Ò Ò Þ Ú Ò Ó Þ ÓÖ ÐÓÐÒ ÓÓÖÒ Ø º ÌÓ Ñ ØÓ Ò ÓÑ Ù ÑÒÓ ÒØ Ò Ó ÑÓ Ò ÚÐ Ù Ù Ð ÓÑ ÔÖÓ ØÓÖÙ ß ÔÖ Ð Þ Þ ÒÓ Ø Ñ ÓÓÖÒ Ø Ù ÖÙ Ò ÑÓÖ ÕÙÚ Ø ÒØº ½ Ó ØÓ Ò Ñ ÔÓØÖÒ ÔÖ ØÔÓ Ø Ú Ó Ò Ò Ö ÒÓ Ø ÖÙ Ó ÞÚÓº ½ ÈÓÜØÓ ÞÚÓ ÙÒ n ÔÖÓÑ Ò Ú ÐÓÐÒÓ Ò Ò Ó Ø ÔÓÑ ÞÚÓ Ù ÔÖ ÚÙ Ñ Ñ Ð ÑÙ Ù ÚÙ ÓÖÑ ÐÒÙ Ò Ù Ð Ø ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø ÔÓÕ Ø Ø Ø º ÈÖ Ñ Ø ÑÓ Ù ÓÚÓÑ ÐÙÕÙ Ó ÓÑ Ò ÙÒ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ò Ñ ÓÑÔÐ Ó Ù ÐÙÕÙ ÙØÓÚ ÒÓÑ Ù ÔÖ Ø Ó ÒÓÑ Ô ÖÖÙ Ù Ú Þ ÓÒ Ñ Ö ÐÓ Ó Ö Ò Ö Ù ÚØÓÖ ÔÓ º ½

½ ÔÖ ÚÙ ÚØÓÖ vº Ð ÑÓÑÓ Ò Ô Ü ÑÓ ½ µ df : M T M. ÇÔÜØ ÚÓ ÔÖ Ð Ú s : M T M Ó ÞÓÚÓ Ú Ù ÐÓÚ s(q) Tq M Ò Þ Ú ÑÓ Õ Ñ ÓØ ÒÒØÒÓ Ö ÐÓ º Æ ÔÖ Ñ Ö ÙÑ ØÓ Ö Ò Ð Ó Ù ÐÓÐÒ Ñ ÓÓÖÒ Ø Ñ ÑÓ Ò Ô Ü Ó n f df(q) = (q)dx k, x k k=1 ÑÓÑÓ ÔÓ Ñ ØÖ ÑÓ ÓÔÜØ ÞÖ Þ n ½ µ α(q) = a k (q)dx k, k=1 Ù dx k Ö Ò Ð ÓÓÖÒ ØÒ ÙÒ ÔÐÒ ÐÙÕ ÙÒ¹ ÓÒ Ð df f ÔÖÓ Ò x k ßÓ Ùµº ÇÚÓ ÒÓ ÐÓÐÒÓ Ò ¹ ÒÓµ Õ º Ù Ù Ù ÙÒÓÒ Ð dx k Ð ÒÖÒÓ Ò Þ Ú Ò Ñ n Ð ÚÓ Õ ÓØ ÒÒØÒÓ Ö ÐÓ ÑÓ ÐÓÐÒÓ Þ Ô Ü Ù Ó ÐÙ ½ µº Ë Õ ÓØ ÒÒØÒÓ Ö ÐÓ Ò Þ Ú ÑÓ Ö Ò ÐÒ Ñ ½ß ÓÖÑ Ñ º Æ V ÚØÓÖ ÔÖÓ ØÓÖ L 1,L 2 : V Ú Ð ÒÖÒ ÔÖ Ð Ú º ÓÚ ÔÓ Ü ÔÖÓ ÞÚÓ L 1 L 2 Ð ÒÖÒÓ ÔÖ Ð Ú L 1 L 2 : V V R, L 1 L 2 (ξ 1,ξ 2 ) := det[l i (ξ j )] i,j=1,2. ÁÞ ÒØ Ñ ØÖ ÕÒÓ Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ Ð L 1 L 2 ÒØ Ñ ØÖ ÕÒÓ ÔÖ ¹ Ð Ú L 1 L 2 (ξ 1,ξ 2 ) = L 1 L 2 (ξ 2,ξ 1 )º ÌÓÆ Ú L 1 L 2 = L 2 L 1 º Ù Ù Ù Ö Ò ÐÒ ½ß ÓÖÑ Ù ÚÓ Ø Õ q M Ð ÒÖÒ ÔÖ ¹ Ð Ú T q M R Ñ Ñ Ð ÓÚÓÖ Ø Ó ÔÓ Ü Ñ ÑÒÓ Ù ÓÖÑ º ÍÞ ÔÓÑÓ Ò Ü ÑÓ ÔÓ Ü Ö Ò Ð ½ß ÓÖÑ ½ µ Ó n ½ µ dα(q) := da k (q) dx k, k=1 da k Ö Ò Ð ÙÒ a k º ÑÓÑÓ Þ Ô Ü ÑÓ Ó da k = n a k j=1 x j (q)dx j Ó Ð ÓÑÓ n a k dα(q) = (q)dx j dx k. x j ÁÞÖ Þ Ó Ð β(q) = j,k=1 n j,k=1 b j k (q)dx j dx k Ò Þ Ú ÑÓ Ö Ò ÐÒ Ñ ¾ß ÓÖÑ Ñ º Ò ÐÓ ÒÓ Ò ÜÙ Ö Ò ¹ ÐÒ kß ÓÖÑ ÓÚ Ö Ò Ð ½ Þ ÔÖÓ ÞÚÓ ÒÓ kº ½ ËÔÓ Ü Ö Ò Ð ÓÖÑ ÒÓÞÒ ÕÒÓ Ó Ö Æ Ò ÔÓÑÓ Ù ØÖ ÓÑ Ð Ò¹ ÖÒÓ Ø Ä Ò ÓÚÓ ÔÖ Ú Ð d(α β) = (dα) β±α (dβ) ÞÒ ± Þ Ú Ó Ô ÖÒÓ Ø Ø Ô Ò ÓÖÑ α ÞØ Ú Ò ¼ß ÓÖÑ Ñ Ø º ÙÒÑ d Ø ÒÖ Ò Ö Ò Ðº

Æ M ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ñ ÒÞ n ψ U : U B U ÐÓÐÒ ÖØ Þ ÓÖÑ ÐÒ Ò ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ù ½º Ì Þ ÚÙ nß ÓÖÑÙ Ω Ò M ÑÓ Ò Ø Ò ÒØÖ Ð ÔÓ ÖØ U Ó U Ω := B U Ω ( ψ 1 x 1,..., ψ 1 x n ) dx 1...dx k, ÒØÖ Ð Ò ÒÓ ØÖ Ò Ø ÒÖ Ò nß ÒØÖ Ð Ù R n º ÈÖ Ñ Ø ÑÓ Ó ÔÖÓÑ Ò ÑÓ ÓÖ ÒØ Ù Ø º Ó Ó x i x j Þ Ñ Ò Ñ Ø ÓÚÓ Ò Ò ÒØÖ Ð Ñ ÞÒº ÌÓ ÞÒ Õ ÒØÖ Ð ÒÚ Ö ÒØ Ò Ù Ó ÒÓ Ù Ò Ñ ÒÙ ÔÖÓÑ Ò Ú Ø º Ñ ÒÙ ÓÓÖÒ Ø ψ U ψ 1 V Þ Ò ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ó ÑÓ Ó ÓÑÓÖÞ Ñ ψ U ψ 1 V ÕÙÚ ÓÖ ÒØ Ù Ø º Ñ ÔÓÞ Ø ¹ Ú Ò ÓÒµº ÅÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ò Þ Ú ÑÓ ÓÖ ÒØ ÐÒÓÑ Ó ÓÒ Ð ÑÓ ÔÓ Ö Ø ÓÓÖÒ ØÒ Ñ Ó ÓÐ Ò Ñ ØÚ Ñ Ú Ñ Ò ÓÓÖÒ Ø ÕÙÚÙ ÓÖ ¹ ÒØ Ùº Í ØÓÑ ÐÙÕÙ ÑÓ Ò Ü M Ω ß ÒØÖ Ð ÔÖÓ ÞÚÓ Ò nß ÓÖÑ ÔÓ ÐÓ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø º Ó Ö Ò ÓÖ ÒØ ÐÒ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø M Ñ ÒÞ n Ð Ø ÑÒÓ¹ Ó ØÖÙ Ó Ø M Ñ ÒÞ n 1 ÓÒ M ÓÖ ÒØ ÐÒ Ú ËØÓ ÓÚ ÓÖÑÙÐ dθ = Θ Þ ÚÙ (n 1)ß ÓÖÑÙ Θº M ÈÓ Ñ ØÖÑÓ ÓØ ÒÒØÒÓ Ö ÐÓ Ó ÒÓÚÙ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø P = T Mº ÈÓ ØÓ ÒÓÒ ÔÖÓ M π : P = T M M. Ì ÒÒØÒÓ ÔÖ Ð Ú ½ ÔÖ Ð Ú π : P M ÔÖ Ð Ú ¾¼µ π : TP TM Ò ÒÓ Ò Ð Ò Õ Òº Æ X p T p P Ø ÒÒØÒ ÚØÓÖ Ò P Ù Ø Õ p P º Ì ÓÒ Ø ÒÒØÒ ÚØÓÖ Ò ÒÙ Ö ÚÙ γ : ( ε,ε) P Ù Ø Õ γ(0) = pº ÎØÓÖ π (X p ) Ò Ü ÑÓ Ó ÚØÓÖ Ù T π(p) M Ó Ø ÒÒØ Ò Ò Ö ÚÙ π γ(t) Ù Ø Õ π γ(0) = π(p)º Ò Ä ÙÚ ÐÓÚ ÓÖÑ Ö Ò ÐÒ ½ß ÓÖÑ θ Ò ÑÒÓ¹ Ó ØÖÙ Ó Ø P = T M Ò Ò θ(p)(x p ) := p,π (X p ), Þ ÚÓ p P ÚÓ X p T p P. Ö Ò ÒÓ ØÖ Ò ÓÞÒ Õ ÚÙ Ô Ö Ú ÓÚØÓÖ p ÚØÓÖÓÑπ (X p ) ß Ø Õ p Ù ÓÚÓ Ò Ö ØÓÚÖ Ñ ÒÓ ÙÐÓ Ù Ø Õ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø P Ð ÒÖÒÓ ÙÒÓÒ Ð Ò TM Ö P = T Mµº ÓÖÑÙ ω := dθ ÞÓÚ ÑÓ ÒÓÒ ÓÑ ÑÔÐØ Õ ÓÑ ÓÖÑÓÑ Ò ÓØ ÒÒØ¹ ÒÓÑ Ö ÐÓ Ùº Ø ÓÞ Ø ÓÖÑ θ ÑÓ ÓÖØ Ö Ø Ó Ò ØÚ Ò ½ß ÓÖÑ Ò P = T M Ó ÞÓÚÓ Ú ¾½µ s θ = s Þ ÚÓ Õ s : M T M ÓØ ÒÒØÒÓ Ö ÐÓ s Ù Ð Ø ÒÒØÒÓ ÔÖ Ð Ú s º ½ ººº Ð ÔÖÚ ÞÚÓ ½

½ Æ ÔÓÑ Ò Æ Ø Ü Ó ÔÓÞ Ø ÑÔÐØ Õ ÓÖÑ ω ½º Ò Ò Ö Ò Þ Ú Ø ÒÒØÒ ÚØÓÖ X ÔÓ ØÓ Ø ÒÒØÒ ÚØÓÖ Y Ø Ú ω(x,y) 0 ¾º Þ ØÚÓÖ Ò dω = 0º Ò ÅÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø P Ò Ó Ó ÔÓ ØÓ Ö Ò ÐÒ ¾ß ÓÖÑ Ó Ñ Ú ÚÓ ØÚ Þ ÔÖ Ø Ó Ò Ò ÔÓÑ Ò Ò Þ Ú ÑÔÐØ Õ ÓÑ ÑÒÓ Ó¹ ØÖÙ ÓÜ Ùº ÁÞ Ú ÐÖ ÚÓ ØÚ Ó ÓÑ Ö Õ Ù ÔÖ Ø Ó ÒÓ Ò Ð ÑÒÓ Ó ØÓÔÓÐÓÜ ÒÔÖº Ú ÑÔÐØ Õ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø ÓÖ ÒØ ÐÒ Ñ Ô ÖÒÙ Ñ ÒÞÙ Ó ÓÑÔØÒ Ñ Ò ØÖ Ú ÐÒ Ô ÖÒ Ó ÓÑÓÐÓÜ ÖÙÔ Ø º ÈÖ Ñ Ø ÑÓ Ú ÐÙ Ö ÞÐÙ ÞÑ ÆÙ ØÓ Ê Ñ ÒÓÚ Ñ ØÖ Ó ØÓÆ Ð ÒÖÒ ÓÖÑ Ò ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ð Ñ ØÖ ÕÒ Ó ÑÔÐ¹ Ø Õ ÓÖÑ Ó Ú Ö Ò ÐÒ ÓÖÑ ÒØ Ñ ØÖ ÕÒ µº Ê Ñ ÒÓÚ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ò Ñ Ò ÔÓ Ò ÐÓÐÒ ØÓÔÓÐÓÜ ÚÓ ØÚ Ú Ð Ø ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø ÓÔÙÜØ Ê Ñ ÒÓÚÙ ØÖÙ ØÙÖÙº Ã Ó ÓÒØÖ Ø ØÓÑ Ò Ö S n Ó ÑÔÐØ Õ S 2 ß Ú Ó Ø Ð ÑÙ ØÖ Ú ÐÒÙ ÖÙ Ù Ó ÓÑÓÐÓ Ùº Ë ÖÙ ØÖ Ò Ê Ñ ÒÓÚ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø ÑÙ ÑÒÓ Ó ÐÓÐÒ ÒÚ Ö ÒØ ÒÔÖº Ø ÒÞÓÖ Ö Ú Ò Ò Ñ ÓÑÓ Ù Ú ÐÓÐÒÓ Ö ÞÐÙÑÓ Ê Ñ ÒÓÚ ÑÒÓ¹ Ó ØÖÙ Ó Ø µº Æ ÙÔÖÓØ ØÓÑ Ú ÑÔÐØ Õ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ù ÐÓÐÒÓ ÞÓÑÓÖ Ò Ö ÙÓÚ Ø ÓÖ Ñ ËÚ Ø Õ ÑÔÐØ Õ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ñ Ó Ó¹ Ð ÒÙ Ó ÑÔÐØ Õ ÞÓÑÓÖ Ò ÓØÚÓÖ ÒÓÑ ÙÔÙ Ù R 2n Ø ÒÖ ÒÓÑ ÑÔÐØ Õ ÓÑ ÓÖÑÓÑ ω 0 = dp 1 dq 1 + +dp n dq n. ÎÒ ÔÓ Ð Ò Ò Ö ÒÓ Ø º Æ Ò Ö ÒÓ Ø Ê Ñ ÒÓÚ Ñ ¹ ØÖ ÓÑÓ Ù Ú Ò Ñ Ò Ü ÑÓ Ö ÒØ ÙÒ Ò Ê Ñ ÒÓÚÓ ÑÒÓ¹ Ó ØÖÙ Ó Ø ½ Ö ÒØ f ÒÓÞÒ ÕÒÓ Ó Ö Æ Ò ÚØÓÖ Ó ÞÓÚÓ Ú ¾¾µ df(p)(ξ) = g( f,ξ) Þ Ú Ø ÒÒØÒ ÚØÓÖ ξ. ÄÓ Ú ÚØÓÖ f Ó ÖÓ Ò Ò ÒÓÞÒ ÕÒÓ Ó Ö Æ Òµ Þ¹ Ú Ù Ù Ò Ò Ö ÒÓ Ø Ê Ñ ÒÓÚ Ñ ØÖ ¾¼ º ËÐ ÕÒÓ ØÓÑ Þ ÙÒ Ù H Ò ÑÔÐØ Õ Ó ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø ÑÓÑÓ Ò Ü ÑÓ ÑÔÐØ Õ Ö ÒØ Ó ÒÓÞÒ ÕÒÓ Ó Ö Æ Ò ÚØÓÖ X H Ó ÞÓÚÓ Ú dh(p)(ξ) = ω(x H,ξ) Þ Ú Ø ÒÒØÒ ÚØÓÖ ξ. ½ Þ ÔÖ Ù ØÚ Ê Ñ ÒÓÚ Ñ ØÖ Ö ÒØ ÑÓÑÓ Ò Ü ÑÓ ÑÓ Ù ÐÓÐÒ Ñ ÓÓÖÒ Ø Ñ Ð Ø Ò Þ Ú Ð Ó ÐÓÐÒ ÓÓÖÒ Ø Ø º Ò Ò¹ Ð Ò ÜØ º ÌÓ ÓÜ Ò ÔÖ Ñ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÔÓÚ Ù Ù ÔÖ ÔÖ Ð Ù Þ Ù Ð Ó ÔÖÓ ØÓÖ Ò ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Øº ¾¼ ÈÖ Ñ Ø ÑÓ Ö Ò Ð ÙÒ ½ µ Ò Ò ÑÓ Ò Ó ÒÓÚÙ Ð Ø ØÖÙ ¹ ØÙÖ ÑÓ Ó Þ Ú µ Ó Ò Ñ Þ Ò Ù ¾¾µ Ö ÒØ Ó ÚØÓÖ Ù ÐÒÓ Ö Ò ÐÙµ ÔÓØÖÒ Ê Ñ ÒÓÚ Ñ ØÖ Ù Ó ÒÓ Ù Ò Ó Ù ÓÚÓÖ ÑÓ Ó ØÓ Ù ÐÒÓ Ø Ó Ó ÓÒ Þ Ú µº Ö ÒØ Ù ÖØÓÚ Ñ ÓÓÖÒ Ø Ñ Ù R n Ò Ó ÑÓ Ò ÚÐ Ò ÙÚÓ ¹ Ò Ñ ÙÖ Ú Ñ Ò Ð Þ Ù Ð Ö Ò Ð Ù Ó ÒÓ Ù Ò Ù Ð Ù Ñ ØÖÙº Ö ÒØ Ù Ø Ñ ÓÓÖÒ Ø Ñ Ù Ó ÒÓ Ù Ò ÒÙ ÖÙ Ù Ñ ØÖÙ ÒÔÖº Ñ ØÖÙ ÓÑ ØÖ ÄÓÕ Ú Ó µ Ñ Ú Ñ ÖÙ Þ Ô º

½ Ë ÑÔÐØ Õ Ö ÒØ Õ ØÓ Ò Þ Ú À Ñ ÐØÓÒÓÚ Ñ ÚØÓÖ Ñ ÔÓ Ñ ÙÒ H Ñ ÙÒ H Ñ ÐØÓÒ ÒÓÑº ÈÖ Ø Ó ÒÙ ÓÖÑÙÐÙ ÑÓ¹ ÑÓ Ò Ô Ü ÑÓ Ò Ð Ò Õ Òº ¾ß ÓÖÑÙω ÚØÓÖ Ó ÔÓ X ÓÞÒ Õ ÑÓ i(x)ω ½ß ÓÖÑÙ Ò ÒÙ i(x)ω(y) = ω(x,y)º Ì À Ñ ÐØÓÒÓÚÓ ÚØÓÖ Ó ÔÓ Ò ÒÓ ¾ µ dh = i(x H )ω. ÌÖ ÔÓ ÚÙ ÒÙ ÚÒÙ Ö ÞÐÙ ÞÑ ÆÙ ÓÕÒÓ ÑÔÐØ Õ Ó Ö ¹ ÒØ Ó ÔÖÓ Þ Ð Þ Þ Õ Ò ÔÖÚ Ò Ò ÔÓÑÓ Ù Ñ ØÖ ÕÒ Ð ÒÖÒ ÓÖÑ g ÖÙ ÔÓÑÓ Ù ÒØ Ñ ØÖ ÕÒ ωº ÆÑ Ù Ò Ù ÓÕÒÓ Ö ÒØ Ø Ú ÑÓ ξ = f ÓÑÓ df(p)( f(p)) = g( f(p), f(p)) = f(p) 2 0, Ó Ø ÔÓ ØÙÔ Þ À Ñ ÐØÓÒÓÚ ÚØÓÖ ÔÓ ¾ µ dh(p)(x H (p)) = ω(x H (p),x H (p)) = 0, Þ Ó ÒØ Ñ ØÖ ÕÒÓ Ø º Ø Æ Σ ÓÖ ÒØ Ò ÔÓÚÖÜ ÑÔÐØ Õ ÓÖÑ ω ß Ò ÓÖÑ ÔÓÚÖÜ Ò º ÓÞ Ø Þ ÚÙ Þ ØÚÓÖ ÒÙ Ö ÚÙC Σ Ú À Ñ Ð¹ ØÓÒ Ò H : Σ R ÔÓ ØÓ Ø Õ x 0 C Ù Ó Ó À Ñ ÐØÓÒÓÚÓ ÚØÓÖ Ó ÔÓ X H Ø ÒÒØÒÓ Ò Cº Æ ψ t : P P t R ÒÓÔ Ö Ñ Ø Ö Ñ Ð ÓÑÓÖÞ Ñ ÓÑÔØÒ ¾½ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø P dψt dt (p) = X t(ψ t (p))º Ì ÚØÓÖ Ó ÔÓ X t Ò ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø P ÒÓÞÒ ÕÒÓ Ó Ö ÆÙ Ñ ÐÙ ψ t Ó Ö Ü ÓÕÒ Ö Ò ÐÒ Ò Õ Ò dψ t dt (p) = X t(ψ t (p)), ψ 0 (p) = p. Ð ÞÚ Ù Ù Ì ÓÖ Ñ Ó Þ Ø Ò Ò ØÚ ÒÓ Ø Ö Ü ÓÕÒ Ö Ò ÐÒ Ò Õ Ò Þ Ú ÒÓÔ Ö Ñ Ø Ö Ñ Ð ÓÑÓÖ¹ Þ Ñ Ò Ð ÒÖÒÓ ÓØ µ Ú Ú Ð ÒØÒÓ Þ Ú Ù Ð Ø Ó ÚØÓÖ Ó ÔÓ ÜØÓ Ð ÒÖ Ò Ó Øµº Ì ÑÓ Ñ Ð ψ t Ò Ö Ò Ú¹ ØÓÖ Ñ ÔÓ Ñ X t º ËÔÐÒÓ Ó Ñ Ð ψ t Ò Ö Ò À Ñ ÐØÓÒÓÚ Ñ ÚØÓÖ Ñ ÔÓ Ñ ÞÓÚ ÑÓ Ñ ÐÓÑ À Ñ ÐØÓÒÓÚ ÓÑÓÖÞ Ñ ÚÓ ÔÓ ÒÕÒÓ ψ t0 À Ñ ÐØÓÒÓÚ Ñ ÓÑÓÖÞÑÓÑ ¾¾ º ÈÖ Ñ Ø ÑÓ Ó H Ò Þ Ú Ó ÚÖ Ñ Ò Ó Ñ Ð ψ t Ò Ö Ò À Ñ ÐØÓÒÓÚ Ñ ÚØÓÖ Ñ ÔÓ Ñ X H Ö Ò Ö Ñ Ú Ð Õ Ò H(ψ t (p)) ÔÓ t ÔÖ Ñ ÒÓÑ ¾ µ Þ ÙÕÙÑÓ H ÓÒ Ø ÒØÒÓ Ù ØÖØÓÖ ψ t (p)º Ù Ù H Ò Ö ÓÚÓ ÓÞÙ ÞÓÒ ÓÕÙÚ Ò Ö Ù Ð ÕÒÓ Ñ Ò ÎÖÒÓ Ø ÙØÓÒÓÑÒÓ Ñ ÐØÓÒ Ò Ù À Ñ ÐØÓÒÓÚ ÔÙØ Ú ÓÒ Ø ÒØÒ º ÈÓÑÓ Ù Ñ ÐØÓÒÓÚ ÔÙØ Ú Þ ÔÖ ÚÓ ÒÚ Ö ÒØÒÓ ÓÔ Ò Þ ÙÔÓØÖ ÓÓÖÒ Ø µ Ö Ü Ò Õ Ò Ö Ø ½ µº ¾½ ÈÖ ØÔÓ Ø Ú Ó ÓÑÔØÒÓ Ø ÙÞ Ò Ó Ü Ð ÖÙ Ù ÐÓÚ ÑÓ Ù ÐÓÒ Ø Ð Ó Ð Ø º ¾¾ Ó ψ t Ò Ö ÒÓ Ñ ÐØÓÒ ÒÓÑ H t φ t Ñ ÐØÓÒ ÒÓÑ K t Þ Ò ¾ µ ÐÓ ÓÞÙ Ø ψ 1 Ò Ö ÒÓ Ñ ÐØÓÒ ÒÓÑ H t ψ t ψ t φ t Ñ ÐØÓÒ ÒÓÑ H t +K t ψt 1 º ÇØÐ Ð ÙÔ À Ñ ÐØÓÒÓÚ ÓÑÓÖÞ Ñ ÖÙÔ º

½ À Ñ ÐØÓÒÓÚ ÚØÓÖ ÔÓ Ù ÓÓÖÒ Ø Ñ Ó X H À Ñ ÐØÓ¹ ÒÓÚÓ ÚØÓÖ Ó ÔÓ Ò Ö ÒÓ Ñ ÐØÓÒ ÒÓÑ H Ò Õ Ò d dt φ t(x) = X H (φ t (x)), φ 0 (x) = x. Ù ÓÓÖÒ Ø Ñ q = (q 1,...,q n ) p = (p 1,...,p n ) Ó ÓÑ Ö Õ Ù Ö ÙÓÚÓ Ø ÓÖ Ñ Ñ Ó Ð ½ µº ÓÞ Ù Ù ÑÔÐØ Õ ÚØÓÖ ÓÖÑ Ù R 2n Ó Ó Ó Ö Õ Ù Ö ÙÓÚÓ Ø ÓÖ Ñ ÞÖ ÑÔÐØ Õ ÓÖÑ ÙR 2 ÓÚÓ ÒÓ Ò Õ ÒÙ ¾ µ Ø º Ò Õ ÒÙ ( n ) n i q k +ṗ k dp k dq k = q k p k k=1 k=1 ÔÓ q k ṗ k Ö Ü Ø Þ n = 1 Ó ÒÓ ÒÓ Ö Ü Ø ( ξ = (ξ 1,ξ 2 )) ÇØÐ Ð ÓÞ ØÚÖÆ º n k=1 H dq k + H dp k q k p k q ṗ ξ 1 ξ 2 = H q ξ 1 + H p ξ 2. Ì ÓÖ Ñ Ñ Ð ÓÑÓÖÞ Ñ φ t : P P ÑÔÐØ Õ ÑÒÓ¹ Ó ØÖÙ Ó Ø (P,ω) Ò Ö Ò ÚØÓÖ Ñ ÔÓ Ñ X t ÕÙÚ ÑÔÐØ Õ Ù ÓÖÑÙ Ó ÑÓ Ó ½ß ÓÖÑ i(x t )ω Þ ØÚÓÖ Ò Ø º d(i(x t )ω) = 0º ÓÞ Ó ψ t ÕÙÚÙ ÑÔÐØ Õ Ù ÓÖÑÙ ÓÒ ψtω d = ω, Ó ÒÓ ÒÓ dt ψ tω = 0. ÈÓ Ð ÞÖ Þ Ö Ò Ö ÓÚÓ ¾ d dt ψ t ω = ψ t (d(i(x t)ω)+i(x t )dω). ÈÓÜØÓ dω = 0 Ð d(i(x t )ω) = 0º ÈÖ Ñ Ù Ù Ö ÕÙÒ Ð Õ Ò ÓÚÓÑ Þ ÓÞ Ø ÓÖ Ñ ÑÓÑÓ ÙÖ ÑÓ Ð Þ Øº Ø Ú ÖÓÒ ÓÖÑÙÐ À Ñ ÐØÓÒÓÚ Ñ Ò µ ¹ Ñ ÐØÓÒ Ò H t : T M R Ö ÚÙ γ : [0,1] T M Ò Ü ÑÓ À Ñ ÐØÓÒÓÚ ÙÒÓÒ Ð ØÚ 1 A H (γ) = (γ θ H t (γ))dt. 0 Æ γ s Ú Ö ÔÙØ γ γ 0 = γ ξ = d ds s=0 γ s (t) T γ Pº ÓÞ Ø ¾ µ da H (γ)ξ = 1 0 ω(ξ, γ X H (γ))dt+θ(γ(1))ξ θ(γ(0))ξ. ÞÚ Ø ÓØÐ Þ ÙÕ Ù À Ñ ÐØÓÒÓÚ ÔÙØ Ú ØÖ Ñ Ð ÙÒÓÒ Ð A H Ò ÔÖÓ ØÓÖÙ Ö Ú Ö Ò ÕÒ Ñ Ù ÐÓÚ Ñ µ γ(0) = γ(1) Ô Ö ÓÕÒ Ö Ò ÕÒ Ù ÐÓÚ µ µ γ(0),γ(1) 0 M 0 M ÙÔ Ú ÒÙÐ ß ÓÚØÓÖ ÒÙÐ ß ÙÒÓÒ Ð µ Þ T M ÄÖ ÒÚ Ö Ò ÕÒ Ù ÐÓÚ µº ¾ ÈÓ ØÞÚº Ã ÖØ ÒÓÚÓ ÓÖÑÙÐ Þ Ú ÞÙ Ä ÚÓ ÔÓ Ü ÙÒÙØÖ Ü ÞÚÓ L X = i(x) d+d i(x)º

ÁÞ Ò ÓÑÙØ Ø ÚÒÓ Ø ÖÙ Ô Ö ÐÒ ÞÚÓ Ð Ø ÙÒ¹ Ø º Ò Þ Ú ÒÓ Ø Ó ÔÓÖ Ø Ö Ò Ö µ Ö Ò Ø Ò Ö Ò Ð Ö Ò ÐÒ ÓÖÑ Ð ÓÖÑ β Ó Ø ÕÒ Ø º ØÚ β = dα ÓÚ ÞÒÓ Þ ØÚÓÖ Ò ¾ Ø º Ú d d = 0º Ó H t Ù ÓÔÜØ Ñ ÐÙÕÙ ÒÙØÓÒÓÑÒ µ Ñ ÐØÓÒ Ò X Ht ÓÚÓ À Ñ ÐØÓÒÓÚÓ ÚØÓÖ Ó ÔÓ ÔÓ Ò ØÚ ÔÓ Ñ ÑÓ ÙÔÖ ÚÓ ØÙ ØÙ Ù i(x Ht )ω = dh t, Ø º ÓÖÑ i(x Ht )ω Ø ÕÒ Ô Ø Ñ Þ ØÚÓÖ Ò º Ú Ù Ù ØÓÑ Ñ ÑÓ Ð Ù ÔÓ Ð Ù ÔÖ Ø Ó Ò Ø ÓÖ Ñ º ÈÓ Ð À Ñ ÐØÓÒÓÚ ÓÑÓÖÞÑ ÕÙÚÙ ÑÔÐØ Õ Ù ÓÖÑÙº ÇØÐ Ð ÞÙÕ Ú À Ñ ÐØÓÒÓÚ Ñ Ò ÙÔÖ ÚÓ ß ÞÙÕ Ú ÑÔÐØ Õ ÓÑ ØÖ ÞÙÕ Ú Ñ ÔÓÖÙÔ µ ÖÙÔ Ò Ñ ØÖ ÜØÓ Ò Ö Ð Þ ÃÐÒÓÚÓ ÖÐ ÒÒ Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ò ÑÔÐØ Õ Ñ¹ ÒØº ÓÑÓÖÞÑ Ó ÕÙÚÙ ÑÔÐØ Õ Ù ÓÖÑÙ Ò Þ Ú ÑÓ ÑÔÐØ ¹ ÕÑ ÓÑÓÖÞÑ Ñ Ð ÑÔÐØÓÑÓÖÞÑ Ñ º ÄÓ Ú Ø ÖÙÔ À Ñ ÐØÓÒÓÚ ÓÑÓÖÞ Ñ ÔÖ Ú ÔÓÖÙÔ ÖÙÔ ÑÔÐØ Õ ÓÑÓÖÞ Ñ Ø º ÔÓ ØÓ ÑÔÐØ Õ ÓÑÓÖÞÑ Ó Ò Ù À Ñ ÐØÓÒÓÚ º Ò Ñ Ú Ð Ø ÓÖ Ñ º Ì ÓÖ Ñ ÖÙÔ À Ñ ÐØÓÒÓÚ ÓÑÓÖÞ Ñ ÒÓÖÑ ÐÒ ÔÓÖÙÔ ÖÙÔ ÑÔÐØ Õ ÓÑÓÖÞ Ñ º ÓÞ Æ φ ÑÔÐØ Õ ÓÑÓÖÞ Ñ ψ t Ñ Ð À Ñ ÐØÓÒÓ¹ Ú ÓÑÓÖÞ Ñ Ò Ö Ò Ñ ÐØÓÒ ÒÓÑ H t º Æ ÔÓ ÖÒ Ñ Ö Ò¹ Ö Ñ ÔÖ Ñ ÒÓÑ ¾ µ ÔÖÓÚ Ö Ú Ø Ñ ÐØÓÒ Ò H t φ Ò Ö Ü Ñ ÐÙ φ 1 ψ t φº Ð Ø Ñ Ð À Ñ ÐØÓÒÓÚ º ÈÖ Ø Ó Ò Ø ÓÖ Ñ ÑÓ ÓÖÑÙÐ Ü ÓÚÓ ÑÔÐØ Õ Ó¹ ÑÓÖÞÑ ÕÙÚÙ Ó Ð À Ñ ÐØÓÒÓÚ Ò Õ Ò ½ µº Ë ÑÔÐØ Õ Ó¹ ÑÓÖÞÑ Ò Þ ÚÙ ÓÜ ÒÓÒ Ñ ØÖ Ò ÓÖÑÑ Ù Ð ÕÒÓ Ñ Ò ¹ º ÇÒ ÑÓ Ù Ú Ø Ø Ó Ñ Ò ÓÓÖÒ Ø Ó ÕÙÚÙ ÞÓÒ À Ñ ÐØÓÒÓÚ Ñ Ò º Ã Ó ÔÓ Ð Ù ÓÖÑ Ð ÞÑ ÙÚ ÒÓ Ù ÓÚÓÑ Ô ÖÖÙ ÞÚÓÑÓ Ð Ú Ð ÕÒ Ø ÓÖ Ñ º Ä ÙÚ ÐÓÚ Ø ÓÖ Ñ À Ñ ÐØÓÒÓÚ Ö Ø ÒÓÒ ØÖ Ò ÓÖÑ Ù Ù Ð ÓÑ ÔÖÓ ØÓÖÙ ÕÙÚÙ Þ ÔÖ Ñ ÒÙ ÞÒÓ ÔÖÓ ØÓÖ º ÓÞ Ó ω Ø ÒÖ Ò ÑÔÐØ Õ ÓÖÑ ÙR 2n ÓÔ Ò Ù Ö ÙÓÚÓ Ø ÓÖ Ñ µ ÓÒ Ω = 1 n! ω n = 1 n! ω ω = dp 1 dq 1 dp n dq n Ø ÒÖ Ò ÓÖÑ Þ ÔÖ Ñ Ò º ÈÓÜØÓ ÒÓÒ ØÖ Ò ÓÖÑ ÑÔÐ¹ Ø Õ ÓÑÓÖÞÑ µ À Ñ ÐØÓÒÓÚ ÓÑÓÖÞÑ ÕÙÚÙ ÑÔÐØ Õ Ù ÓÖÑÙ ω Ø º ÞÓÚÓ ÚÙ Ò Õ ÒÙ ψ ω = ω ÞÓÚÓ Ú ψ Ω = ψ (ω ω) = ψ ω ψ ω = ω ω = Ω, ¾ Ç ÖÒÙØÓ Ò Ø ÕÒÓ ØÞÚº Ê ÑÓÚ Ó ÓÑÓÐÓÜ ÖÙÔ ÓÔ Ù Ù ÓÐ ÕÒ Õ ÔÖÓ ØÓÖ ÔÖÓ ØÓÖ Þ ØÚÓÖ Ò Ø ÕÒ ÓÖÑ ÔÓ Ø Ú ÓÒ Ó Ö Æ Ò ØÓÔÓÐÓ ÓÑ ÓÚÓ ÓÑ Ò º ½

¾¼ ÜØÓ ÞÒ Õ ÕÙÚ Ø Þ ÔÖ Ñ ÒÙº ÇÚ Ø ÓÖ Ñ Ú Þ Ú ÞÒ ÔÖÓ ØÓÖ ÓÔÜØ ÑÔÐØÓÑÓÖ¹ ÞÑ ÕÙÚÙ Þ ÔÖ Ñ ÒÙ Ú ÑÔÐØ Õ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ò ÒÙ Ω = 1 n! ω n º ÈÓ ÒÖ ÓÚ Ø ÓÖ Ñ Ó M ÓÑÔØÒ ÔÑÐØ Õ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø φ ÑÔÐØ Õ ÓÑÓÖÞ Ñ p M ÐÓ Ó Ø Õ ÓÒ Þ ÚÙ Ó ÓÐ ÒÙV p ÔÓ ØÓ ÔÖ ÖÓÒ ÖÓ k Ø Ú φ k (V) V φ k = φ φµº ÓÞ ÁÞ Ä ÙÚ ÐÓÚ Ø ÓÖ Ñ Ð φ ÕÙÚ Þ ÔÖ Ñ ÒÙº Ó ÓÑÔØ¹ ÒÓ Ø ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø M Ø º ÓÒ ÕÒÓ Ø Ò Þ ÔÖ Ñ Ò µ ÙÔÓÚ V φ(v) φ 2 (V) = φ(φ(v)), Ò ÑÓ Ù Ù Ù ÙÒ ØÒ Ô φ r (V) φ s (V) Þ Ò r s r > sº Ð ÓÒ φ r s (V) V º ÈÓ Ð ËÚ Ø Ñ Ó Ö Ù Ó Ö Ò Õ ÒÓÑ ÔÖÓ ØÓÖÙ ÔÓ Ð ÞÚ ÒÓ ÚÖ Ñ Ò ÚÖ Ù ÔÖÓ ÞÚÓ ÒÙ Ð Þ ÒÙ ÔÓÕ ØÒÓ ÔÓÐÓº ËÔÓÑ Ò ÑÓ Ó Ö Æ Ò ÖÓ Ø Õ Ñ Ò Õ Ó Ø Ñ ÔÓ Ð ÞÚ ÒÓ ÚÖ Ñ Ò ÚÖ Ü Ù ÔÓÕ ØÒÙ Ø Õ Ù Ò ÑÓ Ù ÒÙ Ð Þ ÒÙº ÖÓ Ø Ø Õ ÑÓ ÓÔ Ü ØÓÔÓÐÓ ÓÑ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ò Ó Ó Ö Ø Ó Ú º Æ ÜØÓ Ú Ü Ó ØÓÑ ÑÓ Ö Ù ½¼ Ò Ú ÑÓ Ò ÔÖ Ñ Öº ËÐ ØÚÖÆ Ò ÞÓÚ ÈÓ Ð ÓÑ ÈÓ ÒÖ ÓÚÓÑ Ø ÓÖ ÑÓÑ Ò ÈÓ ÒÖ ß Ö Ó ÓÚÓÑ Ø ÓÖ ÑÓÑº ÓÖÑÙÐ Ó ÈÓ ÒÖ ½ ½¾ Ò ÓÞ Ó Ö Ó Ì ÓÖ Ñ ËÚ ÓÑ ÓÑÓÖÞ Ñ ÔÖ Ø Ò S 1 [a,b] Ó ÕÙÚ ÔÓÚÖÜ ÒÙ ÓÖ ÒØ Ù Ö Ò ÕÒ ÖÙ Ò ÖÓØ Ö Ù ÙÔÖÓØÒÓÑ Ñ ÖÙ Ñ ÒÑ Ú Ò Ø Õº Ù Ù À Ñ ÐØÓÒÓÚ Ö Ø ÕÙÚÙ ÔÓÚÖÜ ÒÙ ÓÖ ÒØ Ù Ð Ô Ñ Ú ÔÖ Ø Ò Ù Ö Ò Ó ÚÓÑ ÒÞ ÓÒ ØÓÖÙ ÓÚ ÙÞ Ñ ÐÓ Ù ÑÓ ÞÚ Ð ÔÓ Ðº ÈÓ Ð ËÚÓ À Ñ ÐØÓÒÓÚÓ Ö Ø Ò ÚÓÑ ÒÞ ÓÒÓÑ ØÓÖÙ Ù Ñ ÒÑ Ô Ö ÓÕÒ ÓÖØ º º Ë ÑÔÐØ Õ ØÓÔÓÐÓ ÓÐÓÑÓÖ Ò Ö Ú º ÁÞ Ö ÙÓÚ Ø Ó¹ Ö Ñ Þ ÔÖ Ø Ó ÒÓ Ô ÖÖ Ð ÑÔÐØ Õ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ò ÑÙ ÐÓÐÒ ÒÚ Ö ÒØ ß Ú Ù ÐÓÐÒÓ Ö ÚÒ Ù ÑÔÐØ Õ ÓÑ Ñ ÐÙ Ø º ÐÓÐÒÓ ÞÓÑÓÖ Ò ÑÔÐØ Õ ÓÑ Ù Ð ÓÑ ÔÖÓ ØÓÖÙº ÌÓ ÞÒ Õ Ñ¹ ÔÐØ Õ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø ÑÓ Ù Ö ÞÐÓÚ Ø ÑÓ Ó ÐÓÐÒ Ð ØÓÔÓ¹ ÐÓÜ ÓØ º ÎÒÙ ÙÐÓ Ù Ù ÑÔÐØ Õ Ó ØÓÔÓÐÓ Ñ ÔÖ Ù ØÚÓ ÓÜ Ò ØÖÙ ØÙÖ Ò ÑÔÐØ ÕÑ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ñ ß ÓÖÓ ÓÑÔÐ Ò ØÖÙ ØÙÖ º ÌÓ Ñ Ð Ð ÒÖÒ ÔÖ Ð Ú Ó Ð Ø Ó Þ Ú Ó x ØÚ J x : T x P T x P, x P J 2 = Id,

J 2 = J Jº ÅÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ó Ñ ÓÖÓ ÓÑÔÐ ÒÙ ØÖÙ ØÙÖÙ Ò Þ ¹ Ú ÑÓ ÓÖÓ ÓÑÔÐ ÒÓÑ ÑÒÓ Ó ØÖÙ ÓÜ Ù ¾ º ÈÖ Ñ Ö ËÚ ÓÖ ÒØ ÐÒ ÔÓÚÖÜ Σ R 3 Ñ ÓÑÔÐ ÒÙ ØÖÙ ØÙÖÙº Ø Þ ÓÖ ÒØ ÐÒÓ Ø Ð ÔÓ ØÓ Ð Ø Ó Ò ÕÒÓ ÚØÓÖ Ó ÔÓ Y ÒÓÖÑ ÐÒÓ Ò Σº Ì ÐÓ Ú Ø TΣ X X Y TΣ, Ò ÒÓ ØÖ Ò ÚØÓÖ ÔÖÓ ÞÚÓ Ù R 3 Ó ÖÓ Ò Ò ÓÖÓ ÓÑÔÐ Ò ØÖÙ ØÙÖ Ò Σº ÈÖ Ñ Ø ÑÓ ÚØÓÖ ÔÖÓ ÞÚÓ Ù R 3 ÑÓ Ú Ø Ø Ó ÑÒÓ Ñ Ò ÖÒ Ú Ø ÖÒ ÓÒ º ËÐ ÕÒÓ Ú Ô ÖÔÓÚÖÜ ÙR 7 Ñ ÓÖÓ ÓÑÔÐ ÒÙ ØÖÙ ØÙÖÙ Ó Ò Ø Ò Õ Ò Ò Ò ÔÓÑÓ Ù ÑÒÓ Ñ Ò ÖÒ Ã Ð Ú Ó Ø Ú º Î Ð Ø ÓÖ Ñ º Ì ÓÖ Ñ ËÚ ÑÔÐØ Õ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø (P,ω) Ñ ÓÖÓ ÓÑÔÐ ÒÙ ØÖÙ ØÙÖÙ J Ó Ð Ò ÑÔÐØ Õ ÓÑ ØÖÙ ØÙÖÓÑ Ù Ñ ÐÙ Ò Ò Ê Ñ ÒÓÚ Ñ ØÖ Ò P º g(x,y) := ω(x,jy) Ë ÓÞ Æ g ÐÓ Ó Ê Ñ ÒÓÚ Ñ ØÖ Ò Mº Ì ω(, ) = g(,a ) Þ ÒÙ ÒØ Ñ ØÖ ÕÒÙ ÔÓÜØÓ g Ñ ØÖ ÕÒ ω ÒØ Ñ ØÖ ÕÒ ÓÖÑ µ Ñ ØÖ Ù Aº Ó A 2 = Id ÓÞ Þ ÚÖÜ Òº Í ÔÖÓØ ÚÒÓÑ Ó¹ Ö Ø A 2 = A A > 0 ÑÓÑÓ ÙÞÑ ÑÓ J := A( A 2 ) 1 º Ð Ú ÑÔÐØ Õ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø ÓÖÓ ÓÑÔÐ Ò ¾ º Í ÃÓÑÔÐ ÒÓ Ò Ð Þ Ð Ø ÔÖ Ð Ú Õ Ö Ò Ð Ð Ò¹ Ö Ò Ò C Ø º ÓÑÙØ Ö ÑÒÓ Ñ i = 1µ Ò Þ Ú ÑÓ ÓÐÓÑÓÖ Ò Ñº Ò ÐÓ ÒÓ ØÓÑ ÔÖ Ð Ú u : P 1 P 2 ÞÑ ÆÙ ÓÖÓ ÓÑÔÐ Ò ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø (P 1,J 1 ) (P 2,J 2 ) Ò Þ Ú Ô Ù Ó¹ ÓÐÓÑÓÖ Ò Ñ Ó Ú ¾ µ du J 1 = J 2 du. ËÔÐÒÓ Ó Σ ÓÖ ÒØ ÐÒ ÚÓÑ ÒÞ ÓÒ ÔÓÚÖÜ Ø º Ó Ø ÓÑ¹ ÔÐ Ò Ñ ÒÞ ½µ P ÓÖÓ ÓÑÔÐ Ò ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ô Ù Ó ÓÐÓÑÓÖ Ò ÔÖ Ð Ú u : Σ P Ò Þ Ú ÑÓ ÓÐÓÑÓÖ Ò Ñ Ö Ú Ñ Ù P º Ì Ù ÐÓÚ ¾ µ Ú Ú Ð ÒØ Ò Ø ÑÙ Ò Ð ÒÖÒ ÃÓÜ ßÊ Ñ ÒÓÚ Ò Õ Ò u ¾ µ s +J(u) u t = 0, Ù (s,t) ÐÓÐÒ ÓÓÖÒ Ø Ò Σº ¾ ÃÓÑÔÐ Ò ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ù ÔÐ Ò ÐÙÕ ÓÖÓ ÓÑÔÐ Ò ÓÚ Ò ÑÓ ÙÐ Þ¹ Ø Ù Ø Ö ÞÐ ÞÑ ÆÙ Ø Ú ÔÓ Ñ º ¾ Ç ÖÒÙØÓ Ò Ø ÕÒÓº ÆÔÖº Ú ÑÓ Ú Ð Ö S 6 Ò ÑÔÐØ Õ Ö Ñ ØÖ Ú ÐÒÙ ÖÙ Ù Ó ÓÑÓÐÓÜ Ù ÖÙÔÙº Å ÆÙØ Ñ Ù ÔÖ Ø Ó ÒÓÑ ÔÖ Ñ ÖÙ ÑÓ Ú Ð S 6 ÓÖÓ ÓÑÔÐ Ò º ¾½

¾¾ ÁÞ Ò ÒØÖ Ð ¾ß ÓÖÑ ÔÓ ÚÓÑ ÒÞ ÓÒÓ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø ÐÓ ÞÚÓ Ð Ð Ñ º Ä Ñ Æ (P,ω) ÑÔÐØ Õ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø u : Σ P ÓÐÓÑÓÖ Ò Ö Ú º Ì ¾ µ Σu ω = 1 du 2. 2 Σ Ø ÓÞ Ø Ð ÑÙº Ò Õ ÔÖ Ø Ó Ò Ð Ñ Ú Ù ØÓÑ ÜØÓ ÞÖ Þ Ò Ò ÒÓ ØÖ Ò Ò Ð Ø Õ Ú Ð Õ Ò ÞÖ Þ Ò Ð ÚÓ ØÓÔÓÐÓÜ ¾ º ÌÓ Ò Ñ ÓÑÓ Ù Ú ØÓÔÓÐÓÜ ÓÒØÖÓÐ Ü ÑÓ ÓÒÚ ÖÒ Ò ÞÓÚ ÓÐÓÑÓÖ Ò Ö Ú Ù Ö ÞÒ Ñ L p W p,q ÔÖÓ ØÓÖ Ñ ÔÖÓ ØÓÖ Ñ ËÓ Ó Ú µº ÃÓÖ Ø ØÙ Õ Ò Ù Ó Õ Ò Ù Ø Ñ Ô Ö ÐÒ Ò Õ Ò ¾ µ Ð ÔØ Õ Ø º ¹ ÓÚ Ð ÒÖ Þ Ö ÓÐÑÓÚ Åº ÖÓÑÓÚ ½ º ÓÒ ÓÞ Ó Ð Ù Ø ÓÖ ÑÙº Ì ÓÖ Ñ Æ J ÓÖÓ ÓÑÔÐ Ò ØÖÙ ØÙÖ Ò ÓÑÔØÒÓ ÑÔÐ¹ Ø Õ Ó ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø P Ò A H 2 (P,Z) Ö Ò ÓÑÓÐÓÜ Ð º Æ M J (A) ÙÔ J ÓÐÓÑÓÖ Ò Ö Ú u : Σ P Ó ÞÓÚÓ ÚÙ Ù ÐÓÚ u [Σ] Aº ÓÖÓ ÚÙ ÓÖÓ ÓÑÔÐ ÒÙ ØÖÙ ØÙÖÙ J ÙÔ M J (A) ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø ÓÒ ÕÒ Ñ ÒÞ º ÇÚ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ð ÓÑÔØÒ Ð Ò ÒÓÑÔØÒÓ Ø ÑÓ ÓÔ Ø Ù Ø ÖÑ Ò Ñ ÓÑÓÐÓÜ Ð Aº ÇÚ Ø ÓÖ Ñ Ó ÔÓØÔÙÒÓ ÔÖÓÑ Ò Ð Ò Õ Ò Ð Ò ÑÔÐØ Õ Ù ØÓÔÓÐÓ Ù Ñ ÑÒÓ Ó ÚÒ ÔÓ Ðº ÇÚ Þ Ú ÑÓ ÑÓ ÒÙº Í ÑÓ Ú Ð ÖÙÔ ÑÔÐØ Õ ÓÑÓÖÞ Ñ ÔÓÖÙÔ ÖÙÔ ÓÑÓÖÞ Ñ Ó ÕÙÚÙ Þ ÔÖ Ñ ÒÙ Ä ÙÚ ÐÓÚ Ø ÓÖ Ñ µº ËÚ ÙÔ ÑÓ ÔÖ Ð Ø Ù ÙÔ Ú Þ ÔÖ Ñ Ò ØÓ ÑÙ ÓÕÙÚ Þ ÔÖ Ñ Ò º ËÐ Ø Ö Ñ ÖÓÑÓÚ ÔÓÞÙ ØÓ Ò ÑÓ ÙÚ ÙÕ Ò Ø ØÓ ÓÕÙÚ ÑÔÐØ Õ ÓÖÑ º Ì ÓÖ Ñ Æ B 2n r C n ÐÓÔØ ÔÓÐÙÔÖ ÕÒ r Z R C n Ð ÒÖ D R C n 1 D R := {z C z < R} Ò ψ : C n C n ÑÔÐØ Õ Ó ÔÖ ÐÚ ØÚÓ ψ(b r ) Z R. Ì r Rº Á ÓÞ Æ C ÓÐÓÑÓÖ Ò Ù B 2n r Ó ÔÖÓÐ Þ ÖÓÞ ÒØ Ö ÐÓÔØ Õ ÖÙ Ò ÖÙ Ù ÐÓÔØ º Æ A(C) ÔÓÚÖÜ Ò Ö Ú Cº ÈÓÞÒ Ø Ö ÞÙÐØ Ø Þ Ø ÓÖ Ñ Ò Ñ ÐÒ ÔÓÚÖÜ Ä Ñ Ó ÑÓÒÓØÓÒÓ Ø µ ¾ µ A(C) πr 2. ÈÓÜØÓ C ÓÐÓÑÓÖ Ò A(C) = C ω = ¾ Ú Ù Ù ËØÓ ÓÚÓ ÓÖÑÙÐ Õ Ò dω = 0 ÞÖ Þ Ò Ð ÚÓ ØÖ Ò ÚÖÒÓ Ø Ó ÓÑÓÐÓÜ Ð [ω] Ò ÓÑÓÐÓÜ Ó Ð [u(σ)] º ψ(c) ω

Ö ψ ÑÔÐØ Õ Óµº Ó ÔÖÓÜ Ö ÑÓ ψ(c) Ó ÓÐÓÑÓÖ Ò Ö Ú C Ö Ò ÓÑ Ò D R Ñ ÑÓ ω ω = ω = πr 2, ψ(c) C D R Ó Ð Þ Ó ¾ µ Ð r Rº ÑÓ Ó ØÚ Ö Ð ÓÚÙ ÓÒ ØÖÙ Ù ÓÐÓÑÓÖ Ò Ö Ú C ÙØÓÔ ÑÓ Ó ÓÐ ÒÙ Ð ψ(br 2n ) Z Ù ÓÑÔØÒÙ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó ØµM := S 2 T 2n 2 S 2 Ö ÔÓÚÖÜ Ò πr 2 +ε T 2n 2 ØÓÖÙ º Æ J 0 Ø ÒÖ Ò ÓÑÔÐ Ò ØÖÙ ØÙÖ Ò Br 2n C 2n Ò J ÓÖÓ ÓÑÔÐ Ò ØÖÙ ØÙÖ Ò M Ó Ò ψ(c) Ò ψ J 0 º ÈÓÜØÓ π 2 (T 2n 2 ) = 0 ÓÑÔØÒÓ Ø ÔÖÓ ØÓÖ ÓÐÓÑÓÖ Ò Ö Ú ÑÓ ÓÒØÖÓÐ Ü ØÓÔÓÐÓ ÓÑ ÔÖ Ø Ó Ò Ø ÓÖ Ñ µ Ð M J (A) Þ A = [S 2 ] ÓÑÔØÒ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Øº ÈÖ Ð Ú ¼µ ev : M J (A) G S 2 M, (u,z) u(z), G = PSL(2,C) ÖÙÔ ÅÙ ÓÚ ØÖ Ò ÓÖÑ ¾ Ñ Ø Ô Ò ½ Ó J = i J ØÓ ÓÕÐÒÓ ÓÔÜØ ÐÙÕ Ð Þ ÓÚÓ ÔÐÒÓ Ò Ó ÒÓÚÙ ÓÑÓØÓÔ ÒÚ Ö ÒØÒÓ Ø Ø Ô Ò ÔÖ Ð Ú µº ØÓ ÔÓ ØÓ J ÓÐÓÑÓ Ò Ö Ú ÖÓÞ ÚÙ Ø Õ Ù Ù M Ô ÖÓÞ ψ(0)º ÁÒÚ ÖÞÒ Ð Ø Ö Ú ÔÖ ÔÖ Ð Ú Ù ψ J 0 ÓÐÓÑÓÖ Ò Ö Ú C Þ Ó Ù ÑÓ ÔÖÓÚ Ø ÔÖ Ø Ó ÒÓ Ö ÞÓÒÓÚ º Æ ÔÓÑ Ò Í ÔÖ Ø Ó ÒÓ Ø ÓÖ Ñ Þ Ð Ò Ö Ù (q 1,p 1 )ßÖ ÚÒ º Ó ÞÙ Þ Ö ÑÓ ÖÑÓ Ù (q 1,q 2 )ßÖ ÚÒ ØÖ Ò ÓÖÑ (q,p) (εq 1,ε 1 p 1,εq 2,ε 1 p 2,q 3,p 3,,q n,p n ) ÕÙÚ ÑÔÐØ Õ Ù ÓÖÑÙ dq k dp k ÔÖ Ð Ú Þ ÓÖÓÑ ÓÚÓ ÒÓ Ñ ÐÓ εµ ÖÙ Ú Ù Ð ÒÖ Ñ ÔÓÐÙÔÖ ÕÒ º Ð ÔÖ Ø Ó Ò Ø ÓÖ Ñ Ú ÑÓ Ó Þ Ð Ò Ö ÓÓÖÒ ØÒ Ö Ú Ò ÔÓÐÓ ÑÔÙÐ Õ Ø º ÁÑÙ Ù ÚÙ Ñ Ò Õ Ù ÒØ ÖÔÖ Ø Ù ÑÔÐØÓÑÓÖÞ Ñ ÙØÓÚ ÒÙ Ù ÔÖ Ø Ó ÒÓÑ Ô ÖÖÙ ÓÚÙ Ø ÓÖ ÑÙ ÑÓÑÓ Ñ ØÖ Ø Ò ÐÓ ÓÑ ÀÞ Ò¹ Ö ÓÚÓ ÔÖ Ò Ô Ò ÓÆ ÒÓ Ø Ù Ð ÕÒÓ Ñ Ò º Æ Ö ÚÒÓ Ò Ö Ó ÔÖ Ò ÔÙ Ó Ñ ØÙ ÒØ ÖÔÖ Ø Ù ÔÓ Ð ÒÓ Ó Ð ÕÒÓ Ø Ò Ò ÚÓÙ Ñ Ø Ñ Ø Õ ØÖÙ ØÙÖ º º ÃÚ ÒØ Þ Ð ÖÞ Ñ Ò º Í Ð ÕÒÓ Þ Ø Ø Ñ Ù ÚÓÑ ØÖ ÒÙØ Ù Ó Ö Æ ÒÓ Þ ÕÑ Ú Ð Õ Ò Ñ Ó Ò Þ Ú ÑÓ Ò Ñ ÕÑ Ú ÖÐ Ñ ¾ Ó ÜØÓ Ù ÚØÓÖ ÔÓÐÓ ÑÔÙÐ Õ Ø Ó Õ Ò Ø Ñº Ó Ñ ÑÓ ÓÚÓ ÒÓ Ò ÓÖÑ Ó Ø Ù Ø Ñ Ù ÒÓÑ ØÖ ÒÙØ Ù ÔÓ ÞÓÒ Ñ Ð ÕÒ Ñ Ò ÑÓÑÓ ÖÓÒ ØÖÙ Ü ÑÓ Ñ Ö Ð Ù ØÓÖÙ Ø Ñ Ó ÔÖÓÜÐÙ ØÓ Ù Ù Ùº ÁÐ Ö Õ ÒÓ ÞÓÑ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ñ ÑÓ ÓÚÓ ÒÓ ÔÓÕ ØÒ Ù ÐÓÚ ÑÓÑÓ ÐÓÐÒÓ Ù ÚÖ Ñ ÒÙµ ÒÓÞÒ ÕÒÓ Ó Ö ÑÓ Ö Ü Ö Ò ÐÒ Ò Õ Ò º ¾ Ø º ÓÐÓÑÓÖ Ò Ö Ô Ö Ñ ØÖ Þ Ö CP 1 º ÖÙÔ G ØÚÙ Ò M J (A) S 2 ÔÓ ÔÖ Ú ÐÙ φ (u,z) = (u φ 1,φ(z)) ÔÖÓ ØÓÖ Ò Ð ÚÓ ØÖ Ò Ù ¼µ ÔÖÓ ØÓÖ ÓÖØ ÓÚÓ ØÚ º ¾ Ò Ñ Õ ÓÑ Ú ÖÐÓÑ ÑÓÑÓ Ñ ØÖ Ø ÚÙ Ù ÓÔÜØ Ñ ÐÙÕÙ Þ Ú ÒÙ Ó ÚÖ Ñ Ò ÙÒ Ù Ò ÞÒÓÑ ÔÖÓ ØÓÖÙ ÒÔÖº ÚÙ ÙÒ Ù A : T M R Ð A : T M R R Ù À Ñ ÐØÓÒÓÚÓ Ñ Òº ¾

¾ Å ÆÙØ Ñ Ô Ö Ñ ÒØ ÐÒ Ö ÞÙÐØ Ø Þ ÔÖÚ Ú Ò XX Ú ÔÓÞ Ð Ù Ù ÑÖÓ Ú ØÙ Ò ÚÐ ÓÚ Ú Ø ÖÑ Ò Þ Ñº Ç ÒÓÚÒ ÔÖ ØÔÓ Ø Ú Ú ÒØÒ Ñ Ò ÒÚÓ ÞÒ Ó Ø ÑÙ Ù ÔÓÕ ØÒÓÑ ÔÓÐÓ Ù Ò ÑÓ Ò Ñ ÔÓÑÓ Ò Ø ÕÒÓ ÓÔ Ü ÑÓ ØÖØÓÖÙ Ø Ñ Ù Ù Ù ÒÓ Ø º ÆÚ ¹ Ü ÜØÓ ÑÓÑÓ ÑÓ Ó Ø ÑÙ ØÓ ÓÐÓÑ Ú ÖÓÚ ØÒÓ ÓÑ Ø Ñ Ù ØÓÑ ØÖ ÒÙØ Ù Ò Ù Ó Ö Æ ÒÓÑ Ø Ùº Â Ò Ó ÑÓ Ù Ò Õ Ò ÓÖÑÙÐ Ü Ú ÒØÒ Ñ Ò Ð ÙÔ ÔÓ ØÙÐ Ø ¼ º ÈÖÚ ÔÓ ØÙÐ Ø ËØ Ù Þ Õ Ó Ø Ñ ÑÓÑÓ ÔÖÖÙÑÓ ÓÑ¹ ÔÐ ÒÓ ÚÖÒÓ ÒÙ ÙÒ Ù Ø Ð Ø Ð ÒÙ ÙÒ Ù ψ Ó Ö Ú Ò ÓÖÑ Ó ÑÓÑÓ Ñ ÑÓ Ó Ø ÑÙ ÔÖ Õ ÑÙ ÙÒ ψ λψ Þ λ C\{0} ÓÔ Ù Ù ØÓ Ø º Ì Ð Ò ÙÒ ψ(q,t) q ÚØÓÖ Ð ÚØÓÖ Ù ÐÙÕÙ Ú Ü Õ ¹ Øµ ÔÓÐÓ t ÚÖ Ñ ÑÓ ÒØ ÖÔÖ Ø Ö Ó Ù Ø Ò Ú ÖÓÚ ØÒÓ Ø Ñ Ù ØÖ ÒÙØ Ù t Ò Æ Ò Ñ ØÙ q Ù ÓÐÓ ÑÓÑÓ Ð ÒÓ ÞÓÒÙ Ù ÙÔÒ Ú ÖÓÚ ØÒÓ Ò ÒÓÖÑ Ð ÞÙÑÓ ØÓ ½µ ψ(q,t) 2 dq = 1. ÇÚ ÞØ Ú Ò Ñ ÔÓÞÙ ÐÓ Ð ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖ ÙÒ Ø L 2 (R n ) ß ÔÖÓ ØÓÖ ÙÒ ÒØÖ ÐÒ Ñ ÚÖ ØÓÑ ÑÓ ÙÐ º Æ ÐÓ Ø ÓÚÓ Ò ÑÓÑÓ ÔÓ ØÙÐ Ö ÑÓ Ö Õ ØÓ Ü Ú ÙÒ Ø Ó Ó ÓÐ Þ ÑÓ Ò Ò Õ Ò Ó ÑÓ Ù ÓÖÓ ÔÓ ØÙÐ Ö ÑÓµ Ò ÔÖ ÔÙ ÓÚÓÑ ÔÖÓ ¹ ØÓÖÙº Ð ÔÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ ÙÒ Ø ÙÚ ÔÖ ÔÙ À ÐÖØÓÚÓÑ ÔÖÓ ØÓÖÙ L 2 Ð ÒÓÑ ÖÙ ÓÑº ÈÖ Ñ Ø ÑÓ ÙÒ λψ ψ ÒØÙÑÓ ÔÓ Ð ÒÓÖÑ Ð Þ Ó e iα ψ ψ ÑÙ ØÙ ÒÓÖÑ Ð Þ Ùº ØÓ ÔÖ ÚÒÓ ÔÓ Ñ ØÖ Ø ÙÒ Ø Ó Ø Õ ÔÖÓ Ø ÚÒÓ ÔÖÓ ØÓÖ Ð ÓÚ Ò ÑÓ Þ ÙÞ Ñ Ø ØÙ Ø Õ Ù Ð ÜØ º ÖÙ ÔÓ ØÙÐ Ø Ó Ø Ð Ò ÙÒ ψ 1 ÔÖÖÙÒ ÒÓÑ ÑÓ Ù Ñ Ø Ù Ø Ñ ÙÒ ψ 2 ÖÙ ÓÑ ÑÓ Ù Ñ Ø Ù ÓÒ ÓÚ Ð Ò¹ ÖÒ ÓÑÒ λ 1 ψ 1 +λ 2 ψ 2, λ 1,λ 2 C Ø Ð Ò ÙÒ ÒÓ ÑÓ Ù Ø Ø Ñ ÈÖ Ò Ô ÙÔ ÖÔÓÞµº ÖÙ¹ Ñ Ö Õ Ñ ÙÔ ÙÒ Ø ÚØÓÖ ÔÖÓ ØÓÖº ÌÖ ÔÓ ØÙÐ Ø ËÚÓ Ò Ñ Õ Ó Ú ÖÐ A ÔÖÖÙ ÙÑÓ Ñ Ø¹ Ö Õ Ò Ð ÒÖÒ ÓÔ Ö ØÓÖ A Ó ØÚÙ Ò À ÐÖØÓÚÓÑ ÔÖÓ ØÓÖÙ ÙÒ Ø º Á Ñ ÓÚ ÓÔ Ö ØÓÖ Ò Þ Ú Ò Ñ Õ ÓÑ Ú ÖÐÓÑ Ù Ú ÒØÒÓ Ñ Òº ÇÚÓ ÔÖÖÙÚ ÚÖÜ ÑÓ ÔÓ Ð Ñ ÔÖ Ú ÐÙ Ù ÞÖ ÞÙ Þ Ð ÕÒÙ Ò Ñ Õ Ù Ú ÖÐÙ A(q 1,...,q n,p 1,...,p n,t) ÙÚ ÑÓ Ñ ÒÙ ¾µ p k i q k, q k q k, ¼ ÇÚ ÔÓ ØÙÐ Ø Ò ÚÓÑÓ Ù ÔÓ ÒÓ Ø Ú ÒÓ ÓÖÑ ÒÔÖº ÒÓÖ Ü ÑÓ Ð ÒÖÒ ÓÔ Ö ¹ ØÓÖ Ò ÔÖÓ ØÓÖÙ ÙÒ Ø Ó Ò ÑÙ Ö Ø Ò ÔØ Öº Ù ÓÔÜØ Ñ ÐÙÕÙ Ò ÑÓÑÓ Þ ÓÆ ÑÓ Ð Þ ÓÚÓ Ö ÞÑ ØÖ Ù Ò Ñ ÔÓØÖÒ Ò ØÖ Ú ÐÒ ÓÒ ØÖÙ Þ ÔØÖ ÐÒ Ø ÓÖ ÓÔ Ö ØÓÖ ÔØÖ ÐÒ Ñ Ö ÔØÖ ÐÒ ÒØÖ Ðµ Ó Ð Ñ ÒØ Ø ÓÖ ØÖÙ º

Ø º ÑÔÙÐ Þ Ñ ÙÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖÓÑ Ö Ò Ö ÓÓÖÒ ØÙ ÓÔ Ö ØÓÖÓÑ ÑÒÓ ÓÓÖÒ ØÒÓÑ ÙÒ ÓÑº Æ ÔÖ Ñ Ö Ó H Ð ÕÒ Ñ ÐØÓÒ ¹ Ò Ó ÑÓ Ö ÞÑ ØÖ Ð Ù À Ñ ÐØÓÒÓÚÓ Ñ Ò ÓÒ H(q 1,...,q n,p 1,...,p n ) = 1 2m n p 2 k +V(q), k=1 H = 2 2m +V(q), = Ä ÔÐ Òº Ê Õ ÔÖ Ú ÐÓ ÑÓ Ø Ú Ð ÔÓ ÞÒ Ò ÚÓ Þ Ó ØÓ ÜØÓ ÓÚ ÔÓ ØÙÔ Ò Ó ÖÓ Ò Ò Ø º Ú ÒØ Þ Ð ÕÒÓ ¹ Ø Ñ Ù ÓÔÜØ Ñ ÐÙÕÙ Ò Ö Ü Ò ÔÖÓ Ð Ñµº ÆÔÖº Þ Ò Ñ Õ Ù Ú ÖÐÙ A(q,p) = p 2 q Ú A(p,q) = pqp = qp 2 Ð Ø ØÖ ÞÖ Þ Ù ØÖ Ö ÞÐ Õ Ø Ð ÒÖÒ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ù Ö Ò Ö ÓÔ Ö ØÓÖ pµ ÑÒÓ ÓÓÖ¹ Ò ØÒÓÑ ÙÒ ÓÑ ÓÔ Ö ØÓÖ qµ Ò ÓÑÙØ ÖÙ Ú ÞÓÚÓ ÚÙ ÐÓÒ Ä Ò ÓÚÓ ÔÖ Ú ÐÓº ÇÔ Ö ØÓÖ p k = i q k q k = q k Ù Ù ÐÒ Ù Ð Ñ Ñ ÐÙº Æ f : R n C ÒØÖ ÐÒ ÙÒ Ò ÙÖ ÓÚ ØÖ Ò ÓÖÑ ÙÒ µ f(p1,...,p n ) = (2π) n/2 f(q 1,...,q n )e i(p1q1+ +pnqn) dq 1...dq n. R n Ö Ò Ö Ñ ÔÓ p k ÓÑÓ ÔÖÚÙ Ô Ö ÐÒÓÑ ÒØÖ ÓÑ ÖÙ Ù Ó Ð ÓÖÑÙÐ ½ µ qk f = i p k ˆf q k f = ip k ˆf. Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Ö Ò Ö ÑÒÓ Ù Ù ÐÒ Ó Ò ÑÙÐØ ÔÐ ¹ Ø ÚÒÙ ÓÒ Ø ÒØÙµ Ù Ó ÒÓ Ù Ò ÙÖ ÓÚÙ ØÖ Ò ÓÖÑ Ùº É ØÚÖØ ÔÓ ØÙÐ Ø Â Ò ÑÓ Ù Ö ÞÙÐØ Ø Ñ Ö Ò Ñ Õ Ú ÖÐ A Ù ÓÔ ØÚ Ò ÚÖÒÓ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Aº ÈÖ Ñ Ø ÑÓ ÓÚ ÔÓ ØÙÐ Ø Ñ Ñ Ð ÞÚ Ù Ù Ñ ØÖ ÕÒÓ Ø ÔÓ ¹ ØÙÐ Ö Ò Ù ÔÖ Ø Ó ÒÓÑ ß ÓÔ ØÚ Ò ÚÖÒÓ Ø Ñ ØÖ ÕÒÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Ù Ö ¹ ÐÒ ÖÓÚ Ø º ÑÓÑÓ Ó Ó Ñ Ö Ñº Ø ÓÞ Ø Ù ÓÔ ØÚ Ò ÚÖÒÓ Ø Ñ ØÖ ÕÒÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö ¹ ÐÒ Ö ÞÐ Õ Ø Ñ ÓÔ ØÚ Ò Ñ ÚÖÒÓ Ø Ñ ÓÓÚ ÖÙ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ ÓÔ¹ ØÚ Ò ÚØÓÖ º Ó Ø Ð Ò ÙÒ Ø Ñ ψ n Ø º Ó Ø Ñ Ù Ø Ù ψ n µ Ò Ó ÓÔ ØÚ Ò ÚØÓÖ ÓÔ Ö ØÓÖ A Ó ÓÓÚ Ö ÓÔ ØÚ ÒÓ ÚÖÒÓ Ø λ n Ø º Ó Aψ n = λ n ψ n, ÓÒ Ñ Ö Ú ÖÐ A Ø λ n º Å ÆÙØ Ñ Ó Ø Ñ Ò Ù ÓÔ ØÚ ÒÓÑ Ø Ù ÓÔ Ö ØÓÖ A ÓÒ ÑÓÑÓ ÓÚÓÖ ÑÓ ÑÓ Ó Ñ Ø Ñ Ø Õ ÓÑ ÓÕ Ú Ù Ö ÞÙÐØ Ø Ñ Ö º ÇÒÓ ÙÚÓ Ù Ð Ñ ÔÓ ØÙÐ ØÙº ½ ÇÚÓ ÞØ Ú ÞÚ ÒÙ Ù Ù Ó Ù ÓÚ Þ ÓÐ Þ ÑÓº ÍÑ ØÓ ØÓ ÞÓÚÓ ÑÓ ÔÖ Ñ ÓÑ ÞÚÓÆ ÓÚ ÓÖÑÙÐ ØÖ Ú ÐÒÓ Ó f Ð Ø ÙÒ ÓÑÔØÒ Ñ ÒÓ Õ Ñº ÇØÐ ÔÓ Ð Ö Õ Ò Ù Ó Ù ÙÕÙ ÒÔÖº ÓÓÚÓÖ Ò Ô Ø ÜØ Ö Ò Ö Ó f Ò Ð Øµ Ð ÓÔÜØ ÐÙÕº ¾

¾ È Ø ÔÓ ØÙÐ Ø Ó Ø Ñ Ù Ø Ù ÓÔ ÒÓÑ ÙÒ ÓÑ Ø ψ ÓÕ ¹ Ú Ò ÚÖÒÓ Ø Ñ Ö Ò Ñ Õ Ú ÖÐ A µ A = Aψ ψ ψ ψ, ÓÞÒ Ò ÒÓ ØÖ Ò ÓÞÒ Õ Ú Ð ÖÒ ÔÖÓ ÞÚÓ Ù ÔÖÓ ØÓÖÙ Ø º Ø ÔÓ ØÙÐ Ø ËÚ Ø Ð Ò ÙÒ Ó ÓÔ Ù ÑÓ Ù Ø ¹ Ø Ñ ÑÓ Ò Ô Ü Ó Ð ÒÖÒ ÓÑÒ ÓÔ ØÚ Ò ÚØÓÖ ¹ Ò Ñ Õ Ú ÖÐ Aº ÁÞ Ñ ØÖ ÕÒÓ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ A Ö ÒØÓÚ Ò ØÖ Ñ ÔÓ ØÙÐ ØÓÑ Ð Ö ¹ ÞÐ Õ Ø Ñ ÓÔ ØÚ Ò Ñ ÚÖÒÓ Ø Ñ ÓÓÚ ÖÙ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ ÚØÓÖ ÑÓÑÓ ÔÓ Ð ÑÒÓ Ð ÖÓÑ Ñ ØÖ Ø ÓÖØÓÒÓÖÑ Ö Ò Ñµº ÁÞ ÓÔÜØ Ø ÓÖ ÙÖ ÓÚ ÖÓÚ Ò Ñ ÔÓÞÒ ØÓ Ú ÔÓØÔÙÒ ¾ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ö Ò Ø Ñ Ù À ÐÖØÓÚÓÑ ÔÖÓ ØÓÖÙ Þ º Å ÆÙØ Ñ Ò ÑÙ Ú Ñ ØÖ ÕÒ ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÓØ¹ ÔÙÒ Ø Ñ ÓÔ ØÚ Ò ÚØÓÖ º ÇÒ Ó ÑÙ Ò Þ Ú ÑÓ ÓÜ ÓÔ ÖÚÐ Ñ º Æ A ÓÔ ÖÚÐ ψ n ÓÖØÓÒÓÖÑ Ö Ò Ø Ñ Ò ÓÔ ØÚ Ò ÚØÓÖ Ó ÓÓÚ ÖÙ ÓÔ ØÚ Ò Ñ ÚÖÒÓ Ø Ñ λ n º Æ Ø Ø Ñ ÓÔ ÒÓ ÙÒ ÓÑ Ø ψ ÑÓÑÓ ÔÖÔÓ Ø Ú ÑÓ ψ ψ = ψ 2 = 1º Ì Þ Ü ØÓ ÔÓ ØÙÐ Ø Ð µ ψ = c n ψ n, n Þ Ó ÓÖØÓÒÓÖÑ Ö ÒÓ Ø Ø Ñ ψ n µ c n = ψ ψ n. ÁÞÖ Þ µ µ ÑÓ Ù Ò Ô Ø Ó Ð Ó Ó Ö Ü ÑÓ ψ Ó ØÖ Ò ψ = ψ ψ n ψ n, 1 = ψ n ψ n. Ë Þ Ô ØÓ ÔÓ ØÙÐ Ø Ð ÓÕ Ú Ò ÚÖÒÓ Ø Ñ Ö ÓÔ ÖÚÐ A A = Aψ,ψ = c m c n λ n ψ n,ψ m = λ n c n 2, m n Ö ψ n ÓÖØÓÒÓÖÑ Ö Ò Ø Ñ Ø º ψ n ψ m = δ nm º Î Ð Õ Ò c n 2 = ψ n ψ 2 ÒØ ÖÔÖ Ø Ö Ó Ú ÖÓÚ ØÒÓ ÔÖ Ñ Ö Ù Ú ÖÐ A Ø Ñ Ù Ø Ù ψ Ó Ö ÞÙÐØ Ø λ n º ÈÓÜØÓ Ù λ n Ò ÑÓ Ù Ö ÞÙÐØ Ø Ñ Ö ÔÖ Ñ Õ ØÚÖØÓÑ ÔÓ ØÙÐ ØÙµ ÔÓÜØÓ c n 2 = 1 n ¾ ººº Ø º Ø Ú ÑÙ Ð ÒÖÒ ÓÑÓØ Õ ÚÙ Ù Ø ÇÔ Ö ØÓÖ φ φ Ò Þ ÚÙ Ö Ø Ó Ò Ðº bracketµ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ º ÁÞÖ Þ φ φ ÑÓ ØÚÙ Ò ÚØÓÖ Ò ØÖ Ò Õ Ò Ð Ú Þ Ò Ð Ú Þ Ò º Í ÔÖÚ Ú ÐÙÕ Ö ÞÙÐØ Ø ÚØÓÖ Ù ØÖ Ñ Ð Öº

Þ Ó ψ ψ = 1µ ÓÚ ÒØ ÖÔÖ Ø Ð Ò ÞØ ÚÓÑ Ù ÙÔÒ Ú ÖÓÚ ØÒÓ ½º ÃÓÒØ µ Ò Þ ÚÙ ÑÔÐ ØÙÑ Ú ÖÓÚ ØÒÓ º Æ Ù A B Ú ÓÔ ÖÚÐ Ó ÑÙ Ø ÓÔ ØÚ Ò ÚØÓÖ µ Aψ n = λ n ψ n, Bψ n = µ n ψ n. ÈÓÜØÓ ÔÖ Ñ Ü ØÓÑ ÔÓ ØÙÐ ØÙ Ø Ñ ψ n Þ Ú ÚØÓÖ Þ ÔÖÓ ØÓÖ Ø ÑÓ Ò Ô Ü Ó ψ = a n ψ n º ÇØÐ ÙÞ ÔÓÑÓ µ Ð ¾ (AB BA)ψ = n a n (AB BA)ψ n = n a n (µ n Aψ n λ n Bψ n ) = 0, Ø º µ [A,B] = 0, [A,B] = AB BA ÓÑÙØ ØÓÖ Ð ÒÖÒ ÓÔ Ö ØÓÖ º Ç ÖÒÙØÓ Þ µ Ð A B ÑÙ Ø ÓÔ ØÚ Ò ÚØÓÖ º ÇÚÓ ÓÕÐÒÓ Ó Ò Ó ÓÔ Ö ØÓÖ ÒÔÖº A Ñ Ò Ò Ö Ò ÓÔ ØÚ Ò ÚÖÒÓ Ø Ø º Ñ ÑÓ ÒÓÑ ÒÞ ÓÒ ÓÔ ØÚ Ò ÔÖÓ ØÓÖ º Ì Þ ÚÓ λ 1 ÔÓ ØÓ Ò ØÚ Ò Ó Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÒÙ ÓÒ Ø ÒØÙ ÚØÓÖ ψ n Ó ÞÓÚÓ Ú Aψ n = λ n ψ n º ÇØÐ Þ µ Ð A(Bψ n ) = λ n Bψ n Ô Þ Ó Ò ØÚ ÒÓ Ø ψ n Ð Ù Bψ n ψ n Ô Ö Ð ÐÒ º Í ÐÙÕÙ Ù Ò ÓÔ ØÚ Ò ÚÖÒÓ Ø Ò Ö Ò ÓÞ ÚÓ Ò Ö Ü Ú ÒÓ ÓÑÓÒÓ Ø Ñ Ð ÒÖÒ Ò Õ Ò º ÁÑÙ Ù ÚÙ ÓÚ Þ ÙÕ Ó Õ ØÚÖØ ÔÓ ØÙÐ Ø ÑÓÑÓ Þ ¹ ÙÕ ÑÓ ÑÓ Ù ØÓÚÖ Ñ ÒÓ Ø ÕÒÓ ÞÑ Ö Ø ÚÖÒÓ Ø Ú Ò Ñ Õ Ú ÖÐ ÑÓ Ó Ñ ÔÖÖÙÒ ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÑÙØ ÖÙ Ö ÑÓ Ø Ø Ñ ÑÓ Ò Æ Ù ÓÔ ØÚ ÒÓÑ Ø Ù Ó Ú ÖÐ º Ê Ò ÑÓ Ú ¹ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ ÔÖÖÙÒ ÑÔÙÐ Ù ÔÓÐÓ Ù Ò ÓÑÙØ ÖÙ Ú ÞÓ¹ ÚÓ ÚÙ Ä Ò ÓÚÓ ÔÖ Ú ÐÓµ Ó Ð Ð ÑÔÙÐ ÔÓÐÓ Ò ÑÓ Ù ØÓÚÖ Ñ ÒÓ Ñ Ö Ø º ÇÚÓ ÀÞ ÒÖ ÓÚ ÔÖ Ò Ô Ò Ó Ö Æ ÒÓ Ø Ù Ú ÒØÒÓ Ñ Òº Æ ÔÓÑ Ò ÇÚ ÔÓ ØÙÐ Ø ÑÓ Ö ÒÓ Ø ÚÒÓ Ø ÓÖÑÙÐ Ð Þ ÓÔ¹ ÖÚÐ Ó ÑÙ Ö Ø Ò ÔØ Öº Í ÓÔÜØ Ñ ÐÙÕÙ ÓÔ ÖÚÐ ÑÓ Ù ÑÙ ÓÒØ ÒÙ Ð Ò Ð Ò ÔÖÖÓÚ Ó ÔØÖ º Ð ØÚ Ú ÖÐ ØÖ Ù ÙÕ Ø Ù ÓÚ ÔÓ ØÙÐ Øº Ò ÐÓ ÓÖÑÙÐ µ µ Þ Ð ¼µ ψ = c(λ)ψ λ dλ, c(λ) = ψ λ ψ. R ÈÓØÔÙÒÓ ÓÖØ Ò ÓÔ ÔÖ Ø Ó ÒÓ ÒØÖ Ð Ù Ó Ú ÖÙ ÔØÖ ÐÒ Ø ÓÖ ÓÔ Ö ØÓÖ º ÈÓ Ð ÓÖÑÙÐ Õ ØÓ Ô Ü Ù Ó ÐÙ ½µ 1 = ψ λ ψ λ dλ. R Ø ÑÒÓ Ñ Ó ØÖ Ò ÒÓ Ø ½µ ψ Ó ¼µº ËÑ ÔÓ ØÙÐ Ø Ì Ð Ò ÙÒ ψ Ø Ñ Ñ ÐØÓÒ ÒÓÑ H Þ ¹ ÓÚÓ Ú Ö ÒÖÓÚÙ Ò Õ ÒÙ ¾µ i ψ t = Hψ Î Ø ÒÔÖº ÙÒÓÒ ÐÒÙ Ò Ð ÞÙ Îº ÊÙÒ º

¾ Í ÐÙÕÙ Ð ÕÒÓ Ñ ÐØÓÒ Ò µ H(p 1,...,p n,q 1,...,q n,t) = 1 2m (p2 1 + +p2 n )+V(q 1,...,q n,t) Ò Õ Ò ¾µ ÔÓ Ø µ i ψ t = 2 2m ψ +V(q 1,...,q n )ψ. ËØ ÒÖ Ò Ò Õ Ò Ö Ü Ú ÓÚÚ Ô Ö ÐÒ Ò Õ Ò Ñ ØÓ Ö Þ Ú ¹ ÔÖÓÑ Ò Úº ÆÑ Ö Ü ØÖ ÑÓ Ù Ó ÐÙ ψ(q 1,...,q n,t) = Ψ(q 1,...,q n )T(t). Í Ú Ñ ÓÚÓ ÞÖ Þ Ù µ ÓÑÓ ) i T (t)ψ(q 1,...,q n ) = ( 2 2m Ψ(q 1,...,q n )+V(q 1,...,q n )Ψ(q 1,...,q n ) T(t). Í ÔÓ Ð Ó Ò Õ Ò ÑÓÑÓ Ú ÞÖ Þ Ó Öt ÔÖÑÓ Ò ÒÙ Ú ÓÒ Ó Ö (q 1,...,q n ) Ò ÖÙ Ù ØÖ ÒÙ ÒÓ Ø º ÌÓ ÓÑÓ i T T = 2 2m Ψ+VΨ Ψ Ä Ú ØÖ Ò ÓÚ ÒÓ Ø Ò Þ Ú Ó (q 1,...,q n ) Ò Ò Þ Ú Ó t Ô ÓÒ Ú ÑÓ Ó Ù Ó Ò ØÖ Ò Ò ÒÓ ÓÒ Ø ÒØ ÓÞÒ Õ ÑÓ ØÙ ÓÒ Ø ÒØÙ Ó Ñ Ø Ñ ÒÞ Ò Ö Eµ ÜØÓ 2 Ψ+VΨ = EΨ, 2m T = iet T. Ê Ü ÖÙ Ò Õ Ò T(t) = e iet/ ØÓ ÓÔÜØ Ö Ü Ò ¹ Õ Ò µ ψ(q 1,...,q n,t) = e iet/ Ψ(q 1,...,q n ), Ψ Ö Ü ÚÖ Ñ Ò Ò Þ Ú Ò Ð ØÓÒ ÖÒ Ö ÒÖÓÚ Ò ¹ Õ Ò µ Ψ+VΨ = EΨ. 2m ÈÖ Ñ Ø ÑÓ ÓÚÓ ÞÒ Õ E ÓÔ ØÚ Ò ÚÖÒÓ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ H ÔÖÖÙÒÓ Ñ ÐØÓÒ ÒÙ H Ö Ü Ψ ÓÚ ÓÔ ØÚ Ò ÚØÓÖº ÖÑÓ Þ ØÖ ÒÙØ Ò ÐÙÕÙ n = 1º Ì µ ÓÕÒ Ö Ò ¹ ÐÒ Ò Õ Ò ÖÙ Ó Ö 2 2 2m Ψ (x)+(e V(x))Ψ(x) = 0. ÈÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ Ö Ó ÐÓ Ó ÒÓ Õ Ø Ø º V = const. Ì Ù Ö Ü ÔÖ Ø Ó Ò Ò Õ Ò µ Ψ(x) = e iξx, ( ξ) 2 = 2m(E V)º Ó E < V ÓÒ Ø ÒØ ξ Ñ Ò ÖÒ Ö Ü Ò Ó Ö Ò Õ ÒÓ Ò Ñ Þ Õ Ù ÒØ ÖÔÖ Ø Ùº ÈÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ V < Eº Ì ξ ÔÓÞ Ø Ú Ò Ð Ò Ø Ú Ò ÖÐ Ò ÖÓ Ø º Ñ ÑÓ Ú Ð ÒÖÒÓ Ò Þ Ú Ò Ö Ü µ Ψ + (x) = e ikx, Ψ (x) = e ikx.

ÈÖ Ñ Ø ÑÓ Ù Ò Ó ÒÓÚÙ ÓÔ ØÓ Ù ØÖ Ñ ÔÓ ØÙÐ ØÙ ÓÚÓ ÓÔ ØÚ Ò ÚØÓÖ ÓÔ Ö ØÓÖ ÑÔÙÐ p = i dx d Ó Ù ÔÖ Ñ Õ ØÚÖØÓÑ ÔÓ ØÙÐ ØÙ ¹ ÓÚ ÓÔ ØÚ Ò ÚÖÒÓ Ø ÑÓ Ù ÚÖÒÓ Ø ÑÔÙÐ º Ð Ψ + ÑÔÙÐ k > 0 ÔÖ Ø Ú Õ Ø Ù Ó Ö Ò ÒÓ Ψ Õ Ø Ù Ó Ö Ò Ð ÚÓº ÁÞ Ü ØÓ ÔÓ ØÙÐ Ø Ð Ú Ø Ð Ò ÙÒ Ð ÒÖÒ ÓÑÒ ÓÚ Ú º ÈÖÓ ÑÓ Ð Ñ Ò Ü ÑÓ ÔÖ ØÔÓ Ø Ú Ù V = constº ÈÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ ÔÖÚÓ ÒÓ Õ ÚØÓÖ Ð ÓÑÔØ Ò Ø º V Ð Ø ÙÒ ØÚ V = const Ú Ò ÒØ ÖÚ Ð [a,b]º ÁÞ ÔÖ Ø Ó ÒÓ Ö ÞÑ ØÖ Ð Ð ÚÓ ÒÓ Ó ÓÚÓ ÒØ ÖÚ Ð Ú Ø Ð Ò ÙÒ Ð ÒÖÒ ÓÑÒ ÙÒ µ Ð Ð ÚÓ ÒÓ Ó ÓÚÓ ÒØ ÖÚ Ð Ñ ÑÓ ÐÓ Ó ÒÙ Õ Ø Ùº ÈÖ Ñ Ø ÑÓ ÔÖ Ñ ÒÓÑ Ç Ð ÖÓÚ ÓÖÑÙÐ Þ µ ÑÓ Þ Ñ Ò Ø ÞÓÑ C(x) = coskx, S(x) = sinkx. Ò Ü ÑÓ ÓÔ Ö ØÓÖ ÑÓÒÓ ÖÓÑ Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ó Ø Ð ÒÓ ÙÒ ÐÓ¹ Ó Ò Õ Ø Ð Ú ØÖ Ò ÒØ ÖÚ Ð ÔÖÖÙ Ù ÒÙ Ø Ð ÒÙ ÙÒ Ù Ò ÒÓ ØÖ Ò ÒØ ÖÚ Ð º ËÐ Ø ÓÖ Ñ Ò ÐÓ Ä ÙÚ ÐÓÚ Ø ÓÖ Ñ Þ º Ì ÓÖ Ñ Å ØÖ ÓÔ Ö ØÓÖ ÑÓÒÓ ÖÓÑ Ù Þ {C(x),S(x)} ÔÖ Ô ÖÙÔ SL(2,R) Ñ ØÖ Ó ÕÙÚÙ ÔÓÚÖÜ ÒÙ Ù Ð Ö ÚÒ º Å ØÖ ÓÔ ¹ Ö ØÓÖ ÑÓÒÓ ÖÓÑ Ù Þ {Ψ +,Ψ } ÔÖ Ô ÖÙÔ SU(1,1) ÞÓÑ ØÖ Ö ÚÒ ÄÓÕ Ú Ó º Æ ÔÓÑ Ò ÑÓ ÖÙÔ SU(1,1) ÑÓ Ú Ø Ó ÖÙÔ ÓÑÔÐ¹ Ò 2 2 Ñ ØÖ Ø ÖÑ Ò ÒØÓÑ ÒÓÑ ½ Ó ÕÙÚÙ ÖÑ Ø Ù ÓÖÑÙ (ζ,η) ζ 2 η 2 º ËÚÓ ØÚÓ Ñ ØÖ (a ij ) ÓÓÚ Ö ÞÓÑ ØÖ Ö ÚÒ ÄÓÕ Ú Ó Ù ÑÓÐÙ Ò ÕÒÓ µ z (a 11 z +a 12 )/(a 21 z +a 22 )º Ø µ Ð Õ Ø Ó ÙÐ Þ Ù [a,b] Ð Ú ØÖ Ò ÑÓ Ó Ò Þ ÖÙÑ Ö Õ Ñ Ð ÑÓ Ù Ø Ð Ò ÙÒ Ù Ò¹ Ø Õ Ò ÒÙÐ Þ x > b Ö ÞÐ Õ Ø Ó ÒÙÐ Þ x < a µ Ð Õ Ø Ó ÔÙØÙ Ò ÒÓ Ó Ø Õ a ÑÓ ÔÖÓÆ ÖÓÞ [a,b] Ò Ø Ú ÔÙØÙ Ò ÒÓ ÖÓÞ [b,+ ) Úµ ÓÞ Ø Õ Ø Ò ÑÓ Ñ Ø Ð ÒÙ ÙÒ Ù ÒÙ Ae ikx Ò (,a] Be ikx Ò [b,+ )º ÁÒØ ÖÔÖ Ø Ö Ø ÓÚÓ Ó Ò ÔÓ ØÓ ÓÐ Þ Þ Ó Ð º ÁÞ Îº ÖÒÓÐ ÓÑ ØÖ Ñ ØÓ Ù Ø ÓÖ Ö Ò ÐÒ Ò Õ Ò º ÈÖ ØÔÓ Ø Ú ÑÓ ÙÒ V ÒÓÒ Ø ÒØÒ Ò R Þ ÔÖ ØÔÓ Ø Ú Ó ÒÓ ÕÙ [a,b]º Ì ÓÔ Ø ÑÓÑÓ ÔÓ ÙÜ ÑÓ Ò Æ ÑÓ Ö Ü Ù Ó ÐÙ µ Ø Ñ ÜØÓ V ÒÓÒ Ø ÒØÒÓ ÓÞÚÓÐ ÑÓ ξ Ù ÒÓÒ Ø ÒØÒÓº Ð ØÖ ÑÓ Ö Ü Ù Ó ÐÙ Ψ(x) = e is(x) Þ ÒÙ ÖÐÒÙ ÙÒ Ù S Ó Ò Þ Ú ÞÒÓÑ ÙÒ ÓÑº Ì Ö Ò¹ ÖÓÚ Ò Õ Ò µ ÔÓ Ø Ò Õ Ò ÔÓ S ¾ (S (x)) 2 2m +(V(x) E) i 2m S (x) = 0.

¼ Ó Ñ ØÖ ÑÓ Ñ Ð Ñ ÔÙ Ø ÑÓ Ø ÒÙÐ ÔÓ Ð Ö Ò Ð ÚÓ ØÖ Ò Ò Ø ÓÑÓ (S (x)) 2 2m +V(x) = E, Ø º H(x,S (x)) = E. ÈÓ Ð Ò Õ Ò ÔÓ Ò ÔÓÞÒ ØÓ Sµ Ò Þ Ú À Ñ ÐØÓÒßÂÓÚÓÑ ¹ Ò Õ ÒÓÑº Ø µ Æ H Ð Ø ÙÒ Ò H H(x 0,y 0 ) = E, y (x 0,y 0 ) 0. ÓÞ Ø À Ñ ÐØÓÒßÂÓÚ Ò Õ Ò Ñ ÐÓÐÒÓ Ö Ü Ù Ó ÓÐ Ò x 0 Ø º ÔÓ ØÓ ε > 0 ÙÒ S : (x 0 ε,x 0 + ε) R ØÚ H(x,S (x)) = E Þ x (x 0 ε,x 0 +ε)µ Ó ÞÓÚÓ Ú Ù ÐÓÚ S (x 0 ) = y 0 º µ Æ Ð Ø Ù ÙÒ Ù H ØÚÙ À Ñ ÐØÓÒßÂÓÚ Ò Õ Ò Ò Ñ ÐÓÐÒÓ Ö Ü S : R R Ò Þ ÒÙ ÚÖÒÓ Ø E Rº À Ñ ÐØÓÒßÂÓÚÙ Ò Õ ÒÙ ÑÓÑÓ Ö ÞÙÑ ÑÓ ÓÑ ØÖ º Ë ¹ Ø ÑÓ Ö Ò Ð ds ÔÖ Ð Ú ds : R T R = R R, Ô À Ñ ÐØÓÒßÂÓÚ Ò Õ Ò ÑÓ Ò Ô Ü Ó Im(dS) H 1 (E), Ò ÒÓ ØÖ Ò ÔÓ ÙÔ ÞÒÓ ÔÖÓ ØÓÖ Ò ÓÑ Ð ÕÒ Ñ ÐØÓÒ ¹ Ò H Ø º Ò Öµ Ñ ÓÒ Ø ÒØÒÙ ÚÖÒÓ Ø Eº ÇÚÓ Ù ÔÓ Ø Ú Ð Ù Ú ÞÙ Ð ÕÒ Ú ÒØÒ Ñ Ò ÙÒ S Ò ÞÒÓÑ ÔÖÓ ØÓÖÙ Ð ÕÒÓ Ñ Ò Õ Ó Ø Ñ ÞÒ ÙÒ ÔÖÓ Ñ Ö Ü Ö ÒÖÓ¹ Ú Ò Õ Ò Ó ÚÖÒÓ Ø ÒÓ Ö Ò Ð ÙÔ Ò ÓÑ Ð ÕÒ Ñ ÐØÓÒ Ò ÓÒ Ø ÒØ Òº ÈÖ Ñ Ø ÑÓ Þ ÙØÓÒÓÑÒ Ñ ÐØÓÒ Ò ÙÔ H 1 (E) ÙÔÖ ÚÓ ÙÔ Ù ÓÑ Ó Ú Ö Ø Ð ÕÒÓ Ø Ñ ÔÓ ÞÓÒÙ Ó Ö Ò Öµº ÇÚ ÓÑ ØÖ ÔÓ Ð Ò Ö ÒÖÓÚÙ Ò Õ ÒÙ Ò Ñ ÓÔÙÜØ ÐÓ ÙÓÔÜØ ÑÓ ÔÖ Ø Ó ÒÙ Ù Ù Ó ÒÓ Õ Ø Ò ÔÖÓ ÞÚÓ Ò Ø Ñ Ó n Õ Ø Ð Ú Ü Ó ØÓ ÑÓÑÓ ÓÚÓÖ ÑÓ Ó Ú ÒØ Þ Ð ÕÒÓ Ø Ñ Ò ÓØ ÒÒØÒÓÑ Ö ÐÓ Ù T M Þ ØÓ Ð ÕÒ Ñ Ñ ÐØÓÒ ÒÓÑ H : T M R Þ ÔÖÓ ÞÚÓ ÒÙ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó ØMº ÙÒ ÙS : M R Ò Þ Ú ÑÓ ÓÔÙ Ø ÚÓÑ Ó ÓÒ ÞÓÚÓ Ú À Ñ ÐØÓÒßÂÓÚÙ Ò Õ ÒÙ H(dS(q)) = E. ÈÖ Ñ Ø ÑÓ Ð L = ds(m) T M ÞÓÚÓ Ú Ð ÚÓ ØÚ Λ½µ diml = n = dimt M Λ¾µ Ö ØÖ θ L Ä ÙÚ ÐÓÚ ÓÖÑ Ò L Ø ÕÒ ÓÖÑ º ÇÔÖ ÚÒÓ ÑÓ ÔÓ Ø Ú Ô Ø ÜØ ÞÒ Õ ÈÐ Ò ÓÚ ÓÒ Ø ÒØ Ø ÒÙÐº ÇÓÚÓÖ ÑÓ Ù Ð º Ë Ø Ñ Ñ ØÖ ÑÓ ÑÖÓ ÓÔ Ñ Ó Ù ÓÚ Ú Ð ¹ Õ Ò Ñ Þ ÔÖ Ñ Ò Ø µ Ú Ð Ù ÔÓÖ Æ Ù º ÈÓÒ Ü ØÚÓ Ø Ñ ÓÒÓ ÜØÓ Ú ÑÓ Ø º ÓÔ ÙÑÓ ÞÓÒ Ñ Ð ÕÒ Ñ Ò º ÓÒ Ú ÒØÒ Þ Ó Ú Ø ÓÖ Ó Ó Ü Ú Ú Ø ÓÒ Ú Ú Ñ Ñ ÓÚ Ú ÑÓµ ØÖ Ó Ð ÚÙ ÓÒÓ ÜØÓ Ú ÑÓ Ø º Ø ÓÖ ØÖ Ù ØÚ Ó Ò Ú ÑÓ Ö Ñ ÒÞ Ö 10 33 cmµ Ú ÒÓ Ó ÓÖÑ ÐÒ Ñ Ø Ñ Ø Õ Ô Ö Ñ Ø Ö Ø ÒÙÐ º Ù Ñ ÐÙ ÔÖ Ø Ó Ò Ù ÒÓØ

ÈÓ Ð ØÚÖÆ Ð Þ ¾½µº Í ÓÐÓ Ö Õ Ø ÕÒ Þ Ñ Ò Þ ØÚÓ¹ Ö Ò Λ½µ Λ¾µ Ò ÜÙ ÄÖ ÒÚÙ ÔÓ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ù T Mº Ø ÓÞ Ø ÙÒ H : T M R ÐÓÐÒÓ ÓÒ Ø ÒØÒ Ò ÄÖ ÒÚÓ ÔÓ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø L T M Ó ÑÓ Ó À Ñ ÐØÓÒÓÚÓ ÚØÓÖ Ó ÔÓ X H Ø ÒÒØÒÓ Ò Lº ÇÚ Þ Ø ÑÓ Ú Ø Ó ÙÓÔÜØ À Ñ ÐØÓÒßÂÓÚ ¹ Ò Õ Ò Ú ÒØ Þ Ð ÕÒÓ Ø Ñ Ó ÔÖÖÙÚ ÄÖ ÒÚ ÔÓ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ð ÕÒÓÑ Ñ ÐØÓÒ ÒÙº ÈÖ Ñ Ø ÑÓ ÙÔ H 1 (E) ÑÒÓ Ó Ú Ó L Ñ Ù ÐÙÕÙ n = 1µ ÔÖÚ ÙÔ Ô ÖÔÓÚÖÜ Ó E Ö ¹ ÙÐ ÖÒ ÚÖÒÓ Ø ÙÒ H Ù Ñ ÐÙ ½µ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø L Ñ Ñ ÒÞÙ ÓÑ ÒÞÙ nº Í ÑÓ ÔÓÑ ÒÙÐ Ð ÕÒ Ñ Ò ÑÓ Ö Ø Ò ÔÖÓ ÞÚÓ ÒÓ ÑÔÐØ Õ Ó ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø º ÈÓÜØÓ Ù ÄÖ ÒÚ ÔÓ ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø ¹ Ò Ò Ø ÑÓÑÓ ÓÚÓÖ ÑÓ Ó Ú ÒØ Þ À Ñ ÐØÓÒÓÚÓ Ø Ñ Ò ÑÔÐØ Õ Ó ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ó Ò ÓÚ ÞÒÓ ÓØ ÒÒØÒÓ Ö ÐÓ µº Í ÓÔÜØ Ñ ÐÙÕÙ Ò ÑÔÐØ Õ Ó ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø Ö ÞÐÓÚ ÞÑ ÆÙ ÑÔÙÐ ÔÓÐÓ ÑÓ ÐÓÐÒÓ Ù ÐÓÚÒÓ Ø º Þ Ú Ó Þ ÓÖ ÓÓÖÒ Ø Ô Þ ÓÑ ØÖ Þ Ó Ù ÑÓ ÞÚ Ð Ò ÑÓ ÑÓ Ð ÓÚÓÖ ÑÓ Ó Ú ÒØ ¹ Þ Ð ÑÓ ÖÔØ ¾µ Þ ØÖ ÔÓ ØÙÐ Ø º Í Ú ÒØÒÓ Ñ Ò ÔÓ ØÓ Ð ÕÒ Ö ÚÒÓÔÖ ÚÒÓ Ø ÙÐÓ ÑÔÙÐ ÔÓÐÓ Ó ØÚ Ö Ò ÙÖ ¹ ÓÚÓÑ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÑ µº Ø Æ ψ ÙÖ ÓÚ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ð Ò ÙÒ ψ ÙÒ¹ ψ Ò Þ Ú Ø Ð ÒÓÑ ÙÒ ÓÑ Ù ÔÖÓ ØÓÖÙ ÑÔÙÐ µ Ø Ñ Ð ¹ ÕÒ Ñ Ñ ÐØÓÒ ÒÓÑ µº ÓÞ Ø ÓÒ ÞÓÚÓ Ú Ö ÒÖÓÚÙ ¹ Ò Õ ÒÙ Ù ÔÖÓ ØÓÖÙ ÑÔÙÐ i t ψ(p 1,...,p n,t) = p2 1 + +p2 n ψ(p 1,...,p n,t)+(2π) n/2 V ψ(p1,...,p n,t), 2m ÓÞÒ Õ Ò ÓÒÚÓÐÙ ÙÒ V(,t),ψ(,t) : R n Cº Ú ÒÓ Ø Ø Ð Ò ÙÒ Ó ÚÖ Ñ Ò ÑÓÑÓ ÓÔ Ü ÑÓ ÔÓÑÓ Ù ÓÔ Ö ¹ ØÓÖ ÚÓÐÙ U(t,t 0 ) ß ÙÒ Ø ÖÒÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÓÔ Ù ÔÖÓÑ ÒÙ Ø Ð Ò ÙÒ Ó ØÖ ÒÙØ t 0 Ó ØÖ ÒÙØ t µ ψ(,t) = U(t,t 0 )ψ(,t 0 ). ÁÞ Ö ÒÖÓÚ Ò Õ Ò Ð µ i t U(t,t 0) = HU(t,t 0 ). Ó Ñ ÐØÓÒ Ò Ò Þ Ú Ó ÚÖ Ñ Ò ÓØÐ Ð ( ¼µ U(t,t 0 ) = exp i ) H(t t 0). ÁÞÖ Þ Ò ÒÓ ØÖ Ò Ò Ð Ø Õ ÙÒ Õ ÔÖÓÑ Ò Ú ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÒ ÑÓ Ò Ü ÔÓÑÓ Ù Ø Ô ÒÓ Ö Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ó Ö Ò Õ Ò Ó ÒÓ ÒÓ ÔÓÑÓ Ù ÔØÖ ÐÒÓ ÒØÖ Ð Ù Ò Ñ ÓÔÜØ Ñ ÐÙÕ Ú Ñ º Ù Ù dθ = ω ÑÔÐØ Õ ÓÖÑ Λ¾µ ÓÒ Ð ω L = 0 Ñ Ñ Ð Ò ÔÖÓ ÞÚÓ ÒÓ ÑÔÐØ Õ Ó ÑÒÓ Ó ØÖÙ Ó Ø º f g(x) = R n f(x y)g(y)dy ½