3.3 Ασκήσις σχολικού ιλίου σλίδς 3 A Oµάδς. Ν ρίτ τη ξίσωση της έλλιψης σ κθµιά πό τις πρκάτω πριπτώσις : (i Ότ έχι στίς τ σηµί Ε (, 0 κι Ε(, 0 κι µγάλο άξο 0 (ii Ότ έχι στίς τ σηµί Ε (0, 5 κι Ε(0, 5 κι µγάλο άξο 6 (iii Ότ έχι στίς τ σηµί Ε (, 0 κι Ε(, 0 κι κκτρότητ 3 (iv Ότ έχι στίς τ σηµί Ε (, 0 κι Ε(, 0 κι διέρχτι πό το σηµίο Μ(, 9 5 (v Ότ έχι κέτρο συµµτρίς τη ρχή τω ξόω, στίς στο άξο κι διέρχτι πό τ σηµί M (, κι M (, (i Είι γ κι 0 5, οπότ 5 (ii Είι γ 5 κι 6 3, οπότ 3 C : 69 (iii Είι γ κι 3, οπότ γ 3 (iv 3 Έστω C : Μ C 69 5, C : > µ 9 ( 5 6 7766 60000 366 κι 5 6 9, C : 69 5 5 69 5, 3 8 6 5 6 6 8 5( 6 369 6. 5 9 3. 6. 5 ( 6 8 5 ( 6 00 600 8 5 00 5 88 600 0
Γι Γι (v Έστω C : 88± 369 50 50 ή 5 50 50 50 5 θ ίι 50 οπότ C : 5 9 5 θ ίι 50 µ Τότ C : µ M (, C µ ( M (, C µ.. 5 50 6 5 6 9, 5 800 50 88 50 < 0 πορρίπττι > (Θέτουµ µ κι 6µ ( ( ( 5µ 3 µ 5 ( 5 5 5 5 5. Εποµέως C :. 5 5.i Ν ρίτ τ µήκη τω ξόω, τις στίς κι τη κκτρότητ της έλλιψης Μήκος του µγάλου άξο Μήκος του µικρού άξο γ γ 3 γ 3 Εστίς : Ε (- 3, 0, Ε( 3, 0 κι κκτρότητ γ 3
3.ii Ν ρίτ τ µήκη τω ξόω, τις στίς κι τη κκτρότητ της έλλιψης 69 336 69 336 69 336 336 336 69 336 69 Μήκος του µικρού άξο 3 Μήκος του µγάλου άξο 6 γ γ 69 5 γ 5 Εστίς : Ε (0, -5, Ε(0,5 κι κκτρότητ γ 5 3 3 3. Ν γγράψτ στη έλλιψη ττράγωο µ πλυρές πράλληλς προς τους άξος. Έστω ΑΒΓ το ζητούµο ττράγωο µ Α(, Επιδή οι άξος ίι άξος συµµτρίς, θ ίι Β(,, Γ(,, (, B Γ O Α ΑΒ Α Α στη έλλιψη 5 5 Άρ Α 5, 5 5 5, Β 5 5 5, 5, 5 5 Γ, 5 5, 5, 5 5 5 5 5 5
. Α Ε, Ε ίι οι στίς κι Β Β ο µικρός άξος της έλλιψης ποδίξτ ότι το ττράπλυρο ΕΒΒΈ ίι ττράγωο. Ε Β Ο Ε Είι γ κι,, γ Β Β Ε Ε Β Οι διγώιοι, λοιπό, του ττρπλύρου ίι ίσς, διχοτοµούτι κι ίι κάθτς, άρ ίι ττράγωο. 5. Ν ποδίξτ ότι οι φπτόµς µις έλλιψης στ άκρ µις διµέτρου της ίι πράλληλς. ( ιάµτρος µις έλλιψης λέγτι το τµήµ που συδέι δύο σηµί της έλλιψης κι διέρχτι πό τη ρχή τω ξόω Έστω ΑΒ η διάµτρος κι, η οι φπτόµς στ Α, Β της έλλιψης A µ Α(,, 0 η B Ο Από τις (, ( λέπουµ ότι Λόγω της συµµτρίς ως προς τη ρχή Ο, θ ίι Β(,. : η : λ λ η, άρ η. 0 ( ( ( 0 0 ( Α 0 τότ οι φπτοµές ίι κτκόρυφς µ ξισώσις κι δηλδή πάλι πράλληλς
5 6. Ν ρθού οι ξισώσις τω φπτοµέω της έλλιψης 3 (i ίι πράλληλς προς τη υθί 3 (ii ίι κάθτς στη υθί (iii διέρχοτι πό το σηµίο Μ(0,, οι οποίς : (i Έστω : 3 ζητούµη φπτοµέη, όπου Λ(, το σηµίο πφής. πράλληλη στη υθί 3 λ 3 3 Λ(, στη έλλιψη 3 3 3 ή Γι θ ίι, οπότ : 3 3 Γι θ ίι, οπότ : 3 ( ( 3 (ii Έστω : 3 ζητούµη φπτοµέη, όπου Λ(, το σηµίο πφής. κάθτη στη υθί λ. Λ(, στη έλλιψη 3 Γι : 3 6 θ ίι 3 3 3 3 9 9 6 6 3 6 Τότ ή 6 6 3 0
6 Γι : 3( 6 θ ίι 3 ( 6 Τότ 6 6 3 0 (iii Έστω : 3 ζητούµη φπτοµέη, όπου Λ(, το σηµίο πφής. M(0, 3 0 Λ(, στη έλλιψη 3 3 3 3 ή Γι,, ίι : 3 3 Γι,, ίι : 3 ( 3 7. Ν ποδίξτ ότι οι φπτόµς της έλλιψης 00 στ σηµί της M ( 5, 5, M ( 5, 5, M ( 5, 5 κι M ( 5, 5 3 σχηµτίζου ττράγωο µ διγώις τους άξος κι. : φπτοµέη στο M : 5 5 00 ζ : φπτοµέη στο M : 5 5 00 η : φπτοµέη στο M : 5 5 00 3 θ : φπτοµέη στο M : 5 5 00 Σηµί τοµής της µ τους άξος Γι 0 ρίσκουµ 5 00 5 5 K( 5 5, 0 Γι 0 ρίσκουµ 5 00 00 Λ(0, 00 5 5 Οµοίως ρίσκουµ τ σηµί τοµής τω ζ, η, θ µ τους άξος κι διπιστώουµ ότι ά δύο τέµου κάθ άξο στο ίδιο σηµίο. Άρ οι άξος ίι διγώιοι. Λόγω της συµµτρίς της έλλιψης ως προς τη ρχή τω ξόω, οι διγώιοι ίι κάθτς κι σ τµήµτ διχοτοµούτι. Άρ το M M M 3 M ίι ρόµος. λ λ ζ 5 5 5 5 ζ άρ ο ρόµος ίι ττράγωο.
7 Β Oµάδς. Ν ποδίξτ ότι το σηµίο M( (,, γι όλς τις τιµές του R. H ξίσωση της έλλιψης γράφτι Μ στη έλλιψη ( ( ( ( ( ( ( ( ( ήκι στη έλλιψη ( ( που ισχύι. Ν ποδίξτ ότι το σηµίο τοµής τω υθιώ λ( κι λ (, 0 < <, ήκι στη έλλιψη R., γι όλς τις τιµές του λ Οι συτλστές διύθυσης τω δύο υθιώ ίι λ λ κι λ µ λ λ λ λ λ το οποίο ίι προφές άρ οι δύο υθίς έχου λ έ κοιό σηµίο έστω Μ(, τότ λ( κι λ (, Πολλπλσιάζουµ κτά µέλη τις ξισώσις τω υθιώ. λ λ ( Άρ το σηµίο τοµής Μ(, τω δύο υθιώ ήκι στη έλλιψη
8 3. Α Μ(, ίι έ σηµίο της έλλιψης (ΜΕ κι (ΜΕ (ΜΕ ( γ (0 γ γ (ΜΕ (γ (0 Άρ (ΜΕ (ΜΕ γ γ γ, ποδίξτ ότι [(ΜΕ (ΜΕ] [(ΜΕ (ΜΕ] γ λλά (ΜΕ (ΜΕ ( Άρ [(ΜΕ (ΜΕ] γ (ΜΕ (ΜΕ γ ( ( ( (ΜΕ ( (ΜΕ ( - ( (ΜΕ ( (ΜΕ
9. Α d, d ίι οι ποστάσις τω σηµίω Γ(0, γ κι Γ (0, γ πό τη φπτοµέη της έλλιψης σ έ σηµίο της M (,, ποδίξτ ότι d d Η ξίσωση της έλλιψης γράφτι Η ξίσωση της φπτοµέης στο M γράφτι d 0 γ ( ( ( γ ( ( 0 ( ( ( γ γ d.. ( ( ( γ γ Αρκί διχθί ότι d d ( γ γ ( γ γ ( ( ( ( ( γ γ γ γ ( ( (γ ( γ ( γ γ γ ( γ που ισχύι, φού το σηµίο M ήκι στη έλλιψη.
0 5. Έστω M (,, M (, δύο σηµί της έλλιψης κι τ σηµί N (, 0 κι N (, 0. Ν ποδίξτ ότι ( M N ( M N ( M N ( M N ( M N ( M N ( (0 ( ( Αποδικύουµ τη ισότητ (Α M στη έλλιψη M στη έλλιψη Άρ ( (0 (Α
6. Έστω η έλλιψη κι έ σηµίο της Μ. Έστω πιπλέο, ο κύκλος κι το σηµίο του Ν, που έχι τη ίδι ττµηµέη µ το Μ. Από το Μ φέρουµ πράλληλη προς τη ΟΝ, που τέµι τους άξος κι στ σηµί Γ κι τιστοίχως.ν ποδίξτ ότι ΜΓ κι Μ. Έστω Μ(µ, λ κι Ν(µ, Ο Γ N M Μ στη έλλιψη µ λ Ν στο κύκλο ( µ Μ ΟΝ λ Μ µ ( Ευθί Μ : λ µ ( µ Γι 0 δίι λ µ ( µ λµ µ µ λµ µ λµ Άρ Γ(, 0 Γι 0 δίι λ λ Άρ (0, λ Αρκί ποδίξουµ ΜΓ (ΜΓ Αποδικύουµ τη ισότητ (Α ( ( µ λµ ( µ λµ µ ( λµ ( λ λ µ λ µ ( µ λ ( µ µ µ λ µ λ λ λ µ (0 λ µ λ Γι τη ισότητ Μ : Ο ΜΝ πρλληλόγρµµο Μ ΝΟ κτί. λ µ λ (Α
7. Γ Α ζ Ο Μ Ε Γ Α Έστω κι οι φπτόµς της έλλιψης C :, 0 < < στις κορυφές της Α(, 0 κι Α (, 0, τιστοίχως, κι ζ η φπτοµέη της C σ έ σηµίο της M (,. Α η ζ τέµι τις κι στ σηµί Γ κι Γ, τιστοίχως, ποδίξτ ότι : (i (ΑΓ (Α Γ (ii ο κύκλος µ διάµτρο το ΓΓ διέρχτι πό τις στίς της έλλιψης. ζ : Συττγµές του Γ : Γι, η ζ δίι Άρ Γ(, Οµοίως ρίσκουµ Γ (, (i ( ( (ΑΓ (Α Γ ( ( ( ( ισχύι φού M στη έλλιψη (ii Ο κύκλος µ διάµτρο το ΓΓ διέρχτι πό τη στί Ε(γ, 0 της έλλιψης Γ ˆΕΓ 90 ο ΕΓ ΕΓ ΕΓ. ΕΓ 0 ( γ( γ ( ( γ ( 0 ( ( 0 ( 0 0 0
3 ( που ισχύι φού 0 0 M στη έλλιψη 8. Έστω η έλλιψη κι η φπτοµέη στο σηµίο της M (,. Α η φπτοµέη τέµι τους άξος κι στ σηµί Γ(p, 0 κι 0, q, ποδίξτ ότι p q M (, στη έλλιψη. Η ξίσωση της φπτοµέης ίι Γ(p, 0 στη φπτοµέη 0, q στη φπτοµέη p q p p 0 q 0 q p q