MulŃime umereleor turle www.webmteifo.com Petru scrie u umr orecre trebuie s combim itre ele uele ditre cele 0 simboluri: 0,,,, 4,, 6, 7, 8, 9.Aceste simboluri se umesc cifre. Ele sut de origie rb. Ν = { 0,,,,4,,6,... } - mulńime umerelor turle * Ν = {,,,4,,6,... } - mulńime umerelor turle eule (fr 0) - orice umr turl formt di dou cifre se scrie b ude este cifr zecilor, ir b este cifr uittilor; - dc bc este u umr turl de trei cifre, tuci cb este rsturtul su, cu, c 0 ; - orice umr turl cre re cifr uittilor 0,, 4, 6, 8 se umeste umr pr (umerele cre se imprt exct l şi se oteză cu =k); - orice umr turl cre re cifr uittilor,,, 7, 9 se umeste umr impr (umerele cre u se imprt exct l şi se oteză cu =k+); REPREZETAREA UMERELOR ATURALE PE AXA. COMPARAREA SI ORDOAREA. Fie d o drept pe cre legem u puct O crui ii sociem umrul 0. Literei A ii sociem umrul, lui B umrul etc. OA=AB=BC=CD=... d O A B C D Putem stfel soci oricrui umr turl u puct pe drept si spuem c m reprezett umerele 0 4 turle pe x umerelor. Drept d se umeste suportul xei; puctul O se umeste origie xei; sesul de prcurgere dreptei de l O spre D se umeste sesul de crestere vlorilor reprezette pe x. Lugime uui sigur segmet OA se umeste uitte de msur. Ax umerelor se mi umeste si x de coordote, ir i cest cz putem spue de exemplu c reprezit coordot puctului C, otd C(). Dc se du dou umere turle orecre,b vem dor urmtorele reltii itre ele:. <b ;. >b ;. =b ; Adure Dcă,b OperŃii cu umere turle Ν, tuci +b=c Ν Propriettile durii. Comuttiv : +b=b+ ( ), b. Asocitiv : (+b)+c=+(b+c) ( ), b, c. Elemet eutru: +0= ( ) 0 este elemet eutru petru operti de dure.
Scădere -b=c, dcă şi umi dcă =b+c www.webmteifo.com Imultire (Produsul) Imultire isem dure repett celuisi umr. +++++= 6= 6=90 6 = 90 fctori produs Propriettile imultirii..comuttiv b=b ( ), b.asocitiv ( b) c= (b c) ( ), b, c.elemet eutru = = ( ) 4 Distributiv ft de dure si scdere (b+c)= b+ c (b-c)= b- c (b+c) =b +c (b-c) =b -c Fctor comu b+ c= (b+c) b- c= (b-c) Deorece fctorul pre i tote produsele spuem c este fctor comu.eglittile de mi sus exprim scotere fctorului comu. Observtii.Eglitte si ieglitte umerelor turle se pstrez dc se imultesc mbii membrii cu celesi umr turl, diferit de 0..Imultire este o opertie de ordiul II, se efectuez iite durii si scderii. Imprtire(imprtire cu rest) :b = c dcă şi umi dcă = b c Teorem imprtirii cu rest - d este deimprtitul - i este imprtitorul - c este ctul - r este restul 8 : 9 = ( r = ) 8 = 9 + d = i c+ r ; r < i Observtii. Imprtire l 0 u re ses.. L imprtire uui umr turl l restul pote fi 0 su. Dc =k, restul este 0, ir dc =k+ restul este, ude k este ctul.. L imprtire uui umr turl l, restul pote fi 0,,. Dc =k restul este 0, dc =k+ restul este si dc =k+ restul este, ir k este ctul. 4. Dc restul uei imprtiri este 0 tuci imprtire este exct. I cest cz vem d = i c Dc umerele turle si b se imprt exct l umrul turl c ( c diferit de 0) tuci vem: ( + b) : c= : c+ b : c. Imprtire c si imultire este o opertie de ordiul II. 6. Itr- u exercitiu fr prteze se efectuez iti opertiile de ordiul II. 7. Dc itr-u exercitiu vem umi opertii de ordiul II si u vem prteze, tuci opertiile se efectuez i ordie i cre sut scrise.
www.webmteifo.com 8. Eglitte si ieglitte umerelor turle se pstrez dc se imprt exct mmbrii cestor cu celsi umr turl diferit de 0. Ridicre l putere(expoet umr turl) Ridicre l putere este o imultire repett. 6 Exemplu: = ; se umeste bz ir 6 este expoet. Dc vem i geerl bz si expoetul, putere - umrului este produsul fctori egli cu umrul.... = cu si umere turle Observtii. = 0 *. =. 0 = 0 4. =.Expoetul rt de cte ori se repet bz i produsul pri cre se clculez putere. 6.Ridicre l putere este o opertie de ordiul l treile, dic i lips prtezelor, se efectuez iite celorllte opertii. 7. Putere - uui umr turl de m cifre re m- cifre su m cifre. 8. Orice putere uui umr turl cre re ultim cifr 0,, su 6 v ve ultim cifr tot 0,,, 6. Vom scrie 6 de exemplu u (46 ) = 6.Pri u() se itelege ultim cifr umrului 9.. Orice putere uui umr cre re ultim cifr 4, re ultim cifr 6 dc expoetul este pr si 4 dc expoetul este impr Reguli de clcul cu puteri. i) m = m+ m m ii) ( ) iii) b = m : m = cu m> = b iv) ( )
www.webmteifo.com DIVIZIBILITATE Pri imultire uui umr, diferit de 0 cu u umr turl spuem c m obtiut u multiplu lui. = multiplu lui I cest cz vom spue c este divizibil cu si otm M su. U umr turl este divizibil cu u umr turl b dc exist u umr turl c stfel ict =bc. otm multime divizorilor uui umr cu D, ir multime multiplilor cu M. Proprietti le reltiei de divizibilitte..orice umr turl se divide cu ; M deorece =. Orice umr turl se divide cu el isusi; M deorece =. umrul 0 se divide cu orice umr turl ; 0 M deorece 0 0 turl. 4. Propriette de trzitivitte. Dc se divide cu b, tuci se divide cu orice divizor lui b. M b si bmc Mc =. Zero este multiplul oricrui umr Md bmd ( + b+ c) Md. Dc u umr divide fiecre terme l uei sume, tuci el divide si sum: cmd 6. Dc uul di fctorii uui produs se divide cu u umr tuci produsul se divide cu cel umr. Md ( b c) Md,b,c,d fiid umere eule. 7. Dc umrul turl se divide cu umrul turl b si b se divide cu, tuci =b; Mb = b bm Criterii de divizibilitte. Fr folosi imprtire exist metode petru rt dc u umr este divizibil su u cu ltul.aceste metode se umesc criterii de divizibilitte. Aceste criterii se refer l divizibilitte cu,,4,,9,0,, 0 si puteri le lui 0. Mi exist criterii de divizibilitte petru 7 si.
Criteriul de divizibilitte cu 0. Dc ultim cifr uui umr este 0 tuci umrul se divide cu 0. Criteriul de divizibilitte cu 00 su 000( su lte puteri le lui 0). Orice umrturl se divide cu 0, dc ultimele sle cifre sut 0. Criteriul de divizibilitte cu Orice umr turl se divide cu dc ultim cifr este 0 su. M u( ) { 0;} Criteriul de divizibilitte cu. www.webmteifo.com Dc ultim cifr uui umr este pr, tuci umrul se divide cu. M u( ) { 0;;4;6;8} Criteriul de divizibilitte cu respectiv 9. U umr turl este divizibil cu, respectiv 9, dc sum cifrelor sle este u multiplu de, respectiv 9. ( + b+ c d) ( + b+ c d) 9 bcd M + M bcd M9 + M Criteriul de divizibilitte cu 4. U umr turl este divizibil cu 4 dc ultimele sle dou cifre formez u umr multiplu de 4. bcdef M 4 ef M 4 Criteriul de divizibilitte cu. U umr turl este divizibil cu dc ultimele dou cifre formez u umr multiplu de. bcdefm ef M ef { 00;;0;7}
67 89 6 7 www.webmteifo.com UMERE PRIME. DESCOMPUERE I FACTORI PRIMI. Se umeste umr prim orice umr diferit de cre re c divizori umi pe si pe el isusi. O metod de fl umerele prime fost dt di tichitte de mtemticiul grec Ertostee cuoscut sub umele de ciurul lui Ertostee. Exemple:,,,7,,,7,9,,9,etc. Se umeste umr compus umrul cre re mi mult de doi divizori. umrul compus se pote scrie c u produs de umere prime. Observtie. umerele 0 si u dmit dect u divizor, deci u ici primeici compuse. Sigurul umr pr prim este. umere prime itre ele: Două umere se umesc prime ître ele (su reltive prime)dcă cel mi mre diviyor comu l lor este Descompuere i fctori primi. Orice umr turl eul cre u este prim pote fi scris sub form uui produs de fctori primi. S lum de exemplu umrul 4. I drept liiei verticle m trecut divizorii umere prime, ir i stg, cturile obtiute l imprtirile respective. 4 7 00. 00 600 00 0 7 Atuci 4= 7 4 Atuci 00=
www.webmteifo.com CEL MAI MARE DIVIZOR COMU Cel mi mre divizor comu dou umere si b ( su mi multe) este cel mi mre umr cre divide mbele umere. Se otez cu : c.m.m.d.c su ( ; b) Petru gsi cel mi mre divizor comu se decompu umerele i fctori primi si se fce produsul fctorilor primi comui, luti o sigur dt, l putere ce mi mic. Exemplu. 0= 70= 4 c. m. m. d. c. 7= c. m. m. d. c 4= 7 ( ; b) [ b] b= ; ( 0;70) = = 0 ( 7;4) = = 6 umere prime itre ele Se umesc umere prime itre ele, umerele turle diferite de 0, cre u cel mi mre divizor comu dor pe. c.m.m.d.c.= Exemplu umerele 9 si 8. Ele u sut umere prime dr itre ele sut prime fiidc u u c divisor comu dect pe ( 9 ;8) = CEL MAI MIC MULTIPLU COMU Cel mi mic multiplu comu dou su mi multe umere este cel mi mic umr turl diferit de 0 cre se divide cu umerele dte.petru gsi cel mi mic multiplu comu mi multor umere, se descompu umerele i fctori primi si se fce produsul fctorilor primi comui si ecomui luti o sigur dt, l putere cce mi mre. Se otez cu : c.m.m.m.c(;b) (dc vem dou umere) su [ ; b] Exemplu. 0= 4 70= 7= 4= 4 [ 0;70] = = 600 [ 7;4] = = 60 Observtie. Produsul dou umere turle este egl cu produsul ditre cel mi mre divizor comu si cel mi mic multiplu comu.