Πανεπιστήµιο Κύπρου Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών ΗΜΥ 0: ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Ακαδηµαϊκό έτος 0-3 -- Εαρινό Εξάµηνο Σειρά Ασκήσεων αρ. 6 Παρασκευή 5 Απριλίου Ηµεροµηνία Παραδόσεως: Παρασκευή 9 Απριλίου, στην αρχή του µαθήµατος ιάβασµα: - Κεφάλαιο 9, Oppenheim and Willsky, σελ. 654-70 - ιαλέξεις 8- - Φροντιστήριο Matlab (http://www.eng.ucy.ac.cy/gmitsis/ece0/matlab_tips.pdf) Ασκήσεις:. Προσδιορίστε το µετασχηµατισµό Laplace και την περιοχή σύγκλισης των ακόλουθων σηµάτων συνεχούς χρόνου χρησιµοποιώντας τον ορισµό: (i) x(t) t e t u( t) (ii) x(t)δ(3t)+ u(3t) t, 0 t (iii) x(t) t, t (iv) x(t)(t ) u(t). (i) Έστω το σήµα συνεχούς χρόνου: y(t) x (t ) * x ( t) όπου το * αντιστοιχεί σε συνέλιξη και x (t) e 3t u(t) x (t) e t u(t) Χρησιµοποιώντας ιδιότητες του µετασηµατισµού Laplace, καθώς και το ζεύγος: L e at u(t) s+ a,re{s}> a προσδιορίστε τον µετασχηµατισµό Laplace του σήµατος y(t) καθώς και την περιοχή σύγκλισής του. (ii) είξτε ότι για ένα άρτιο σήµα συνεχούς χρόνου x(t) ισχύει X(s)X(-s) και ότι για ένα περιττό σήµα x (t) ισχύει X(s)-X(-s). Αποφανθείτε αν και ποια από τα παρακάτω διαγράµµατα πόλων-µηδενικών θα µπορούσαν να αντιστοιχούν σε άρτιο σήµα στο πεδίο του χρόνου. Γι αυτά που θα µπορούσαν, δείξτε και την ανάλογη περιοχή σύγκλισης.
3. (i) Προσδιορίστε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Laplace της συνάρτησης: s+ X ( s) s + 5s+ 6 αφού σχεδιάσετε το διάγραµµα πόλων/µηδενικών, για όλες τις πιθανές περιοχές σύγκλισης. (ii) Κάντε το ίδιο για τη συνάρτηση: s s+ X ( s) ( s+ ) αν γνωρίζετε ότι o Μετασχηµατισµός Fourier του σήµατος x(t) υπάρχει. 4. Έστω ο (αµφίπλευρος) µετασχηµατισµός Laplace Χ(s) που αντιστοιχεί στο πραγµατικό σήµα x(t), για τον οποίο ισχύουν: (i) Ο X(s) έχει δύο πόλους (ii) Ο Χ(s) έχει ένα µηδενικό στο - (iii) Ο ένας πόλος βρίσκεται στο -+j (iv) Το σήµα x(t) είναι απολύτως ολοκληρώσιµο (v) x(0 + ) Προσδιορίστε την ακριβή µορφή του X(s) και σχεδιάστε το διάγραµµα πόλων-µηδενικών του καθώς και την περιοχή σύγκλισής του. 5. (α) Έστω το αιτιατό Γραµµικό Χρονικά Αµετάβλητο (ΓΧΑ) σύστηµα του διαγράµµατος:
(i) (ii) h(t) 4 Το σήµα h(t) *(e 3t u(t)) είναι απολύτως ολοκληρώσιµο Προσδιορίστε τη συνάρτηση µεταφοράς του συνολικού συστήµατος καθώς και την περιοχή σύγκλισής του, τη διαφορική εξίσωση που συνδέει την είσοδο και έξοδο καθώς και την κρουστική απόκριση του συνολικού συστήµατος. Είναι το σύστηµα ευσταθές ΦΕΦΕ? (β) Έστω ένα ΓΧΑ σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς Η(s) µε το ακόλουθο διάγραµµα πόλων- µηδενικών. Σας δίνονται επιπλέον τα ακόλουθα στοιχεία: Προσδιορίστε την αλγεβρική µορφή της Η(s) καθώς και την περιοχή σύγκλισης της. Προσδιορίστε επίσης την κρουστική απόκριση του συστήµατος. Είναι το σύστηµα αιτιατό και ευσταθές και γιατί? 6. Έστω το αιτιατό Γραµµικό Χρονικά Αµετάβλητο (ΓΧΑ) σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς H(s): 0 H ( s) s (i) Σχεδιάστε το διάγραµµα πόλων-µηδενικών του συστήµατος καθώς και την περιοχή σύγκλισης της συνάρτησης µεταφοράς. Είναι το σύστηµα αυτό ευσταθές και γιατί? Αν το σύστηµα αυτό συνδεθεί σε συνδεσµολογία ανάδρασης όπως στο παρακάτω σχήµα, όπου Κ πραγµατική σταθερά, για ποιες τιµές του Κ είναι το συνολικό σύστηµα ευσταθές?
(ii) Προσδιορίστε τη βηµατική απόκριση του συνολικού συστήµατος για Κ0.. 7. (i) Έστω το ΓΧΑ σύστηµα που περιγράφεται από την ακόλουθη διαφορική εξίσωση: d 3 d dy t 3 ( ) ( ) ( ) + 6 + + 6 y( t) x( t) Χρησιµοποιώντας το µονόπλευρο µετασχηµατισµό Laplace, να βρεθεί η απόκριση µηδενικής εισόδου y zi (t) και η απόκριση µηδενικής κατάστασης y zs (t) για t>0 - όταν το σήµα εισόδου είναι το σήµα 4t x( t) e u( t) και για τις ακόλουθες αρχικές συνθήκες: y(0 - ), dy(0 ), d y(0 ) (ii) Ένα αιτιατό ΓΧΑ σύστηµα S µε κρουστική απόκριση h(t) έχει είσοδο x(t) και έξοδο y(t) που συνδέονται από την ακόλουθη διαφορική εξίσωση: d 3 y(t) + (+α ) d y(t) +α(α+ ) dy(t) +α y(t) x(t) 3 Αν g(t) dh(t) + h(t) πόσους πόλους έχει η G(s)? Για ποιες τιµές του α είναι το σύστηµα S ευσταθές? 8. Matlab - Σταθεροποίηση ασταθών συστηµάτων Σε πολλές εφαρµογές είναι αναγκαία η χρησιµοποίηση ασταθών συστηµάτων ως τµήµατα ενός µεγαλύτερου συστήµατος. Παρόλαα αυτά η ανάδραση µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τη δηµιουργία ενός συστήµατος κλειστού βρόχου που είναι ευσταθές. Έστω το αιτιατό, ασταθές σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς Η(s) και υποθέστε ότι όλες οι συναρτήσεις µεταφοράς σε αυτή την άσκηση αντιστοιχούν σε αιτιατά συστήµατα. Η βασική συνδεσµολογία ανάδρασης φαίνεται στο σχήµα. Σε αυτή τη συνδεσµολογία το H(s) ονοµάζεται σύστηµα ανοικτού βρόχου και η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος κλειστού βρόχου δίνεται από:
Σχήµα Ακόµη και εάν το σύστηµα ανοικτού βρόχου Η(s) είναι ασταθές, το σύστηµα κλειστού βρόχου Η CL (s) µπορεί να είναι ευσταθές εάν το G( (s) επιλεγεί έτσι ώστε οι πόλοι του H CL (s) να βρίσκονται στο αριστερό ηµιεπίπεδο του επιπέδου s. Σε αυτή την άσκηση θα χρησιµοποιήσετε την εντολή rlocus για την ανάλυση της συµπεριφοράς του συστήµατος ανοικτού βρόχου H(s) και τον προσδιορισµό παραµέτρων του συστήµατος G(s). Έστω το ασταθές σύστηµα που περιγράφεται από την εξίσωση: 3 Θα χρησιµοποιήσουµε ανάδραση της µορφής G(s)K για να σταθεροποιήσουµε το σύστηµα αυτό. (α) Ποια είναι η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος κλειστού βρόχου Η CL (s) ως συνάρτηση του Κ? (β) Προσδιορίστε αναλυτικά (µ µε πράξεις στο χέρι) τη θέση του πόλου του συστήµατος κλειστού βρόχου ως συνάρτηση του Κ. Για ποιες τιµές του Κ είναι το σύστηµα ευσταθές? (γ) Για το σύστηµα κλειστού βρόχου του Σχ. και G(s)K η εντολή rlocus (χρησιµοποιήστε την εντολή help rlocus για να δείτε πως λειτουργεί) µπορεί να αναπαραστήσει γραφικά τη θέση των πόλων ως συνάρτηση του Κ. Συγκεκριµένα, η εντολή αυτή υπολογίζει τις ρίζες της εξίσωσης +ΚΗ(s)0 ως συνάρτηση του Κ, οι οποίες είναι οι πόλοι του συστήµατος κλειστού βρόχου. Αν τα διανύσµατα b και a περιέχουν τα πολυώνυµα του αριθµ µητή και παρονοµαστή του H(s) τότε η εντολή rlocus(b,a) χαράσσει τις ρίζες για Κ 0. Οι ρίζες για K 0 µπορούν να χαραχθούν χρησιµοποιώντας την εντολή rlocus(-b,a). Τα διαγράµµατα αυτά δεν δίνουν τις αριθµητικές τιµές του Κ οι οποίες αντιστοιχούν σε συγκεκριµένους πόλους. Για να πάρουµε αυτές τις τιµές, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την εντολή [r,k]rlocus(b,a) η οποία αποθηκεύει τις ρίζες και την αντίστοιχη τιµή του Κ στις µεταβλητές r και k. (Σηµ.: µπορεί να χρησιµοποιηθεί και η σύνταξη [r,k] rlocus(sys,k) όπου systf(b,a)). Χρησιµοποιείστε την εντολή rlocus για να επαληθεύσετε τα αποτελέσµατα του (b). Θα πρέπει να σχεδιάσετε ξεχωριστά τις ρίζες για Κ 0 και Κ 0. Χρησιµοποιείστε την εντολή [r,k] rlocus(b,a) για να επαληθεύσετε τις τιµές του Κ για τις οποίες το σύστηµα κλειστού βρόχου είναι ευσταθές.