Sadržaj 3 Linearani operatori 68 3.1 Ograničenost i neprekidnost................... 68 3.2 Inverzni operator......................... 79 3.3 O još dva principa........................ 83 3.4 Zatvoreni operator........................ 88 4 Linearni funkcionali 96 4.1 Geometrijski smisao linearnih funkcionala........... 97 4.2 Hahn-Banachov teorem..................... 101 4.3 Reprezentacije ograničenih linearnih funkcionala....... 108 4.3.1 Konačnodimenzionalni prostori............. 108 4.3.2 Reprezentacije na Banachovim prostorima....... 110 4.4 Konjugovani prostori i refleksivnost............... 125 4.5 Konjugovani operator...................... 131 4.6 Spektar linearnog operatora................... 135 4.7 Kompaktni operatori....................... 143 Bibliografija 148 i
3 Linearani operatori 3.1 Ograničenost i neprekidnost............ 68 3.2 Inverzni operator.................. 79 3.3 O još dva principa.................. 83 3.4 Zatvoreni operator.................. 88 Neka su X i Y dva proizvoljna prostora. Preslikavanje A : X Y nazivamo operator, pri čemu koristimo standardnu definiciju preslikavanja. Dakle, pod terminom operator podrazumijevamo najopštiji oblik preslikavanja, tj. kada se područje originala nalazi u proizvoljnom prostoru X, a područje slika u proizvoljnom prostoru Y. Sa D A X ćemo označavati domen preslikavanja operatora A i podrazumijevamo da je on linearan vektorski prostor. Sa R A Y (ili sa Rang(A)) označavamo područje slika ili kodomen operatora A. Za x X, djelovanje operatora A uobičajeno ćemo zapisivati sa Ax, umjesto A(x). 3.1 Ograničenost i neprekidnost Definicija 3.1.1. Za operator A : X Y kažemo da je aditivan ako i samo ako za proizvoljne x 1,x 2 D A, vrijedi A(x 1 + x 2 ) = Ax 1 + Ax 2. Definicija 3.1.2. Za operator A : X Y kažemo da je homogen ako i samo ako vrijedi ( x D A )( λ Φ) A(λx) = λax. Definicija 3.1.3. Za operator A : D A X Y kažemo da je linearan operator ako i samo ako je on istovremeno aditivan i homogen, tj. ako vrijedi ( x 1,x 2 D A )( λ,µ Φ) A(λx 1 + µx 2 ) = λax 1 + µax 2. Lema 3.1.1. Za proizvoljan linearan operator vrijede osobine: 1. A0 = 0. 68
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU 2. A( x) = Ax. Dokaz : 1. Iz osobina linearnog vektorskog prostora i linearnosti operatora imamo Ax = A(x + 0) = Ax + A0, a zbog jedinstvenosti neutralnog elementa za sabiranje imamo A0 = 0. 2. Koristeći gornju osobinu i linearnost operatora, imamo 0 = A0 = A(x + ( x)) = Ax + A( x), iz čega je zbog jedinstvenosti inverznog elementa za sabiranje onda A( x) = Ax. Definicija 3.1.4. Neka je A : X Y linearan operator. Skup Ker(A) = {x X Ax = 0}, nazivamo jezgro operatora ili nul-prostor operatora. Skup nazivamo rang operatora A. Rang(A) = {y Y ( x X) f(x) = y}, Osobine injektivnosti i surjektivnosti lahko izražavamo preko novouvedenih skupova. Tako imamo da je linearan operator injektivan ako i samo ako je Ker(A) = {0}, a surjektivan ako i samo ako je Rang(A) = Y. Bijektivnost imamo ako je operator istovremeno i injektivan i surjektivan. Takode vrijede i sljedeće osobine. Teorem 3.1.2. Neka je A : X Y linearan operator. Tada vrijedi: 1. Ker(A) je potprostor od X. 2. Rang(A) je potprostor od Y. 3. Ako su X i Y konačnodimenzionalni prostori onda je dim(x) = dim(ker(a)) + dim(rang(a)). Primjer 3.1. Neka su V i W konačnodimenzionalni linearni vektorski prostori, pri čemu je dim(v ) = m i dim(w) = n (m,n N). Neka je B V = {v 1,v 2,...,v m } baza prostora V, a B W = {w 1,w 2,...,w n } baza prostora W i neka je F L(V,W). Za proizvoljan v i (i {1,2,...,m}) njegova slika 69
3.1. Ograničenost i neprekidnost Av i leži u prostoru W, pa postoje jedinstveni koeficijenti a 1i,a 2i,...,a ni Φ, takvi da je Fv i = a ji w j. j=1 Označimo sa A = [a ij ] m n (1 i m, 1 j n) matricu koju dobijemo tako što svaki vektor baze B V preslikamo preslikavanjem F, a pri tome jedinstveno odredene koeficijente postavimo kao kolone matrice A. Za matricu A kažemo da je matrična reprezentacija linearnog operatora F u odnosu na baze B V i B W ili jednostavnije to iskazujemo sa time da je A matrica linearnog operatora F. Ovo nam ustvari govori da su matrice na konačnodimenzionalnim prostorima ustvari linearna preslikavanja. Tj. vrijedi, Lema 3.1.3. Neka su V i W linearni vektorski prostori dimenzija m i n respektivno i neka su B V i B W njihove baze. Neka je F L(X,Y ) i A = [a ij ] m n. Matrica A reprezentuje linearan operator F ako i samo ako je za proizvoljan vektor x V Fx = A x. Dokaz : Neka je A = [a ij ] m n matrica linearnog operatora F. Za proizvoljan x V neka je x = (b 1,b 2,...,b m ) T njegova reprezentacija u bazi B V. Tada imamo, m m Fx = F b j v j = b j Fv j = j=1 j=1 ( m ) b j a ij w i = j=1 m a ij b j w i. j=1 Dakle, vektor Fx u bazi B W ima reprezentaciju m m m Fx = a 1j b j, a 2j b j,..., a nj b j j=1 j=1 j=1 T = A x. Obratno, neka je B matrica takva da je Fx = B x, za sve x V i neka je A matrica operatora F. Birajući vektor x = (1,0,...,0) T V, očigledno je prva kolona matrice B jednaka prvoj koloni matrice A. Analogno se utvrduje jednakost i ostalih kolona, tj. mora vrijediti B = A. Iz geometrije znamo da je rotacija linearna transformacija. Ako posmatramo R 2 kao linearan vektorski prostor neka je R α : R 2 R 2 rotacija realne ravni za ugao α [0,2π]. Neka je {e 1,e 2 } = { (1,0) T,(0,1) T } standardna baza u R 2. Tada R α e 1 treba da predstavlja rotirani vektor e 1, a R α e 2, rotirani vektor e 2 za ugao α. Nije teško vidjeti da vrijedi 70
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU R α e 2 α 1 e 2 R α e 1 α e 1 1 Slika 3.1: Rotacija ravni za ugao α R α e 1 = (cos α,sin α) T, R α e 2 = ( sin α,cos α) T, tj. operator rotacije je reprezentovan matricom [ ] cos α sin α A = sinα cos α. Sada za proizvoljan vektor x = (x 1,x 2 ) T R 2, na osnovu reprezentacije linearnih preslikavanja u konačnodimenzionalnim prostorima imamo, [ ] [ ] [ ] cos α sin α x1 x1 cos α x R α x = A x = = 2 sin α. sin α cos α x 1 sin α + x 2 cos α x 2 Primjer 3.2. Neka je X skup svih polinoma četvrtog stepena, definisanih na ( 1,1), tj. X = { P 4 (x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e a,b,c,d,e R, x ( 1,1) } i analogno Y = { P 3 (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d a,b,c,d R, x ( 1,1) }. Posmatrajmo preslikavanje Du = du dx = u, u X. Očigledno je operator D sa X u Y. Za u,v X je D(u+v) = (u+v) = u + v = Du+Dv. Osim toga je za u X i λ Φ, D(λu) = (λu) = λu = λdu. Dakle, D je linearan operator sa prostora X u prostor Y. Kako je izvod konstante 0, to je jezgro ovog operatora skup svih polinoma nultog stepena (konstante), dakle Ker(D) {0}, pa operator nije injektivan. Za proizvoljan polinom trećeg stepena v(x) = P 3 (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, polinom P 4 (x) = P 3 (x)dx = a 4 x4 + b 3 x3 + c 2 x2 + dx + C Y, te vrijedi Rang(D) = Y, tj. operator je surjekcija. 71
3.1. Ograničenost i neprekidnost Definicija 3.1.5. Za linearan operator A : X Y kažemo da je neprekidan u tački x 0 D A ako i samo ako za svaku okolinu V tačke Ax 0, postoji okolina U tačke x 0, tako da je za svako x U, Ax V. Ako su X i Y metrički prostori, gornju definiciju iskazujemo sa ( ε > 0)( δ = δ(ε) > 0)( x D A )(d X (x,x 0 ) < δ d Y (Ax,Ax 0 ) < ε), a u normiranim prostorima sa ( ε > 0)( δ = δ(ε) > 0)( x D A )( x x 0 X < δ Ax Ax 0 Y < ε). Kažemo da je linearan operator neprekidan na skupu D ako je neprekidan u svakoj tački skupa D. Za definisanje pojma neprekidnosti možemo koristiti i nizovnu definiciju. Definicija 3.1.6. Za linearan operator A : X Y kažemo da je neprekidan u tački x 0 D A ako za proizvoljan niz (x n ) n N X, takav da x n x 0 (n ), vrijedi Ax n Ax 0, (n ). Teorem 3.1.4. Ako je aditivan operator A : X Y neprekidan u jednoj tački domena, onda je on neprekidan na čitavom domenu. Dokaz : Neka je A : X Y aditivan operator i neka je x 0 D A tačka u kojoj je operator neprekidan. Neka je sada x D A proizvoljan. Uzmimo proizvoljan niz (x n ) n N D A, takav da x n x (n ). Posmatrajmo niz (x n x + x 0 ) n N D A. Očigledno vrijedi x n x + x 0 x 0, (n ), pa zbog neprekidnosti operatora u tački x 0 imamo A(x n x + x 0 ) Ax 0, (n ). Na osnovu aditivnosti i osobina limesa, sada vrijedi iz čega je onda lim A(x n x + x 0 ) = n lim (Ax n Ax + Ax 0 ) n = lim n Ax n Ax + Ax 0 = Ax 0, lim Ax n = Ax, n tj. operator je neprekidan i u tački x. Zbog proizvoljnosti x D A, zaključujemo da je A neprekidan na čitavom skupu D A. 72
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU Definicija 3.1.7. Neka je A : X Y linearan operator. Kažemo da je A ograničen linearan operator ako važi ( M > 0)( x X) Ax Y M x X. (3.1) Infimum svih mrojeva M za koje važi (3.1) nazivamo norma operatora A i označavamo je sa A X Y ili jednostavno sa A, podrazumijevajući djelovanje operatora. Linearan operator je ograničen ukoliko mu je norma konačna i pri tome onda vrijedi ( x X) Ax Y A X Y x X. Teorem 3.1.5. Neka je A : X Y ograničen homogen operator. Tada vrijedi Ax A = sup = sup Ax = sup Ax. x X\{0} x x 1 x =1 Dokaz : Označimo sa α = Ax sup x X\{0} x Tada za svako ε > 0, postoji x X \ {0}, takav da je Ax / x > α ε, tj. Ax > (α ε) x. Na osnovu definicije norme operatora onda imamo A > α ε, za proizvoljno ε > 0, odnosno A α. Ako bi bilo A > α, tada bi za neko ε > 0 vrijedilo A α = ε. Tada bi iz α < A ε/2 imali Ax x α < A ε 2, tj. za svako x X \ {0} bi vrijedilo ( Ax A ε ) x. 2 Posljednje nije u saglasnosti sa tim da je norma operatora infimum svih brojeva koji zadovoljavaju (3.1), pa dakle mora vrijediti A = α = Ax sup x X\{0} x Zbog homogenosti operatora dalje imamo ( ) Ax sup = sup x x X\{0} x A = sup Ax. x X\{0} x x =1 Ostaje još pokazati drugu jednakost. Naime, ako posmatramo samo elemente koji zadovoljavaju x 1, tada imamo A = α = Ax Ax sup sup sup Ax. x X\{0} x x 1 x x 1.. 73
3.1. Ograničenost i neprekidnost Sa druge strane, kako je supremum na većem skupu veći, to vrijedi pa zaključujemo da mora biti sup Ax sup Ax = A, x 1 x =1 A = sup Ax. x 1 Za linearna preslikavanja vrijedi sljedeća lijepa osobina. Teorem 3.1.6. Linearan operator je neprekidan ako i samo ako je ograničen. Dokaz : Neka je A : X Y neprekidan linearan operator. Pretpostavimo da on nije ograničen. Tada Posmatrajmo sada sljedeći niz, Za njega vrijedi ( n N)( x n X, x n = 1) Ax n > n. tj. z n 0 (n ). Ali tada imamo z n = x n n, n N. z n = x n n = 1 n 0, n, Az n = 1 n Ax n 1, n N, a to znači da Az n 0 (n ), što je u suprotnosti sa neprekidnošću operatora. Neka je sada A ograničen operator, tj. A < +. Uzmimo proizvoljno x D A i neka je (x n ) D A, takav da x n x (n ). Zbog ograničenosti sada imamo 0 Ax n Ax = A(x n x) A x n x 0, n. Dakle, A je neprekidan u tački x, pa je prema Teoremi 3.1.4, on neprekidan operator. Teorem 3.1.7. Neka je A : X Y linearan operator. Operator A je neprekidan ako i samo ako ograničene skupove iz X preslikava u ograničene skupove u Y. 74
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU Dokaz : Neka je A : X Y ograničen linearan operator, tj. ( x X) Ax A x, ( A < ) i neka je S X ograničen skup, tj. Označimo sa S sliku skupa S, Za proizvoljno y S tada vrijedi ( M > 0)( x S) x M. S = {Ax x S}. y = Ax A x M A = M <, te je S ograničen skup. Neka A slika ograničene skupove u ograničene skupove. Kako je jedinična kugla K = {x X x 1}, ograničen skup u X, to je i skup ograničen u Y, a to znači odnosno AK = {Ax x 1} ( M > 0)( y AK) y M, ( M > 0)( x X, x 1) Ax M. Posljednja činjenica nije ništa drugo do ograničenost operatora ili što je ekvivalentno, njegova neprekidnost. U ispitivanju ograničenosti proizvoljnog operatora A : X Y prvo nastojimo pokazati da za svako x X vrijedi Ax M x, za neko M > 0 (po mogućnosti najbolju aproksimaciju), čime ustvari pokažemo ograničenost operatora ( A M). Pokazati da je A = M znači naći konkretan element x X, za koga je Ax = M x. Ovo bi značilo da je A M, što sa ranije pokazanim daje ukupno A = M. Primjer 3.3. Posmatrajmo lijevi i desni shift operator na l 2, tj. preslikavanja A L : l 2 l 2 i A R : l 2 l 2, zadata sa A R x = (0,x 1,x 2,...), A L x = (x 2,x 3,x 4,...) za x = (x 1,x 2,x 3,...) l 2. Oba operatora su očigledno linearna. Pri tome je A R x = ( x i 2 )1 2 = x, 75
3.1. Ograničenost i neprekidnost a odavde je onda A R = 1. Za lijevi shift imamo A L x = ( i=2 x i 2 )1 2 x, tako da je A L 1. Ako posmatramo proizvoljan vektor x = (0,x 1,x 2,x 3,...) l 2, tada je ( )1 2 A L x = x i 2 = x, te je A L = 1. i=2 U nešto težim primjerima, neka je pokazana ograničenost operatora, Ax M x, moguće je naći niz (x n ) n N X, takav da je Ax n x n M, (n ), iz čega onda zaključujemo da je A = M. Primjer 3.4. Posmatrajmo operator T : L 2 (a,b) L 2 (a,b) (a,b R, a < b), zadat sa Tx(t) = f(t)x(t), gdje je f C[a, b]. Linearnost se jednostavno pokazuje, a za ograničenost imamo T x = ( b a ) 1 f(t)x(t) 2 2 dt max f(t) a t b ( b a ( b = a ) 1 x(t) 2 2 dt ) 1 f(t) 2 x(t) 2 2 dt. Dakle, Tx L2 (a,b) f C[a,b] x L2 (a,b), iz čega onda imamo T f C[a,b]. Kako je f neprekidna funkcija na segmentu [a,b], postoji c [a,b] u kojoj funkcija uzima maksimalnu vrijednost (ne gubeći na opštosti, neka je c (a, b)). Za n N, posmatrajmo funkcije Tada imamo x n (t) = { 1 ; t c < 1 n 0 ; inače Tx n x n = n 2 ( c+ 1 n c 1 n f(t) 2 dt )1 2 f(c), (n ), 76
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU zato što je f neprekidna funkcija. Iz ovoga onda zaključujemo da je T = f(c) = max a t b f(t) = f C[a,b]. Skup svih ograničenih linearnih operatora koji djeluju sa prostora X u prostor Y označavat ćemo sa L(X,Y ). Na L(X,Y ) možemo definisati operacije sabiranja i množenja skalarom. Neka su A,B L(X,Y ) i neka je λ Φ. Za x X definišemo (A + B)x def = Ax + Bx, (λa)x def = λax. Pri tome je D A+B = D A D B i D λa = D A. Neka su x,y X i λ,µ,α Φ. Tada imamo (A + B)(λx + µy) = A(λx + µy) + B(λx + µy) = λax + µay + λbx + µby = λ(a + B)x + µ(a + B)y, αa(λx + µy) = α(λax + µay) = αλax + αµay = λ(αa)x + µ(αa)y. Dakle, A + B i αa su linearni operatori. Osim toga vrijedi (A + B)x = Ax + Bx Ax + Bx ( A + B ) x, x X, i (αa)x α A x, pa zaključujemo da su oni i ograničeni operatori, tj. A + B, αa L(X, Y ), čime smo pokazali da je L(X,Y ) linearan vektorski prostor. Šta više, vrijedi Teorem 3.1.8. Neka je X proizvoljan normiran prostor i Y Banachov prostor. L(X, Y ) je Banachov prostor. Dokaz : Već smo pokazali da je L(X,Y ) linearan vektorski prostor. Kako je svaki A L(X,Y ) ograničen operator, onda je veličina A = dobro definisana. Pri tome vrijedi: 1. 0 A = sup x X\{0} Ax x Ax sup x X\{0} x < +., (3.2) 77
3.1. Ograničenost i neprekidnost 2. 3. Za λ Φ, λa = Ax A = 0 0 = sup Ax x X\{0} x x Ax 0, x X \ {0} Ax = 0, x X \ {0} Ax = 0, x X \ {0} A 0., x X \ {0} (λa)x (λa)x Ay sup = λ sup = λ sup = λ A. x X\{0} x x X\{0} λx y X\{0} y 4. (A + B)x ( A + B ) x, tj. A + B A + B. Dakle, sa (3.2) je definisana norma na L(X,Y ), te je L(X,Y ) normiran prostor. Neka je sada (A n ) n N L(X,Y ), proizvoljan Cauchyjev niz, tj. neka je Tada za proizvoljan x X imamo A n A m 0, n,m. A n x A m x A n A m x 0, n,m, odnosno, za svaki x X, niz (A n x) n N Y je Cauchyjev niz. Zbog kompletnosti prostora Y, ovi nizovi su konvergentni. Označimo sa A 0 x = lim n A nx, x X. Neka su x,y X i α,β Φ proizvoljni. Tada, A 0 (αx + βy) = lim A n(αx + βy) n = lim (αa nx + βa n y) n = α lim A nx + β lim A ny n n = αa 0 x + βa 0 y, pa je A 0 linearan operator. Iz cauchyjevosti niza (A n ) imamo ( ( ε > 0)( n 0 N)( n,m N) n,m n 0 A n A m < ε ). 2 78
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU Ako je x X, x 1, onda za n,m n 0 vrijedi (A n A m )x A n A m < ε 2. Držimo li n fiksnim, a pustimo da m teži u beskonačnost, dobijamo iz posljednjeg (A n A 0 )x ε 2, ili sup (A n A 0 )x ε x 1 2 < ε. Dakle, za svako n n 0, operator A n A 0 je ograničen, pa kako su A n ograničeni operatori, takav mora biti i operator A 0, tj. A 0 L(X,Y ). Osim toga iz gornjeg imamo ( ε > 0)( n 0 )( n N)(n n 0 A n A 0 < ε), što ne znači ništa drugo nego da A n A 0 (n ), tj. niz (A n ) je konvergentan u L(X,Y ) odnosno, L(X,Y ) je kompletan prostor. Iz svega rečenog imamo da je L(X,Y ) Banachov prostor. 3.2 Inverzni operator Neka je A : X Y linearan operator čiji je domen D A X i kodomen R A Y. Ukoliko za svako y R A, jednačina y = Ax ima jedinstveno rješenje x D A, onda kažemo da postoji inverzno preslikavanje, u oznaci A 1, preslikavanja A i zapisujemo x = A 1 y. Pri tome je D A 1 = R A i R A 1 = D A. Dakle, za postojanje inverznog operatora linearnog operatora A : D A R A, dovoljno je da A bude injektivno preslikavanje. Teorem 3.2.1. Ako postoji, inverzni operator linearnog operatora je i sam linearan operator. Dokaz : Neka postoji inverzni operator i neka su y 1,y 2 D A 1 = R A i α,β Φ proizvoljni. Tada postoje jednoznačni x 1,x 2 D A, takvi da je Ax 1 = y 1 i Ax 2 = y 2, a ovo znači i x 1 = A 1 y 1, x 2 = A 1 y 2. Sada imamo, A 1 (αy 1 + βy 2 ) = A 1 (αax 1 + βax 2 ) = A 1 A(αx 1 + βx 2 ) = αx 1 + βx 2 = αa 1 y 1 + βa 1 y 2. 79
3.2. Inverzni operator Teorem 3.2.2. Ako postoji inverzni operator operatora A, onda vrijedi ( A 1 ) 1 = A. Teorem 3.2.3. Neka je A : X Y linearan operator. A ima ograničen inverzan operator na R A ako i samo ako vrijedi Pri tome vrijedi A 1 1 m. ( m > 0)( x X) Ax m x. (3.3) Dokaz : Neka A ima ograničen inverzni operator, tj. neka vrijedi ( M > 0)( y R A ) A 1 y M y. Kako za svako y R A, postoji x D A tako da je A 1 y = x, gornju činjenicu možemo iskazati i sa ( M > 0)( x D A ) x M Ax, odnosno stavljajući da je m = 1 M imamo ( m > 0)( x D A ) Ax m x. Neka sada vrijedi (3.3) pri čemu A : X R A Y. Neka je Ax = 0 za neko x X. Tada na osnovu (3.3) vrijedi 0 = Ax m x, a odavde je onda x = 0, te je x = 0. Dakle, A ima inverzni operator A 1 : R A X, pa jednačina y = Ax ima jedinstveno rješenje x = A 1 y. Na osnovu ovoga, iz (3.3) onda imamo ili ( m > 0)( y R A ) y m A 1 x, ( m > 0)( y R A ) A 1 y 1 m y. Ovo znači da je operator A 1 ograničen, a osim toga, prema definiciji ograničenosti operatora, zaključujemo i da vrijedi A 1 1 m. 80
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU Lema 3.2.4. Neka je M svuda gust skup u Banachovom prostoru X. Tada se svaki nenula vektor x X može prikazati u formi x = gdje su x n M (n N), takvi da je x n, n=1 x n 3 2 n x, n N. Dokaz : Neka je x X proizvoljan. Kako je M svuda gust u X, postoji x 1 M, takav da je x x 1 x 2. Sada vektor x x 1 X, pa opet zbog svuda gustosti skupa M, postoji x 2 M, takav da je x x 1 x 2 x. Na isti način, postoji x 2 2 3 M, takav da je x x 1 x 2 x 3 x 2 3 odnosno, postoji x n M, takav da je x x 1 x 2 x n x 2 n. Zbog načina izbora elemenata x n M (n N), vrijedi x x k 0, n, k=1 tj. red k=1 x k konvergira ka elementu x. Pri tome vrijede sljedeće ocjene normi, x 1 = x 1 x + x x 1 x + x 3 2 x, x 2 = x 2 + x 1 x + x x 1 x 2 + x 1 x + x x 1 3 2 2 x, ili za proizvoljno n N imamo x n = x n + x n 1 + + x 1 x + x x 1 x n 1 x n + x n 1 + + x 1 x + x x 1 x n 1 3 2 n x. Teorem 3.2.5. (Banachov teorem o inverznom operatoru) Neka je A ograničen linearan operator koji obostrano jednoznačno preslikava Banachov prostor X na Banachov prostor Y. Tada je i inverzni operator A 1 takode ograničen. 81
3.2. Inverzni operator Dokaz : Zbog pretpostavki teorema, preslikavanje A je bijektivno, pa inverzni operator A 1 postoji. Posmatrajmo u prostoru Y skupove M k = { y Y A 1 y k y }, k N. Pretpostavimo da postoji y 0 Y (y 0), takav da y 0 / M k, niti za jedno k N. Tada bi vrijedilo A 1 y 0 > k y 0 za sve k N, odnosno ( k N) Ax 0 < 1 k x 0 (Ax 0 = y 0 ). Iz toga onda imamo da je Ax 0 = 0, tj. Ax 0 = 0 = y 0, a što je u suprotnosti sa pretpostavkom da y 0 nije nula element. Dakle, vrijedi Y = k NM k. Zbog kompletnosti prostora Y, na osnovu Berove teoreme o kategorijama, bar jedan od skupova, neka je to M n, je gust u nekoj kugli B. Unutar kugle B, posmatrajmo prsten P = { z B α < z y < β }, gdje je 0 < α < β, a y M n proizvoljan. Translirajmo prsten P, tako da mu centar bude u nuli, čime dobijamo skup P 0 = {z α < z < β}. Neka je sada z P M n, tada z y P 0 i pri tome vrijedi A 1 (z y ) A 1 z + A 1 y n( z + y ) n( z y + 2 y ) = n z y ( 1 + 2 ) y z y n z y ( 1 + 2 ) y. α ( ) Izraz n 1 + 2 y α ne zavisi od z i ako stavimo da je N = 1 + n 1 + 2 y, α zaključujemo da z y M N. Kako je M n gust u B, a time i u P, to je skup M N gust u P 0. Neka je sada y Y proizvoljan nenula element. Moguće je izabrati λ Φ, takav da je α < λy < β, tj. da je λy P 0. Kako je M N gust u P 0, postoji 82
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU niz (y k ) k N M N koji konvergira ka λy. Tada niz ( 1 λ y k) k N konvergira ka y, a zbog činjenice da 1 λ y k M N (k N, λ 0), zaključujemo da je M N gust i u Y \ {0}, odnosno i u Y. Neka je opet y proizvoljan nenula element iz Y. Kako je M N gust u Y, na osnovu Leme 3.2.4, postoje y k M N (k N), takvi da je y = k Ny k, y k 3 2 k y. Stavimo x k = A 1 y k X (k N). Kako vrijedi x k = A 1 y k N y k 3N y 2 k, to red k N x k konvergira ka nekom elementu x X i pri tome je x k N x k 3N y k=1 1 = 3N y. 2k Zbog konvergencije reda k N x k i neprekidnosti operatora A, imamo Ax = k N Ax k = k Ny k = y, odakle je onda x = A 1 y. Sada vrijedi A 1 y = x 3N y, za proizvoljno y Y, a ovo znači da je A 1 ograničen operator. Stav o inverznom operatoru se uobičajeno iskazuje kao posljedica mnogo poznatije teoreme o otvorenom preslikavanju. Teorem 3.2.6. (Princip otvorenog preslikavanja) Neka su X i Y Banachovi prostori i neka je A ograničen linearan operator koji slika X na Y. Tada je A otvoreno preslikavanje, tj. slika otvorenog skupa u X je otvoren skup u Y. Dakle, najjednostavnije rečeno, svako neprekidno, linearno i bijektivno preslikavanje izmedu dva Banachova prostora ima meprekidno inverzno preslikavanje. 3.3 O još dva principa Medu najbitna tvrdenja funkcionalne analize spadaju i sljedeća dva. To su princip konvergencije i princip uniformne ograničenosti. 83
3.3. O još dva principa Teorem 3.3.1. (Princip uniformne ograničenosti) Neka je τ proizvoljna familija ograničenih linearnih operatora koji djeluju sa Banachovog prostora X u normiran prostor Y. Neka za svako x X, postoji konstanta M(x) > 0 (koja zavisi eventualno samo od x), tako da vrijedi ( T τ) Tx M(x). Tada postoji konstanta M, za koju vrijedi ( T τ) T M. Dokaz : Pretpostavimo da familija τ nije ograničena niti na jednoj kugli u X. Posmatrajmo kuglu K 0 = K(0, 1 2 ) i kako τ nije ograničena ni na njoj, postoji T = T 1 τ i x 1 K(0, 1 2 ), tako da je T 1x 1 > 1. Neka je sada r 1 proizvoljan, takav da vrijedi { T1 x 1 1 0 < r 1 < min, 1 }. T 1 2 Označimo sa K 1 = K(x 1,r 1 ). Za proizvoljan x K 1 je x x 1 r 1 i pri tome je T 1 x = T 1 x 1 T 1 (x 1 x) T 1 x 1 T 1 (x 1 x) T 1 x 1 T 1 x x 1 T 1 x 1 T 1 r 1 > 1. Dakle, za proizvoljno x K 1, vrijedi T 1 x > 1. Polazeći sada od kugle K 1 = K(x 1,r 1 ), na isti način utvrdujemo postojanje operatora T 2 τ i x 2 K 1, te kugle K 2 = K(x 2,r 2 ) K 1, takvih da je ( x K 2 ) T 2 x > 2, pri čemu je r 2 < 1 2 2. Nastavljajući ovaj postupak, dolazimo do niza operatora T 1,T 2,...,T n,... i niza kugli K 0 K 1 K n čiji su poluprečnici r 1,r 2,...,r n,..., takvi da je r n < 1 2 n (n N), i pri tome je T n x > n, x K n. Na osnovu teorema o karakterizaciji kompletnosti imamo da je K n = {x 0 }, za neko x 0 X. n N Šta više, x n x 0 (n ), gdje je (x n ) n N niz centara konstruisanih kugli. Pri tome je za proizvoljno n N, T n x 0 > n, a to je nemoguće jer smo pretpostavili da za svako x X, vrijedi Tx M(x). 84
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU Dakle, mora postojati kugla K(x,r ), takva da je Tx M, za sve x K(x,r ) i za sve T τ. Neka je sada x K(0,r ) proizvoljan. Tada x + x K(x,r ), pa za svako T τ imamo Tx = Tx + T(x + x ) Tx + T(x + x ) M(x ) + M. Stavimo li M = M(x ) + M, vrijedi ( x K(0,r )) Tx M, za svako T τ. Neka je sada x X proizvoljan (x 0). Tada je x x r K(0,r ), pa vrijedi tj. Stavimo M = M r, dakle vrijedi ( ) x T x r M, Tx M r x. ( T τ)( x X) Tx M x, a ovo upravo znači ( T τ) T M. Znamo iz matematičke analize da za funkcionalni niz možemo posmatrati dvije vrste konvergencije, konvergenciju po tačkama i uniformnu konvergenciju i da je uniformna konvergencija jača od tačkaste konvergencije. U opštem slučaju iz konvegrencije po tačkama nemamo uniformnu konvergenciju. Princip uniformne ograničenosti, pojednostavljeno govoreći, nam kazuje da pri odredenim uslovima, familija ograničenih linearnih operatora koja je konvergentna po tačkama, je i uniformno konvergentna. Dokazani teorem smo mogli iskazati i u obratnoj formi, tj Teorem 3.3.2. Ako niz ( T n ) n N nije ograničen, tada postoji x X, takav da je lim sup T n x = +. n Ovako iskazan teorem naziva se princip rezonancije. 85
3.3. O još dva principa Teorem 3.3.3. (Princip konvergencije) Neka je (T n ) n N niz ograničenih linearnih operatora koji djeluju sa normiranog prostora X u Banachov prostor Y. Ako su zadovoljeni uslovi 1. ( M > 0)( n N) T n M. 2. Postoji lim n T n x, za sve x iz skupa koji je gust u nekoj kugli prostora X. Tada postoji lim n T n x, za sve x X i sa T 0 x = lim n T nx je definisan ograničen linearan operator T 0, za koga vrijedi T 0 lim inf T n. Dokaz : Neka je S skup koji je gust u nekoj kugli B(x 0,r), tako da postoji lim n T n x, za sve x S. Neka su sada x K(x 0,r) i ε > 0 proizvoljni. Tada postoji y S, takav da je x y < ε 4M. Osim toga, zbog konvergencije niza (T ny) n N, za svako y S, postoji N N, tako da za proizvoljne n,m N, vrijedi T n y T m y < ε 2. Na osnovu svega ovoga, za n,m N, sada imamo T n x T m x = (T n x T n y) + (T n y T m y) + (T m y T m x) T n (x y) + T n y T m y + T m (x y) T n x y + T n y T m y + T m x y 2M x y + T n y T m y < 2M ε 4M + ε 2 = ε. Ovo znači da je za proizvoljno x K(x 0,r), niz (T n x) n N Cauchyjev, a kako se on nalazi u Banachovom prostoru Y, on je i konvergentan, tj. postoji lim T nx, x K(x 0,r). n Neka je sada x X proizvoljan (x 0). Tada je pa postoji lim n T n x 0 + r x x K(x 0,r), ( x 0 + r ) ( ( )) r x x = lim T n x 0 + T n n x x. 86
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU Zato što x 0 K(x 0,r), postoji lim n T n x 0, a to onda znači da mora postojati i ( ) r lim T n n x x, tj. postoji lim T nx. n Dakle, za svako x X, postoji lim n T n x. Definišimo onda x X, T 0 x = lim n T nx. Za proizvoljne x,x X i za proizvoljne α,β Φ, vrijedi te je T 0 linearan operator. Za proizvoljno x X je T 0 (αx + βx ) = lim T n(αx + βx ) n ( = lim αtn x + βt n x ) n = α lim T nx + β lim T nx n n = αt 0 x + βt 0 x, T 0 x = lim n T nx = lim inf T nx n lim inf ( T n x ) n = (lim inf T n ) x. n Iz posljednjeg vidimo da je T 0 ograničen operator, i da pri tome vrijedi T 0 lim inf n T n. Pretpostavka o ograničenosti operatora, tj. T < za T τ nije obavezujuća da bi supremum normi takvih operatora bio konačan. Naprimjer, neka je I identično preslikavanje netrivijalnog normiranog prostora X. Posmatrajmo familiju τ = {ni n N}. Jasno je da τ L(X,X), ali očigledno je sup ni =. Naravno, konsekvenca ovoga je ta da je uslov n N 2. u Teoremu 3.3.3 zadovoljen na skupu D = {0} koji nije gust u X. Vidimo da je bitna pretpostavka u obje teoreme kompletnost prostora, i to u principu uniformne ograničenosti zahtjevamo da je domen X Banachov prostor, a u principu konvergencije zahtjevamo da je kodomen Y Banachov prostor. Ova dva stava kada ih objedinimo, daju poznati Banach- Steinhausov stav. 87
3.4. Zatvoreni operator Teorem 3.3.4. Neka su X i Y Banachovi prostori i neka je (T n ) n N niz ograničenih linearnih operatora koji djeluju sa X u Y. Da bi niz (T n x) n N konvergirao ka Ax za svako x X, gdje je A : X Y ograničen linearan operator, potrebno je i dovoljno da su zadovoljeni uslovi 1. Niz ( T n ) n N je ograničen. 2. Postoji lim n T n x na nekom svuda gustom skupu elemenata. 3.4 Zatvoreni operator Neka su X i Y Banachovi prostori. Sa X Y označavamo Descartesov produkt skupova X i Y. Ako na X Y uvedemo unutrašnju i spoljašnju kompoziciju na sljedeći način, ( (x 1,y 1 ),(x 2,y 2 ) X Y ) (x 1,y 1 ) + (x 2,y 2 ) = (x 1 + x 2,y 1 + y 2 ), ( (x,y) X Y )( λ Φ) λ(x,y) = (λx,λy), lahko se provjerava da X Y dobija strukturu vektorskog prostora. Na X Y možemo definisati i normu na sljedeći način (x,y) = x + y, (x,y) X Y, u odnosu na koju je X Y Banachov prostor (pokazati ove dvije tvrdnje!). Definicija 3.4.1. Neka je A : X Y linearan operator. Skup nazivamo grafom operatora A. G A = {(x,ax) x D A } X Y, Definicija 3.4.2. Neka su X i Y Banachovi prostori i neka je A : X Y linearan operator. Kažemo da je A zatvoren operator ako i samo ako je G A zatvoren skup u X Y. U gornjoj definiciji pod zatvorenošću skupa G A se podrazumijeva zatvorenost skupa u odnosu na jaku topologiju na X Y, indukovanu definisanom normom na tom prostoru. Teorem 3.4.1. Linearan operator A koji slika Banachov prostor X u Banachov prostor Y je zatvoren ako i samo ako iz 1. x n x 0 (n ), (x n ) n N D A i 2. Ax n y 0, slijedi x 0 D A i Ax 0 = y 0. 88
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU Dokaz : Dokaz ostavljen čitaocu za vježbu! Definicija 3.4.3. Neka su A,B : X Y linearni operatori. Za operator B kažemo da je proširenje operatora A, u oznaci A B, ako i samo ako je G A G B. Za linearan operator A kažemo da dopušta zatvorenje ako postoji zatvoren operator A 1, takav da je A A 1. Operator A 1 nazivamo zatvorenjem operatora A. Ako za proizvoljno drugo zatvorenje A 2 operatora A, vrijedi A 1 A 2, za A 1 kažemo da je minimalno zatvorenje operatora A. Teorem 3.4.2. Da bi linearan operator A : X Y dopuštao zatvorenje neophodno je i dovoljno da zatvorenje G A grafika G A ne sadrži elemente oblika (0,y) za y 0. Dokaz : Neka operator A dopušta zatvorenje i neka je A 1 njegovo proizvoljno zatvorenje. To znači da je G A G A1 i G A1 je zatvoren skup. Zbog toga je onda G A G A1 = G A1. Neka je sada (0,y) G A. Tada je (0,y) G A1, te je 0 D A1 i A 1 0 = y. Kako je A 1 linearan operator to mora vrijediti A 1 0 = 0, tj. y = 0, pa G A ne sadrži elemente oblika (0,y), gdje je y 0. Pretpostavimo sada da G A ne sadrži elemente oblika (0,y), y 0. Označimo sa D A = { x X ( y Y ) (x,y) G A }. Skup D A je linearan vektorski prostor. Zaista, G A je linearan jer je on zatvorenje linearnog prostora G A. Neka su sada x 1,x 2 D A. Tada postoje y 1,y 2 Y, takvi da je (x 1,y 1 ),(x 2,y 2 ) G A. Zbog linearnosti G A, tada je (x 1,y 1 ) + (x 2,y 2 ) = (x 1 + x 2,y 1 + y 2 ) G A, a ovo opet znači da je x 1 + x 2 D A. Neka je x D A i λ Φ. Tada postoji y Y, takav da je (x,y) G A, te opet imamo da je λ(x,y) = (λx,λy) G A. Dakle, λx D A. Sada tvrdimo da za svako x D A postoji tačno jedno y Y, tako da je (x,y) G A. Zaista, da bar jedan y postoji, imamo na osnovu definicije skupa D A. Pretpostavimo da postoje dva, tj. (x,y),(x,y ) G A. Zbog linearnosti skupa G A, vrijedi (x,y) (x,y ) = (0,y y ) G A, a zbog polazne pretpostavke zaključujemo da mora biti y = y. Za proizvoljan x D A, označimo sa y = Ax onaj postojeći jedinstveni y Y. Na taj način smo definisali novo preslikavanje A, za koga je domen 89
3.4. Zatvoreni operator očigledno, upravo skup D A. Lahko se pokazuje da je A linearan operator, a takode i to da je graf G A operatora A, upravo G A. Onda je G A zatvoren skup, a time je A zatvoren operator. Kako je očigledno G A G A = G A, jasno je da je A zatvorenje operatora A. Šta više, neka je A 1 bilo koje zatvorenje operatora A, tj. G A G A1, onda je G A = G A G A1 = G A1, a ovo znači da je A A 1, odnosno A je minimalno zatvorenje operatora A. Gornji teorem se može iskazati i u sljedećoj formi Teorem 3.4.3. Da bi linearan operator A : X Y dopuštao zatvorenje potrebno je i dovoljno da ako vrijedi x n 0 (n, x n D A ) i Ax n y (n ), onda mora biti y = 0. Ovaj oblik teorema nam daje način kako ćemo izvršiti zatvaranje operatora ako je to moguće. Naime, ako je gornji uslov ispunjen, onda definišemo operator A tako da mu je domen skup D A, svih x X za koje postoji niz (x n ) n N D A, tako da vrijedi gdje je y Y, takav da je x n x, Ax n y, (n ), Ax = y = lim n Ax n. Naravno, ostaje da vidimo kakva je veza izmedu neprekidnosti i zatvorenosti operatora. U dosadašnjim izlaganjima uglavnom smo posmatrali neprekidne operatore. Medutim, i najjednostavniji primjeri (u primjenama česti) operatora nisu neprekidni. Primjer 3.5. Neka je M l, skup svih nizova iz l koji imaju samo konačno mnogo koordinata različitih od nula i neka je A : M l, zadat sa x = (x 1,x 2,...,x n,0,0,...) M, Ax = (0,x 1,x 2,...,x n,0,0,...). A je linearan operator za koga je za proizvoljno x M Ax = x k k=1 x k = x, tj. vrijedi A 1. Dakle, A je neprekidan operator. Medutim, posmatramo li niz (x n ) n N M, gdje je x n = ( 1 2, 1 2,..., 1 2 2,0,...) n (n N), jasno je da x n x 0 = ( 1 2, 1 2,..., 1 2 2,...) (n ), ali x n 0 / M, pa A nije zatvoren operator. k=1 90
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU Gornji primjer nam pokazuje da neprekidnost linearnog operatora ne povlači njegovu zatvorenost. Zato iskažimo sljedeću tvrdnju, čiji dokaz je ostavljen čitaocu za vježbu. Teorem 3.4.4. Da bi neprekidan linearan operator bio zatvoren, potrebno je i dovoljno da je on definisan na potprostoru Banachovog prostora. I sljedeća jednostavna tvrdnja ostavljena je čitaocu za vježbu. Teorem 3.4.5. Ako je linearan operator A zatvoren i ako postoji inverzni operator A 1, tada je i A 1 zatvoren operator. Sljedeći primjer nam daje preslikavanje koje jeste zatvoreno ali nije neprekidno. Primjer 3.6. Posmatrajmo operator d dx : C1 [0,1] C[0,1], zadat sa d dx f(x) = f (x). Za posmatrani operator diferenciranja se lahko pokazuje da je on linearan operator. Medutim, ako posmatramo niz (f n (x)) n N C 1 [0,1], gdje je f n (x) = x n, imamo d dx f n(x) = nx n 1 C[0,1] = n, n N. Iz ovoga je očigledno da operator diferenciranja nije ograničen operator. Neka je (g n (x)) n N C 1 [0,1] proizvoljan niz, takav da g n g 0 i dg n dx φ, n, druga od ovih pretpostavki znači da niz izvoda (g n) n N uniformno konvergira ka funkciji φ (po metrici prostora C[0,1]). Sada za proizvoljno x [0,1] imamo x x dg n φ(t)dt = lim n dt (t)dt 0 Dakle, 0 = lim n x 0 = lim n (g n(x) g n (0)) = g 0 (x) g 0 (0). g 0 (x) = g 0 (0) + dg n (t)dt ( zbog uniformne konvergencije ) dt x 0 φ(t)dt, x [0,1]. Funkcija φ C[0, 1] jer je ona kao granična vrijednost uniformno konvergentnog niza neprekidnih funkcija i sama neprekidna. To nam onda gornja jednakost daje da je g 0 C 1 [0,1], a osim toga jasno je da vrijedi dg 0 dx = φ na [0,1]. Ostaje nam pozvati se na Teorem 3.4.1 i konstatovati zatvorenost operatora. 91
3.4. Zatvoreni operator Sljedeći teorem nam govori pod kojim uslovima će zatvoren operator biti ograničen i poznat je pod nazivom Banachov teorem o zatvorenom grafiku. Teorem 3.4.6. Neka je A zatvoren linearan operator koji preslikava Banachov prostor X u Banachov prostor Y. Ako je skup D A skup druge kategorije u X, onda vrijedi D A = X i A je neprekidan operator. Dokaz : Za proizvoljan n N, posmatrajmo skupove X n = {x D A Ax n x }. Jasno je da vrijedi D A = n NX n. Kako je po pretpostavci D A skup druge kategorije u X, postoji X n0 koji je gust u nekoj kugli K(x 0,r) (r > 0). Neka je sada K(x 1,r 1 ), takva da je K(x 1,r 1 ) K(x 0,r), pri čemu je x 1 X n0. Neka je ε > 0 proizvoljan (bez umanjenja opštosti pretpostavimo da je ε < r 1 2 ). Ako je y X, takav da je y = r 1, tada je y + x 1 K(x 1,r 1 ). Kako je X n0 gust u K(x 1,r 1 ), postoji z X n0, takav da je x 1 + y z < ε. S druge strane imamo z = (z x 1 y) + (x 1 + y) z x 1 y + x 1 + y ε + x 1 + y r 1 2 + x 1 + r 1 < 2r 1 + x 1. Takode vrijedi z x 1 = (z x 1 y) + y y z x 1 y > r 1 ε r 1 2. Kako su x 1,z X n0 D A, tada i z x 1 D A, pa vrijedi A(z x 1 ) Ax 1 + Az n 0 x 1 + n 0 z = n 0 ( x 1 + z ). Iz svega ovoga zaključujemo A(z x 1 ) n 0 ( x 1 + z ) 2n 0 (r 1 + x 1 ) = 2n 0(r 1 + x 1 ) r 12 r 1 2 4n 0(r 1 + x 1 ) r 1 z x 1. 92
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU Označimo sa n 1 prvi prirodan broj koji nije manji od 4n 0(r+ x 1 ) r 1. Posljednju nejednakost onda zapisujemo sa A(z x 1 ) n 1 z x 1, a ovo znači da z x 1 X n1. Dakle, pokazali smo da za svako y X, y = r 1, postoji element iz X n1 (to je upravo element z x 1 ), koji proizvoljno dobro aproksimira element y. Ako je sada y K(0,r 1 ), tj. neka je y r 1, onda za element y 1 = r 1 y y, vrijedi y 1 = r 1, pa prema dokazanom, postoji z 1 X n1, takav da je za proizvoljno ε > 0 y 1 z 1 < ε. Ovo onda znači y y z 1 r 1 < y ε ε r 1 (jer y r 1 1), a zbog homogenosti skupova X n (tj. ako x X n, onda i λx X n, za proizvoljno λ Φ) onda imamo da je za z 1 X n1, element z = y r 1 z 1 X n1, pa zaključujemo da proizvoljan y K(0,r 1 ) možemo proizvoljno dobro aproksimirati elementom z X n1 odnosno, X n1 je gust u kugli K(0,r 1 ). Pokažimo sada da je K(0,r 1 ) D A. Zaista, neka je x K(0,r 1 ) proizvoljan. Kako je X n1 gust u K(0,r 1 ), postoji y 1 X n1, takav da vrijedi x y 1 < r 1 2. Ovo znači da je x y 1 K(0,r 1 ), pa opet postoji y 2 X n1, takav da je x y 1 y 2 < r 1 2 2. Ako ovaj postupak produžimo, dobijamo niz (y k ) k N X n1 za koga je x (y 1 + y 2 + + y k ) < r 1 2 k, k N. Označimo sa z k = y 1 + y 2 + + y k, k N. Kako y i X n1 D A (i N), tada i z k D A, a osim toga vrijedi Takode imamo z k x, k. y k = (y k + y k 1 + + y 1 x) + (x y 1 + y 2 + + y k 1 ) r 1 2 k + r 1 r 1 < 2 k 2. 2 k 1 93
3.4. Zatvoreni operator Neka su sada m, n N, n > m proizvoljni. Tada imamo Az n Az m = A(z n z m ) = A(y n + y n 1 + + y m+1 ) Ay n + Ay n 1 + + Ay m+1 n 1 ( y n + y n 1 + + y m+1 ) ( r1 < n 1 2 n 2 + r 1 2 n 3 + + r ) 1 2 m 1 = r ( 1n 1 2 m 1 1 + 1 ) 2 + + 1 2 n m 1 < r 1n 1 2 m 1. Iz gornjeg zaključujemo da vrijedi Az n Az m 0, n,m, a ovo znači da je (Az n ) n N Cauchyjev niz u Y i zbog potpunosti prostora Y, on je i konvergentan. Neka je granična vrijednost tog niza element y. Tada imamo za niz (z k ) k N D A z k x, k Az k y, k, pa zbog zatvorenosti operatora zaključujemo da x D A i Ax = y, tj. pokazali smo da je K(0,r 1 ) D A. Opet na osnovu homogenosti skupa imamo da je za proizvoljno n N, skup nk(0,r 1 ) D A, a kako je X = n NnK(0,r 1 ), imamo da je X D A, tj. mora vrijediti X = D A. Ostaje nam još pokazati ograničenost operatora A. Vidjeli smo da za proizvoljno x K(0,r 1 ), postoji niz (z k ) k N, z k = y 1 + y 2 + y k (y i X n1, i N, y k < r 1 2 k 2 ), koji konvergira ka x i za koga je Ax = lim n Az n. Odavde je Ax lim n Az n, i pri tome je Az n n 1 ( y 1 + y 2 + + y n ) < 4r 1 n 1. Neka je sada x X proizvoljan. Tada r 1 x x K(0,r 1), pa je na osnovu pokazanog zadovoljeno ( ) A r1 x x < 4n 1 r 1, 94
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU tj. vrijedi Ax 4n 1 x. Ovo znači da je operator A ograničen, a time je teorem dokazan. Sljedeća tvrdnja je direktna posljedica gornje teoreme jer je X kao Banachov prostor, skup druge kategorije u sebi. Posljedica 3.4.7. Ako je A zatvoren linearan operator definisan na cijelom Banachovom prostoru X, onda je A neprekidan operator. Sljedeću tvrdnju nećemo dokazivati ali se preporučuje čitaocu da je analizom uporedi sa ranije spomenutom teoremom o otvorenom preslikavanju jer se u literaturi često i ovaj teorem naziva teorem o otvorenom preslikavanju. Teorem 3.4.8. Neka je A zatvoren linearan operator koji slika Banachov prostor X u Banachov prostor Y. Neka je R A skup druge kategorije u Y, onda vrijedi 1. R A = Y. 2. Postoji konstanta m > 0, takva da za svako y Y, postoji x X, takav da je Ax = y i y m x. 3. Ako A 1 postoji, onda je i on ograničen operator. 95
4 Linearni funkcionali 4.1 Geometrijski smisao linearnih funkcionala... 97 4.2 Hahn-Banachov teorem............... 101 4.3 Reprezentacije ograničenih linearnih funkcionala 108 4.3.1 Konačnodimenzionalni prostori........... 108 4.3.2 Reprezentacije na Banachovim prostorima..... 110 4.4 Konjugovani prostori i refleksivnost....... 125 4.5 Konjugovani operator................ 131 4.6 Spektar linearnog operatora............ 135 4.7 Kompaktni operatori................ 143 Posmatrajući operatore, mi smo ustvari posmatrali preslikavanja sa proizvoljnog protora X u proizvoljan prostor Y. Ukoliko prostor Y nije proizvoljan, preciznije, ukoliko je Y = R ili Y = C, onda takvim operatorima dajemo poseban naziv. Neka je X proizvoljan linearan prostor. Preslikavanje f : X R (C) nazivamo funkcional. Dakle, fukcionali su specijalni operatori, pa sve iskazano o operatorima vrijedi i za funkcionale. Tako, za funkcional f : X R (C) kažemo da je aditivan, ako za proizvoljne x,y X vrijedi a ako i za proizvoljan λ Φ vrijedi f(x + y) = f(x) + f(y), f(λx) = λf(x), kažemo da je funkcional homogen. Za homogen i aditivan funkcional jednostavno kažemo da je linearan funkcional. I normu funkcionala definišemo kao normu operatora, stim da normu u kodomenu zamjenjujemo sa modulom, tj. f = f(x) f(x) sup = sup = sup f(x). x X\{0} x x 1 x x =1 Neki primjeri funkcionala su: Neka je a = (a 1,a 2,...,a n ) R n proizvoljan. Tada je sa f(x) = a i x i, x = (x 1,x 2,...,x n ), 96
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU definisan linearan funkcional f : R n R. Posmatramo li prostor C[a,b], tada je sa f(x) = b a x(t)dt, definisan linearan funkcional f : C[a,b] R. Za fiksirano t 0 [a,b], sa g(x) = x(t 0 ) je takode definisan linearan funkcional na C[a,b]. Na prostoru l p (1 p + ) primjer linearnog funkcionala je f(x) = x k, x = (x 1,x 2,...,x k,...). Skup svih linearnih neprekidnih funkcionala, definisanih na normiranom linearnom vektorskom prostoru X, označavamo sa X. Dake, saglasno odgovarajućem skupu za operatore imamo X = L(X,Φ). Na osnovu Teorema 3.1.8, prostor X je Banachov prostor jer je Φ takav, i nazivamo ga dualni, adjungovani ili konjugovani prostor prostora X. 4.1 Geometrijski smisao linearnih funkcionala Neka je f : X R proizvoljan linearan funkcional na linearnom prostoru X. Posmatrajmo sve elemenata x X koji zadovoljavaju f(x) = 0. Skup svih ovakvih x X nazivamo jezgro funkcionala f i označavamo ga sa Ker(f) = {x X f(x) = 0}. Jezgro funkcionala je vektorski potprostor prostora X. Zaista, za x, y Ker(f) i za proizvoljne λ,µ Φ imamo f(λx + µy) = λf(x) + µf(y) = 0. Medutim, jezgro funkcionala ne mora biti potprostor prostora X, tj. on nije obavezno zatvoren skup. Šta više, vrijedi Teorem 4.1.1. Neka je X normiran prostor i f linearan funkcional na X. f je ograničen ako i samo ako je Ker(f) zatvoren skup. Dokaz : Neka je f ograničen, dakle neprekidan, funkcional i neka je (x n ) n N Ker(f), takav da x n x (n ). Tada vrijedi f(x) = f( lim n x n) = lim n f(x n) = 0, 97
4.1. Geometrijski smisao linearnih funkcionala tj. x Ker(f). Obratno, neka je Ker(f) zatvoren skup. Ako je Ker(f) = X, to znači da je f funkcional identički jednak 0, a kao takav je i ograničen. Pretpostavimo zato da je Ker(f) X, tj. postoji x 0 X \ Ker(f). Zbog zatvorenosti jezgra, postoji r > 0, takav da B(x 0,r) Ker(f) =. Ne umanjujući x 0 f(x 0 ) opštost, neka je f(x 0 ) = 1 (inače bi umjesto x 0 posmatrali ). Neka je sada x X proizvoljan, takav da x / Ker(f). Kako je f(x) 0, onda je a to opet znači da x f(x) + x 0 Ker(f), x f(x) + x 0 / B(x 0,r). Ova činjenica znači da je ( x ) f(x) + x 0 x 0 r, tj. Odavde sada imamo da vrijedi x f(x) r. f(x) 1 r x, za svako x / Ker(f), a kako ova nejednakost vrijedi trivijalno i za elemente jezgra, zaključujemo da je f ograničen funkcional. Posljedica 4.1.2. Neka je f linearan funkcional na normiranom prostoru X. f je neograničen funkcional ako i samo ako Ker(f) je pravi podskup od X i svuda gust u X. Lema 4.1.3. Neka je f proizvoljan netrivijalan linearan funkcional na linearnom vektorskom prostoru X. Kodimenzija potprostora Ker(f) jednaka je 1. Dokaz : Neka je x 0 X, takav da x 0 / Ker(f), tj. f(x 0 ) 0 (takav postoji jer je f netrivijalan). Bez umanjenja opštosti, pretpostavimo da je x f(x 0 ) = 1 (u suprotnom bi posmatrali element 0 f(x 0 )). Za proizvoljan x X, označimo sa y = x f(x)x 0. Kako je f(y) = f(x f(x)x 0 ) = f(x) f(x)f(x 0 ) = 0, jasno y Ker(f). Dakle, za proizvoljan x X imamo x = αx 0 + y, gdje je y Ker(f). 98
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU Tvrdimo sada da je gornja reprezentacija elementa x jedinstvena. Zaista, ako bi bilo x = α 1 x 0 + y 1 i x = α 2 x 0 + y 2, y 1,y 2 Ker(f), oduzimanjem ove dvije jednakosti bi dobili (α 1 α 2 )x 0 = y 2 y 1. Ako je sada α 1 = α 2, moralo bi biti i y 1 = y 2. U suprotnom, ako bi bilo α 1 α 2, tada bi onda imali x 0 = y 2 y 1 α 1 α 2 Ker(f), a to protivriječi izboru elementa x 0. Dakle, reprezentacija je jedinstvena. Neka su sada x 1,x 2 X. Tada vrijedi Tada je x 1 = f(x 1 )x 0 + y 1, y 1 Ker(f), x 2 = f(x 2 )x 0 + y 2, y 2 Ker(f). x 1 x 2 = (f(x 1 ) f(x 2 ))x 0 + (y 1 y 2 ). Iz ovoga sada vidimo da će x 1 x 2 Ker(f) ako i samo ako je f(x 1 ) f(x 2 ) = 0, tj. x 1 i x 2 pripadaju istoj klasi ekvivalencije količničkog prostora X/Ker(f) ako i samo ako je f(x 1 ) = f(x 2 ). Označimo sa ξ 0 onu klasu ekvivalencije koja sadrži element x 0. Ako je sada ξ proizvoljna klasa ekvivalencije, ona je odredena bilo kojim svojim predstavnikom, a na osnovu gornjeg, za predstavnika možemo izabrati upravo elemet αx 0. Ovo opet znači da vrijedi ξ = αξ 0, za proizvoljnu klasu ekvivalencije, a to ne znači ništa drugo nego da je dimenzija količničkog prostora X/Ker(f) jednaka 1. Ukoliko dva funkcionala imaju ista jezgra, onda su oni proporcionalni. Zaista, neka za linearne funkcionale f i g vrijedi Ker(f) = Ker(g). Neka je x 0 takav da je f(x 0 ) = 1. Tada na osnovu dokaza gornje leme imamo za proizvoljno x x = f(x)x 0 + y, y Ker(f) = Ker(g). Djelujmo funkcionalom g na x, dobijamo g(x) = f(x)g(x 0 ) + g(y) = f(x)g(x 0 ). Ako bi sada imali da je g(x 0 ) = 0, to bi značilo da je funkcional g identički jednak nuli, ali onda bi zbog jednakosti jezgara i funkcional f bio identički jednak nuli, što nije moguće zbog izbora elementa x 0. Dakle g(x 0 ) 0, a to onda znači g(x) f(x) = g(x 0), za proizvoljno x. 99
4.1. Geometrijski smisao linearnih funkcionala Lema 4.1.4. Neka je X linearan vektorski prostor i L njegov potprostor kodimenzije 1. Tada postoji linearan funkcional na X, takav da je Ker(f) = L. Dokaz : Kako je kodimenzija od L u X jednaka 1, to se svaki x X može predstaviti na jedinstven način u obliku x = αx 0 + y ; α Φ, x 0 X, y L. Definišimo sada funkcional f : X R, sa f(x) = α. Jednostavno se sada pokazuje da vrijedi Ker(f) = L. Neka je L potprostor prostora X, kodimenzije 1. Tada L predstavlja hiperpovrš u prostoru X. Medutim, svaka klasa ekvivalencije iz X/L takode predstavlja hiperpovrš datog prostora i to paralelnu potprostoru L. Pri tome pod paralelnošću ovdje podrazumijevamo da se svaka od tih klasa može dobiti paralelnim pomjeranjem ili translacijom potprostora L za neki vektor x 0 X, ξ X/L, ξ = L + x 0 = {y y = x + x 0, x L}. Ako je x 0 L, tada je ξ = L, u suprotnom, jasno je da ako x 0 / L, da je ξ L. Lema 4.1.5. Neka je f proizvoljan netrivijalan linearan funkcional na X. Tada je skup H = {x X f(x) = 1}, hiperpovrš u prostoru X, šta više, paralelna je potprostoru Ker(f). Dokaz : Kao što smo vidjeli, Ker(f) zaista jeste potprostor od X i pri tome mu je kodimenzija 1, te je i hiperpovrš. Neka je sada y H proizvoljan, tj. f(y) = 1. Kako se svaki vektor x X može predstaviti na jedinstven način sa x = αx 0 + y, α Φ, y Ker(f), (za neko x 0 X) to isto će vrijediti i za element y, tj. postoje jedinstveni α Φ i y Ker(f), takvi da je y = α x 0 + y. Kako je zaključujemo da mora biti f(y) = α f(x 0 ) + f(y ) = α f(x 0 ) = 1, α = 1 f(x 0 ), a to daje da se proizvoljan vektor y H, može predstaviti u obliku y = x 0 f(x 0 ) + y, y Ker(f). 100
UVOD U FUNKCIONALNU ANALIZU Ovo ne znači ništa drugo nego da je kodimenzija od H u X jednaka 1, tj. H je hiperpovrš, a osim toga iz posljednje jednakosti zaključujemo da vrijedi H = Ker(f) + x 0 f(x 0 ). Šta više, vrijedi i obrat ovog tvrdenja. Lema 4.1.6. Neka je H proizvoljna hiperpovrš u prostoru X, paralelna potprostoru L X. Tada postoji jedinstven linearan funkcional f na X, takav da je H = {x X f(x) = 1}. Dokaz : Neka je za neko x 0 X, M = L+x 0. Tada se svaki vektor x X može na jednoznačan način predstaviti u obliku x = αx 0 + y, y L. Stavljajući da je f(x) = α, dobijamo traženi funkcional jer će u tom slučaju hiperpovrš biti odredena sa f(x) = 1. Ako bi postojao i funkcional g na X, takav da je za x H, g(x) = 1, tada bi moralo biti g(y) = 0, za y L, a to bi zbog g(αx 0 + y) = α = f(αx 0 + y), značilo poklapanje funkcionala. Sa ove dvije leme smo uspostavili obostrano jednoznačno pridruživanje izmedu svih hiperpovrši posmatranog prostora X i na njemu definisanih funkcionala, sa čime smo onda dobili i geometrijsku interpretaciju linearnih funkcionala 4.2 Hahn-Banachov teorem U svakom Banachovom prostoru preslikavanje identički jednako nuli, predstavlja jedan ograničen linearan funkcional. Postavlja se pitanje, da li postoje i drugi, netrivijalni funkcionali na proizvoljnom Banachovom prostoru? Ako postoje, mogu li im se unaprijed pripisati, i u kojoj mjeri, izvjesne osobine? Specijalno, postoji li ograničen linearan funkcional jednak nuli na nekom pravom potprostoru Banachovog prostora, a da pri tome ne isčezava na čitavom prostoru? Na sva ova pitanja egzistencije, odgovor nam daje Hahn-Banachov teorem o produženju linearnog ograničenog funkcionala. Bez ovog teorema, današnja funkcionalna analiza bi bila sasvim drugačija. Prve rezultate vezane za ovaj teorem dali su Riesz i Helly na samom početku dvadesetog vijeka, a Hahn i Banach će ga 1920. godine postaviti i dokazati u današnjem obliku (za realan slučaj), neovisno jedan od drugog. 101
4.2. Hahn-Banachov teorem Po svojoj eleganciji i jačini, Hahn-Banachov teorem je omiljen u matematičkim krugovima. Neki od nadimaka ovog teorema su Analitička forma aksioma izbora i Krunski dragulj funkcionalne analize. Neophodan je alat u funkcionalnoj analizi, ali i u drugim oblastima matematike, kao što su teorija upravljanja, konveksno programiranje, teorija igara, neophodan je u dokazu egzistencije Greenove funkcije, u formulaciji termodinamike i sl. Teorem 4.2.1 (Hahn-Banachov teorem, realan slučaj). Neka je X realan Banachov prostor i neka je L lineal u X. Neka je na L definisan ograničen linearan funkcional f. Tada postoji ograničen linearan funkcional f, definisan na cijelom X, takav da vrijedi ( x L) f (x) = f(x) i f = f. Dokaz : Neka je na L definisan ograničen linearan funkcional f. Slučaj L = X je trivijalan, zato pretpostavimo da je L pravi potprostor od X. Tada postoji x 0 X, takav da x 0 / L. Označimo sa L 0 lineal generisan elementom x 0, tj. L 0 = {x X x = λx 0, λ R}. Neka je sada L 1 = L L 0, koji je zbog konačne dimenzije lineala L 0, takode potprostor od X. Pokažimo kao prvo da se naš funkcional može produžiti na L 1, bez promjene norme. Zbog direktne sume, svaki se element x L 1 može na jedinstven način zapisati u obliku x = l + λx 0, l L, λ R. (Za svako x, λ i l su jedinstveno odredeni.) Ne gubeći na opštosti, pretpostavimo da je f = 1. Tada za proizvoljne x,y L imamo f(x y) f(x y) f x y = x y = x x 0 + x 0 y x x 0 + x 0 y. Zbog linearnosti funkcionala, tj. f(x y) = f(x) f(y), iz gornjeg zaključujemo da vrijedi f(x) x x 0 f(y) + x 0 y. Odavde, uzimajući prvo supremum lijeve strane, a onda infimum desne, dobijamo da vrijedi sup {f(x) x x 0 x L} inf {f(y) + x 0 y y L}. 102