Koordinatni sustav u ravnini Koordinatni sustav u ravnini Funkcija 4.
1. Koordinatni sustav u ravnini..................... Uvod U drugom smo poglavlju opisali koordinatni sustav na pravcu. Pridruživanjem ishodištu O koordinate 0 i jediničnoj točki E koordinate 1 uspostavili smo vezu između točaka pravca i elemenata skupa realnih brojeva. Pravac na kojem je uveden koordinatni sustav nazvali smo brojevnim pravcem. Svakoj točki brojevnog pravca pridružen je jedan broj pa kažemo da točka brojevnog pravca ima jednu koordinatu koju nazivamo apscisom točke. slika 1 Na slici 1 nacrtana je mreža paralela i meridijana. Pomoću nje moguće je svakom mjestu (položaju) na površini Zemlje pridružiti uređeni par realnih brojeva: geografsku širinu i geografsku duljinu koji u potpunosti određuju položaj točke na Zemlji. Koordinatni sustav u ravnini Neka je x brojevni pravac određen ishodištem O i jediničnom točkom E. Neka je y drugi brojevni pravac čije je ishodište ista točka O. Njegovu jediničnu točku označimo s F. Neka je pravac y okomit na pravac x i to tako da točka F bude iznad točke O. Uobičajeno je da su jedinične dužine na brojevnim pravcima sukladne, tj. da su im duljine jednake. Tako smo konstruirali pravokutni koordinatni sustav u 144
ravnini (slika ) koji ćemo označavati s xoy. Koordinatni sustav definiran pomoću ishodišta O i jediničnih dužina OE i OF obilježavamo (O, OE, OF ). Brojevne pravce x i y nazivamo koordinatnim osima. Pravac x prva je koordinatna os, x-os ili os apscisa. Pravac y druga je koordinatna os, y-os ili os ordinata. Točku O nazivamo ishodištem koordinatnog sustava u ravnini. slika slika 3 Točkom T koordinatne ravnine xoy povucimo pravce usporedne s koordinatnim osima. Sjecište T 1 (a) pravca usporednog s osi ordinata i osi apscisa predstavlja ortogonalnu projekciju točke T na os apscisa, a sjecište T (b) pravca usporednog s osi apscisa i osi ordinata predstavlja ortogonalnu projekciju točke T na os ordinata. Kažemo da je a apscisa ili prva koordinata, a b ordinata ili druga koordinata točke T i pišemo T(a, b) ili T = (a, b). Uočimo da smo točki T koordinatne ravnine pridružili uređeni par realnih brojeva (a, b) (slika 3). Uređenom paru realnih brojeva (a, b) možemo pridružiti točku T koordinatne ravnine xoy. Naime, povučemo li okomicu na x-os točkom T 1 (a) i okomicu na y-os točkom T (b), sjecište tih okomica upravo je točka T kojoj je a apscisa, a b ordinata. Brojeve a i b nazivamo koordinatama točke T. Zaključimo: 1. Svakoj točki T koordinatne ravnine xoy pridružen je jedan i samo jedan uređeni par realnih brojeva (a, b).. Svakom uređenom paru realnih brojeva (a, b) pridružena je jedna i samo jedna točka koordinatne ravnine xoy. 145
Primjer 1 Na slici 4 nacrtan je koordinatni sustav u ravnini i u njemu točke A(4, 0), B(3, 1), C(0, ), D( 1, 3), G(, 0), H( 3, ), I(0, 4), J(3, 3). slika 4 Koordinatne osi dijele koordinatnu ravninu na četiri dijela (kvadranta) (slika 5). Neka je T(x, y) točka u ravnini. Ako je x > 0 i y > 0, onda točka T pripada prvom kvadrantu, x < 0 i y > 0, onda točka T pripada drugom kvadrantu, x < 0 i y < 0, onda točka T pripada trećem kvadrantu, x > 0 i y < 0, onda točka T pripada četvrtom kvadrantu. slika 5 146
. Funkcija........................................ Promatrajmo dva neprazna skupa. Postupak (preslikavanje) kojim se svakom elementu jednog skupa pridružuje po jedan element drugog skupa nazivamo funkcijom. slika 6 Na slici 6 predočena je funkcija f koja elementima skupa A pridružuju elemente skupa B, što zapisujemo ovako: f : A B. Skup čije elemente preslikavamo nazivamo domenom ili područjem definicije funkcije (oznaka: D(f )), a element tog skupa nazivamo argumentom ili nezavisnom varijablom (veličinom) funkcije f. Skup u koji preslikavamo zovemo kodomenom ili područjem vrijednosti funkcije (oznaka: K(f )), a element tog skupa nazivamo vrijednošću funkcije f ili zavisnom varijablom (veličinom). Ako funkcija f : A b elementu domene x A pridružuje element kodomene y B, to zapisujemo ovako: y = f (x). Za funkciju f sa slike 6 skup A je domena, a skup b kodomena. Važno je istaknuti dva svojstva funkcije: 1. Svi se elementi domene preslikavaju, tj. funkcija svakom elementu domene pridružuje neki element kodomene.. Elementu domene pridružen je samo jedan element kodomene, tj. ne postoji element domene koji se preslikava u dva ili više elemenata kodomene. 147
Funkciju možemo zadati na tri načina: 1. formulom, npr. Gpv kv ( ) =, 100. tablicom, npr. 3. grafom, npr. Primjer Elementima skupa A = {, 4, 5, 7} pridružimo njihove kvadrate. Rješenje Označimo zadanu funkciju oznakom f. Domena joj je skup A. Budući da je f : x x za ma koji x A, to je f : 4, f : 4 16, f : 5 5, f : 7 49. Uočimo ovdje strelice sa zaperkom, što govori da preslikavamo element, a ne skup. Ovu funkciju možemo prikazati tablicom: slika 7 148
Primjer 3 Neka je A = {, 3, 4} domena funkcije f. Neka je kodomena funkcije f podskup skupa B = {x N x 10}. Neka je funkcija f zadana formulom f (x) = x + 4. To znači da za svaki element x domene vrijedi: x x + 4. Tada je: f () = + 4 = 6, f (3) = 3 + 4 = 7 i f (5) = 5 + 4 = 9. Elementi skupa A = {, 3, 4} = D(f ) su nezavisne veličine funkcije jer u formulu, kojom je funkcija zadana, možemo uvrstiti bilo koji element skupa A, a elementi skupa {6, 7, 9} = K(f ) B su vrijednosti te funkcije. Primjer 4 Promatrajmo neki grad. Neka je S skup svih njegovih stanovnika, a A skup svih automobila s registarskom oznakom toga grada. Neka je V 1 skup svih stanovnika toga grada koji su vlasnici automobila, a V skup svih vozača, njegovih stanovnika. Promatrajmo preslikavanje f : A V 1 koje svakom automobilu pridružuje njegovog vlasnika. To preslikavanje jest funkcija. (Zašto?) Promatrajmo sada preslikavanje g : A V koje svakom automobilu pridružuje njegova vozača. To nije funkcija jer isti automobil može voziti više vozača (doduše ne istodobno). Promotrimo još preslikavanje h : S A. Ovdje je svakom stanovniku pridružen njegov automobil. Ni to nije funkcija jer postoje građani koji nemaju automobil (elementi domene koji nemaju sliku), ali možda i oni koji imaju više od jednog automobila. 149
Primjer 5 Promatrajmo funkciju s : N N koja svakom prirodnom broju pridružuje njegova slijednika, tj. s : n n +1 za proizvoljni n N. Funkcija s broju 1 pridružuje broj, broju pridružuje 3, itd. To možemo zapisati ovako: s(1) =, s() = 3, s(3) = 4, s(4) = 5 itd. Ako prirodne brojeve prikažemo kao niz točaka pravca, funkciju s možemo grafički prikazati ovako: slika 8 Uočimo da i domena i kodomena mogu imati beskonačno mnogo elemenata. Primjer 6 Neka je k : Z N 0 preslikavanje koje svaki cijeli broj preslikava u njegov kvadrat. To je funkcija koju možemo predočiti grafički kao na slici 9. slika 9 Točke istaknute na horizontalnom pravcu prikazuju cijele brojeve, a točke uspravnog pravca predočuju elemente skupa N 0. Preslikavanje broja 3 u 9 možemo obilježiti i ovako: ( 3, 9). Analogno možemo zapisati i ostale uređene parove: (, 4), ( 1, 1), (0, 0), (1, 1), (, 4), (3, 9), (4, 16) itd. Dakle, prvom elementu uređenoga para, funkcija k pridružuje drugi element toga para. 150
Primjer 7 Jednog siječanjskog dana instrument za mjerenje temperature zabilježio je sljedeći graf: slika 10 Ovdje su elementima podskupa realnih brojeva [0, 4] pridruženi realni brojevi (iznosi temperatura). S grafa možemo očitati da je temperatura u 1 sati bila 10 C, a u 17 sati 7 C. Temperatura je iznosila 5.5 c u 9 sati i u 18 sati. Funkciju kojoj je kodomena skup realnih brojeva ili neki njegov podskup nazivamo realnom funkcijom. Za funkciju kažemo da je funkcija realne varijable ako joj je domena skup realnih brojeva ili neki podskup tog skupa. Funkcija f : [0, 4] R iz prethodnog primjera realna je funkcija (jer joj je kodomena skup R) realne varijable (jer joj je domena [0, 4] podskup skupa R, tj. (f ) = [0, 4] R). Realna funkcija f : A b svakom elementu domene, x (f ) R, pridružuje broj y = f (x) pa možemo promatrati uređeni par (x, y) kojem smo u koordinatnoj ravnini pridružili točku T(x, y). Skup tako dobivenih točaka predstavlja graf funkcije f; oznaka: Γ(f ) = {(x, f (x)) : x R}. Primjer 8 Zadana je funkcija F : R R formulom F( x) = 3x 5. Koje vrijednosti ona pridružuje brojevima 3, 1,,? 3 ) i C( 31, ) grafu te funkcije? Pripadaju li točke A(, 4), B( 3, 151
Da bismo provjerili koja od zadanih točaka pripada grafu funkcije, uvrstimo apscisu svake točke umjesto x u izraz za funkciju. Ako se dobiveni broj podudara s ordinatom točke, točka leži na grafu funkcije. F()= 3 5 =7, rezultat nije 4, pa točka A ne pripada grafu. F( 3) = 3 ( 3) 5 =, rezultat je jednak ordinati točke B, pa B pripada grafu. F( 3)=3 ( 3) 5=4. I točka C pripada grafu funkcije F. Linearna funkcija Neka su k i l realni brojevi. Funkciju f : R R zadanu formulom f (x) = kx + l nazivamo linearnom funkcijom. Graf linearne funkcije jest pravac. (Naziv funkcije temelji se na latinskoj riječi linea, čije je značenje crta, pravac.) Primjer 9 1 Zadana je linearna funkcija f(x)= x 3. a) Izračunajmo f ( ), f (0) i f (4). b) Nacrtajmo graf funkcije. c) Za koliko se vrijednost funkcije promijenila ako je veličina x narasla s x 1 = na x = 10? Rješenje a) f ( ) = 1 ( ) 3= 1 3= 4, f (0)= 1 0 3=0 3= 3, f (4)= 1 4 3= 3= 1. b) c) Kako je f ( ) = 1 3=, 15 slika 11 a f (10) = 1 10 3=, vrijednost funkcije se povećala za 4.
Neka su (x 1, y 1 ) i (x 1, y ).različite točke grafa linearne funkcije f(x) = kx + l. Za njihove koordinate vrijedi: kx1+ l= y1 kx + l= y. Oduzmimo prvu jedakosti od druge: Ako je x x, slijedi: 1 kx + l kx1 l= y y1 k( x x ) = y y 1 1 y k = x y. x 1 1 Dobiveni broj nazivamo koeficijentom smjera pravca određenog točkama (x 1, y 1 ) i (x, y ). On govori o nagibu grafa linearne funkcije prema x-osi. Koeficijent smjera linearne funkcije omjer je prirasta vrijednosti funkcije i prirasta argumenta. Primjer 10 Odredi koeficijent smjera pravca određenog točkama A(, 1) i B(4, 5). Rješenje Prema posljednjoj formuli dobivamo k= 5 1 = 4 =. 4 ( ) 6 3 Uočimo: ako je x 1 = x, riječ je o pravcu okomitom na x-os koji siječe tu os u točki T(x 1, 0) (slika 1). slika 1 153
Budući da je koeficijent smjera realan broj, to može biti pozitivan ili negativan broj ili nula. Zato ćemo razmotriti sljedeća tri slučaja. 1. Pogledajmo graf linearne funkcije f (x) = kx + l predočen na slici 13. slika 13 Uočimo na grafu funkcije točku A(x 1, y 1 ). Pomičimo se po grafu funkcije f tako da apscise točaka budu sve veće dok ne dođemo u točku B(x, y ). Pritom je vrijednost funkcije porasla za y y 1. Prema tome, promjena argumenta x za x x 1, dovela je do promjene vrijednosti funkcije za y y 1, pa broj y y 1 nazivamo promjenom ili prirastom funkcije f. Broj y y 1 brojnik je razlomka kojeg smo nazvali koeficijentom smjera. Što je graf strmiji, to je prirast funkcije veći i koeficijent smjera je veći. Što je graf položeniji, prirast funkcije je manji, pa je i koeficijent smjera manji. Vrijedi i obrat: što je koeficijent smjera funkcije veći, za isti nazivnik brojnik mu je veći, a to znači da je prirast funkcije veći, a to povlači da je graf funkcije strmiji. Za linearnu funkciju s ovim svojstvom kažemo da je (strogo) rastuća. Neka su (x 1, y 1 ) i (x, y ) različite točke koje pripadaju grafu linearne funkcije takve da je x > x 1. Ako je y > y 1, linearna je funkcija (strogo) rastuća.. Pogledajmo graf linearne funkcije na slici 14. 154 slika 14
Ako se iz točke A s apscisom x 1 pomaknemo u točku B s apscisom x takvu da je x > x 1 odnosno x x 1 > 0, vrijednost funkcije smanjuje se s y 1 na y jer je y < y 1. Zato je prirast funkcije y y 1 negativan pa je i njezin koeficijent smjera negativan. Obratno: ako je koeficijent smjera linearne funkcije negativan, uz pozitivan nazivnik, brojnik će mu biti negativan, a to znači da je prirast funkcije negativan, tj. vrijednost funkcije nije porasla, nego se smanjila. Za linearnu funkciju s ovim svojstvom kažemo da je (strogo) padajuća. Neka su (x 1, y 1 ) i (x, y ) različite točke grafa linearne funkcije takve da je x > x 1. Ako je y < y 1, linearna je funkcija (strogo) padajuća. 3. Promatrajmo linearnu funkciju čiji je graf usporedan s x-osi kao na slici 15. slika 15 Krećemo li se grafom od točke s apscisom x 1 prema točki s apscisom x, vrijednost se funkcije ne mijenja, ona je konstantna. U tom je slučaju y 1 = y, odnosno y y 1 = 0 pa je koeficijent smjera jednak 0. Konstanta je, dakle, funkcija koja cijelu domenu preslikava u jedan element. y y1 Obratno, ako je k = 0, brojnik razlomka k = mora biti 0, a tada je x x1 y 1 = y, tj. funkcija niti raste niti pada. Zaključimo: Graf linearne funkcije f(x) = kx + l, k, l R, jest pravac. Ako je k > 0, funkcija raste. Ako je k = 0, graf funkcije je pravac usporedan s x-osi. Ako je k < 0, funkcija pada. 155
Primjer 11 Zadane su funkcije f (x) = x + 3, g(x) = 3x + 7, h(x) = x, k( x) = 3 x+ 1. Koja od njih ima najveći prirast? Koje su od zadanih funkcija rastuće? Nacrtajmo njihove grafove. Rješenje Funkcija najvećeg koeficijenta smjera ima najveći prirast, a to je funkcija f. Rastuće funkcije imaju pozitivan koeficijent smjera, a to su funkcije f i k. Da bismo mogli nacrtati graf linearne funkcije (pravac), potrebno je znati koordinate najmanje dviju točaka toga pravca. Prikladno je njihove koordinate zapisati tablično. Argument x odaberimo po volji, a vrijednosti funkcije izračunajmo po formuli kojom je funkcija zadana. Pokažimo to na primjeru funkcije f: f ( ) = ( ) + 3 = 1, f (0) = 0 + 3 = 3, f (1) = 1 + 3 = 5. Stavimo ove rezultate u tablicu: Iz tablice čitamo koordinate točaka grafa: (, 1), (0, 3), (1, 5). U koordinatnom sustavu nacrtajmo te točke i njima povucimo pravac (slika 16). 156 slika 16
Analogno postupamo kod crtanja grafova ostalih funkcija (slike 17, 18, 19): slika 17 slika 18 slika 19 Napomena: Zbog izbjegavanja eventualnih grešaka preporuča se odrediti (barem) tri točke grafa i njih nacrtati u koordinatnom sustavu. 157
Funkcija f (x)= k x Za realne brojeve k i l definirali smo linearnu funkciju f (x) = kx + l. Ako je k > 0 i l = 0, linearna funkcija poprima oblik f (x) = kx. Za veličine x i f (x) tada kažemo da su razmjerne (proporcionalne), a za takvu funkciju kažemo da je funkcija upravne razmjernosti (proporcionalnosti) ili, jednostavno, funkcija razmjernosti. U šestom poglavlju razmatrat ćemo primjenu upravne razmjernosti u ekonomiji i zbog tih primjena ograničili smo se na slučaj k > 0. Primjer 1 Pješak žustrim korakom prepješači 4 km za jedan sat. Prikažimo prevaljeni put pješaka kao funkciju proteklog vremena. Rješenje Za dvostruko više vremena pješak će prevaliti dvostruko dulji put. Utrostruči li se vrijeme, utrostručit će se i prevaljeni put. Tablicom to možemo iskazati ovako: Ovdje je x proteklo vrijeme (koje može biti zadano kao bilo koji realni broj), a f (x) je prevaljeni put kojeg računamo po formuli: f (x) = 4 x. Iz tablice se vidi kako se povećanjem broja x povećava i f (x) (i to četverostruko). Nacrtajmo graf ove funkcije: slika 0 Iz grafa čitamo da je funkcija rastuća, tj. povećanjem argumenta vrijednost se funkcije povećava. 158
Općenito, za svaku linearnu funkciju f (x) = kx, k > 0, povećanjem broja x, povećava se i f (x). Pritom realni broj k > 0 nazivamo koeficijentom razmjernosti (proporcionalnosti). Za dvije veličine kažemo da su upravno razmjerne ako povećanje (smanjenje) jedne od njih uzrokuje povećanje (smanjenje) druge. Za dvije veličine kažemo da su obrnuto razmjerne ako povećanje (smanjenje) jedne od njih uzrokuje smanjenje (povećanje) druge. Ovisnost obrnuto razmjernih veličina prikazuje funkcija obrnute razmjernosti f( x) = k, x gdje je k pozitivan realan broj. Ovdje su x i f (x) obrnuto razmjerne veličine, a k koeficijent obrnute razmjernosti. Napomenimo da za obrnuto razmjerne veličine vrijedi: x f (x) = k, tj. umnožak obrnuto razmjernih veličina konstantan je broj. Primjer 13 Obalu jezera duljine 4 km pješak u kondiciji prevali za 1 sat, šetaču je potrebno dva sata, a skupini djece, čiju pozornost privuku usputne zanimljivosti, neće biti dovoljno ni 4 sata. Prikažimo ovisnost vremena potrebnog za obilazak jezera o brzini gibanja. Rješenje Očigledno je da manja brzina zahtijeva veće vrijeme, a povećanjem brzine potrebno se vrijeme smanjuje. Prikažimo ovisnost vremena o brzini gibanja. Neka je x brzina, tada sljedeća tablica daje vrijednosti za potrebno vrijeme f (x): Ovdje se radi o funkciji f ( x) = 4, x > 0. Prema gornjoj tablici nacrtajmo njezin graf: x 159
slika 1 I graf pokazuje kako funkcija pada: povećanjem jedne veličine brzine x, smanjuje se druga veličina vrijeme f (x). I primjenu obrnute razmjernosti detaljnije razmatramo u šestom poglavlju. Nacrtajmo graf funkcije f( x) = 1, pri čemu veličina x nema neko određeno značenje. x Zbog toga domenu ove funkcije čine svi realni brojevi, osim nule, jer dijeljenje s nulom nije definirano. Napravimo najprije tablični prikaz te funkcije, a zatim nacrtajmo graf: 160 slika
Zadaci Koordinatni sustav u ravnini 1. U koordinatnom sustavu prikaži točke: A(3, 1), B(, 4), C( 5, 3), D(4, ), E(0, 4), F(3, 0), G( 4, 0), H(0, 5).. Odredi koordinate točaka na slici. 3. Kojem kvadrantu pripadaju točke: A(4, 5), B(3, 5), C( 3, 3), D( 4, 6)? 4. Nađi ortogonalne projekcije točaka A(1, 5), B(5, 3), C(, ), D( 4, 3) a) na x-os, b) na y-os. 5. Odredi točke simetrične točkama A( 1, 4), B( 3, 0), C(, 5), D( 4, 1), E(0, 4) a) s obzirom na x-os, b) s obzirom na y-os. Nacrtaj. 6. Zadane su točke A(1, 4), B(, 0), C(5, 5), D( 3, 1), E(0, 4), F(0, 1). Nađi svakoj od njih centralnosimetričnu točku s obzirom na ishodište. Nacrtaj. 7. Zadana je točka A(, 3) i pravac točkom A usporedan s x-osi. Koje koordinate ima točka B(5, y) ako i ona pripada tom pravcu? 8. Zadana je točka A(, 3) i pravac točkom A usporedan s y-osi. Koje koordinate ima točka B(x, 7) ako i ona pripada tom pravcu? 9. Odredi nepoznatu koordinatu točaka A( 1, y), B(x, ), C(x, 4) ako one pripadaju: a) simetrali neparnih kvadranata, b) simetrali parnih kvadranata. 10. Neka je A(, 1) rubna točka dužine AB. Odredi točku B iz prvog kvadranta ako je duljina ortogonalne projekcije dužine AB na x-os 4, a na y-osi. Koje bi koordinate imala točka B da pripada a) drugom, b) trećem, c) četvrtom kvadrantu? 161
11. Trokutu s vrhovima A(4, 1), B(3, 5), C(0, 3) odredi simetričan trokut s obzirom na a) x-os, b) y-os. Funkcija 1. Funkcija f pridružuje elementima skupa suprotne brojeve, a funkcija g elementima skupa S = 3, 1, 3,, 4 1 5 pridružuje recipročne brojeve. Prikaži funkcije f i g tablicom. 13. Zadan je skup S = {x N : x < 7} i funkcija f koja svakom parnom broju iz skupa S pridružuje upola manji broj, a svaki neparni udvostručuje. Nacrtaj graf te funkcije. 14. Zadan je skup S = {x z : 3 x 4} i funkcija f koja svakom negativnom broju iz skupa S pridružuje suprotni broj, a svakom nenegativnom pridružuje 1. Nacrtaj graf te funkcije. 15. Graf prikazuje srednje mjesečne temperature zraka u Ogulinu 1996. Prikaži ovu funkciju tablicom. 16. U tablici su navedene količine oborina u Slavonskom Brodu 005. Prikaži funkciju grafički. 17. Funkcija f pridružuje svakom parnom broju između 1 i 13 njegov kvadrat. a) Izračunaj f (4), f (5) i f (1). b) Odredi domenu funkcije f. c) Zapiši funkciju jednadžbom. d) Prikaži funkciju tablicom. e) Prikaži funkciju grafički. 16
18. Funkcija f pridružuje svakom prirodnom broju zbroj njegovih znamenaka. a) Izračunaj f (47), f (547), f (111). b) Kojim brojevima manjim od 1000 funkcija pridružuje broj 4? 19. Funkcija f pridružuje svakom parnom broju između 6 i 6 njegovu dvostruku vrijednost. a) Izračunaj f ( 4), f (4), f (0). b) Nacrtaj graf funkcije. 0. Nacrtaj graf funkcije f koja svakom prirodnom broju pridružuje ostatak dijeljenja s 5. Odredi područje vrijednosti te funkcije. 1. Prikaži tablicom funkciju f (x) = 3x 1 u intervalu od do s korakom 1, tj. povećavajući vrijednost veličini x za 1.. Odredi linearnu funkciju f (x) = kx + l iz njezina tabličnog prikaza: a) b) c) d) 3. Dopuni tablice linearnih funkcija: a) b) c) d) 4. Zadana je funkcija sa R R. Prikaži je tablicom ako je: a) f : x 4x na intervalu od 1 do 5 s korakom, b) g : x 4x 1 na intervalu od 1 do 3 s korakom 1, c) h : x x 1 na intervalu od 8 do 8 s korakom 4. 163
5. Napiši linearnu funkciju f (x) = kx + l ako je zadano: a) k = 3, l = 1, b) k =, l = 3, c) k = 1, l = 0. Nacrtaj graf dobivene funkcije i odredi sjecište grafa s osi ordinata. 6. Nacrtaj graf funkcije: a) f (x) = x +, b) f (x) = x + 1, c) f (x) = 3x + 4, d) f (x) = 3x +, e) f (x) = 4x +, f ) f( x) = 3 x. 4 7. Napiši linearnu funkciju f (x) = x + l ako njezin graf sadrži točku: a) T(, 3), b) T(4, 1), c) T(1, 1 ). Nacrtaj graf dobivene funkcije. 8. Napiši linearnu funkciju f (x) = kx + 4 ako njezin graf sadrži točku: a) T(1, 3), b) T(4, 8), c) T( 1, 0). Nacrtaj graf dobivene funkcije. 9. Odredi sjecišta grafa funkcije s osi apscisa: a) f (x) = x + 4, b) f (x) = x 4, c) f (x) = 3 x + 6, d) f (x) = x + 1. 30. Odredi koja od sljedećih funkcije raste, a koja pada: a) f1( x) = 1 x 1, b) f ( x) = 3 x 7, 4 c) f3 ( x) = 3 x 7, 5 d) f ( x) = x, e) f ( x) =. 4 5 31. Automobil je startno mjesto napustio brzinom 10 m/s, a nakon toga je povećavao brzinu 3 m/s. Napiši izraz za brzinu automobila kao funkciju vremena. Nacrtaj graf funkcije. 3. Biciklist vozi brzinom 1 m/s i smanjuje brzinu za m/s svake dvije sekunde. Napiši izraz za brzinu biciklista i nacrtaj graf funkcije. 33. Nacrtaj graf funkcije: a) f( x) =, b) f( x) = 10. x x 164
Rješenja. A( 3, 4), B(1, 3), C(0, 4), D(3, 0), E(, ), F(0, 3), G(, 4). 3. A IV. kvadranta, B I. kvadranta, C II. kvadranta, D III. kvadranta. 4. a) A (1, 0), B (5, 0), C (, 0), D ( 4, 0), b) A (0, 5), B (0, 3), C (0, ), D (0, 3). 5. a) A ( 1, 4), B ( 3, 0), C (, 5), D ( 4, 1), E (0, 4), b) A (1, 4), B (3, 0), C (, 5), D (4, 1), E (0, 4). 6. A ( 1, 4), B (, 0), C ( 5, 5), D (3, 1), E (0, 4), F (0, 1). 7. B(5, 3). 8. B(, 7). 9. a) A( 1, 1), B(, ), C(4, 4), b) A( 1, 1), B(, ), C( 4, 4). Napomena: Simetrala je parnih kvadranata pravac y = x, a neparnih pravac y = x. 10. B(6, 1). a) B II (, 1), b) B III (, 3), c) B IV (6, 3). 11. a) A (4, 1), B (3, 5), C (0, 3), b) A ( 4, 1), B ( 3, 5), C (0, 3). 1. 13. 14. 15. 165
16. 17. a) f (4) = 16, f (5) nije definirano, f (1) = 144, b) D = {, 4, 6, 8, 10, 1}, c) f (x) = x. 18. f (47) = 11, f (547) = 16, f (111) = 5, x {4, 13, 31, 11, 11, 11, 0,, 0, 301, 310, 130, 103, 40, 400}. 19. f ( 4) = 8, f (4) = 8, f (0) = 0. 0. 1.. a) f (x) = x 1, b) f (x) = 3x + 9, c) f (x) = 0.5x + 1, d) f (x) = 1 3 x + 4. 3. a) b) c) d) 166
4. a) b) c) 5. a) f (x) = 3x 1, sjecište je točka (0, 1), b) f (x) = x + 3, sjecište je točka (0, 3), c) f (x) = 1 x, sjecište je točka (0, 0). 6. a) b) c) 167
d) e) f ) 7. a) f (x) = 3 x 6, b) f (x) = 3 x 7, c) f (x) = 3 x. 8. a) f (x) = 7x + 4, b) f (x) = 3x + 4, c) f (x) = 4x + 4. 9. a), b) 4, c) 4, d) 1. 30. f 3 i f 4 rastu, f 1 i f padaju, f 5 niti raste niti pada. 31. f (x) = 3x + 10 3. f (x) = x + 1 33. a) b) 168