Linearna algebra i geometrija

Univerzitet u Sarajevu Elektrotehni ki fakultet Linearna algebra i geometrija predavanja Sarajevo, oktobar 2017

Sadrºaj Sadrºaj ii 1 Uvod 1 2 Matrice i determinante 2 3 Sistemi linearnih jedna ina 3 31 Pojam sistema linearnih jedna ina 3 32 Kvadratni sistemi linearnih jedna ina 6 321 Rje²avanje sistema rje²avanjem matri ne jedna ine 6 322 Cramerovo pravilo 7 33 Gaussov metod eliminacije 10 34 Kronecker-Capellijev stav 18

POGLAVLJE 3 Sistemi linearnih jedna ina Mnogi problemi iz prakse mogu biti napisani u obliku sistema linearnih jedna ina U ovom poglavlju precizno emo denirati pojam sistema linearnih jedna ina i rje²enja sistema Razlikovat emo kvadratne i pravougaone, homogene i nehomogene sisteme Bavit emo se pitanjem egzistencije rje²enja i metodama za rje²avanje sistema linearnih jedna ina 31 Pojam sistema linearnih jednačina Denicija 31 Skup jedna ina oblika a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (31) gdje su a ij i b i (i = 1,, m, j = 1,, n) elementi polja brojeva F nazivamo sistemom od m jedna ina sa n nepoznatih x j (j = 1,, n) Naj e² e se posmatraju situacije u kojima je polje F polje realnih ili

31 Pojam sistema linearnih jedna ina kompleksnih brojeva Mi emo se u nastavku bazirati na takve sisteme iako mnogi pojmovi i metodi mogu biti generalizirani i na druge situacije Brojeve a ij (i = 1,, m, j = 1,, n) nazivamo koecijentima sistema, dok su b i (i = 1,, m) slobodni lanovi U op²tem slu aju kaºemo da je sistem (31) pravougaoni, dok u slu aju m = n govorimo o kvadratnom sistemu linearnih jedna ina U slu aju kada je b i = 0 ( i = 1,, m) kaºemo da je sistem homogen, a u protivnom rije je o nehomogenom sistemu linearnih jedna ina Sistem linearnih jedna ina (31) moºemo napisati i pomo u matrica u obliku AX = B, (32) pri emu smo uveli oznake A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, X = x 1 x 2, B = b 1 b 2 a m1 a m2 a mn x n b m Matricu A nazivamo matricom sistema, X je vektor nepoznatih, a B vektor slobodnih lanova Sistemu jedna ina takože moºemo pridruºiti i takozvanu pro²irenu matricu sistema, koju dobijemo tako ²to matrici sistema A s desne strane dopi²emo vektor slobodnih lanova Obiljeºavamo je sa (A B) Dakle (A B) = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn b 1 b 2 b m Osnovno pitanje vezano za sisteme jedna ina je nalaºenje njihovog rje²enja Uvode se pojmovi saglasnog i nesaglasnog sistema Denicija 32 Svaka urežena n-torka (α 1, α 2,, α n ) takva da je za (x 1, x 2,, x n ) = (α 1, α 2,, α n ) svaka od m jedna ina sistema (31) identi ki zadovoljena je rje²enje tog sistema 4

31 Pojam sistema linearnih jedna ina Ukoliko posmatramo sistem jedna ina zapisan u matri nom obliku (32) onda pod rje²enjem sistema podrazumijevamo svaki vektor X koji zadovoljava matri nu jedna inu (32) Denicija 33 Za sistem linearnih jedna ina koji ima barem jedno rje²enje kaºemo da je saglasan (kompatibilan, rje²iv) U suprotnom kaºemo da je sistem nesaglasan (protivrje an, kontradiktoran, nerje²iv) Pored egzistencije rje²enja, vaºno pitanje je i pitanje broja rje²enja Jedan od rezultata koji nam govori o tome navest emo u narednom teoremu Formulisat emo ga i dokazati koriste i matri ni zapis Teorem 31 Ako su X 1 i X 2 dva razli ita rje²enja sistema (32) onda je i X(µ) = µx 1 + (1 µ)x 2, za svako µ R, takože rje²enje tog sistema Dokaz Da bi dokazali tvrdnju dokazat emo da X(µ) zadovoljava jedna inu (32) Koriste i osobine operacija s matricama i pretpostavku da X 1 i X 2 zadovoljavaju jedna inu (32) slijedi da je A(µX 1 + (1 µ)x 2 ) = µax 1 + (1 µ)ax 2 = µb + (1 µ)b = B, pa je dokaz zavr²en Upravo dokazani teorem nam kaºe da sistem, ukoliko ima dva razli ita rje²enja, onda ih ima i beskona no mnogo Dakle, svaki sistem oblika (31) zadovoljava ta no jednu od sljede e tri tvrdnje (i) Sistem nema rje²enje (ii) Sistem ima ta no jedno rje²enje (iii) Sistem ima beskona no mnogo rje²enja U slu aju (ii) kaºemo da je sistem odrežen, dok u slu aju (iii) kaºemo da je neodrežen Jasno, u situaciji (i) sistem je nesaglasan, dok je u situacijama (ii) i (iii) saglasan Primijetimo da je homogen sistem uvijek saglasan, jer je urežena n-torka sa injena od svih nula rje²enje svakog homogenog sistema Ovo rje²enje se naziva trivijalnim Ukoliko je homogeni sistem odrežen onda je njegovo jedino rje²enje trivijalno Neodrežen homogen sistem, pored trivijalnog, ima i druga rje²enja koja nazivamo netrivijalnim 5

32 Kvadratni sistemi linearnih jedna ina Napomenimo jo² da rije²iti sistem zna i na i sva njegova rje²enja ili ustanoviti da sistem nema rje²enje U nastavku ovog poglavlja govorit emo o metodama rje²avanja sistema i uslovima pod kojim sistem zadovoljava tvrdnje (i)-(iii) Zna ajnu ulogu pri rje²avanju sistema imaju ekvivalentni sistemi Sli no, kao i kod matrica, elementarnim transformacijama se sistem prevodi u ekvivalentan sistem Denicija 34 Dva sistema jedna ina su ekvivalentna ako imaju isti skup rje²enja Elementarne transformacije koje sistem prevode u ekvivalentan sistem su (i) zamjena mjesta bilo koje dvije jedna ine sistema, (ii) mnoºenje proizvoljne jedna ine sistema nekim brojem razli itim od 0, (iii) dodavanje jedne jedna ine sistema, prethodno pomnoºene nekim brojem razli itim od 0, drugoj jedna ini sistema Takože se nekad pod elementarnom transformacijom podrazumijeva i promjena poretka varijabli u jedna inama sistema, no treba napomenuti da je u tom slu aju vaºno voditi ra una o novom poretku, pogotovo ukoliko se sistem pi²e pomo u matrica koje ga odrežuju i rje²enje se zapisuje u obliku urežene n-torke 32 Kvadratni sistemi linearnih jednačina U ovom odjeljku emo se baviti sistemima linearnih jedna ina kod kojih je broj jedna ina jednak broju nepoznatih Speci nost ovog tipa sistema nam garantuje da je matrica sistema kvadratna, pa je mogu e ra unati njenu determinantu i odreživati njenu inverznu matricu ukoliko je ona regularna Upravo na ovim injenicama su zasnovane dvije metode rje²avanja kvadratnih sistema koje emo opisati u nastavku 321 Rješavanje sistema rješavanjem matrične jednačine Kako smo ve napomenuli sistem linearnih jedna ina, pa specijalno i kvadratni sistem linearnih jedna ina, moºe biti napisan u matri noj formi (32) Forma (32) se moºe interpretirati kao matri na jedna ina, jedna ina u kojoj je nepoznata varijabla matrica Ovu matri nu jedna inu, kao i matri ne 6

32 Kvadratni sistemi linearnih jedna ina jedna ine op enito, rje²avamo koriste i operacije s matricama i njihove osobine Vaºno je napomenuti da treba voditi ra una da mnoºenje matrica nije komutativno Neka je matrica A kvadratnog sistema regularna, to jeste postoji njoj inverzna matrica A 1 Pomnoºimo jednakost (32) s lijeve strane sa A 1, a zatim iskoristimo injenicu da je produkt matrice i njoj inverzne matrice jednak jedini noj matrici, kao i injenicu da je jedini na matrica neutralni element za mnoºenje matrica Opisani postupak daje nam eksplicitan izraz za nepoznatu matricu X, moºemo ga zapisati na sljede i na in AX = B, A 1 (AX) = A 1 B, (A 1 A)X = A 1 B, EX = A 1 B, X = A 1 B Veoma vaºno je napomenuti da je opisani postupak zasnovan na regularnosti matrice, te samim tim primjenjiv samo na klasu sistema za koje je ovaj uslov ispunjen Ovim metodom eksplicitno dobijamo rje²enje sistema koje je jedinstveno, pa metod sigurno nije primjenjiv na neodrežene sisteme 322 Cramerovo pravilo U ovom dijelu opisat emo metod za rje²avanje kvadratnih sistema jedna ina baziran na primjeni determinanti Kvadratnom sistemu a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a nn x n = b n, (33) odgovara kvadratna matrica sistema A Njoj moºemo pridruºiti determinantu, koju nazivamo determinantom sistema (33) i obiljeºavamo je sa D Istom sistemu moºemo pridruºiti i determinante D i, (i = 1,, n), koje dobijemo tako ²to i-tu kolonu determinante D zamijenimo kolonom slobodnih 7

32 Kvadratni sistemi linearnih jedna ina lanova Dakle, za sistem (33) je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n D =, a n1 a n2 a nn a 11 a 12 a 1 i 1 b 1 a 1 i+1 a 1n a 21 a 22 a 2 i 1 b 2 a 2 i+1 a 2n D i = a n1 a n2 a n i 1 b n a n i+1 a nn Rezultat na kojem se zasniva Cramerovo pravilo za rje²avanje kvadratnih sistema dat emo u teoremu koji slijedi Teorem 32 Neka sistem (33) ima barem jedno rje²enje Tada svako rje- ²enje (α 1, α 2,, α n ) tog sistema zadovoljava jednakosti α i D = D i, (i = 1,, n) (34) Dokaz Dokaz emo izvesti koriste i osobine determinanti Odaberimo proizvoljan indeks i (i = 1,, n) i ksirajmo ga Prema osobini determinanti (vi), determinanta se mnoºi skalarom tako ²to joj se jedna kolona ili vrsta mnoºi tim skalarom Da bi pomnoºili skalarom α i determinantu D pomno- ºimo tim skalarom i-tu kolonu te determinante Zatim primijenimo osobinu (viii) na dobijenu determinantu tako ²to emo pomnoºiti elemente prve kolone sa α 1 i dodati ih i-toj koloni, zatim pomnoºiti elemente druge kolone sa α 2 i dodati ih i-toj koloni i postupak ponoviti za sve kolone izuzev kolone i Determinanta koju dobijemo nakon opisanih transformacija je oblika α i D = a 11 a 1 i 1 a 11 α 1 + a 12 α 2 + + a 1n α n a 1 i+1 a 1n a 21 a 2 i 1 a 21 α 1 + a 22 α 2 + + a 2n α n a 2 i+1 a 2n a n1 a n i 1 a n1 α 1 + a n2 α 2 + + a nn α n a n i+1 a nn Po pretpostavci je (α 1, α 2,, α n ) rje²enje posmatranog sistema, pa uvr- ²tavanjem vrijednosti α i (i = 1,, n) u jedna ine sistema dobijamo ta ne jednakosti, ²to zna i da lijeve strane jedna ina, koje se pojavljuju u i-toj koloni dobijene determinante, moºemo zamijeniti desnim, to jeste, i-tu kolonu vektorom slobodnih lanova Dobijena matrica je upravo matrica D i, pa je tvrdnja teorema dokazana 8

32 Kvadratni sistemi linearnih jedna ina Posmatrajmo sistem (33) Neka je matrica sistema regularna, to jeste D 0 Tada iz (34) slijedi da je posmatrani sistem odrežen i ima jedinstveno rje²enje dato sa x i = D i D, (i = 1,, n) Ukoliko matrica sistema nije regularna, odnosno ukoliko je D = 0 i ukoliko postoji indeks j (j = 1,, n) takav da je D j 0, onda jedna od jedna ina iz (34), za i = j postaje nemogu a, pa je sistem u ovom slu aju protivrje an Zaklju ak u preostalom slu aju, to jeste kada je D = 0 i D i = 0 za sve i = 1,, n, se ne moºe direktno izvesti Potrebno je posmatrati poddeterminante posmatranih determinanti Upravo navedena razmatranja dovode do rezultata koji je poznat pod nazivom Cramerovo pravilo Formulisat emo ga u narednom teoremu Teorem 33 Neka je dat kvadratni sistem (33) (i) Ako je determinanta sistema razli ita od nula, D 0, sistem ima jedinstveno rje²enje dato sa x i = D i, (i = 1,, n), to jeste sistem je odrežen (ii) Ako je D = 0 i barem jedna od determinanti D i (i = 1,, n) razli ita od 0 sistem je protivrje an (iii) Ako je D = 0 i D 1 = D 2 = = D n = 0 onda mogu nastupiti dvije situacije, sistem je neodrežen ili je sistem protivrje an D Odgovor na pitanje kada nastupa koja situacija daje nam sljede i niz koraka (a) Ako je bar jedna subdeterminanta reda n 1 determinante D razli ita od nule sistem je neodrežen (b) Ako je svaka subdeterminanta reda n 1 determinante D jednaka nuli, a barem jedna od subdeterminanti reda n 1 determinanti D i razli ita od nule, sistem je protivrje an (c) Ako je svaka subdeterminanta reda n 1 svih determinanti D i (i = 1,, n) i D jednaka nuli nastavljamo postupak ponavljanjem koraka (a), (b) i (c) za subdeterminante jednog reda manje Primjenom prethodnog teorema na homogene sisteme jedna ina dobijamo jednostavan kriterij kada homogeni sistem ima i netrivijalna rje²enja 9

33 Gaussov metod eliminacije Posmatrajmo homogen kvadratni sistem a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a nn x n = 0 (35) Neka oznake D i D i imaju isto zna enje kao i ranije Iz na ina formiranja determinanti D i i osobine (i) determinanti slijedi da je D i = 0 za svako i = 1,, n Osim toga, kako smo ve napomenuli, homogen sistem uvijek ima trivijalno rje²enje, pa nikada nije nemogu Dakle, vrijedi sljede a posljedica Posljedica 34 Homogeni sistem (35) je odrežen ako je D 0, a neodrežen u slu aju kada je D = 0 Cramerovo pravilo za rje²avanje kvadratnih sistema linearnih jedna ina je vrlo pogodno za rje²avanje familija sistema jedna ina koje zavise od jednog ili vi²e parametara Teorem 33 nam daje mogu nost da odredimo vrijednosti parametara za koje e dati sistem biti saglasan i nesaglasan, kao i da razlikujemo situacije kada je odrežen, a kada neodrežen 33 Gaussov metod eliminacije Gaussov metod eliminacije zasniva se na injenici da se sistemi jedna ina kod kojih je matrica sistema trougaona ili trapezna jednostavno rje²avaju Takve sisteme emo zvati trougaonim ili trapeznim Sam metod se sastoji iz dvije osnovne etape, prva je transformisanje datog sistema u ekvivalentan trougaoni ili trapezni, a druga je rje²avanje novodobijenog sistema Ilustrirat emo postupak na sistemu napisanom u op²tem obliku (31) Pretpostavimo da je a 11 0 Ukoliko to nije slu aj moºemo izvr²iti elementarnu transformaciju zamjene redoslijeda jedna ina sistema, tako da uslov bude zadovoljen Naime, barem jedan od koecijenata uz varijablu x 1 mora biti razli it od nula, jer u protivnom varijabla x 1 moºe imati proizvoljnu vrijednost Prvu jedna inu podijelimo sa a 11, a zatim od i-te (i = 2,, m) jedna ine oduzmimo prvu jedna inu pomnoºenu sa a i1 Dobijamo ekvivalentan sistem 10

33 Gaussov metod eliminacije oblika x 1 + a 12 ( a) 11 x 2 + + a a 22 a 12 21 a 11 x 2 + + ( ) a a m2 a 12 m1 a 11 x 2 + + a 1n a 11 x n = b 1 ( ) a 11 a a 2n a 1n b 21 a 11 x n = b 2 a 1 21 a 11 ( ) a a mn a 1n b m1 a 11 x n = b m a 1 m1 a 11 Ovaj sistem moºemo zapisati u ne²to kra em obliku uvedemo li oznake a 1j = a 1j a 11, (j = 2,, n), b 1 = b 1 a 11, a ij = a ij a i1 a 1j a 11, (i = 2,, m, j = 2, n), b i = b i a i1 b 1 a 11, (i = 2,, m) Sistem poprima sljede i oblik x 1 + a 12x 2 + + a 1nx n = b 1 a 22x 2 + + a 2nx n = b 2 a m2x 2 + + a mnx n = b m Postupak nastavljamo tako ²to prepi²emo prvu jedna inu, a na ostale primijenimo transformacije analogne ve uraženim Drugu jedna inu dijelimo sa a 22 i od i-te (i = 3,, m) oduzimamo drugu jedna inu pomnoºenu sa a i2 Naravno dijeljenje je mogu e izvr²iti jedino ako je a 22 0 Ukoliko to nije slu- aj mogu nastupiti tri situacije Ukoliko postoji a i2 0 za neko i = 3,, m, onda zamjenom mjesta jedna ina postiºemo da je traºeni uslov zadovoljen, ²to je ilustrirano u primjeru 31 Ukoliko to nije slu aj mogu e je da postoji koecijent a ij, i = 2,, m, j = 3,, n razli it od nule, pa se zamjenom pisanja redoslijeda varijabli, odnosno prenumeracijom, postiºe ispunjenje uslova, ²to je ilustrirano u primjeru 32 Ukoliko ni jedan od dva navedena uslova nije ta an, to zna i da su svi koecijenti sistema u svim jedna ina izuzev prve jednaki 0, pa se te jedna ine svode na 0 = b i, (i = 2,, m) Jasno, u ovom slu aju sistem ima jedino rje²enje ako je b i = 0 (i = 2,, m), kao u primjeru 33 U protivnom ovaj sistem, pa i po etni, je nemogu, ²to je ilustrirano primjerom 34 11

33 Gaussov metod eliminacije U nastavku dajemo pomenute primjere, kojima ilustriramo neke od pomenutih situacija s kojim se moºemo susresti prilikom vr²enja prve faze Gaussovog metoda eliminacije i na in njihovog prevazilaºenja Primjer 31 Neka je dat sistem 2x + 3y + 4z + 5u = 5 3z 4u = 1 2y z + u = 3 y + 3z = 5 O igledno je naru²en uslov a 22 0, ali je a i2 0 za neko i = 3,, m, konkretno u ovom primjeru za i = 3, pa moºemo izvr²iti zamjenu jedna ina, te sistem poprima oblik 2x + 3y + 4z + 5u = 5 2y z + u = 3 3z 4u = 1 y + 3z = 5 Nastavljaju i postupak zavr²avamo drugi korak prve faze rje²avanja sistema dobijaju i Primjer 32 Neka je dat sistem 2x + 3y + 4z + 5u = 5 y 1 2 z + 1 2 u = 3 2 3z 4u = 1 5 2 z + 1 2 u = 13 2 2x + 3y + 4z + 5u = 5 3z 6u = 5 2z u = 3 z + u = 4 O igledno je u datom sistemu naru²en uslov a 22 0, ali je a ij 0 za neko i = 2,, m, te j = 3,, n ispunjeno Konkretno u ovom primjeru je a 23 0, pa moºemo izvr²iti zamjenu redoslijeda promjenljivih Dobivamo 2x + 4z + 3y + 5u = 5 3z 6u = 5 2z u = 3 z + u = 4 12

33 Gaussov metod eliminacije Nastavljaju i postupak dobijamo 2x + 4z + 3y + 5u = 5 z 2u = 5 3 2z u = 3 z + u = 4, odnosno nakon zavr²etka drugog koraka prve faze sistem poprima oblik Primjer 33 Neka je dat sistem 2x + 4z + 3y + 5u = 5 z 2u = 5 3 3u = 1 3 3u = 7 3 2x + 3y + 4z + 5u = 5 0 = 5 O igledno su svi koecijenti uz nepoznate, izuzev u prvoj jedna ini jednaki 0, a posljednja jedna ina je svedena na kontradikciju 0 = 5, pa sistem nema rje²enje Primjer 34 Neka je dat sistem 2x + 3y + 4z + 5u = 5 0 = 0 O igledno su svi koecijenti uz nepoznate, izuzev u prvoj jedna ini jednaki 0, a posljednja jedna ina je svedena na identitet 0 = 0, pa sistem ima beskona no mnogo rje²enja Proizvoljnim izborom vrijednosti za varijable x, y i z prvom jedna inom jednozna no je odrežena vrijednost varijable u, pa je rje²enje dato sa (x, y, z, 1 25 x 35 x 45 x ) ; x, y, z R Vratimo se sada teorijskom razmatranju nastavka postupka rje²avanja sistema Gaussovim metodom eliminacije Nakon opisanih transformacija uz skra ene oznake 13

33 Gaussov metod eliminacije a 2j = a 2j a 22 b 2 = b 2, a 22, (j = 3,, n), a a ij = a ij a 2j i2, (i = 3,, m, j = 3, n), b i = b i a i2 b 2 a 22 sistem poprima oblik a 22, (i = 3,, m), x 1 + a 12x 2 + a 13x 3 + a 1nx n = b 1 x 2 + a 23x 3 + a 2nx n = b 2 a 33x 3 + a 3nx n = b 3 a m3x 3 + a mnx n = b m Postupak nastavljamo i nakon m koraka dobijamo trougaoni ili trapezni sistem Treba napomenuti da je mogu e i da u nekom k-tom (k < m) koraku posljednjih m k jedna ina poprimi oblik 0 = b (k) i, (i = k +1,, m) U tom slu aju sistem je saglasan jedino ako je b (k) i = 0 za sve i = k + 1,, m U protivnom je nemogu S takvim situacijama smo se susreli u slu aju sistema iz primjera 33 i 34 Nizom opisanih koraka zavr²ava se prva etapa Primijetimo da smo u prvom koraku varijablu x 1 eliminisali iz svih izuzev prve jedna ine, nakon toga u drugom koraku varijabla x 2 je eliminisana iz svih, izuzev prve i druge jedna ine i tako dalje Upravo iz ovog razloga se postupak naziva metodom eliminacije Provoženje kompletne prve faze Gaussovog metoda eliminacije ilustrirat emo u sljede em primjeru Primjer 35 Neka su dati sistemi x + y 2z + 4u = 1 y + 5z 9u = 3 8z + 18u = 2 13u = 13, (36) 14

33 Gaussov metod eliminacije 2x + 3y + 4z 5u = 2 2y 3z + u = 1 2z u = 1 0u = 4, 2x + 3y + 4z 5u = 2 2y 3z + u = 1 2z u = 1 0u = 0, 2x + 3y + 4z 5u = 2 2y 3z + u = 1 2z u = 1 u = 3 2u = 6, (37) (38) (39) 2x + 3y + 4z 5u = 2 2y 3z + u = 1 2z u = 1 u = 3 2u = 4 (310) Navedeni sistemi ilustriraju opisane situacije s kojima se moºemo susresti pri zavr²etku prve faze Gaussovog metoda eliminacije Sistem (36) je primjer kvadratnog sistema sa etiri jedna ine i etiri nepoznate koji je napisan u trougaonoj formi, ²to implicira da sistem ima jedinstveno rje²enje Sistemi (37) i (38) su takože sistemi sa etiri jedna ine i etiri nepoznate, no posljednja jedna ina u njima je speci nog oblika Kod sistema (37) je to kontradikcija 0u = 4, ²to nas dovodi do zaklju ka da ne postoji realan broj u za koji je zadovoljena posljednja jedna ina, pa samim tim sistem nema rje²enje U slu aju sistema (38) posljednja jedna ina je identitet 0u = 0, zadovoljena je za sve vrijednosti realne varijable u, ²to nam govori da posmatrani sistem ima beskona no mnogo rje²enja, ukoliko je mogu Sistem nastavljamo rje²avati zanemaruju i posljednju jedna inu, a ostale transformi²emo tako ²to lanove sa jednom varijablom, u ovom slu aju varijablom u, 15

33 Gaussov metod eliminacije prebacimo na desnu stranu i pri daljem postupku varijablu u tretiramo kao proizvoljan parametar Sistem poprima oblik (311) 2x + 3y + 4z = 2 + 5u 2y 3z = 1 u z = 1+u 2 Primijetimo da je forma posljednjeg zapisa forma trougaonog sistema od tri jedna ine sa tri nepoznate, te ga tako i nastavljamo rje²avati Naravno nakon zavr²ene druge faze, pri pisanju kona nog rje²enja treba voditi ra una da je u varijabla, a ne parametar, kako ga tretiramo u ovom momentu Sistemi (39) i (310) su primjeri sistema sa pet jedna ina i etiri nepoznate No, oni nisu napisani u adekvatnoj formi koja nam omogu ava zaklju ak o statusu sistema po pitanju egistencije i broja rje²enja Izvr²imo li eliminaciju varijable u iz posljednje jedna ine, sistem (39) poprima oblik 2x + 3y + 4z 5u = 2 2y 3z + u = 1 2z u = 1 u = 3 0 = 0 Dakle, posljednja jedna ina je reducirana na identitet, te je u nastavku zanemarujemo i rje²avamo trougaoni sistem od etiri jedna ine i etiri nepoznate, ²to nas dovodi do zaklju ka da sistem ima jedinstveno rje²enje Eliminacijom varijable u iz posljednje jedna ine sistema (310) ona se reducira na kontradikciju 0u = 10, pa zaklju ujemo da sistem nema rje²enja U nastavku emo, prvo teorijski, razmotriti drugu etapu Gaussovog metoda eliminacije, a zatim emo postupak ilustrirati na nekim sistemima iz prethodnog primjera U drugoj etapi rje²avamo sistem ekvivalentan po etnom dobijen u prethodnoj etapi U slu aju kada je m = n dobijeni sistem je trougaoni i ako je saglasan posljednja jedna ina je oblika x n = b (n) n i sistem ima jedinstveno rje²enje Sistem (36) je upravo zapisan u ovoj formi Dakle, posljednja jedna ina nam daje vrijednost varijable x n Zatim, uvr²tavanjem te vrijednosti u pretposljednju jedna inu moºemo izra unati vrijednost varijable x n 1 Postupak nastavljamo Kona no u posljednjem koraku ove etape, poznate su nam vrijednosti varijabli x n,, x 2 i pomo u prve jedna- ine ra unamo vrijednost varijable x 1 Time je postupak rje²avanja sistema zavr²en 16

33 Gaussov metod eliminacije U slu aju kada je m < n (ili k < n za situaciju kada odreženi broj jedna ina poprima oblik 0 = b (k) i (i = k + 1,, m) i ako je sistem mogu ) sistem ima beskona no mnogo re²enja Varijable x m+1, x m+2,, x n mogu biti proizvoljno odabrane, a preostale, primjenom analognog postupka opisanom postupku u situaciji m = n, mogu biti izraºene preko proizvoljno odabranih varijabli Forma sistema (38) koju koristimo za ovu etapu je data sa (311) U slu aju kada je m > n postupkom eliminacije, da bi sistem bio mogu, odrežen broj jedna ina se mora svesti na identi ne jedna ine ili jedna ine 0 = b (k) i (i = k + 1,, m) i pri tome svi b (k) i koji se pojavljuju u njima moraju biti jednaki 0 Ostatak sistema je jednog od razmatrana dva oblika, pa se tako i rje²ava Primjer ove situacije je slu aj sistema (39) Provoženje druge faze metoda Gaussove eliminacije emo ilustrirati na nekim sistemima iz primjera 35 Primjer 36 Posmatrajmo sistem (36) Posljednja jedna ina implicira da je u = 1, pa uvr²tavanjem u tre u jedna inu dobijamo da je 8z = 2 18, odnosno z = 2 Uvr²tavanjem dobijenih vrijednosti u = 1 i z = 2 u drugu jedna inu dobijamo da je y = 2, a zatim iz prve jedna ine dolazimo i do zaklju ka da je x = 1 Dakle, (x, y, z, u) = (1, 2, 2, 1) je jedinstveno rje²enje sistema (36) U slu aju sistema (38) druga etapa Gaussovog metoda eliminacije je bazirana na formi datoj sa (311) Dakle, posljednja jedna ina nam daje vrijednost varijable z, uvr²tavanjem u drugu jedna inu proizilazi da je 2y = 1 u + 3z = 1 u + 3 1 + u 2 pa je y = (u + 1)/4 Dodatno, iz prve jedna ine je 2x = 2 + 5u 4z 3y = 2 + 5u 4 1 + u 2 pa je x = (9u 3)/8 = u + 1, 2 3 u + 1 4 = 9u 3, 4 Vode i ra una da je u zapravo varijabla po etnog sistema koja moºe biti proizvoljno odabrana zaklju ujemo da sistem (38) ima beskona no mnogo rje²enja datih sa ( 9u 3 (x, y, z, u) = 8, u + 1 4, 1 + u ), u ; u R 2 U slu aju sistema (39) prema razmatranjima u primjeru 35 druga faza Gaussovog metoda eliminacije moºe biti zasnovana na prve etiri jedna ine 17

34 Kronecker-Capellijev stav obzirom da se posljednja jedna ina reducira na identitet Slijedi da je u = 3, uvr²tavaju i u tre u jedna inu dobijamo da je z = 2, a zatim iz druge i prve jedna ine y = 1 i x = 3 Dakle, sistem (39) ima jedinstveno rje²enje dato sa (x, y, z, u) = (3, 1, 2, 3) Treba napomenuti da se postupak eliminacije prakti no vr²i primjenom elementarnih transformacija na jedna ine sistema, odnosno na pro²irenu matricu sistema Ve smo obrazloºili da se elementarne transformacije matrica mogu interpretirati kao mnoºenje matrice odgovaraju im matricama, pa je naravno to slu aj i za elementarne transformacije sistema linearnih jedna ina Napomenimo i to da se vrlo esto Gaussov metod eliminacije koristi u kombinaciji sa nekim drugim metodama za rje²avanje sistema linearnih jedna ina Na prmjer prilikom rje²avanaja sistema Cramerovim pravilom za speci nu vrijednost parametra esto se sistem reduciran na jednu jedna- inu, te je vrlo jednostavno zaklju ili da ima beskona no mnogo rje²enja i eksplicitno ih odrediti S druge strane primjena dijela (iii) Cramerovog stava bi u ovom slu aju producirala mnogo vi²e posla zbog potrebe ra unanja velikog broja poddeterminanti pomo u kojih je iskaz formulisan 34 Kronecker-Capellijev stav Kao ²to smo vidjeli ranije primjenom Cramerovog teorema mogu e je ispitivati saglasnost kvadratnih sistema linearnih jedna ina No, treba napomenuti da ovaj postupak moºe biti jako obiman jer je potrebno ra unati veliki broj determinanti Takože ovaj postupak je ograni en isklju ivo na kvadratne sisteme U ovom odjeljku emo opisati postupak za ispitivanje saglasnosti pravougaonog sistema zasnovan na rangu matrice sistema i pro- ²irene matrice Vidjet emo da zapravo ovaj metod ima dosta sli nosti sa Gaussovim metodom eliminacije Zapravo ideja oba metoda je ista, no jednostavna formulacija stava i manja koli ina podataka koji se zapisuju (pi²emo matrice pridruºene sistemu, a ne kompletne sisteme) Kronecker-Capellijev stav ini e² e kori²tenim Prvo emo formulisati i dokazati Kronecker-Capellijev stav Teorem 35 Sistem (33) je saglasan ako i samo ako je rang(a) = rang(a B) = r Dodatno, ukoliko je ispunjena gornja relacija onda, 18

34 Kronecker-Capellijev stav (i) ako je r = n sistem ima jedinstveno rje²enje, (ii) ako je r < n sistem ima beskona no mnogo rje²enja Dokaz Za dokaz teorema koristit emo interpretaciju ranga matrice datu pomo u linearno nezavisnih kolona matrice navedenu u prethodnom poglavlju Prvo pretpostavimo da sistem ima rje²enje Neka je ono dato sa x 1 = α 1, x 2 = α 2,, x n = α n i neka je matrica sistema zapisana pomo u svojih kolona u obliku A = ( K 1 K 2 K i K j K n ) (312) Koriste i matri ni zapis sistema jedna ina i uvedene oznake slijedi da vrijedi α 1 K 1 + α 2 K 2 + + α n K n = B O igledno je B linearna kombinacija kolona matrice A, pa je rang(a B) rang(a) Kako se dodavanjem kolona nekoj matrici rang ne moºe smanjiti, to je rang(a) rang(a B) Slijedi da je rang(a) = rang(a B) Pretpostavimo da je sada rang(a) = rang(a B) = r Pokaºimo da je sistem saglasan, tj da ima rje²enje Jednakost iz pretpostavke implicira da je B zavisno od kolona matrice A, pa se moºe napisati u obliku linearne kombinacije kolona K 1,, K n, to jeste u obliku B = α 1 K 1 + α 2 K 2 + + α n K n, a ovo upravo zna i da su skalari α 1, α 2,, α n rje²enja posmatranog sistema Ovim je prvi dio teorema dokazan Za dokaz drugog dijela primijetimo da iz pretpostavke da je rang(a) = rang(a B) = r, prema deniciji ranga, slijedi da matrica sistema posjeduje subdeterminantu reda r razli itu od 0, odnosno da je r kolona matrice A linearno nezavisno Bez umanjenja op²tosti moºemo pretpostaviti da je to prvih r kolona U protivnom moºemo izvr²iti prenumerisanje varijabli Ostalih n r kolona se mogu napisati kao linearne kombinacije prvih r kolona Sli no vrijedi i za vrste, pa je posljednjih m r jedna ina sistema posljedica prvih r jedna ina, te se mogu odbaciti Po etni sistem se sada moºe napisati u obliku a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1r x r = b 1 a 1r+1 x r+1 a 1n x n a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2r x r = b 2 a 2r+1 x r+1 a 2n x n a r1 x 1 + a r2 x 2 + + a rr x r = b r a rr+1 x r+1 a rn x n (313) 19

34 Kronecker-Capellijev stav Sistem (313) je kvadratni sistem reda r i determinanta tog sistema je razli- ita od 0, pa primjenom Cramerovog metoda sistem (313) kao sistem od r varijabli ima jedinstveno rje²enje No, za r < n po etni sistem ima beskona no mnogo rje²enja, jer za svaki izbor varijabli x r+1, x r+2,, x n ima jedno rje²enje, pa je dokazana tvrdnja (i) Za n = r na desnoj strani sistema (313) nema varijabli, pa je jedinstveno rje²enje sistema (313) i jedinstveno rje²enje po etnog sistema Napomenimo da se pri prakti noj primjeni Kronecker-Capellijevog teorema traºi rang pro²irene matrice svoženjem na trapezni oblik i pri tome se posljednja kolona matrice ne pomjera Trapezni oblik pro²irene matrice daje nam i trapezni oblik matrice sistema, pa im je rang jednostavno odrediti Takože, trapezni oblik pro²irene matrice daje trapezni sistem koji je ekvivalentan po etnom sistemu, pa se on jednostavno rje²ava, kao i kod Gaussovog metoda eliminacije Teorem 35 primijenjen na homogene sisteme daje nam jednostavan kriterij o egzistenciji netrivijalnih rje²enja homogenog sistema Naime, obzirom da je kolona slobodnih lanova homogenog sistema sastavljena samo od nula, to je uvijek rang matrice sistema i pro²irene matrice sistema jednak, pa je prema teoremu 35 sistem saglasan, kako smo ve i napomenuli Posljedica 36 Homogeni sistem AX = 0, A R m n rje²enje akko je r(a) < n ima netrivijalno U nastavku emo na jednom primjeru ilustrirati primjenu Cramerovog i Kronecker-Capellijevog stava na utvrživanje egzistencije netrivijalnih rje- ²enja homogenog sistema jedna ina Za odreživanje rje²enja koristit emo Gaussov metod eliminacije Primjer 37 Neka je dat sistem x + y + z = 0 ax + 4y + z = 0 6x + (a + 2)y + 2z = 0 šelimo odrediti vrijednosti realnog parametra a za koje sistem ima netrivijalna rje²enja i odrediti ta rje²enja Prvo emo primijeniti posljedicu 34 Pokazuje se da je D = 1 1 1 a 4 1 6 a + 2 2 = (a + 3)(a 4), 20

34 Kronecker-Capellijev stav pa slijedi da je D = 0 za a = 3 ili a = 4 i tada sistem ima netrivijalna rje²enja Za a = 3 sistem se svodi na x + y + z = 0 3x + 4y + z = 0 6x y + 2z = 0 Primjenom prve faze Gaussovog metoda eliminacije sistem se reducira na x + y + z = 0 7y + 4z = 0 0 = 0, (314) pa zanemarivanjem posljednje jedna ine koja se reducirala na identite, primjenom druge faze rje²avanja, proizilazi da je rje²enje dato sa (x, y, z) = ( 37 z, 47 z, z ) ; z R (315) Za a = 4 sistem se svodi na pa se reducira na x + y + z = 0 4x + 4y + z = 0 6x + 6y + 2z = 0, x + y + z = 0 3z = 0 0 = 0, odakle je z = 0 i x = y, za proizvoljno odabrano y Dakle, rje²enje je dato sa (x, y, z) = ( y, y, 0) ; y R (316) Do istog zaklju ka moºemo do i i primjenom posljedice 36 Svedimo matricu sistema na trapezni oblik Koristimo transformacije tipa (iii) primijenjene na drugu i prvu, tre u i prvu, pa tre u i drugu vrstu i skalare a, 6 i 1, redom 1 1 1 a 4 1 6 a + 2 2 1 1 1 0 4 a 1 a 0 a 4 4 21 1 1 1 0 4 a 1 a 0 0 3 a (317)

34 Kronecker-Capellijev stav Primijetimo da provoženje navedenih transformacija, prema deniciji elementarne transformacije tipa (iii) zahtijeva da bude a 0 No, paºljivom analizom izvr²enih transformacija moºemo zaklju iti da nas i slu aj a = 0 dovodi do posljednje dobijene forme u kojoj je uvr²teno a = 0 Naime, u ovom slu aju prvu transformaciju uop²te nije potrebno vr²iti je oblika 1 1 1 0 4 1 0 0 3, pa joj je rang 3 i sistem ima samo trivijalno rje²enje Posljednja matrica Dalje, posljednja matrica u (317) je trapeznog oblika i ima nenulte elemente na dijagonali za a 4 i a 3, pa u tom slu aju nije ispunjen uslov posljedice 36 i sistem ima samo trivijalno rje²enje Za a = 3 matrica poprima oblik 1 1 1 0 7 4 0 0 0 Trapeznog je oblika, rang joj je 2, ²to je manje od broja promjenljivih, pa prema posljedici 36 sistem ima netrivijalna rje²enja Rekonstrukcijom iz dobijene matrice dolazimo do sistema (314), pa je njegovo rje²enje dato sa (315) U slu aju a = 4 uvr²tavanjem vrijednosti za a u (317) ne dobijamo trapeznu matricu, pa je potrebno izvr²iti dodatne transformacije, 1 1 1 0 0 3 0 0 7 1 1 1 0 0 1 0 0 7 1 1 1 0 0 1 0 0 0 Proizilazi da se sistem reducira na x + y + z = 0 i z = 0, pa je njegovo rje²enje dato sa (316) Dakle, dati sistem ima netrivijalna rje²enja za a = 3 i a = 4 i data su sa (315) i (316), respektivno 22