Monotonin s funkcijos Tegul turime funkciją f : A R, A R. Apibr žimas. Funkcija y = f ( x) vadinama monotoniškai did jančia (maž jančia) aib je X A, jei x1< x2 iš X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) ( f ( x ) 1 f ( x2). Monotoniškai did janti (maž janti) funkcija dar vadinama nemaž jančia (nedid jančia). Apibr žimas. Jei f ( x1) < f ( x2) ( f ( x ) 1) > f ( x2) su visais x1< x2 iš X funkcija vadinama did jančia (maž jančia) aib je X.
Realaus skaičiaus sveikoji ir trupmenin dalys Apibr žimas. Realiojo skaičiaus x sveikąja dalimi, žymima [ x ], yra vadinamas didžiausias sveikasis skaičius, neviršijantis x. 1. [ x] Z, 2. [ x] x< [ x] + 1
Apibr žimas. Skaičius { x} = x [ x] yra vadinamas realiojo skaičiaus x trupmenine dalimi. Teorema. Jei m Z, tai x R [ x+ m] = [ x] + m Teorema. 0 { x} < 1 su visais x R. Teorema. Funkcija y= { x} yra periodin funkcija, kurios pagrindinis periodas T= 1.
Funkcijų grafikų transformacijos 1. Tegul turime funkciją y= f ( x), x D f R, g( x) = f ( x) + C, C> 0. Teorema. Funkcijos f ( x) + C grafikas gaunamas Γ f pak lus per C aukštyn. Teorema. Funkcijos f ( x) C, ( C> 0) gaunamas Γ perk lus per C žemyn. f 2. g( x) = f ( x) Γ f yra simetriškas Γ f ašies Ox atžvilgiu. 3. g( x) = f ( x) Γ gaunamas Γ f f dalį, esančią apatin je pusplokštum je simetriškai atspind jus ašies Ox atžvilgiu.
4. g( x) = f ( x+ a), a> 0, g( x) = f ( x a) grafikų br žimas Teorema. f ( x+ a), a> 0 grafikas gaunamas f ( x ) grafiką pastūmus į kairę per a vienetų. f ( x a), a> 0 grafikas gaunamas f ( x ) grafiką pastūmus į dešinę per a vienetų. 5. g( x) = f ( x) Teorema. f ( x) grafikas gaunamas f ( x ) grafiką simetriškai atvaizdavus ašies Oy atžvilgiu. 6. g( x) = f ( ax), a 0 Kai a> 1. Teorema. Kai a> 1, f ( ax ) grafikas gaunamas suspaudžiant f ( x ) grafiką a kartų Ox ašies atžvilgiu (išilgai Ox ašiai).
Kai 0< a< 1, tai f ( ax ) grafikas gaunamas ištempiant f ( x ) grafiką Ox ašies atžvilgiu 1 a kartą. 7. g( x) = A f ( x), A 0, A 1 Teorema. Kai A> 1, funkcijos A f ( x) grafikas gaunamas f ( x ) grafiką ištempiant A kartų ašies Oy atžvilgiu. Kai 0< A< 1, funkcijos A f ( x) grafikas gaunamas suspaudžiant f ( x ) grafiką 1 A kartų ašies Oy atžvilgiu. 8. g( x) = f ( x). Teorema. Funkcijos f ( x ) grafikas gaunamas paliekant dešin je pusplokštum je esančią f ( x ) grafiko dalį ir ją simetriškai ašies Oy atžvilgiu perkeliant į kairiąją pusplokštumę.
Atvirkštin funkcija Apibr žimas. Funkcijos f : A B ir g : B A vadinamos viena kitai atvirkštin mis, jeigu g( f ( a)) = a, a A ir f ( g( b)) = b, b B. Šios lygyb s vadinamos pagrindin mis tapatyb mis (PT). Tokiu būdu g(b)=a kai f(a)=b Teorema*. Funkcija f : A B turi atvirkštinę tada ir tik tada, kai f yra bijekcija, t.y. b B,! a A, toks, kad f ( a) = b. Teorema. Atvirkštin s funkcijos g( x ) grafikas yra simetriškas f ( x ) grafikui pusiaukampin s y= x atžvilgiu.
Atvirkštin s trigonometrin s funkcijos Apibr žimas. Tegul A1 A ir turime dvi funkcijas f : A B ir g : A1 B, tokias, kad g( x) = f ( x), x A1. Tada funkcija g yra vadinama funkcijos f susiaurinimu, o funkcija f vadinama funkcijos g pratęsimu. π π 1. y= sin x,, 2 2. Apibr žimas. Skaičiaus a [ 1, 1] arksinusu, žymima arcsin a, vadinamas π π vienintelis kampas α, 2 2, kurio sinα= a. π π PT. arcsin (sin x) = x, x, 2 2
[ ] sin (arcsin x) x, x 1, 1 2. y= cos x, x [ 0, π]. Apibr žimas. Skaičiaus a [ 1, 1] arkkosinusu, žymima arccosa, vadinamas vienintelis kampas α [ 0, π], kurio cosα= a. PT. arccos(cos x) = x, x [ 0, π] cos(arccos x) = x, x [ 1, 1]
Teorema. arccos( x) = π arccos x, x [ 1, 1]. Teorema. π arcsin x+ arccos x=, x [ 1, 1]. 2 Teorema. Funkcija y= arcsin x yra nelygin, o funkcija y= arccos x yra nei lygin, nei nelygin. π π 3. y= tg x, x, 2 2. Apibr žimas. Realiojo skaičiaus a arktangentu, žymima arctg a, vadinamas π π vienintelis kampas α, 2 2, kurio tgα= a. π π PT. arctg ( tg x) = x, x, 2 2 tg ( arctg x) = x, x R.
4. y ctg x, x ( 0, π) =. Apibr žimas. Realiojo skaičiaus a arkkotangentu, žymima arcctg a, vadinamas vienintelis kampas α ( 0, π), kurio ctgα= a. PT. arcctg ( ctg x) = x, x ( 0, π) ctg ( arcctg x) = x, x R Teorema. arcctg ( x) = π arctg x, x R
π arctg x+ arcctg x=, x R. 2 Skaičių sekos. Sekos riba Konverguojančių sekų savyb s. Tegul ε (epsilo yra teigiamas skaičius. Apibr žimas. Skaičiaus a R ε aplinka vadinamas atviras intervalas Oε ( a) = ( a ε, a+ ε ). Lema. ( a ε, a+ ε ) = { x R x a< ε} = { x d( x, a) < ε}. Apibr žimas. Skaičių seka yra vadinama natūrinio argumento funkcija. f : N R n f ( = xn
Sekas žym sime: ( x, n N, ( y,... Skaičius x n vadinamas sekos bendruoju nariu. Apibr žimas*. Skaičius a vadinamas sekos ( x riba, jei, ε> 0 ( ε ) > 0, toks, kad nelygyb xn a < ε galioja n> ( ε ). Žymima lim x n = a. Apibr žimas. Baigtinę ribą turinti seka vadinama konverguojančia. Seka neturinti baigtin s ribos, vadinama diverguojančia. Teorema. Jei 1 α> 0, lim = 0 n α Tegul ( x ir ( y yra skaičių sekos. Apibr žimas. Seka, kurios bendrasis narys zn= xn+ yn vadinama šių sekų suma. Seka, kurios bendrasis narys
zn= xn yn vadinama šių sekų sandauga. Kai yn 0, seka, kurios bendrasis narys xn zn= vadinama šių sekų santykiu. yn Teorema. Konverguojanti seka yra apr žta. Teorema. Jei sekos ( x ir ( y konverguoja, tai konverguoja ir jų suma bei sandauga ir galioja lygyb s: lim x + y = lim x + lim y, ( ) n n n n lim x y = lim x lim y n n n n Išvada. Jei ( limcx = c lim x. n Teorema. Jei n x konverguoja, tai a= lim x n, tai lim x n = a.
Teorema. Jei yn 0 ir lim yn= b 0, tai 1 1 egzistuoja lim =. n yn b Teorema. Jei lim x n = a< b, tai > 0, toks kad n> galioja nelygyb xn< b. Teorema. Jei lim x n = a> b, tai > 0, toks kad n> galioja nelygyb xn> b. Teorema. Jei sekos ( x ir ( y konverguoja, y 0, lim y = b 0, lim x = a, n n n x a tai egzistuoja lim n =. yn b Tegul m1< m2 <... < m n <... yra did janti natūraliųjų skaičių seka. Apibr žimas. Seka ( y, kurios bendrasis narys y = x, vadinama sekos ( x posekiu. n m n
Paprasčiausi posekių pavyzdžiai yra duotosios sekos nariai su lyginiais arba nelyginiais numeriais. Teorema. Kiekvienas konverguojančios sekos posekis turi tą pačią ribą kaip ir seka.