5. predavanje Vladimir Dananić 27. ožujka 2012. Vladimir Dananić () 5. predavanje 27. ožujka 2012. 1 / 16
Sadržaj 1 Magnetske pojave O magnetizmu Gaussov zakon za magnetsko polje Nabijena čestica u magnetskom polju Hallov učinak Biot-Savartov zakon Međudjelovanje električnih struja Vladimir Dananić () 5. predavanje 27. ožujka 2012. 2 / 16
O magnetizmu Magnetizam Poput elektriciteta i magnetizam je pojava poznata iz antičkog doba. Iskustveno je lako uočiti sličnosti i razlike između tih dviju pojava. Neke su tvari po prirodi magnetične. Međutim, magnetičnost ne možemo izazvati trljanjem dviju nemagnetičnih tvari, za razliku od elektriciteta kojega možemo dobiti na takav način. No, trljanjem neke tvari (npr. željeza) magnetom, možemo magnetizirati tu tvar, trajno ili privremeno. Osim toga, dva se magneta privlače ili odbijaju ovisno o njihovoj međusobnoj orijentaciji, za razliku od dvaju električki nabijenih tijela koja se privlače ili odbijaju neovisno o njihovoj međusobnoj orijentaciji. Ta ovisnost sile između dvaju magneta može se objasniti postojanjem dvaju polova, pri čemu se istoimeni polovi odbijaju, a raznoimeni se privlače. Svaki magnet ima dva pola koja ne možemo razdvojiti. Magneti se uvijek pojavljuju kao dipoli. Međudjelovanje dvaju električkih dipola neutralnih sustava posve je slično međudjelovanju između dvaju magneta. Vladimir Dananić () 5. predavanje 27. ožujka 2012. 3 / 16
O magnetizmu Silnice magnetskog polja Pojam magnetskog polja ne možemo uvesti na sličan način kao što smo uveli pojam električnog polja. Razlog tomu je taj što nemamo probni magnetski naboj, kao što imamo probni električni naboj. Naime, dipol nije skalarna veličina, nego je vektorska. Dijeljenje sile između dvaju magneta s probnim dipolom, ako bismo i dobro definirali takvu operaciju kao što je dijeljenje dvaju vektora, ne bi nam dalo vektor. No, prispodobu s električnim poljem ipak možemo iskoristiti na određeni način. Naime, neutralni električni dipol u električnom polju orijentirat će se u smjeru polja. Slično tomu, pitamo se hoće li se magnetski dipoli orijentirati u smjeru nekakvog, magnetskog, polja? Odgovor je na to pitanje potvrdan. Zaista, ako željezne strugotine stavimo u blizinu nekakvog magneta, vidjet ćemo da se te strugotine orijentiraju na određeni način. To možemo iskoristiti za iskustveno definiranje silnica magnetskog polja. S pomoću sitnih magnetskih dipola željezne strugotine možemo doslovce vidjeti da se one u blizini magneta orijentiraju na određeni način, da se poredaju po nekakvim crtama koje možemo zvati silnicama magnetskog polja. Vladimir Dananić () 5. predavanje 27. ožujka 2012. 4 / 16
O magnetizmu Silnice magnetskog polja Pojam silnice magnetskoga polja uveo je M. Faraday početkom 19. stoljeća. Te su silnice uvijek zatvorene. Također znamo da su i silnice električnoga polja neutralnih električnih dipola zatvorene. Dakle, prispodoba je magnetskih dipola s električnim dipolima potpuna. Bitna je razlika što električni dipol možemo prepiliti tako da dobijemo slobodne električne naboje, a magnetske dipole ne možemo prepiliti tako da dobijemo slobodne magnetske naboje. S J S J Vladimir Dananić () 5. predavanje 27. ožujka 2012. 5 / 16
Gaussov zakon za magnetsko polje Magnetsko polje Silnice magnetskoga polja definirane na prethodni način, zvat ćemo indukcijom magnetskog polja B. Osim što u prirodi, na površini planeta Zemlje, nalazimo magnetične materijale, sam planet je magnet. Planet Zemlja ima magnetsko polje i magnetske polove, koji se ne poklapaju (barem ne savršeno) sa zemljopisnim polovima Zemlje. I mnoga druga nebeska tijela također imaju magnetsko polje. Magnetski je kompas vrlo stari izum, koji može služiti kao sprava za navigaciju. Sudeći po mnogim podatcima, ptice selice imaju sposobnost osjećanja magnetskoga polja. No, vrijeme je da napišemo i koju formulu. Budući da nema magnetskih naboja (monopola), tok magnetskoga polja B kroz svaku zatvorenu površinu jednak je 0: Bd S = 0 (1) To možemo zvati Gaussovim zakonom za magnetsko polje. S Vladimir Dananić () 5. predavanje 27. ožujka 2012. 6 / 16
Nabijena čestica u magnetskom polju Naboj u magnetskom polju Pokusom je lako ustanoviti da magnetsko polje ne će djelovati nikakvom silom na električki naboj koji miruje u odnosu na silnice magnetskoga polja. No, ako se električki naboj giba u odnosu na silnice magnetskoga polja onda će na njega djelovati sasvim određena sila. Ta će sila biti razmjerna količini naboja, njegovoj brzini i magnetskom polju. No, ovdje imamo zadatak da od dvaju vektora, naime brzine naboja i magnetskoga polja, određenom matematičkom operacijom napravimo treći vektor, naime silu. To je u tri prostorne dimenzije moguće napraviti tako da dva vektora pomnožimo vektorski. Pokusi pokazuju da je sila F na naboj q, koji se u odnosu na magnetsko polje B giba brzinom v jednaka F = q v B (2) Jednadžba (2) definira i mjernu jedinicu za indukciju magnetskoga polja B. Ta se mjerna jedinica zove Tesla (T). Dakle 1T = kg A 1 s 2. Vladimir Dananić () 5. predavanje 27. ožujka 2012. 7 / 16
Nabijena čestica u magnetskom polju Naboj u magnetskom polju Istaknimo glavne značajke sile (2) Sila je okomita i na brzinu čestice i na magnetsko polje. Takva sila ne može mijenjati kinetičku energiju čestice zato što je infinitezimalno mala promjena brzine zbog djelovanja te sile uvijek okomita na samu trenutnu brzinu. Budući da magnetsko polje djeluje na nabijenu česticu u gibanju, jasno je da će magnetsko polje djelovati i na vodič kojim teče električna struja. Tu silu lako možemo izračunati ako je riječ o homogenom magnetskom polju. d F = dq v B = I ( vdt) B = Id r B F = I R B (3) U jednadžbi (3) vektor R spaja početnu i konačnu točku vodiča, pri čemu je orijentacija struje I od početne do konačne točke. U zatvorenoj petlji R = 0, pa je ukupna sila homogenoga magnetskoga polja na zatvorenu strujnu petlju jednaka 0. Vladimir Dananić () 5. predavanje 27. ožujka 2012. 8 / 16
Nabijena čestica u magnetskom polju Zadatak Na slici je prikazan vodič kojim teče struja u naznačenom smjeru. Vodič se nalazi u homogenom magnetskom polju B. Kolika je ukupna sila na vodič? B a b 2 a c Vladimir Dananić () 5. predavanje 27. ožujka 2012. 9 / 16
Hallov učinak Hallov učinak Zamislimo ravni vodič pravokutnoga presjeka. Stranice presjeka vodiča su a i b, a duljina L. Ako na krajeve vodiča priključimo napon U, duž vodiča pojavit će se električno polje E = U/L, i njime će poteći struja I = U/R, gdje je R električni otpor vodiča. To znači da će nositelji naboja u vodiču imati određenu narivnu brzinu v nar. Ako taj vodič stavimo u homogeno magnetsko polje koje je okomito na vodič, nositelji naboja dobit će prirast brzine okomito i na magnetsko polje i na brzinu. To znači da će nositelji naboja uslijed djelovanja magnetske sile krenuti prema određenoj bočnoj stranici vodiča. Zbog skupljanja naboja na bočnoj stanici vodiča, pojavljuje se transverzalno električno polje. Transverzalno polje raste sve dok se ne postigne ravnoteža između magnetske i električne sile, pa tada prestaje teći transverzalna struja. Vladimir Dananić () 5. predavanje 27. ožujka 2012. 10 / 16
Hallov učinak Hallov učinak a B b ET E L Poprječno električno polje upravo je takvo da uravnoteži magnetsku silu. Narivna brzina može biti iste orijentacije kao i uzdužno električno polje, ili suprotne, već prema tome kakav je predznak nositelja naboja. U ravnoteži vrijedi E T + v nar B = 0 (4) Budući da je narivna brzina okomita na magnetsko polje, jednadžbu (4) možemo riješiti E v nar = T B B 2, J = qn v nar J uzd. = qn B E T (5) Mjerenjem poprječnoga električnoga polja, odnosno napona na bočnim stranicama, i jakosti struje možemo izračunati koncentraciju nositelja naboja. Vladimir Dananić () 5. predavanje 27. ožujka 2012. 11 / 16
Hallov učinak Maseni spektrometar Magnetsko polje ne mijenja kinetičku energiju čestice, tj. iznos njezine brzine, ali mijenja njezin smjer. Budući da je ta promjena smjera brzine uvijek okomita na trenutnu brzinu, nabijena će se čestica u homogenom magnetskom polju gibati po kružnici, ako nema drugih sila koje bi joj mijenjale iznos brzine. Dakle, centripetalna će sila biti po iznosu jednaka magnetskoj sili: mv 2 = q vb r = mv (6) r q B Vidimo da polumjer kružnice ovisi o omjeru mase i naboja čestice. Upravo je ta činjenica osnovom jedne jednostavne mjerne naprave spektrometar masa. Ako u nekom snopu imamo više različitih nabijenih čestica i ako napravimo da sve čestice u snopu imaju podjednaku brzinu, onda propuštanjem snopa kroz homogeno magnetsko polje postiženo to da se pri izlasku snop razdijeli na više snopova, ovisno o tome kakav je omjer mase i naboja čestice koja je prošla kroz magnetsko polje. Vladimir Dananić () 5. predavanje 27. ožujka 2012. 12 / 16
Hallov učinak Tokamak Svojstvo magnetskoga polja da nabijenu česticu zarobljuje u kružnoj putanji, može se iskoristiti kao način da se vrlo vruće nabijene čestice drže u posudi određenoga oblika tako da ne dotaknu stijenke posude. Naprava koja to postiže zove se tokamak (od ruskoga: toroidaljnaja kamera s magnitnimi katuškami). Crtić: http://www.youtube.com/watch?v=pvisgdwmgrs Vladimir Dananić () 5. predavanje 27. ožujka 2012. 13 / 16
Biot-Savartov zakon Biot-Savartov zakon Magnetsko polje djeluje na naboj u gibanju, tj. na električnu struju. Logično je očekivati da će naboj u gibanju, tj. električna struja, proizvoditi magnetsko polje. Upravo o tome govori Biot-Savartov zakon. Taj zakon uspostavljuje svezu između infinitezimalno maloga elementa žice (vodiča) s orijentiranoga kao i struja jakosti I koja njime prolazi i infinitezimalnoga magnetskoga polja d B udaljenooga za r od elementa vodiča. Pri tome je važan smjer koji povezuje element vodiča s točkom u kojoj računamo polje. Taj ćemo smjer označiti jediničnim vektorom n koji gleda od elementa vodiča prema točci u kojoj računamo polje: db = µ Id s n 4π r 2 (7) Vladimir Dananić () 5. predavanje 27. ožujka 2012. 14 / 16
Biot-Savartov zakon Biot-Savartov zakon Jednadžba (7) predočuje Biot-Savartov zakon. Da bismo izračunali magnetsko polje u određenoj točci u prostoru, moramo integrirati po cijelom vodiču (žici). To integriranje može biti jako zahtjevno, ali za jednostavne geometrijske oblike žice taj je postupak lako provediv. Konstanta µ u jednadžbi (7) opisuje dvije stvari: izbor sustava mjernih jedinica. postojanje određene materijalne sredine u kojoj se žica nalazi. Ta se konstanta zove magnetska permeabilnost. U vakuumu ta je permeabilnost jednaka µ 0 = 4π 10 7 TmA 1. Za sva se druga sredstva permeabilnost izražava s pomoću relativne permeabilnosti µ r, tj. µ = µ r µ 0. Vladimir Dananić () 5. predavanje 27. ožujka 2012. 15 / 16
Međudjelovanje električnih struja Struja-struja međudjelovanje Jedna struja stvara magnetsko polje svuda u prostoru, pa onda i na mjestu na kojem teče neka druga struja. Znamo da magnetsko polje djeluje određenom silom na vodič protjecan strujom vidi jednadžbu (3). Zaključak je da jedna struja djeluje na drugu, i za to međudjelovanje, naravno, vrijedi 3. Newtonov zakon. U općem slučaju, s vodičima proizvoljnoga oblika, nije moguće napisati jednostavan izraz za silu između njih, ali za dva paralelna vodiča, beskonačno dugačka duljine L, koji se nalaze u vakuumu, ta je sila jednaka: F = µ 0 I 1 I 2 4π a L (8) gdje su I 1 i I 2 struje u vodičima, a a je udaljenost između njih. Ta je sila privlačna ako su struje istoga smjera, inače je odbojna. Upravo je sila (8) osnovom za definiciju osnovne mjerne jedinice amper. Vladimir Dananić () 5. predavanje 27. ožujka 2012. 16 / 16