8 Tangencijalna ravnina plohe

8 Tangencijalna ravnina plohe Sferu kao plohu pokrili smo sa šest, odnosno sa dvije karte u Primjeru 2. Dakle, općenito, neka točka sfere ležat će u slikama od više karata. Proučimo stoga što se dogada pri promjeni karte. Neka su x : U S W, x : Ũ S W dvije karte i neka je p S W W. Kako su x, x homeomorfizmi, to su V := x 1 (S W W ) U i Ṽ := x 1 (S W W ) Ũ otvoreni skupovi. Kompoziciju θ := x 1 x : Ṽ V nazivamo funkcijom prijelaza s x na x. Vrijedi x(ũ, ṽ) =x(θ(ũ, ṽ)). Teorem 8.1 Funkcije prijelaza regularne plohe su glatke. Dokaz. Neka je p = x(u 0,v 0 )= x(ũ 0, ṽ 0 ). Kako je Jacobijeva matrica J preslikavanja x ranga 2, to postoji regularna minora od J reda 2. Neka je to minora ( ) xu x v. Po Teoremu o inverznim funkcijama primijenjenom na preslikavanje y u F : U R 2, F(u, v)=(x(u, v),y(u, v)), postoji otvoren podskup W 1 R 2 oko (u 0,v 0 ) i otvoren podskup W 2 R 2 oko F (u 0,v 0 ) takvi da je F : W 1 W 2 glatka bijekcija s glatkim inverzom. Preslikavanje x : W 1 x(w 1 ) bijekcija, te je kompozicija F x 1 bijekcija na x(w 1 ). Uočimo da je F x 1 (x,y,z)=(x, y) =π(x,y,z), gdje je π projekcija na prve dvije koordinate. Nadalje, vrijedi da je W := x 1 (x(w 1 )) otvoren podskup od Ũ, te vrijedi y v x 1 x = F 1 F na Ṽ, gdje je F = π x. Kako su F 1 i F glatka preslikavanja na Ṽ, to je i preslikavanje x 1 x je glatko na otvorenom skupu koji sadrži proizvoljnu točku (u 0,v 0 ). Prema tome, x 1 x je glatko. Sljedeći je rezultat neka vrst obrata: Propozicija 8.1 Neka su U i Ũ podskupovi od R2 i x : U R 3 regularna karta. Neka je θ : Ũ U glatka bijekcija s glatkim inverzom. Tada je regularna karta. x θ : Ũ R 3 45

Dokaz. Označimo x = x θ, (u, v)=θ(ũ, ṽ). Po lančanom pravilu imamo xũ = u ũ x u + v ũ x v, xṽ = u ṽ x u + v ṽ x v. Prema tome je ( u v xũ xṽ = ũ ṽ u ) v x u x v. ṽ ũ Izraz u zagradi je determinanta Jacobijeve matrice preslikavanja θ koja je zbog pretpostavki različita od 0. Prema tome, uvjet x u x v 0 povlači xũ xṽ 0. Definicija 8.2 Parametrizacija x je reparametrizacija od x ako postoji glatka bijekcija s glatkim inverzom θ : Ũ U takva da je x = x θ. Važan princip u diferencijalnoj geometriji definirati svojstva plohe koje ne ovise o parametrizaciji, tj. ne mijenjaju se pri promjeni karte. Definicija 8.3 Svako glatko preslikavanje c : I S nazivamo krivuljom na plohi. Pritom, za preslikavanje c : I S kažemo da je glatko ako je preslikavanje x 1 c : I U glatko, za kartu x : U S. Zbog Teorema 8.1 pojam krivulje na plohi je dobro definiran. Definicija 8.4 Neka je x : U R 3 karta i (u 0,v 0 ) U. Krivulje nazivaju se parametarskim u i v-krivuljama. u x(u, v 0 ), v x(u 0,v) Propozicija 8.2 Neka je c : I R 3 krivulja takva da je c(i) x(u). Tada postoje jedinstvene glatke funkcije u = u(t), v = v(t) :I R takve da je c(t) =x(u(t),v(t)). (8.12) Dokaz. Promotrimo preslikavanje x 1 c : I R 2. Ono je glatko preslikavanje, jer su preslikavanja c i x glatka. Označimo sa u(t), v(t) koordinatne funkcije tog preslikavanja. Tada je x 1 c(t) =(u(t),v(t)). Prema tome, vrijedi (8.12). Jedinstvenost izlazi iz sljedećeg: ako su ũ =ũ(t), ṽ =ṽ(t) :I R neke druge funkcije s tim svojstvom, tada je (ũ, ṽ) =x 1 c(t) =x 1 x(u(t),v(t)) = (u(t),v(t)). 46

Primjer 1. 1 Obična cilindrična spirala c(t) =(a cos t, a sin t, bt) na cilindru može se prikazati kao c(t) = x(t, t). x(u, v)=(a cos u, a sin u, bv) 2 Vivijanijev prozor c(t) = (2 cos 2 t, sin 2t, 2 sin t) na sferi može se prikazati kao c(t) = x(t, t). x(u, v) = (2 cos u cos v, 2 cos u sin v, 2 sinv) Definicija 8.5 Neka je S regularna ploha, x : U R 3 karta i p x(u). Tangencijalni vektor karte x u točki p = x(u 0,v 0 ) je vektor v p R 3 p za koji postoji krivulja c : I S, c(i) x(u), takva da je c(0) = p, c (0) = v p. Skup svih tangencijalnih vektora u p označavamo s T p S. Teorem 8.6 Skup T p S je potprostor prostora T p R 3 dimenzije 2. Dokaz. Koristeći kriterij za potprostor, pokažimo najprije da za svaka dva vektora v p,w p T p S i svaka dva skalara α, β R vrijedi αv p + βw p T p S. Zaista, kako su v p,w p T p S, to postoje krivulje c, c : I S takve da je c(0) = p, c (0) = v p, c(0) = p, c (0) = w p. Zapisano pomoću karata c(t) =x(u(t),v(t)), c(t) =x(ū(t), v(t)), c(0) = x(u(0),v(0)) = c(0) = x(ū(0), v(0)) = x(u 0,v 0 )=p, v p = c (0) = x u (u 0,v 0 )u (0) + x v (u 0,v 0 )v (0), w p = c (0) = x u (u 0,v 0 )ū (0) + x v (u 0,v 0 ) v (0). Promotrimo krivulju d : I S d(t) =x(u 0 + t(αu (0) + βū (0),v 0 + t(αv (0) + β v (0))). Za nju vrijedi d(0) = x(u 0,v 0 )=p d (0) = x u (u 0,v 0 ) ( αu (0) + βū (0) ) + x v (u 0,v 0 ) ( αv (0) + β v (0) ) = αv p + βw p. Prema tome, αv p + βw p je tangencijalni vektor plohe S u točki p. Nadalje, pokažimo da je {x u (u 0,v 0 ), x v (u 0,v 0 )} baza za T p S. Već smo u prethodnom koraku pokazali da je navedeni skup skup izvodnica. Još trebamo utvrditi da je linearno nezavisan, a ta činjenica izlazi upravo iz uvjeta regularnosti plohe u točki p. Potprostor T p S se naziva tangencijalna ravnine plohe S u točki p. 47

9 Prva fundamentalna forma plohe Definicija 9.1 Prva fundamentalna forma plohe S u točki p S je simetričan, bilinearan funkcional I : T p S T p S R definiran s I(v p,w p )=v p w p = v w. Pridruženi kvadratni funkcional I : T p S R I(v p )=v p v p takoder nazivamo prvom fundamentalnom formom. Zapišimo prvu fundamentalnu formu u karti x : U R 3. Neka je v p T p S. Tada postoji krivulja c : I S takva da je c(0) = p, c (0) = v p. Neka je p = x(u 0,v 0 ). Krivulju c prikazujemo u karti c(t) =x(u(t),v(t)), te vrijedi Dakle, v p = c (0) = x u (u 0,v 0 )u (0) + x v (u 0,v 0 )v (0). I(v p )=v p v p = x 2 u(u 0,v 0 )(u (0)) 2 +2x u (u 0,v 0 ) x v (u 0,v 0 )u (0)v (0) + x 2 v(u 0,v 0 )(v (0)) 2. Definiramo funkcije E,F,G: U R E = x 2 u, F = x u x 2 v, G = x2 v. Funkcije E,F,Gnazivamo fundamentalnim veličinama prvog reda plohe S u karti x : U R 3. Neka je c : I S krivulja na plohi, c(i) x(u). Sjetimo se da je duljina luka od c definirana je s t s(t) = c (t) dt. t 0 Možemo pisati t s(t) = I c(t) (c (t))dt. Ako je c(t) = x(u(t),v(t)), tada je t s(t) = Eu (t) 2 +2Fu (t)v (t)+gv (t) 2 dt. t 0 Prethodnu jednakost pišemo i u obliku ( ds dt )2 = Eu (t) 2 +2Fu (t)v (t)+gv (t) 2, t 0 48

odnosno ds 2 = Edu 2 +2F dudv + Gdv 2, što takoder nazivamo prvom fundamentalnom formom (ili metričkim tenzorom) plohe S. Koeficijente prve fundamentalne forme ponekad pišemo i kao E = g 11, F = g 12 = g 21, G = g 22, što zapisujemo i matrično ( ) ( ) E F g11 g (g)= = 12. F G g 21 g 2 Kao što smo sad utvrdili, pomoću prve fundamentalne forme možemo mjeriti duljinu luka krivulja na plohi. Nadalje, možemo odrediti kut medu krivuljama i računati površinu dijela plohe. Neka su c, c : I S dvije krivulje na plohi. Tada je kut medu njima u točki njihovog presjeka c(t 0 )= c( t 0 ) jednak cos ϕ = c (t 0 ) c ( t 0 ) c (t 0 ) c ( t 0 ) = Eu ū + F (u v + v ū )+Gv v Eu 2 +2Fu v + Gv 2 Eū 2 +2F ū v + G v 2, ako je c(t) = x(u(t),v(t)), c(t) = x(ū(t), v(t)). Posebno, kut izmedu parametarskih krivulja (njihovi tangencijalni vektori su x u i x v ) jednak je cos ϕ = F. EG Površina dijela plohe definirana je kao P = U EG F 2 dudv. Primjer 1. Neka je ravnina zadana točkom p i dvama ortonormiranim vektorima a, b. Tada je x(u, v)=p + ua + vb. Prva fundamentalna forma ravnine u karti x je ds 2 = du 2 + dv 2. Primjer 2. Neka je zadan kružni cilindar parametrizacijom x(u, v)=(rcos u, r sin u, v). Prva fundamentalna forma cilindra u karti x je ds 2 = du 2 + dv 2. Primjer 3. Prva fundamentalna forma sfere radijusa r parametrizirane geografskom parametrizacijom je ds 2 = r 2 (cos u 2 du 2 + dv 2 ). 49

1 Odredite duljinu ekvatora. 2 Odredite duljinu nultog meridijana. 3 Odredite površinu sfere. Primjer 4. Prva fundamentalna forma torusa parametriziranog s x(u, v)=((r + r cos u) cos v, (R + r cos u) sin v, rsin u) je ds 2 = r 2 du 2 +(R + r cos u) 2. Površina torusa je P =4rRπ 2. Propozicija 9.1 Neka je x(ũ, ṽ) reparametrizacija parametrizacije x(u, v) funkcijom θ i neka su Ẽ, F, G, E,F,G pripadni koeficijenti prve fundamentalne forme. Neka je ) J = ( u ũ v ũ u ṽ v ṽ Jacobijeva matrica preslikavanja θ(ũ, ṽ) =(u, v). Tada vrijedi ( ) ( ) Ẽ F = J F G t E F J. F G Zadatak. Pokažite da se 1 duljina luka krivulje na plohi, 2 površina dijela plohe ne mijenjaju pri reparametrizaciji. 50