ELEMENTE DE ANALIZA MATEMATICA SI MATEMATICI SPECIALE

Uverstatea OVIDIUS Costaţa Departametul ID-IFR Facultatea Matematca-Iformatca ELEMENTE DE ANALIZA MATEMATICA SI MATEMATICI SPECIALE Caet de Studu Idvdual Specalzarea IEDM Aul de stud I Semestrul I Ttular dscplă: Prof. uv. dr. EDUARD-MARIUS CRACIUN 00

Cuprs ELEMENTE DE ANALIZA MATEMATICA SI MATEMATICI SPECIALE CUPRINS Utate de îvăţare Ttlul INTRODUCERE Paga 6 RECAPITULAREA UNOR NOŢIUNI DE BAZA DIN ANALIZA MATEMATICĂ DE LICEU. Mulţm.. Fucţ Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. Răspusur ş cometar la îtrebărle d testele de autoevaluare Bblografe Utate de îvăţare Nr. SPAŢII METRICE. Defţ ş exemple. Spaţ metrce partculare Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. Răspusur ş cometar la îtrebărle d testele de autoevaluare Bblografe Utate de îvăţare Nr. 8 8 9 3 3 4 6 6 7 3 SIRURI DE NUMERE 3. Srur de umere: defţe ş exemple 3. Crter de covergeţă Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 3 Răspusur ş cometar la îtrebărle d testele de autoevaluare Bblografe Utate de îvăţare Nr. 3 9 9 0 4 5 SERII DE NUMERE 4. Ser umerce 4. Crter de covergeţă Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 4 Răspusur ş cometar la îtrebărle d testele de autoevaluare Bblografe Utate de îvăţare Nr. 4 LIMITE DE FUNCŢII 5. Lmta ue fucţ îtr-u puct Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 5 Răspusur ş cometar la îtrebărle d testele de autoevaluare Bblografe Utate de îvăţare Nr. 5 3 3 4 5 6 6 8 8 9 9 30 Elemete de aalza matematca s matematc specale

6 FUNCŢII CONTINUE 6. Fucţ cotue pe spaţ metrce Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 6 Răspusur ş cometar la îtrebărle d testele de autoevaluare Bblografe Utate de îvăţare Nr. 6 Cuprs 3 3 33 33 33 7 DERIVATE PARŢIALE SI DIFERENŢIALA DE ORDINUL ÎNTÂI 7. Dervate parţale de ordul îtâ Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 7 Răspusur ş cometar la îtrebărle d testele de autoevaluare Bblografe Utate de îvăţare Nr. 7 35 35 36 37 37 8 DERIVATE PARŢIALE SI DIFERENŢIALE DE ORDIN SUPERIOR 8. Dervate parţale de ord superor 8. Dervata dupa u versor Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 8 Răspusur ş cometar la îtrebărle d testele de autoevaluare Bblografe Utate de îvăţare Nr. 8 39 39 40 4 4 4 9 EXTREME LIBERE 9. Pucte de extrem local 9. Algortm de determare a puctelor de extrem local Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 9 Răspusur ş cometar la îtrebărle d testele de autoevaluare Bblografe Utate de îvăţare Nr. 9 44 44 44 46 46 47 0 EXTREME CU LEGĂTURI 0. Extreme codţoate 0. Multplcator lu Lagrage. Exemplu Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 0 Răspusur ş cometar la îtrebărle d testele de autoevaluare Bblografe Utate de îvăţare Nr. 0 49 49 50 5 5 5 INTEGRALA RIEMANN. Sume Rema.. Clase de fucţ tegrable Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. Răspusur ş cometar la îtrebărle d testele de autoevaluare Bblografe Utate de îvăţare Nr. 54 54 55 56 56 56 INTEGRALE IMPROPRII. Itegrale mpropr de speţa I Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. Răspusur ş cometar la îtrebărle d testele de autoevaluare 58 58 60 60 Elemete de aalza matematca s matematc specale 3

Cuprs Bblografe Utate de îvăţare Nr. 60 3 INTEGRALE DUBLE 3. Defţa tegrale duble. Propretăţ ale tegrale duble. Metode de calcul Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 3 Răspusur ş cometar la îtrebărle d testele de autoevaluare Bblografe Utate de îvăţare Nr. 3 6 6 64 65 65 4 INTEGRALE TRIPLE 4. Defţa tegrale trple. Calculul tegrale trple Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 4 Răspusur ş cometar la îtrebărle d testele de autoevaluare Bblografe Utate de îvăţare Nr. 4 BIBLIOGRAFIE 67 67 68 68 69 70 Observaţe: umărul utăţlor de îvăţare este egal cu umărul şedţelor de curs la forma de îvăţămât z (8 ore curs = 4 UI, 4 ore curs = 7 UI) Elemete de aalza matematca s matematc specale 4

Itroducere Elemete de aalza matematca s matematc specale INTRODUCERE foto Stmate studet, Numele meu este Eduard-Marus Cracu (.965), î prezet sut profesor uverstar, ttular al Facultaţ de Matematca-Iformatca d cadrul Uverstăţ Ovdus Costaţa. Sut absolvet al Facultăţ de Matematca-Iformatca a Uverstat d Bucureşt. Sut autor a umeroase cărţ ş artcole î domeul matematclor aplcate s al mecac publcate prestgose edtur d tara s d straatate (SUA, Cha, Germaa, Frata, Itala, sa). Materalul este orgazat î 4 utăţ de îvăţare, fecare d aceste utăţ coţâd o parte de prezetare teoretcă a subectulu tratat, o parte de exercţ (teste de autoevaluare), rezolvărle acestora ş o lucrare de verfcare fală. Testele de autoevaluare ajută la fxarea cuoştţelor dobâdte î fecare utate de îvăţare ş permt evaluarea cotuă a cursatulu. Lucrărle de verfcare repreztă o evaluare fală la sfârştul fecăre etape de îvăţare, pr care se urmăreşte determarea gradulu de îsuşre de către dumeavoastră a coceptelor, metodelor, tehclor etc. prezetate ateror. Răspusurle pe care le formulaţ vor f trasmse pr e-mal la adresa emcracu@yahoo.com petru a f verfcate ş cometate. Lucrarea pe care o redactaţ ş pe care o trmteţ tutorelu trebue să coţă pe prma pagă deumrea cursulu Elemete de aalza matematca s matematc specale, umele ş preumele dumeavoastră ş adresa de e-mal pe care o aveţ. Petru o justă detfcare a lucrăr este de dort ca pe fecare pagă să seraţ umele ş preumele dumeavoastră. Răspusurle trebue să fe clar formulate, î lmta posbltăţlor fd recomadablă utlzarea uu procesator de texte. Î mede răspusurle ar trebu să se îtdă pe o jumătate de pagă, putâd exsta formulăr ma lug sau ma scurte fucţe de subectul tratat. Ître două răspusur succesve este ecesar a f lăsat u spaţu de 5-6 cm petru evetuale cometar d partea tutorelu. Poderea acestor lucrăr de evaluare î totalul ote de exame este de 50%, restul de 50% fd costtut de exameul propru-zs. Elemete de aalza matematca s matematc specale 6

Itroducere Succes! Spor la îvăţat ş succes! Elemete de aalza matematca s matematc specale 7

Recaptularea uor otu de baza d aalza matematca de lceu Utate de îvăţare Nr. RECAPITULAREA UNOR NOTIUNI DE BAZA DIN ANALIZA MATEMATICA DE LICEU Cuprs Paga Obectvele Utăţ de îvăţare Nr. RECAPITULAREA UNOR NOŢIUNI DE BAZA DIN ANALIZA MATEMATICĂ DE LICEU Recaptularea oţulor de baza ale aalze matematce d lceu Îsuşrea aparatulu de calcul d aalza matematcă de lceu 8. Mulţm..... 8. Fucţ...... 9 Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr.... Răspusur ş cometar la testele de autoevaluare... Bblografe Utate de îvăţare Nr... Elemete de aalza matematca s matematc specale 8

Recaptularea uor otu de baza d aalza matematca de lceu OBIECTIVELE Utăţ de îvăţare Nr. Prcpalele obectve ale Utăţ de îvăţare Nr. sut: Recaptularea oţulor de bază ale aalze matematce d lceu Îsuşrea aparatulu de calcul d aalza matematcă de lceu Mulţm. Mulţm Dacă elemetul x se află prtre elemetele mulţm A vom scre x A ş ctm x aparţe mulţm A. Î caz cotrar screm x A ş ctm x u aparţe mulţm A. Notăm cu mulţmea vdă (fără c u elemet). Defţe Dacă A, B sut două mulţm atuc: ) A este clusă î B ş otăm A B x A x B ; ) A B A B ş B A; 3) tersecţa mulţmlor A ş B este mulţmea A B x x A ş B 4) reuuea mulţmlor A ş B este mulţmea A x ; B x x A sau B x. Dacă X este o mulţme atuc mulţmea submulţmlor aceste mulţm se P X A A X, (mulţmea părţlor lu X). otează, a este o mulţme ftă atuc P(X) este o mulţme cu elemete, de aceea o altă otaţe petru P(X) este X. Dacă X a a,..., Exemplu Dacă X a, a a P Defţe, 3, atuc X a, a, a, a, a, a, a, a, a, a, a,., 3 3 3 a3 Dacă A, A sut două mulţm se umeşte produsul carteza al mulţm A cu mulţmea A mulţmea A a a a A, A, a A. Elemete de aalza matematca s matematc specale 9

Exemplu R R 3 Recaptularea uor otu de baza d aalza matematca de lceu R R R R R y x, x, y R ; x, y, z x, y, z R ; R R R R... R x, x,..., x x R,,...,. Dacă A ş B sut două mulţm atuc mulţmea A \ B x x A ş x B se umeşte dfereţa celor două mulţm. Dacă X ş A X atuc complemetara lu A î raport cu X este mulţmea A x x X ş x A. C X Test de autoevaluare. Screţ răspusul î spaţul lber d chear. Fe famla de mulţm A PX X I,. Aratat ca următoarea egaltate este adevărată: C X I A I C X A Răspusul la test se găseşte la paga. Fucţ. Fucţ Defţe Fd date mulţmle evde X ş Y, se umeşte fucţe deftă pe X cu valor î Y o relaţe bară f X Y cu propretăţle: ) x X, y Y astfel îcăt x, y f ; x, y f, x y f y y. ) Dacă, Dacă f este o fucţe de la X la Y ş x, y f atuc vom scre f x y. Elemetul y se umeşte magea lu x pr fucţa f sau valoarea lu f î puctul x. X se ma umeşte ş domeul fucţe f. Remarcăm de asemeea că oţuea de fucţe presupue tre elemete: ) X, domeul de defţe al fucţe; ) Y, mulţmea de valor a fucţe sau codomeul; 3) relaţa care asocază orcăru elemet x X u uc elemet y Y. Preczăm că î locul termeulu de fucţe se ma folosesc ş terme de aplcaţe, trasformare, operator. Dacă f : X Y este o fucţe ş A X, mulţmea f A x f Y x A Elemete de aalza matematca s matematc specale 0

Recaptularea uor otu de baza d aalza matematca de lceu se umeşte magea lu A pr f, ar dacă B Y, mulţmea f B x X f x B se umeşte magea recprocă sau premagea pr fucţa f a mulţm B. Defţe Dacă f, f sut două fucţ f : X Y ş f : X Y, atuc spuem că f ş f sut egale f f dacă ş uma dacă ) X X ; ) Y Y ; X f x f x. 3) x Defţe Fe f : X Y o fucţe. Spuem că: ) f este jectvă dacă x, x X, x x f x f x ; ) f este surjectvă dacă y Y, x X astfel îcât f x y ; 3) f este bjectvă dacă f este jectvă ş surjectvă; 4) f este versablă dacă g : Y X astfel îcât g f X ş f g ; Y Am ajus la sfârştul Utăţ de îvăţare Nr.. Î loc de rezumat Vă recomad să faceţ o recaptulare a prcpalelor subecte prezetate î această utate ş să revzuţ obectvele preczate la îceput. Este tmpul petru îtocmrea Lucrăr de verfcare Utate de îvăţare Nr. pe care urmează să o trasmteţ tutorelu. Elemete de aalza matematca s matematc specale

Recaptularea uor otu de baza d aalza matematca de lceu Elemete de aalza matematca s matematc specale Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. Să se arate că: I X I X A C A C Răspusurle ş cometarle la testele de autoevaluare Răspus. Să arătăm că avem I X I X A C A C. Fe X I I X A C x A x A x A C x, I C X A x I. Ivers, dacă X I X A C x A C x, A x I, I X I A C x A x I. Bblografe Utate de îvăţare Nr.. Barbu L, Cracu E.M.- Elemete de aalza matematca s matematc specale, Ed. Ex-Poto, Costata, 004. Chrta S. Probleme de matematc superoare, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest 989

Spat metrce Utate de îvăţare Nr. SPAŢII METRICE Cuprs Paga Obectvele Utăţ de îvăţare Nr... 3. Defţ ş exemple... 3. Spaţ metrce partculare... 4 Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr.... 6 Răspusur ş cometar la testele de autoevaluare... 6 Bblografe Utate de îvăţare Nr... 7 Elemete de aalza matematca s matematc specale 3

Spat metrce OBIECTIVELE Utăţ de îvăţare Nr. Prcpalele obectve ale Utăţ de îvăţare Nr. sut: Îsuşrea oţulor d baza ale teore spaţlor metrce Studerea propretăţlor trecer la lmtă. Defţ ş exemple Defţ ş Defţe exemple Fe X o mulţme evdă. O aplcaţe d : X X 0, se umeşte dstaţă pe X (sau metrcă) dacă: ) d x, y 0 dacă ş uma dacă x y, x, y X ; ) d x, y dy, x, x, y X ; 3) d x, z dx, y dy, z, x, y, z X, (egaltatea trughulu). Perechea X, d se umeşte spaţu metrc. Exemplu. Pe R R defm dstaţa, dx y x y uşor că R,d este spaţu metrc.. Fe X o mulţme evdă ş d : X X 0,,,, y R x,. Se verfcă 0 d x, y dacă x y, x y, umtă metrca dscretă pe X. 3. Pe C putem def matrcea d z, z z z, z, z C C,d este spaţu metrc. 4. Pe spaţul R x x x,..., x R d,...,, defm aplcaţa d : R R,, 0 x x y x y y, x y R,... x, y y,..., x,..., eucldaă. x Defţe Fe X, d u spaţu metrc ş x 0 X, r 0. y,,. Astfel,. Atuc d estedstaţa pe R, umtă dstaţa Se umeşte blă deschsă cetrată î x 0, de rază r, mulţmea: Elemete de aalza matematca s matematc specale 4

Spat metrce B r x x X dx x 0, 0 r. Se umeşte blă îchsă, cetrată î x 0 ş de rază r, mulţmea: B r x x X dx x 0, 0 r. Se umeşte sferă cetrată x 0 ş de rază r, mulţmea: Exemplu Dacă R B r S r x x X dx x 0, 0 X ş dx, y x y, y R x x r x r r. x,, atuc 0 0, 0. Ma mult, orce terval (a, b) d R cocde cu a b o blă deschsă d R ş aume a, b B b a. Avem B r x0 x0 r, x0 r, ar orce terval îchs b R a, cocde a b cu B b a. Test de autoevaluare. Screţ răspusul î spaţul lber d chear. Fe X o multme evdă ş d metrca dscretă. Arătaţ că (X,d) este spaţu metrc. Răspusul la test se găseşte la paga.. Spaţ metrce partculare Spaţ metrce Defţe partculare Fe X u spaţu vectoral peste corpul K K R sau C. Se umeşte ormă deftă pe X o aplcaţe otată, : X R, x x, cu propretăţle: ) x 0, x X ş x 0 x 0 ; ) x x, y K, x X 3) x y x y, x y X ;, (egaltatea trughulu). Observaţe Petru x X, umărul x se umeşte orma vectorulu x. Exemplu. R este spaţu vectoral peste R ş aplcaţa x : x x R, verfcă axomele ue orme.. R este spaţu vectoral peste R. Se poate arăta (verfcaţ acest lucru) că următoarele aplcaţ sut orme pe R : Elemete de aalza matematca s matematc specale 5

Spat metrce x a) x (orma eucldaă) x b) x, x x x,..., R, x,, x x, x x,..., R c) x x R, f spaţu vectoral peste R ş aplcaţle: 3. X C a, b: f f : a, b b) f ; max, x x, x x,..., R 0 cotuã b a sup f x, f X x a, b, (orma covergeţe uforme) sut orme pe spaţul X.. a) f f xdx, f X. Se verfcă uşor că X este ; Defţe Perechea formată dtr-u spaţu vectoral X ş o ormă pe X se umeşte spaţu vectoral ormat. Vom ota cu X,. Fe spaţul vectoral ormat X, ş d : X X R, Atuc d este o dstaţă pe X. d x, y x y, x y X,. Observaţe Pr urmare, orce spaţu vectoral ormat deve u spaţu metrc î care dstaţa este cea deftă cu ajutorul orme. Ca urmare îtr-u spaţu vectoral ormat vom avea toate oţule topologce troduse îtr-u spaţu metrc. Toate oţule topologce exprmate cu ajutorul dstaţe vor avea o exprmare cu ajutorul orme. Defţe U spaţu vectoral ormat î care orce şr Cauchy este coverget se umeşte spaţu Baach. O categore partculară de spaţ ormate sut spaţle prehlbertee: acele spaţ ormate î care forma este deftă cu ajutorul produsulu scalar. Fe X u spaţu vectoral peste K ( K R sau C ). Elemete de aalza matematca s matematc specale 6

Spat metrce Defţe Se umeşte produs scalar pe X o aplcaţe otată:, : X X K x, y x, y cu propretăţle: ) x, x 0, x X ş x, x 0 x 0 ; ) x, y y, x, x, y X ; 3) x x, y x, y x, y 4) x, y x, y, K,., x, x, y X, x y X ; Propozţe Fe X u spaţu vectoral pe care s-a deft u produs scalar, otat Atuc petru orce x, y X are loc egaltatea:,. x, y x, x y, y. Test de autoevaluare. Screţ răspusul î spaţul lber d chear. Iegaltatea Cauchy-Buakovsk-Schwartz Fe X u spaţu vectoral pe care s-a deft u produs scalar, otat Atuc petru prce x, y X are loc egaltatea:,. x, y x, x y, y Răspusul la test se găseşte la paga. Am ajus la sfârştul Utăţ de îvăţare Nr.. Î loc de rezumat Vă recomad să faceţ o recaptulare a prcpalelor subecte prezetate î această utate ş să revzuţ obectvele preczate la îceput. Este tmpul petru îtocmrea Lucrăr de verfcare Utate de îvăţare Nr. pe care urmează să o trasmteţ tutorelu. Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. Fe X u spaţu vectoral pe care avem deft u produs scalar, otat <,>. Atuc aplcaţa: : X R, x x, x, x X este o ormă pe X. Răspusurle ş cometarle la testele de autoevaluare Răspus. Să arătam că d verfcă propretăţle ) 3). Propretăţle ) ş ) sut evdete d defţa lu d. Petru 3), dacă d x, y dy, z 0, atuc x y ş y z, de ude x z, d x, z. Î aceste cazur egaltatea trughulu este evdetă. dec 0 Elemete de aalza matematca s matematc specale 7

Spat metrce Răspus. Vom demostra petru cazul î care X este spaţu vectoral peste R. Fe x, y X ş R. Petru orce R avem: 0 x y, x y x, x x, y y, y. Deoarece avem o fucţe de gradul do î λ deducem: 0 x, y x, x y, y. Bblografe Utate de îvăţare Nr.. Barbu L, Cracu E.M.- Elemete de aalza matematca s matematc specale, Ed. Ex-Poto, Costata, 004. Colojoara I. Aalza Matematca, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest 983 3. Crau M., Taase V. - Aalza Matematca, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest 980 Elemete de aalza matematca s matematc specale 8

Srur de umere Utate de îvăţare Nr. 3 ŞIRURI DE NUMERE Cuprs Paga Obectvele Utăţ de îvăţare Nr. 3.. 9 3. Şrur de umere: defţ ş exemple...... 9 3. Crter de covergeţă...... 0 Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 3... Răspusur ş cometar la testele de autoevaluare... Bblografe Utate de îvăţare Nr. 3.. Elemete de aalza matematca s matematc specale 9

Srur de umere OBIECTIVELE Utăţ de îvăţare Nr. 3 Prcpalele obectve ale Utăţ de îvăţare Nr. 3 sut: Se urmăreşte î specal dobâdrea uor aumte deprder î aplcarea cuoştţelor teoretce aplcatle practce. Formarea ue gâdr logce ş ordoate aplcable î aalza ş rezolvarea orcăre aplcat de şrur ce apare î practcă sau la dscplele ce vor urma (Mecaca, Rezsteta, etc.). 3. Srur de umere: defţe ş exemple Defţ Defţe Exemple U şr z K se umeşte şr coverget dacă exstă z K astfel N, N N cu propretatea că îcât 0 d z, z z z, N N. Numărul se umeşte lmta şrulu z ş vom ota lm z. U şr care u are lmtă î K se umeşte dverget. Exemplu Şrul z este coverget. x,, Defţe z U şr K, se umeşte şr Cauchy dacă 0, N N N astfel îcât, N ş p N să rezulte Exemplu Şrul z z z z d,. p p este şr Cauchy. x...,, Defţe z U şr K se umeşte mărgt dacă 0 N z M, N. M astfel îcât Elemete de aalza matematca s matematc specale 0

Srur de umere Defţe Dacă mulţmea K R ş şrul x R atuc spuem că şrul este N mooto crescător (respectv descrescător) dacă: x x, (respectv x x ), N. U şr se umeşte mooto dacă este mooto crescător sau mooto descrescător. Fe şrul z K. Dacă şrul este coverget atuc şrul z N N mărgt. Recproca u este adevărată. Test de autoevaluare 3. Screţ răspusul î spaţul lber d chear. Dat exemplu de u sr margt s dverget. este Răspusul la test se găseşte la paga. 3. Crter de covergeţă Crter de Propozţe covergeţă Orce şr coverget z K N este şr Cauchy. Fe z K u şr Cauchy, atuc N N Teoremă (Weerstrass) z este mărgt. Fe şrul x R, mooto ş mărgt atuc N N x este coverget. Orce şr mărgt de umere reale are cel put u subşr coverget. Fe N x, y ş N N z şrur de umere reale astfel îcât x y z, N0, lm x lm z l. N Atuc şrul y este coverget ş lm y l. Dacă N x ş N y sut şrur de umere reale astfel îcât lm y y ar y x, N0, atuc x y. lm x x, Teoremă Fe şrul de umere complexe z N, cu z x y, x, y R, N. Atuc : ) şrul z N este coverget x ş y N sut covergete ş N are loc egaltatea: lm z lm x lm y ; Elemete de aalza matematca s matematc specale

Srur de umere ) şrul z N este Cauchy x ş N N y sut şrur Cauchy. Teoremă U şr de umere reale x este coverget dacă ş uma dacă este şr N Cauchy. Test de autoevaluare 3. Screţ răspusul î spaţul lber d chear. z este coverget dacă ş uma dacă este şr Cauchy. Şrul C N Răspusul la test se găseşte la paga. Am ajus la sfârştul Utăţ de îvăţare Nr. 3. Î loc de rezumat Vă recomad să faceţ o recaptulare a prcpalelor subecte prezetate î această utate ş să revzuţ obectvele preczate la îceput. Este tmpul petru îtocmrea Lucrăr de verfcare Utate de îvăţare Nr. 3 pe care urmează să o trasmteţ tutorelu. Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 3 Calculaţ lmta şrulu a avad termeul geeral a... 3 Răspusurle ş cometarle la testele de autoevaluare Răspus 3. Fe z x y, R x, y, N. Şrul z este coverget x N ş N N x ş y sut şrur Cauchy z N N N Bblografe Utate de îvăţare Nr. 3 y sut covergete este şr Cauchy.. Arama L., Moroza T. Culegere de probleme de calcul dferetal s tegral, Ed. Tehca, Bucurest 978. Bucur Gh., Campu E., Gaa S. - Culegere de probleme de calcul dferetal s tegral II, III, Ed. Tehca, Bucurest 966 3. Chrta S. Probleme de matematc superoare, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest 989 4. Rosculet M. - Culegere de probleme de aalza matematca Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest, 976 Elemete de aalza matematca s matematc specale

Ser de umere Utate de îvăţare Nr. 4 SERII DE NUMERE Cuprs Paga Obectvele Utăţ de îvăţare Nr. 4.. 3 4. Ser umerce.... 3 4. Crter de covergeţă... 4 Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 4... 5 Răspusur ş cometar la testele de autoevaluare... 6 Bblografe Utate de îvăţare Nr. 4.. 6 Elemete de aalza matematca s matematc specale 3

Ser de umere OBIECTIVELE Utăţ de îvăţare Nr. 4 4.Ser umerce Defţ ş exemple Prcpalele obectve ale Utăţ de îvăţare Nr. 4 sut: Se urmăreşte î specal dobâdrea uor aumte deprder î aplcarea cuoştţelor teoretce aplcatle practce. Formarea ue gâdr logce ş ordoate aplcable î aalza ş rezolvarea orcăre aplcaţ de srur ce apare î practcă sau la dscplele ce vor urma (Mecaca, Rezsteta, etc.) Defţe Fe z u şr de umere complexe ş N s 0, N z z... z, umt şrul sumelor parţale asocat şrulu z N. Perechea de şrur z, s se umeşte sera de terme geeral z. Vom ota această N N sere cu 0 z, 0 z sau z z... z... 0 Defţe Sera z se umeşte covergetă dacă şrul sumelor parţale s N este 0 coverget. Numărul s lm s se umeşte suma sere ş vom ota s z 0. Serle care u sut covergete se umesc dvergete. Exemplu Sera geometrcă de raţe s k r r r k 0, r C \, 0. Astfel, sera 0. uma dacă r ş î acest caz are suma r r. Şrul sumelor parţale este r este covergetă dacă ş Defţe O sere de umere complexe z se umeşte absolut covergetă dacă 0 sera 0 z este covergetă. Elemete de aalza matematca s matematc specale 4

Ser de umere Test de autoevaluare 4. Screţ răspusul î spaţul lber d chear. Sera, cu termeul geeral z este covergetă. Răspusul la test se găseşte la paga. 4.Crter de covergeţă Teoremă (Crterul ecesar de covergeţă) Crter covergeţă Dacă sera z este covergetă atuc lm z 0. 0 Exemplu Fe sera cu termeul geeral 3 lm 0. Sera este dvergetă. 3 z. Evdet 3 Teoremă Fe sera a de umere reale poztve 0 N 0 covergetă dacă ş uma dacă şrul sumelor parţale, mărgt. a,. Sera este s N, este Propozţe Sera armocă geeralzată dvergetă petru. este covergetă petru ş este Teoremă Fe serle 0 Atuc : ) Dacă sera 0 ) Dacă sera 0 a ş 0 b astfel îcât 0 a b, 0 b este covergetă ş sera 0 a este dvergetă ş sera 0. a este covergetă; b este dvergetă. Teoremă (Crterul rădăc lmtă) Fe sera z astfel îcât exstă l lm z. 0 ) dacă l sera este absolut covergetă; ) dacă l sera este dvergetă. Elemete de aalza matematca s matematc specale 5

Teoremă (Crterul raportulu cu lmtă) Ser de umere Fe sera z z, z C \ 0, N, astfel îcât exstă lm l. 0 z Atuc: ) dacă l sera este absolut covergetă; ) dacă l sera este dvergetă; 3) dacă l u se poate precza atura sere. Teoremă (Crterul Raabe-Duhamel) Fe sera 0 a, 0 a, N astfel îcât exstă a lm a l Atuc: ) dacă l sere covergetă; ) dacă l sere dvergetă; 3) dacă l, u se poate precza atura sere. Test de autoevaluare 4. Screţ răspusul î spaţul lber d chear. Studaţ atura sere. 3 Răspusul la test se găseşte la paga. Am ajus la sfârştul Utăţ de îvăţare Nr. 4. Î loc de rezumat Vă recomad să faceţ o recaptulare a prcpalelor subecte prezetate î această utate ş să revzuţ obectvele preczate la îceput. Este tmpul petru îtocmrea Lucrăr de verfcare Utate de îvăţare Nr. 4 pe care urmează să o trasmteţ tutorelu. Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 4 Studaţ atura sere. Elemete de aalza matematca s matematc specale 6

Ser de umere Răspusurle ş cometarle la testele de autoevaluare Răspus 4. s k k k k k k,. Evdet lm s ş astfel sera este covergetă ş Răspus 4. Fe 3 b,. Deoarece lm 0, Creterulu comparaţe la lmtă că serle aceeaş atură, adcă sut covergete. Bblografe Utate de îvăţare Nr. 4 a b 0. deducem coform ş 3 3 0. Chrta S. Probleme de matematc superoare, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest 989. Crau M., Taase V. - Aalza Matematca, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest 980 3. Fhteholt G.M. Curs de calcul dferetal s tegral, vol. I III, Ed. Tehca, Bucurest 963 4. Meghea C. Bazele aalze matematce Ed. Sttfca s Ecclopedca, Bucurest, 977 5. Mortc C. Lect de aalza matematca Ed. ExPoto, Costata, 000 6. Smrov V.I. Curs de matematc superoare vol. I V, Ed. Tehca, Bucurest 953 au Elemete de aalza matematca s matematc specale 7

Lmte de fuct Utate de îvăţare Nr. 5 LIMITE DE FUNCŢII Cuprs Paga Obectvele Utăţ de îvăţare Nr. 5.. 8 5. Lmta ue fucţ îtr-u puct... 8 Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 5... 9 Răspusur ş cometar la testele de autoevaluare... 9 Bblografe Utate de îvăţare Nr. 5.. 30 Elemete de aalza matematca s matematc specale 8

Lmte de fuct OBIECTIVELE Utăţ de îvăţare Nr. 5 Prcpalele obectve ale Utăţ de îvăţare Nr. 5 sut: Îsuşrea oţulor de bază ale teore lmtelor de fucţ Aplcarea calcululu lmtelor la dscple ce vor f studate 5. Lmta ue fucţ îtr-u puct Defţ ş Defţe exemple Cosderăm S,d, S,d două spaţ metrce, A S, ş fucţa f : A S. Spuem că f are lmta î puctul x0 A' dacă exstă l S cu propretatea că: 0, 0 astfel îcât x A \ x 0 cu x, x 0 d f x, l. d să rezulte Î acest caz spuem că l este lmta fucţe f î puctul x 0 ş otăm lm f x l. xx 0 Observaţe Problema lmte ue fucţ se pue uma îtr-u puct de acumulare al domeulu de defţe al fucţe, adcă îtr-u puct petru care avem posbltatea să e apropem pr pucte d mulţmea pe care este deftă fucţa. Propozţe Fe S,d, S,d două spaţ metrce ş fucţa f : A S S, x0 A'. Atuc următoarele afrmaţ sut echvalete: lm f x ; a) l xx 0 b) petru orce şr x A \ x N 0 cu lm x x0 rezultă că lm f x l (defţa lmte cu şrur); c) petru orce vecătate V a lu l exstă U vecătate a lu x 0 astfel îcât: (defţa lmte cu vecătăţ). f U \ x A V 0 Teoremă Fe spaţle metrce S,d ş S,d, A S, f : A S, x0 A'. Dacă exstă lm f atuc aceasta este ucă. xx0 x Propozţe m Fe f A R R :, x x..., x m Elemete de aalza matematca s matematc specale, f f...,, x '. Fucta f f m 0 A 9

Lmte de fuct are lmta î x 0 dacă ş uma dacă fucţle reale f, f,..., f au lmte î x 0 ş î acest caz: lm f x lm f x, lm f x,..., lm f x. xx0 xx0 xx0 xx0 Test de autoevaluare 5. Screţ răspusul î spaţul lber d chear. f : R \ 0, R, Studaţ exsteţa lmte î orge petru fucţa s x x x x x f x,, 0, x. Răspusul la test se găseşte la paga. Am ajus la sfârştul Utăţ de îvăţare Nr. 5. Î loc de rezumat Vă recomad să faceţ o recaptulare a prcpalelor subecte prezetate î această utate ş să revzuţ obectvele preczate la îceput. Este tmpul petru îtocmrea Lucrăr de verfcare Utate de îvăţare Nr. 5 pe care urmează să o trasmteţ tutorelu. Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 5 Studaţ exsteţa lmte î orge a fucţe : R \ 0,0 R f 3 x y. x y x, y f, Răspusurle ş cometarle la testele de autoevaluare Răspus 5. Notăm cu s x x x, f x, x 0, f x x x. Avem: lm f x0 lm f x0 x dec f are lmtă î puctul 0 0 s x x x lm x0 x lm x0 x, x x ş f x lm 0,, x. Elemete de aalza matematca s matematc specale 30

Lmte de fuct Bblografe Utate de îvăţare Nr. 5. Barbu L, Cracu E.M.- Elemete de aalza matematca s matematc specale,ed. Ex-Poto, Costata, 004. Crau M., Taase V. - Aalza Matematca, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest 980 3. Chrta S. Probleme de matematc superoare, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest 989 4. Rosculet M. - Culegere de probleme de aalza matematca Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest, 976 5. Demdovc D.P. Problems Mathematcal Aalyss, Mr Publshers, Moskow, 976 Elemete de aalza matematca s matematc specale 3

Fuct cotue Utate de îvăţare Nr. 6 FUNCŢII CONTINUE Cuprs Paga Obectvele Utăţ de îvăţare Nr. 6.. 3 6. Fucţ cotue... 3 Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 6... 33 Răspusur ş cometar la testele de autoevaluare... 33 Bblografe Utate de îvăţare Nr. 6.. 33 Elemete de aalza matematca s matematc specale 3

Fuct cotue OBIECTIVELE Utăţ de îvăţare Nr. 6 6. Fucţ cotue Fucţ cotue Defţe pe spaţ metrce Fe,d Prcpalele obectve ale Utăţ de îvăţare Nr. 6 sut: Se urmăreşte î specal dobâdrea uor aumte deprder î aplcarea otu de fucte cotua aplcatle practce. Formarea ue gâdr logce ş ordoate aplcable î aalza ş rezolvarea orcăre aplcaţ de fucţe cotuă ce apare î practcă sau la dscplele ce vor urma. S,, x A S,d două spaţ metrce ş f : A S S 0 Spuem că f este cotuă î puctul x 0, 0 x A, d x să rezulte d f x f., x 0 Dacă f u este cotuă î î puctul x 0. 0. a.î., x 0 x 0 D, atuc spuem că f este dscotuă Teoremă Fe f : A S S, x0 A A'. Atuc următoarele afrmaţ sut echvalete: a) f este cotuă î x 0 ; lm f x f x. b) exstă xx0 0 Teoremă (de caracterzare a cotutăţ) Fe S,d, S,d două spaţ metrce, A S ş x 0 A. Atuc următoarele defţ sut echvalete: a) f este cotuă î x 0 (defţa cu ); b) petru orce 0, exstă 0 astfel îcât f B x0 A B f x 0 (defţa cu ble); c) petru orce V, vecătate a lu f x 0, exstă U vecătate a lu x 0 astfel îcât f U A V (defţa cu vecătăţ); d) petru orce şr x A, lm x x N 0, rezultă că lm f x f x 0 x x (defţa cu şrur). Teoremă Fe f, g : A S K, S, d spaţu metrc, K R sau C. Dacă f ş g f sut cotue î x 0 A atuc fucţle f g, f g, (î poteza g g x 0 x A) sut cotue î puctul x 0, K,. Elemete de aalza matematca s matematc specale 33

Test de autoevaluare 6. Screţ răspusul î spaţul lber d chear. Fuct cotue Studaţ cotutatea fucţe f x, y, z f : A R 3 R ude s x y z e x y z 3 A x, y, z R x y z 0. xyz, ude Răspusul la test se găseşte la paga. Am ajus la sfârştul Utăţ de îvăţare Nr. 6. Î loc de rezumat Vă recomad să faceţ o recaptulare a prcpalelor subecte prezetate î această utate ş să revzuţ obectvele preczate la îceput. Este tmpul petru îtocmrea Lucrăr de verfcare Utate de îvăţare Nr. 6 pe care urmează să o trasmteţ tutorelu. Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 6 Studaţ cotutatea fucţe : R \ 0,0 R f x, y f ude: x 3 x y y 0,, x, y 0,0 x, y 0,0 Răspusurle ş cometarle la testele de autoevaluare Răspus 6. Evdet, f este cotuă î orce puct d domeul de defţe petru că se obţe pr compuere ş operaţ algebrce de fucţ cotue. Bblografe Utate de îvăţare Nr. 6. Barbu L, Cracu E.M.- Elemete de aalza matematca s matematc specale,ed. Ex-Poto, Costata, 004. Crau M., Taase V. - Aalza Matematca, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest 980 3. Arama L., Moroza T. Culegere de probleme de calcul dferetal s tegral, Ed. Tehca, Bucurest 977 4. Chrta S. Probleme de matematc superoare, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest 989 5. Flodor P. Lect de aalza matematca s exerct rezolvate, Ed. All, Bucurest, 998. Elemete de aalza matematca s matematc specale 34

Dervate partale Utate de îvăţare Nr. 7 DERIVATE PARŢIALE Cuprs Paga Obectvele Utăţ de îvăţare Nr. 7.. 35 7. Dervate parţale de ordul îtâ... 35 Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 7... 36 Răspusur ş cometar la testele de autoevaluare... 37 Bblografe Utate de îvăţare Nr. 7.. 37 Elemete de aalza matematca s matematc specale 35

Dervate partale OBIECTIVELE Utăţ de îvăţare Nr. 7 Prcpalele obectve ale Utăţ de îvăţare Nr. 7 sut: Îsuşrea oţulor de bază ale teore fucţlor dfereţale Aplcarea dervatelor parţale la probleme ce apar î practcă 7. Dervate parţale de ordul îtâ Dervate parţale Defţe Fe f : A R R, A mulţme deschsă, a A. Spuem că f are dervată parţală î puctul a î raport cu varabla x k dacă următoarea lmtă exstă ş este ftă: xk ak a, a,..., a, x, a,..., a f a,..., a,..., a f lm x a k k k k, k a a, a,..., a. Î acest caz lmta de ma sus se umeşte dervata parţală a lmte f î f puctul a î raport cu varabla x k ş se otează (a) sau f a x k. Fe f : D R, D R mulţme deschsă. Spuem că f este dervablă parţal pe D dacă f dervablă parţal î orce puct d D î raport cu f toate varablele x k. Î acest caz se pot def fucţ : D R, xk k,,...,, umte dervatele parţale ale lu f pe D. Spuem că f este de clasă C pe D dacă f este dervablă parţal pe D ar f fucţle, k,,...,, sut cotue pe D. Vom ota f C D. x k k x k Defţe Fe aplcaţa f m : D R, D R mulţme deschsă ş u puct D a. Aplcaţa T se umeşte dfereţabla fucţe f î a sau dervata Fréchet ş se otează df a. Teoremă (Crterul de dfereţabltate) Fe D R o mulţme deschsă ş f : D R. Dacă f admte dervate parţale de ordul îtâ îtr-o vecătate V a puctulu a D ş acestea sut cotue î a, atuc f este dfereţablă î puctul a. Elemete de aalza matematca s matematc specale 36

Dervate partale Astfel, dacă f : R R, D multme deschsă ş a D, f dfereţablă î a, atuc dfereţala î a este: df a adx a k f x Dacă f este dfereţablă î orce puct k k. a D putem scre df k f x k dx k Petru sau 3 această egaltate deve: df f f dx dy, x y respectv df f f f dx dy dz. x y z Test de autoevaluare 7. Screţ răspusul î spaţul lber d chear. Calculaţ dervatele parţale ş dfereţale petru fucţa: f 3 3 3 x y, z x y z xy yz zx,. Răspusul la test se găseşte la paga. Am ajus la sfârştul Utăţ de îvăţare Nr. 7. Î loc de rezumat Vă recomad să faceţ o recaptulare a prcpalelor subecte prezetate î această utate ş să revzuţ obectvele preczate la îceput. Este tmpul petru îtocmrea Lucrăr de verfcare Utate de îvăţare Nr. 7 pe care urmează să o trasmteţ tutorelu. Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 7 Calculaţ dfereţala df (,,) petru fucţa: 3 x, y, z x y z xyz f. Elemete de aalza matematca s matematc specale 37

Dervate partale Răspusurle ş cometarle la testele de autoevaluare Raspus 7. f x x y, z 3x y z,, f y f z x y, z 3y x z,, x y, z 3z x y,, ş df x y, z 3x y zdx 3 y x zdy 3z x ydz,. Dacă alegem, y, z,, x putem scre:,, 5dx 5dy dz df 5. Bblografe Utate de îvăţare Nr. 7. Barbu L, Cracu E.M.- Elemete de aalza matematca s matematc specale, Ed. Ex-Poto, Costata, 004. Boboc N. Aalza matematca, partea I s II, Ed. Uverstat Bucurest, 988 3. Colojoara I. Aalza Matematca, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest 983 4. Arama L., Moroza T. Culegere de probleme de calcul dferetal s tegral, Ed. Tehca, Bucurest 977 5. Chrta S. Probleme de matematc superoare, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest 989 Elemete de aalza matematca s matematc specale 38

Dervate parţale de ord superor Utate de îvăţare Nr. 8 DERIVATE PARŢIALE DE ORDIN SUPERIOR Cuprs Paga Obectvele Utăţ de îvăţare Nr. 8.. 39 8. Dervate parţale de ord superor. 39 8. Dervata după u versor..... 40 Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 8... 4 Răspusur ş cometar la testele de autoevaluare... 4 Bblografe Utate de îvăţare Nr. 8.. 4 Elemete de aalza matematca s matematc specale 39

Dervate parţale de ord superor OBIECTIVELE Utăţ de îvăţare Nr. 8 Prcpalele obectve ale Utăţ de îvăţare Nr. 8 sut: Îsuşrea oţulor de bază ale teore fucţlor dfereţale Aplcarea dervatelor parţale de ord superor la probleme ce apar î practcă 8. Dervate parţale de ord superor Defţ ş exemple Defţe Fe D o mulţme deschsă d R, f : D R o fucţe care admte dervată parţală î raport cu varabla x pe D, otată f D R x Dacă exstă dervata parţală î a D (respectv î orce a D ) î raport f cu varabla x k a fucţe, atuc aceasta se va um dervata parţală x de ord do a fucţe f î puctul a (respectv pe D) î raport cu varablele x k, x ş se va ota cu x k f x a f x x k a sau f " x k x a, dacă k ş x k f x k a f x k a sau a f, dacă k. " x k Dervatele puctul a. f a, k se vor um dervate mxte de ord do î xkx Dacă f x : D R este dervablă parţală î raport cu varabla x k pe D, atuc obţem fucţle ordul do. f x x k : D R umte dervate parţale de Teoremă (Schwarz) Fe f : A R R, A mulţme deschsă d R. Dacă f are dervate f f parţale mxte ş, j, îtr-o vecătate a uu puct x x j x j x a A ş aceastea sut cotue î a, atuc Elemete de aalza matematca s matematc specale 40

Dervate parţale de ord superor f x x j a f x x Defţe Fe f : D R, D R k k or dfereţablă î puctul a D dacă f este de k or dervablă parţal îtr-o vecătate V a lu a ş toate dervatele parţale de ord k ale lu f sut dfereţable î a. j a mulţme deschsă. Spuem că f este de f este k or dfereţablă pe D dacă este de k or dfereţablă î orce puct a D.. Observaţe Formula de defţe a lu codesată: d k f av se ma poate scresub formă d k f f l xl a dxl. Test de autoevaluare 8. Screţ răspusul î spaţul lber d chear. Calculaţ df ş d f petru fucţa : R 3 R f, f x y, z xyz,. Răspusul la test se găseşte la paga. 8. Dervata după u versor Defţ ş Fe D R, D mulţme deschsă, a D, s s, s,..., s R u versor exemple sau drecţe, adcă s s s... s. Defţe Spuem că fucţa f : D R R este dervablă î a D după drecţa s, dacă exstă ş este ftă lmta: lm t0 f a ts f a t f s f Î acest caz, a se umeşte dervata lu f după drecţa s î puctul a s sau dervata Gâteaux (slabă) a lu f î a după drecţa s. Teoremă Dacă f : D R R, D mulţme deschsă ş f este dfereţablă î a D, atuc f este dervablă î a după orce versor s ş avem egaltatea: a Elemete de aalza matematca s matematc specale 4

Dervate parţale de ord superor df a df as. ds Test de autoevaluare 8. Screţ răspusul î spaţul lber d chear. Fe f s R f : R, f x, y x y x 3y. Să se calculeze,3 s,. Răspusul la test se găseşte la paga. Am ajus la sfârştul Utăţ de îvăţare Nr. 8., ude Î loc de rezumat Vă recomad să faceţ o recaptulare a prcpalelor subecte prezetate î această utate ş să revzuţ obectvele preczate la îceput. Este tmpul petru îtocmrea Lucrăr de verfcare Utate de îvăţare Nr. 8 pe care urmează să o trasmteţ tutorelu. Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 8 Calculaţ dervata după versorul f D, petru a,. 4 x, y x xy y î puctul Răspusurle ş cometarle la testele de autoevaluare Răspus 8. f f f yz, xz, xz, x y z deducem df f f f yz, xz, xz, x y z f f f z, y, x, xy xz yz yzdx xzdy xydz ar f f f d f dx dy dz zdxdy xdydz ydxdz. x y z Răspus 8. Coform teoreme ateroare f are dervată după orce drecţe î orce x, y R ş puct Elemete de aalza matematca s matematc specale 4

Dervate parţale de ord superor df ds f f 0 7 x y,3,3,3 3. Bblografe Utate de îvăţare Nr. 8. Barbu L, Cracu E.M.- Elemete de aalza matematca s matematc specale,ed. Ex-Poto, Costata, 004. Crau M., Taase V. - Aalza Matematca, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest 980 3. Arama L., Moroza T. Culegere de probleme de calcul dferetal s tegral, Ed. Tehca, Bucurest 977 4. Chrta S. Probleme de matematc superoare, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest 989 5. Flodor P. Lect de aalza matematca s exerct rezolvate, Ed. All, Bucurest, 998. Elemete de aalza matematca s matematc specale 43

Extreme locale Utate de îvăţare Nr. 9 EXTREME LOCALE Cuprs Paga Obectvele Utăţ de îvăţare Nr. 9.. 44 9. Pucte de extrem local... 44 9. Algortm de determare a puctelor de extrem local... 44 Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 9... 46 Răspusur ş cometar la testele de autoevaluare... 46 Bblografe Utate de îvăţare Nr. 9.. 47 Elemete de aalza matematca s matematc specale 44

Extreme locale OBIECTIVELE Utăţ de îvăţare Nr. 9 Prcpalele obectve ale Utăţ de îvăţare Nr. 9 sut: Se urmăreşte î specal dobâdrea uor aumte deprder î aplcarea cuoştţelor teoretce î aplcaţle practce. Formarea ue gâdr logce ş ordoate aplcable î aalza ş rezolvarea orcăre aplcat de caculul extreme lbere ce apare î practcă sau la dscplele ce vor urma (Mecaca, Rezsteta, etc.). 9. Pucte de extrem local Defţ ş Fe f : D R ş D exemple R o mulţme deschsă. Defţe U puct a D se umeşte puct de extrem local petru f dacă exstă o blă B r a D pe care f x f a are sem costat ; ma exact a este puct de mm (respectv maxm) local petru f dacă petru orce x B a x f a f x f a )., f (respectv r U puct a D se umeşte puct crtc petru f dacă f este f dfereţablă î a ş df a 0, adcă a 0,,,...,. x Teoremă (Fermat) Fe D R o mulţme deschsă ş f : D R, f dfereţablă î a D care este î acelaş tmp ş puct de extrem local petru f. Atuc df a, adcă a este puct crtc petru f. 0 Defţe U puct staţoar care u este de extrem se umeşte şa. Teoremă Fe D R f : R, f C D ş a D u puct crtc petru f. Dacă forma pătratcă d f a este poztv (egatv) deftă, atuc a este puct de mm (respectv de maxm) local petru f. Test de autoevaluare 9. Screţ răspusul î spaţul lber d chear. Să se determe puctele de extrem local ale fucţe f : R R, Răspusul la test se găseşte la paga. x, y 4x xy y 4x y f. 9. Algortm de determare a puctelor de extrem local Î potezele teoreme ateroare dacă: a) toate umerele Elemete de aalza matematca s matematc specale 45

ude a j a, f x x j a a este puct de mm local; b) toate umerele a a,...,, a a............ a a a a a a......... a a a Extreme locale,,,...,, j,,...,, sut strct poztve, atuc,,..., sut strct postve atuc a este puct de maxm local. Petru cazul partcular avem următorul algortm: Pasul. se rezolvă sstemul f x f y 0, 0. Pasul. Petru fecare soluţe a a,a a sstemulu ateror se f f f calculează r a, s a, t a ş rt s. Atuc: x xy y a) dacă 0, a u este puct de extrem local; b) dacă 0, a este puct de extrem local: - de mm dacă r 0 ; - de maxm dacă r 0. Î cazul î care rt s 0, petru a decde dacă puctul a este u puct de extrem, trebue luate î cosderaţe dervatele parţale de ord superor lu do ale lu f. Test de autoevaluare 9. Screţ răspusul î spaţul lber d chear. Să se determe puctele de extrem local ale fucţe f : R 3 R, x, y, z x y z x 4y z f 6. Răspusul la test se găseşte la paga. Î loc de rezumat Am ajus la sfârştul Utăţ de îvăţare Nr. 9. Vă recomad să faceţ o recaptulare a prcpalelor subecte prezetate î Elemete de aalza matematca s matematc specale 46

această utate ş să revzuţ obectvele preczate la îceput. Extreme locale Este tmpul petru îtocmrea Lucrăr de verfcare Utate de îvăţare Nr. 9 pe care urmează să o trasmteţ tutorelu. Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 9 Să se determe puctele de extrem local ale fucţe f : R 3 R, 3 x, y, z x y z xy z f. Răspusurle ş cometarle la testele de autoevaluare Răspus 9. f f Deoarece 8x y 4, x y, obţem puctul statoar x y x, y, 0. Calculăm î cotuare f f f r,0 8, s,0, t,0 x. xy y Deaorece rt s 0 ş r 8 0, puctul,0 este de mm local. Răspus 9. Puctele staţoare sut soluţ ale sstemulu: f x 0, x f y 4 0, y f z 6 0, z adcă avem u sgur puct staţoar,,,3. deoarece f x f xy f z,,3,,,3 0,,,3, f y f xy,,3,,,3 0, vom avea că Elemete de aalza matematca s matematc specale 47

Extreme locale 0 0, 0 4, 3 0 0 8, 0 0 0 ca urmare,,,3 este puct de mm local. Bblografe Utate de îvăţare Nr. 9. Barbu L, Cracu E.M.- Elemete de aalza matematca s matematc specale,ed. Ex-Poto, Costata, 004. Boboc N. Aalza matematca, partea I s II, Ed. Uverstat Bucurest, 988 3. Colojoara I. Aalza Matematca, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest 983 4. Arama L., Moroza T. Culegere de probleme de calcul dferetal s tegral, Ed. Tehca, Bucurest 977 Elemete de aalza matematca s matematc specale 48

Extreme cu legatur Utate de îvăţare Nr. 0 EXTREME CONDIŢIONATE Cuprs Paga Obectvele Utăţ de îvăţare Nr. 0 49 0. Extreme cu legătur... 49 0. Multplcator lu Lagrage... 50 Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 0.. 5 Răspusur ş cometar la testele de autoevaluare... 5 Bblografe Utate de îvăţare Nr. 0 5 Elemete de aalza matematca s matematc specale 49

Extreme cu legatur OBIECTIVELE Utăţ de îvăţare Nr. 0 Prcpalele obectve ale Utăţ de îvăţare Nr. 0 sut: Îsuşrea oţulor de bază ale teore extremelor codţoate Aplcarea problemelor de extreme codţoate î practcă. 0. Extreme codţoate Extreme Î practcă, apare ş stuaţa determăr uor pucte de extrem ale codţoate fucţe, pe aumte submulţm ale mulţm de defţe, aceste pucte emafd teroare submulţm respectve. Î acest ses, să aalzăm următoarea problemă care terve frecvet î practcă: m Fe D R R o mulţme deschsă ş D R f C D, m g : D R, g g, g,..., g m, g : D R, g C D,,,..., m. f :, Fucţa f o vom um fucţe scop sau fucţe obectv, ar g, g,..., se vor um legătur. Vom exama puctele de extrem ale fucţe f supuse la codţle suplmetare g x, y 0 g x, y 0... gm sau echvalet, x, y 0 x, y 0, ude x x,..., x, y y,..., y g. Notăm x y D g x, y Defţe M, 0,,,...,m. U puct x y0 M legăturle (sau puct de extrem codtoat) g x, y 0 x, y M astfel îcât: B r 0, se umeşte puct de extrem local al fucţe f cu, dacă exstă are sem costat pe B r x 0, y 0. x, y f x y f Observăm că extremele locale cu legătur ale fucţe f sut extreme locale ale restrcţe lu f la M. 50 Elemete de aalza matematca s matematc specale 0, 0 m g m

Extreme cu legatur 0. Multplcator lu Lagrage Multplcator Teoremă (exsteţa multplcatorlor lu Lagrage) lu Lagrage m Fe D R R o mulţme deschsă, f : D R, g g, g,..., g m, g C D,,,..., m ş x y0 D extrem al lu f cu restrcţle g x, y 0 D D. Dacă: g, g,..., g x,,,... 0 0 y0 y y y m m, g m : D R, 0, puct de atuc exstă m umere reale, m, astfel îcât, cosderâd fucţa,..., L f g g... mg m, puctul x 0, y 0 este puct staţoar al fucţe L. Observaţe. Numerele,,..., m se umesc multplcator lu Lagrage.. Puctele de extrem ale lu f cu restrcţle g x, y 0 se găsesc prtre puctele staţoare ale fucţe L., adcă sut pucte staţoare codţoate ale lu f. Recproc u este adevărat, adcă exstă pucte staţoare codţoate care u sut de extrem codţoat. m 3. Fucţa x, y Lx, y,, x, y, D R se umeşte lagragea sau fucţa lu Lagrage. Algortm a) dacă toţ determaţ a a,,..., a a a a a... a a a... a............ a a a... Sut strct poztv, atuc forma pătratcă Lx, y d 0 0 este poztv deftă, dec x 0, y 0 este puct de mm codţoat; k b) dacă k 0, k,,..., atuc Lx0, y0 deftă ş d este egatv x 0, y 0 este puct de maxm local codţoat. Metoda prezetată ma sus se umeşte metoda multplcatorlor lu Lagrage. Elemete de aalza matematca s matematc specale 5

Extreme cu legatur Test de autoevaluare 0. Screţ răspusul î spaţul lber d chear. Să se determe extremele fucţe f x y xy, cu legătura x y. Răspusul la test se găseşte la paga. Am ajus la sfârştul Utăţ de îvăţare Nr. 0. Î loc de rezumat Vă recomad să faceţ o recaptulare a prcpalelor subecte prezetate î această utate ş să revzuţ obectvele preczate la îceput. Este tmpul petru îtocmrea Lucrăr de verfcare Utate de îvăţare Nr. 0 pe care urmează să o trasmteţ tutorelu. Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 0 Să se determe extremele fucţe x, y x y 3x y legatura x y. f cu Răspusurle ş cometarle la testele de autoevaluare Răspus 0. L x, y xy x y Puctele staţoare codţoate vor f soluţle sstemulu: L y x 0, x L x y 0, y L x y 0. Vom obţe,. Dacă atuc x, y, x, y. Petru avem x 3 y3 ş x 4 y4. Avem patru pucte staţoare. Dacă avem Elemete de aalza matematca s matematc specale 5

Extreme cu legatur x, y xy x y L. Deoarece L x L L,,, yx y deducem că d L ca urmare d L, x, y dx dy dxdy dx dy,,, x y este poztv deftă, de ude x, y sut pucte de mm local codţoat,,. Petru avem, x, y xy x y L. Cum L x,,,,, x y L xy x y L y x y, avem d L adcă d L, x, y dx dy dxdy dx dy, 3, 4, x y este egatv deftă ş î cocluze x, y, 3, 4 sut pucte de maxm local codţoat. Bblografe Utate de îvăţare Nr. 0. Chrta S. Probleme de matematc superoare, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest 989. Crau M., Taase V. - Aalza Matematca, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest 980 3. Fhteholt G.M. Curs de calcul dferetal s tegral, vol. I III, Ed. Tehca, Bucurest 963 4. Meghea C. Bazele aalze matematce Ed. Sttfca s Ecclopedca, Bucurest, 977 5. Mortc C. Lect de aalza matematca Ed. ExPoto, Costata, 000 6. Smrov V.I. Curs de matematc superoare vol. I V, Ed. Tehca, Bucurest 953 Elemete de aalza matematca s matematc specale 53

Itegrala Rema Utate de îvăţare Nr. INTEGRALA RIEMANN Cuprs Paga Obectvele Utăţ de îvăţare Nr. 54. Sume Rema..... 54. Clase de fucţ tegrable... 55 Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr... 56 Răspusur ş cometar la testele de autoevaluare... 56 Bblografe Utate de îvăţare Nr. 56 Elemete de aalza matematca s matematc specale 54

Itegrala Rema OBIECTIVELE Utăţ de îvăţare Nr. Prcpalele obectve ale Utăţ de îvăţare Nr. sut: Îsuşrea oţulor de bază ale teore calcululu tegral Studerea propretăţlor fucţlor tegrable Perfecţoarea calcululu tegral. Sume Rema Sume Rema Defţe Se umeşte dvzue a tervalulu a, b, otată cu Δ o multme ftă de umere x 0, x,..., x astfel îcât Numărul a x0 x x... x b. x x max se umeşte orma dvzu Δ. O mulţme de umere cu propretatea că x, x,, se umeşte sstem de pucte termedare asocat dvzu Δ. Defţe Numărul real otat f, f x x se umeşte suma Rema asocată fucţe f, dvzu Δ ş sstemulu de pucte termedare ξ. Defţe Fucţa f : a, b R se umeşte tegrablă Rema dacă exstă I R cu propretatea că orcare ar f 0, exstă 0 astfel îcât petru orce dvzue Δ a x x x... x 0 b cu orma termedare Elemete de aalza matematca s matematc specale ş petru orce alegere a uu sstem de pucte 55

Itegrala Rema x, x,, avem f I,. Numărul I se umeşte tegrala Rema a lu f pe tervalul a, b ş se otează I f xdx. b a Teoremă Fe f : a, b R. Următoarele afrmaţ sut echvalete: ) f este tegrablă Rema; ) exstă I R astfel îcât petru orce şr de dvzu ale tervalulu a, b cu lm 0 ş petru orce şr de ssteme de pucte termedare, j, rezultă şrul sumelor Rema f, este coverget la I. Corolar Dacă f : 0, R este o fucţe tegrablă Rema atuc k lm f f xdx. 0 k. Clase de fucţ tegrable Propretăţ ale Teoreme fucţlor tegrable Orce fucţe mootoă f a, b R Orce fucţe cotuă f a, b R : este tegrablă. : este tegrablă. Orce fucţe tegrablă Rema, f a, b R O fucţe f a, b R :, este mărgtă. : este tegrablă dacă ş uma dacă este mărgtă ş cotuă aproape peste tot. Fe f : a, b R. Dacă este tegrablă ş admte prmtva F pe a, b atuc b a xdx Fb Fa f. Elemete de aalza matematca s matematc specale 56

Itegrala Rema Test de autoevaluare. Screţ răspusul î spaţul lber d chear. Dacă f : a, b R este tegrablă atuc petru orce c, d a, b, restrcţa f c, d este tegrablă. Răspusul la test se găseşte la paga. Am ajus la sfârştul Utăţ de îvăţare Nr.. Î loc de rezumat Vă recomad să faceţ o recaptulare a prcpalelor subecte prezetate î această utate ş să revzuţ obectvele preczate la îceput. Este tmpul petru îtocmrea Lucrăr de verfcare Utate de îvăţare Nr. pe care urmează să o trasmteţ tutorelu. Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. Folosd oţuea tegrale defte calculaţ lmta şrulu: a.... Răspusurle ş cometarle la testele de autoevaluare Răspus. Notăm g f c, d, f, g mulţmea puctelor de dscotutate ale fucţlor f ş g. Deoarece f este tegrablă, avem că f este mărgtă ş cotuă a.p.t., adcă f este egljablă. Î partcular, rezultă că g este mărgtă ş cum g f, g este egljablă, pr urmare g este tegrablă. Bblografe Utate de îvăţare Nr.. Barbu L, Cracu E.M.- Elemete de aalza matematca s matematc specale, Ed. Ex-Poto, Costata, 004. Meghea C. Bazele aalze matematce Ed. Sttfca s Ecclopedca, Bucurest, 977 3. Mortc C. Lect de aalza matematca Ed. ExPoto, Costata, 000 4. Smrov V.I. Curs de matematc superoare vol. I V, Ed. Tehca, Bucurest 953 Elemete de aalza matematca s matematc specale 57

Itegrale mpropr Utate de îvăţare Nr. INTEGRLE IMPROPRII Cuprs Paga Obectvele Utăţ de îvăţare Nr. 58. Itegrale mpropr de speţa îtâ. 58 Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr... 60 Răspusur ş cometar la testele de autoevaluare... 60 Bblografe Utate de îvăţare Nr. 60 Elemete de aalza matematca s matematc specale 58

Itegrale mpropr OBIECTIVELE Utăţ de îvăţare Nr. Prcpalele obectve ale Utăţ de îvăţare Nr. sut: Se urmăreşte î specal dobâdrea uor aumte deprder î aplcarea cuoştţelor teoretce î aplcaţle practce. Formarea ue gâdr logce ş ordoate aplcable î aalza ş rezolvarea orcăre aplcaţ de calcul tegral ce apare î practcă sau la dscplele ce vor urma (Mecaca, Rezsteta, etc.).. Itegrale mpropr Itegrale mpropr de Vom cove să umm tegrale mpropr (sau geeralzate) tegralele speţa îtâ petru care lugmea tervalulu de tegrare a, b este ftă sau f u este mărgtă î [a, b] ş vom utlza următoarea clasfcare a acestora:. O tegrală este de speţa îtâ (sau de prmul tp) dacă b a, dec de forma: a b f xdx, f xdx, x f dx, a, b R, f fd mărgtă pe tervalul de tegrare.. O tegrală mpropre este de speţa a doua (sau de-al dolea tp) dacă a a, b. b dar f u este mărgtă î 3. O tegrală mpropre este de speţa a trea (sau de-al trelea tp) dacă atăt tervalul de tegrare este de lugme ftă cât ş f este emărgtă î acest terval de tegrare. Defţe O fucţe f : I R R, I terval (mărgt sau emărgt) se umeşte local tegrablă pe I dacă este tegrablă pe orce terval compact clus î I. Defţe : a, Fe f R local tegrablă pe a, a f x. Defm x dx lm f dx, b b a dacă lmta exstă ş este ftă. Î acest caz tegrala se umeşte covergetă. O tegrală care u este covergetă se umeşte dvergetă. f, b,b, defm Dacă : R ş f este local tegrablă pe b f x x dx lm f dx. b a a Elemete de aalza matematca s matematc specale 59

Itegrale mpropr De asemeea, f x dx a, b, b a x lm f dx. tegrala fd covergetă dacă lmta exstă ş este ftă ş dvergetă î caz cotrar. Teoremă, g : a, exstă Fe f R, f, g local tegrable pe, Atuc a f xdx ş x a l covergete sau ambele dvergete). f g x x * lm R. x a, g 0, astfel îcât g dx au aceeaş atură (sut ambele Fe f : a, R o fucţe local tegrabl pe a, este ftă Atuc a x f dx este: a) covergetă, dacă ; b) dvergetă, dacă. x l lm x f. x, astfel îcât exstă ş Test de autoevaluare. Screţ răspusul î spaţul lber d chear. Calculaţ tegrala a dx, a. p x Răspusul la test se găseşte la paga. Am ajus la sfârştul Utăţ de îvăţare Nr.. Î loc de rezumat Vă recomad să faceţ o recaptulare a prcpalelor subecte prezetate î această utate ş să revzuţ obectvele preczate la îceput. Este tmpul petru îtocmrea Lucrăr de verfcare Utate de îvăţare Nr. pe care urmează să o trasmteţ tutorelu. Elemete de aalza matematca s matematc specale 60

Itegrale mpropr Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. Demostraţ că tegralele mpropr a Sut covergete petru orce x e x dx, a 0 R. Răspusurle ş cometarle la testele de autoevaluare Răspus. Evdet dacă b a avem Ca urmare dx x p b p p b a a p b dx a l, p. a p x b, p, lm b b a dx p x p a, p Dacă p 0 p. Petru p deducem că tegrala este dvergetă. Bblografe Utate de îvăţare Nr.. Chrta S. Probleme de matematc superoare, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest 989. Crau M., Taase V. - Aalza Matematca, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest 980 3. Fhteholt G.M. Curs de calcul dferetal s tegral, vol. I III, Ed. Tehca, Bucurest 963 4. Meghea C. Bazele aalze matematce Ed. Sttfca s Ecclopedca, Bucurest, 977 5. Mortc C. Lect de aalza matematca Ed. ExPoto, Costata, 000 6. Smrov V.I. Curs de matematc superoare vol. I V, Ed. Tehca, Bucurest 953 Elemete de aalza matematca s matematc specale 6

Itegrale duble Utate de îvăţare Nr. 3 INTEGRALE DUBLE Cuprs Paga Obectvele Utăţ de îvăţare Nr. 3 6 3. Defţa tegrale duble. Propretăţ ale tegrale duble. Metode de calcul... 6 Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 3.. 64 Răspusur ş cometar la testele de autoevaluare... 65 Bblografe Utate de îvăţare Nr. 3 65 Elemete de aalza matematca s matematc specale 6

Itegrale duble OBIECTIVELE Utăţ de îvăţare Nr. 3 Prcpalele obectve ale Utăţ de îvăţare Nr. 3 sut: Se urmăreşte î specal dobâdrea uor aumte deprder î aplcarea cuoştţelor teoretce î aplcatţle practce. Formarea ue gâdr logce ş ordoate aplcable î aalza ş rezolvarea orcăre aplcaţ de calculul tegralelor duble ce apare î practcă sau la dscplele ce vor urma (Mecaca, Rezsteta, etc.). Itegrale duble 3. Defţa tegrale duble. Propretăţ ale tegrale duble. Metode de calcul Fe f : D R R, D domeu compact. Spuem că f este tegrablă Rema pe D dacă exstă u umăr I cu propretatea că petru orce 0, exstă u umăr 0 astfel îcât petru orce dvzue Δ cu ş orcare ar f alegerea ouctelor termedare, D să avem f I,., Î acest caz umărul I se umeşte tegrala Rema a fucţe f pe domeul D ş folosm otaţa I D f x, y dxdy. Dacă 0 D f pe D, atuc f x y despre care am dscutat la îceputul paragrafulu. Propozţe Dacă f este tegrablă pe D ş are loc D, dxdy repreztă volumul cldrulu R, atuc f este tegrablă pe D ş x ydxdy f x ydxdy f,,. D Propozţe Dacă f ş g sut două fucţ tegrable pe D atuc ş fucţa tegrablă pe D ş f g este D f x y gx, ydxdy f x, ydxdy gx, ydxdy,. Propozţe Dacă D D D ude D ş D sut dome compacte, D ş D u au pucte teroare comue ş f este tegrablă ped, atuc D D Elemete de aalza matematca s matematc specale 63

D f x ydxdy f x, ydxdy f x, ydxdy D,. Propozţe Dacă m f M pe D ş f este tegrablă pe D atuc Propozţe m ara D f x y D, dxdy M ara D. D D dxdy ara D. Teorema Fe f : a, b c, d R mărgtă. Dacă: a) f este tegrablă pe a, b c, d; x a, b, exstă tegrala b) petru orce Itegrale duble c d f x, ydy Fx atuc exstă b a x F dx ş are loc egaltatea D f b b d x ydxdy Fxdx f x, ydy dx, a a. c Teoremă Dacă f : a, b c, d R este mărgtă ş a, b c, d ; a) f este tegrablă pe b)petru orce y c, d, exstă f x ydx Gy tegrablă pe c, d ş are loc: D f b a,, atuc g este d b,. c a x ydxdy f x, ydx dy Teoremă Fe D u domeu compact, smplu î raport cu axa Oy, x, y a x b, x y x D, f : D R o fucţe mărgtă astfel îcăt: a) f este tegrablă pe D; x b) petru orce x a, b, exstă tegrala f x y x, dy. Elemete de aalza matematca s matematc specale 64

Itegrale duble b x Atuc exstă tegrala f x y a x dy dx, ş are loc egaltatea x b f x ydxdy f x ydy dx D,,. a x Teoremă Fe D u domeu compact, smplu î raport cu axa Ox, f : D R mărgtă. Dacă: a) f este tegrablă pe D ; x, y c y d, y x y D, x b) petru orce y c, d exstă f x y Atuc exstă tegrala f x y x d x dx c x, dx., dy ş are loc egaltatea x d f x ydxdy f x ydx dy D,,. c x Test de autoevaluare 3. Screţ răspusul î spaţul lber d chear. Să se calculeze I l x ydxdy, ude 0,, Răspusul la test se găseşte la paga. D Am ajus la sfârştul Utăţ de îvăţare Nr. 3. D. Î loc de rezumat Vă recomad să faceţ o recaptulare a prcpalelor subecte prezetate î această utate ş să revzuţ obectvele preczate la îceput. Este tmpul petru îtocmrea Lucrăr de verfcare Utate de îvăţare Nr. 3 pe care urmează să o trasmteţ tutorelu. Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 3 Să se calculeze I x y dxdy, D ude D este domeul mărgt pe dreptele y x ş are parabola y x. Elemete de aalza matematca s matematc specale 65

Itegrale duble Răspusurle ş cometarle la testele de autoevaluare Răspus 3. Deoarece f este cotuă pe D avem I 0 0 l x ydy dx x ylx y 0 y x lx x lx dx l3 4l. 9 dx 3 Bblografe Utate de îvăţare Nr. 3. Crau M., Taase V. - Aalza Matematca, Ed. Ddactca s Pedagogca, Bucurest 980. Fhteholt G.M. Curs de calcul dferetal s tegral, vol. I III, Ed. Tehca, Bucurest 963 3. Meghea C. Bazele aalze matematce Ed. Sttfca s Ecclopedca, Bucurest, 977 4. Mortc C. Lect de aalza matematca Ed. ExPoto, Costata, 000 5. Smrov V.I. Curs de matematc superoare vol. I V, Ed. Tehca, Bucurest 953 Elemete de aalza matematca s matematc specale 66

Itegrale trple Utate de îvăţare Nr. 4 INTEGRALE TRIPLE Cuprs Paga Obectvele Utăţ de îvăţare Nr. 4 67 4. Defţa tegrale trple. Calculul tegrale trple. 67 Lucrare de verfcare Utate de îvăţare Nr. 4.. 68 Răspusur ş cometar la testele de autoevaluare... 68 Bblografe Utate de îvăţare Nr. 4 69 Elemete de aalza matematca s matematc specale 67

Itegrale trple OBIECTIVELE Utăţ de îvăţare Nr. 4 Prcpalele obectve ale Utăţ de îvăţare Nr. 4 sut: Se urmăreşte î specal dobâdrea uor aumte deprder î aplcarea cuoştţelor teoretce î aplcaţle practce. Formarea ue gâdr logce ş ordoate aplcable î aalza ş rezolvarea orcăre aplcaţ de calculul tegralelor trple ce apar î practcă sau la dscplele ce vor urma (Mecaca, Rezsteta, etc.). Itegrale trple 4. Defţa tegrale trple. Calculul tegrale trple Defţe 3 Fe f : U R mărgtă pe U R domeu compact. Vom spue că f este tegrablă Rema pe U dacă exstă I R cu propretatea că petru orce 0 exstă 0 astfel îcât petru orce ş orcare ar f alegerea puctelor termedare, U, să rezulte f, I,., Î acest caz umărul I se umeşte tegrala Rema a fucţe f pe domeul U ş vom ota I x y, xdxdydz f x, y, z f U U, dv. Teoremă Fe f : a, c, d e, f R o fucţe mărgtă. Dacă: ) f este tegrablă pe I a, b c, d e, f ; x, y D a, b c, d exstă ) petru orce f e x y, zd Fx y f,,, atuc exstă Fx y D, dxdy ş are loc egaltatea I f f, dz dxdy. D D e x y, zdxdydz Fx, ydxdy f x, y, z Teoremă 3 Fe U R u domeu smplu î raport cu axa Oz ş f : U R o fucţe mărgtă. Dacă: a) f este tegrablă pe U ; b) petru orce x, y D, exstă tegrala f x y, z tegrala Elemete de aalza matematca s matematc specale x, y x, y, dz atuc exstă ş 68