Uiforma overgecija fucioalih redova i si x Hamza Merzić Februar, 014. cos x 1 Uvod Uiforma overgecija, iao vrlo apstrata i geeralo jao tešo shvatljiv pojam, predstavlja velio olašaje u aalizi redova. To olašaje se ajviše očituje u primjei operatora difereciraja i itegriraja a redove, jer se to, u slučaju uiformo overgetih redova, svodi a primjeu operatora a opći čla, tj. difereciraje i itegriraje redova čla po čla. Redovi si x i cos x su jao specifiči po pitaju uiforme overgecije, jer se, ao što ćemo u astavu poazati, laho doaže jihova običa overgecija 1, te da e overgiraju apsoluto. Uatoč tome ostaje pitaje jihove uiforme overgecije. Bito je apomeuti da ovi redovi pripadaju lasi Fourier-ovih trigoometrijsih redova oblia si x p, odoso cos x p, oji za p > 1 overgiraju običo, apsoluto i uiformo. Primjeri uiforme overgecije Navest ćemo ee od primjera običe i uiforme overgecije, uz pretpostavu da je čitatelj već upozat sa formalim defiicijama tih pojmova. Za prvi primjer ćemo uzeti fuciju { 0, x [0, 1) f(x) 1, x 1 i iz defiira ao f (x) x, za x [0, 1] i N. Očigledo iz f (x) overgira običo a fuciji f(x), jer u svaoj tači domea vrijedi lim f (x 0 ) f(x 0 ). 1 U literaturi se često oristi aziv overgecija po tačama. 1
Slia 1 Primjer iza f (x) x. a segmetu [0, 1]. Što se tiče uiforme overgecije, a slici vidimo da e postoji dovoljo velio, tao da za proizvoljo ɛ u oolii tače x 1, dati iz bude u potpuosti sadrža u ɛ oolii fucije (oblast ozačea ljubičastom bojom). Kao što ste, a osovu slie, mogli pretpostaviti, avedei iz e overgira uiformo a fuciji f(x). Drugi primjer predstavlja fucija i iz defiira ao f(x) x f (x) x 1 si x, x R i N. Kao i u prethodom primjeru vidimo da iz f (x) overgira običo a fuciji f(x). Dalje, a slici vidimo da se iz, ao povećavamo, sve više približava fuciji i da se za sve vrijedosti x alazi u ɛ oolii fucije. U ovom slučaju imamo primjer iza oji je overgeta običo i uiformo.
Slia Primjer iza f (x) x 1 si x. Treći primjer predstavlja red oji je, ao i u slučaju iza iz prvog primjera, overgeta običo, ali ije uiformo. Probajte sa slie odgoetuti zašto. Slia 3 Primjer reda 0 x (1x ). 3
3 Pregled orisih teorema U ovom odjelju ćemo spomeuti orise teoreme za doaz običe, apsolute i uiforme overgecije. 3.1 Običa overgecija Nea su zadai izovi fucija {f } i {g }, defiirai a supu A (A R). Teorema 1 (Dirichletov riterij) Uolio x A vrijedi: 1. Niz f (x) mootoo teži a uli,. Niz N g (x) je ograiče. Tada red f (x)g (x) overgira a supu A. Teorema (Abelov riterij) Uolio x A vrijedi: 1. Niz f (x) je mooto i ograiče,. Red g (x) je overgeta. Tada red f (x)g (x) overgira a supu A. Naravo, postoji još mogo riterija pomoću ojih možemo poazati običu overgeciju pozitivih, alterirajućih i redova sa oeficijetima proizvoljog zaa. Ovdje smo se usredotočili a dva riterija za poazivaje overgecije redova sa oeficijetima proizvoljog zaa, oji su sa poredbeim riterijima, u prasi, medu ajbitijim orudem za ispitivaje overgecije redova. 3. Apsoluta overgecija Što se apsolute overgecije tiče, ao što a opći čla primjeimo apsolutu vrijedost, možemo oristiti sve riterije oji vrijede za pozitive redove. Bito je apomeuti da je pojam apsolute overgecije potpuo različit od pojma uiforme overgecije, i da se ovi pojmovi e smiju miješati. Apsoluta overgecija je overgecija po tačama, do uiforma overgecija predstavlja globalo svojstvo reda i vrijedi za sve tače istovremeo. Taoder je oriso apomeuti da iz apsolute overgecije e slijedi uiforma overgecija, ali slijedi običa. Jedostava primjer ove tvrdje je red 0 x (1 x) a segemetu [0, 1]. 4
3.3 Uiforma overgecija Teorema 3 (Weierstrassov riterij) Nea je zada iz fucija {f }, defiira a supu A (A R) i pozitiva iz {M }, tao da x A i N vrijedi: 1. f (x) M,. Suma M je ograičea. Tada red f (x) overgira uiformo a supu A. 3 Pored Weierstrassovog riterija, često se oriste i Abelov i Dirichletov riterij uiforme overgecije. Ovi riteriji imaju isti obli ao i pripadi riteriji običe overgecije, s tim da je za Dirichletov riterij potrebo da iz {f } uiformo overgira a uli, te da je iz N g (x) uiformo ograiče, do je za Abelov riterij potrebo da red g (x) uiformo overgira a supu A. Koriso je apomeuti da iz uiforme overgecije Fourierovog reda slijedi i jegova overgecija u sredjem. 3.4 Parcijale sume redova oblia si x i cos x Prisjetimo se Eulerove formule e ix cos x i si x, x R. Sada, uolio posmatramo iz oblia N 1 eix, za N N, vidimo da vrijedi: cos x Re e ix, 1 si x Im e ix. Pošto iz N 1 eix predstavlja geometrijsi iz, možemo ga laho izračuati, a samim tim i odrediti jegov reali i imagiari dio. Dobijamo da vrijedi: 1 cos x 1 si (N 1 )x si x, (*) si x si Nx si (N1)x si x. (**) Pošto smo aveli ee orise teoreme, možemo reuti sa doazivajem overgecija redova i si x cos x. 3 Iz Weierstrassovog riterija slijedi i apsoluta overgecija reda. 5
4 Red si x 4 Vidimo da opći čla reda možemo predstaviti ao proizvod općih člaova dva iza: f (x) 1 (oji e zavisi od x) i g (x) si x. si Nx si (N1)x Na osovu **, iz parcijalih suma iza {g }, N g (x) si x je ograiče, do iz {f } mootoo teži a uli, pa prema Dirichletovom riteriju zaljučujemo da red si x overgira običo. Na slici 4 vidimo da, za svao x, red poprima oaču i jedistveu vrijedost, što potvrduje aš zaljuča. Poažimo da red e overgira apsoluto, tj. da red si x 1 e overgira. Pošto vrijedi 1 si x si x si x si x, N, x R, imamo: si x ( si x 1 cos x 1 ) 1 cos x. Posmatrajmo sada razliu redova 1 cos x. Primjeom Dirichletovog riterija a izove f (x) 1 i g (x) cos x, pošto je, a osovu *, N g (x) 1 si (N1)x si x ograiče, a iz {f } mootoo teži a uli, dobijamo da red cos x overgira. Red 1 je pozati hiperharmoijsi red oji divergira a besoačosti, pa pošto razlia divergetog i overgetog reda predstavlja divergeta red, dobijamo da red taoder divergira a besoačosti. si x Slia 4 Priaz redova oblia si x, za p 1,, 3. p Sa slie 4 možemo aslutiti da red e overgira uiformo (zbog soova u tačama π, Z). Uolio bismo poušali primijeiti Dirichletov riterij za uiformu overgeciju a posmatrai red, e bismo mogli poazati da je 4 Predstavlja Fourierov red eparog, π-periodičog prošireja fucije f(x) π x a itervalu (0, π). 6
suma Nx N si si x azivi teži a uli. (N1)x si si x uiformo ograičea, jer u tači x 0, Poažimo, po defiiciji, da red e overgira uiformo za x 0. Defiicija 1 (Cauchyev riterij) Za fucioali red {f } ažemo da uiformo overgira a supu A, uolio x A, ɛ > 0, N(ɛ), tao da je m, > N : f m (x) f (x) < ɛ. Da bismo poazali da red e overgira za x 0, pretpostavimo suproto. Pretpostavimo da za eo ɛ > 0, postoji tavo N N(ɛ) i uzmimo proizvoljo > N. Nea je m > N. Dobijamo da je: f m (x) f (x) f (x) f (x) si x si ( 1)x 1 1 1 si x si ( )x 1 si x si x Pošto je, a osovu pretpostave, ovaj uslov zadovolje za svao x, oda je o zadovolje i za x 1 oji teži a uli ad. Dalje, pošto se si alazi u prvom vadratu { 1,,..., }, to je fucija si rastuća, pa vrijedi: si ( 1)x si x 1 si 1 si 1 si 1 > > si 1 1 1 si x 1 1 si > si 1 1 si si 1 si 1 > 1 si 1 f (x) f (x) > 1 si 1,. si 1 što je očigleda otradicija, jer za ɛ < 1 si 1, možemo izabrati m i tave da e zadovoljavaju avedee uslove u oolii tače x 0, pa red e overgira uiformo a segmetu [0, θ], θ > 0. Napomea: Uolio se ograičimo a segmet [δ, π δ], za proizvoljo malo δ (0, π), tada fucija zaista uiformo overgira, jer je iz parcijalih suma iza si x a tom segmetu uiformo ograiče, a iz 1 uiformo teži a uli. Iz svega avedeog možemo zaljučiti da red si x overgira običo, ali e overgira apsoluto iti uiformo. 7
5 Red cos x 5 Aalogo prethodom slučaju, primjeom Dirichletovog riterija a izove f (x) 1, oji mootoo teži a uli, i g (x) cos x, čiji je iz parcijalih suma, a osovu *, ograiče, dobijamo da red overgira. Da bismo poazali da red e overgira apsoluto, ao i u prethodom slučaju, oristimo ejedaost 1 cos x cos x cos x, N, x R, pa imamo: cos x cos x 1 cos x 1 ( 1 ) cos x. Pošto smo u prethodom slučaju poazali da red cos x overgira, a red 1 predstavlja hiperharmoijsi red oji divergira a besoačosti, jihov zbir taoder divergira a besoačosti, pa dati red e overgera apsoluto. Slia 5 Priaz redova oblia cos x, za p 1,, 3. p Sa slie 5, možemo aslutiti da red e overgira uiformo u oolii tačaa x π, Z. Da bismo to poazali oriso je, ao i u prethodom slučaju, oristiti Cauchyev riterij. Pretpostavimo, ao i u prethodom slučaju, da red overgira uiformo, tj. da postoji N za oje su zadovoljei uslovi Cauchyevog riterija. Nea je > N proizvolja broj, a m, dobijamo: f m (x) f (x) f (x) f (x) 1 cos x cos ( 1)x 1 1 cos x cos ( )x 1 cos x cos x Pošto je, a osovu pretpostave, ovaj uslov zadovolje za svao x, oda je o zadovolje i za x 1 oji teži a uli ad. Dalje, pošto se cos 5 Predstavlja Fourierov red parog, π-periodičog prošireja fucije f(x) l 1 si x a itervalu (0, π). 8
alazi u prvom vadratu { 1,,..., }, to je fucija cos opadajuća, pa vrijedi: cos ( 1)x 1 cos x x 1 cos 1 1 cos cos 1 > > cos 1 1 cos 1 cos 1 > cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 1 cos 1 f (x) f (x) > 1 cos 1, što je očigleda otradicija, jer za ɛ < 1 cos 1, možemo izabrati m i tave da e zadovoljavaju avedee uslove u oolii tače x 0, pa red e overgira uiformo a segmetu [0, θ], θ > 0. Napomea: Kao i u prethodom slučaju, uolio se ograičimo a segmet [δ, π δ], za proizvoljo malo δ (0, π), tada fucija zaista uiformo overgira, jer je iz parcijalih suma iza cos x a tom segmetu uiformo ograiče, a iz 1 uiformo teži a uli. 6 Zaljuča Na osovu izložeog materijala možemo zaljučiti da ispitivaje overgecija redova u općem slučaju ije jedostava zadata, tao da, ča i u slučaju aizgled jedostavih redova, to može predstavljati veoma muotrpa posao. Osim toga, često je eophodo oristiti ee estadarde metode ( triove ), pomoću ojih posao možemo drastičo olašati, ao što je to slučaj sa isptivajem apsolute overgecije spomeutih redova. Koriso je apomeuti da od ovavog tipa zadataa ituicija igra jao bitu ulogu, te a osovu ituicije, oju stičemo isustvom, vršimo odredee aprosimacije ili jedostavo aslućujemo poašaje samog reda, a osovu čega pravimo prve orae a doazivaju aše pretpostave. Trebalo bi, za raj, apomeuti da je Abelov riterij, iao eorište u izložeom materijalu, ipa avede radi demostracije, ompletosti i pregledosti, ajorisijih teorema za doazivaje overgecije redova u općem slučaju, sa aglasom a Fourierove redove. 9