Funkcie komplexnej premennej

(prezentácia k prednáške FKP/10) doc. RNDr., PhD. 1 1 ondrej.hutnik@upjs.sk umv.science.upjs.sk/analyza Prednáška 1 16. februára 2016

Podmienky Obsah nepovinná účast (!prelínanie prednášok a cvičení!) podmienky ku skúške (zverejnené koncom semestra) I. Komplexné čísla topológia komplexnej roviny, konvergencia postupnosti a radu komplexných čísel II. Úvod do komplexných funkcií limita, spojitost, diferencovatel nost komplexnej funkcie, elementárne funkcie III. Integrál funkcie komplexnej premennej určitý (Riemannov) integrál, Cauchyho integrálna veta, Cauchyho integrálna formula IV. Postupnosti a rady funkcií komplexnej premennej mocninové rady, Taylorove rady, Laurentove rady V. Reziduum funkcie komplexnej premennej singulárne body funkcie, výpočet rezidua, použitie reziduí VI. Operátorový počet Laplaceova a Fourierova transformácia, vlastnosti a použitie

Literatúra k prednáškam a cvičeniam 1. Galajda, P. Schrötter, Š: Funkcia komplexnej premennej a operátorový počet, Alfa, Bratislava, 1991. 2. Kluvánek, I. Mišík, L. Švec, M.: Matematika II., Alfa, Bratislava, 1971. 3. Eliaš, J. Horváth, J. Kajan, J.: Zbierka úloh z vyššej matematiky 2, 4. Alfa, Bratislava, 1970. 4. Pap, E.: Complex Analysis through Examples and Exercises. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London, 1999. http://umv.science.upjs.sk/hutnik/papca.djvu

Historické okienko GIERONIMO CARDANO (1501 1576) Ars Magna de Regulis Algebraicis (1545): rozložte číslo 10 na súčet dvoch sčítancov, ktorých súčin je rovný 40 (5 + 15)(5 15) = 25 ( 15) = 40 Cardano: "Výsledok je elegantný, ale neužitočný." Cardanove vzorce: rovnica x 3 = ax + b má riešenie (b ) 2 ( b x = 3 a 3 (b ) 2 ( 2 + b 3 a 3 + 2 3) 2 2 3) napr. x = 4 je riešením rovnice x 3 = 15x + 4, ale ( b ) 2 ( 2 a ) 3 3 = 4 5 3 < 0

Historické okienko Ďalší vývoj plynul vel mi pomaly a počas neho sa mnohí dopúšt ali chýb z nevedomosti: JOHANN BERNOULLI (1667 1748) logaritmy záporných čísel neexistujú, pretože "logaritmy čísel z intervalu 1, + ) vyčerpávajú nezáporné reálne čísla a logaritmy čísel z intervalu (0, 1) vyčerpajú všetky záporné reálne čísla, na logaritmy záporných čísel tak už žiadne hodnoty nezostávajú" GOTTFRIED LEIBNIZ (1646 1716) logaritmy záporných čísel existujú, pretože ( x) 2 = x 2, čiže 2 log( x) = 2 log x, a teda log( x) = log x LEONHARD EULER (1707 1783) 1 4 = ( 1)( 4) = 4 = 2

Historické okienko Ďalší vývoj plynul vel mi pomaly a počas neho sa mnohí dopúšt ali chýb z nevedomosti: arctg x = x Potom pre x = 1 máme 0 dt 1 + t 2 = 1 ( x 2i 0 dt x t i 0 ) dt t + i = 1 2i log i x i + x = 1 1 + ix log 2i 1 ix = i 2 log i + x i x π 4 = arctg 1 = 1 2i log i 1 i + 1 = 1 ( ) i 1 2 4i log i + 1... a mnohé d alšie skvosty... = 1 4i log( 1) = 1 8i log( 1)2 = 0

Historické okienko Uved me však aj pozitívne výsledky: ROGER COTES (1682 1716) v roku 1714 publikoval výsledok ( 1ϕ = ln cos ϕ + ) 1 sin ϕ LEONHARD EULER (1707 1783) v roku 1740 napísal Bernoullimu, že funkcie y = 2 cos x a y = e 1x + e 1x sú riešením tej istej diferenciálnej rovnice a pre obe platí y(0) = 2, y (0) = 0, teda sa musia rovnat (1743) od Eulera pochádza aj označenie imaginárnej jednotky i (1777)

Historické okienko Uved me však aj pozitívne výsledky: CARL FRIEDRICH GAUSS (1777 1855) v roku 1799 dokazuje fundamentálnu vetu algebry CASPAR WESSEL (1745 1818) a JEAN-ROBERT ARGAND (1768 1822) začiatkom 19. storočia popísali geometrickú interpretáciu komplexných čisel v rovine = Gauss: "táto geometrická interpretácia vrhá na ich metafyzické chápanie nové svetlo" WILLIAM ROWAN HAMILTON (1805 1865) komplexné čísla ako dvojice reálnych čísel (1837) objavená "názornost " bola jedným zo stimulov d alšieho vývoja vedúceho k vytvoreniu teórie komplexných funkcií komplexnej premennej

Historické okienko Základy teórie komplexných funkcií boli položené a rozvinuté v 19. storočí nasledujúcimi vel kými matematikmi: LOUIS AUGUSTIN CAUCHY (1789 1857) BERNHARD RIEMANN (1826 1866) CARL THEODOR WILHELM WEIERSTRAS (1815 1897) JOSEPH LIOUVILLE (1809 1882) neskôr d alší... Prístup menovaných matematikov k základnému pojmu teórie komplexných funkcií, tzv. holomorfným funkciám, bol odlišný... ale o tom až počas tohto kurzu...

Elementárne pozorovania z reálnej analýzy: V N nevieme riešit všetky rovnice tvaru a + x = b pre a, b N! V Z nevieme riešit všetky rovnice tvaru a x = b pre a, b Z! V Q nevieme riešit všetky rovnice tvaru x x = a pre a N! V R nevieme riešit všetky rovnice tvaru x x = a pre a Z! Definícia (množina komplexných čísel) Množinou všetkých komplexných čísel C nazývame množinu všetkých usporiadaných dvojíc reálnych čísel, t.j. z = (x, y), kde x, y R. Prvky množiny C nazývame komplexné čísla.

Operácie s komplexnými číslami Nech z = (x, y), z 1 = (x 1, y 1 ) a z 2 = (x 2, y 2 ). Potom rovnost komplexných čísel z 1 = z 2 nastáva práve vtedy, ked x 1 = x 2 a y 1 = y 2 ; súčet komplexných čísel: z 1 + z 2 = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ); násobok komplexného čísla reálnym číslom c R: cz = (cx, cy); súčin komplexných čísel: z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ); mocnina komplexného čísla: z n, n N definovaná indukciou: z 1 = z, z n+1 = z z n. Komplexné číslo i = (0, 1) nazývame imaginárnou jednotkou. Platí: i 1 = i, i 2 = (0, 1) (0, 1) = ( 1, 0) = 1, i 3 = 1 (0, 1) = i, i 4 = (0, 1) (0, 1) = (1, 0) = 1,....

Algebrický tvar komplexného čísla Vzhl adom na uvedené operácie a označenie môžeme komplexné číslo z = (x, y) zapísat v tvare z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + y (0, 1) = x + iy, ktorý nazývame algebrický tvar komplexného čísla z. Číslo x nazývame reálna čast (zložka) komplexného čísla z, označujeme x = Re z; číslo y nazývame imaginárna čast (zložka) komplexného čísla z, označujeme y = Im z. Číslo z 2 = x 2 + iy 2 nazývame komplexne združené k číslu z 1 = x 1 + iy 1, akk Re z 2 = Re z 1 a Im z 2 = Im z 1. V takom prípade píšeme z 2 = z 1.

Modul (absolútna hodnota) komplexného čísla Modul (vel kost, absolútna hodnota) komplexného čísla z = x + iy nazývame nezáporné reálne číslo z := x 2 + y 2 = z z. Vlastnosti modulu komplexného čísla: 1 z = 0 z = 0, 2 ( z 1, z 2 C) z 1 z 2 = z 2 z 1 3 ( z 1, z 2 C) z 1 + z 2 z 1 + z 2 (trojuholníková nerovnost ), 4 ( z 1, z 2 C) z 1 z 2 z 1 + z 2. Podiel komplexných čísel z 1, z 2 : z 1 z 2 = z 1 z 2 z 2 2, z 2 0

Geometrická reprezentácia komplexných čísel Gaussova (tiež Argandova) rovina: vzájomné (bijektívne) priradenie komplexného čísla z = x + iy bodu [x, y] v rovine E 2 (v karteziánskom súradnicovom systéme); y Im z = x + iy z ϕ 0 x Re množinu komplexných čísel tvaru (x, 0) nazývame reálna os množinu komplexných čísel tvaru (0, y) nazývame imaginárna os

Geometrická reprezentácia komplexných čísel vyjadrenie bodu [x, y] [0, 0] v rovine E 2 pomocou polárnych súradníc: x = r cos ϕ a y = r sin ϕ, pričom y Im z = x + iy z ϕ 0 x Re (i) r je modul komplexného čísla z, t.j. r = z 0; (ii) číslo ϕ (, + ) vyhovuje rovniciam cos ϕ = x x 2 + y = Re z 2 z, sin ϕ = y x 2 + y = Im z 2 z.

Geometrická reprezentácia komplexných čísel Definícia (argument komplexného čísla) Nech z 0 a ϕ 0 je jedno z reálnych čísel vyhovujúce rovniciam cos ϕ = Re z z, Im z sin ϕ = z. Argumentom komplexného čísla z 0 nazývame množinu Arg z := {ϕ R : ϕ = ϕ 0 + 2kπ, k Z}. každé ϕ Arg z nazývame hodnota argumentu komplexného čísla z 0; číslo ϕ Arg z také, že π < ϕ π, nazývame hlavná hodnota argumentu komplexného čísla z 0 a označujeme arg z; teda Arg z = {ϕ R : ϕ = arg z + 2kπ, k Z} pre z 0

Geometrická reprezentácia komplexných čísel y Im z = x + iy z ϕ 0 x Re Pozorovanie: Pre hlavnú hodnotu komplexného čísla z = x + iy 0 platí: arctg y x, x > 0, π 2, x = 0, y > 0, arg z = π + arctg y x, x < 0, y 0, π 2, x = 0, y < 0, π + arctg y x, x < 0, y < 0.

Goniometrický a exponenciálny tvar komplexného čísla Z rovníc x = z cos ϕ a y = z sin ϕ, kde ϕ je niektorá hodnota argumentu nenulového komplexného čísla z = x + iy, máme goniometrický tvar komplexného čísla z = z (cos ϕ + i sin ϕ). Pomocou Eulerovho vzt ahu e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ potom môžeme komplexné číslo z prepísat do exponenciálneho tvaru z = z e iϕ, ϕ R.

Použitie goniometrického tvaru komplexného čísla Nech z 1 = z 1 (cos ϕ 1 + i sin ϕ 1 ) a z 2 = z 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ). pre rovnost komplexných čísel máme z 1 = z 2 z 1 = z 2 ϕ 1 = ϕ 2 + 2kπ, k Z súčin komplexných čísel má tvar z 1 z 2 = z 1 z 2 (cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 + ϕ 2 )) Moivreova veta: z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ) pre podiel komplexných čísel (z 2 0) platí z 1 = z 1 z 2 z 2 (cos(ϕ 1 ϕ 2 ) + i sin(ϕ 1 ϕ 2 ))

n-tá odmocnina komplexného čísla Nech z = ρ (cos ψ + i sin ψ) a a = r (cos ϕ + i sin ϕ) 0. Hl adáme riešenia rovnice z n = a, n N, ktoré nazývame n-tá odmocnina komplexného čísla z. Riešenie: z k = n ( r cos ϕ + 2kπ + i sin ϕ + 2kπ ), k Z n n a z 2 z 1 z 0 2π n ϕ 0 ϕ n z i

Bod nekonečno stereografická projekcia: vzájomne jednoznačné priradenie Gaussovej roviny a (Riemannovej) sféry P M 0 z nevlastný bod (nekonečne vzdialený bod, nekonečno), označujeme, nemá zavedený pojem reálnej a imaginárnej zložky, ani argument, jeho modul je väčší ako modul ktoréhokol vek komplexného čísla uzavretá Gaussova rovina C := C { }

Bod nekonečno algebrické operácie 1 z ± = ± z = pre každé z C; 2 z = z = pre každé z C, z 0; 3 z 4 z 0 5 z = 0 pre každé z C; = pre každé z C, z 0; = pre každé z C; 6 n =, n = 0, 0 n = pre každé n N; 7 0 = 1; 8 =, =.