Vanjska simetrija kristâla

Vanjska simetrija kristâla Franka Miriam Brückler PMF-MO, Zagreb Listopad 2008. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 1 / 16

Vizualna simetrija Što je simetrija? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 2 / 16

Vizualna simetrija Što je simetrija? U svakodnevici pod simetrijom prije svega doživljavamo geometrijsku zrcalnu simetriju. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 2 / 16

Može li malo preciznije? Što je simetrija? Geometrijski objekt X (zanimaju nas isključivo slučajevi kad je X R n, n = 1, 2, 3) je simetričan ako posjeduje bar jedan element simetrije. Element simetrije je točka, pravac ili ravnina obzirom na koji se može zrcaliti ili za neki nenul kut rotirati promatrani objekt tako da se poklopi sam sa sobom. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 3 / 16

Može li malo preciznije? Što je simetrija? Geometrijski objekt X (zanimaju nas isključivo slučajevi kad je X R n, n = 1, 2, 3) je simetričan ako posjeduje bar jedan element simetrije. Element simetrije je točka, pravac ili ravnina obzirom na koji se može zrcaliti ili za neki nenul kut rotirati promatrani objekt tako da se poklopi sam sa sobom. Razlikujemo centre simetrija, ravnine simetrija i osi simetrija (gire) te složene elemente simetrije. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 3 / 16

Centri simetrije Što je simetrija? Centralna simetrija ili inverzija obzirom na centar C R n je izometrija 1 : R n R n sa svojstvom da za sve T R n vrijedi da je C polovište dužine polovište dužine T 1(T ). Ako za neki centar C vrijedi 1(X ) = X kažemo da X posjeduje centralnu simetriju. Inverzija se često označava i s i. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 4 / 16

Centri simetrije Što je simetrija? Centralna simetrija ili inverzija obzirom na centar C R n je izometrija 1 : R n R n sa svojstvom da za sve T R n vrijedi da je C polovište dužine polovište dužine T 1(T ). Ako za neki centar C vrijedi 1(X ) = X kažemo da X posjeduje centralnu simetriju. Inverzija se često označava i s i. Slika: C 2 H 2 F 2 Cl 2 Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 4 / 16

Ravnine simetrije Što je simetrija? Ravninska simetrija ili zrcaljenje obzirom na ravninu Π je izometrija m : R 3 R 3 sa svojstvom da za sve točke T R 3 vrijedi da se polovište dužine Tm(T ) podudara sa sjecištem okomice iz T na Π s Π. Ako za neku ravninu Π vrijedi m(x ) = X kažemo da X posjeduje zrcalnu simetriju. Zrcaljenje se takoder često označava sa σ, a ravnina simetrije s P. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 5 / 16

Osi simetrije Što je simetrija? Rotacijska simetrija ili rotacija oko osi (pravca) o za kut α je izometrija r : R 3 R 3 sa svojstvom da za sve točke T R 3 vrijedi da je OT = Or(T ) i da je kut izmedu OT i Or(T ) jednak α, gdje je O probodište pravca o s ravninom kroz T koja je okomita na o. Ako za neku os o i kut α 0 vrijedi r(x ) = X kažemo da X posjeduje rotacijsku simetriju. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 6 / 16

Osi simetrije Što je simetrija? Rotacijska simetrija ili rotacija oko osi (pravca) o za kut α je izometrija r : R 3 R 3 sa svojstvom da za sve točke T R 3 vrijedi da je OT = Or(T ) i da je kut izmedu OT i Or(T ) jednak α, gdje je O probodište pravca o s ravninom kroz T koja je okomita na o. Ako za neku os o i kut α 0 vrijedi r(x ) = X kažemo da X posjeduje rotacijsku simetriju. Dogovorno se bira najmanji kut rotacije α > 0 jer očito vrijedi da ako je rotacija za α rotacijska simetrija, onda je i rotacija za svaki njegov cjelobrojni višekratnik takoder rotacijska simetrija. Ako je α = 2π n odgovarajuću rotaciju označavamo s C n ili jednostavno s n, dok os tada označavamo s L n. Za n = 2, 3, 4, 6 odgovarajući elementi simetrije (osi) zovu se digira, trigira, tetragira, heksagira. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 6 / 16

Osi simetrije Što je simetrija? Rotacijska simetrija ili rotacija oko osi (pravca) o za kut α je izometrija r : R 3 R 3 sa svojstvom da za sve točke T R 3 vrijedi da je OT = Or(T ) i da je kut izmedu OT i Or(T ) jednak α, gdje je O probodište pravca o s ravninom kroz T koja je okomita na o. Ako za neku os o i kut α 0 vrijedi r(x ) = X kažemo da X posjeduje rotacijsku simetriju. Dogovorno se bira najmanji kut rotacije α > 0 jer očito vrijedi da ako je rotacija za α rotacijska simetrija, onda je i rotacija za svaki njegov cjelobrojni višekratnik takoder rotacijska simetrija. Ako je α = 2π n odgovarajuću rotaciju označavamo s C n ili jednostavno s n, dok os tada označavamo s L n. Za n = 2, 3, 4, 6 odgovarajući elementi simetrije (osi) zovu se digira, trigira, tetragira, heksagira. Napomenimo da se centralna simetrija može promatrati kao kompozicija rotacije za kut π i zrcaljenja obzirom na ravninu okomitu na os rotacije. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 6 / 16

Što je simetrija? (a) (b) (c) (d) Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 7 / 16

Što je dakle simetrija? Što je simetrija? Simetrija objekta X R 3 je svaka izometrija f prostora R 3 takva da je f (X ) = X. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 8 / 16

Što je dakle simetrija? Što je simetrija? Simetrija objekta X R 3 je svaka izometrija f prostora R 3 takva da je f (X ) = X. Trivijalna simetrija je identiteta I : R 3 R 3 ; ona je simetrija svakog objekta. Objekt smatramo simetričnim ako posjeduje bar jednu netrivijalnu simetriju. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 8 / 16

Što je dakle simetrija? Što je simetrija? Simetrija objekta X R 3 je svaka izometrija f prostora R 3 takva da je f (X ) = X. Trivijalna simetrija je identiteta I : R 3 R 3 ; ona je simetrija svakog objekta. Objekt smatramo simetričnim ako posjeduje bar jednu netrivijalnu simetriju. Sve izometrije prostora mogu se realizirati kao kompozicije zrcaljenja, no iz praktičnih razloga se razlikuju razne vrste izometrija. Uz već navedene izometrije (inverzije, zrcaljenja, rotacije) još se kao simetrije objekata pojavljuju i: Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 8 / 16

Što je dakle simetrija? Što je simetrija? Simetrija objekta X R 3 je svaka izometrija f prostora R 3 takva da je f (X ) = X. Trivijalna simetrija je identiteta I : R 3 R 3 ; ona je simetrija svakog objekta. Objekt smatramo simetričnim ako posjeduje bar jednu netrivijalnu simetriju. Sve izometrije prostora mogu se realizirati kao kompozicije zrcaljenja, no iz praktičnih razloga se razlikuju razne vrste izometrija. Uz već navedene izometrije (inverzije, zrcaljenja, rotacije) još se kao simetrije objekata pojavljuju i: Translacija za neki vektor a: izometrija t a : R 3 R 3 sa svojstvom da za sve točke T R 3 vrijedi da je orijentirana dužina Tt a (T ) predstavnik vektora a. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 8 / 16

Što je simetrija? Rotoinverzija: kompozicija rotacije za kut α s inverzijom; ako je α = 2π n, onda se pripadna rotoinverzija označava s n; Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 9 / 16

Što je simetrija? Rotoinverzija: kompozicija rotacije za kut α s inverzijom; ako je α = 2π n, onda se pripadna rotoinverzija označava s n; Rotorefleksija: kompozicija rotacije za kut α s inverzijom; ako je α = 2π n, onda se pripadna rotoinverzija označava s ñ; Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 9 / 16

Što je simetrija? Rotoinverzija: kompozicija rotacije za kut α s inverzijom; ako je α = 2π n, onda se pripadna rotoinverzija označava s n; Rotorefleksija: kompozicija rotacije za kut α s inverzijom; ako je α = 2π n, onda se pripadna rotoinverzija označava s ñ; Simetrija klizne ravnine: kompozicija zrcaljenja obzirom na neku ravninu s translacijom u smjeru paralelnom toj ravnini; Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 9 / 16

Što je simetrija? Rotoinverzija: kompozicija rotacije za kut α s inverzijom; ako je α = 2π n, onda se pripadna rotoinverzija označava s n; Rotorefleksija: kompozicija rotacije za kut α s inverzijom; ako je α = 2π n, onda se pripadna rotoinverzija označava s ñ; Simetrija klizne ravnine: kompozicija zrcaljenja obzirom na neku ravninu s translacijom u smjeru paralelnom toj ravnini; Vijčana simetrija: kompozicija rotacije oko neke osi s translacijom u smjeru te osi. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 9 / 16

Što je simetrija? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 10 / 16

Što je simetrija? Kod kristala su, kako ćemo kasnije dokazati, moguće samo osi simetrije (bilo rotacije bilo rotoinverzije ili rotorefleksije) reda 2, 3, 4 ili 6. Sve rotorefleksne osi tih redova mogu se shvatiti kao rotoinverzne: 1 = 2, 2 = 1, 3 = 6, 4 = 4, 6 = 3. Mi stoga u daljnjem nećemo spominjati rotorefleksiju. Napomenimo ovdje da je engleski izraz za rotorefleksiju improper rotation te se u prikazima simetrija kristala i molekula one preferiraju u odnosu na rotoinverziju. Slika: Ekvivalencije rotoinverzija i rotorefleksija Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 11 / 16

Zone, forme Forme Svaki kristal/mineral možemo u geometrijskom smislu shvatiti kao poliedar. Njegove strane zovemo plohama; one su konveksni poligoni. 1 Za danu ravninu u R 3 pripadni (zatvoreni) poluprostor je skup svih točaka koje su s jedne od dviju mogućih strana te ravnine, uključivši samu ravninu. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 12 / 16

Zone, forme Forme Svaki kristal/mineral možemo u geometrijskom smislu shvatiti kao poliedar. Njegove strane zovemo plohama; one su konveksni poligoni. Forma je skup svih sukladnih ploha kristala. Plohe jedne forme su nužno povezane elementima simetrije tj. iz bilo koje od njih se primjenom neke od simetrija mogu generirati sve ostale plohe iz iste forme. 1 Za danu ravninu u R 3 pripadni (zatvoreni) poluprostor je skup svih točaka koje su s jedne od dviju mogućih strana te ravnine, uključivši samu ravninu. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 12 / 16

Zone, forme Forme Svaki kristal/mineral možemo u geometrijskom smislu shvatiti kao poliedar. Njegove strane zovemo plohama; one su konveksni poligoni. Forma je skup svih sukladnih ploha kristala. Plohe jedne forme su nužno povezane elementima simetrije tj. iz bilo koje od njih se primjenom neke od simetrija mogu generirati sve ostale plohe iz iste forme. Za svaku formu promotrimo presjek poluprostora 1 odredenih ravninama u kojima leže plohe forme. Otvorena forma je ona za koju je taj presjek neomeden skup, a zatvorena forma je ona za koju je taj presjek omeden. 1 Za danu ravninu u R 3 pripadni (zatvoreni) poluprostor je skup svih točaka koje su s jedne od dviju mogućih strana te ravnine, uključivši samu ravninu. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 12 / 16

Zone, forme Glavne otvorene forme su pinakoid (u formi su samo dvije paralelne plohe), prizma (plohe forme su četverokuti koji čine plašt prizme) i piramida (plohe forme su trokuti koji čine plašt piramide). Prema poligonu kojeg dobijemo ako prizmu/piramidu siječemo okomito na njenu os razlikujemo rompske, trigonske, tetragonske, heksagonske, ditrigonske, ditetragonske i diheksagonske prizme i piramide. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 13 / 16

Zone, forme Glavne otvorene forme su pinakoid (u formi su samo dvije paralelne plohe), prizma (plohe forme su četverokuti koji čine plašt prizme) i piramida (plohe forme su trokuti koji čine plašt piramide). Prema poligonu kojeg dobijemo ako prizmu/piramidu siječemo okomito na njenu os razlikujemo rompske, trigonske, tetragonske, heksagonske, ditrigonske, ditetragonske i diheksagonske prizme i piramide. Glavne zatvorene forme su dipiramida (forma je unija dviju zrcalnosimetričnih piramida), trapezoedar (formu čine deltoidi), romboedar (formu čini šest sukladnih paralelograma) i skalenoedar (formu čine trokuti kojima su sve tri stranice različite duljine). Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 13 / 16

Zone, forme Glavne otvorene forme su pinakoid (u formi su samo dvije paralelne plohe), prizma (plohe forme su četverokuti koji čine plašt prizme) i piramida (plohe forme su trokuti koji čine plašt piramide). Prema poligonu kojeg dobijemo ako prizmu/piramidu siječemo okomito na njenu os razlikujemo rompske, trigonske, tetragonske, heksagonske, ditrigonske, ditetragonske i diheksagonske prizme i piramide. Glavne zatvorene forme su dipiramida (forma je unija dviju zrcalnosimetričnih piramida), trapezoedar (formu čine deltoidi), romboedar (formu čini šest sukladnih paralelograma) i skalenoedar (formu čine trokuti kojima su sve tri stranice različite duljine). Plohe svakog kristala mogu se rasporediti u forme tj. pripadni poliedar je presjek jedne ili više formi. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 13 / 16

A što su zone? Zone, forme Zona je skup ploha kristala koje su paralelne istom smjeru pravaca; svaki pravac tog smjera zove se os zone. Očigledno svake dvije neparalelne plohe odreduju jednu zonu. Ravnine ploha iste zone sijeku se u paralelnim pravcima (ti svi pravci naravno imaju smjer osi zone). Zonska ravnina je bilo koja ravnina koja je okomita na os zone; normale na plohe zone su paralelne zonskoj ravnini. Treći kristalografski zakon glasi: Svaka ploha kristala pripada bar dvjema zonama. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 14 / 16

Zone, forme Prvi kristalografski zakon Prvi kristalografski zakon poznat je i kao zakon o stalnosti kuteva. Izrekao ga je 1669. Niels Stensen (Nicolaus Steno). Zakon glasi: Kutevi izmedu odgovarajućih ploha na svim kristalima neke mineralne vrste jednaki su, bez obzira nalazište kristala, uz uvjet da se mjere uz isti tlak i temperaturu. Dakle, svaka mineralna vrsta ima odredene tipične kuteve koji se mogu pojaviti medu plohama kristala te vrste te se temeljem uočenih kuteva 2 može utvrditi može li dani uzorak kristala pripadati nekoj mineralnoj vrsti ili ne. 2 Naprave za mjerenje kuteva medu plohama kristalâ zovu se goniometri. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 15 / 16

Zone, forme Vježbe Na modelima naći i po mogućnosti imenovati: Elemente simetrije (C, m, 2, 3, 4, 6, 4); Forme (obavezno razlikovati otvorene i zatvorene!); Zone Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 16 / 16