Kristalografske točkine grupe
|
|
|
- Ζεφύρα Ανδρέου
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Kristalografske točkine grupe Franka Miriam Brückler PMF-MO, Zagreb Travanj Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
2 Elementi simetrije Elementi simetrije i simetrijske operacije Objekt u prostoru je simetričan ako posjeduje bar jedan element simetrije. Element simetrije može biti: 1 točka (centar inverzije), 2 ravnina (zrcalna ravnina), 3 pravac (os rotacije), 4 geometrijski vektor (vektor translacije). Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
3 Elementi simetrije Elementi simetrije i simetrijske operacije Objekt u prostoru je simetričan ako posjeduje bar jedan element simetrije. Element simetrije može biti: 1 točka (centar inverzije), 2 ravnina (zrcalna ravnina), 3 pravac (os rotacije), 4 geometrijski vektor (vektor translacije). Zadatak Postoji li objekt s beskonačno mnogo ravnina simetrije? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
4 Elementi simetrije Elementi simetrije i simetrijske operacije Objekt u prostoru je simetričan ako posjeduje bar jedan element simetrije. Element simetrije može biti: 1 točka (centar inverzije), 2 ravnina (zrcalna ravnina), 3 pravac (os rotacije), 4 geometrijski vektor (vektor translacije). Zadatak Postoji li objekt s beskonačno mnogo ravnina simetrije? Zadatak Postoje li objekt i os takvi da za koji god kut objekt zarotiramo oko te osi, zarotirani položaj se poklapa s polaznim? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
5 Zadatak Nacrtajte 3D objekt koji nije poliedar i kao jedini element simetrije posjeduje (a) centar simetrije odnosno (b) samo jednu ravninu simetrije. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29 Elementi simetrije Elementi simetrije i simetrijske operacije Objekt u prostoru je simetričan ako posjeduje bar jedan element simetrije. Element simetrije može biti: 1 točka (centar inverzije), 2 ravnina (zrcalna ravnina), 3 pravac (os rotacije), 4 geometrijski vektor (vektor translacije). Zadatak Postoji li objekt s beskonačno mnogo ravnina simetrije? Zadatak Postoje li objekt i os takvi da za koji god kut objekt zarotiramo oko te osi, zarotirani položaj se poklapa s polaznim?
6 Elementi simetrije i simetrijske operacije Simetrije (simetrijske operacije) Posjedovati element simetrije znači da se pomoću tog elementa može definirati preslikavanje koje promatrani objekt, recimo kristal, preslika sam na sebe, tako da nije vidljiva razlika prije i poslije preslikavanja. Takvo se preslikavanje onda zove simetrijom (simetrijskom operacijom): 1 inverzija, 2 zrcaljenje, 3 rotacija, 4 translacija. Ne, nisam zaboravila rotoinverziju, rotorefleksiju, simetriju klizne ravnine ni vijčane osi! :-) Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
7 Elementi simetrije i simetrijske operacije Simetrije (simetrijske operacije) Posjedovati element simetrije znači da se pomoću tog elementa može definirati preslikavanje koje promatrani objekt, recimo kristal, preslika sam na sebe, tako da nije vidljiva razlika prije i poslije preslikavanja. Takvo se preslikavanje onda zove simetrijom (simetrijskom operacijom): 1 inverzija, 2 zrcaljenje, 3 rotacija, 4 translacija. Ne, nisam zaboravila rotoinverziju, rotorefleksiju, simetriju klizne ravnine ni vijčane osi! :-) Centralna simetrija (inverzija) je simetrijska operacija odredena jednom točkom O (centrom simetrije). Preciznije, to je preslikavanje 1 takvo da za sve točke T vrijedi da je O polovište dužine koja spaja T i njenu zrcalnu sliku 1(T ). Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
8 Elementi simetrije i simetrijske operacije Izometričnost; kiralnost Mijenja li se udaljenost dviju točaka ako na njih primijenimo operaciju inverzije? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
9 Elementi simetrije i simetrijske operacije Izometričnost; kiralnost Mijenja li se udaljenost dviju točaka ako na njih primijenimo operaciju inverzije? Sve simetrijske operacije su izometrije: Udaljenost bilo koje dvije točke prije i poslije primjene operacije je ista. Izometrije čuvaju i kutove i općenito oblik. Jednostavni primjer izometrije je trivijalna simetrija 1 koja sve točke ostavlja na mjestu. To je simetrija svakog objekta. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
10 Elementi simetrije i simetrijske operacije Izometričnost; kiralnost Mijenja li se udaljenost dviju točaka ako na njih primijenimo operaciju inverzije? Sve simetrijske operacije su izometrije: Udaljenost bilo koje dvije točke prije i poslije primjene operacije je ista. Izometrije čuvaju i kutove i općenito oblik. Jednostavni primjer izometrije je trivijalna simetrija 1 koja sve točke ostavlja na mjestu. To je simetrija svakog objekta. Ravninska simetrija (zrcaljenje s obzirom na ravninu) je izometrija m koja nije trivijalna, ali fiksira neku ravninu u prostoru (postoji ravnina Π takva da je m(π) = Π). Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
11 Elementi simetrije i simetrijske operacije Izometričnost; kiralnost Mijenja li se udaljenost dviju točaka ako na njih primijenimo operaciju inverzije? Sve simetrijske operacije su izometrije: Udaljenost bilo koje dvije točke prije i poslije primjene operacije je ista. Izometrije čuvaju i kutove i općenito oblik. Jednostavni primjer izometrije je trivijalna simetrija 1 koja sve točke ostavlja na mjestu. To je simetrija svakog objekta. Ravninska simetrija (zrcaljenje s obzirom na ravninu) je izometrija m koja nije trivijalna, ali fiksira neku ravninu u prostoru (postoji ravnina Π takva da je m(π) = Π). Inverzija i ravninska simetrija zamjenjuju odnos lijevog i desnog, tj. mijenjaju kiralnost objekta. Za razliku od toga, trivijalna simetrija čuva odnos lijevog i desnog. Simetrijske operacije koje čuvaju odnos lijevog i desnog zovu se pomaci (ili: operacije prve vrste), a simetrije koje mijenjaju odnos lijevog i desnog zovu se operacijama druge vrste. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
12 Rotacijske simetrije Elementi simetrije i simetrijske operacije Rotacijska simetrija (rotacija) je pomak koji fiksira jedan pravac. Taj pravac zove se os simetrije. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
13 Rotacijske simetrije Elementi simetrije i simetrijske operacije Rotacijska simetrija (rotacija) je pomak koji fiksira jedan pravac. Taj pravac zove se os simetrije. Ako objekt posjeduje os simetrije, onda ili je rotacija za svaki kut oko te osi simetrija (govorimo o kružnoj simetriji) ili postoji najmanji kut α > 0 za koji je rotacija oko te osi simetrijska operacija na objektu. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
14 Rotacijske simetrije Elementi simetrije i simetrijske operacije Rotacijska simetrija (rotacija) je pomak koji fiksira jedan pravac. Taj pravac zove se os simetrije. Ako objekt posjeduje os simetrije, onda ili je rotacija za svaki kut oko te osi simetrija (govorimo o kružnoj simetriji) ili postoji najmanji kut α > 0 za koji je rotacija oko te osi simetrijska operacija na objektu. U drugom slučaju je i rotacija za svaki cjelobrojni višekratnik kα takoder rotacijska simetrija istog objekta. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
15 Rotacijske simetrije Elementi simetrije i simetrijske operacije Rotacijska simetrija (rotacija) je pomak koji fiksira jedan pravac. Taj pravac zove se os simetrije. Ako objekt posjeduje os simetrije, onda ili je rotacija za svaki kut oko te osi simetrija (govorimo o kružnoj simetriji) ili postoji najmanji kut α > 0 za koji je rotacija oko te osi simetrijska operacija na objektu. U drugom slučaju je i rotacija za svaki cjelobrojni višekratnik kα takoder rotacijska simetrija istog objekta. Kako je rotacija za 360 simetrija svakog objekta, ako je α > 0, postoji n N takav da je α = 360 n i odgovarajuću rotaciju označavamo s C n ili jednostavno s n. Govorimo o rotaciji reda n. Rotacija za 360 je reda 1 i to je isto što i trivijalna simetrija. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
16 Rotacijske simetrije Elementi simetrije i simetrijske operacije Rotacijska simetrija (rotacija) je pomak koji fiksira jedan pravac. Taj pravac zove se os simetrije. Ako objekt posjeduje os simetrije, onda ili je rotacija za svaki kut oko te osi simetrija (govorimo o kružnoj simetriji) ili postoji najmanji kut α > 0 za koji je rotacija oko te osi simetrijska operacija na objektu. U drugom slučaju je i rotacija za svaki cjelobrojni višekratnik kα takoder rotacijska simetrija istog objekta. Kako je rotacija za 360 simetrija svakog objekta, ako je α > 0, postoji n N takav da je α = 360 n i odgovarajuću rotaciju označavamo s C n ili jednostavno s n. Govorimo o rotaciji reda n. Rotacija za 360 je reda 1 i to je isto što i trivijalna simetrija. Zadatak Nacrtajte 3D objekt koji nije poliedar i kao jedini element simetrije posjeduje rotaciju za 36. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
17 A što s ovime? Elementi simetrije i simetrijske operacije Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
18 A što s ovime? Elementi simetrije i simetrijske operacije U ovakvim slučajevima govorimo o translacijskoj simetriji: Objekt se može pomaknuti za neki (nenul-)vektor tako da se poklopi sam sa sobom. Ako se to može učiniti u tri smjera koja nisu paralelna istoj ravnini govorimo o prostornoj translacijskoj simetriji. Zadatak Može li ograničen objekt imati netrivijalnu translacijsku simetriju? Zadatak Je li istina: Ako objekt posjeduje translacijsku simetriju obzirom na vektor, onda ju posjeduje i obzirom na svaki njegov cjelobrojni višekratnik? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
19 Elementi simetrije i simetrijske operacije Kompozicija simetrija Uzastopno izvodenje simetrijskih operacija zove se njihovom kompozicijom. Ako prvo provedemo operaciju A pa onda operaciju B, njihovu kompoziciju označavamo s BA. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
20 Elementi simetrije i simetrijske operacije Kompozicija simetrija Uzastopno izvodenje simetrijskih operacija zove se njihovom kompozicijom. Ako prvo provedemo operaciju A pa onda operaciju B, njihovu kompoziciju označavamo s BA. Zadatak Objasnite zašto je kompozicija simetrijskih operacija istog objekta ponovno njegova simetrija. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
21 Elementi simetrije i simetrijske operacije Kompozicija simetrija Uzastopno izvodenje simetrijskih operacija zove se njihovom kompozicijom. Ako prvo provedemo operaciju A pa onda operaciju B, njihovu kompoziciju označavamo s BA. Zadatak Objasnite zašto je kompozicija simetrijskih operacija istog objekta ponovno njegova simetrija. Zadatak Opišite centralnu simetriju kao kompoziciju rotacije i zrcaljenja. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
22 Elementi simetrije i simetrijske operacije Kompozicija simetrija Uzastopno izvodenje simetrijskih operacija zove se njihovom kompozicijom. Ako prvo provedemo operaciju A pa onda operaciju B, njihovu kompoziciju označavamo s BA. Zadatak Objasnite zašto je kompozicija simetrijskih operacija istog objekta ponovno njegova simetrija. Zadatak Opišite centralnu simetriju kao kompoziciju rotacije i zrcaljenja. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
23 Elementi simetrije i simetrijske operacije Važne komponirane simetrije Rotoinverzija: kompozicija rotacije s inverzijom obzirom na centar koji se nalazi na osi rotacije; ako je kut rotacije α = 2π n, onda se pripadna rotoinverzija označava s n; Rotorefleksija: kompozicija rotacije sa zrcaljenjem obzirom na ravninu okomitu na os rotacije; ako je kut rotacije α = 2π n, onda se pripadna rotorefleksija označava s ñ; Simetrija klizne ravnine: kompozicija zrcaljenja obzirom na neku ravninu s translacijom u smjeru paralelnom toj ravnini; Vijčana simetrija: kompozicija rotacije oko neke osi s translacijom u smjeru te osi. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
24 Elementi simetrije i simetrijske operacije Važne komponirane simetrije Rotoinverzija: kompozicija rotacije s inverzijom obzirom na centar koji se nalazi na osi rotacije; ako je kut rotacije α = 2π n, onda se pripadna rotoinverzija označava s n; Rotorefleksija: kompozicija rotacije sa zrcaljenjem obzirom na ravninu okomitu na os rotacije; ako je kut rotacije α = 2π n, onda se pripadna rotorefleksija označava s ñ; Simetrija klizne ravnine: kompozicija zrcaljenja obzirom na neku ravninu s translacijom u smjeru paralelnom toj ravnini; Vijčana simetrija: kompozicija rotacije oko neke osi s translacijom u smjeru te osi. Zadatak Je li kompozicija rotoinverzije n sa zrcaljenjem m obzirom na ravninu okomitu na os rotoinverzije operacija prve vrste ili druge vrste? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
25 Početak primjera Elementi simetrije i simetrijske operacije Navedite neki objekt čija kristalna klasa ima Schönflies-ov simbol D 3h. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
26 Početak primjera Elementi simetrije i simetrijske operacije Navedite neki objekt čija kristalna klasa ima Schönflies-ov simbol D 3h. Odaberite u stereografskoj projekciji klase D 3h neku točku T 1 općeg položaja. Kamo se ona preslika ako primijenimo operaciju 3m h, a kamo ako primijenimo m h 3? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
27 Početak primjera Elementi simetrije i simetrijske operacije Navedite neki objekt čija kristalna klasa ima Schönflies-ov simbol D 3h. Odaberite u stereografskoj projekciji klase D 3h neku točku T 1 općeg položaja. Kamo se ona preslika ako primijenimo operaciju 3m h, a kamo ako primijenimo m h 3? Dakle, kod komponiranja simetrijskih operacija trebamo paziti na redoslijed (komponiranje nije komutativno). Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
28 Elementi simetrije i simetrijske operacije Neka važna svojstva kompozicije simetrija Za svaku od 12 točaka općeg položaja utvrdite koje simetrijske operacije treba primijeniti na T 1 da bismo ih dobili. Zaključite koliko različitih simetrijskih operacija odgovara klasi D 3h. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
29 Elementi simetrije i simetrijske operacije Neka važna svojstva kompozicije simetrija Za svaku od 12 točaka općeg položaja utvrdite koje simetrijske operacije treba primijeniti na T 1 da bismo ih dobili. Zaključite koliko različitih simetrijskih operacija odgovara klasi D 3h. Svaki objekt posjeduje trivijalnu simetriju 1 ( ništa ne raditi, identiteta). Odaberite neku drugu točku općeg položaja. Kojom simetrijskom operacijom primijenjenom na T 1 je ona dobivena? Koju simetrijsku operaciju možemo na nju primijeniti da dobijemo T 1? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
30 Elementi simetrije i simetrijske operacije Neka važna svojstva kompozicije simetrija Za svaku od 12 točaka općeg položaja utvrdite koje simetrijske operacije treba primijeniti na T 1 da bismo ih dobili. Zaključite koliko različitih simetrijskih operacija odgovara klasi D 3h. Svaki objekt posjeduje trivijalnu simetriju 1 ( ništa ne raditi, identiteta). Odaberite neku drugu točku općeg položaja. Kojom simetrijskom operacijom primijenjenom na T 1 je ona dobivena? Koju simetrijsku operaciju možemo na nju primijeniti da dobijemo T 1? Ako smo na objekt primijenili neku njegovu simetrijsku operaciju, možemo li ju uvijek poništiti nekom od njegovih simetrijskih operacija? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
31 Elementi simetrije i simetrijske operacije Neka važna svojstva kompozicije simetrija Za svaku od 12 točaka općeg položaja utvrdite koje simetrijske operacije treba primijeniti na T 1 da bismo ih dobili. Zaključite koliko različitih simetrijskih operacija odgovara klasi D 3h. Svaki objekt posjeduje trivijalnu simetriju 1 ( ništa ne raditi, identiteta). Odaberite neku drugu točku općeg položaja. Kojom simetrijskom operacijom primijenjenom na T 1 je ona dobivena? Koju simetrijsku operaciju možemo na nju primijeniti da dobijemo T 1? Ako smo na objekt primijenili neku njegovu simetrijsku operaciju, možemo li ju uvijek poništiti nekom od njegovih simetrijskih operacija? Kažemo: svaka simetrijska operacija je invertibilna, tj. ako je A simetrijska operacija za neki objekt, onda postoji njegova simetrijska operacija B takva da je BA = 1. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
32 Što su grupe? Rezime uvodnog dijela Za odabrani objekt, označimo s G skup svih njegovih simetrija. 1 Te simetrije možemo komponirati i pritom uvijek dobivamo simetriju istog objekta, dakle kompozicija elemenata iz G je element iz G: Komponiranje je binarna operacija na skupu G. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
33 Što su grupe? Rezime uvodnog dijela Za odabrani objekt, označimo s G skup svih njegovih simetrija. 1 Te simetrije možemo komponirati i pritom uvijek dobivamo simetriju istog objekta, dakle kompozicija elemenata iz G je element iz G: Komponiranje je binarna operacija na skupu G. 2 Komponiranje simetrija je asocijativno (A(BC) = (AB)C). Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
34 Što su grupe? Rezime uvodnog dijela Za odabrani objekt, označimo s G skup svih njegovih simetrija. 1 Te simetrije možemo komponirati i pritom uvijek dobivamo simetriju istog objekta, dakle kompozicija elemenata iz G je element iz G: Komponiranje je binarna operacija na skupu G. 2 Komponiranje simetrija je asocijativno (A(BC) = (AB)C). 3 Koji efekt ima komponiranje 1 s bilo kojom drugom simetrijom? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
35 Što su grupe? Rezime uvodnog dijela Za odabrani objekt, označimo s G skup svih njegovih simetrija. 1 Te simetrije možemo komponirati i pritom uvijek dobivamo simetriju istog objekta, dakle kompozicija elemenata iz G je element iz G: Komponiranje je binarna operacija na skupu G. 2 Komponiranje simetrija je asocijativno (A(BC) = (AB)C). 3 Koji efekt ima komponiranje 1 s bilo kojom drugom simetrijom? G obzirom na komponiranje ima neutralni element 1. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
36 Što su grupe? Rezime uvodnog dijela Za odabrani objekt, označimo s G skup svih njegovih simetrija. 1 Te simetrije možemo komponirati i pritom uvijek dobivamo simetriju istog objekta, dakle kompozicija elemenata iz G je element iz G: Komponiranje je binarna operacija na skupu G. 2 Komponiranje simetrija je asocijativno (A(BC) = (AB)C). 3 Koji efekt ima komponiranje 1 s bilo kojom drugom simetrijom? G obzirom na komponiranje ima neutralni element 1. 4 Nadalje, svaku simetriju možemo poništiti ako je A simetrija nekog objekta, onda postoji simetrija B istog objekta takva da je BA = 1. Kažemo da svaka simetrija A ima svoj inverz B (kojeg dalje označavamo s A 1 ). Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
37 Što su grupe? Definicija grupe Grupa je (neprazan) skup G skupa s binarnom operacijom koja dvama elementima x, y G pridružuje element x y S, i to tako da vrijede sljedeća tri svojstva: 1 (x y) z = x (y z) za sve x, y, z G (asocijativnost) 2 postoji element e G takav da za sve x G vrijedi x e = e x = x (e zovemo neutralni element); 3 za svaki x G postoji y G takav da je x y = y x = e (taj y označavamo s x 1 i zovemo inverz od x). Ako još dodatno vrijedi da ne treba paziti na redoslijed (x y = y x za sve x, y G), govorimo o govorimo o komutativnoj (Abelovoj) grupi. Red grupe je broj elemenata grupe. Trivijalna grupa je jednočlana grupa koja se sastoji samo od svog neutralnog elementa. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
38 Grupe simetrija Što su grupe? Prema prethodnom vidimo: Skup svih simetrijsa pravilne trostrane prizme je (nekomutativna) grupa reda 12. Simetrije nekog objekta X uvijek čine grupu obzirom na kompoziciju kao operaciju. To je grupa simetrija objekta X. Objekt X je simetričan ako mu je grupa simetrija netrivijalna (Objekt smatramo simetričnim ako posjeduje bar jednu netrivijalnu simetriju). Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
39 Grupe simetrija Što su grupe? Prema prethodnom vidimo: Skup svih simetrijsa pravilne trostrane prizme je (nekomutativna) grupa reda 12. Simetrije nekog objekta X uvijek čine grupu obzirom na kompoziciju kao operaciju. To je grupa simetrija objekta X. Objekt X je simetričan ako mu je grupa simetrija netrivijalna (Objekt smatramo simetričnim ako posjeduje bar jednu netrivijalnu simetriju). Grupe simetrija općenito nisu komutativne. Zadatak Neka je r rotacija oko neke osi, m zrcaljenje obzirom na ravninu okomitu na tu os, a m zrcaljenje obzirom na ravninu koja sadrži os. Za svaki od moguća tri para simetrija odredite komutira li. Možete li naći dva primjera simetrija koje komutiraju sa svim drugim simetrijama? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
40 Točkine grupe Točkine vs. prostorne grupe Koja je glavna karakteristika unutrašnje grade kristala? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
41 Točkine grupe Točkine vs. prostorne grupe Koja je glavna karakteristika unutrašnje grade kristala? Kristalna struktura kao temeljno simetrijsko svojstvo posjeduje translacijsku simetriju u tri nekomplanarna smjera. Grupe svih simetrija kristalnih struktura zovu se prostorne grupe. O njima ćemo nešto više reći kasnije. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
42 Točkine grupe Točkine vs. prostorne grupe Koja je glavna karakteristika unutrašnje grade kristala? Kristalna struktura kao temeljno simetrijsko svojstvo posjeduje translacijsku simetriju u tri nekomplanarna smjera. Grupe svih simetrija kristalnih struktura zovu se prostorne grupe. O njima ćemo nešto više reći kasnije. Točkina grupa je grupa simetrija nekog objekta u kojoj sve operacije simetrije koje tom objektu fiksiraju jednu točku. Kako translacije za nenul-vektor nemaju fiksnih točaka, slijedi da translacije ne mogu biti elementi točkinih grupa. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
43 Točkine grupe Mogu li točkine grupe biti beskonačne? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
44 Točkine grupe Mogu li točkine grupe biti beskonačne? Kristalne klase su skupovi svih kristala sa istom točkinom grupom. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
45 Točkine grupe Mogu li točkine grupe biti beskonačne? Kristalne klase su skupovi svih kristala sa istom točkinom grupom. Hessel je dokazao da postoji samo 14 tipova točkinih grupa (u prostoru), no zbog kristalografske restrikcije ne odgovara svakoj neka kristalna klasa. tip kristalografske t. g. tip kristalografske t. g. C n C 1, C 2, C 3, C 4, C 6 D n D 2, D 3, D 4, D 6 T T O O I C nh C 2h, C 3h, C 4h, C 6h D nh D 2h, D 3h, D 4h, D 6h T h O h I h S 2n C nv D nd T d T h O h S 2 = C i, S 4, S 6 = C 3i C s = C 1v, C 2v, C 3v, C 4v, C 6v D 2d, D 3d T d Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
46 Točkine grupe Red elementa grupe Oznaka A n u kontekstu grupa simetrija predstavlja n puta uzastopno provedenu simetriju A. Zadatak Ako je m zrcaljenje, m 2 = m 4 = m 6 =... = 1? Koji broj treba pisati na mjestu i u formuli n i = 1 ako je n rotacija n-tog reda? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
47 Točkine grupe Red elementa grupe Oznaka A n u kontekstu grupa simetrija predstavlja n puta uzastopno provedenu simetriju A. Zadatak Ako je m zrcaljenje, m 2 = m 4 = m 6 =... = 1? Koji broj treba pisati na mjestu i u formuli n i = 1 ako je n rotacija n-tog reda? Ako je A 1 i A 2 = 1, kašemo da je A idempotentna simetrija (odnosno, simetrija drugog reda). Općenitije, ako je A 1, A i = 1 i pritom je i najmanji eksponent s tim svojstvom, onda i zovemo redom simetrije A. Zadatak Kojeg su reda m, 1, 2, 3, 4, 6, 2, 3, 4, 6? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
48 Inverzne simetrije Točkine grupe Za operaciju A reda n vrijedi: A 1 = A n 1. Npr, 6 1 = Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
49 Inverzne simetrije Točkine grupe Za operaciju A reda n vrijedi: A 1 = A n 1. Npr, 6 1 = 6 5. Što je inverz od 6 2 u grupi D 3h? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
50 Inverzne simetrije Točkine grupe Za operaciju A reda n vrijedi: A 1 = A n 1. Npr, 6 1 = 6 5. Što je inverz od 6 2 u grupi D 3h? Zadatak Ako pravilnu trostranu prizmu prvo zarotiramo oko vertikalne osi za 120 pa zrcalimo preko horizontalne ravnine, što trebamo učiniti da bismo ju vratili u početni položaj? Ako su A i B dvije simetrije istog objekta, što je inverz od AB? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
51 Inverzne simetrije Točkine grupe Za operaciju A reda n vrijedi: A 1 = A n 1. Npr, 6 1 = 6 5. Što je inverz od 6 2 u grupi D 3h? Zadatak Ako pravilnu trostranu prizmu prvo zarotiramo oko vertikalne osi za 120 pa zrcalimo preko horizontalne ravnine, što trebamo učiniti da bismo ju vratili u početni položaj? Ako su A i B dvije simetrije istog objekta, što je inverz od AB? Zadatak (AB) 1 = B 1 A 1 U grupi D 3h se nalaze elementi A = 6 i B = m 1 (jedno od tri vertikalna zrcaljenja). Što je B 1 AB, a što je A 1 BA? Odredite i inverze operacija B 1 AB i A 1 BA. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
52 Generatori Točkine grupe U konačnoj grupi svaki element mora imati konačan red. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
53 Točkine grupe Generatori U konačnoj grupi svaki element mora imati konačan red. Ako se svi elementi grupe mogu dobiti primjenjujući operaciju (konačno mnogo puta) na njene elemente x, y,... i njihove inverze, te elemente zovemo generatorima grupe. Pišemo G = x, y,.... Primjerice: C 6v = 6, m. Zadatak Odredite generator(e) grupa C 6 i D 3h. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
54 Točkine grupe Generatori U konačnoj grupi svaki element mora imati konačan red. Ako se svi elementi grupe mogu dobiti primjenjujući operaciju (konačno mnogo puta) na njene elemente x, y,... i njihove inverze, te elemente zovemo generatorima grupe. Pišemo G = x, y,.... Primjerice: C 6v = 6, m. Zadatak Odredite generator(e) grupa C 6 i D 3h. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
55 Izvod 32 točkine grupe Točkine grupe prve i druge vrste Mogući elementi točkinih grupa koji su prve vrste: 1, 2, 3, 4, 6. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
56 Izvod 32 točkine grupe Točkine grupe prve i druge vrste Mogući elementi točkinih grupa koji su prve vrste: 1, 2, 3, 4, 6. Mogući elementi točkinih grupa koji su druge vrste: m, 1, 2, 3, 4, 6. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
57 Izvod 32 točkine grupe Točkine grupe prve i druge vrste Mogući elementi točkinih grupa koji su prve vrste: 1, 2, 3, 4, 6. Mogući elementi točkinih grupa koji su druge vrste: m, 1, 2, 3, 4, 6. Uočimo: 2 = m (obzirom na ravninu okomitu na rotoinverznu digiru) 3 = 13 i 6 = m3. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
58 Izvod 32 točkine grupe Točkine grupe prve i druge vrste Mogući elementi točkinih grupa koji su prve vrste: 1, 2, 3, 4, 6. Mogući elementi točkinih grupa koji su druge vrste: m, 1, 2, 3, 4, 6. Uočimo: 2 = m (obzirom na ravninu okomitu na rotoinverznu digiru) 3 = 13 i 6 = m3. Zadatak Koje vrste je kompozicija dviju operacija prve vrste? Dviju druge vrste? Jedne prve s jednom druge vrste? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
59 Izvod 32 točkine grupe Točkine grupe prve i druge vrste Mogući elementi točkinih grupa koji su prve vrste: 1, 2, 3, 4, 6. Mogući elementi točkinih grupa koji su druge vrste: m, 1, 2, 3, 4, 6. Uočimo: 2 = m (obzirom na ravninu okomitu na rotoinverznu digiru) 3 = 13 i 6 = m3. Zadatak Koje vrste je kompozicija dviju operacija prve vrste? Dviju druge vrste? Jedne prve s jednom druge vrste? Koje vrste je inverz operacije prve vrste? Operacije druge vrste? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
60 Izvod 32 točkine grupe Točkine grupe prve i druge vrste Mogući elementi točkinih grupa koji su prve vrste: 1, 2, 3, 4, 6. Mogući elementi točkinih grupa koji su druge vrste: m, 1, 2, 3, 4, 6. Uočimo: 2 = m (obzirom na ravninu okomitu na rotoinverznu digiru) 3 = 13 i 6 = m3. Zadatak Koje vrste je kompozicija dviju operacija prve vrste? Dviju druge vrste? Jedne prve s jednom druge vrste? Koje vrste je inverz operacije prve vrste? Operacije druge vrste? Zadatak Može li grupa simetrija sadržavati samo operacije druge vrste? Zašto? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
61 Izvod 32 točkine grupe Točkine grupe prve i druge vrste Mogući elementi točkinih grupa koji su prve vrste: 1, 2, 3, 4, 6. Mogući elementi točkinih grupa koji su druge vrste: m, 1, 2, 3, 4, 6. Uočimo: 2 = m (obzirom na ravninu okomitu na rotoinverznu digiru) 3 = 13 i 6 = m3. Zadatak Koje vrste je kompozicija dviju operacija prve vrste? Dviju druge vrste? Jedne prve s jednom druge vrste? Koje vrste je inverz operacije prve vrste? Operacije druge vrste? Zadatak Može li grupa simetrija sadržavati samo operacije druge vrste? Zašto? Točkine grupe prve vrste su one koje sadrže samo simetrije prve vrste. Ostale točkine grupe zovemo točkinim grupama druge vrste. Je li grupa D 3h prve ili druge vrste? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
62 Izvod 32 točkine grupe Točkine grupe prve i druge vrste Mogući elementi točkinih grupa koji su prve vrste: 1, 2, 3, 4, 6. Mogući elementi točkinih grupa koji su druge vrste: m, 1, 2, 3, 4, 6. Uočimo: 2 = m (obzirom na ravninu okomitu na rotoinverznu digiru) 3 = 13 i 6 = m3. Zadatak Koje vrste je kompozicija dviju operacija prve vrste? Dviju druge vrste? Jedne prve s jednom druge vrste? Koje vrste je inverz operacije prve vrste? Operacije druge vrste? Zadatak Može li grupa simetrija sadržavati samo operacije druge vrste? Zašto? Točkine grupe prve vrste su one koje sadrže samo simetrije prve vrste. Ostale točkine grupe zovemo točkinim grupama druge vrste. Je li grupa D 3h prve ili druge vrste?koliko operacija prve vrste, a koliko njih druge vrste sadrži D 3h? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
63 Izvod 32 točkine grupe Teorem U svakoj grupi druge vrste ima jednako mnogo operacija prve i druge vrste. Posebno, sve su grupe druge vrste parnog reda. Dokazom ovog teorema vidjeli bismo: Odaberemo li u grupi druge vrste jedan element D druge vrste, svi elementi druge vrste mogu se dobiti kao DP, gdje su P-ovi redom elementi prve vrste u toj grupi. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
64 Izvod 32 točkine grupe Teorem U svakoj grupi druge vrste ima jednako mnogo operacija prve i druge vrste. Posebno, sve su grupe druge vrste parnog reda. Dokazom ovog teorema vidjeli bismo: Odaberemo li u grupi druge vrste jedan element D druge vrste, svi elementi druge vrste mogu se dobiti kao DP, gdje su P-ovi redom elementi prve vrste u toj grupi. Stoga se sve točkine grupe druge vrste mogu naći tako da u pojedine grupe prve vrste dodajemo po jedan element druge vrste (koji mora fiksirati sve postojeće prave osi rotacije). Zbog već navedene ekvivalencije, jedine simetrije druge vrste koje ima smisla dodavati u grupe prve vrste su m, 1 i 4. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
65 Izvod 32 točkine grupe Dodavanje inverzije, zrcaljenja ili 4 Centar inverzije očigledno možemo dodati samo jedan i to u središtu. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
66 Izvod 32 točkine grupe Dodavanje inverzije, zrcaljenja ili 4 Centar inverzije očigledno možemo dodati samo jedan i to u središtu. Ravnine simetrije koje fiksiraju osi rotacije moraju ih ili sadržavati ili biti na njih okomite, dakle dodavanje m je moguće duž bilo koje u grupama prve vrste postojeće osi rotacije ili pak okomito na nju. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
67 Izvod 32 točkine grupe Dodavanje inverzije, zrcaljenja ili 4 Centar inverzije očigledno možemo dodati samo jedan i to u središtu. Ravnine simetrije koje fiksiraju osi rotacije moraju ih ili sadržavati ili biti na njih okomite, dakle dodavanje m je moguće duž bilo koje u grupama prve vrste postojeće osi rotacije ili pak okomito na nju. Ako pak dodamo rotoinverznu tetragiru, onda je i rotacija drugog reda sigurno simetrija kristala, odnosno 2= 4 2. Stoga se rotoinverzna tetragira mora postaviti duž neke od di-, tetra- ili heksagira grupa prve vrste. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
68 Izvod 32 točkine grupe Dodavanje inverzije, zrcaljenja ili 4 Centar inverzije očigledno možemo dodati samo jedan i to u središtu. Ravnine simetrije koje fiksiraju osi rotacije moraju ih ili sadržavati ili biti na njih okomite, dakle dodavanje m je moguće duž bilo koje u grupama prve vrste postojeće osi rotacije ili pak okomito na nju. Ako pak dodamo rotoinverznu tetragiru, onda je i rotacija drugog reda sigurno simetrija kristala, odnosno 2= 4 2. Stoga se rotoinverzna tetragira mora postaviti duž neke od di-, tetra- ili heksagira grupa prve vrste. Ako bismo ju postavili duž heksagire, slijedilo bi da imamo i rotaciju reda 12, što je nemoguće. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
69 Izvod 32 točkine grupe Dodavanje inverzije, zrcaljenja ili 4 Centar inverzije očigledno možemo dodati samo jedan i to u središtu. Ravnine simetrije koje fiksiraju osi rotacije moraju ih ili sadržavati ili biti na njih okomite, dakle dodavanje m je moguće duž bilo koje u grupama prve vrste postojeće osi rotacije ili pak okomito na nju. Ako pak dodamo rotoinverznu tetragiru, onda je i rotacija drugog reda sigurno simetrija kristala, odnosno 2= 4 2. Stoga se rotoinverzna tetragira mora postaviti duž neke od di-, tetra- ili heksagira grupa prve vrste. Ako bismo ju postavili duž heksagire, slijedilo bi da imamo i rotaciju reda 12, što je nemoguće. Ako bismo pak neku tetragiru pretvorili u rotoinverznu, to je isto kao da smo dodali ravninu simetrije okomito na tetragiru, pa ne treba razmatrati taj slučaj. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
70 Izvod 32 točkine grupe Dodavanje inverzije, zrcaljenja ili 4 Centar inverzije očigledno možemo dodati samo jedan i to u središtu. Ravnine simetrije koje fiksiraju osi rotacije moraju ih ili sadržavati ili biti na njih okomite, dakle dodavanje m je moguće duž bilo koje u grupama prve vrste postojeće osi rotacije ili pak okomito na nju. Ako pak dodamo rotoinverznu tetragiru, onda je i rotacija drugog reda sigurno simetrija kristala, odnosno 2= 4 2. Stoga se rotoinverzna tetragira mora postaviti duž neke od di-, tetra- ili heksagira grupa prve vrste. Ako bismo ju postavili duž heksagire, slijedilo bi da imamo i rotaciju reda 12, što je nemoguće. Ako bismo pak neku tetragiru pretvorili u rotoinverznu, to je isto kao da smo dodali ravninu simetrije okomito na tetragiru, pa ne treba razmatrati taj slučaj. Dakle, rotoinverznu tetragiru možemo dodati samo duž neke od digira grupa prve vrste ili pak u trivijalnu grupu. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
71 Cikličke grupe Izvod 32 točkine grupe Grupa je ciklička ako ima samo jedan generator, tj. to je grupa tipa G = A = {1, A, A 2,..., A n 1 }. Ovisno o tom je li taj generator prve ili druge vrste, takva će biti i ciklička grupa. Kako smo već rekli, 3 i 6 iz praktičnih razloga gledamo kao komponirane simetrije. Cikličke grupe prve vrste su C 1 = 1, C 2 = 2, C 3 = 3, C 4 = 4, C 6 = 6. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
72 Cikličke grupe Izvod 32 točkine grupe Grupa je ciklička ako ima samo jedan generator, tj. to je grupa tipa G = A = {1, A, A 2,..., A n 1 }. Ovisno o tom je li taj generator prve ili druge vrste, takva će biti i ciklička grupa. Kako smo već rekli, 3 i 6 iz praktičnih razloga gledamo kao komponirane simetrije. Cikličke grupe prve vrste su C 1 = 1, C 2 = 2, C 3 = 3, C 4 = 4, C 6 = 6. Cikličke grupe druge vrste su C i = 1, C s = m, S 4 = 4. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
73 Eulerova konstrukcija Izvod 32 točkine grupe Ako u točkinoj grupi postoje dvije rotacije oko različitih osi, postoji i treća: Kompozicija dviju rotacija oko osi koje se sijeku u točki O je rotacija oko osi koja prolazi kroz O. Red komponirane rotacije ovisi o kutu ψ medu osima i redovima pripadnih rotacija. Dvije rotacije drugog reda uvijek generiraju rotaciju oko osi okomite na obje digire. Pritom, ako je kut medu tim digirama ψ, one generiraju rotaciju za kut 360 2ψ. Iz kristalografske restrikcije proizlazi da su jedini dopustivi kutovi medu dvjema digirama 90 (tad je komponirana rotacija reda 2), 120 (tad je komponirana rotacija reda 3), 135 (tad je komponirana rotacija reda 4) ili 150 (i tad je komponirana rotacija reda 6). 2 i n, gdje je n-gira okomita na digiru, generiraju dodatne rotacije reda 2: Digira nije jedinstvena, već ih je 2, 3, 4, 6 za n = 2, 3, 4, 6 (i sve su okomite na n-giru). Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
74 Izvod 32 točkine grupe Diedralne i ostale grupe prve vrste Diedralne grupe su grupe prve vrste s dva generatora, od kojih je jedan rotacija reda 2, a drugi reda n. Prema prethodnom slijedi da su to grupe reda 2n i ima ih četiri: D 2 = 222, D 3 = 32, D 4 = 422 i D 6 = 622. D 3 je najmanja nekomutativna grupa. Analizom mogućih odnosa medu osima rotacije, Eulerovom konstrukcijom i sfernom trigonometrijom moguće je pokazati da osim spomenutih devet kristalografskih točkinih grupa prve vrste postoje još samo dvije takve: tetraedarska i oktaedarska grupa rotacija (T, reda 12, i O, reda 24). Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
75 Izvod 32 točkine grupe Točkine grupe druge vrste redova 4 do 6 Sve kristalografske točkine grupe redova 1 do 4 su komutativne. Ne postoje kristalografske točkine grupe neparnih redova većih od 3 zašto? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
76 Izvod 32 točkine grupe Točkine grupe druge vrste redova 4 do 6 Sve kristalografske točkine grupe redova 1 do 4 su komutativne. Ne postoje kristalografske točkine grupe neparnih redova većih od 3 zašto? 1 Točkinu grupu druge vrste reda 4 možemo dobiti tako da dodamo centar inverzije ili ravninu simetrije duž digire u C 2 ili pak rotoinverznu tetragiru u C 1. Prvo je isto kao da smo dodali ravninu simetrije okomito na digiru, tj. dobijemo C 2h = {1, 2, m, 1}, C 2v = {1, 2, m 1, m 2 } i S 4 = {1, 4, 4 2 = 2, 4 3 }. 2 Grupe druge vrste reda 6 možemo dobiti dodavanjem elementa druge vrste (inverzije ili zrcaljenja) u C 3. Tako dobijemo S 6 = C 3i, C 3h odnosno C 3v. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
77 Izvod 32 točkine grupe Postupcima poput opisanih u prethodnom dijelu pokazuje se da postoji 21 kristalografska točkina grupa drugog reda. Uz već spomenute to su još: C 4h, C 4v, D 2h, D 2d (reda 8) C 6h, C 6v, D 3h, D 3d (reda 12) D 4h (reda 16) D 6h, T h, T d (reda 24) O h (reda 48) Koje od 32 točkine grupe su komutativne? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
78 Izvod 32 točkine grupe Postupcima poput opisanih u prethodnom dijelu pokazuje se da postoji 21 kristalografska točkina grupa drugog reda. Uz već spomenute to su još: C 4h, C 4v, D 2h, D 2d (reda 8) C 6h, C 6v, D 3h, D 3d (reda 12) D 4h (reda 16) D 6h, T h, T d (reda 24) O h (reda 48) Koje od 32 točkine grupe su komutativne? Sve one redova 1, 2, 3, 4 (njih 10), zatim C 6, S 6 te C 3h, C 4h, C 6h. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
79 Kristalne forme Kristalne forme Svaka simetrija iz točkine grupe kristala pojedinu plohu kristala preslikava u njoj sukladnu (zašto?). Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
80 Kristalne forme Kristalne forme Svaka simetrija iz točkine grupe kristala pojedinu plohu kristala preslikava u njoj sukladnu (zašto?). Kažemo: točkina grupa djeluje na plohe kristala. Primjerice, grupa D 3h djeluje na pravilnu trostranu prizmu tako da svaki od njenih 12 elemenata na odredeni način preslika njene plohe: 1 sve plohe fiksira, 3 fiksira baze, a ciklički pomiče strane, m h fiksira strane i zamijeni baze, i t. d. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
81 Kristalne forme Kristalne forme Svaka simetrija iz točkine grupe kristala pojedinu plohu kristala preslikava u njoj sukladnu (zašto?). Kažemo: točkina grupa djeluje na plohe kristala. Primjerice, grupa D 3h djeluje na pravilnu trostranu prizmu tako da svaki od njenih 12 elemenata na odredeni način preslika njene plohe: 1 sve plohe fiksira, 3 fiksira baze, a ciklički pomiče strane, m h fiksira strane i zamijeni baze, i t. d. Kristalna forma je skup svih kristalnih ploha nekog kristala koje se djelovanjem njegove točkine grupe mogu dobiti iz samo jedne plohe. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
82 Kristalne forme Kristalne forme Svaka simetrija iz točkine grupe kristala pojedinu plohu kristala preslikava u njoj sukladnu (zašto?). Kažemo: točkina grupa djeluje na plohe kristala. Primjerice, grupa D 3h djeluje na pravilnu trostranu prizmu tako da svaki od njenih 12 elemenata na odredeni način preslika njene plohe: 1 sve plohe fiksira, 3 fiksira baze, a ciklički pomiče strane, m h fiksira strane i zamijeni baze, i t. d. Kristalna forma je skup svih kristalnih ploha nekog kristala koje se djelovanjem njegove točkine grupe mogu dobiti iz samo jedne plohe.skup svih ploha danog kristala može se rasporediti u forme (svaka ploha u svojoj formi i nikoje dvije u istoj) objasnite zašto! Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
83 Opće forme Kristalne forme Djelovanje točke grupe zovemo tranzitivnim ako za svake dvije plohe postoji simetrija koja preslikava jednu na drugu. Drugačije rečeno: djelovanje točkine grupe kristala na njegove plohe je tranzitivno točno ako taj kristal posjeduje samo jednu formu. Primjerice, grupa T djeluje tranzitivno na plohe pravilnog tetraedra. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
84 Opće forme Kristalne forme Djelovanje točke grupe zovemo tranzitivnim ako za svake dvije plohe postoji simetrija koja preslikava jednu na drugu. Drugačije rečeno: djelovanje točkine grupe kristala na njegove plohe je tranzitivno točno ako taj kristal posjeduje samo jednu formu. Primjerice, grupa T djeluje tranzitivno na plohe pravilnog tetraedra. Stabilizator plohe kristala (obzirom na djelovanje odgovarajuće točkine grupe) je skup (zapravo, podgrupa) svih simetrija koje tu plohu fiksiraju. Primjerice, stabilizator donje (i isto tako gornje) baze pravilne trostrane prizme obzirom na djelovanje D 3h je Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
85 Opće forme Kristalne forme Djelovanje točke grupe zovemo tranzitivnim ako za svake dvije plohe postoji simetrija koja preslikava jednu na drugu. Drugačije rečeno: djelovanje točkine grupe kristala na njegove plohe je tranzitivno točno ako taj kristal posjeduje samo jednu formu. Primjerice, grupa T djeluje tranzitivno na plohe pravilnog tetraedra. Stabilizator plohe kristala (obzirom na djelovanje odgovarajuće točkine grupe) je skup (zapravo, podgrupa) svih simetrija koje tu plohu fiksiraju. Primjerice, stabilizator donje (i isto tako gornje) baze pravilne trostrane prizme obzirom na djelovanje D 3h je C 3v = {1, 3, 3 2, m v,1, m v,2, m v,3 }. Što možemo zaključiti o plohama koje imaju trivijalne stabilizatore {1}? Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
86 Opće forme Kristalne forme Djelovanje točke grupe zovemo tranzitivnim ako za svake dvije plohe postoji simetrija koja preslikava jednu na drugu. Drugačije rečeno: djelovanje točkine grupe kristala na njegove plohe je tranzitivno točno ako taj kristal posjeduje samo jednu formu. Primjerice, grupa T djeluje tranzitivno na plohe pravilnog tetraedra. Stabilizator plohe kristala (obzirom na djelovanje odgovarajuće točkine grupe) je skup (zapravo, podgrupa) svih simetrija koje tu plohu fiksiraju. Primjerice, stabilizator donje (i isto tako gornje) baze pravilne trostrane prizme obzirom na djelovanje D 3h je C 3v = {1, 3, 3 2, m v,1, m v,2, m v,3 }. Što možemo zaključiti o plohama koje imaju trivijalne stabilizatore {1}? Ako je stabilizator neke plohe trivijalan, govorimo o plohi opće forme. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Kristalografske točkine grupe Travanj / 29
Vanjska simetrija kristâla
Vanjska simetrija kristâla Franka Miriam Brückler PMF-MO, Zagreb Listopad 2008. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Vanjska simetrija kristâla Listopad 2008. 1 / 16 Vizualna simetrija Što je simetrija?
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.
M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Franka Miriam Brückler. Listopad 2008.
Rešetke Franka Miriam Brückler PMF-MO, Zagreb Listopad 2008. Franka Miriam Brückler (PMF-MO, Zagreb) Rešetke Listopad 2008. 1 / 22 Vanjska simetrija kristâla navela je ljude na zaključak da joj je uzrok
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI
PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Flag-tranzitivni linearni prostori
Flag-tranzitivni linearni prostori Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) 5. studenoga 2010. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Flag-tranzitivni linearni prostori 5. studenoga 2010. 1 / 31 Djelovanja grupe
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Dijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
Matrice linearnih operatora i množenje matrica. Franka Miriam Brückler
Matrice linearnih operatora i množenje matrica Franka Miriam Brückler Kako je svaki vektorski prostor konačne dimenzije izomorfan nekom R n (odnosno C n ), pri čemu se ta izomorfnost očituje odabirom baze,
KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
![Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.](/thumbs/72/66829778.jpg "Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.")
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Prostorni spojeni sistemi
Prostorni spojeni sistemi K. F. (poopćeni) pomaci i stupnjevi slobode tijela u prostoru: 1. pomak po pravcu (translacija): dva kuta kojima je odreden orijentirani pravac (os) i orijentirana duljina pomaka
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
3 Funkcije. 3.1 Pojam funkcije
3 Funkcije 3.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije
4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa
Uvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. NLITIČK GEMETRIJ RSTR I. I (Točka. Ravia.) d. sc. Mia Rodić Lipaović 9./. Točka u postou ( ; i, j, k ) Kateijev pavokuti koodiati sustav k i j T T (,, ) oložaj točke u postou je jedoačo odeñe jeim
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Zadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
8 Tangencijalna ravnina plohe
8 Tangencijalna ravnina plohe Sferu kao plohu pokrili smo sa šest, odnosno sa dvije karte u Primjeru 2. Dakle, općenito, neka točka sfere ležat će u slikama od više karata. Proučimo stoga što se dogada
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna
Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
ELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Dvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Matematika (PITUP) Prof.dr.sc. Blaženka Divjak. Matematika (PITUP) FOI, Varaždin
Matematika (PITUP) FOI, Varaždin Dio III Umijeće postavljanja pravih pitanja i problema u matematici treba vrednovati više nego njihovo rješavanje Georg Cantor Sadržaj Matematika (PITUP) Relacije medu
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Algebarske strukture
i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa
Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).
Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.
Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu
( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Analitička geometrija i linearna algebra
1. VEKTORI POJAM VEKTORA Svakodnevno se susrećemo s veličinama za čije je određivanje potrean samo jedan roj. Na primjer udaljenost, površina, volumen,. Njih zovemo skalarnim veličinama. Međutim, postoje
Jankove grupe kao dizajni i jako regularni grafovi
Jankove grupe kao dizajni i jako regularni grafovi Vedrana Mikulić (vmikulic@math.uniri.hr) Odjel za matematiku Sveučilište u Rijeci 9. listopad 2008. Djelovanje grupe na skup Definicija Grupa G djeluje