Cuprins II. Analiză matematică 7 Şiruri şi serii numerice 8 Calcul diferenţial pentru funcţii de o variabilă reală 43 9 Calcul integral pentru funcţii de o variabilă reală 6 Funcţii de mai multe variabile reale 93 Şiruri şi serii de funcţii: serii Taylor, serii Fourier Funcţii complexe 7 III. Matematici discrete 95 3 Combinatorică şi grafuri 96 4 Aritmetică şi teoria numerelor 3
Lucrarea a fost elaborată după cum urmează: Capitolul 7. Vasile Pop, Mircea Olteanu Capitolul 8. Liliana Popa Capitolul 9. Dorian Popa, Vasile Pop Capitolul. Dorian Popa Capitolul. Mircea Olteanu, Radu Strugariu Capitolul. Liliana Popa Capitolul 3. Monica Burlică, Mihai Ispas Capitolul 4. Gabriel Mincu
Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului POSDRU/56/./S/3768, Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predare-învăţare-evaluare pentru disciplinele matematice, în vederea creării de competenţe performante şi practice pentru piaţa muncii. Finanţat din Fondul Social European şi implementat de către Ministerul Educaţiei, Cercetării, Tineretului şi Sportului, în colaborare cu The Red Point, Oameni şi Companii, Universitatea din Bucureşti, Universitatea Tehnică de Construcţii din Bucureşti, Universitatea Politehnica din Bucureşti, Universitatea din Piteşti, Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi, Universitatea de Vest din Timişoara, Universitatea Dunărea de Jos din Galaţi, Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca, Universitatea Decembrie 98 din Alba-Iulia, proiectul contribuie în mod direct la realizarea obiectivului general al Programului Operaţional Sectorial de Dezvoltare a Resurselor Umane - POSDRU şi se înscrie în domeniul major de intervenţie. Calitate în învăţământul superior. Proiectul are ca obiectiv adaptarea programelor de studii ale disciplinelor matematice la cerinţele pieţei muncii şi crearea de mecanisme şi instrumente de extindere a oportunităţilor de învăţare. Evaluarea nevoilor educaţionale obiective ale cadrelor didactice şi studenţilor legate de utilizarea matematicii în învăţământul superior, masterate şi doctorate precum şi analizarea eficacităţii şi relevanţei curriculelor actuale la nivel de performanţă şi eficienţă, în vederea dezvoltării de cunoştinţe şi competenţe pentru studenţii care învaţă discipline matematice în universităţi, reprezintă obiective specifice de interes în cadrul proiectului. Dezvoltarea şi armonizarea curriculelor universitare ale disciplinelor matematice conform exigenţelor de pe piaţa muncii, elaborarea şi implementarea unui program de formare a cadrelor didactice şi a studenţilor interesaţi din universităţile partenere bazat pe dezvoltarea şi armonizarea de curriculum, crearea unei baze de resurse inovative, moderne şi funcţionale pentru predarea-învăţarea-evaluarea în disciplinele matematice pentru învăţământul universitar sunt obiectivele specifice care au ca răspuns materialul de faţă. Formarea de competenţe cheie în matematică şi informatică presupune crearea de abilităti de care fiecare individ are nevoie pentru dezvoltarea personală, incluziune socială şi inserţie pe piaţa muncii. Se poate constata însă că programele disciplinelor de matematică nu au întotdeauna în vedere identificarea şi sprijinirea elevilor şi studenţilor potenţial talentaţi la matematică. Totuşi, studiul matematicii a evoluat în exigenţe până la a ajunge să accepte provocarea de a folosi noile tehnologii în procesul de predare-învăţare-evaluare pentru a face matematica mai atractivă. În acest context, analiza flexibilităţii curriculei, însoţită de analiza metodelor şi instrumentelor folosite pentru identificarea şi motivarea studenţilor talentaţi la matematică ar putea răspunde deopotrivă cerinţelor de masă, cât şi celor de elită. Viziunea pe termen lung a acestui proiect preconizează determinarea unor schimbări în abordarea fenomenului matematic pe mai multe planuri: informarea unui număr cât mai
Prefaţă mare de membri ai societăţii în legătură cu rolul şi locul matematicii în educaţia de bază, în instrucţie şi în descoperirile ştiinţifice menite să îmbunătăţească calitatea vieţii, inclusiv popularizarea unor mari descoperiri tehnice, şi nu numai, în care matematica cea mai avansată a jucat un rol hotărâtor. De asemenea, se urmăreşte evidenţierea a noi motivaţii solide pentru învăţarea şi studiul matematicii la nivelele de bază şi la nivel de performanţă; stimularea creativităţii şi formarea la viitorii cercetători matematicieni a unei atitudini deschise faţă de însuşirea aspectelor specifice din alte ştiinţe, în scopul participării cu succes în echipe mixte de cercetare sau a abordării unei cercetări inter şi multi disciplinare; identificarea unor forme de pregătire adecvată de matematică pentru viitorii studenţi ai disciplinelor matematice în scopul utilizării la nivel de performanţă a aparatului matematic în construirea unei cariere profesionale.
Introducere Concursurile de matematică, naţionale şi internaţionale pentru elevi au o tradiţie îndelungată, primul concurs internaţional fiind organizat la iniţiativa României, în România în anul 959 (Olimpiada Internaţională de Matematică). În toţi aceşti ani, la nivelul matematicii preuniversitare s-a ajuns la o programă de concurs comună, unanim acceptată de toate ţările participante la OIM (în prezent peste de ţări) iar concursul reprezintă pentru mulţi dintre participanţi cel mai important test de verificare al nivelului pregătirii matematice şi în acelaşi timp un barometru pentru nivelul matematicii competiţionale al ţării din care provin. Este de dorit ca şi la nivel universitar competiţiile internaţionale să urmeze modelul OIM, în special ca formă de organizare şi ca programă de concurs general acceptată şi cunoscută. La nivel universitar concursurile de matematică s-au desfăşurat foarte mult timp doar la nivel naţional în diverse ţări şi în multe cazuri sporadic. Cea mai veche competiţie naţională cu desfăşurare neîntreruptă este concursul Putnam, organizat în Statele Unite ale Americii începând cu anul 938. În România, Concursul Naţional Studenţesc Traian Lalescu s-a desfăşurat la mai multe discipline, s-a întrerupt în perioada 99-6 şi a fost reluat din 7 la matematică. Cea mai importantă competiţie internaţională de matematică pentru studenţi este IMC (International Mathematics Competition for University Students) care se organizează itinerant din 994 fiind echivalentul Olimpiadei Internaţionale de Matematică la nivel universitar. În ultimii ani la această competiţie participă peste 3 de studenţi din peste 7 de universităţi şi peste 3 de ţări. Competiţia este individuală iar fiecare echipă reprezintă o universitate (nu o ţară). Dificultatea problemelor date în concurs este deosebit de ridicată, iar rezultatul este edificator: concursul se desfăşoară pe durata a două zile şi se dau 5 sau 6 probleme în fiecare zi. Începând din 7 se desfăşoară Concursul Internaţional Studenţesc SEEMOUS (South Eastern European Mathematical Olympiad for University Students), analogul Olimpiadei Balcanice de Matematică pentru elevi, la care au participat în fiecare an studenţi de la universităţi din România (Bucureşti, Cluj-Napoca, Iaşi, Timişoara). Această culegere de probleme a fost gândită pentru a pune la dispoziţia studenţilor din România un material necesar pentru o bună pregătire matematică în vederea ridicării nivelului pregătirii obişnuite la nivel competiţional (naţional sau internaţional). La elaborarea cărţii au fost implicaţi profesori cu experienţă la concursurile naţionale şi internaţionale studenţeşti. În elaborarea programei care stă la baza culegerii am decis, după discuţii cu reprezentanţi ai majorităţii universităţilor din ţară, să folosim curricula concursurilor internaţionale de matematică la care studenţii de la universităţile din România participă cel mai frecvent. Problemele au fost împărţite pe teme în 4 capitole:
Introducere Algebră - capitolele şi, Algebră liniară - capitolele 3, 4, 5, Geometrie analitică - capitolul 6, Analiză reală (funcţii de o variabilă) - capitolele 7, 8, 9, Analiză matematică (funcţii de mai multe variabile) - capitolul, Şiruri şi serii de funcţii - capitolul, Funcţii complexe - capitolul, Matematici discrete - capitolele 3 şi 4. Fiecare capitol începe cu o prezentare a noţiunilor şi rezultatelor necesare rezolvării problemelor, urmată de un număr suficient de probleme rezolvate, unele clasice, dar semnificative, altele pentru antrenament şi altele selectate din concursurile internaţionale sau naţionale ale altor ţări ca: Rusia, Franţa, Iran, S.U.A., Ungaria, Cehia, Israel. Culegerea conţine peste 6 de probleme cu rezolvări complete, o listă de peste 5 de titluri bibliografice (cărţi editate în ţară sau în străinătate), precum şi o listă de adrese de Internet ale diverselor concursuri internaţionale studenţeşti. După cunoştinţa autorilor această culegere este prima în lume care tratează o astfel de tematică la modul general, nefiind dedicată doar unui anumit concurs. Fiecare capitol al culegerii a fost elaborat de unul sau doi dintre cei autori şi fiecare a putut contribui cu probleme la orice alt capitol. De coordonarea întregii culegeri şi finalizarea ei s-au ocupat conf. dr. Vasile Pop de la Universitatea Tehnică din Cluj-Napoca şi conf. dr. Cornel Băeţica de la Universitatea din Bucureşti.
Capitolul 7 Şiruri şi serii numerice Definiţii şi rezultate Teorema Stolz-Cesaro. Fie (a n ) n, (b n ) n două şiruri de numere reale cu proprietăţile următoare: ) (b n ) n este strict monoton şi nemărginit; ) există lim Atunci lim n n a n b n = l. a n+ a n b n+ b n = l, l R. Teorema Stolz-Cesaro. Fie (a n ) n, (b n ) n două şiruri de numere reale cu proprietăţile următoare: ) lim a n = lim b n = ; n n ) şirul (b n ) n este strict monoton; a n+ a n 3) există lim = l, l R. n b n+ b n Atunci lim n lim n a n b n = l. Corolar. Fie (a n ) n un şir de numere pozitive cu proprietatea că există a n+ = l, l R. Atunci lim n an = l. a n n Teoremă. Fie (a n ) n un şir de numere pozitive cu proprietatea că există lim n l. Atunci, dacă l < lim n a n =, iar dacă l > Fie a n o serie de numere reale. Şirul (s n ) n, unde s n = sumelor parţiale ale seriei. lim a n =. n Dacă există limita şirului (s n ) n, atunci ea se numeşte suma seriei. a n+ a n = n a k, se numeşte şirul Dacă şirul sumelor parţiale este convergent şi lim s n = s, atunci se spune că seria n a n este convergentă şi se scrie a n = s. Dacă seria a n este convergentă se spune că seria k= a n este absolut conver-
gentă. O serie care este convergentă, dar nu este absolut convergentă se numeşte serie semiconvergentă. Observaţii. a) Dintr-o serie dată a n se pot obţine alte serii, prin schimbarea ordinei termenilor ( a σ(n), σ : N N bijectivă) sau prin asocierea unor termeni ( (a f(n)+ + a f(n)+ + + a f(n+) ), unde f : N N este o funcţie strict crescătoare). În general, aceste transformări pot schimba suma seriei şi chiar natura seriilor. În cazul seriilor absolut convergente avem: Teoremă. Dacă într-o serie absolut convergentă schimbăm ordinea termenilor sau asociem secvenţe de termeni, seria obţinută are aceeaşi sumă cu seria iniţială. În cazul seriilor semiconvergente situaţia este complet diferită după cum arată următoarea: Teoremă (Riemann). Într-o serie semiconvergentă se poate schimba ordinea termenilor în aşa fel încât seria să fie divergentă sau să fie convergentă cu suma un număr real arbitrar. b) Pentru fiecare număr natural m N definim seria rest de ordin m prin R m = a n. n=m Seria a n are aceeaşi natură cu orice serie rest a ei. c) Dacă seria a n este convergentă, atunci şirul (a n ) n este convergent la zero. Un criteriu de divergenţă este următorul: C. Dacă şirul (a n ) n nu converge la zero, atunci seria Seria geometrică Dacă q este un număr real, atunci seria a n este divergentă. q n se numeşte seria geometrică de raţie q. Pentru q (, ) seria geometrică este convergentă şi suma ei este n= Pentru q seria este divergentă şi are suma. Pentru q seria este divergentă şi nu are sumă. n= q n = q. Seria armonică generalizată Dacă α este un număr real, atunci seria se numeşte serie armonică generalizată nα de exponent α. Pentru α > seria armonică n α este convergentă şi suma ei se notează n α = ζ(α). Funcţia ζ : (, ) R se numeşte funcţia zeta a lui Riemann. Pentru α seria
Şiruri şi serii numerice 3 armonică este divergentă şi are suma. nα Criterii generale de convergenţă C. (Criteriul general al lui Cauchy) Seria a n este convergentă dacă şi numai dacă, pentru orice ε > există un rang N(ε) N astfel ca pentru orice n N(ε) şi orice p să avem: a n+ + a n+ + + a n+p < ε. C. (Criteriul lui Abel-Dirichlet) Dacă seria a n are şirul sumelor parţiale mărginit, iar şirul (b n ) n este descrescător la zero, atunci seria C3. (Criteriul lui Abel) Dacă seria monoton şi mărginit, atunci seria a n b n este convergentă. a n este convergentă iar şirul (b n ) n este a n b n este convergentă. C4. (Criteriul lui Leibniz) Dacă şirul (b n ) n este monoton şi convergent la zero, atunci seria ( ) n b n este convergentă. Criterii de convergenţă pentru serii cu termeni pozitivi În următoarele criterii (C4-C) termenii seriilor care apar sunt strict pozitivi. A. Criterii intrinseci C4. Criteriul raportului (d Alembert) a) Dacă există q (, ) şi N N astfel ca a n+ a n a n este convergentă. b) Dacă există N N astfel ca a n+ este divergentă. a n+ C4. Dacă există limita lim = l atunci: n a n a) pentru l [, ) seria a n este convergentă; b) pentru l (, ) seria n a n este divergentă; a n c) pentru l = criteriul este ineficient. C5. Criteriul radicalului (Cauchy) q pentru orice n > N, atunci seria pentru orice n > N, atunci seria a n
4 a) Dacă există q (, ) şi N N astfel ca n a n q pentru orice n > N, atunci seria a n este convergentă. b) Dacă există o infinitate de termeni pentru care n a n atunci seria este divergentă. C5. Dacă există lim n an = l atunci: n a) pentru l [, ) seria a n este convergentă; b) pentru l (, ) seria n a n este divergentă; c) pentru l = criteriul este ineficient. C6. Criteriul Raabe-Duhamel a) Dacă există un număr real c > şi un număr natural N N astfel ca ( ) an n c, pentru orice n N, a n+ atunci seria a n este convergentă. b) Dacă există un număr natural N pentru care ( ) an n, pentru orice n N, a n+ atunci seria a n este divergentă. n ( ) C6. Dacă există limita lim n an = l atunci: n a n+ a) pentru l > seria a n este convergentă; b) pentru l < seria n a n este divergentă; c) pentru l = criteriul este ineficient. Observaţie. În general criteriul Raabe-Duhamel se aplică la serii la care criteriul raportului sau radicalului este ineficient. C7. Criteriul condensării (Cauchy) Dacă şirul (a n ) n este descrescător, atunci seriile (sunt simultan convergente sau divergente). a n şi n a n au aceeaşi natură B. Criterii de comparaţie C8. Dacă există N N astfel ca < a n b n pentru orice n > N, atunci: a) Dacă seria a n este divergentă, atunci seria b n este divergentă.
Şiruri şi serii numerice 5 b) Dacă seria b n este convergentă, atunci seria a n este convergentă. C9. Dacă există N N astfel ca a n+ b n+ pentru orice n > N, atunci: a n b n a) Dacă seria a n este divergentă, atunci seria b n este divergentă. b) Dacă seria b n este convergentă, atunci seria a n a n este convergentă. C. Dacă există lim = l atunci: n b n a) pentru l (, ) seriile a n şi b n au aceeaşi natură; b) pentru l = avem implicaţiile: a n divergentă b n divergentă; b n convergentă a n convergentă; c) pentru l = avem implicaţiile: b n divergentă a n divergentă; a n convergentă b n convergentă. Observaţie. În general pentru a decide natura unei serii a n prin criteriul C se folosesc pentru comparaţie serii armonice generalizate. Se obţine criteriul. C. Dacă există α R astfel ca atunci: a) pentru α > seria b) pentru α seria lim n nα a n = l (, ) a n este convergentă; a n este divergentă. Produsul Cauchy a două serii Definiţie. Dacă a n şi b n sunt două serii, atunci seria c n cu termenul general c n = a b n + a b n + a 3 b n + + a n b, n, se numeşte produsul Cauchy al celor două serii. Observaţie. În general produsul Cauchy a două serii convergente nu este neapărat o serie convergentă (a n = b n = ( )n ). n Teoremă (Mertens). Dacă seriile a n şi b n sunt convergente, iar una din ele
6 este absolut convergentă, atunci produsul lor Cauchy dacă a n = A, b n = B, atunci c n = AB. c n este o serie convergentă şi Şiruri. Probleme Problema 7. Fie I R şi f : I I. Definim şirul (a n ) n prin relaţia a n+ = f(a n ), n, a I. Să se arate că: ) Dacă f este crescătoare, atunci (a n ) n este monoton; ) Dacă f este descrescătoare, atunci şirurile (a n ) n, (a n+ ) n sunt monotone şi au monotonii diferite. Soluţie. ) Dacă a a rezultă că f(a ) f(a ), adică a a şi apoi prin inducţie se arată că a n a n+ pentru orice n. Dacă a a rezultă analog că şirul este descrescător. ) Avem a n+ = f(a n+ ) = (f f)(a n ), n şi a n+ = f(a n+ ) = (f f)(a n ), n. Cum g = f f este crescătoare, din punctul ) rezultă că (a n ) n şi (a n+ ) n sunt şiruri monotone. Dacă presupunem că (a n ) n este crescător, din relaţia a n a n+ obţinem f(a n ) f(a n+ ) echivalent cu a n+ a n+3, n, ceea ce arată că (a n+ ) n este descrescător. Presupunerea că (a n ) n este descrescător conduce în mod analog la faptul că (a n+ ) n este crescător. Deci şirurile (a n ) n şi (a n+ ) n au monotonii diferite. Problema 7. a) Să se arate că lim b) Să se calculeze lim n n n ( n + + n + + + ) n ( n + + n + + + n ln. ) = ln ; Soluţie. a) Fie c n = + + + ln n, n. Avem n x n = n + + n + + + n ln = (c n c n ) + ln n ln n = = c n c n + ln, de unde obţinem lim x n = ln. n b) Fie y n = n + + n + + + n ln, n, n a n = n + + n + + + n ln, b n = n.
Şiruri şi serii numerice 7 Condiţiile celei de-a doua teoreme a lui Stolz-Cesaro sunt îndeplinite şi avem a n+ a n lim lim n + + n + + n + n b n+ b n n n + n = 4 de unde rezultă că lim n y n = 4. Problema 7.3 Fie f : [, ) R o funcţie descrescătoare şi mărginită inferior. Să se arate că şirul (a n ) n de termen general este convergent. a n = f() + f() + + f(n) Soluţie. Studiem monotonia lui (a n ) n. Avem a n+ a n = f(n + ) = f(n + ) n+ n f(x)dx = n+ n+ n n f(x)dx + f(x)dx n f(x)dx = (f(n + ) f(x))dx, ţinând seama că f este descrescătoare. Rezultă că şirul (a n ) n este descrescător. Demonstrăm că şirul este mărginit inferior. Avem a n = = ( f() ) ( f(x)dx + f() 3 ( n ) + f(n ) f(x)dx + f(n) = n (f() f(x))dx + 3 ) f(x)dx + + (f() f(x))dx + + n + (f(n ) f(x))dx + f(n), n de unde rezultă că (a n ) n este mărginit inferior, ţinând seama de monotonia lui f şi de faptul că f este mărginită inferior. Prin urmare şirul (a n ) n este convergent, fiind monoton şi mărginit. Observaţie. Pentru funcţia f : [, ) R, f(x) = x, rezultă imediat că şirul (c n) n, este convergent. c n = + + + n ln n Problema 7.4 Să se calculeze lim n [(n + ) n+ n + n n n].
8 Soluţie. Considerăm funcţia f : [n, n+] R, n N, f(x) = x + x, căreia îi aplicăm teorema lui Lagrange. Rezultă că există c n (n, n + ) astfel ca ( cn f(n + ) f(n) = cn + ln c ) n. c n c n Din c n > n rezultă că lim n c n = şi în continuare lim [f(n + ) f(n)] =. n Problema 7.5 Demonstraţi că dacă sin x, atunci şirul (sin nx) n nu are limită. Soluţie. Să presupunem că şirul (sin nx) n este convergent. Din rezultă că lim n cos nx =. Ţinând seama de relaţia cos nx = sin nx = sin(n + )x sin(n )x sin x cos(n + )x cos(n )x sin x deducem că lim sin nx =, prin urmare lim n n (sin nx+cos nx) =, contradicţie. Rezultă că şirul (sin nx) n este divergent. Problema 7.6 Să se determine cel mai mic număr real pozitiv x pentru care şirul (a n ) n, ( a n = + n) n+x este descrescător. ( Soluţie. Considerăm funcţia f : [, ) R, f(t) = (t + x) ln + ), t. Evident t a n = e f(n), n. Avem ( f (t) = ln + ) t + x t t( + t), f (t) = t(x ) + x t ( + t). Dacă x rezultă f (t) pentru orice t, deci f este strict crescătoare pe [, ). Cum lim t f (t) = rezultă f (t) <, t, deci f este descrescătoare pe [, ). Rezultă că (a n ) n este un şir descrescător pentru x. Dacă x <, atunci ecuaţia f x (t) = are rădăcina t = x şi f (t) pentru t t. Rezultă că f este descrescătoare pe [t, ) şi cum lim f (t) = avem f (t) > pentru t t. Prin t urmare şirul (a n ) este crescător pentru n > t. Cel mai mic număr pentru care (a n ) n este descrescător este x =. Problema 7.7 Să se arate că dacă lim n an n = a, lim n bn n = b, a, b >, atunci pentru orice p, q cu p + q =, are loc relaţia lim (pa n + qb n ) n = a p b q. n
Şiruri şi serii numerice 9 Soluţie. Arătăm mai întâi că lim n (pa n + qb n ) =. Apoi avem şi în continuare lim n(a n ) = ln a, n lim a n = şi lim b n n n lim n(b n ) = ln b n lim (pa n + qb n ) n = e lim n(pan+qbn ) n = n = e lim [pn(an )+qn(bn )] n = e p ln a+q ln b = a p b q. ) Problema 7.8 Să se calculeze lim (e + + + n+ e + + + n. n Soluţie. Fie c n = + + + n ln n. Avem x n = e + + + n+ e + + + n = e + + + n = e cn+ln n ( e n+ ) = e cn n n + e Rezultă că lim n x n = e c, unde c este constanta lui Euler. =. De aici deducem că (e n+ ) = n+. n + Problema 7.9 Să se arate că următoarele şiruri sunt convergente, folosind problema 7.3. a) a n = + + + ln n; n b) a n = ln + 3 ln 3 + + ln(ln n); n ln n c) a n = + α + + n α α n α, α (, ); d) a n = + α + + n α, α >. Soluţie. a) Se ia f(x) = x ; b) f(x) = x ln x ; c) f(x) = x α ; d) f(x) = x α. Problema 7. Să se calculeze limitele următoarelor şiruri: a) a n = ( + ln n + + ), n ; ( n b) a n = ln(ln n) ln + 3 ln 3 + + ), n 3; n ln n c) a n = ( n α + α + + ) n α, α (, ). Soluţie. Se utilizează prima teoremă a lui Stolz-Cesaro obţinându-se: a) lim a n = ; n b) lim a n = ; n c) lim a n = n α.
Problema 7. Dacă notăm cu a limitele şirurilor de la exerciţiul 7.9 să se calculeze limitele următoare: a) lim ( n + + + n ) ln n a ; n ( b) lim n ln n n ln + 3 ln 3 + + ) ln(ln n) a ; ( n ln n c) lim n nα + α + + n α ) α n α a, α (, ); ( d) lim n nα + α + + ) n α a, α >. Soluţie. Se aplică a doua teoremă a lui Stolz-Cesaro. a) x n = + + + n ln n a, y n =, n. Avem n x n x n+ x n lim = lim = lim n y n n y n+ y n n = lim x x R ln(x + ) + ln x x + x + x = lim x x R ln(n + ) + ln n n + n + = n (x + ) x + + x (x + ) + = x b) Se obţine limita ; c) Aplicând teorema a doua a lui Cesaro-Stolz obţinem ( lim n nα + α + + n α ) α n α a = lim n (n + ) α α [(n + ) α n α ] (n + ) α = n α α = lim n [ (n + ) n ( α) nα (n + ) α n α ( ) n + α ] n = ( α)x ( + x) + ( + x) α = lim x x[ ( + x) α = ]( α) x R aplicând regula lui l Hospital de două ori; d) Se obţine limita α. Problema 7. Să se arate că dacă p, q N, p < q, au loc relaţiile: qn a) lim n k = ln q p ; k=pn q n b) lim n n k = ln q p ; k=p n = ;
Şiruri şi serii numerice c) lim n d) lim n e) lim n ln n q n n q k=n p k = q p; k ln k = ln k=p n n q k=n p k ln k = ln q p ; ( ) ln q ; ln p Soluţie. Fie (a n ) n un şir de numere reale, s n = a + a + + a n, n şi (b n ) n un şir cu proprietatea că şirul (s n b n ) n este convergent. Dacă (p n ) n, (q n ) n sunt două şiruri de numere naturale, p n q n pentru n, atunci q n k=p n a k = s qn s pn + a pn = (s qn b qn ) (s pn b pn ) + (b qn b pn ) + a pn. De aici obţinem lim n q n în ipoteza că limita din dreapta există. a) p n = pn, q n = qn, b n = ln n, lim n k=p n a k = lim n [(b q n b pn ) + a pn ] ( ln qn ln pn + pn b) p n = p n, q n = q n, a k = k, b n = ln n. Pentru c), d), e) procedăm analog. ) = ln q p. Problema 7.3 Fie (a n ) n şi (b n ) n două şiruri de numere întregi cu proprietatea < a n b n, n. Să se arate că Soluţie. ln a n b n b n e k k=a n = a n lim n b n b n k=a n e k =. b n k=a n k + ln a n ln b n = ( bn ) ( an ) = k ln b n k ln a n + c c + =. a n k= k= Problema 7.4 Demonstraţi că [ + lim n + + ] n = 757. Soluţie. Considerăm şirurile (a n ) n 5, (b n ) n 5, a n = + + + n, b n = + + + n + n.
Se arată uşor că (a n ) este crescător, iar (b n ) este descrescător şi a n < b n, n 5, prin urmare deci, 7575 < a 6 < lim n a n < b 6 =, 7579, lim n [ + + + ] n = 757. Problema 7.5 Fie a, b > şi (x n ) n, (y n ) n două şiruri de numere reale cu proprietăţile: x n lim n n a = A, lim y n = B, A, B R. n nb Să se calculeze lim n (x + x + + x n )(y + y + + y n ). n(x y + x y + + x n y n ) Soluţie. (x + + x n )(y + + y n ) n(x y + + x n y n ) = x + + x n n a+ y + + y n n b+ x y + + x n y n n a+b+ şi x + + x n lim n n a+ x y + + x n y n lim n n a+b+ x n+ = lim n (n + ) a+ n a+ = A a +, y + + y n lim n n b+ = B b +, x n+ y n+ = lim n (n + ) a+b+ n a+b+ = = lim n Limita cerută este egală cu x n+ (n + ) a y n+ (n + ) b (n + ) a+b+ n a+b+ (n + ) a+b a + b + (a + )(b + ). = AB a + b +. Problema 7.6 (Transformarea Toeplitz) Fie {c n,k : k n, n } un şir dublu de numere reale cu proprietăţile: i) lim c n,k = pentru orice k N ; n n ii) lim c n,k = ; n k= iii) există c > astfel ca n c n,k c pentru orice n. k= Atunci pentru orice şir convergent de numere reale (a n ) n, şirul (b n ) n definit prin n b n = c n,k a k, n, este convergent şi lim b n = lim a n. n n k=
Şiruri şi serii numerice 3 Soluţie. Dacă a n = a pentru orice n, atunci din ii) avem lim b n = a lim n n n c n,k = a. Astfel este suficient să considerăm cazul când şirul (a n ) n converge la zero. Pentru m > şi n m avem n m n () b n = c n,k a k c n,k a k + c n,k a k k= k= Fie ε >. Din lim n a n = rezultă că există n N astfel ca a n < ε c pentru n n. Şirul (a n ) n este mărginit şi presupunem că a n D, pentru orice n. Din i) rezultă că există n N astfel ca pentru n n Punând m = n în (), obţinem n k= n b n D c n,k + ε c k= k= c n,k < ε D. pentru n max{n, n }. Prin urmare lim n b n =. n k=m k=n c n,k < ε + ε = ε Problema 7.7 Să se demonstreze că dacă în exerciţiul precedent c nk >, k n, n, atunci pentru orice şir (x n ) cu limita, rezultă că şi transformata sa Toeplitz, (y n ), are limita. Soluţie. Fie (x n ) cu x n ; se poate presupune ca toţi termenii termenii şirului (x n ) n sunt strict pozitivi. Fie C > ; din condiţia lim c nk =, rezultă că există N N astfel încât: n k= n c nk >, n N. k= Şirul (x n ) fiind nemărginit, există N N astfel încât x n C, n N. Fie N 3 = max{n, N }; atunci, pentru orice n N 3, avem: n N 3 c nk x k = c nk x k + k= k= n k=n 3 c nk x k ceea ce încheie demonstraţia. N 3 c nk x k + C > C, k= Problema 7.8 Demonstraţi că dacă lim n a n = a, a R, atunci na + (n )a + + a n lim n n = a.
4 Soluţie. Se aplică teorema lui Toeplitz cu c n,k = Stolz-Cesaro de două ori. (n k + ) n sau se aplică teorema Problema 7.9 Dacă lim n a n = a, lim n b n = b, a, b R, atunci a b n + a b n + + a n b lim n n = ab. Soluţie. Dacă b, luăm c n,k = b n k+ în teorema lui Toeplitz. nb Dacă b =, punând c n,k = + b n k+, avem n a ( + b n ) + a ( + b n ) + + a n ( + b ) lim = a n n a + + a n şi ţinând seama că lim = a rezultă concluzia. n n Problema 7. Presupunem că lim a n = a, a R. Să se calculeze: ( n an a) lim n + a n + + a ) n ; ( a b) lim n + a 3 + + a ) m ; ( n(n + ) an c) lim n a n + + ( ) n a ) n. Soluţie. Se obţin, aplicând teorema lui Toeplitz, rezultatele: a) a; b) a; c) 3 a. Problema 7. Determinaţi mulţimea punctelor limită ale şirului (a n ) n, unde: a) a n = [ ( )n ] n + n ; ( + 3 b) a n = cos nπ ) n; 3[ ] c) a n = n n 7. 7 Soluţie. a) a n = n + 3, a n+ = n+ + n. Avem lim + 3 a n = şi lim a n+ =, n n deci L(a n ) = {, }; b) L(a n ) = {,, }; c) a 7k =, a 7k+ = 7,..., a 7k+6 =. Se obţine 7 { L(a n ) =, 7, 7, 4 }. 7 Problema 7. Fie (a n ) n un şir de numere reale cu proprietatea că lim n (a n+ a n ) =. Arătaţi că mulţimea punctelor limită ale lui (a n ) n este un interval închis. Soluţie. Fie a < b puncte limită ale şirului (a n ) n şi c (a, b). Vom construi prin recurenţă un subşir (a nk ) k având limita c. Presupunând (a nk ) k ales, fie n N astfel
Şiruri şi serii numerice 5 ca a n+ a n < k, pentru n n. Din faptul că a, b sunt puncte limită ale lui (a n ) n, rezultă că există p, q N, p, q > max{n, n k } cu proprietatea că a p < c < a q. Notăm cu n k+ cel mai mare indice cuprins între p şi q astfel ca c < a nk+ +. Rezultă că a nk+ c a nk+ a nk+ + k. Această construcţie arată că mulţimea punctelor limită ale lui (a n ) n este un interval. Fie a o extremitate a acestui interval. Există deci un şir (x n ) n format din puncte limită pentru şirul (a n ) n astfel ca lim n x n = a. Este suficient să alegem un subşir (a nk ) k astfel ca a nk x k. Avem lim k a n n k = a, ceea ce încheie demonstraţia. Problema 7.3 Fie f : R R o funcţie periodică cu perioada T >, continuă în punctul x R. Fie (S n ) n un şir satisfăcând condiţiile: (i) lim n S n = ; (ii) lim n (S n+ S n ) =. Atunci f(x) este un punct limită al şirului (f(s n )) n. Soluţie. Deoarece f este continuă în x, există δ > astfel încât t x < δ implică f(t) f(x) <. Cum lim (S n+ S n ) =, există N N astfel încât pentru orice n N n să avem S n+ S n < δ. Fie k N cu proprietatea că x + k T S N. Din (i) rezultă că există n N, n N, astfel încât S n x + k T < S n +. Avem că x + k T S n < δ şi atunci (S n k T ) x < δ, de unde f(s n ) f(x) = f(s n k T ) f(x) <. Deoarece f este continuă în x, există δ > astfel încât t x < δ implică f(t) f(x) <. Cum lim (S n+ S n ) =, există N N astfel încât pentru orice n N n să avem S n+ S n < δ. Fie k N cu proprietatea că x + k T S max(n,n +). Din (i) rezultă că există n N, n max(n, n + ), astfel încât S n x + k T < S n +. Avem că x + k T S n < δ şi atunci (S n k T ) x < δ, de unde f(s n ) f(x) = f(s n k T ) f(x) <. Continuând procedeul de mai sus vom obţine un şir strict crescător (n p ) p care are proprietatea că f(s np ) f(x) < p şi trecând la limită obţinem lim f(s n p p ) f(x) =, deci şirul (f(s np )) p converge la f(x). Problema 7.4 Fie E n = +! +! + + n!, n. Demonstraţi că: a) < e E n < n n!, n ; b) e Q; c) lim (n!e [n!e]) =. n Soluţie. a) E m+n E n = < (n + )! (n + )! + (n + n)! + + (n + m)! < [ + ] n + + (n + ) + + (n + ) m < Fixând n şi făcând m obţinem e E n (n + )! n + n + < n n!. (n + )! n + n +
6 b) Să presupunem că e = p q Q, p, q N, q. Avem < e E q < şi înmulţind q q! cu q! obţinem < p(q )! q!e q < q, contradicţie, pentru că (p(q )! q!e q) Z. c) Din punctul a) rezultă că pentru orice n există θ n ], [ astfel ca deci deci [n!e] = e = E n + θ n n n!, [ n!e n + θ ] n = n!e n, n lim (n!e [n!e]) =. n Problema 7.5 Să se arate că lim n sin(πen!) = π. n ca Avem Soluţie. Din problema 7.4 a) rezultă că pentru orice n N există θ n+ (, ) astfel [ ( n sin π E n + şi cum n!e n N obţinem e = E n+ + θ n+ (n + )(n + )!. [ ( x n = n sin(πen!) = n sin π E n+ + ) ] (n + )! + θ n+ n! = n sin (n + )(n + )! [ ( x n = n sin π (n + )! + θ )] n+ (n + ) deci lim n = π. θ n+ (n + )(n + )! ) ] n! = ( πe n n! + n + + θ n+ (n + ) [ ] sin π( (n+)! + θ n+ ) ( (n+) = ( ) π n π (n+)! + θ n+ n + + nθ n+ (n + ) (n+) Problema 7.6 Fie (a n ) n un şir de numere reale cu proprietăţile: < a n pentru orice n şi lim (a + a + + a n ) =. n a) Să se arate că pentru orice l [, ) { } există o funcţie strict crescătoare L : N N astfel ca a + a + + a L(n+) lim = l. n a + a + + a L(n) b) Să se determine funcţia L pentru a n = n, n. ) ), Soluţie. a) Fie s k = a + + a k, k. Intervalele [s k, s k+ ), k, determină o partiţie a intervalului [a, ).. Dacă l >, atunci pentru orice n există un unic k N astfel ca l n [s k, s k+ ) şi definim funcţia L(n) = k, deci l n [s L(n), s L(n)+ ). Cum l n+ l n > > a L(n)+ rezultă s L(n+) s L(n)+ şi atunci L(n + ) > L(n), deci L este funcţie strict crescătoare. Avem: s L(n) l n < s L(n)+ = s L(n) + a L(n)+ < s L(n) +
Şiruri şi serii numerice 7 din care deducem s L(n+) l n+ < s L(n+)+ l n+ l n < s L(n+) s L(n) < ln+ l n, s L(n+) de unde obţinem lim =. n s L(n). Dacă l =, alegem L(n) = n şi obţinem s n+ lim n s n a n+ = + lim =. n s n 3. Dacă l = alegem L(n) astfel ca n n [s L(n), s L(n)+ ) şi avem s L(n+) s L(n) (n + )n+ n n. b) Şirul (a n ) n, a n = + + + n n este convergent. Avem s L(n+) al(n+) = a L(n+) + s L(n) a L(n) +, a L(n) s L(n+) lim n s L(n) Pentru l = alegem L(n) = n. Pentru l > alegem L(n) = [l n ]. Pentru l > alegem L(n) = n n. al(n+) = lim. n al(n) Problema 7.7 Fie a şi b două numere reale astfel încât < a < b. Definim şirurile: a = ab, b = (a + b) a = a b, b = (a + b )......... a n = a n b n, b n = (a n + b n ). Să se arate că şirurile a n si b n sunt convergente şi au aceeaşi limită (numită media aritmetico-geometrică a numerelor a şi b). Soluţie. Evident, din inegalitatea mediilor rezultă a n b n, n N şi a < a < b < b. Vom arăta că şirul (a n ) este crescător, iar şirul b n este descrescător. Avem: a n+ a n = a n b n a n = a n(b n a n ) an b n + a n >, n N, b n+ b n = a n + b n b n = a n b n <, n N. Rezultă că şirurile sunt convergente; dacă notăm L = lim a n şi L = lim b n, atunci, n n trecând la limită în relaţia a n+ = (a n + b n ), rezultă L = L.
8 Problema 7.8 Fie (x n ) un şir de numere reale astfel încât există L R cu proprietatea: Să se demonstreze că lim n x n = L. lim n (x n+ x n ) = L Soluţia. Fie ε > ; din ipoteză, există N(ε) astfel încât: L ε < x n+ x n < L + ε, n N(ε). Fie n N(ε) fixat şi fie k N; însumând inegalităţile: L ε < x n+ x n < L + ε, n N(ε). Obţinem: (L ε) < 4x n+ x n+ < (L + ε)... k (L ε) < k x n+k k x n+k < k (L + ε), ( + +... + k )(L ε) < k x n+k x n < ( + +... + k )(L + ε), sau, echivalent (împuarţind la k ): ( k) ( (L ε) < x n+k k x n < k) (L + ε). Alegem acum k astfel încât: k x n < ε şi k (L ± ε) < ε. Atunci, pentru orice p n + k (aleşi ca mai sus), rezultă: ceea ce încheie demonstraţia. Soluţia. Scriem Din teorema Cesaro-Stolz L 3ε < x m < L + 3ε, L = lim (x n+ x n+ n x n n+ x n ) = lim n n n+ n. deci lim n x n = L. n+ x n+ n x n n x n lim n n+ n = lim n n = lim x n, n Problema 7.9 Fie a şi b două numere pozitive. Să se calculeze limita şirului (x n ) definit de relaţia: x n+ = a + bx n, n, x = a. În particular, să se calculeze: lim n + + + +, (n radicali).
Şiruri şi serii numerice 9 Soluţie. Demonstrăm prin inducţie faptul că (x n ) este mărginit, mai precis: < x n < b + b + 4a, n, numărul b+ b +4a fiind soluţia pozitivă a ecuaţiei x bx a =. Evident, x = a < b+ b +4a ; presupunând că x n < b+ b +4a, rezultă x n+ = a + bx n < a + b b + b + 4a Demonstrăm că x n este strict crescător; este evident că: x = a + b a > a = x. = b + b + 4a. Relaţia x n+ > x n este echivalentă cu x n bx n a <. Ultima inegalitate este adevărată deorece x n (, b+ b +4a ). Şirul (x n ) este deci convergent şi prin trecere la limită în relaţia de recurenţă, rezultă lim x n = b + b + 4a. n Problema 7.3 Să se demonstreze formula lui Ramanujan: + + 3 + 4 +... = 3 Soluţie. Fie şirul de funcţii f (x) = + x, f (x) = + x + (x + ),..., f n (x) = + x + (x + ) + + (x + n ) + (x + n ) (n radicali) Vom demonstra că şirul (f n (x)) converge pentru orice x. Fie x, fixat; evident, (f n (x)) este crescător. Arătăm în continuare că este mărginit. Evident: f n (x) x x... x x Pentru orice n N şi x, avem: f n (x) (x + ) (x + ) (x + 3)... (x + n) x 3x 4x... (n + )x x 4x 8x... n x = n k= = k n k k= x k 4x.
Fie f(x) = lim n f n(x); din inegalitatea f(x) x, rezultă f(x) (x + ) şi deci: Înlocuind x cu x +, rezultă: (x + ) f(x) 4x, x. (x + ) f(x + ) 4(x + ), x. Trecând la limită în relaţia de recurenţa şi apoi ridicând la pătrat, obţinem: Din dubla inegalitate de mai sus rezultă După calcule simple, obţinem: (f(x)) = + xf(x + ) x (x + ) + (f(x)) 4x(x + ) + (x + ) f(x) (x + ) Repetăm procedeul anterior, i.e. scriem inegalitatea anterioară pentru x+, apoi înmulţim cu x şi adunăm : x(x + ) + (f(x)) x(x + ) + şi după calcule rezultă: Iterând de n ori, rezultă: (x + ) f(x) (x + ) n (x + ) f(x) n (x + ), n =,, 3... Trecând la limită (n ) obţinem f(x) = x +. În particular, pentru x =, se obţine formula lui Ramanujan: + + 3 + 4 +... = 3. Problema 7.3 Să se calculeze limita şirului: Soluţie. Termenul general se scrie: n k= ( k ln ( ) ) k + = ln k n k= ( ( ) ) k + k ln. k (n + ) n 3 5 (n ) e n = ( ) n + n (n) n = ln + ln n 3 5 (n ) e n = ( ) n + n = ln + ln 4n n n n! n (n)! e n Primul termen tinde la ; în al doilea termen înlocuim n! şi (n)! cu expresiile corespunzătoare din formula lui Stirling. În final obţinem limita ln.
Şiruri şi serii numerice Serii. Probleme Să se determine sumele seriilor: Problema 7.3 Soluţie. Avem din care rezultă sau deci Suma primilor termeni ai seriei este Deci = (a + )(a + )... (a + n), a >, b > a +. (b + )(b + )... (b + n) (a + )... (a + n) a n = (b + )... (b + n) = a a + n n b + n, a n (a + n) = a n (b + n) a n (a + n) = a n [(a + n + ) + (b a )], a n (a + n) a n (a + n + ) = (b a )a n. S n = n a k = k= b a n (f(n ) f(n)) = k= b a (f() f(n)) = b a (a a a n (a + n + )) = ( a = lim S n = n b a Ultima limită o determinăm astfel: = care are limita zero căci seria Deci b (a + )(a + )... (a + n + ) (b + )... (b + n) a (a + ) lim b(b a ) n (a + )... (a + n + ) (b + )... (b + n) ). (a + )... (a + n + ). (b + )... (b + n) ( + b a ) ( + b a ) (... + b a ) < a + a + a + n + < b a + b a + + b a = a + a + 3 a + n + = b a a + + a + 3 + + a + n + n= a + n a n = = este divergentă (comparând-o cu seria armonică). a b(b a ).
Problema 7.33 Soluţie. (suma seriei n k=. n k 3 k= k 3 = n (n + ). Avem S n = 4 = 4 n p= n p= 4 p (p + ) = [ ( p ) + ] p p + (p + ) ( = 8 ) [ + 4 + ( n + (n + ) + + + + n )] lim S n = 4 + 8 lim ( + n n + + n ) = 4 + 4 3 π π este n 6 ). Problema 7.34 şi [ ] a + n, a R. n+ Soluţie. Este cunoscută identitatea: [ a + ] = [a] [a], a R. Avem Problema 7.35 [ ] a + n a n = = S n = S n = n+ n k= [ a ] [ a ] n n+, [ a ] a k = [a] n+ { [a], dacă a [a] +, dacă a <. n tg a { ( n, a R \ n π ) } + kπ k, n Z. Soluţie. Avem identitatea tg x = ctg x ctg x şi a n = n tg a n = ( n ctg a n ctg a ) n = = n ctg a n n ctg a n. n S n = a k = n ctg a ctg a, n k= lim S n = ctg a + lim n n n tg a = ctg a + a. n =
Şiruri şi serii numerice 3 Problema 7.36 şi ( ) n cos3 3 n a 3 n, a R. n= Soluţie. Avem identitatea 4 cos 3 x = cos 3x + 3 cos x din care: cos 3 3 n a 3 n = [ cos 3 n+ a 4 3 n + cos ] 3n a 3 n Suma primilor n termeni este care este suma seriei. Problema 7.37 arctg Soluţie. din care S n = Problema 7.38 n= S n = 4 n + n+. ( 3 cos a + ( ) n cos ) 3n+ a 3 n lim S n = 3 cos a, n 4 arctg x = arctg x + arctg x + x, n arctg + n+ = arctg n+ arctg n. n (arctg k+ arctg k ) = arctg n+ arctg = arctg n+ k= arctg n=3 lim S n = π n π 4 = π 4. 3 n n. Soluţie. Avem identitatea: arctg a + arctg b = arctg a + b, dacă ab < ab π + arctg a + b, dacă ab > ab 3 a n = arctg n n = arctg 3 + n n = (n + ) (n ) = arctg = arctg (n + ) arctg (n ). + (n + )(n ) n S n = (arctg (k + ) arctg (k )) = k=3 = arctg (n + ) + arctg n + arctg (n ) arctg arctg arctg 3. lim S n = 3 π n π (arctg + arctg 3) = = 3 π π ) (π 4 + 3 + arctg = 3 π 3 π 4 π + π 4 = π
4 Problema 7.39 ( ) n+. n ( Soluţie. S n = + + + ) ( n + 4 + + ) = n ( = + + + ) ln n ( + n + + n ) ln n + ln n ln n = = c n c n + ln, unde c n = + + + n. Şirul (c n) n este convergent la constanta lui Euler c şi atunci lim n S n = c c + ln = ln deci Analog S n+ = S n + n + ln ( ) n+ = ln. n Problema 7.4 + 3 + + p 4 q + p + + unde p, q N. + p + 3 + + 4p q + q + 4 4q +..., Soluţie. Notăm cu S(p, q) suma seriei, a n = + + + n şi c n = + + + ln n, n şirul (c n ) n fiind convergent la constanta lui Euler c. Suma primilor n(p + q) termeni ai seriei este S n (p + q) = + 3 + + p + p + + + np ( + 4 + + q + q + + + ) = nq = a np ( + 4 + + p + + np ( + + + q + q + + + nq ) ) = = a np a np a nq = c np + ln(np) (c np + ln(np)) (c nq + ln(nq)) = = c np c np c nq + ln 4n p npnq.
Şiruri şi serii numerice 5 Trecând la limită obţinem: S(p, q) = c c c + 4p ln q = 4p ln q Observaţie. ) Dacă q = 4p, atunci S(p, q) =, de exemplu 4 6 8 + 3 4 6 + =. Cum { 4p q p, q N } = Q +, mulţimea {ln 4p q p, q N } este densă în R, deci pentru orice l R şi pentru orice ε > se poate alege p, q N astfel ca l ε < S(p, q) < l + ε. ) În seria semiconvergentă ( ) n+ n s-a permutat ordinea termenilor astfel încât s-a obţinut o serie convergentă, dar cu o altă sumă. Astfel s-a exemplificat teorema lui Riemann referitoare la serii semiconvergente. n Problema 7.4 ( ) n ln n n. Soluţie. Şirul cu termenul general x n = ln + ln 3 3 + + ln n n ln n este convergent şi notăm limita sa cu l. Avem: S n = n k= ( ) k ln k k = = ln + ln ln 3 3 + ln 4 ln(n ) 4 n ( ln = + ln + ln 3 3 + ln 4 ln(n ) + + 4 n ( ln + + ln 4 4 + + ln(n) ) = n + ln n n = + ln(n) n = x n + x n + ln ( + + + n ) ln n (ln ) ( lim S (ln ) n = l + l + ln c = ln c ln ) n unde c = lim ( + + + n ) ln n este constanta lui Euler. n ) + Problema 7.4 ( ) n n + ( + + + ). n
6 ( Soluţie. Arătăm că seria ( ) n + n + + + ) este produsul Cauchy n al seriei ( ) n cu ea însăşi. Termenul general al produsului este n ( c n = ( ) n n + (n ) + + ) n dar deci k(n + k) = ( ) n + k +, n k + ( c n = ( ) n + n + + + ). n + Deoarece seria produs este o serie alternantă iar şirul + + n este descrescător n + spre zero, conform criteriului lui Leibniz, seria produs este convergentă şi atunci suma ei este ( S = ( ) n) n = (ln ). Problema 7.43 Fibonacci). deci n= Soluţie. Pentru matricea A = ( ) n F n F n+, unde F = F =, F n+ = F n + F n, n (şirul lui [ ], [ A n+ = A n + A n şi A n+ Fn+ F = n F n det(a n+ ) = (det A) n+, F n F n+ F n = ( ) n+, n. Suma primilor n termeni ai seriei este n ( ) k n S n = = F k F k+ = n k= din expresia lui F n = 5 k= ( Fk F ) k F k F k+ ( + ) n+ ( 5 lim S n = n k= F n ], F k F k+ F k F k F k+ = = F F + F n F n+ = F n F n+ ) n+ 5 rezultă 5 + 5 =.
Şiruri şi serii numerice 7 Problema 7.44 Fie F n şirul lui Fibonacci: F = F =, F n+ = F n + F n, n şi fie σ n = n k= F k. Să se calculeze suma seriei: ( ) n. σ n n Soluţie. Vom presupune cunoscute relaţiile (se pot demonstra prin inducţie): ( F n = + ) n+ ( 5 ) n+ 5, n () 5 F n F n+ F n = ( ) n+, n. () Din definiţia lui F k rezultă: F k+ F k = F k + F k F k, k. Însumând egalităţile de mai sus pentru k =,,..., n, obţinem σ n = F n+ F n, n. (3) Din relaţiile () şi (3) obţinem: n ( ) k S n = = σ k k= k= n = k= Aplicând acum (), obţinem suma seriei: n n ( )k F k F k+ = n k= ( Fk F ) k = F n. F k F k+ F n+ ( ) n σ n = + 5. F k F k+ F k F k F k+ = Problema 7.45 arctg F n, unde (F n ) n este şirul lui Fibonacci. Soluţie. Din problema anterioară avem relaţia F n F n+ Fn = ( ) n+ în care înlocuim unul din F n cu F n+ F n şi obţinem: F n F n+ F n (F n+ F n ) = ( ) n+ sau sau Avem arctg F n (F n+ + F n ) F n F n+ = ( ) n+ F n F n+ F n F n+ = ( ) n+ F n+ arctg F n+ = arctg F n+ F n+ F n+ F n+ + =
8 deci arctg = arctg F n F n F n+3 = arctg F n+ arctg Adunând relaţiile de la n = obţinem: k= Trecând la limită rezultă F n+3, F n+3 = arctg n+ arctg = arctg arctg F k F arctg F n = arctg F = π 4. F n+ F n+3 Problema 7.46 Fie (x n ) n un şir de numere reale astfel încât există P (, ) { } cu proprietatea: lim ((x + )(x + ) (x n + )) = P. n Să se calculeze suma seriei x n (x + )(x + ) (x n + ). n Soluţie. Descompunem termenul general al seriei: x n (x + )(x + ) (x n + ) = x n + (x + )(x + ) (x n + ) = = (x + )(x + ) (x n + ) (x + )(x + ) (x n + ). Rezultă pentru şirul sumelor parţiale al seriei date formula: S n = (x + )(x + ) (x n + ), deci suma seriei este P (cu convenţia = ). Problema 7.47 Să se studieze convergenţa seriei ( a ) n n!, a >. n n Soluţie. Se aplică criteriul raportului: x n+ lim n x n ( ) n n = lim a = a n n + e Dacă a < e, atunci seria este convergentă; dacă a > e, atunci seria este divergentă. Pentru a = e, aplicăm criteriul lui Raabe-Duhamel: ( ) (( ) lim n xn n + n ) = lim n x n n+ n n e = (( = n + ) n ) n e = ( + n n) e e lim n. n Ultima limită se calculează aplicând regula lui L Hopital: ( + x) x e ( + x) x [x ( + x) ln( + x)] lim = lim x x x x = e ; rezultă că seria este divergentă.
Şiruri şi serii numerice 9 Problema 7.48 Să se studieze convergenţa seriei n n p ln q, p >, q >. n Soluţie. Dacă p >, se aplică criteriul comparaţiei: seria converge pentru orice q > deoarece n p ln q n n p. Dacă p =, se aplică criteriul integral: seria converge dacă şi numai dacă q >. Dacă p < se aplică criteriul de condensare: seria are aceeaşi natură cu seria cu termenul general, care este divergentă pentru orice q > (se poate aplica criteriul n q n(p ) ln q raportului). Problema 7.49 Fie (a n ) n un şir de numere reale şi fie, pentru orice x R, seria n an n x. Să se demonstreze că dacă seria dată converge pentru x = x, atunci ea converge pentru orice x x. Soluţie. Vom aplica criteriul lui Abel; seria dată se scrie: a n n x = a n n x n x x n n Şirul n x x este monoton (descrescător) şi mărginit, iar seria n an n x Problema 7.5 În seria convergentă: ( ) n+ = n + 3 4 + n este convergentă. să se permute ordinea termenilor astfel încât să se obţină o serie convergentă, dar cu o altă sumă. Soluţie. Seria n ( ) n+ n este convergentă şi suma sa este ln. Fie deci: + 3 4 + = ln Înmulţind egalitatea de mai sus cu, rezultă: 4 + 6 8 + = ln Însumăm acum cele două egalităţi grupând termenii astfel: ( + + ) + 3 ( + 4 4 ) + 5 + ( 6 + 6 ) + 7 + ( + 8 ) + ( 8 9 + ) + + = 3 ln. Seria de mai sus este (după efectuarea calculelor din paranteze): + 3 + 5 + 7 4 + 9 + = 3 ln, şi este o permutare a seriei iniţiale. Observaţie. Soluţia problemei se poate obţine folosind cazul particular al problemei 7.4 pentru p =, q =.
3 Problema 7.5 Să se precizeze natura seriilor: n n a) e n n! n n b) e n n!. ( Soluţie. a) a + ) n n+ n e (n + ) = < ( a n e e + ) = b n+ = b n n n Folosind criteriul de comparaţie C9 pentru seria convergentă, rezultă că seria n este convergentă. b) a n+ a n = ( + n e ) n > ( + ) n n ( + ) n+ = n n +. n Folosind criteriul de comparaţie C9 pentru seria divergentă rezultă că seria este n divergentă. Problema 7.5 Fie a n o serie convergentă cu termeni pozitivi. Să se arate că seria n a a... a n este convergentă şi are loc inegalitatea: n a a... a n < e a n (T. Carleman) Soluţie. (G. Polya) Definim numerele c, c,..., c n,... prin relaţiile c c... c n = (n + ) n pentru orice n N. Avem = = n a a... a n = a c + a c + + a n c n = n(n + ) (a k c k ) n(n + ) = k= k= n=k n a c a c a n c n n + k= a k c k k = (k + ) k a k k k k= < ( ) ( n ) (a k c k ) n(n + ) k= ( n ) n + (a k c k ) n=k k = k= a k e = e a k. k= k= a k ( + k = ) k ( ) < ( )
Şiruri şi serii numerice 3 În ( ) s-a folosit inegalitatea mediilor. În ( ) s-a folosit egalitatea: a n ( n k= b k ) = În ( ) s-a folosit faptul că şirul e k = e k < e, k N. ( ) b k a n k= n=k ( + k ) k este crescător cu limita e, deci Problema 7.53 Fie (ɛ n ) n un şir astfel încât ɛ n {,, }, n =,,... şi fie şirul x n = ɛ + ɛ + + ɛ n. (a) Să se demonstreze egalitatea: ( π x n = sin 4 n k= ɛ ɛ ɛ k k (b) Să se demonstreze că şirul (x n ) este convergent. ), n =,,... G. Polya, G. Szegö Soluţie. (a) Dacă ɛ =, atunci relaţia este evident adevărată. Presupunem de aici inainte că ɛ. Demonstrăm egalitatea prin inducţie; dacă n =, egalitatea este verificată. Presupunem acum adevărată relaţia: ( ) π n ɛ ɛ ɛ k x n = sin 4 k. k= Calculăm, aplicând ipoteza de inducţie: ( x π n+ = ɛ + ɛ 3 + + ɛ n+ = sin 4 = cos ( π + π n+ k= ɛ ɛ 3 ɛ k k ) = cos n+ k= ( n+ π k= ɛ ɛ 3 ɛ k k ɛ ɛ ɛ k k ultima egalitate fiind evidentă pentru ɛ = ; dacă ɛ =, atunci egalitatea rezultă din paritatea funcţiei cosinus. Evident, ipoteza de inducţie a fost aplicată în ipoteza ɛ, altfel egalitatea cerută se verifică imediat: x n = ±. Rezultă deci: şi în concluzie ( n+ x n+ = 4 sin π 4 k= x n+ = sin ( n+ π 4 k= ɛ ɛ ɛ k k ɛ ɛ ɛ k k (b) Din relaţia demonstrată la punctul (a), notând cu S suma seriei (convergente) n ɛ ɛ ɛ ( k π ) k, rezultă lim x n = sin n 4 S. k= ) )., ) ), =
3 Problema 7.54 Se consideră şirul (a n ) n definit prin relaţia de recurenţă a n+ = ln( + a n ), n şi a =. a) Să se arate că lim a n =. n b) Să se arate că seria a n este divergentă. c) Să se arate că seria a n este convergentă. Soluţie. a) Prin inducţie se arată că a n >, n N şi din inegalitatea ln( + x) x rezultă că şirul (a n ) n este descrescător (şi mărginit de zero) deci convergent. Dacă lim a n = l atunci din relaţia de recurenţă rezultă l = ln( + l) cu singura soluţie l =. n b) Comparăm seria = lim n a n cu seria a n lim n n = lim n a n a n+ a n a n+ = lim n ln( + x) x = lim x x x ln( + x) = lim x deci seriile au aceeaşi natură (divergente). n. Avem n = lim n a n n + n = a n+ a n a n ln( + a n ) a n ln( + a n ) = lim x x x ln( + x) = lim x = lim x ( + x) = (, ), c) Aplicăm criteriul comparaţiei comparând cu seria a n lim = lim (na n n) = 4 (, ), n n x ln( + x) x ln( + x) = x + x n. Avem: = deci ambele serii sunt convergente. Problema 7.55 Fie seria convergentă cu termeni pozitivi există limita lim n na n, atunci ea este egală cu zero. a n. Să se arate că dacă Soluţie. Fie l = lim n na n, l. Dacă presupunem l >, atunci avem deci seriile a n şi n a n lim n n = l > au aceeaşi natură, deci ambele divergente, contradicţie.
Şiruri şi serii numerice 33 Problema 7.56 Să se arate că dacă şirul (a n ) n este descrescător la zero şi seria este convergentă, atunci lim na n =. n a n Soluţie. Fie x n = a + a + + a n na n, n. Şirul (x n ) n este majorat de (S n ) n, şirul sumelor parţiale ale seriei date, deci este mărginit. Avem x n+ x n = n(a n a n+ ), deci şirul (x n ) n este crecător. În concluzie şirul x n = S n na n este convergent. Rezultă că şirul (na n ) n este convergent şi conform problemei 7.55 obţinem că lim n na n =. Problema 7.57 Să se arate că dacă seriile a n b n şi sau (a n + b n ) sunt convergente. Soluţie. Avem din care rezultă Avem: din care a n şi ( n a k b k ) k= n n a k b k n k= a k b k k= ( n ) / ( n (a k + b k ) k= (a k + b k ) k= b n sunt convergente, atunci seriile n a k b k k= k= n a k b k k= k= a k b k k= k= k= a k ) / ( n b k. a k k= k= (S-au folosit inegalităţile Cauchy-Schwartz şi Minkowski.) k= b k ) / Problema 7.58 Să se arate că dacă seria este convergentă. a n este convergentă, atunci seria a n n Soluţie. Luăm în exerciţiul anterior b n = n.
34 Problema 7.59 Să se arate că seria este convergentă, dar nu este absolut convergentă. cos n n Soluţie. Dacă luăm a n = cos n şi b n = n, şirul sumelor parţiale ale seriei a n este mărginit, iar şirul (b n ) n este descrescător la zero, deci conform criteriului lui Abel seria este convergentă. cos n Pentru seria valorilor absolute, considerăm funcţia n f(x) = cos x + cos(x + ), f : R [, ), care este continuă şi are un minim diferit de zero, deci f(x) m >, x R (îşi atinge minimul pe intervalul [, π]). Avem: cos + cos + cos 3 3 + cos 4 4 + + cos(n ) n + cos n n cos + cos + cos 3 + cos 4 4 m + m 4 + + m n = m cos(n ) + cos n + + n ( + + + ), n deci şirul sumelor parţiale are limita. Problema 7.6 Fie a n o serie divergentă cu termeni pozitivi şi (S n ) n şirul sumelor parţiale. Să se arate că: a n a) Seria este divergentă. S n a n b) Seria Sn +α este convergentă pentru α >. Soluţie. a) Avem: a n+ S n+ + a n+ S n+ + + a n+p S n+p a n+ + + a n+p S n+p = S n+p S n S n+p. Dar S n+p S n lim =, p S n+p deci şirul sumelor parţiale ale seriei a n lui Cauchy (C). avem: b) Considerăm diferenţa: ln S n ln S n S α n ln S n S α n S α n S n ln S n S α n este divergent conform criteriului general al pentru care aplicăm teorema lui Lagrange şi = (S n S n )f (α n ), α n (S n, S n )