MEHANIKA FLUIDA dio 5 prof. Željko Andreić Rudarsko-geološko-naftni fakultet Sveučilište u Zagrebu zandreic@rgn.hr http://rgn.hr/~zandreic/ Željko Andreić Mehanika fluida P5 1
sadržaj 1-2-3! Tečenje kroz cjevovode 1. Korištenje brenoulli-jeve jednadžbe 2. Tečenje kroz cjevovode uvod 3. laminarno tečenje kroz cjevovode Željko Andreić Mehanika fluida P5 2
Korištenje Bernoulli-jeve jednadžbe za tekućine Tlakove možemo uvrštavati kao apsolutne ili kao relativne ali konzistentno. Za uvrštavanje u B.J. uzimamo vrijednosti sa centralne strujnice strujne cijevi za koju B.J. rješavamo. Ravninu z=0 provlačimo kroz najnižu točku sistema. B.J. rješavamo za dvije točke (1 i 2) na strujnici. Željko Andreić Mehanika fluida P5 3
Korištenje Bernoulli-jeve jednadžbe za tekućine 2 energetska linija geodetska linija pijezometarska linija z o 0 0 z Željko Andreić Mehanika fluida P5 4
Korištenje Bernoulli-jeve jednadžbe za tekućine 3 Visina energetske linije z o je konstantna (idealna tekućina!). Za nju se često puta koriste i oznake h ili H. z o se mjeri od prikladno odabrane referentne ravnine (0--0) koja obično odgovara najnižoj točci problema. Za nju je z=0. Često puta se kao referentna ravnina uzima morska površina odn. zamišljena ploha koja ju aproksimira za cijelu zemljinu kuglu. Željko Andreić Mehanika fluida P5 5
Korištenje Bernoulli-jeve jednadžbe za tekućine 4 predstavlja kinetičku energiju tekućine (brzinska visina). je doprinos tlaka potencijalnoj energiji tekućine (tlačna visina). z je dio potencijalne energije tekućine zbog njenog položaja (geodetska visina). pijezometarska visina= tlačna v. + geodetska visina. Željko Andreić Mehanika fluida P5 6
Korištenje Bernoulli-jeve jednadžbe za tekućine 5 1 2 z o 1 z 1 0 0 2 z 2 Željko Andreić Mehanika fluida P5 7
Korištenje Bernoulli-jeve jednadžbe za tekućine 6 Uz B.J. kod proračuna tečenja služimo se i jednadžbom neprekinutosti: Željko Andreić Mehanika fluida P5 8
Bernoulli-jeva jednadžba za realne tekućine Idealne tekućine ne opisuju dobro realne situacije. Sve realne tekućine imaju neku viskoznost i nju moramo uzeti u obzir. Newton-ov pokus: y v=v o d v(y) v=0 x Željko Andreić Mehanika fluida P5 9
Bernoulli-jeva jednadžba za realne tekućine 2 Viskozna sila dana je umnoškom tangencijalnog naprezanja i tangencijalne površine: Kod čestice fluida viskozna sila djeluje na njeno bočno oplošje: pa je Željko Andreić Mehanika fluida P5 10
Bernoulli-jeva jednadžba za realne tekućine 3 Zbog toga moramo B.J. dodati član koji opisuje energiju potrošenu viskoznim trenjem. On je jednak promjeni "tlaka" po jedinici mase fluida (kao i postojeći član dp/ρ): Viskozno trenje kao i svako drugo trenje troši mehaničku energiju pretvarajući je u toplinu, pa se ona za nas gubi. Posljedica toga je da ukupna energija realne tekućine nije sačuvana, već se gubi u smjeru tečenja. Željko Andreić Mehanika fluida P5 11
Bernoulli-jeva jednadžba za realne tekućine 4 1 2 h 1,2 z o z E z 1 0 0 Visina gubitaka h 1,2 opisuje gubitak energije viskozne tekućine izmeñu točaka 1 i 2. z 2 Željko Andreić Mehanika fluida P5 12
Odreñivanje gubitaka za tekućine 1. Uz konstantni protok (=stacionarno strujanje) na mjestima 1 i 2 izmjerimo pijezometarsku visinu h p : 2. pomoću jednadžbe kontinuiteta nañemo brzine (v 1 A 1 =v 2 A 2 =Q). 3. pomoću B.J. nañemo gubitak: Željko Andreić Mehanika fluida P5 13
Odreñivanje gubitaka za tekućine 2 Odnosno, uz upotrebu piezometarske visine: Ako se tečenje odvija kroz cijev konstantnog presjeka, brzina je svugdje ista pa imamo još jednostavniju formulu: Željko Andreić Mehanika fluida P5 14
Odreñivanje gubitaka za tekućine 3 Gubitak energije po jedinici dužine toka naziva se energetski gradijent ili energetski pad: Pad piezometarske linije po jedinici dužine toka naziva se piezometarski gradijent (pad) ili hidraulički gradijent: Željko Andreić Mehanika fluida P5 15
Reynolds-ov pokus kod male brzine istjecanja iz uske cijevi izlazi tanki ravni mlaz koji se ne miješa sa okolnom tekućinom. v Željko Andreić Mehanika fluida P5 16
Reynolds-ov pokus 2 pomicanje male cijevi po presjeku veće ne mijenja ovu sliku. Ovakvo strujanje naziva se laminarno strujanje. v Željko Andreić Mehanika fluida P5 17
Reynolds-ov pokus 3 kod veće brzine tečenja obojeni trag u sredini cijevi postaje nestabilan. v Željko Andreić Mehanika fluida P5 18
Reynolds-ov pokus 4 bliže stijenci cijevi nestabilnosti su manje. Ovo je tzv. prelazno područje. v Željko Andreić Mehanika fluida P5 19
Reynolds-ov pokus 5 kod još veće brzine dolazi do miješanja obojenog traga sa okolnom tekućinom. v Željko Andreić Mehanika fluida P5 20
Reynolds-ov pokus 6 slika je sična, bez obzira na položaj mlaza u cijevi. Ovakvo tečenje naziva se vrtložno (turbulentno) tečenje. v Željko Andreić Mehanika fluida P5 21
Reynolds-ov pokus 7 Reynolds-ov broj: duljina miješanja v Željko Andreić Mehanika fluida P5 22
Tečenje kroz cjevovode Cjevovod: sistem cijevi, ventila, račvi i sl. kroz koji teče fluid. I dalje: fluid je nestlačiv, tok je stacionaran. BJ za taj slučaj je: Željko Andreić Mehanika fluida P5 23
Tečenje kroz cjevovode 2 A gubici: Ako δ ne ovisi o brzini, prvi član je odreñen geometrijom (preko jedn. kontinuiteta) pa on ne može biti izvor gubitaka. Ostaju drugi i treći član: gubici se manifestiraju kao pad piezometarske visine. Željko Andreić Mehanika fluida P5 24
Tečenje kroz cjevovode 3 To se još jasnije vidi ako uzmemo cijev konstantnog presjeka. Onda je v 1 =v 2 pa odmah vidimo da je: Ako cijev nije okrugla, umjesto promjera cijevi koristi se tzv. hidraulički polumjer koji se definira kao omjer površine presjeka i opsega cijevi: Željko Andreić Mehanika fluida P5 25
Tečenje kroz cjevovode 4 za kružnu cijev nalazimo da je u mehanici fluida koristi se i Reynolds-ov broj: Željko Andreić Mehanika fluida P5 26
Tečenje kroz cjevovode 5 τ v p τ p+dp dl Za česticu fluida odaberemo volumen omeñen poprečnim presjecima cijevi razmaknutima za razmak dl. Ravnoteža sila je: Željko Andreić Mehanika fluida P5 27
Tečenje kroz cjevovode 6 ili Tu je nepoznato smično naprezanje na stijenki cijevi, pa ćemo se poslužiti dimenzionalnom analizom. Pretpostavimo da je: pa pišemo: Željko Andreić Mehanika fluida P5 28
Tečenje kroz cjevovode 7 Gdje smo dodatno pretpostavili da je smično naprezanje proporcionalno viskoznosti (inaće imamo 3 jedn. za 4 parametra!) dimenzionalna jednadžba je slijedeća: sa rješenjem: odnosno: Željko Andreić Mehanika fluida P5 29
Tečenje kroz cjevovode 8 uz: nalazimo: Ovo uvrstimo u izraz za pad tlaka: Željko Andreić Mehanika fluida P5 30
Tečenje kroz cjevovode 9 Integracijom po duljini cijevi nalazimo: Veličina naziva se bezdimenzionalni koeficijent trenja u ravnim cijevima. Željko Andreić Mehanika fluida P5 31
Tečenje kroz cjevovode 10 Ako se ograničimo na okrugle cijevi, 4R h =d, pa je: ili: Ovo je Darcy-Wiessbach-ova formula za gubitke u cijevima. Po analogiji sa DW formulom se i svi drugi gubici u cjevovodima prikazuju kao: Željko Andreić Mehanika fluida P5 32
Laminarno tečenje + dade se matematički potpuno opisati - u stvarnosti fluidi uglavnom teku turbulentno Laminarno strujanje u stvarnosti postoji u: kapilarama kod vrlo malih brzina u cijevima (gravitacijski pobuñena strujanja (ne uvijek) i sl. tečenje kroz filtere, tkanine i sl. tečenje podzemnih voda tečenje gustih tekučina (katran, lava, med) Željko Andreić Mehanika fluida P5 33
Laminarno tečenje u cilindričnoj cijevi τ v p 1 p 2 l 1 2 Zbog viskoznosti je na stijenci cijevi v=0. Brzina je paralelna sa osi cijevi i raste prema sredini (očito!). τ Željko Andreić Mehanika fluida P5 34
Laminarno tečenje u cilindričnoj cijevi 2 Tangencijalno naprezanje nalazimo iz Newton-ovog zakona: Simetrija: τ je isto u svim točkama oboda cilindra, pa je ukupna sila na cilindar: Ova sila je u ravnteži sa tlačnim silama na baze cilindra: Željko Andreić Mehanika fluida P5 35
Laminarno tečenje u cilindričnoj cijevi 3 Izjednačavanje daje: ili: Da si olakšamo daljnji račun, promijenimo koordinatni sustav: Željko Andreić Mehanika fluida P5 36
Laminarno tečenje u cilindričnoj cijevi 4 y r R pa je: odn. Željko Andreić Mehanika fluida P5 37
Laminarno tečenje u cilindričnoj cijevi 5 Da nañemo brzinu ovaj izraz moramo integrirati: Dobili smo Hagen-Poiseuill-ov zakon raspodjele brzine za laminarno strujanje. Maksimalna brzina se nalazi na osi cijevi (r=0!) i iznosi: Željko Andreić Mehanika fluida P5 38
Laminarno tečenje u cilindričnoj cijevi 6 Odnos brzine na nekom polumjeru prema maksimalnoj je: v A profil brzine je paraboličnog oblika: v max -R R r Željko Andreić Mehanika fluida P5 39
Laminarno tečenje u cilindričnoj cijevi 7 Ukupni protok nalazimo integracijom brzine po presjeku cijevi: odnosno: Željko Andreić Mehanika fluida P5 40
Laminarno tečenje u cilindričnoj cijevi 8 Ranije smo protok preko jednadžbe kontinuiteta vezali uz srednju brzinu: Izjednačavanje daje: ili: Željko Andreić Mehanika fluida P5 41
Laminarno tečenje u cilindričnoj cijevi 9 Omjer prosječne i maksimalne brzine naziva se koeficijent brzine: a Corioliss-ov koeficijent je: Kod laminarnog strujanja ga ne smijemo zanemariti. Željko Andreić Mehanika fluida P5 42
Koeficijenti trenja za laminarno tečenje Kombiniranjem izraza za maksimalnu brzinu i koeficijent brzine dolazimo do izraza za gubitke: odn. Kod laminarnog tečenja gubici su proporcionalni srednjoj brzini tečenja. Prije smo za gubitke našli izraz: odn. Željko Andreić Mehanika fluida P5 43
Koeficijenti trenja za laminarno tečenje 2 Usporeñivanjem odgovarajučih izraza (za tlak odn. za visinu) dobijamo izraz za koeficijent trenja za laminarno tečenje: gdje je R e Reynolds-ov broj: Ako presjek "cijevi" nije okrugao, konstanta u brojniku se mijenja, pa se za takve cijevi koristi poopćeni izraz: Željko Andreić Mehanika fluida P5 44
Koeficijenti trenja za laminarno tečenje 3 1,6 ϕ fi 1,5 1,4 1,3 1,2 1,1 1 0,9 0,8 b a 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 b/a Željko Andreić Mehanika fluida P5 45
Koeficijenti trenja za laminarno tečenje 4 paralelne ploče: ϕ=1,5 kvadratni presjek: ϕ=0,89 kružni presjek: ϕ=1,00 pravokutni presjek 1/0,44: ϕ=1,00 Željko Andreić Mehanika fluida P5 46
Duljina formiranja laminarnog toka U prijelaznom području otpor strujanju je veći od konačnog jer se dio energije fluida troši na njegovo ubrzavanje (odlazi u kinetičku energiju fluida!). Željko Andreić Mehanika fluida P5 47