Bočno-torziono izvijanje etalne konstrukcije 1 P7-1
etalne konstrukcije 1 P7-
etalne konstrukcije 1 P7-3
Teorijske osnove Problem je prvi analizirao Timošenko. Linearno elastična teorija bočno-torzionog izvijanja. Osnovne pretpostavke su: materijal idealno elastičan; nosač idealno prav (nema geometrijskih imperfekcija); sprečena je torziona rotacija na osloncima (viljuškasti oslonci); poprečni presek nosača je obostrano simetričan i konstantan duž raspona nosača (I presek); poprečni presek zadržava svoj oblik nakon deformacije; moment inercije I z je mnogo manji od I y ; deformacije su male (sinj =j; cosj=1); etalne konstrukcije 1 P7-4
Deformisan oblik nosača y cosj y y sinj y j T y dv dx etalne konstrukcije 1 P7-5
Osnovne diferencijalne jednačine problema y EI y d w( x) dx Savijanje oko jače y-y ose y j EI z d v( x) dx Savijanje oko slabije z-z ose T y dv dx GI t dj EI dx w d 3 dx j 3 Torzija EI y EI z I t I w krutost na savijanje oko jače ose, krutost na savijanje oko slabije ose, torzioni moment inercije, sektorski moment inercije, etalne konstrukcije 1 P8-6 v, w i j nepoznata generalisana pomeranja. P7-6
Diferencijalna jednačina bočno-torzionog izvijanja EI w 4 d j GI 4 dx t d j dx EI y z j 0 Granični uslovi j( 0) 0 d j( 0) j( 0) 0 dx j(l) 0 d j( L) j( L) 0 dx Pretpostavljen oblik rešenja j( x) A sin( m x) B cos( m x) C sh( n x) D ch( n x) etalne konstrukcije 1 P7-7
Kritičan moment bočno-torzionog izvijanja - cr EIz Iw L cr L I z GI EI t z ili cr EI z EI GI t L L w Dati izrazi važe za viljuškasto oslanjanje na krajevima i konstantan dijagram momenata. Označava se i sa cr,e! EI z GI t I w L krutost na savijanje oko slabije ose, torziona krutost sektorski moment inercije, raspon nosača (razmak tačaka bočnog pridržavanja). etalne konstrukcije 1 P7-8
Faktori od uticaja na vrednost cr Krutost nosača (I t, I z i I w ); Uslovi bočnog oslanjanja; Način naprezanja (oblik dijagrama momenata savijanja); Položaj poprečnog opterećenja u odnosu na centar smicanja poprečnog preseka; Oblik poprečnog preseka (simetričan ili monosimetričan); etalne konstrukcije 1 P7-9
Različiti uslovi oslanjanja i opterećenja etalne konstrukcije 1 P7-10
Uticaj dijagrama momenata savijanja cr EI z EI m cr, E m GI t L L w m m 175, 105, 0, 3 m, 56 P7-11
Parametar m
odifikovan izraz za kritičan moment cr EI z k Iw kl GIt cr C1 g 3 j g 3 kl kw Iz EI z C 1 C C 3 k i k w z g z j C z C z C z C z koeficijent koji uvodi u proračun različite oblike dijagrama momenata (C 1 = m ); koeficijent kojim se uzima u obzir položaj poprečnog opterećenja u odnosu na centar smicanja; koeficijent kojim se uzima u obzir nepoklapanje težišta i centra smicanja; koeficijenti kojima se obuhvataju različiti uslovi oslanjanja; rastojanje između centra smicanja i tačke u kojoj deluje opterećenje; parametar koji uzima u obzir stepen asimetrije poprečnog preseka kod monosimetričnih preseka; Za kompleksnije slučajeve cr može da se odredi primenom FE ili prikladnog softvera (npr. LTBeam) P7-13 j
Koeficijenti C 1, C i C 3 etalne konstrukcije 1 P7-14
onosimetrični poprečni preseci i uticaj položaja opterećenja z g z Q z s Rastojanja (z Q i z s ) su pozitivna kada se nalaze u prtisnutom delu preska, a negativne kada se nalaze u zategnutoj zoni! z j z s etalne konstrukcije 1 P7-15 1 I y A ( y z ) z da
etalne konstrukcije 1 P7-16
Uticaj položaja poprečnog opterećenja na vrednost cr etalne konstrukcije 1 P7-17
Granična nosivost nosača na bočnotorziono izvijanje Uticaj imperfekcija (zaostali naponi, početne geometrijske imperfekcije,...); Granična vrednost momenta nosivost ( u ) je manja od kritičnog momenta bočno-torzionog izvijanja ( cr ) ; Stvarno ponašanje nosača odstupa od bifurkacionog modela stabilnosti etalne konstrukcije 1 P7-18
Bočno-torziono izvijanje nosača sa početnim geometrijskim imperfekcijama v x ( x) 0 sin L 0 x j0( x) 0 sin L 0 0 N cr cr, z početna imperfekcija bočnog pomeranja (savijanje oko z-z ose) početna imperfekcija obrtanja preseka (uniformna i ograničena torzija) odifikovane diferencijalne jednačine: y v( x) ( j j ) EI 0 z d v( x) dx y / cr x 0 sin 1 / L y cr vrednost amplituda početnih imperfekcija su međusobno zavisne! GI Rešenja diferencijalne jednačine: t dj EI dx j( x) w 0 3 d j 3 dx y 1 y / y cr / d( v v0 ) dx cr x sin L etalne konstrukcije 1 P7-19
Uticaj geometrijskih imperfekcija etalne konstrukcije 1 P7-0
Graničan moment nosivosti na bočno-torziono izvijanje u aksimalan napon u najopterećenijem preseku (x=l/): max, Ed W y, Ed el, y EI W z el, z d v x j dx x Graničan moment u se dobija iz uslova h s / x L / max, Ed f y u y, Rk Φ LT 1 Φ LT LT ΦLT 1 1 LT uticaj početnih imperfekcija etalne konstrukcije 1 P7-1
Relativna (bezdimenzionalna) vitkost za bočno-torziono izvijanje LT y, Rk cr cr kritični moment bočno-torzionog izvijanja; y,rk karakterističan moment nosivosti poprečnog preseka; y,rk = y,pl za preseke klase 1 i ; y,rk = y,el za preseke klase 3; y,rk = y,eff za preseke klase 4. etalne konstrukcije 1 P7-
Veza granični moment - bezdimenzionalna vitkost etalne konstrukcije 1 P7-3
Proračun nosivosti elementa na bočnotorziono izvijanje prema EC3 Ed b, Rd 1,0 b, Rd LTWyfy / 1 W y W W W pl, y el,min, y eff,min, y zaklase 1i zaklasu 3 zaklasu 4 Ed proračunska vrednost momenta savijanja; b,rd proračunska nosivost na bočno-torziono izvijanje; LT bezdimenzionalni koeficijent bočno-torzionog izvijanja; W y odgovarajući otporni moment; granica razvlačenja. f y etalne konstrukcije 1 P7-4
Bezdimenzionalni koeficijent bočnotorzionog izvijanja LT Evrokod 3 daje dve alternative za proračun: Opšta metoda (za sve oblike preseka, daje konzervativnije vrednosti); etoda za standardne vrućevaljane profile i ekvivalentne (obostrano simetrične) zavarene profile. Pored toga, postoji uprošćena metoda za mestimično bočno-pridržane nosače u zgradarstvu. etalne konstrukcije 1 P7-5
Opšta metoda LT LT 1 LT LT 1 LT 0, 51 LT ( LT 0, LT ) LT koeficijent imperfekcije za bočno-torziono izvijanje Oblik poprečnog preseka Vrućevaljani I preseci Zavareni I preseci h/b h/b h/b h/b Kriva izvijanja a b c d LT 0,1 0,34 0,49 0,76 Ostali poprečni preseci - d 0,76 etalne konstrukcije 1 P7-6
etoda za vrućevaljane profile LT 0, 51 LT ( LT LT, 0 LT ) 0,75 LT, 0 0, 4 Poprečni preseci Vrućevaljani I preseci Zavareni I preseci h/b h/b h/b h/b Kriva izvijanja b c c d LT 0,34 0,49 0,49 0,76 etalne konstrukcije 1 P7-7
Poređenje opšte metode i metode za valjane profile 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 Opšta metoda etoda za valjane profile 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0,0 0,0 0,5 1,0 1,5,0,5 3,0 etalne konstrukcije 1 P7-8
odifikovana vrednost koeficijenta LT,mod LT, mod f LT 1 f 1 0, 5 ( 1 ) 1 ( 0, 8) k c LT k c 1 / C1 1/ m Uticaj oblika dijagrama momenat se uzima preko modifikovanog koeficijenta. odifikovani koeficijent LT,mod se koristi umesto koeficijenta LT. Ne primenjuje se za opštu metodu! etalne konstrukcije 1 P7-9
Kada ne treba kontrolisati bočno-torziono izvijanje? Kod nosača koji su kontinualno, ili dovoljno često bočno pridržani u nivou pritisnute nožice; Kod nosača zatvorenih poprečnih preseka kružnog i kvadratnog poprečnog preseka; Kod poravougaonih šupljih profili kod kojih je odnos visina/širina preseka manji od 10 (h/b < 10), ili (prema Kaimu): h / b 10 / gde je z z relativna vitkost na izvijanje oko slabije z-z ose; Bočno-torziono izvijanje nije merodavno kada je relativna vitkost manja od 0,4, kao i kada je: y, Ed cr LT /,0 0, 16 etalne konstrukcije 1 P7-30
ere za povećanje nosivosti na bočnotorziono izvijanje Problem bočno-torzionog izvijanja može se reši sledećim konstruktivnim merama: obezbeđenjem bočnog pridržavanja pritisnute nožice, progušćavanjem tačaka njenog bočnog pridržavanja, promenom oblika poprečnog preseka nosača, odnosno usvajanjem poprečnih preseka koji su manje osetljivi (HEA, HEB), ili neosetljivi na bočno-torziono izvijanje kao što su zatvoreni (sandučasti) poprečni preseci. etalne konstrukcije 1 P7-31
Kontrola razmaka tačaka bočnog pridržavanja Kod bočno pridržanih nosača u zgradarstvu bočno-torziono izvijanje ne treba proveravati kada je: f k i c f, z Lc 1 c0 c, Rd y, Ed L c razmak između susednih tačaka bočnog pridržavanja; k c koeficijent korekcije kojim se uzima u obzir oblik dijagrama momenata; i f,z poluprečnik inercije ekvivalentne pritisnute nožice; 1 vitkost na granici razvlačenja; y,ed maksimalna proračunska vrednost momenta savijanja između tačaka pridržavanja; c,rd proračunska nosivost poprečnog preseka na savijanje oko y-y ose; granična relativna vitkost LT, 0 1 0, 4 0, 1 0 5 c 0 0, c 0, etalne konstrukcije 1 P7-3
Ekvivalentna pritisnuta nožica etalne konstrukcije 1 P7-33
Uprošćena metoda za mestimično bočno pridržane nosače u zgradarstvu Kod bočno pridržanih nosača kod kojih razmak tačaka bočnog pridržavanja nije dovoljno mali, odnosno kada je relativna vitkost ekvivalentne pritisnute nožice veća od granične, moment nosivosti na bočno-torziono izvijanje može da se odredi kao: b, Rd kfl c, Rd k fl koeficijent modifikacije (Evrokod 3 preporučuje: k fl = 1,10); bezdimenzionalni koeficijent izvijanja ekvivalentne pritisnute nožice. Koeficijent k fl se određuje na osnovu relativne vitkosti ekvivalentne pritisnute nožice i odgovarajuće krive izvijanja: - kriva d za zavarene preseke kod kojih je h/t f 44 ; - kriva c za sve ostale preseke; gde je h ukupna visina poprečnog preseka, a t f debljina pritisnute nožice. etalne konstrukcije 1 P7-34
Bočno pridržavanje nosača m 0, 51 1 m h e0 ml / 500 Spreg mora da bude sposoban da prihvati uticaje u svojoj ravni: q d e0 q e0 Ed q 8 NEd 8 L h L Ed maksimalna proračunska vrednost momenta savijanja duž nosača; e 0 imperfekcija; q deformacija sprega u svojoj ravni usled opterećenja q (Iterativan postupak kako bi se uzeli uticaji II reda); Kada se za proračun primenjuje teorija II reda: q =0; m broj nosača koji su pridržani spregom; h visina nosača etalne konstrukcije 1 P7-35