1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD

1. Reaalarvud 1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD Arvu mõiste hakkas kujunema aastatuhandeid tagasi, täiustudes ja üldistudes koos inimkonna arenguga. Juba ürgühiskonnas tekkis vajadus teatavaid hulki võrrelda, selleks aga tuli nende hulkade elemente loendada. Nii tekkis meile kooliõpingutest esimesena tuntuks saanud naturaalarvude hulk N: N= { 0; 1; 2; 3;...} 1. Et loendamise teel on nulli raske saada, siis ei kuulunud see arv esialgu tuntud arvude hulka 2. Alles 7. sajandil sõnastasid india matemaatikud reeglid arvu 0 kasutamiseks. Oleme õppinud nelja põhitehet naturaalarvudega. Need on liitmine ja korrutamine ning nende pöördtehted lahutamine ja jagamine. 1. Täitke tabel, valides arvudeks a ja b võimalikult erinevaid naturaalarve. Milliste tehete korral saame alati öelda, et tehte tulemus on naturaalarv? Nr. a b a + b a b a b a:b 1. 2. 3. 4. 5. 6. 3 7 10 21 4 3 7 1 Üldise naturaalarvude teooria üheks väljaarendajaks oli itaalia matemaatik G Peano (1858 1932). 2 Ka tänapäeval antakse välja õpikuid ja teisi matemaatika raamatuid, kus nulli ei loeta naturaalarvuks. 3

Eelmises ülesandes selgus, et vahe 3 7 ei ole naturaalarv. Seega, tundes vaid naturaalarve, ei saa me alati lahutamistehet sooritada. Siit ka vajadus laiendada naturaalarvude hulka uute arvudega nii, et saadud arvuhulgas oleks alati teostatav ka lahutamistehe. Võttes kasutusele naturaalarvude vastandarvud, osutubki see võimalikuks. Naturaalarvu n vastandarvu n defineerisime selliselt, et n+ ( n) = 0. Naturaalarvud koos oma vastandarvudega moodustavad täisarvude hulga Z: Z = {... 2; 1; 0; 1; 2;...}. Eraldi räägitakse veel positiivsete täisarvude hulgast + Z = 1; 2; 3;... ja { } negatiivsete täisarvude hulgast Z : Z = {... 3; 2; 1}. Niisiis + Z = Z { 0} Z ja N Z(joon. 1. 1) 1. + Z : Joon. 1. 1 Võtnud kasutusele vastandarvud, saame lahutamistehet tõlgendada liitmisena (vahet summana): a b= a+ ( b). Et igal täisarvul leidub vastandarv, siis on lahutamistehe täisarvude hulgas alati teostatav iga kahe täisarvu vahe on alati täisarv. Täisarvud liigituvad veel paaris ja paarituteks täisarvudeks. Täisarvu, mis jagub kahega, nimetatakse paarisarvuks. Ta on esitatav kujul 2n, kus n Z. Paaritud, st. kahega mittejaguvad täisarvud, esituvad aga kujul 2n + 1, kus n Z. 2. Valige ülesandes nr.1 lähtearvudeks a ja b võimalikult erinevaid täisarve. Milliste tehete korral võib alati öelda, et tehte tulemus on täisarv? 1 4 Positiivseid ja negatiivseid arve tunti juba vanas Hiinas umbes 200 a. e. Kr. Eeskirjad aritmeetiliste tehete sooritamiseks negatiivsete arvudega leiame aga esmakordselt 7. sajandi india matemaatikute töödest.

Äsja lahendatud ülesandes selgus, et täisarvude jagatis pole alati b 0, siis on jagatiseks täisarv, täisarv. Kui arv a jagub arvuga b ( ) vastasel juhul murdarv a b. Kui a ja b on samamärgilised, siis on see murd positiivne, kui erimärgilised, siis negatiivne. Laiendades täisarvude hulka murdarvudega, saame uue arvuhulga, kus on alati teostatav ka jagamistehe. Kõik täisarvud ning positiivsed ja negatiivsed murdarvud kokku moodustavad ratsionaalarvude hulga Q. (joon. 1.2). Et iga täisarvu saab avaldada jagatisena (näiteks 5 = ; 0= ), a 10 0 b 2 2 Joon. 1. 2 siis võime defineerida, et ratsionaalarvuks nimetatakse arvu, mis avaldub jagatisena a b, kus a Z, b Z ja b 0. Murdudega seoses oleme kasutanud veel järgmisi mõisteid: a a N, b N ja b 0 b a b a b 1 3 2 4 5 3 ; ; 2 7 5 ; ; 3 2 3 harilik murd ( ) lihtmurd ( < ) liigmurd ( ) 1 1 Segaarv naturaalarvu ja lihtmurru summa: 2 = 2 +. 2 2 Kümnendmurd murd, mis on kirjutatud koma abil, kus esimene number pärast koma tähendab kümnendikke, teine sajandikke, jne.: 7 5 3, 75 = 3 + +. 10 100 Ühte ja sama arvu võib esitada mitmel erineval kujul: 1 3 1 = = 1,5. 2 2 5

Iga ratsionaalarvu saab esitada kümnendmurruna, kui jagada lugeja nimetajaga. Siin esineb kaks erinevat olukorda: 1. Ühel juhul tekib lõplik kümnendmurd: 51 1,275. 40 = 2. Teisel juhul hakkab jagamisel mingi jääk korduma ja tekib lõpmatu perioodiline kümnendmurd: 17 17 : 6 2,833... 2,8(3). 6 = = = Et ka lõplikku kümnendmurdu on võimalik esitada lõpmatuna ja perioodilisena (1,275 = 1,27500 = 1,275(0)), siis võime öelda: 6 iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise kümnendmurruna. Kehtib ka vastupidine: iga lõpmatu perioodiline kümnendmurd esitab ratsionaalarvu. Näide. Avaldame lõpmatu perioodilise kümnendmurru x = 1,2(43) kahe täisarvu jagatisena. Lahendus. 1000x= 1243, 4343... 1 10x= 12,4343... a ja on a 990x= 1231 teineteise 1231 241 pöördarvud x = = 1. 990 990 A. 3. Millised järgnevatest arvudest on 1) naturaalarvud; 2) positiivsed ratsionaalarvud; 3) täisarvud; 4) mittepositiivsed naturaalarvud; 5) ratsionaalarvud; 6) teineteise vastandarvud; 7) mittenegatiivsed täisarvud; 8) teineteise pöördarvud; 9) paarisarvud; 10) paaritud arvud? 1,5 1 7 12 40 2 5 21,01 1000 2 4 12,5 15 5 3 7 15 0 40 2,3 0,005

4. Millised eelmises ülesandes toodud arvudest on esitatud 1) hariliku murru kujul; 2) liigmurru kujul; 3) segaarvu kujul; 4) kümnendmurru kujul? 5. Tooge näiteid ratsionaalarvudest, mis ei ole 1) naturaalarvud; 2) täisarvud ega harilikud murrud; 3) täisarvud; 4) naturaalarvud ega kümnendmurrud. 6. Tooge näiteid naturaalarvudest, mis 1) ei ole täisarvud; 2) ei ole positiivsed täisarvud; 3) on ratsionaalarvud; 4) on täisarvud. 7. Millised järgnevatest lausetest on tõesed? 1. Iga naturaalarv on täisarv. 2. Iga ratsionaalarv on täisarv. 3. Iga täisarv pole ratsionaalarv. 4. Iga naturaalarv on positiivne. 5. Leidub ratsionaalarve, mis pole täisarvud. 6. Leidub naturaalarve, mis pole ratsionaalarvud. 7. Leidub täisarve, mis on naturaalarvud. 8. Leidub naturaalarv, mis pole positiivne. 9. Iga harilik murd on täisarv. 10. Iga naturaalarv on esitatav hariliku murruna. 11. Leidub harilikke murde, mis on täisarvud. 12. Leidub lihtmurd, mis on naturaalarv. 8. Arvutage arvude 7 ja 13 1) summa vastandarv; 2) vastandarvude vahe; 3) vahe pöördarv; 4) pöördarvude summa; 5) pöördarvude vahe ja vastandarvude summa jagatis; 6) vastandarvude summa ja pöördarvude vahe korrutis. 9. Avaldage kümnendmurruna. 1) 7 81 ; 2) 16 80 ; 3) 9 ; 25 4) 7 2 5 ; 5) ; 6). 9 3 18 10. Avaldage kahe täisarvu jagatisena. 1) 0,(5); 2) 1,34(5); 3) 0,4(12); 4) 1,(4); 5) 0,7(5); 6) 2,2(34). 7

B. 11. Lahutage ülesandes nr. 9 olevate murdude nimetajad algteguriteks. 1. Milliste murdude nimetajate algteguriteks on vaid arvude 2 ja 5 astmed? 60 2 2. Millised taandumatud murrud teisenevad lõplikuks 30 2 kümnendmurruks, millised mitte? 15 3 3. Põhjendage püstitatud hüpotees. Uurige selleks 5 5 järgnevat näidet: 1 1 3 3 3 5 5 75 = = = = 0,075 40 2 2 2 5 2 5 2 5 2 5 1000 12. 1. Avaldage kahe täisarvu jagatisena murrud 0,(7); 0,(76) ja 0,(765). Sõnastage reegel analoogiliste lõpmatute perioodiliste kümnendmurdude teisendamiseks harilikeks murdudeks. 2. Avaldage kahe täisarvu jagatisena murrud 0,2(5), 0,2(54), 0,2(543) ja 0,12(54). Sõnastage reegel analoogiliste kümnendmurdude teisendamiseks harilikeks murdudeks. 1.2. IRRATSIONAAL- JA REAALARVUD 13. Lõigates ruudu, mille pindala on 1 ruutühik (rü), pooleks mööda tema diagonaali, saame kaks võrdset kolmnurka pindalaga 0,5 rü. Kas neljast sellisest kolmnurgast on võimalik moodustada ruut, mille pindala on 2 rü? Lahendades ülaltoodud ülesannet ning tundes vaid ratsionaalarve, on täiesti loomulik järgmiste küsimuste tekkimine. 1. Milline on saadud ruudu külje pikkus? 2. Mis liiki arv väljendab sellise ruudu külje pikkust? 3. Kas see arv saab olla täisarv? (Uurige järjestikuste täisarvude ruute!) 4. Kas see arv saab olla mingi täisarvust erinev ratsionaalarv, s.o. mingi taandumatu murd a, kus ja, 0 ning 1? b a b Z b b Teoreem. Ei leidu ratsionaalarvu, mille ruut on 2. 8

Tõestus. Oletame vastupidiselt väitele, et selline ratsionaalarv siiski leidub, ja tähistame ta sümboliga 2. Eelnevas selgus, et 2 ei saa olla täisarv. Järelikult võib ta olla mingi taandumatu murd kujul a b, kus a ja b on ühistegurita. Seega 2 a a a a a a 2 = ehk 2 = = =. b b b b b b Et arvud a ja b on ühistegurita arvud (neil puuduvad ühised algtegurid) ja arvu ruutu tõstmine ei lisa uusi algtegureid, siis on ka murd a a taandumatu ega saa võrduda arvuga 2. Järelikult pole b b õige ka meie oletus, et otsitav arv on ratsionaalarv. Seega on olemas veel arve, mida me seni pole vaadelnud. Neid arve nimetatakse irratsionaalarvudeks 1. Irratsionaalarvu 2 paiknemist arvteljel iseloomustavad järgmised võrratused: 2 2 1 < 2 < 2 1 = 1; 2 = 4 ; ( ) 2 2 ( ) 2 2 ( ) 1, 4 < 2 < 1,5 1, 4 = 1,96; 1,5 = 2, 25 ; 1,41 < 2 < 1,42 1,41 = 1,9881; 1,42 = 2,016. Täpsemad arvutused näitavad, et 2 = 1, 4142135623373... Et 2 pole ratsionaalarv, siis pole ta ka lõpmatu perioodiline kümnendmurd. See arv avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna. Arvu, mis avaldub lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, nimetatakse irratsionaalarvuks. Igal irratsionaalarvul on vastandarv. Teineteise vastandarvud paiknevad arvteljel nullpunkti suhtes sümmeetriliselt. Irratsionaalarvude hulka tähistatakse tähega I. Sinna kuuluvad näiteks arvud: 3 5 2; 3; 7; π jt. Laiendades ratsionaalarvude hulka irratsionaalarvudega, saame reaalarvude hulga R: R=I Qja Q R. 1 ld. irrationalis mõistusega mittehaaratav. Analoogilise probleemi ees oldi Antiik-Kreekas juba 2500 aastat tagasi. 9

Et iga ratsionaalarv avaldub lõpmatu perioodilise ja irratsionaalarv lõpmatu mitteperioodilise kümnendmurruna, siis võime öelda, et iga reaalarv avaldub lõpmatu kümnendmurruna. Arvuhulkade laiendamist kirjeldab kokkuvõtvalt järgnev joonis 1.3. Joon. 1. 3 A. 14. Leidke arvutil 1; 0,1 ja 0,01 ühiku pikkused vahemikud, kus paikneb arv 3. 15. Tõestage, et 3 on irratsionaalarv. 16. Millised järgnevatest arvudest on 1) naturaalarvud; 2) täisarvud; 3) ratsionaalarvud; 4) irratsionaalarvud; 5) reaalarvud; 6) mittepositiivsed irratsionaalarvud? 4 13,5 5 π 144 0 9 17. Millised järgnevatest lausetest on tõesed? 1. Kõik naturaalarvud on reaalarvud. 2. Kõik täisarvud on naturaalarvud. 3. Mõni täisarv on naturaalarv. 4. Ükski ratsionaalarv pole täisarv. 5. Ükski irratsionaalarv pole täisarv. 10 3 100,01 8 3 2 5

6. Kõik irratsionaalarvud on reaalarvud. 7. Mõni reaalarv on täisarv. 8. Mõni ratsionaalarv on täisarv. 9. Kõik ratsionaalarvud on reaalarvud. 10. Ükski naturaalarv pole täisarv. 18. Leidke arvutil 1 ja 0,1 ühiku pikkused vahemikud, kus paikneb arvude 2; 2 3 ja 3 2 aritmeetiline keskmine. B. 19. Olgu r reaalarv. Millised järgmistest arvudest on kindlasti suuremad kui r? 100 2 r+ 1; 2 r; r ; r + 1. 20. Olgu p paaritu täisarv ja n suvaline täisarv. Milline järgnevatest väidetest kehtib arvu p 2 + npkohta? 1. See arv on alati paaritu arv. 2. See arv on alati paarisarv. 3. See arv on paarisarv vaid siis, kui n on paarisarv. 4. See arv on paaritu arv vaid siis, kui n on paaritu. 5. See arv on paaritu vaid siis, kui n on paarisarv. 21. Tõestage, et kahe järjestikuse paaritu täisarvu ruutude vahe jagub kaheksaga. 22. Arvutage korrutis 1 3 5 7 99 101.... 5 7 9 11 103 105 23. Millised on jada kaks järgnevat liiget? 1 2 8 8 ; ; 1; ;... 2 3 5 3 24. Kastis on 20 punast, 20 rohelist, 20 kollast, 5 sinist ja 5 valget ühesuurust kuulikest. Kuule võetakse nende värvust nägemata. Mitu kuuli tuleb vähemalt võtta, et nende seas oleks kindlasti 1) 10 ühevärvilist; 2) vähemalt üks punane, üks roheline ja üks kollane kuul? 11

1.3. ARVUHULKADE OMADUSI 25. Kirjeldage arvuhulkade üldisi omadusi, kasutades järgnevas esitatud definitsioone. 12 Arvuhulka nimetatakse järjestatuks, kui iga tema kahe arvu a ja b korral kehtib üks kolmest võimalusest, kas a>b või a=b või a<b. 1. Millised arvuhulkadest N, Z, Q, I ja R on järjestatud? 2. Millistes neist hulkadest leidub vähim arv? 3. Millistes neist hulkadest ei leidu ei vähimat ega suurimat arvu? Arvuhulgas leiab aset vahetu järgnevus, kui igale arvule a järgneb arv a + 1 selliselt, et nende arvude vahele ei jää ühtegi selle hulga teist arvu. 4. Milliste vaadeldud arvuhulkade korral saab rääkida arvude vahetust üksteisele järgnemisest? Arvuhulka nimetatakse tihedaks, kui iga tema kahe erineva arvu vahel leidub veel sama hulga arve. 5. Milline on arvude a ja b ning nende aritmeetilise keskmise suurusjärjestus? 6. Tooge näide täisarvudest, mille aritmeetiline keskmine pole täisarv. 7. Kas leidub ratsionaal- (reaal)arve, mille aritmeetiline keskmine pole ratsionaal- (reaal)arv? 8. Millised vaadeldud arvuhulkadest on tihedad? (Põhjendustes toetuge alapunktides 5 7 saadule.) Arvuhulka nimetatakse kinniseks mingi tehte suhtes, kui selle hulga iga kahe arvu korral kuulub alati samasse hulka ka vaadeldava tehte tulemus. 9. Tooge näide naturaalarvudest, mille vahe pole naturaalarv. 10. Tooge näide täisarvudest, mille jagatis pole täisarv. 11. Milliste tehete suhtes on kinnised arvuhulgad N, Z, Q Q + ja R R +? 12. Milliste tehete suhtes on kinnine irratsionaalarvude hulk?

Kui arvuhulga igale arvule vastab üks kindel arvtelje punkt ja vastupidi, igale arvtelje punktile vastab üks kindel selle arvuhulga arv, siis öeldakse, et see arvuhulk on pidev. 13. Millistele arvtelje punktidele ei vasta täisarve? 14. Konstrueerige sirkli ja joonlauaga arvteljel punkt, millele ei vasta ratsionaalarvu (lähtuge näiteks ruudust). 15. Milline vaadeldud arvuhulkadest on pidev? Lähtudes eelmises ülesandes saadust, võime sõnastada arvuhulkade järgmised omadused: Naturaalarvude hulk N 1) on järjestatud lõpmatu hulk, milles on vähim, kuid pole suurimat arvu; 2) on hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge; 3) on hulk, mis on kinnine liitmis- ja korrutamistehte suhtes. Täisarvude hulk Z 1) on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv; 2) on hulk, milles arvud järgnevad vahetult üksteisele ega kata kogu arvtelge; 3) on hulk, mis on kinnine liitmis-, korrutamis- ja lahutamistehte suhtes. Ratsionaalarvude hulk Q 1) on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv; 2) on tihe arvuhulk, s. t. iga kahe ratsionaalarvu vahel paikneb alati veel ratsionaalarve. Ka need arvud ei kata kogu arvtelge; 3) on hulk, mis on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Reaalarvude hulk R 1) on järjestatud lõpmatu hulk, milles puudub nii vähim kui ka suurim arv; 2) on pidev arvuhulk, s. t. need arvud katavad kogu arvtelje. Igale arvtelje punktile vastab üks kindel reaalarv ja igale reaalarvule vastab mingi kindel punkt arvteljel; 3) on hulk, mis on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja nullist erineva arvuga jagamise suhtes. Ruutjuur mittenegatiivsest reaalarvust on alati reaalarv. 13

1.4. PÕHITEHTED REAALARVUDEGA JA NENDE OMADUSED Põhitehteks naturaalarvude hulgas on liitmine ja korrutamine ning nende pöördtehted lahutamine ja jagamine. Iga uus arvuhulga laiendamine eeldab laiendatavas hulgas kasutusel olnud tehete defineerimist uute lisatavate arvude puhul. Seejuures peavad säilima järgnevas tabelis esitatud tehete põhiomadused. Kommutatiivsus e. vahetuvus Assotsiatiivsus e. ühenduvus Korrutamise distributiivsus e. jaotuvus liitmise suhtes 14 a+ b= b+ a ab = ba a+ ( b+ c) = ( a+ b) + c abc ( ) = ( ) ab ( + c) = ab+ ac abc Üleminekul naturaalarvude hulgast täisarvude hulka säilivad nimetatud põhiomadused, kui tehetel negatiivsete arvudega järgi- a; b N : takse järgmisi eeskirju ( ) 1. a+ ( b) = b+ ( a) = ( a+ b) ; b a, kui b> a + = + = ( a b), kui b < a; 2. a b b ( a) 3. a+ a= a+ ( a) = 0 ; 4. a( b) = b( a) = ab; 5. ab = b ( a) = ab. Tehete põhiomaduste säilimine üleminekul täisarvude hulgast ratsionaalarvude hulka tagatakse järgmiste eeskirjadega: a c ad ± bc 1. ± =, b 0 ja d 0 ; b d bd a c ac 2. =, b 0 ja d 0 ; b d bd a c ad 3. : =, b 0, c 0 ja d 0. b d bc Täpsemate selgitusteta võtame teatavaks, et ka tehteid irratsionaalarvudega on võimalik defineerida selliselt, et üleminek ratsionaalarvude hulgast reaalarvude hulka säilitab tehete põhiomadused.

Irratsionaalarvudega arvutamisel piirdutakse nende ligikaudsete väärtustega ehk lähenditega. Näiteks sajandikeni ümardatult on π 3,14; 2 1, 41 ja 3 1,73. Kui arvud on esitatud kujul π, 2 või 3, siis öeldakse, et on antud irratsionaalarvu täpne väärtus. Irratsionaalarvu täpne väärtus võib olla esitatud ka juuremärke sisaldava avaldisena: 3 5; 5 2 ja π 1. A. 26. Arvutage arvude 21 ja 7 1) summa; 2) vahe; 3) korrutis; 4) jagatis; 5) vastandarvude vahe vastandarv. 27. Arvutage. 1) 2 4 5; 2) 2 4( 5); 3) 2 (4 5); 4) 2( 4 5); 5) 2( 4) 5; 6) 2( 4) ( 5); 7) 15 : 5 3; 8) 15 : ( 5) 3; 9) 15 : (5 3). 28. Järjestage arvud arvutit kasutamata kasvavas järjekorras. 3 17 37 18 1) ; ; ; 0,7; 0,7( 5 ); ; 0,7( 42) ; 4 25 50 25 2 1 1 3 2) ; ; 0,4() 1 ; ; 0, ( 3 ); ; 0,1( 23). 5 10 4 20 29. Leidke arvude 5 6 ja 1 pöördarvude summa ning vastandarvude 3 vahe jagatis. 30. Leidke arvude 4 ja 6 summa pöördarvu ning pöördarvude summa vahe. 31. Arvutage. Vastus esitage hariliku murruna või segaarvuna. 3 2 1) 1, 4 ( 7) ; 2) 0,3( 15) + 1 ; 10 11 10 11 3) 0,3( 21) + ; 4) 4, ( 7) 1 ; 11 25 9 1 5) 1, 2 ( 5) ; 6) 0, ( 42 ):1 ; 113 99 15

7) 8) 9) 16 1 14 2 3 3 1 5 5 7 2 : 2 + 1 9 15 3 5 4 20 7 14 ; 23 49 1 1 1 41 40 4 3 2 1 : 0,16 84 60 2 7 5 ; 29 7 1 1 2 7 41 18 5 10 7 : 22 72 8 4 2 3. 8 32. Kas klassiruumitäis limonaadi maksab rohkem või vähem kui 150 000 krooni maksev auto? Klassitoa mõõtmed on 6 m, 12 m ja 3,5 m ning 0,(3) liitrit limonaadi maksab 7 kr. ja 20 senti. 33. Ringi diameeter on 7 cm. Arvutage ringi pindala ja ringjoone pikkuse 1) täpne väärtus; 2) ligikaudne väärtus, mis ei erine täpsest enam kui 0,1 ühiku võrra. 34. Ruudu tipud asuvad ringjoonel. Mitu protsenti moodustab ruudu pindala ringi pindalast? Esitage vastus täpse arvuna. 35. Maakera ekvaatori pikkus on ca 40 000 km. Kui palju pikeneks ekvaator, kui maakera raadius suureneks 1 m võrra? 36. Ringil ja ruudul on võrdne ümbermõõt. Kui suure osa ringi pindalast moodustab ruudu pindala? B. 37. Uurige seaduspärasusi arvude 1 10 korrutustabelis. 1. Milline on erinevate korrutiste esinemissagedus tabelis? Milline korrutis esineb tabelis kõige sagedamini, milline kõige harvemini? 2. Millised naturaalarvud puuduvad tabelist? Miks? 3. Millised arvud asuvad tabeli peadiagonaalil (ülalt vasakult alla paremale)? 4. Mida võib öelda peadiagonaali suhtes sümmeetriliste arvude kohta? Põhjendage. 5. Leidke tabelis oleva suvalise arvu seoseid tema naaberarvudega. Näiteks tabelis on neli korda arv 12. Leidke igal juhul arvu 12 seos temaga vahetult külgnevate (a) horisontaalsihis, (b) vertikaalsihis olevate arvudega. Põhjendage püstitatud hüpotees. Kas analoogiline omadus kehtib ka juhul, kui vaatleme antud arvust sama kaugel asuvaid arve?