FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITA KOMENSKÉHO v Bratislave DIPLOMOVÁ PRÁCA 005 Renáta Broová
FAKULTA MATEMATIKY, FYZIKY A INFORMATIKY UNIVERZITA KOMENSKÉHO v Bratislave KATEDRA ASTRONÓMIE, FYZIKY ZEME A METEOROLÓGIE Výpočet šírenia seiickýc vĺn konečno-diferenčnou scéou na čiastočne striedavo usporiadanej sieti DIPLOMOVÁ PRÁCA Vypracovala: Renáta Broová Vedúci diploovej práce : prof. RNDr. Peter Moco, DrSc. Bratislava, Apríl 005
Prelasuje, že diploovú prácu so vypracovala saostatne na áklade vedoostí ískanýc štúdio a konultácií a uváda všetky literárne praene, ktoré so použila. 1
Moje poďakovanie patrí v prvo rade prof. RNDr. Petrovi Mocovi, DrSc. a cenné rady a venovaný čas. Ďakuje tiež a výnanú pooc Mgr. Joefovi Kristekovi, PD. a Mgr. Martinovi Gálisovi, ako i celéu Oddeleniu seiológie na GFÚ SAV a vytvorenie príjenýc podienok pri písaní diploovej práce.
OBSAH Úvod 4 1. Nuerické odelovanie v seiológii 6 1.1 Úvod do probleatiky 6 1. Metóda konečnýc diferencií 7 1.3 Forulácia poybovýc rovníc, konečno-diferenčné scéy a siete 9. Analýa konečno-diferenčnýc scé na čiastočne striedavo usporiadanej sieti 14.1 Poybová rovnica a konečno-diferenčná scéa na čiastočne striedavo usporiadanej sieti 14. Konistentnosť scéy.3 Podienky stability pre neoraničené oogénne prostredie 18.4 Sieťová disperia.5 Nuerické výsledky pre sieťovú disperiu 5.6 Lokálna cyba 30.7 Nuerické výsledky vyšetrovania lokálnej cyby 3.8 Závery k disperii a lokálnej cybe 36 3. Nuerické odelovanie šírenia seiickýc vĺn na čiastočne striedavo usporiadanej sieti 37 3.1 Výpočtový progra PSG_DVS 37 3. Pokrytie výpočtovej oblasti čiastočne striedavo usporiadanou sieťou 39 3.3 Siulácia droja 40 3.4 Vstupné údaje 45 3.5 Presné riešenie 47 4. Nuerické výsledky 50 4.1 Bodový dislokačný droj 50 4. Analýa FD scé na PSG a SG 51 4.3 Exploívny droj 53 Záver 61 Literatúra 6 Príloa č.1 64 Príloa č. 83 3
Úvod Presnosť a výpočtová efektívnosť sú ákladnýi aspekti nuerickéo odelovania šírenia seiickýc vĺn a seiickéo poybu počas eetrasení etódou konečnýc diferencií. Metóda konečnýc diferencií je forálne aplikovateľná na štrukturálne ložité prostredia. Je relatívne jednoducá a ľako prograovateľná. Táto robustnosť etódy je dôvodo, prečo je etóda konečnýc diferencií v súčasnosti doinantnou etódou nuerickéo odelovania seiickéo poybu v trojroerne neoogénnyc štruktúrac. Metóda á však obedenia, najä pri ipleentácií ložitýc okrajovýc podienok, na ktoré neožno abúdať pri plánovaní nuerickýc siulácií pre daný seiologický problé. Dostatočnú výpočtovú efektívnosť ožno dosianuť len na áklade optialiácie nárokov na paäť počítača a výpočtový čas, ak á byť etóda aplikovaná na dostatočne ložitý odel. Toto sú dôvody, prečo aj po troc desaťročiac intenívnej aplikácie etódy konečnýc diferencií seiológovia stále ľadajú presnejšie a výpočtovo efektívnejšie scéy pre siuláciu seiickéo poybu v čora realistickejšíc odeloc vnútra Zee. Predložená práca je venovaná analýe konečno-diferenčnýc scé 4. rádu presnosti v priestore. Konkrétne ide o skúanie presnosti troc konečno-diferenčnýc scé na tv. čiastočne striedavo usporiadanej sieti (v literatúre aj rotated staggered grid scee. Tento typ scé je v poslednýc rokoc nova využívaný, keďže neožno vylúčiť, že v porovnaní so scéai na konvenčnýc sieťac a scéai na striedavo usporiadanýc sieťac ôže ať pri riešení niektorýc probléov výody. V 1. kapitole práce je uvedený stručný úvod do probleatiky nuerickéo odelovania v seiológii, popísaná je etóda konečnýc diferencií. Ďalej sú v kapitole forulované poybové rovnice kontinua a popis viacerýc konečnodiferenčnýc scé a sietí.. kapitola je venovaná popisu vybranýc scé na čiastočne striedavo usporiadanej sieti, overená je podienka konistencie a určená podienka stability pre tieto scéy. Analyovaná je disperia scé. Je porovnaná s disperiou konečno diferenčnej scéy na striedavo usporiadanej sieti. Koniec kapitoly je venovaný určeniu lokálnej cyby scé a jej porovnaniu s lokálnou cybou na striedavo usporiadanej sieti. V 3. kapitole je popísaný algoritus výpočtu šírenia seiickýc vĺn v oogénno, elasticko a iotrópno prostredí, siulácia droja a vstupné údaje príslušnéo výpočtovéo prograu. Posledná 4. kapitola je venovaná nuerický výsledko výpočtov seiickéo poybu. Uvedená je i krátka analýa konečno-diferenčnýc scé na čiastočne striedavo usporiadanej sieti a striedavo usporiadanej sieti a nej vyplývajúce dôvody, ktoré nás viedli k použitiu exploívneo droja. 4
V Závere práce sú rnuté výsledky analýy scé a výsledky nuerickýc výpočtov a nic vyvodené ďalšie postupy analýy scé na čiastočne striedavo usporiadanej sieti v nuericko odelovaní seiickéo poybu. V Príloe č.1 sú uvedené vybrané konečno-diferenčné scéy na čiastočne striedavo usporiadanej sieti, forulácia v posunutí a napätí, 3D, 4. rád presnosti v priestore,. rád presnosti v čase a ic obráky a konečno-diferenčná scéa na čiastočne striedavo usporiadanej sieti pre scéu A ( bodovú, forulácia v posunutí, rýclosti a napätí, 3D, 4. rád presnosti v priestore,. rád presnosti v čase. V Príloe č. sú scéy siulácie drojov použitýc vo výpočtoc. V práci sú použité výpočty ískané výpočtovýi prograai: SOURTF progra na výpočet časovej funkcie droja, autor J. Kristek, KAFZM, FMFI UK v Bratislave PDS0 progra na výpočet presnéo riešenia šírenia seiickýc vĺn v neoraničeno, oogénno, elasticko priestore pre bodový dislokačný droj, naprograovaný podľa Aki & Ricards (1980, autor J. Kristek, KAFZM, FMFI UK v Bratislave DWN progra na výpočet približnéo riešenia šírenia seiickýc vĺn vo vrstveno oogénno, elasticko priestore etódou diskrétnyc vlnovýc čísel, naprograovaný podľa Boucon (1981, autor O. Coutant, Université Josep Fourier v Grenoble vo Francúsku. Uvedený autoro ďakuje a ožnosť použiť ic výpočtové progray v ojej práci. 5
1. Nuerické odelovanie v seiológii Obsao kapitoly je stručný úvod do probleatiky nuerickéo odelovania v seiológii. Uvedené sú viaceré výpočtové etódy, podrobnejšie je popísaná etóda konečnýc diferencií. Časť kapitoly je venovaná popisu konečno-diferenčnýc scé a sietí. 1.1 Úvod do probleatiky Zeské vnútro á ložitú štruktúru. Možno o deliť na päť lavnýc častí : kôra, vrcný plášť, spodný plášť, vonkajšie jadro a vnútorné jadierko. Tieto časti sú od seba oddelené výranýi ranicai diskontinuitai lavne ustoty prostredia a rýclostí seiickýc vĺn. Toto sú však len tie najvýranejšie ranice. V esko vnútri sa nacáda noo enej výranýc raníc. Okre too najvrcnejšia časť Zee je načne neoogénna (tektonické loy, ponárajúce sa litosférické dosky, sedientárne baény. Všetky tieto eterogenity ovplyvňujú šírenie seiickýc vĺn a seiický poyb. Na všetkýc diskontinuitác sa ôžu seiické vlny odrážať, láať, eniť svoju polariáciu, rýclosť a aplitúdu. Z uvedenéo vyplýva, že na realistický popis šírenia seiickýc vĺn a seiickéo poybu ná nestačia jednoducé odely, ktoré je ožné riešiť analyticky. Často je nutné uvažovať ložité štruktúry a preto je nutné dané probléy riešiť približnýi etódai. Výpočty usia aŕňať spoínané diskontinuity (eterogenity vo vnútri Zee, realistický útl, topografiu povrcu Zee. Taktiež usia dávať dobré výsledky pre dostatočný rosa frekvencií. Pri odelovaní seiickéo droja je nutné arnúť realistickú geoetriu loovej plocy, eterogenitu počiatočnéo napätia na loe a ákon trenia. Pri to všetko je nutné brať do úvay presnosť, výpočtovú náročnosť a efektívnosť výpočtu. Je rejé, že pravdepodobne nie je ožné vyyslieť jedinú etódu, ktorá by aŕňala všetky vyššie spoenuté detaily, a ároveň by bola dostatočne presná a výpočtovo efektívna pre rône odely eskéo vnútra. Preto vniklo v seiológii veľké nožstvo približnýc výpočtovýc etód, ktorýc každá je vodná pre určitý typ odelu. Zruba ic ožno deliť na vysokofrekvenčné etódy a níkofrekvenčné etódy. Z prvej skupiny je najdôležitejšia lúčová etóda. Vysokofrekvenčné etódy sú dôležité najä v štrukturálnej seiológii a pri ľadaní nerastnýc surovín. Níkofrekvenčné etódy ôžee deliť na raničné etódy (napr. etóda diskrétnyc vlnovýc čísel, raničnýc integrálnyc rovníc, raničnýc prvkov, doénové etódy (napr. etóda konečnýc diferencií, konečnýc prvkov, spektrálnyc prvkov a ybridné etódy. Výodou raničnýc etód je, že uožňujú presné arnutie raničnýc podienok. Ic presnosť je vyššia ako doénovýc etód. Nevýodou sú vysoké nároky na výpočtovú paäť. Doénové etódy sú v porovnaní s raničnýi 6
etódai enej presné, ale uožňujú výpočet šírenia seiickýc vĺn a seiickéo poybu aj v koplikovanejšíc odeloc, pretože nároky na výpočtovú paäť sú enšie. Hybridné etódy kobinujú dve až tri výpočtové etódy. Rolišujee dva prístupy. Pri prvo prístupe je jednou etódou počítaná časť odelu a ďalšou vyšná časť. V druo prístupe sú jednou etódou počítané ávislé preenné na určitýc neávislýc preennýc a ďalšou etódou ávislé preenné na vyšnýc neávislýc preennýc. Takto ožno využiť výody danýc etód a ároveň potlačiť ic nevýody. 1. Metóda konečnýc diferencií V súčasnosti v nuericko odelovaní šírenia seiickýc vĺn a seiickéo poybu doinuje etóda konečnýc diferencií (ďalej ju budee onačovať FDM, podľa anglickéo finite-difference etod. FDM je forálne aplikovateľná na štrukturálne ložité odely, výpočtovo efektívna a relatívne ľako prograovateľná. Metóda á probléy s ipleentáciou ložitýc okrajovýc podienok. Dostatočnú výpočtovú efektívnosť ožno dosianuť len na áklade optialiácie nárokov na paäť počítača a výpočtový čas. FDM je etódou priaeo nuerickéo riešenia diferenciálnyc rovníc. Metóda používa aproxiáciu derivácie funkcie v dano bode poocou odnôt danej funkcie v okolitýc bodoc. Pri aplikovaní FDM na daný problé postupujee nasledovne: Výpočtovú oblasť pokryjee priestorovo-časovou sieťou. Uvažuje štvordienionálny priestor preennýc (x, y,, t. Tento priestor pokryjee sieťou diskrétnyc bodov (,,, x y t, pričo i k l x = x + i x, y = y + k y, = + l, t = t + t, i 0 k 0 l 0 0 kde ikl=,, 0, ± 1, ±,...; = 0,1,. x, y a naývae sieťové kroky, t naývae časový krok. Funkcie, počiatočné a raničné podienky diskretiujee v bodoc siete. Predpokladáe, že funkcie, ktoré diskretiujee, sú spojité a ladké. Funkciu u( xyt,,, aproxiujee diskrétnou sieťovou funkciou (,,, i k l ikl funkcie v dano bode onačíe u( x, y,, t u,, ikl,, U. U x y t. Hodnotu i k l =, jej diskrétnu aproxiáciu V bodoc siete aproxiujee derivácie poocou konečno-diferenčnýc forúl. Uvažuje funkciu f(x, ktorá á spojitú prvú deriváciu. Poto prvú deriváciu v bode x 0 ôžee vyjadriť nasledovne 7
df dx df dx df dx ( x 0 ( x 0 ( x 0 ( + - ( f x0 f x0 = li, 0 f ( x0 - f ( x0- = li, 0 f ( x0+ - f ( x0- = li. 0 V danej sieti je veľkosť určená veľkosťou sieťovéo kroku (a teda je dola oraničená, preto neožno dané liity vypočítať. Hodnota derivácie funkcie je určená len približne ako rodiel funkčnýc odnôt funkcie v bodoc siete, predelený vdialenosťou bodov. Ponáe tri ákladné konečno-diferenčné forule, ktoré ožno dostať použití Taylorovo rovoja funkcie f(x okolo bodu x 0, ( n ( 0 n ( ( n ( n f x f f ( x = å x- x, kde f x =, (1.1 0 0 n n= 0 n! x x= x t.j. forward forulu, backward forulu a centrálnu forulu: 0 ( + - ( df f x0 f x0 ( x0 = &, dx df f ( x0 - f ( x0- ( x0 = &, dx df f ( x0 + - f ( x0- ( x0 = &. dx (1. Prvé dve forule sú aproxiácie prvej derivácie prvéo rádu, tretia je aproxiácia druéo rádu. Rád aproxiácie je určený rádo cyby aproxiácie. Napríklad aproxiácia druéo rádu naená, že lavný cybový člen je úerný V posledno kroku je nutné overiť konistenciu, konvergenciu a stabilitu odelu. Onače si poybovú rovnicu a Hookov ákon ako systé parciálnyc diferenciálnyc rovníc PDR a systé konečno-diferenčnýc rovníc (ktoré sú ic aproxiáciou ako KDR. Ak rodiel edi KDR a PDR sa blíži k nule pre časový a sieťový krok blížiaci sa k nule, poto je KDR konistentný s PDR. Podienku konistencie ôžee apísať ako. PDR- KDR 0, ak t 0, 0. (1.3 Ak rodiel edi riešení KDR a presný riešení PDR sa blíži k nule pre časový a sieťový krok blížiaci sa k nule, poto je KDR konvergentný. T.j. 8
u - u 0, ak t 0, 0, (1.4 PDR KDR kde u PDR je riešenie PDR a u KDR je riešenie KDR. KDR je stabilný, ak jeo riešenie je oraničené, keď riešenie PDR je oraničené. KDR je nestabilný, ak jeo riešenie je neoraničené, keď riešenie PDR je oraničené. Podrobnejší úvod do etódy konečnýc diferencií je ožné nájsť napríklad v prácac Mitcell a Griffits (1994, Morton a Mayers (1994, Moco (1998, Durran (1999, Moco et al. (004. 1.3 Forulácia poybovýc rovníc, konečno-diferenčné scéy a siete Poybová rovnica kontinua a Hookov ákon (vťa edi napätí a deforáciou, konštitučný ákon spolu s počiatočnýi a raničnýi podienkai plne popisujú šírenie seiickýc vĺn a seiický poyb. Vo všeobecnosti sú poybová rovnica a Hookov ákon parciálne diferenciálne rovnice. Pre elastické prostredie ic ožno apísať v tvare ρu&& = τ, + f, (1.5 i ij j i τ = c e, (1.6 ij ijkl kl r r kde i, jklî,, { 1,,3 }, ρ ( x r je ustota prostredia, u( xt, r r tenor napätia, e( xt, r r a f ( xt, je vektor posunutia, ( xt, τ r r je tenor deforácie, cijkl ( x r je tenor elastickýc koeficientov je vonkajšia sila pôsobiaca na jednotkový obje. Pre uvedené rovnice platí suačná konvencia a napr. τ, ij j τij =, tenor elastickýc koeficientov vyjadriť v tvare x j u&& i ui = t. V iotrópno prostredí ožno je cijkl = λδijδ kl + µδ ( ikδ jl + δδ il jk, (1.7 r r sú Laéove elastické koeficienty, δ ij je Kroneckerov delta sybol kde λ ( x, µ ( x δ ij = 1 ak i= j, δ = 0 ak i¹ j. ij Tenor deforácií ôžee vyjadriť ako prostredie á Hookov ákon, rovnica (1.6, tvar e kl 1æ uk u ö l = + x x, poto pre iotrópne ç è ø l k 9
( τ = λδ u, + µ u, + u,. (1.8 ij ij k k i j j i Rolišujee štyri ákladné typy forulácií poybovýc rovníc kontinua a Hookovo ákona. Vo forulácii v posunutí a napätí vystupuje poybová rovnica oddelene od Hookovo ákona: ρu&& = τ, + f, i ij j i ( τ = λδ u, + µ u, + u,. ij ij k k i j j i (1.9 Ak v poybovej rovnici použijee iesto druej časovej derivácie posunutia prvú časovú deriváciu rýclosti (rýclosti, ktorou sa poybuje častica, ďalej Hookov ákon a doplňujúcu definíciu rýclosti, ovoríe o forulácii v posunutí, rýclosti a napätí: ρv& = τ, + f, i ij j i τ = λδ u, + µ u,, ij ij k k i j u& = v, i i (1.10 r r vi kde v( xt, je vektor rýclosti a v& i =. t Ak v poybovej rovnici použijee prvú časovú deriváciu rýclosti a na Hookov ákon aplikujee časovú deriváciu, ovoríe o forulácii v rýclosti a napätí: ρv& = τ, + f, i ij j i ( τ& = λδ v, + µ v, + v,, ij ij k k i j j i (1.11 τij kde τ& ij =. t Ak Hookov ákon dosadíe do poybovej rovnice, dostanee foruláciu v posunutí: ( ρu&& = λ, δ u, + µ, u, + u, + f, (1.1 i j ij k kj j i jj j ij i kde, napr., λ uk λ, j=, uk, kj = x x x. j k j Poocou vyššie uvedenýc aproxiácií derivácií a diskretiácií funkcií, ôžee poybovú rovnicu kontinua a Hookov ákon prepísať na systé konečno-diferenčnýc algebraickýc rovníc. Spolu s konečno-diferenčnou sieťou tvoria konečno-diferenčnú scéu. Konečno-diferenčné scéy sa nelíšia teda len výbero forulácie poybovýc rovníc, ale aj voľbou konečno-diferenčnej siete. Siete sa líšia geoetric- 10
ký usporiadaní bodov a uiestnení ložiek vektora posunutia (rýclosti, tenora napätia, Laéovýc elastickýc koeficientov a ustoty prostredia v bodoc siete. Uvažuje elastické, iotrópne prostredie. Ulai siete budee naývať body siete, v ktorýc sú uiestnené ložky vektora posunutia u r (alebo rýclosti v r, tenora napätia τ r a paraetre prostredia - Laéove elastické koeficienty λµ, a ustota prostredia ρ. V praxi sa najčastejšie používajú pravoulé siete. Uly pravoulýc sietí sú vo vrcoloc pravidelnýc štvoruolníkov v D prípade, resp. vo vrcoloc pravidelnýc štvorbokýc ranolov v 3D prípade. Existujú siete, ktoré nie sú pravoulé. Ic uly sú usporiadané napr. do nepravidelnýc štvoruolníkov, pravidelnýc šesťuolníkov (pre D prípad; pre 3D sú to k ni prislúcajúce telesá. Môžee ovoriť o pravidelnýc a nepravidelnýc sieťac. V pravidelnýc sieťac je dĺžka sieťovéo kroku neenná ( x= y= =, v nepravidelnýc sa ení. Ak ovoríe o pravidelnej pravoulej sieti, uly siete sú vo vrcoloc štvorcov v D a vo vrcoloc kociek v 3D prípade. Uvažuje, napríklad, nuerické odelovanie šírenia seiickýc vĺn v sedientárno údolí v skalno podloží. Pri acovaní presnosti výpočtu v pevnejšo prostredí ôžee voliť väčší sieťový krok ako v sedientoc. Podľa usporiadania ložiek vektora posunutia (rýclosti, tenora napätia a paraetrov prostredia v sieti ôžee ovoriť o konvenčnýc sieťac, striedavo usporiadanýc sieťac a čiastočne striedavo usporiadanýc sieťac. V konvenčnej sieti sú v každo ule siete uiestnené všetky ložky vektora posunutia u r (rýclosti v r a paraetre prostredia λ, µ a ρ. Najčastejšie sa pre túto sieť používa forulácia v posunutí poybovýc rovníc. Nevýodou konečnodiferenčnej scéy na konvenčnej sieti sú nestability vo výpočte a vysoká sieťová disperia v prostrediac s vysoký Poissonový poero (Poissonov poer súvisí s poero edi rýclosťai podĺžnyc a priečnyc seiickýc vĺn. UVW,,, Ďalšou nevýodou je nutnosť paätať si λµρ,, všetky odnoty ložiek posunutia a napätia počas výpočtu. Obráok pravidelnej pravoulej konvenčnej siete je na Obr.1. V praxi sa používajú aj iné geoetrické usporiadania konvenčnej Obr. 1 Konvenčná sieť siete. Striedavo usporiadaná sieť, ďalej ju budee v práci onačovať ako SG (podľa anglickéo staggered grid je pravidelná pravoulá sieť. Ak uvažujee 3D prípad, poto SG vyerá nasledovne. V pravo dolno vrcole kocky sú uiestnené norálové ložky tenora napätia. V sere osi x je vo vrcole kocky uiestnená U ložka posunutia (rýclosti, v sere osi y je to V ložka a v sere osi je W ložka. V sere osi od vrcolu kocky, v ktoro je U ložka posunutia, je uiestnená ložka tenoru napätia. S rovnakou logikou sú uiestnené vyšné ložky napätia. Jeden x T 11
vrcol kocky ostáva prádny, viď Obr.. Laéove elastické koeficienty sú vo vrcoloc kocky, kde sú ložky tenora napätia, ustota prostredia je vo vrcoloc kocky, kde sú ložky vektora posunutia (rýclosti. x / y U, ρ U xy T, µ xy T, µ xx yy V, ρ T y, µ T, T, T, V y µλ, W, ρ W x x Obr. Striedavo usporiadaná sieť Logika SG spočíva v to, že v ± susedstve danéo bodu sú práve tie veličiny, ktorýc deriváciu treba aproxiovať v dano bode. V súčasnosti je SG pravdepodobne najpoužívanejšia konečno-diferenčná sieť v nuericko odelovaní šírenia seiickýc vĺn a seiickéo poybu etódou konečnýc diferencií. Má však tiež ásadné probléy, najä so arnutí raničnýc podienok a topografie voľnéo povrcu. Čiastočne striedavo usporiadaná sieť, ďalej ju budee v práci onačovať ako PSG (podľa anglickéo partly staggered grid, je výnačná tý, že všetky ložky posunutia (rýclosti sú uiestnené v jedno ule siete a všetky ložky tenora napätia sú tiež uiestnené v jedno ule siete, rôno od predcádajúceo ula. Laéove elastické koeficienty sú v uloc, v ktorýc sú ložky tenora napätia, ustota prostredia je v ule, v ktoro sú ložky vektora UVWρ,,, xx yy T, T, T, xy x y T, T, T, µλ, Obr. 3 Čiastočne striedavo usporiadaná sieť posunutia (rýclosti, viď Obr. 3. PSG ôže byť výodnejšie použiť, v porovnaní so SG, v špecifickýc probléoc ako napr. pre aniotrópne prostredie, pri odelovaní dynaiky droja. Práve preto, že všetky ložky posunutia (napätia sú v jedno ule siete. Pravdepodobne prvý použil PSG vo svojej práci Andrews (1973. Magnier et al. (1994 použili vo svojej práci PSG, ktorá nie je pravoulá, ale jej áklad tvorí pravidelný šesťuolník. Bolo nutné vyvinúť nové konečno-diferenčné foruly, rône od (1., pretože odnota derivácie funkcie je aproxiovaná odnotai funkcie v okolitýc troc bodoc, pričo odnota derivácie funkcie je uiestnená v ťažisku rovnostrannéo trojuolníka a body, poocou ktorýc aproxiujee, vo vrcoloc toto trojuolníka (D prípad. Zang (1997 používa vo svojej práci PSG, ktorej áklad tvoria nepravidelné štvoruolníky (D prípad, ktoré u uožňujú lepšie vystinúť nerovinné diskontinuity. Hodnota derivácie funkcie je aproxiovaná 1
odnotai funkcie v okolitýc štyroc bodoc, ktoré sú vrcoli nepravidelnéo štvoruolníka. Saenger et al. (000 uvažovali vo svojej práci tv. rotated staggered grid. Tento náov siete vnikol o spôsobu odvodenia konečno-diferenčnéo operátora pre PSG. Vnikol rotáciou konečno-diferenčnéo operátora pre štandardnú SG. Ak však uvažujee aproxiácie vyššíc rádov, týto spôsobo (rotáciou je ožné nájsť len jednu veľkéo počtu ožností uiestnenia bodov, poocou ktorýc aproxiujee odnotu derivácie funkcie. V tejto práci sa budee venovať analýe vybranýc konečno-diferenčnýc scé na pravidelnýc pravoulýc PSG 4. rádu presnosti v priestore a. rádu presnosti v čase v 3D v elasticko, oogénno, iotrópno prostredí. 13
. Analýa konečno-diferenčnýc scé na čiastočne striedavo usporiadanej sieti Táto kapitola je venovaná popisu konečno-diferenčnýc scé na čiastočne striedavo usporiadanej sieti. Bola overená konistencia, konvergencia a stabilita scé, určené podienky stability. Ďalšia časť kapitoly je venovaná analýe sieťovej disperie na danýc scéac a jej porovnanie so sieťovou disperiou konečno-diferenčnej scéy na striedavo usporiadanýc sieťac. Posledná časť kapitoly je venovaná výpočtu lokálnej cyby danýc scé a táto je porovnaná s lokálnou cybou v konečnodiferenčnej scée na striedavo usporiadanej sieti..1 Poybová rovnica a konečno-diferenčná scéa na čiastočne striedavo usporiadanej sieti Uvažuje kartésky súradnicový systé (x, y, a elastické, oogénne a iotrópne prostredie. Hustota ρ a Laéove elastické koeficienty λ a µ sú teda priestorové r r konštanty. Uvažuje vektor posunutia uuvw (,, a tenor napätia τ ( τij ; i, jî{ xy,, } ako funkcie priestorovýc súradníc x, y, a času t. Neuvažuje žiadne objeové sily v prostredí. Poto poybová rovnica prostredia á tvar ρu = τ + τ + τ tt xx, x yx, y x, ρv = τ + τ + τ tt xy, x yy, y y, ρw = τ + τ + τ tt x, x y, y,,, (.1 a Hookov ákon ôžee apísať v tvare ( τ = λ + µ u + λv + λw, xx x y ( τ = λu + λ + µ v + λw, yy x y ( τ = λu + λv + λ + µ w, x y ( u v ( v w τ = µ + xy y x τ = µ + y y ( u w τ = µ + x x,,, (. kde, napr., u u, τ xx tt τ xx, x, ux u = = =. t x x 14
Rovnice (.1 a (. sú foruláciou poybovýc rovníc v posunutí a napätí. Foruláciu v posunutí a napätí budee onačovať sybolo DS (podľa anglickéo displaceent-stress. Uvažovanú oblasť pokryjee čiastočne striedavo usporiadanou sieťou - PSG. Uvažujee pravidelnú pravoulú sieť 3D prostredí. Body siete (uly, v ktorýc je lokaliovaný vektor posunutia sú vo vrcoloc kocky, uol, v ktoro je lokaliovaný tenor napätia, je v strede kocky, viď Príloa č.1. Potrebujee nájsť vorec pre aproxiáciu priestorovej derivácie v dano sere so 4. rádo presnosti. Na dosianutie 4. rádu presnosti aproxiácie potrebujee odnoty funkcie v sieťovýc bodoc, ktoré sa nacádajú v kocke 3 3 3, viď Obr. 1 v Príloe č.1. Máe teda k dispoícii 64 sieťovýc bodov, ktoré ôžee použiť na aproxiácie derivácií. Pri odvodovaní konečno-diferenčnej scéy pre PSG se postupovali podľa Franeka (004. Konečno-diferenčnú scéu budee ďalej onačovať ako FD scéu (podľa anglickéo finite-difference. Vo všeobecnosti Taylorov rovoj pre funkciu f ( x r r s n preennýi v okolí bodu aa ( 1,..., a n á tvar ì n j f x é x a δ ù ï í ê ú f a a ïî ë û å å. (.3 (,..., = ( - (,... 1 n k k 1 k ï j= 0 j! k= 1 δxk Predpokladaje, že v každo o spoínanýc 64 bodov ponáe odnotu funkcie f ( xy.,, Pre každý bod napíšee Taylorov rovoj danej funkcie so stredo v bode (0, 0, 0 do 4. rádu. Dostanee 64 rovníc. Vynásobe každú koeficiento { } b, iî 1,...,64. Rovnice sčítaje a lúče členy stojace pri rovnakej derivácii. Na i vyjadrenie prvej derivácie v sere x (resp. y, položíe súčet členov, ktoré stoja pri nej, rovný jednej, pri ostatnýc deriváciác položíe súčty členov rovné nule. Dostanee tak preurčenú sústavu 35 rovníc (Taylorov rovoj pre funkciu troc preennýc do 4. rádu presnosti obsauje 35 členov o 64 nenáyc b i. Je rouné predpokladať syetriu FD scé: funkčné odnoty v bodoc (uloc rovnako vdialenýc od osi (v sere ktorej ľadáe deriváciu a ároveň precáda bodo, v ktoro aproxiujee deriváciu, budú ať rovnakú váu, t.j. ic koeficienty b i sa budú rovnať. Týto spôsobo enšíe počet paraetrov, poocou ktorýc áe vyjadrené ostatné koeficienty b i, na dvanásť. Ďalej ôžee uvažovať rône doplňujúce podienky, t.j. voliť a paraetre rône odnoty. Napríklad ôžee inialiovať cybový člen, alebo inialiovať počet bodov vstupujúcic do aproxiácie (koeficienty i b pri nic položíe rovné nule a pod. Takto ôžee ískať rône aproxiácie pre danú deriváciu. Z dôvodu syetrie je vorec pre aproxiáciu derivácie v sere osi x rovnaký so vorco pre aproxiáciu derivácie v sere osi y, resp. osi, stačí len otočiť súradnú sústavu. ü ï ý ïþ 15
Bolo by časovo náročné preskúať vlastnosti všetkýc scé. Vybrali se preto tri nic. Scéa A poostáva o bodov, je to najenší ožný počet bodov, ktoré je potrebné uvažovať, ak ľadáe FD scéu 4. rádu presnosti v priestore. Scéa B je 3 bodová a astupuje scéy s prieerný počto bodov. Scéa F je 40 bodová a bola konštruovaná inialiovaní cybovéo člena. r r u xt, τ r xt r, ôžee Ako se uviedli v 1. kapitole, spojité funkcie ( a ( diskretiovať v bodoc siete. Pre rovnice (.1 a (. skonštruujee explicitnú DS FD scéu 4. rádu presnosti v priestore a. rádu presnosti v čase na PSG. Obráky scé a ic FD scéy sú uvedené v Príloe č. 1, pričo body v scéac sú očíslované podľa Obr. 1 v Príloe č. 1 (str. 65. Ic súradnice, vľado na stred so súradnicai ( ikl,,, sú uvedené na ačiatku príloy. Na Obr. 1 v Príloe č. 1 je náornenýc 64 bodov (biele krúžky, ktoré boli použité pri odvodovaní FD scé na PSG. Na Obr. v Príloe č. 1 (str. 68 je náornená FD scéa A, t.j. poloy bodov, poocou ktorýc aproxiujee odnotu derivácie funkcie (ložky vektora posunutia alebo ložky tenora napätia v bode so súradnicai ( ikl,,. Zápis FD scéy A v DS forulácií je na str. 66 68 v Príloe č.1. Analogicky na Obr. 3 v Príloe č. 1 (str. 73 je náornená FD scéa B, 3 bodová, jej ápis je na str. 69 73 a na Obr. 4 v Príloe č. 1 (str. 79 je náornená FD scéa F, 40 bodová, jej ápis je na str. 74 79. Pre aproxiáciu druej časovej derivácie. rádu presnosti se použili centrálnu diferenčnú forulu && 1 f( t B ( f ( t+ t - f ( t + f ( t- t, (.4 t kde f t je veľkosť časovéo kroku a f&& ( t =. t. Konistentnosť scéy Každá FD scéa usí spĺňať podienku konistencie, konvergencie a stability. Pri overovaní konistencie FD scé A, B, F se vycádali práce Moco (1998. Budee analyovať rovnicu pre ložku posunutia u a rovnicu pre ložku napätia Onače lineárne diferenciálne operátory pre dané rovnice L u 1 = utt - + + ρ ( xx, x yx, y x, ( τ τ τ L = λ + µ u + λv + λw. τ x y, xx τ.
ikl Nec,, U je diskrétna aproxiácia u u( x y t xx, xx aproxiácia τ τ ( x y t,, =,,, a ikl i k l xx, ikl,, T je diskrétna,, =,,,. Poto operátor pre FD scéu A pre dané ikl i k l rovnice á nasledujúci tvar (vyjadrené sú len aproxiácie derivácií v operátoroc pre FD scéu 1 1 L u = Uikl-Uikl - Uikl + ρ é ( 1 1 - + ( t,,,,,, ( xx T x U a x xx, xx, xx, xx, a Ti+ 3/, k-3/, l-3/ Ti-3/, k-3/, l- 3/ Ti+ 3/, k+ 3/, l-3/ Ti- 3/, k+ 3/, l-3/ xx, xx, xx, xx, + Ti+ 3/, k- 3/, l+ 3/ - Ti-3/, k- 3/, l+ 3/+ Ti+ 3/, k+ 3/, l+ 3/ Ti- 3/, k+ 3/, l+ 3/ - + - + ( - + xx, xx, xx, xx, b Ti+ 1/, k-1/, l-1/ Ti-1/, k-1/, l- 1/ Ti+ 1/, k+ 1/, l-1/ Ti- 1/, k+ 1/, l-1/ xx, xx, xx, xx, + Ti+ 1/, k- 1/, l+ 1/ - Ti-1/, k- 1/, l+ 1/ + Ti+ 1/, k+ 1/, l+ 1/ - Ti-1/, k + 1/, l + 1/ - + - + xy, x, ikl,, Tikl,, 1 T 1 + + ρ y ρ (, 1 L τ = ( λ + µ. é a ( Ui+, k-1, l-1- Ui-1, k-1, l- 1 + Ui+, k+, l-1 - Ui- 1, k+, l-1 + i+, k- 1, l+ i-1, k- 1, l+ i+, k+, l+ i- 1, k+, l+ + U - U + U - U + b Ui+ 1, k, l Ui, k, l Ui+ 1, k+ 1, l Ui, k+ 1, l + Ui+ 1, k, l+ 1 - Ui, k, l+ 1 + Ui+ 1, k 1, l 1 U ù + + i, k+ 1, l+ 1 - + - + i+ 1/, k+ 1/, l+ 1/ Wi+ 1/, k+ 1/, l+ λ 1/, V + λ + y y 1 9 kde a=-, b=. 96 3 Ak á byť scéa konistentná, usí platiť - ú + û ù + úû L - L 0 pre 0 t 0, u u L - L 0 pre 0 t 0. τ τ (.5 Do danýc scé a jednotlivé členy dosadíe ic Taylorove rovoje. Napríklad 1 U U U t U t O t ( 1 t, tt, 3 ikl, -, = ikl,, - ikl,, + ikl,, +, 17
kde T xx, x ikl,, xx xx xx, x 3 1 xx, xx 9 1 xx, xxx 7 3 Ti+ 3/, kl, = Tikl,, + Tikl,, + Tikl,, + Tikl,, + 4 3! 8 1 xx, xxxx 81 4 5 + Tikl,, + O (. 4! xx ikl,, T =, U x t, ikl,, ikl,, U =. t 4 4 Po úpravác dostanee výray typu Lu- L u = O( t + O ( a Lτ - L τ = O ( ktoré sa pre 0 t 0 blížia k nule. Analogicky ôžee overiť splnenie podienky konistencie pre všetky vyšné ložky vektora posunutia a tenora napätia a postup opakovať pre FD scéy B a F. Na áklade analýy ôžee konštatovať, že naše FD scéy sú konistentné. Platí teoré, ktorý ovorí o vájono vťau edi konistenciou, konvergenciou a stabilitou scéy: Ak je daná scéa konistentná a stabilná, poto je i konvergentná. V ďalšo nájdee podienku stability scé..3 Podienky stability pre neoraničené oogénne prostredie xx yy Budee postupovať podľa práce Moco et al. (000. Onače U, V, W, T, T,, xy x y T T, T, T diskrétne aproxiácie u, v, w, τ, τ, τ, τ, τ, τ. Budee xx yy xy x predpokladať cyby v U, V, W, T, T, T, T, T, = L a t= t v tvare xx yy y xy x T v bode x= I, y= K, y eu ( = AE, ev ( = BE, ew ( = CE, xx yy = 1 = = 3 xy x y = 4 = 5 = 6 et ( DE, et ( DE, et ( DE, et ( DE, et ( DE, et ( DE, (.6 kde E= exp i( - ω t+ ki+ k K+ kl, kde je dĺžka sieťovéo kroku, ω je ϕ x y x ulová frekvencia, vlnovéo vektora k r k x, k y a k sú ložky y δ Obr. 1 Definícia ulov δ a ϕ, ktoré určujú ser šírenia kx = kcosϕsin δ, ky = kcosϕcos δ, k = kcos δ, k = k r (.7 Definícia ulov δ, ϕ v kartésko súradno systée je obraená na Obr. 1, uly δ a ϕ sú 18
intervalu 0 δ π a 0 ϕ π. Vyšetrie šírenie cýb (.6 v sieti. Dosadení (.6 do FD scéy na PSG dostanee deväť rovníc o deviatic nenáyc A, B, C, D1, D, D3, D4, D5, D 6. Algebraické úpravy vedú k sústave rovníc, ktorú ožno sybolicky apísať nasledovne: éaù éξ X + β Σ ξ XY ξ XZ ù éaù ê ú ê ú ê ú, ëcû ξ XZ ξ YZ ξ Z + β Σ ëc úû û B γ = ξ XY ξ Y + β Σ ξ YZ B ê ú ê ú ê ú (.8 kde S, ω t t γ = S = sin, =, ξ = α - β, rýclosti šírenia seiickýc vĺn definované ako Σ = X + Y + Z, α a β sú λ + µ α =, ρ β µ =, α je ρ rýclosť podĺžnyc vĺn, v literatúre onačovanýc ako P vlny a β je rýclosť priečnyc vĺn, onačovanýc ako S vlny. Pre A scéu ajú X, Y, Z tvar æ3 ö æ3 ö æ3 ö æ1 ö æ1 ö æ1 ö X = asin k cos x k cos y k + bsin k x cos k y cos k, ç è ø çè ø çè ø çè ø è ç ø è ç ø æ3 ö 3 3 1 1 Y acos k æ ö x sin k æ ö y cos k æ ö bcos k æ ö æ 1 ö = + x sin ç k y è ø çè ø çè ø çè cos, ø k ç ç (.9 è ø è ø æ3 ö æ3 ö æ3 ö æ1 ö æ1 ö æ1 ö Z = acos k x cos k y sin k + bcos k x cos k y sin k, ç è ø çè ø èç ø çè ø çè ø çè ø 1 9 kde a=-, b=. 96 3 Sústava (.8 je odná so sústavou riešenou pri ľadaní podienky stability v práci Moco et al. (000. Rodiel je len v tvare výraov X, Y, Z a γ, čo však neení postup riešenia sústavy. Postup riešenia sústavy (.8 je uvedený v citovano článku. Riešení ískae dve podienky, dve neávislé rovnice, jednu pre P vlny, druú pre S vlny v tvare ( ( S = α X + Y + Z, S = β X + Y + Z. Tie ožno upraviť na konečný tvar 19
ω t t sin =± 4 α + +, (.10 ( 1 X Y Z ω t t sin =± 4 β + +. (.11 ( 1 X Y Z Rovnica (.10 prislúca P vlná, rovnica (.11 S vlná. Z rovníc (.10 a (.11 vyplývajú podienky stability pre P a S vlny. Platí, že ω t sin 1, pre ľubovoľné ω a t. Poto rovnice (.10 dostávae podienku stability pre P vlny 1 1 t. (.1 4 α Σ Podobne pre S vlny dostávae rovnice (.11 podienku 1 1 t 4 β Σ. (.13 Vo všeobecnosti je Σ funkciou štyroc preennýc, k, δ, ϕ, keďže kx, ky, ksú funkcie k, δ, ϕ. Je potrebné určiť aké axiu ôže Σ nadobúdať, pretože potrebujee určiť axiálny časový krok, ktorý ôžee voliť vo výpočte v to najoršo prípade tak, aby bola acovaná podienka stability scéy. Nájsť axiu funkcie Σ je ateaticky náročné, axiu Σ bolo určené na áklade Halada (004. Funkcia Σ je periodická v preennýc δ a ϕ a nadobúda axiu vo π π výnačnýc odnotác δ a ϕ, konkrétne pre δ = 0, Ù ϕ = 0,, π. Číselne æ 7 ö ax Σ=- ( a+ b = ç çè4ø. Viee, že α > β, preto ôžee obrať a spoločnú podienku stability pre S aj P vlny podienku (.1. Po dosadení ax Σ dostávae výsledný vťa, podienku stability pre FD scéu A na PSG 6 t. (.14 7 α 0
Definuje paraeter stability p, ktorý ná neskôr uožní vo výpočtoc sieťovej disperie uvažovať nie celý, ale iba určitý look axiálneo ožnéo časovéo kroku. 7 t p=, t.j. p 1. 6 α (.15 Pre B scéu pri ľadaní podienky stability postupujee analogicky ako pre A scéu. Predpokladáe cyby v tvare (.6, tvar vlnovéo vektora (.7. Algebraickýi úpravai dostanee sústavu troc rovníc o troc nenáyc, ktorú ožno apísať v tvare (.8. Rodiel nastáva v tvare výraov X, Y, Z. Pre B scéu vyerajú nasledovne: æ1 ö æ1 ö æ3 ö æ1 ö æ3 ö æ1 ö X = asin k cos x k cos y k + asin k x cos k y cos k + ç è ø çè ø çè ø çè ø çè ø çè ø æ3 ö 1 3 1 1 bsin k æ ö x cos k æ ö y cos k æ csin k ö æ ö æ 1 ö + + x cos k ç y è ø çè ø çè ø çè cos, ø k ç è ø çè ø æ1 ö æ1 ö æ3 ö æ1 ö æ3 ö æ1 ö Y = acos k x sin k y cos k + acos k x sin k y cos k + ç è ø çè ø çè ø çè ø çè ø çè ø (. æ3 ö 1 3 bcos k æ ö x sin k æ ö y cos k æ 1 ö æ1 ö æ1 ö + + cc çè ø çè ø çè os sin cos, ø k x k y k ç è ø è ç ø è ç ø æ1 ö æ1 ö æ3 ö æ1 ö æ3 ö æ1 ö Z = acos k x cos k y sin k + acos k x cos k y sin k + ç è ø çè ø è ç ø çè ø çè ø çè ø æ3 ö æ1 + bcos ç k x cos k ö 3 1 1 1 y çè sin æ k ö + ccos æ k ö x cos æ k ö y sin æ k ö, ø ç è ø çè ø çè ø çè ø çè ø kde 1 1 11 a=-, b=-, c=. 3 96 3 Pre B scéu platia výray (.10-(.13, len pod X, Y, Z uvažujee vťay (.. Ďalej platí, že Σ je funkciou štyroc preennýc, k, δ, ϕ a ľadáe jej axiu rovnakýc dôvodov ako pre A scéu. Napriek tou, že výray X, Y, Z pre A scéu sú iné ako pre B scéu, nadobúda Σ pre obe scéy rovnakú odnotu axia vo vyššie spoínanýc výnačnýc odnotác δ, ϕ. Teda aj pre B scéu platí ako podienka stability nerovnosť (.14 a platí i vťa (.15. Pre F scéu nastáva obdobná situácia ako pre B scéu. Vyššie uvedené vťay 1 9 ostávajú v platnosti, ení sa len tvar výraov X, Y, Z a kde a=, b=-, 768 56 3 45 c=- a d =. 56 18 1
æ3 ö æ3 ö æ3 ö X = asin k x cos k y cos k + ç è ø çè ø çè ø æ1 ö æ1 ö æ3 ö æ1 ö æ3 ö æ1 ö + bsin k x cos k y cos k + bsin k x cos k y cos k + ç è ø çè ø çè ø çè ø çè ø èç ø æ3 ö 1 csin k æ ö æ 1 ö æ1 ö æ1 ö æ1 ö + ç x cos k y çè cos sin cos cos, ø k + d k x k y k ç è ø çè ø çè ø è ç ø è ç ø æ3 ö æ3 ö æ3 ö Y = acos k x sin k y cos k + ç è ø çè ø çè ø æ1 ö 1 3 bcos k æ ö x sin k æ y cos k ö æ 1 ö æ3 ö æ1 ö + + b çè ø çè ø çè cos k sin x k cos y k + ø ç è ø è ç ø è ç ø æ3 ö æ1 ö æ1 ö æ1 ö æ1 ö æ1 ö + ccos k x sin k y cos k + dcos k x sin k y cos k, ç è ø çè ø çè ø çè ø çè ø çè ø æ3 ö 3 Z acos k æ ö æ x cos 3 ö = ç k y çè sin ø è k + ç ø çè ø æ1 ö æ1 ö æ3 ö æ1 ö æ3 ö æ1 ö + bcos k x cos k y sin k + bcos k x cos k y sin k + ç è ø çè ø è ç ø è ç ø è ç ø è ç ø æ3 ö 1 1 ccos k æ ö x cos k æ ö y sin k æ 1 ö æ1 ö æ1 ö (.17 + + dcos çè ø çè ø çè k x cos k y sin k, ø ç è ø çè ø çè ø Funkcia Σ pre F scéu á rovnakú odnotu axia ako pre A scéu a B scéu, preto pre F scéu tiež uvažujee ako podienku stability vťa (.14, vťa (.15 ostáva v platnosti..4 Sieťová disperia Rovnice (.10 a (.11, neuvažujúc áporné naienko, ôžee prepísať do tvaru 1 é t ω t= arcsin 4 c X Y Z + + ê ë ( 1 ù, (.18 úû kde c je v prípade P vĺn rýclosť α, v prípade S vĺn rýclosť β. Ulovú frekvenciu ω v sieti ôžee vyjadriť ako GRID c ω = π, (.19 λ GRID grid grid kde c a λ je fáová rýclosť a vlnová dĺžka v sieti. Definuje priestorový vorkovací poer s pre S vlny a pre P vlny priestorový vorkovací poer s p :
s=, sp =. (.0 GRID GRID λ λ S P Priestorový vorkovací poer určuje prevrátenú odnotu počtu sieťovýc krokov na vlnovú dĺžku. V prostredí ôžu byť generované a šíriť sa obidva typy vĺn súčasne. Musíe teda aplikovať jeden spoločný priestorový vorkovací poer. Pre danú frekvenciu f á S vlna kratšiu vlnovú dĺžku ako P vlna ( λ = c/ f, c je rýclosť α alebo β a α> β Þ λp > λs. Ak volíe pevnú axiálnu uvažovanú frekvenciu, t.j. iniálnu vlnovú dĺžku a pevný priestorový vorkovací poer (počet sieťovýc krokov na vlnovú dĺžku, bude P > S, kde P je sieťový krok pre P vlny a S je sieťový krok pre S vlny. Čí väčší sieťový krok, tý enšia výpočtová náročnosť FD scéy, ale je nutné brať do úvay najorší ožný prípad, preto usíe do dispernýc vťaov dosadiť priestorový vorkovací poer pre S vlny. Vorkovací poer s p pre P vlny ôžee vyjadriť poocou s ako s p s α =, kde r=. (.1 r β Rovnicu (.18 pre P vlny vydelíe α, pre S vlny β. Dosadíe vťay (.7, (.9, (.15, (.19, (.0 a (.1, čoo dostávae norovaný disperný vťa pre P vlny a S vlny v tvare kde, v prípade A scéy GRID α α GRID β β 71 r ì 6 ü = arcsinï í4 p Σ ï α ý 6π ps ïî 7 ïþ, (. 71 r ì 6 p ü = arcsinï í4 Σ ï β ý 6π ps ïî 7 r ïþ, (.3 ( ( ( Σ η= [ asin 3πς cosϕsinδ cos 3πς sinϕsinδ cos 3πς cosδ + ( πς ϕ δ ( πς ϕ δ ( πς δ ( πς ϕ δ ( πς ϕ δ ( πς δ + bsin cos sin cos sin sin cos cos ] + + [ acos 3 cos sin sin 3 sin sin cos 3 cos + + bcos( πς cosϕsinδ sin( πςsinϕsinδ cos( πς cos δ ] + [ acos( 3πς cosϕsinδ cos( 3πς sinϕsinδ sin( 3πς cosδ ( πς ϕ δ ( πς ϕ δ ( πς δ + b cos cos sin cos sin sin sin cos ], + (.4 s pričo η = α Þ ς = a η = β Þ ς = s. r 3
Rovnako ako v prípade vyšetrovania podienky stability pre scéy A, B, F, kde sa výsledné vťay líšili len vo funkcii Σ, budú sa disperné vťay pre scéy A, B, F líšiť len v tvare Σ η. Pre B scéu je ( ( ( Σ η = [ asin πς cosϕsinδ cos πςsinϕsinδ cos 3πς cosδ + ( πς ϕ δ ( πς ϕ δ ( πς δ ( πς ϕ δ ( πς ϕ δ ( πς δ + asin cos sin cos 3 sin sin cos cos + + bsin 3 cos sin cos sin sin cos cos + ( πς ϕ δ ( πς ϕ δ ( πς δ ( πς ϕ δ ( πς ϕ δ ( πς δ ( πς ϕ δ ( πς ϕ δ ( πς δ + csin cos sin cos sin sin cos cos ] + + [ a cos cos sin sin sin sin cos 3 cos + + a cos cos sin sin 3 sin sin cos cos + ( πς ϕ δ ( πς ϕ δ ( πς δ + bcos 3 cos sin sin sin sin cos cos + ( πς ϕ δ ( πς ϕ δ ( πς δ ( πς ϕ δ ( πς ϕ δ ( πς δ + c cos cos sin sin sin sin cos cos ] + + [ a cos cos sin cos sin sin sin 3 cos + a cos( πς cosϕsinδ cos( 3πςsinϕsinδ sin( πς cosδ + bcos( 3πς cosϕsinδ cos( πς sinϕsinδ sin( πς cosδ + + ( πς ϕ δ ( πς ϕ δ ( πς δ + c cos cos sin cos sin sin sin cos ] + (.5 a pre F scéu je ( ( ( Σ η = [ asin 3πς cosϕcosδ cos 3πςsinϕcosδ cos 3πς cosδ + ( πς ϕ δ ( πς ϕ δ ( πς δ + bsin cos cos cos sin cos cos 3 cos + ( πς ϕ δ ( πς ϕ δ ( πς δ ( πς ϕ δ ( πς ϕ δ ( πς δ + bsin cos cos cos 3 sin cos cos cos + + csin 3 cos cos cos sin cos cos cos + ( πς ϕ δ ( πς ϕ δ ( πς δ + ( πς ϕ δ ( πς ϕ δ ( πς δ ( πς ϕ δ ( πς ϕ δ ( πς δ + dsin cos cos cos sin cos cos cos ] + [ acos 3 cos cos sin 3 sin cos cos 3 cos + + bcos cos cos sin sin cos cos 3 cos + ( πς ϕ δ ( πς ϕ δ ( πς δ ( πς ϕ δ ( πς ϕ δ ( πς δ + bcos cos cos sin 3 sin cos cos cos + + ccos 3 cos cos sin sin cos cos cos + ( πς ϕ δ ( πς ϕ δ ( πς δ ( πς ϕ δ ( πς ϕ δ ( πς δ ( πς ϕ δ ( πς ϕ δ ( πς δ + dcos cos cos sin sin cos cos cos ] + + [ a cos 3 cos cos cos 3 sin cos sin 3 cos + + bcos cos cos cos sin cos sin 3 cos + ( πς ϕ δ ( πς ϕ δ ( πς δ ( πς ϕ δ ( πς ϕ δ ( πς δ + bcos cos cos cos 3 sin cos sin cos + + c cos 3 cos cos cos sin cos sin cos + ( πς ϕ δ ( πς ϕ δ ( πς δ + d cos cos cos cos sin cos sin cos ]. (.6 4
.5 Nuerické výsledky pre sieťovú disperiu Sieťová disperia FD scé A, B a F bola analyovaná na áklade vťau (.3 pre S vlny pre dva výnačné sery šírenia vĺn, konkrétne ser šírenia v sere osi x, t.j. ϕ = 0, o δ = 90 o, Obr., a ser šírenia v sere telesovej ulopriečky, t.j. δ = 54.74 y y ϕ = 45 o, Obr. 3. Pod pojo telesová ulopriečka (resp. ser telesovej ulopriečky budee v tejto i v nasledujúcic kapitolác cápať telesovú ulopriečku kvádra s roeri (1, 1, 1. Reálne prostredie, v ktoro sa vlny šíria, je neoogénne. V určitej oblasti rodiel rýclosti P vĺn a S vĺn je veľký (napr. sedienty, v inýc relatívne alý (skalné podložie. Túto carakteristiku prostredia určuje Poissonov poer σ daný vťao (.7 α σ = -β ( α -β o,. (.7 54,74 Ku každéu seru šírenia boli vykreslené disperné krivky Obr. 3 Šírenie v sere tel. ulopriečky pre odnoty Poissonovo poeru σ = 0.5, σ = 0.45a σ = 0.495. Boli uvažované aj rône odnoty paraetra stability p, vťa (.15. Disperné krivky boli vykreslené pre odnoty paraetra stability p = 1.0, p = 0.7, p = 0.4 a p = 0.1. Disperné krivky určujú ávislosť poeru GRID β ( β Obr. Šírenie v sere osi x GRID 45 x x / β od s (vorkovací poer, t.j. ako sa ení rýclosť šírenia S vĺn v sieti vľado na rýclosť šírenie S vĺn v dano prostredí (β od počtu sieťovýc krokov na iniálnu vlnovú dĺžku λ S. Na Obr. 4 sú vykreslené disperné krivky S vĺn pre scéy A, B a F pre vyššie uvedené tri odnoty Poissonovo poeru, pre ser šírenia v sere osi x. Pre každú o scé A, B a F sú v grafe vykreslené štyri krivky pre štyri odnoty paraetra stability p, ktoré boli uvedené vyššie. V grafe na osi x je vorkovací poer s= / λs, na osi y GRID GRID je poer β / β. Pre daný vorkovací poer odnota β / β rastie s odnotou p. Ako ôžee vidieť, krivky sú pre všetky tri scéy totožné (nie je to spôsobené alou rolišovacou scopnosťou; odnoty, ktoré boli vykreslené, sú rovnaké. Dve vertikálne priaky vynačujú odnoty vorkovacieo poeru s = 1/5 a s = 1/6, ktoré seiológovia používajú v nuerickýc siuláciác FD scéai 4. rádu presnosti na SG. Na Obr. 5 sú disperné krivky S vĺn pre scéy A, B a F pre tri odnoty Poissonovo poeru, pre ser šírenia v sere telesovej ulopriečky. Rovnako ako v prípade Obr. 4 se vykreslili štyri krivky pre štyri odnoty paraetra p. V toto 5
prípade sa disperné krivky scé A, B a F načne líšia, najenšiu disperiu vykauje scéa F, väčšiu scéa B a najväčšiu scéa A. Hodnoty poeru β GRID β pre odnotu vorkovacieo poeru s = 1/5 a s = 1/6 sú uvedené v Tab. 1. (pre ser šírenia v sere osi x a v Tab. (pre ser šírenia v sere telesovej ulopriečky. Z uvedenýc grafov vyplýva, že pre šírenie v sere osi x ajú tri scéy na PSG totožnú disperiu, ale v sere telesovej ulopriečky vykauje scéa A podstatne väčšiu disperiu ako vyšné dve scéy. Tieto scéy ajú v toto sere porovnateľnú disperiu. Z ďalšej analýy ôžee vylúčiť scéu F, ktorá á najväčšiu výpočtovú náročnosť, pretože ľadiska disperie nenaená žiadnu podstatnú výodu oproti scée B. Napriek veľkej disperii scéy A v sere telesovej ulopriečky budee scéu aj ďalej analyovať a to pre jej relatívnu jednoducosť. Na Obr. 6 sú disperné krivky S vĺn šíriacic sa v sere osi x pre scéu A na PSG a pre FD scéu na SG analyovanú v práci Moco et al. (000. Krivky sú vykreslené pre tri odnoty Poissonovo poeru a štyri odnoty paraetra p, tak ako GRID v predcádajúcic grafoc. Hodnoty poeru β / β pre vorkovacie poery s = 1/5 a s = 1/6 pre FD scéu na SG sú uvedené v Tab. 1 a Tab.. Z uvedenýc grafov na Obr. 6 vidíe, že disperia oboc scé je porovnateľná a rodiely sa enšujú s rastúci Poissonový poero. Na Obr. 7 sú disperné krivky S vĺn pre FD scéu A a FD scéu na SG pre tri odnoty Poissonovo poeru, štyri odnoty paraetra stability p, pre ser šírenia v sere telesovej ulopriečky. Je rejé, že scéa A vykauje oveľa väčšiu disperiu ako FD scéa na SG. Na Obr. 8 sú disperné krivky S vĺn pre FD scéu B a FD scéu na SG pre tri odnoty Poissonovo poeru, štyri odnoty paraetra stability p, pre ser šírenia v sere osi x. Disperia obidvoc scé je porovnateľná a rodiely sa enšujú s rastúci Poissonový poero. Na Obr. 9 sú disperné krivky S vĺn pre FD scéu B a FD scéu na SG pre tri odnoty Poissonovo poeru, štyri odnoty paraetra stability p, pre ser šírenia v sere telesovej ulopriečky. Scéa B á oršiu disperiu ako FD scéa na SG, ale jej disperná krivka neklesá tak prudko, ako v prípade scéy A pre tento ser šírenia. Z Tab. vidíe, že rodiel edi scéou B a scéou na SG je pre s = 1/5 približne 0,015 a s = 1/6 na úrovni tisícin. 6
δ=90 ϕ=0 1,1 1,1 1,1 1,0 1,0 1,0 0,9 0,9 0,9 0,8 0,8 0,8 0,7 0,7 0,7 0,6 0,5 σ=0,5 0,0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 σ=0,45 0,5 0,0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 σ=0,495 0,5 0,0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 Obr. 4 Disperné krivky pre šírenie S vĺn v sere osi x. Na osi x grafu je poer / λ s, na osi y je GRID poer β / β, plná krivka scéa A, čiarkovaná - scéa B, bodkovaná scéa F δ=54.74 ϕ=45 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 σ=0,5 0,5 0,0 0,1 0, 0,3 0,4 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 σ=0,45 0,5 0,0 0,1 0, 0,3 0,4 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 σ=0,495 0,5 0,0 0,1 0, 0,3 0,4 Obr. 5 Disperné krivky pre šírenie S vĺn v sere telesovej ulopriečky. Na osi x grafu je poer λ, na osi y je poer β / β, plná krivka scéa A, čiarkovaná - scéa B, / s bodkovaná scéa F GRID s =1/5 s =0.5 s=0.45 s=0.495 PSG A PSG B PSG F SG PSG APSG B PSG F SG PSG APSG B PSG F SG p =1.0 1,0057 1,0057 1,0057 0,9946 0,9937 0,9937 0,9937 0,9908 0,9898 0,9898 0,9898 0,9895 p =0.7 0,997 0,997 0,997 0,9919 0,9915 0,9915 0,9915 0,9901 0,9896 0,9896 0,9896 0,9894 p =0.4 0,9919 0,9919 0,9919 0,990 0,9900 0,9900 0,9900 0,9896 0,9894 0,9894 0,9894 0,9894 p =0.1 0,9895 0,9895 0,9895 0,9894 0,9894 0,9894 0,9894 0,9894 0,9894 0,9894 0,9894 0,9894 s =1/6 s =0.5 s=0.45 s=0.495 PSG A PSG B PSG F SG PSG APSG B PSG F SG PSG APSG B PSG F SG p =1.0 1,0061 1,0061 1,0061 0,9986 0,9979 0,9979 0,9979 0,9959 0,995 0,995 0,995 0,9950 p =0.7 1,0003 1,0003 1,0003 0,9967 0,9964 0,9964 0,9964 0,9954 0,9951 0,9951 0,9951 0,9950 p =0.4 0,9967 0,9967 0,9967 0,9955 0,9954 0,9954 0,9954 0,9951 0,9950 0,9950 0,9950 0,9949 p =0.1 0,9950 0,9950 0,9950 0,9950 0,9949 0,9949 0,9949 0,9949 0,9949 0,9949 0,9949 0,9949 Tab. 1 Hodnoty GRID β β pre s = 1/5 a s = 1/6 pre šírenie S vĺn v sere osi x 7
δ=90 ϕ=0 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 σ=0,5 0,5 0,0 0,1 0, 0,3 0,4 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 σ=0,45 0,5 0,0 0,1 0, 0,3 0,4 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 σ=0,495 0,5 0,0 0,1 0, 0,3 0,4 Obr. 6 Disperné krivky pre šírenie S vĺn v sere osi x. Na osi x grafu je poer / λ s, na osi y GRID β / β, plná krivka scéa A, čiarkovaná krivka - SG scéa δ=54.74 ϕ=45 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 σ=0,5 0,5 0,0 0,1 0, 0,3 0,4 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 σ=0,45 0,5 0,0 0,1 0, 0,3 0,4 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 σ=0,495 0,5 0,0 0,1 0, 0,3 0,4 Obr. 7 Disperné krivky pre šírenie S vĺn v sere telesovej ulopriečky. Na osi x grafu je poer λ, na osi y β / β, plná krivka scéa A, čiarkovaná krivka SG scéa / s GRID s =1/5 s =0.5 s=0.45 s=0.495 PSG A PSG B PSG F SG PSG APSG B PSG F SG PSG APSG B PSG F SG p =1.0 0,9539 0,9965 1,0019 1,004 0,9437 0,9848 0,9900 1,000 0,9404 0,9811 0,986 0,9989 p =0.7 0,9467 0,988 0,9934 1,0014 0,9418 0,987 0,9878 0,9995 0,940 0,9809 0,9860 0,9988 p =0.4 0,94 0,9831 0,988 0,9996 0,9406 0,9813 0,9864 0,9990 0,9401 0,9807 0,9858 0,9988 p =0.1 0,9401 0,9808 0,9859 0,9988 0,9400 0,9807 0,9858 0,9988 0,9400 0,9806 0,9857 0,9987 s =1/6 s =0.5 s=0.45 s=0.495 PSG A PSG B PSG F SG PSG APSG B PSG F SG PSG APSG B PSG F SG p =1.0 0,9799 1,0017 1,0044 1,0031 0,974 0,9937 0,9963 1,0004 0,9699 0,9910 0,9937 0,9995 p =0.7 0,9746 0,9960 0,9987 1,001 0,9710 0,99 0,9948 0,9999 0,9698 0,9909 0,9935 0,9995 p =0.4 0,9713 0,994 0,9951 1,0000 0,9701 0,991 0,9938 0,9996 0,9697 0,9908 0,9934 0,9994 p =0.1 0,9697 0,9908 0,9935 0,9994 0,9697 0,9908 0,9934 0,9994 0,9697 0,9907 0,9934 0,9994 Tab. Hodnoty GRID β β pre s=1/5 a s=1/6 pre šírenie sa S vĺn v sere telesovej ulopriečky 8
δ=90 ϕ=0 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 σ=0,5 0,5 0,0 0,1 0, 0,3 0,4 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 σ=0,45 0,5 0,0 0,1 0, 0,3 0,4 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 σ=0,495 0,5 0,0 0,1 0, 0,3 0,4 Obr. 8 Disperné krivky pre šírenie sa S vĺn v sere osi x. Na osi x grafu je poer / λ s, na osi y GRID β / β, plná krivka scéa B, čiarkovaná krivka SG scéa δ=54.74 ϕ=45 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 σ=0,5 0,5 0,0 0,1 0, 0,3 0,4 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 σ=0,45 0,5 0,0 0,1 0, 0,3 0,4 1,1 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 σ=0,495 0,5 0,0 0,1 0, 0,3 0,4 Obr. 9 Disperné krivky pre šírenie sa S vĺn v sere telesovej ulopriečky. Na osi x grafu je poer scéa λ, na osi y β / β, plná krivka scéa B, čiarkovaná krivka SG / s GRID 9
.6 Lokálna cyba Ccee odadnúť presnosť vybranýc FD scé A, B na PSG a FD scéy na SG v jedno integračno kroku porovnaní s analytický riešení. Uvažujee šírenie rovinnej aronickej vlny v elasticko, oogénno, iotrópno a neoraničeno prostredí. Boli vytvorené tri výpočtové progray: PSG_A, PSG_B a SG. Prvé dva počítajú lokálnu cybu FD scéy A na PSG a FD scéy B na PSG, tretí pre porovnanie počíta lokálnu cybu FD scéy na SG. Všetky tri progray ôžee rodeliť na tri časti. V prvej časti progra načíta vstupné údaje (ktoré sú totožné pre všetky tri FD scéy, v druej časti progra analiticky vypočíta v potrebnýc bodoc siete odnoty ložiek vektora posunutia a v tretej časti je nuericky počítaná (použití danýc FD scé odnota u ložky vektora posunutia v dano sieťovo bode v nasledujúcej časovej ladine. Vstupné údaje výpočtovýc prograov PSG_A, PSG_B a SG (v átvorke sú uvedené návy veličín vo výpočtovo prograe: súradnice bodu, v ktoro ccee posunutie vypočítať (XR, YR, ZR, časová ladina, v ktorej ccee posunutie vypočítať (M, rýclosť šírenia S vĺn β v /s (BETA v prostredí, ustota prostredia ρ v kg/ 3 (DEN, Poissonov poer σ (SIGMA, paraetre rovinnej aronickej vlny (FI, DEL, PFI, PDEL - ic výna bude popísaný neskôr, paraeter stability p (P, axiálna uvažovaná frekvencia f v H (F, axiálny uvažovaný sieťový vorkovací poer s (S, veľkosť kroku, s ktorý klesá odnota vorkovacieo poeru (STEP a počet krokov (N. Zo adanýc vstupnýc dát sú vypočítané Laéove elastické koeficienty λ, µ a sieťový krok. Elastické koeficienty sú určené vťai ( λ = ρα - β, µ = ρβ, (.8 kde α je rýclosť P vĺn, ktorú ôžee vypočítať ako α = β ( -σ ( 1-σ, (.9 kde σ je Poissonov poer. Veľkosť sieťovéo kroku ožno vypočítať o vťau s β =. (.30 f 30
Nec N r je ser šírenia a A r vektor polariácie rovinnej aronickej vlny: r N = ( N1, N, N3 = ( cosϕsin δ,sinϕsin δ,cos δ, r (.31 A= A, A, A = cos sin,sin sin,cos. ( 1 3 ( ϕp δp ϕp δp δp Uly δ, ϕ, δ, ϕ sú intervalu δ, δ Î 0, π, ϕ, ϕ Î 0, π. V prograoc sú p p p onačené ako DEL, FI, PDEL a PFI. Ic definícia je rovnaká ako definícia ulov δ a ϕ na Obr. 1. Uvažuje S vlnu, t.j. priečnu vlnu, ktorá kitá kolo na ser šírenia. Platí pre ňu N r A r r = 0. Zložky vektora posunutia uuvw (,, v bode so súradnicai (x, y, v čase t ôžee apísať v tvare é æ 1 ö ù u= A1 cos π f t- ( N + Ny+ N 3 ê ç β ú ë è øû é æ 1 ö ù v= A cos π f t- ( N + Ny+ N 3 ê ç β ú ë è øû é æ 1 ö ù w= A3 cos π f t- ( N + Ny+ N 3. ê ç è β øú ë û p (.3 Pre jednoducosť popisu výpočtovéo algoritu prograov PSG_A, PSG_B a SG onače bod, v ktoro ccee vypočítať výsledné posunutie, ako bod 1. úrovne. Onače body, v ktorýc potrebujee vedieť odnoty ložiek tenora napätia (ktoré sú potrebné na výpočet aproxiácie derivácie ložiek tenora napätia v bode 1. úrovne ako body. úrovne. Onače body, v ktorýc potrebujee vedieť odnoty ložiek vektora posunutia (ktoré sú potrebné na výpočet aproxiácie derivácie ložiek vektora posunutia v bodoc. úrovne ako body 3. úrovne. Vo všeobecnosti pre foruláciu v posunutí a napätí (pre FD scéy na PSG aj SG platí, že odnôt vektora posunutia v danej časovej ladine sú počítané odnoty ložiek tenora napätia v tej istej časovej ladine a nic sú počítané odnoty ložiek vektora posunutia v ďalšej časovej ladine. Algoritus všetkýc troc prograov pri výpočte posunutia v voleno bode a čase je nasledovný. Zo adanýc súradníc bodu 1. úrovne sa vypočítajú súradnice bodov. úrovne a ku každéu bodu. úrovne sa vypočítajú súradnice bodov 3. úrovne. Pre každú scéu bude počet bodov. úrovne a 3. úrovne rôny. Pre scéu A to bude bodov. úrovne, pričo ku každéu nic patrí bodov 3. úrovne. Pre scéu B to bude 3 a 3 bodov, pre SG scéu 1 a 1 bodov. V ďalšo kroku sú vypočítané odnoty ložiek posunutia v bodoc 3. úrovne v -tej časovej ladine podľa analytickéo riešenia. Hodnoty ložiek tenora napätia v bodoc. úrovne v -tej časovej ladine sú poto určené ako funkcie odnôt ložiek posunutia v bodoc 3. úrovne v -tej časovej ladine. Hodnota ložky vektoru posunutia v bode 1. úrovne v 31