. Preaanje RBNI VJETI retonom aragrafu efinirali smo jenažbe kojima rješaamo inamiku strujanja iskoznog nestlačiog newtonskog fluia, jenažba kontinuiteta.jk i Naier- Stokesoe jenažbe N-S. JK i N-S jenažbe čine sistem arcijalni iferencijalni jenažbi PDE-Partial Differential Equations. Taj sistem o 44 jenažbe oisuje sa moguća strujanja newtonski fluia, o kišne kai o oršinski aloa. Jean o razloga a je oim sistemom moguće oisati tako različite robleme leži u raznolikosti narinuti RBNIH VJETA. Za komletno oisianje nekog roblema nužno je secificirati oređene rubne ujete. Rai se o kinematičkim i inamičkim rubnim ujetima. Kinematički rubni ujeti Oi rubni ujeti secificiraju rubnu kinematiku oložaj, brzinu,... Na neromočioj krutoj stijenci brzina čestice na oršini=brzini točaka oršine u To znači a flui ne roire kroz krutu stijenku niti se o nje oaja. -brzina čestice fluia na oršini tijela u -brzina gibanja točaka konture tijela brzina gibanja krute stijenke. Oaj ujet se može zaisati i u obliku n u n 'no flu', kontinuirano strujanje, flui ne može roirati kroz krutu stijenku t u t 'no sli', konačno tangencijalno strujanje Dinamički rubni ujet Oim rubnim ujetom efinirana je inamika tlak, narezanje. Kontinuiranost narezanja ' ji ' granica ji ji granica Najjenostaniji rimjer graničnog narezanja je oršinska naetost ', ' ji granica ji granica, ji Rubni ujet na oirnoj oršini između a fluiaflui A i flui B
A B, A B, už granice oira Ako je oirna oršina rana na rimjer os a fluii se gibaju aralelno s oirnom oršinom, kontinuiranost narezanja imlicira kontinuirano normalno narezanje na oršini oira, akle A B ; A B Slobona oršina Ako je flui A tekućina nr. oa, ulje... a flui B lin obično zrak rijei zrak oa Pa se tangencijalno narezanje na graničnoj oršini oa-zrak može smatrati zanemario malim. tom slučaju oirna oršina se nazia slobona oršina i rijei tek atna sl. o. už slobone oršine tek n t flui B flui A A B A B t,a t,b zrak B zrak,zrak,oak oa A oa
Masene sile-graitacija konzeratine masene sile Za neke masene sile rijei F f, gje je otencijal masene sile. Kriuljni integral o zatorenoj kriulji F Kriuljni integral už kriulje obrubljene točkama A i B B B F A B A A Poseban slučaj konzeratine sile je graitacijska sila F g gk f g gk Potencijal graitacijske sile g gz Dakle Fg g gz gz s irostaticki tlak s rštenjem u N.-S. jenažbu D F Dt gz Totalni tlak =irostatički tlak + iroinamički tlak = s + = gz + gz a se N.-S. j. Mogu isati i u obliku D gz Dt D Dt Prisusto graitacijske masene sile ekialentno je zamjeni ukunog totalnog tlaka s inamičkim tlakom u N.-S. jenažbi. Riješi se N.-S. jenažba i orei. Da bi se obio ukuni tlak jenostano se inamičkom tlaku oa irostatički, s gz. Naier Stokesoe jenažbe su nelinearne, arcijalne iferencijalne jenažbe. rea elitičnog tia. Zbog njioe matematičke složenosti rlo je mali broj roblema inamike iskoznog strujanja koji imaju egzaktna analitička rješenja. Zarao, zbog nelinearnog člana konektino ubrzanje nema analitičkog rješenja, jeino kaa nelinearni član iščezaa. Zbog oređeni onosa i razlike u reu eličina između ojeini fizikalni 3
eličina u riroi ojae, oušteno je a se zanemare ojeini članoi u N.-S. j., a se egzaktna analitička rješenja tako ojenostaljeni jenažbi naziaju ribližnim rješenjima zaataka iskoznog strujanja. Suremena elektronička računala omogućila su a se roblemi iskoznog strujanja irektno numerički rješaaju, metoa konačni olumena, metoa konačni iferencija,.. Analitička egzaktna rješenja ojeini ojenostaljeni jenažbi a Tako zana sora strujanja-'creeing flow' Viskozne sile su uno eće o inercijski sila i f i j j -zanemaruje se nelinearni član-konektino ubrzanje. Nr. Otjecanje oko kugle ri malim rijenostima Renolsoa broja. b Pri isokim rijenostima Re zanemarujemo iskozne sile u onosu na inercijske. Nelinearni član ostaje ali se jenažbe ojenostaljuju. Strujanja realni iskozni fluia rimaju u riroi a izrazito različita oblika strujanja: LAMINARNO i TRBLENTNO. Laminarno strujanje je railno, slojeito. Fluktuacije ojeini fizikalni eličina su u mikroskoskom, molekularnom mjerilu. To nije stabilno strujanje i ri išim rijenostima Re relazi u turbulentno strujanje karakterizirano elikom fluktuacijom ojeini eličina i rlo nerailnim utanjama čestica. Naier-Stokesoe jenažbe su u rinciu aljane za obje rste strujanja no zbog soje složenosti one imaju rješenja za ograničeni broj roblema jenostaniji oblika laminarnog strujanja. Prema ta egzaktna rješenja imaju eć sama o sebi soju oređenu rijenost, ona su riklana i kao osnoa za razijanje ribližni metoa rješenja rugi složeniji roblema, nr. za robleme s konfiguracijama sličnim konfiguracijama egzaktno rješeni roblema, a riklana su i za testiranje točnosti numerički ostuaka. Za rješaanje otunog skua jenažbi strujanja newtonski fluia, kaa su uključeni i tolinski učinci, otrebno je riješiti i energetsku jenažbu uz efiniranje temeraturni rubni ujeta zaaanje temerature ili gustoće tolinske snage reko granica oručja. ENERGETSKA JEDNADŽBA ZA NEWTONSKE NESTLAČIVE FLIDE JEDNADŽBA NTARNJE ENERGIJE Kaa je oznato olje brzine uijek je moguće oreiti kinetičku energiju fluia i eliminirati ju iz ukune energije, a bi ošli o jenažbe unutarnje energije. T u ju t j i i ij Dij Dij Dij je brzina iskozne isiacije meaničke energije o jeinici olumena u tolinu 4
Primjenom kaloričke jenažbe stanja, jenažbu unutarnje energije možemo reesti u oblik DT T c ct jct Dt t j i i OSNOVNI ZAKONI DINAMIKE NESTLAČIVOG STRJANJA FLIDA Formulacija za materijalni olumen Meanika Meanika fluia susta materijalni točaka materijalni olumen F anjska sila na i-tu česticu e i m i masa i-te materijalne čestice i brzina i-te čestice Zakon očuanja mase materijalnog sustaa n m i t i brzina romjene mase materijalnog sustaa Zakon očuanja mase D V Dt V M brzina romjene mase materijalnog olumena Zakon očuanja količine gibanja n n e mi i F i t i i brzina romjene količoli gibanja suma anjski sila Zakon očuanja količine gibanja D D V f V n S t V V S M M M brzina romjene mase materijalnog olumena ukuna masena sila ukuna oršinska sila Formulacija osnoni zakona za kontrolni olumen Zakon očuanja mase V n S t KV KP mase brzina u romjene KV rotok mase kroz kontrolnu oršinu Zakon očuanja količine gibanja V n S t KV KP brzina romjene količoli gibanja KV sojsta lokalna romjena unutar fiksnog KV rotok količoli gibanja kroz kontrolnu oršinu romjena saržaja uslije roticanja fluia kroz KP f V KV ukuna masena sila na KV S n KP ukuna oršinska sila na KV 5
Neka oznata rješenja Naier-Stokesoi jenažbi Naier_stokesoa jenažba, sažeti ektorski oblik f t Jenažba kontinuiteta Granični ujet na krutoj neromočioj granici. Raninsko, stacionarno, laminarno, strujanje između ije uge aralelne rane loče Raninsko Couette-oo strujanje const. const., z Raninsko, stacionarno, laminarno, iskozno, nestlačio strujanje, s ustaljenim rofilom brzine, između ije beskonačne loče. Strujanje je o jeloanjem graijenta tlaka u smjeru / ili gibanja gornje loče brzinom, aralelnoj s osi. tjecaj graitecije se zanemaruje. Pretostake Jenažbe Rubni ujeti J.K. i. stacionarno z t z ii.,, na, z N.S. z,, ustaljeni raninsko na rofil strujanje t iii. Tlak: ne zaisi o z arijable raninsko str. f 6
Jenažba kontinuiteta kartezijee koorinate z, z z,, z ii ii -komonenta N.S. j. z t z z i ii ii ii ii -komonenta N.S. j. z t z z i Ostaje i 3 z-komonenta N.S. j. z z z z z z z z t z z z i ii ii III ii ii 4 Iz i 4, Iz, 3 i 5 slijei i 5 7
8. const f f C C C C C Za oći slučaj i w Ako se efinira bezimenzionalni graijent tlaka, ; Taa ooljni graijent tlaka, tlak aa u smjeru strujanja, neooljno graijent tlaka, tlak raste u smjeru strujanja, očetno strujanje oajanje strujanja, natražno strujanje linearni rofil brzine, 3 3 ijagram bezimenzijskog rofila brzine
Stacionarno, nestlačio, laminarno, aksijalnosimetrično strujanje fluia, konstantne iskoznosti, s ustaljenim rofilom brzine, u orizontalnoj cijei kružnog resjeka-hagen- Poiseuilleoo strujanje tjecaj graitacije se zanemaruje R z const. const. L Prema geometrijskim granicama razmatranog roblema izabiremo cilinarski koorinatni susta. Pretostake Jenažbe Rubni ujeti i. stacionarno strujanje t ii. laminarnoslojeito strujanje aralelno s osi z Jenažba kontinuiteta J.K. z r R r r z r r r R iii. ustaljeni rofil brzine, r r r z aksijalno simetrično strujanje Naier-Stokesoe j. z r konacno cilinarski KS tablica, r z Prema istoj roceuri kao i ko Couetteoog strujanja lako se okazuje slijeeće Iz J.K. rr z slijei t r r r z C rr rr Cr r r Kako je r r R slijei C, r u čitaom oručju strujanja fluia O N.-S. jenažbi ostaje r komonenta r r 9
komonenta = z komonenta z z z z z z z r z r fz t r r z r r r r z z onosno z r r r r z Kako je zbog ii. z z r, slijei z r r r r z f r f z Lijea strana jenažbe 4 funkcija je samo o r, a esna strana funkcija je samo o z, a jenakost u toj jenažbi okazuje a je to moguće samo ako lijea i esna strana rimaju konstantnu rijenost. Označi li se ta konstanta sa f const., z L L gje je f -nizoni a tlaka zbog trenja ri strujanju u cijei reko uljine L, obia se obična iferencijalna jenažba čije oće rješenje glasi z r r C ln r C. 4 z Primjenom rubni ujeta r R, z r, konačna brzina strujanja C R C z 4 za rofil brzine strujanja slijei izraz f R r R z r R 4 z 4 z 4 L 5 Volumenski rotok fluia π R π 4 Q z r rr R 8 z Tangencijalno narezanje na stijenci z r rz r z 3 4
R w rz rr z Do istog rezultata oe i slijeeća razmatranja. Naime, u ranini O okomitoj na simetralu cijei, reko stijenke cijei, tj. reko kružnice olumjera R rijei f, R 6 Buući a je zbog graničnog ujeta reko stijenke cijei z, ta funkcija naoi na zamisao a se i rofil brzine ori laminarnom strujanju izrazi tom funkcijom u obliku z, C f, C R 7 rštenje tog rofila brzine u Naier-Stokesoe jenažbe, uz, okazuje a je 7 zaista rješenje ti jenažbi ka je rijenost konstante C jenaka f C. 8 4 L rsti li se 8 u 7, obia se f, z R, 9 4 L Što je ientično ranije obienom rezultatu. Problem stacionarnog laminarnog strujanja u cijei elitičkog resjeka, s oluosima aib, riklano bi bilo rješaati elitičkim koorinatama. Međutim, zamisao usješno realizirana ri strujanju u cijei kružnog resjeka, rimjenom funkcije oblika 7, oi o retostake a se roblem strujanja u cijei elitičkog resjeka može riješiti, ako se rofil brzine strujanja izrazi funkcijom oblika, C os z se oklaa s osi cijei a b koja je reko stijenke cijei jenaka nuli. rštenje funkcije u Naier-Stokesoe jenažbe Kartezijee koorinate, uz z, okazuje a je funkcija rješenje ti jenažbi, ka konstanta C rimi rijenost f a b C L a b Ka se ta rijenost ursti u, za rofil brzine laminarnog strujanja u cijei elitičkog resjeka obia se izraz f a b, L a b a b Integracija tog izraza reko orečnog resjeka cijei aje rotok 3 3 f ab Q, 3 4 L a b iz kojeg se za srenju brzinu strujanja obia izraz
Q Q f a b 4 sr A ab 4 L a b Ka se za efektini romjer D ef. el. cijei elitičkog resjeka riati eličina, koje je karat jenak armonijskoj srenjoj rijenosti o karata elike i male osi elise, tj. a b, 5 D.. 8 ef el a b a b Taa je koeficijent otora trenja za laminarno strujanje u cijei elitičkog resjeka an formalno istim izrazom kao i za cije kružnog resjeka, tj. 64, Re gje je srdef. el. Re, 6 a a tlaka f reko uljine L cijei an je izrazom L f sr. 7 Def. el. Za uzužno laminarno strujanje s ustaljenim rofilom brzine između ije koncentrične cijei kružnog resjeka olumjera r i r r, roblem se onono soi na iferencijalnu jenažbu 4, koja, ka se a uta integrira aje f z r r Clnr C. 8 4 z Iz graničnog ujeti rijanjanja realnog iskoznog fluia o stijenku cijei, z, za r ri r r 9 oređuju se u 8 konstante integracije C i C, a taj izraz relazi u f r r r z r r r ln C 4 z ln r / r r Princi rješaanja ostaje isti i za slučaj a se jena ili obje cijei uzužno gibaju u roizoljnom smjeru, ri čemu se samo mijenjaju granični ujeti 9, a s njima i konstante C i C u 8.