Mtemtik - usmei dio ispit itj i rješej. itgori poučk c vrijedi smo z prvokuti trokut Dokz: potoji mogo dokz itgoriog poučk/teorem, 69 dokz možete ći ovdje: HTUhttp://www.cut-the-kot.org/pthgors/ UTH Geometrijski dokz: Immo prvokut trokut ABC slik Iz vrh C spustimo visiu stricu AB ožište, tj. točku u kojoj visi sječe sticu ozčimo s H. Trokuti CBH, ACH i ABC su sliči > istih omjer u ovom slučju to vidimo iz dv ist kut: kod svkog immo prvi kut, te kutovi u vrhovim A kod ACH i B kod CBH su isti ko i kod ABC. Iz tog uzimmo omjere: AB AC AB BC i > AC AB AH i AC AH BC BH BC AB BH, zrojimo t izrz i doivmo: AC BC AB AH BH > vidimo d su AH i BH zrojei AB p je stvr dokz: AC BC AB.. Heroov formul s s s s c - površi trokut se može izrčuti preko jegovih c stric s ozčv pol opseg, tj. s. Ili je možemo direkto pisti: c c c. 4 Dokz - trigoometrijski: si γ - površi trokut u slučju d je trokut prvokut γ 9 si je, p vrijedi formul z prvokut trokut: Kosiusov poučk: c c cosγ > cosγ U si α cos α uvrstimo gorji cos doivmo:
pr > je pr c 4 c si γ cos γ 4 je površi trokut jedk kd zmijeimo si u gorjoj formuli z površiu s ovdje doiveim izrzom: 4 4 c 4 ovj zdji izrz mlo pretum i doije se QED quod ert demostrdum. 4 c 4 c 4 c, te se c c c. 4 3. Dokz d je irciol roj. Z dokz tre rzumjeti skupove rojev N, Z, Q i R, te smještje rojev prvc. N skup prirodih rojev,,, 3, 4,... ulu e uključujemo, iko je mogi uključuju Z skup cijelih rojev,..., -3, -, -,,,, 3,... N mu je podskup Q skup svih rciolih rojev: svki roj koji možemo zpisti pomoću rzlomk:, s time d je Z, N. pome: svki roj iz skup Z se može zpisti ko rzlomk p je Z podskup skup Q R skup relih rojev skup rciolih i irciolih rojev rojevi koji se ikko e mogu zpisti ko rzlomk Dokz d je irciol: Kotrdikcijom: Ustvrdimo suproto d možemo zpisti ko rzlomk tj. ko rciol roj: m, m, N - gdje je to potpuo skrće rzlomk jedii zjedički djelitelj m i je. Kvdrirjem izrz doivmo m i tog slijedi d je m roj svki pr roj kvdrir dje poovo pr roj ko je pr roj možemo g zpisti ko p, kvdrirjem p 4p pr roj tkođer, tj. možemo g zpisti ko m k, k N, uvrštvjem tog gore 4k doivmo d je i roj iz tog proizlzi d se rzlomk još može skrtiti s i tu dolzimo do kotrdikcije > zči d je irciol roj. N rojevom prvcu to izgled ovko: o gustoći posložei: N, Z, Q, R\Q ircioli, R. R je jgušći skup rojevom prvcu i popujv sve točke prvc. Skupovi N, Z, Q su eskočo prerojivi skupovi, dok je R eprerojiv.
rerojivost > ko postoji ijekcij između skup N i promtrog skup. Npr. preslikvje skup Z N: ->, ->, - -> 3, -> 4, - -> 5, 3 -> 6... 4. Svojstv zrjj i možej skupu R Q, Z, N. Komuttivost:. Asocijtivost: c c c c 3. Distriutivost oostr možej prem zrjju: c c c c c 4. ostojje eutrlih elemet, ule z zrjje i jediice z možeje: 5. ostojje suprotog roj i iverzog roj: 5. Tlesov poučk o proporciolosti Ukoliko su dužie AB CD AB prlelo CD vrijedi Tlesov teorem o proporciolosti: VA : VC VB : VD VA : AB VC : CD VA : VC AB : CD 6. Teoremi o sličosti trokut - osovi uvjet sličosti je d kutovi ostju sčuvi homotetij. poučk o sličosti trokut: SSS Ako su duljie svih triju stric dvju trokut proporciole, od su ti trokuti sliči: : BB : BB c : cbb. poučk o sličosti kut: SKS Ako se dv trokut podudrju u jedom kutu, strice Uuz tj kutu su proporciole, od su ti trokuti sliči: α αbb, : BB c : cbb 3. poučk o sličosti kut: KK očito je od i treći kut određe Ako se dv trokut podudrju u dv kut, od su ti trokuti sliči: α αbb, β βb 4. poučk o sličosti trokut: SSK Ako su dvije strice dvju trokut proporciole, Ukutovi suprot većoj striciu sukldi, od su ti trokuti sliči: α B αb, : BB : B B > Ukoliko je ilo koji omjer stric u gorjim poučcim o sličosti trokut jedk, tj. d su strice u omjeru iste duljie, ti trokuti su sukldi. 3
7. oučk o simetrli uutrjeg kut trokut. Dokz. Simetrl kut sječe suprotu stricu u omjeru jedku omjeru tom kutu susjedih stric: CD : DB AC : AB Dokz: ovučemo simetrlu s simetrlom uutršjeg kut u vrhu A kroz vrh B, p produžimo stricu AC preko vrh A d sječe ovo povučeu simetrlu kroz vrh B u točki E. rvc AB sječe dv prlel prvc BE i AD > kutovi ABE i BAD su sukldi, ztim prvc CE sječe opet ist dv prlel prvc > kutovi CAD i AEB su sukldi. ošto simetrl kroz kut u vrhu A BAC dijeli kut dv jedk dijel iz tog i prethodih zključk slijedi d su kutovi AEB i EBA isti > trokut ABE je jedkokrč. Iz Tlesovog poučk o proporciolosti 5. dokz slijedi CD : DB CA : AE > jedkokrč trokut AB AE CD : DB AC : AB dokzo. 8. Tlesov poučk o oodom kutu d promjerom kružice. Dokz. Oodi kut d promjerom kružice je prvi kut π/ ili 9. Dokz: Zmo d je zroj kutov u trokutu jed dv prv, tj. π. prem tome β π δ i α π γ, zrojimo te dvije jeddže i podijelimo s doivmo d je: β α π δ π γ β α π δ γ/ δ γ je π > β α π / prvi kut. 4
9. oučk o oodom i središjem kutu. Dokz. Središji kut slici kut α je dv put veći od oodog kut slici kut β d istim lukom. Dokz: Kut β i α podijelimo s poluprvcem iz točke B kroz točku A: αbb, αbb i βbb, βbb. Trokuti ABC i ADB su jedkokrči AB, AC, AD su rdijusi p slijedi d je αb B βb Bi αb B βbb. Zrojimo t dv izrz doivmo αb B αb B βbb βbb. Time smo dokzli poučk, jer αb B αb B α, βbb βbb β > α β.. Tetivi četverokut. Dokz kriterij s kutovim. Tetivi četverokut je oj četverokut kojemu se sv četiri vrh mogu opisti jedom kružicom strice su mu od tetive te kružice. rimjeri: kvdrt, prvokutik. Dv suprot kut ABC i CDA zroji dju π.. Tgecijli četverokut. Dokz kriterij s stricm. Svojstvo: kriterij s kutovim - zroj suprotih kutov tetivog četverokut je π 8 to su tzv. suplemetri kutovi. Dokz: omoću gore već dokzog poučk o oodom i središjem kutu pokžemo d je kut ABC jedk polovii β ljuičsti dio, te d je CDA jedk polovii od α zelei dio. α β čie pui kut, tj. π. Iz tog slijedi: ABC CDA π /: Četverokut je tgecijli ko mu se može upisti kružic strice su mu od tgete te kružice. Svojstvo: kriterij s stricm - zroj suprotih stric je jedk. Dokz: Središte upise kružice se lzi u sjecištu dijgol kutov. ovučemo okomice iz S strice 5
i doivmo 8 trokut. Sukldi su dv i dv KSK, i to SBG i SEB, SAE i SIA, SHD i SDI, SCH i SGC. Iz tog slijedi d su strice BG i EB, GC i CH, HD i DI z, IA i AE u iste duljie. su zrojee suprote strice AB CD, tj. z u jedke AD BC, tj. z u.. Diskrimit kvdrte jeddže. Kvdrt jeddž: c ± 4c Rješeje kvdrte jeddže:, Izrz pod korijeom se zove još i diskrimit kvdrte jeddže: D 4c O diskrimiti ovisi prirod rješej kvdrte jeddže: D > > jeddž im rel rješej D > jeddž im jedo dvostruko relo rješeje 3 D < > jeddž im komplekso-kojugir rješej rješej iz skup C 3. Vieteove formule. Izvod.. D D Zroj rješej kvdrte jeddže :. D D c Umožk: Z poliome -tog stupj stupjev vrijedi isto:......... 3............ Tip: - ovdje predzk lterir: kd je pr predzk je, kd je epr predzk je -. 3 Z poliom 3. stupj: c d c 3 3 4. Grfovi liere i kvdrte fukcije. Kko se crtju grfovi vedeih fukcij? Grf Γf fukcije f je skup svih točk s koorditm, f, z sve iz domee Fukcije f. Z rele fukcije: 6
Dome područje defiicije fukcije je skup svih relih rojev z koje fukcij dje rel rješej, kodome područje vrijedosti je skup tih rješej. Vertikli test svki prvc okomit os siječe grf fukcije jviše u jedoj točki, iče to ije fukcij ko dje više rješej z jed. Horizotli test kriterij ijektivosti fukcij f je ijektiv ko prvc prlel s -osi sječe jezi grf jviše u jedoj točki. Grf liere fukcije je prvc, koeficijet smjer > fukcij rste, < fukcij pd, kostt, odsječk prvc -osi. Z crtje prvc dovoljo je odrti točke uzmemo rzličit, uvrštvjem u fukciju doivmo i to su te točke ABB,BB i BBB,BB Grf kvdrte fukcije c je prol. Koveks z >, kokv z <. Koveks, > Kokv, < Nultočke su točke grf fukcije koje doijemo tko d uvrstimo, tj. d dir - os. Crtje: odredimo predzk od, odredimo ultočke z prolu, izrčumo koordite tjeme. Uvijek si z pomoć možemo odrediti pr sumičih vrijedosti d i doili više točk kojim prolzi grf te fukcije tlic. 5. Grfovi ekspoecijle i logritmske fukcije. Svojstv potecij e trži se, li doro je zti : 4 > 5 3 6 7
< > > > Ekspoecijl fukcij: f, z sve u skupu R, li poprim smo vrijedosti veće od. Z postje prvc f. Ukoliko je > fukcij je strogo rstuć: f < f, z < < fukcij je strogo pdjuć f > f - t fukcij je simetrič s ozirom os s fukcijom koj im zu /. rolze ovezo točkom,. log f log Logritmsk fukcij je iverz fukcij ekspoecijloj jihovi grfovi su simetriči s ozirom prvc. rem tome dome logritm je već ili jedk i poprim sve rele vrijedosti oruto od eksp.. Nije defiir z! Ostl svojstv su tkođer orut od ekspoecijle i mogu se vidjeti slici. 6. Grfovi trigoometrijskih fukcij Fukcij f si im ultočke u kπ, k Z i period joj je π. π Mksimum fukcije je i to kπ, k Z, miimum - 3π kπ, k Z. π Fukcij f cos im ultočke u kπ, k Z i period joj je π. Mksimum fukcije je i to kπ, k Z, miimum - k π, k Z. Grf siusoide f C si ω ϕ : ϕ - položj ultočke ω 8
- prvce miimum i mksimum ozčimo tko d povučemo C i -C π - odredimo duljiu period, podijelimo s 4 d doijemo rzmke ω između ultočk i ekstrem. Grf fukcije možemo crtti ko siusoidu tko d dodmo pol period. Fukcije tges i kotges imju period π. π Nultočke tges su kπ, k Z, kotges kπ, k Z. Vertikle simptote prvci koji omeđuju jed period su kod tges π kπ, k Z, kod kotges kπ, k Z. 7. Svojstv logritm. Dokzi. log ksiom? ili logo:..., /, / log log log sve pod zu doivmo: log log > log log > 9
log log log > > log log log log Z ove preostle upotrijeite svojstv pis u 5. zdtku. log log log > log log log > log log > log log log 8. Cvlierijev pricip z geometrijsk tijel. Ako se dv tijel mogu postviti tko d jihovi presjeci s rvim prlelim jedoj zdoj rvii imju jedke površie, od t dv tijel imju jedke oujme. - pomoću tog možemo izrčuti oujm oko kompleksih tijel tko d ih presložimo u jedostvije kojim zmo izrčuti volume. 9. Izvod formule z oujm krje pirmide. Oujm pirmide možemo doiti tko d rstvimo prizmu kojoj zmo izrčuti oujm: Bv 3 iste pirmide. o Cvlierijevom pricipu, ko zmo izrčuti oujm plve pirmide slici, zmo izrčuti volume ilo koje druge pirmide s istom zom i visiom. Od tud slijedi B v opć formul volume pirmide: V. Krj pirmid je pirmid kojoj je s vrh skiut slič, mj pirmid čij je z prlel s zom velike pirmide. v visi krje pirmide od doje ze, B do gorje ze h visi mje pirmide visi velike je od v h v Bze B i su sliči likovi s koeficijetom sličosti: v su omjeri z B : v h : h > h. Oujm krje pirmide je B B v h h oujm velike mje oujm mle, tj. V. Zmijeimo h s gore 3 3 v izrčutim izrzom doivmo: V B B - što je volume krje pirmide. 3 h h, p 3
. Defiicije trigoometrijskih fukcij. Trigoometrijske fukcije jlkše defiirmo jediičoj kružici, li i dlje immo umu kko to izgled prvokutom trokutu: siα suprot ktet kutu α, kroz hipoteuz c / rdijus / cosα ktet uz kut α, kroz hipoteuz c / rdijus / tg α suprot kroz ktet uz kut α,, s slike vidimo d se rdi o sličim trokutim p je omjer sčuv, tj. vrijedi / r > tgα ctg α ktet uz kut α, kroz suprot ktet, tkođer se s slike vidi tgα sličost p vrijedi: /r> ctgα u slučju d imte prolem s rzumijevjem ovog projte ovo: HTUhttp://www.gimzij.frih.et/dditiol/trigo_kruzic.html UTH i pročitjte ovo: HTUhttp://e.wikipedi.org/wiki/TrigoometrUTH.. Izvod osovih idetitet kod trigoometrijskih fukcij. si cos, si cos tg i ctg. cos si Do si cos dolzimo preko itgoriog poučk.: c, dijelimo g s c : > c. Sd zmijeimo s si α i c c c c c s cos α doivmo gorji idetitet. c si tg c cos I ctg. cos si c c
. Izvod formule: si α β siα cos β si β cosα. Ostle dicijske formule. si α β siα cos β cosα si β cos α β cosα cos β siα si β tgα tgβ tg α β tgαtgβ ctgαctgβ ctg α β ctgα ctgβ si α β siα cos β cosα si β cos α β cosα cos β siα si β tgα tgβ tg α β tgαtgβ ctgαctgβ ctg α β ctgα ctgβ Izvod si α β siα cos β si β cosα : ostvimo prvokut trokut jed drugi ko slici. ovučemo okomicu iz vrh D stricu AB, p iz vrh C okomicu AG. Još smo tre ozčiti koji su kutovi jedki: BAC ACE CDE. DG DE EG DE CB si AD AD AD AD CB AC DE CD si cos cos si AC AD CD AD 3. Trsformcij zroj trigoometrijskih fukcij u umožk i oruto. Izvod formule: si si si cos. α β α β α β α β siα si β si cos siα si β cos si α β α β α β α β cosα cos β cos cos cosα cos β si si si α β si α β tgα tgβ tgα tgβ cosα cos β cosα cos β si β α si β α ctgα ctgβ ctgα ctgβ siα si β siα si β Izvod si si si cos : Zrojimo dvije dicijske formule: si α β siα cos β cosα si β si α β siα cos β cosα si β Doijemo: si α β si α β siα cos β Sd zmijeimo α β, α β i α, β doivmo: si si si cos. 4. oučk o siusim. siusov poučk kod kosokutog trokut Izvod. U svkom trokutu omjeri dulji stric i sius tih suprotih kutov jedki su promjeru trokutu opise kružice:
UU UU UU tko je c R siα si β si γ Duzi CD v ozčv visiu spušteu iz točke C. Time je trokut podijelje dv prvokut trokut. Iz slike se vidi d je v si α, što zči d je v siα, li isto v si β. Zči d vrijedi: si β siα, ili. siα si β N potpuo isti či se može c dokzti d je. si β siγ Trokut ABC je prvokut jer je AB promjer kružice. Kut pri vrhu B jedk je kutu pri vrhu D vidi poučk o oodom kutu Zto vrijedi: si β odoso R R si β 5. oučk o kosiusim. kosiusov poučk kod kosokutog trokut Izvod. Kvdrt strice u trokutu jedk je zroju kvdrt drugih dviju stric, umjeom z dvostruki umožk tih stric i kosius kut između jih: c c cosα c c cosβ c cosγ Duži CD je visi iz točke C. Iz slike čitmo d je: AD v c - BD BD c c BD BD BD c c BD BD Iz slike se vidi d je kut uz B jedk cos β zči d je BD cosβ To uvrstimo u gorju formulu i doijemo: UUU UU cuu c cosβ N isti či možemo izvesti i z ostle strice. 3
6. Lier komicij vektor. Ako immo vektore,, 3,... jihov jopćeitij lier komicij izgled ovko: k A A A 3 3... gdje su A i sklri. 7. Liero zvisi i ezvisi vektori. Defiicij: vektor je usmjere duži AB koj im početu točku hvtište i zvršu točku krj, određe je svojom duljiom, smjerom i orijetcijom. Vektori su kolieri ko postoji sklr k tkv d je k. Lier komicij vektor i : α α - α,α - koeficijeti liere komicije u slučju d su o, l. k. Iščezv trivijl či. Dv su vektor liero ezvis ko α α i to užo slijedi iz α α. U suprotom slučju i su liero zvisi i td postoji lier komicij jedk ulvektoru, kojoj svi koeficijeti isu jedki uli. zvisi, s vektorom w su liero ezvisi u i v su i kolieri. N slici: vektori u i v su liero 8. Sklri umožk vektor. ostoje dv či rčuj sklrog umošk: Sklri umožk vektor i je reli roj izos: cos ϕ gdje je kut φ kut između vektor i. Odvde će iti: cos ϕ Rezultt sklrog umošk it će sklr. Sklri umožk vektor u Krtezijevom koorditom sustvu jedk je zroju umožk odgovrjućih, koordit vektor : Svojstv sklrog umošk: Z sve vektore, i c i svki sklr λ koji je iz skup relih rojev vrijedi. ozitivost:. Komuttivost: 3. Homogeost: λ λ 4. Distriutivost: c c c 4
9. Vektorski umožk vektor. Vektorski umožk je opercij možej vektor, ko i sklri umožk, smo što rezultt eće iti sklr, već vektor tj. osim rojče vrijedosti zt će mu se i smjer i orijetcij. Vektorski umožk dvju vektor ozčv se ko: čitj: ' eks ' ili vektorski s '. Ako želimo izrčuti smo rojču vrijedost, dovoljo je zti rojču vrijedost vektor i kut između t dv vektor: siϕ. Vlj zpmtiti d će smjer doiveog vektor iti okomit i vektor i vektor. Ako pk želimo zti koordite doiveog vektor u prostorom koorditom sustvu, to možemo doiti preko determite: gdje su BB, BB, i B3B vrijedosti vektor u prostorom koorditom sustvu s osim i, j, i k Npr. počevši od osi i idemo ukoso odozgo prem dolje udeso dok e dođemo do d, p doijemo ibbb3b, td idemo os j gdje će iti jb3bbb, sve dok e dođemo do osi k gdje je kbbbb. D i ilo lkše to možemo rspisti ko: Doivee rezultte zrojimo i kreemo poovo od osi i li ovj put ulijevo. Te rezultte oduzmemo od prvih rezultt p doijemo vrijedosti vektor u prostorom koorditom: 3. Olici jeddže prvc: ekspliciti, impliciti, segmeti, prmetrski i Hesseov ormli zšto?. Impliciti olik: A B C Ako impliciti olik podijelimo s koeficijetom B prevodimo u Stvimo li A C k i l doijemo: B B A B C B Ekspliciti olik: k l gdje l predstvlj udljeost točke u kojoj prvc siječe os i ishodišt s koorditm T,. k je koeficijet smjer prvc i jedk je tgα gdje je α kut koji ztvr prvc s osi. Jeddž prvc koji prolzi točkom T BB, BB glsi k. 5
Segmeti olik: m, gdje je m udljeost odsječk točke u kojoj prvc siječe os od ishodišt, je udljeost točke u kojoj prvc siječe os od ishodišt. N slici je to: AO m i BO. rmetrski olik: rvc određe točkom TBBBB,BB i vektorom smjer j c i c c im jeddžu t c t c, gdje je t R po volji odr reli roj. Normli olik: si β cos β d prvc je udlje z d od ishodišt, β kut koji ztvr okomic prvc s osi pozitivom dijelom. 3. Defiicij i izvod jeddže kružice. Kružic s rdijusom r i središtem u točki S, je defiir jeddžom: Zmo formulu z udljeost između dvju točk u koorditom sustvu Udljeost između središt kružice i točke kružici je rdijus te kružice. r, kvdrirjem se doije jeddž kružice r. 3. Defiicij i izvod jeddže elipse. Elips je krivulj z koje je zroj udljeosti od dviju zdih točk fokus stl i jed. Jeddž elipse: - i su poluosi. - lieri ekscetritet: e Izvod: defiicij: d d e e e d e d F F F F, 33. Defiicij i izvod jeddže hiperole. 6
Oruto od elipse: Skup točk z koje je rzlik udljeosti od dviju zdih točk fokus stl i jedk. Hiperol kojoj je središte točk S p, q, osi prlele s koorditim osim im p q jeddžu: Izvod isti ko i kod elipse smo drugi predzk između d i d. Ako pogledmo hiperolu, vidimo d se sve više priližv ekim zmišljeim prvcim. Ti su prvci simptote hiperole slici ozčee crveim. Asimptote hiperole imju jeddže: i. 34. Defiicij i izvod jeddže prole. Grf fukcije f c je prol. 4c Tjeme će joj se lziti u točki T,. rol je skup svih točk 4 rvie koje su jedko udljee od jedog čvrstog prvc i jede čvrste točke F koj p e leži tom prvcu. rvc se zove UrvlicU, i jedž mu je, dok su p koordite žrišt F,. 7
Duži AT je udlje od rvlice z p, prem defiiciji prole, t vrijedost mor iti jedk dužii FT slici ije zog tehičkih rzlog hh, Cetko, uči koristit Geogeru :, op. 4dY, ko povučemo visiu, o je vrijedost koordite, doijemo prvokut trokut p je to, p zči d p je p. p p Nko kvdrirj doijemo: p p, skrtimo to i 4 4 doijemo jeddžu prole s tjemeom u ishodištu: p. Kd je tjeme u točki VBB,BB jeddž glsi: p. 35. Jeddž tgete kroz zdu točku krivulje kružic, elips, hiperol i prol. Izvodi. Kružic: Jeddž ormle tj. prvc koji prolzi središtem kružice Sp,q i točkom T,, ko zmo T je: q q p jeddž p z prvc kroz dvije točke. q Uoči d je k. p Tget će iti okomit ormlu, p će koeficijet smjer ormle iti egtiv i oruto proporciol koeficijetu smjer tgete: kt k N će jeddž tgete koj prolzi točkom B, iti: 8
p ili q p. q Točk B leži kružici p će jeddž z ju vrijediti: p q r Zrojimo ove dvije jeddže i doijemo jeddžu tgete u točki kružici: p p q q r. Elips: Hiperol: p rol: 36. Jeddž tgete kroz zdu točku izv krivulje kružic, elips, hiperol i prol. Izvodi. Do ovih jeddž dolzimo tko d đemo prvc koji zdovoljv uvjet dodir s krivuljom, te d prolzi zdom točkom T,. Npišemo jeddžu tgete: k l, do k i l dolzimo tko d riješimo sustv: primjer z uvjet dodir z kružicu iče se l k l k doiv tko d se riješi sustv od jeddže krivulje i prvc tko d postoji dvostruko r k q kp l rješeje, tj. diskrimit kvdrte jeddže mor iti, pogledj. Elips: k l Hiperol: k l ril: p kl... 37. Trslcij koorditog sustv. Koorditi sustv trsltirmo z vektor OO ' pi qi i, j su jediiči vektori, p i q je pomk -, tj. -osi. Iz tog slijedi d su stre koordite jedke: ' p, ' q; ove su ' p, ' q. Jeddž eke krivulje je od F - p, - q. 38. Mtemtičk idukcij. Mtemtičku idukciju koristimo d i dokzli eku tvrdju pretpostvku i to po pricipu d pokžemo d vrijedi z zi, specifič slučj jčešće. Te dokžemo d pretpostvk vrijedi z time smo dokzli d tvrdj vrijedi z sve dljje cijele rojeve. Tri kork: Bz idukcije: provjerimo d vrijedi z roj, tj. z josoviji slučj T 9
ostvimo pretpostvku idukcije, tj. pretpostvimo d vrijedi T 3 Kork idukcije: dokžemo d tvrdj vrijedi z slučj, tj. T. 39. Trigoometrijski prikz kompleksog roj. olri sustv. i - defiicij imgire jediice z i - kompleks roj sstoji se od relog dijel, i imgirog z i td je z z Modul ili psolut vrijedost kompleksog roj: z z z ozčv udljeost točke T, od ishodišt koorditog sustv. N -osi se lzi imgiri dio, -osi reli dio kompleksog roj > kompleks rvi ili Gussov rvi. Kompleksi roj jlkše prikzujemo u polrom sustvu, gdje je svk točk defiir s polrim koorditm r rdijus, tj. udljeost od ishodišt i φ kut koji rdijus ztvr s pozitivim dijelom -osi kompleksog roj z. r cosϕ pogledj defiicije trig. fukcij jediičoj kružici. r cosϕ Iz tog slijedi i rcosϕ i siϕ r z, ϕ rgz rgumet od z, tj. ϕ rctg, s time d mormo još odrediti u koji kvdrt pripd jer ov jeddž im rješej s rzlikom od π u itervlu od do π odiremo rješeje koje se lzi u kvdrtu koji je određe predzcim i \ - I. II. - III. IV. 4. otecirje i korjeovje kompleksog roj Moivreov formul. Izvod. r r z r cos ϕ i si ϕ - de Moivreov formul z z rcosϕ i siϕ rcosϕ isiϕ Izvod dokžemo idukcijom 38.: cos ϕ i si ϕ rcosϕ i siϕ r z z r r cos ϕ i si ϕ cos ϕ i si ϕ cos ϕ isi ϕ cos ϕ cosϕ icos ϕ siϕ cosϕ si ϕ siϕ si ϕ r cos ϕ i si ϕ dicijske : r cos ϕ ϕ i si ϕ ϕ r cos ϕ isi ϕ. Dokzo. ϕ kπ ϕ kπ Z korjeovje z r cos isi, k,,..., izvod: iduk. 4. Teorem o uzstopom prerojvju. Ako elemet sbb možemo izrti iz skup SBB BB rzličitih či, ko tog ez ozir to koji smo elemet već izrli elemet sb Biz skup SBB BB či, ko
tog sb3b iz skup SB3B 3 či itd., od je ukup roj či izor sbb,sbb,...,sk jedk: N BB BB... BkB rimjer: Koliko je mogo redoslijed koje možemo podijeliti ezlkoholo c pivo Žuj Strog svim učeicim e 4. ko zmo d ih je ilo u rzredu 8 op. Isti - rijetko, li to je služe rojk? rvog možemo odrti 8 či, drugog iziremo od preostlih 7, trećeg od 6,... zdjeg smo jed či, jer je jedii preosto svi ostli su već posložei > 8 7 6... 3 8! 4. Vrijcije ez i s povljjem. je k, tj. zivik je! p vrijedi smo!. - vž poredk, elemeti se e povljju Vrijcije s povljjem su zprvo Krtezijev umožk skupov: *Broj rzličitih permutcij skup od elemet izosi! k k k [ k s ] V k S S... S - vž poredk, elemeti se povljju Vrijcije ez povljj: Nko što izeremo jed elemet iz skup više g e uzimmo: V k! primjer u 4. s time d k! 43. Komicije ez povljj.! C k - doivmo roj či koji od skup od elemet k k! k! možemo izvući k elemet e pzeći jihov poredk - doivmo roj rzličitih podskupov s k elemet uzetih iz skup od elemet - ije vž poredk, elemeti se e povljju 44. Biomi poučk. Opis dokz ili idukcijom ili komitoro. Defiirmo prvo fktorijele: 3 4...!,!! Biomi koeficijet: *simetričosti k k! k! k k Biomi poučk:... Dokz idukcijom: Bz: iko smo mogli uvrstit i
retpostvljmo d vrijedi iomi poučk 3 Kork pomožimo s :........ zmo d je i. Grupirmo člove goreje sume koji imju iste potecije doivmo:... HTUQ.E.D.UTH 45. Aritmetički iz. Defiicij i izvod formule z zroj prvih -člov. Niz je ritmetički, ko je rzlik svkog čl i čl ispred jeg stl i izosi d: BB B- B d ili ko 3 uzstop čl čie ritmetički iz:. Broj d je rzlik diferecij ritmetičkog iz. Aritmetički iz s prvim člom BB i rzlikom d im opći čl: BB BB -d Zroj prvih člov iz može se zpisti dv či: SB B BB BB d BB d... BB -d i ko rojim od krj SBB BB BB - d BB d... BB -d Zrjjući jedkosti doije se: SBB BB BB > SBB BB BB. 46. Geometrijski iz. Defiicij i izvod formule z zroj prvih -člov. BB, BBq, BBq, BBq 3,... Niz je geometrijski ko je omjer svkog čl i čl ispred jeg stl: q Broj q ziv se kvocijet geometrijskog iz. Niz je određe ko mu zmo kvocijet i prvi čl. Geometrijski iz s prvim člom BB i kvocijetom q im opći čl: BB BB q - Zog tog će zroj prvih člov iz izositi: SBB BB BBq BBq... BBq - Ako pomožimo SBB s q doijemo: qsbb BBq BBq BBq 3... BBq Oduzimjem tih dviju jedkosti doijemo: SBB qsbb BB BB q odkle slijedi izrz z zroj prvih člov: q q S. 47. Limes iz. Niz je koverget ko im limes u suprotom je diverget.
Broj L je limes iz BB ko z svki m koliko mle roj ε > postoji prirodi roj BB tkv d z sve > B Bvrijedi L < ε, tj. još možemo zpist ko L. L lim lim L rimjer:,,,,..., lim iz kovergir u 3 4 Neogričeo rstući izovi e kovergirju, li pišemo d teži u eskočost: lim. rimjer:. Teoremi o limesim: Ako su BB i B Bkovergeti izovi vrijedi: teorem o limesu zroj i rzlike: lim ± lim ± lim 48. Derivcij. teorem o limesu umošk: lim lim lim 3 teorem o limesu kvocijet: lim lim lim 4 teorem o limesu potecije: lim lim lim 5 mootoost limes: ili < lim lim uvjet d su z svki i, lim lim lim rzličiti od Gruo govoreći derivcij fukcije pokzuje kko se mijej prirst fukcije u ekoj točki. Grfički to izgled: što što fukcij strmije rste u smjeru to je derivcij već slici zele tget, što strmije pd to je već u egtivom smjeru crve, ko je u miimumu, mksimumu ili točki ifleksije derivcij je plv tget je u loklom mksimumu. f f f f rirst z eki možemo ozčiti s što reprezetir sektu grfu fukcije f, kko se rzmk smjuje tko sekt prelzi u tgetu u točki, što je ujedo i derivcij fukcije f u toj točki f f df. lim f '. d 3
rimjer iz fizike je treut rzi put prevlje u vremeu. Treutč rzi je promje put u vrlo, vrlo krtkom ifiitezimlom vremeu. Do derivcij elemetrih fukcij može se doći uvrštvjem elemetre fukcije u gorju formulu, eke od tkvih derivcij su: ', ', l ', si 'cos, C ' cos 'si, e 'e... ostoje još prvil z derivirje složeih fukcij koj više-mje direkto slijede iz svojstv limes: f g 'f ' g ' f g 'f ' g f g' f f ' g f g' ' g g 49. Itegrl. TODO Dodtk zdci: - Riješi ejeddžu: 5 64 65 > 6 64 4 6 5 5 < 3 3 3 8 3 3 3 - Riješi sustv: > > 3 8 3 3 7 3 3 8 3 > t 3 3, t 8t 3 > > t 7, 3 3 t 3 3 3 3 8 > - Odredi površiu jedkokrčog trpez kojemu je zd dulji dijgole cm i o s većom osovicom ztvr kut 3. Spustimo visiu iz D u točku T strici AB, tu visiu izrčumo preko siα c. AT doijemo rčujući cosα c 7.3. AT*DT 73.. - Zd je iz: -5, -4.8, -4.6, Kkv je to iz? Koliki je 5. čl tog iz? Koliko člov iz tre zrojiti d se doije? Niz je ritmetički jer je -5 - -4.8-4.8 - -4.6, d -5 - -4.8., B5 B B B d5-5.8. Iz vio možemo vidjeti d će roj člov ispod ule i izd iti jedk tj. simetričost s ozirom, tj. zdji čl iz će iti 5. Iz tog dolzimo d im 5 člov. 4
- Odredi jeddžu elipse kojoj je lieri ekscetricitet 3 i prolzi točkom,4. F F Lieri ekscetritet e 3 i jeddž elipse zdovoljv 4 p uvrstimo u 4 3, p je jeddž elipse 4 - Izrčuj domeu fukcije f log 3. Idemo redom Fukcij će imti. 5 relu domeu ko je izrz ispod korije veći ili jedk : log. 5 3. Slik u zdtku 5. pokzuje kko izgled grf te logritmske fukcije, p vidimo d 3 < 3 <. - Odredi jeddžu tgete hiperole, ko je tget prlel s 8 6 prvcem -. Ako je prlel zči d im isti koeficijet smjer, tj. glsi: l. Tj prvc mor dirti hiperolu u jedoj točki, tj. rješvje sustv tgete i hiperole dje smo rješeje diskrimit. Međutim, immo i gotovu formulu: uvjeti dodir prvc i hiperole: k l > iz tog slijedi d je jeddž tgete. - Koliko je...? Korijee pretvorimo u potecije p doivmo: 4 8 6...... 4 8 6 možemo izrčuti po formuli. U poteciji doijemo geometrijski red, čiju sumu s, jer je koverget. Doivmo: q 5! 49!!! - Izrčuj:.... Dok se skrti doijemo 549... 49! 48!!!! 5*5/ 75. - U prostoriji je žrulj koliko či možemo osvijetliti sou? - Žrulj može iti ili uplje ili ugše stj, zči ***...* ^ ukupo. ^ jer prostorij ije osvijetlje ko su sve ugšee..... Gor Cetušić i Adrej Dudović 6. 5. revidiro. 8. 5