SEUČILIŠTE J. J. STROSSMAYERA U OSIJEKU Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Zrinka Bertić GREENO TEOREM I PRIMJENE Završni rad Osijek, godina 2012.
SEUČILIŠTE J. J. STROSSMAYERA U OSIJEKU Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Zrinka Bertić GREENO TEOREM I PRIMJENE Završni rad Mentor: doc. dr. sc. Krešimir Burazin Osijek, godina 2012.
Sažetak Predmet ovog završnog rada je proučavanje Greenovog teorema. Uvedeni su pojmovi krivuljnih i plošnih integrala te su iskazani i dokazani teoremi o divergenciji, rotaciji, gradijentu, Stokesov i Cauchyjev teorem. Navedene su osnovne primjene teorema na područje termodinamike, zakone očuvanja te Maxwellove jednadžbe. Ključne riječi: krivuljni integral, plošni integral, Greenov teorem, zakoni očuvanja Abstract The subject of this thesis is to study Green s theorem. Some terms have been introduced, such as curve and volume integrals and surfaces. ivergence theorem, Gradient theorem, Rotation theorem, Stokes theorem and Cauchys theorem are stated and prooved. Some bacis applications of Greens theorem to thermodynamics, conservation laws and Maxwell s equations are given Key words: curve integral, volume integral, Greens theorem, Conservation laws
Sadržaj 1 Uvod 5 2 Greenov teorem 6 2.1 Osnovni pojmovi....................................... 6 2.2 Greenov teorem u ravnini.................................. 11 2.3 Greenov teorem za višestruko povezana područja.................... 14 2.4 Greenov teorem u R n..................................... 15 2.5 Teorem o divergenciji..................................... 17 2.5.1 Neke posljedice teorema o divergenciji...................... 18 2.6 Stokesov teorem........................................ 19 3 Primjene Greenovog teorema 22 3.1 Cauchyjev teorem....................................... 22 3.2 Zakon sačuvanja mase.................................... 22 3.3 Eulerova jednadžba za idealne fluide........................... 24 3.4 rugi Fickov zakon...................................... 26 3.5 Maxwellove jednadžbe i nehomogena valna jednadžba................ 26 4
1 Uvod Zadatak ovog završnog rada je pobliže proučavanje Greenovog teorema. Zanimat će nas teorem u ravnini, na višestruko povezanim područjima, u n-dimenzionalnom prostoru te njegova primjena vezana za realne i kompleksne funkcije više varijabli, kao i neke fizikalne zakone. Rad je podijeljen na dvije veće cjeline, Greenov teorem i primjene Greenova teorema. U prvom dijelu ćemo se upoznati s pojmovima koji su potrebni za uvo denje Greenovog teorema kao što su krivuljni integrali, površina plohe te plošni integrali. Zatim ćemo iskazati i dokazati Greenov teorem u ravnini, Greenov teorem za višestruko povezana područja, Greenov teorem u R n te teorem o divergenciji i Stokesov teorem. U drugom dijelu ćemo se upoznati s nekim primjenama Greenova teorema, počevši sa Cauchyjevim teoremom za funkcije kompleksne varijable. Zatim ćemo spomenuti neke fizikalne primjene Greenova teorema, kao što je zakon sačuvanja mase, Eulerova jednadžba za idealne fluide, difuzijska jednadžba te veza izme du Maxwellovih i valnih jednadžbi. Uz većinu dokaza i defincija priložene su i skice radi lakšeg predočavanja uvjeta teorema ili pojmova. 5
2 Greenov teorem 2.1 Osnovni pojmovi efinicija 2.1. Funkcija f je klase C na Ω ako je ona neprekidna na Ω. Za funkciju f : Ω R kažemo da je klase C k na otvorenom skupu Ω R n ako je ona klase C k 1 na Ω i ako sve parcijalne derivacije k-tog reda funkcije f postoje na Ω i one su na Ω neprekidne. Sa C k (Ω) označavamo skup svih funkcija klase C k na Ω. efinicija 2.2. Za skup Γ R 2 kažemo da je Jordanov luk ili jednostavna glatka krivulja sa rubovima ako vrijedi: 1. postoji bar jedan ure deni par segmenta [a,b] i funkcije r : [a,b] R 2 takvi da je Γ r (t) R 2 : t [a,b]; 2. funkcija r je injekcija sa [a,b] na Γ; 3. funkcija r je klase C 1 na [a,b]; 4. r (t) 0 za svako t [a,b]. Točke A r (a) i B r (b) zovu se rubne točke ili krajevi luka Γ, a za ure deni par ([a,b],r ) koji zadovoljava navedene uvjete kažemo da daje glatku parametrizaciju skupa Γ. Uzmimo da je Γ Jordanov luk i da je sa r r (t), t [a,b], a < b (2.1) dana glatka parametrizacija luka Γ. Neka je f : Γ R realna funkcija definirana na krivulji Γ. Tada je kompozicija f r definirana na segmentu [a,b]. efinicija 2.3. Ako je funkcija t (f r )(t) r (t) R-integrabilna 1 na segmentu [a,b], onda se integral b a f [r (t)] r (t) dt (2.2) naziva krivuljni integral (prve vrste) funkcije f po krivulji Γ i označava sa f ds. (2.3) Γ 1 Za definiciju R-integrabilne funkcije pogledati 1, str. 127 6
efinicija 2.4. Neka je ([a,b],r ) glatka parametrizacija Jordanovog luka Γ i nekaγ označava krivulju Γ orijentiranu od ruba A r (a) prema rubu B r (b). Ako je vektorsko polje a definirano na krivulji Γ i ako je funkcija t a[r (t)] r (t) R-integrabilna na segmentu [a,b] onda se integral b a a[r (t)] r (t) dt (2.4) naziva krivuljni integral polja a po krivulji Γ orijentiranoj od A prema B i taj integral se označava sa a dr. (2.5) Γ efinicija 2.5. Neka je Ω R 3 otvoren skup, f : Ω R skalarno polje, a : Ω R 3 vektorsko polje i neka su ona klase C 1 na Ω. Gradijent skalarnog polja f je vektorsko polje gradf : Ω R 3 definirano s gradf i + j + k z. (2.6) ivergencija vektorskog polja a je skalarno polje div a : Ω R definirano s div a a x + a y + a z z gdje su a x, a y i a z komponente polja a. Rotacija vektorskog polja a je vektorsko polje rot a : Ω R 3 definirano s ( az rot a a ) ( y ax i + z z a ) ( z ay j + a ) i j k x k z a x a y a z (2.7) (2.8) gdje su a x, a y i a z komponente polja a iz R 3 u R. efinicija 2.6. Neka je dan desni koordinatni sustav S (O; i, j, k). efiniramo Hamiltonov diferencijalni operator (nabla) sa i + j + k z (2.9) Sada (2.8) prelazi u rot a a (2.10) što je formalno vektorski produkt nable s poljem a. Isto tako, (2.7) prelazi u div a a (2.11) što daje skalarni produkt od s a. Na kraju, (2.6) prelazi u gradf f (2.12) što pokazuje da se gradijent polja f dobiva primjenom nable na f. 7
efinicija 2.7. Neka je dan desni koordinatni sustav S (O;i, j,k). efiniramo Laplaceov diferencijalni operator sa div grad 2 2 + 2 2 + 2 z 2 (2.13) efinicija 2.8. Otvoren, neprazan i povezan skup Ω R n naziva se područje. Unija područja Ω i njegove granice Ω naziva se zatvoreno područje. efinicija 2.9. Neka je Ω otvoren skup u R n i a : Ω R 3 vektorsko polje koje je neprekidno na Ω. Kažemo da je polje a konzervativno (potencijalno) na Ω ako postoji skalarno polje Φ : Ω R klase C 1 na Ω takvo da je a(p) grad Φ(P), P Ω (2.14) efinicija 2.10. Neka je f : Ω R skalarno polje klase C 1 na otvorenom skupu Ω R 3. Za realan broj c skup S c {P Ω : f (P) c} naziva se nivo ploha polja f. U koordinatnom sustavu (O;i, j,k) je sa f (x, y, z) c dana jednadžba plohe S c. Neka je Γ Jordanov luk koji leži na plohi S c i neka Γ prolazi točkom P 0 S c. Uzmimo glatku parametrizaciju ([a,b],r ) krivulje Γ. Sada je r (t 0 ) P 0,r (t) x(t)i + y(t)j + z(t)k i f (x(t), y(t), z(t)) c za svako t [a, b]. eriviranjem po t dobivamo odnosno dx dt + dy dt + dz z dt 0, gradf (P 0 ) r (t 0 ) 0. (2.15) Formula (2.15) pokazuje da je vektor gradf (P 0 ) okomit na svaku krivulju Γ (odnosno na tangencijalni vektor r (t 0 ) krivulje Γ) u točki P 0 r (t 0 ) koja leži na plohi S c i prolazi točkom P 0. Uzmimo da je gradf (P 0 ) 0 i sa M(P 0 ) označimo ravninu koja prolazi točkom P 0 i okomita je na vektor gradf (P 0 ). Budući da je ravnina M(P 0 ) skup svih točaka P iz R 3 za koje je P #» 0 P gradf (P 0 ) 0, to znači da povlači da je #» P 0 P (x x 0 )i + (y y 0 )j + (z z 0 )k, gradf + j + z k (x x 0 ) + (y y 0) + (z z 0) z 0 (2.16) jednadžba ravnine M(P 0 ). Pri tome u (2.16) parcijalne derivacije treba računati u točki P 0. Ovako definirana ravnina M(P 0 ) zove se tangencijalna ravnina na plohu S c u točki P 0, a sa (2.16) je dana njezina jednadžba. Pravac kroz P 0 koji je okomit na tangencijalnu ravninu M(P 0 ) zove se normala na plohu S c u točki P 0. Točka P R 3 leži na toj normali ako i samo ako postoji realan broj λ takav da je OP #» OP #» 0 + λgradf. Odavde dobivamo parametarsku jednadžbu normale ektor x x 0 +, y y 0 +, n(p 0 ) gradf (P 0) gradf (P 0 ) nazivamo jedinični vektor normale na plohu S c u točki P 0. z z 0 + z, λ R (2.17) 8
efinicija 2.11. Za skup S R 3 kažemo da je ploha klase C k (k 1), ako za svaku točku P 0 S postoje: 1. pravokutni koordinatni sustav (O;i, j,k); 2. okolina točke P 0 ; 3. otvoren skup Ω R 2 ; 4. funkcija f : Ω R klase C k na Ω takvi da je sa z f (x, y),(x, y) Ω dana jednadžba skupa S. Slika 2.1: Parametrizacija plohe efinicija 2.12. Za plohu klase C k kažemo da je glatka ploha ako u svakoj točki (x, y, z) na takvu plohu postoji tangencijalna ravnina. Neka je S glatka ploha. U svakoj točki plohe S uzmimo vanjsku normalu n, tj. vektor n gleda iz područja koje S ograničava van. U tom slučaju kažemo da je ploha S pozitivno orijentirana i tako orijentiranu plohu označavamo sas. rugu moguću orijentaciju plohe S kod koje normala gleda u područje ograničeno sa S zovemo negativna orijentacija. efinicija 2.13. Neka je f : Ω R skalarno polje, gdje je Ω R 3 otvoren skup. Neka je S ploha sadržana u Ω zadana funkcijom z g (x, y), (x, y) R 2, gdje je zatvoren skup ome den s po dijelovima glatkom krivuljom. Plošni integral skalarnog polja f po plohi S je broj S f (x, y, z)ds Pokušajmo opravdati ovu definiciju. ( g f (x, y, g (x, y)) 1 + ) 2 ( ) g 2 + dxdy (2.18) efinicija 2.14. Neka je g : Ω R diferencijabilna funkcija, gdje je Ω R 2 otvoren skup i neka je Ω skup koji je zatvoren i ome den s po dijelovima glatkom krivuljom. Ako se ploha S ortogonalno projicira na skup te je pri tome zadana jednadžbom z g (x, y), (x, y), tada je površina plohe S definirana kao P(S) ( g 1 + ) 2 ( ) g 2 + dxdy ds (2.19) 9
U definiciji (2.14) je izraz ds element površine, dakle površina je jednaka "beskonačnom zbroju" beskonačno malih elemenata površine, što je definicija integrala. Objasnimo formulu za element površine ds. io plohe S koji se projicira na pravokutnik Slika 2.2: Element površine plohe (x 0, y 0 ), (x 0 + dx, y 0 ), (x 0 + dx, y 0 + dy), (x 0, y 0 + dy) aproksimiramo paralelogramom koji leži u tangencijalnoj ravnini plohe S u točki (x 0, y 0, g (x 0, y 0 )), a projicira se na taj pravokutnik. Jednadžba tangencijalne ravnine glasi rhovi paralelograma su z g (x 0, y 0 ) g (x 0, y 0 ) (x x 0 ) + g (x 0, y 0 ) (y y 0 ). T 1 (x 0, y 0, g (x 0, y 0 )) ( T 2 x 0 + dx, y 0, g (x 0, y 0 ) + g (x ) 0, y 0 ) dx ( T 3 x 0 + dx, y 0 + dy, g (x 0, y 0 ) + g (x 0, y 0 ) dx + g (x ) 0, y 0 ) dy ( T 4 x 0, y 0 + dy, g (x 0, y 0 ) + g (x ) 0, y 0 ) dy Površina paralelograma je ds T #» 1 T 2 T #» i j k g (x 1 T 3 dx 0 0,y 0 ) dx g (x 0 dy 0,y 0 ) dy i ( g (x 0, y 0 ) dxdy) + j ( g (x 0, y 0 ) dxdy) + k( dxdy) ( g ) (x0, y 0 ) 2 ( ) g (x0, y 0 ) 2 + + 1 dxdy, 10
a površina plohe je suma svih ds, odnosno P(S) ds. efinicija 2.15. Neka je a : Ω R 3, Ω R 3, neprekidno vektorsko polje. Neka je glatka ploha S Ω zadana funkcijom z f (x, y), (x, y), gdje je otvoren skup s rubom koji je po dijelovima glatka zatvorena krivulja. Plošni integral vektorskog polja a po orijentiranoj plohi je broj (a x ( Koristeći definicije polja jediničnih normala n ) + a y ( 1 + ) + a z ) dx dy. (2.20) j + k ( ) 2 ( ) (2.21) 2 + i elemenata površine ds, uz oznaku ds #» nds, možemo pisati a ds #» a nds. (2.22) S S 2.2 Greenov teorem u ravnini Teorem 2.1. Neka je Ω otvoren skup u R 2 i M, N : Ω R funkcije klase C 1 na Ω. Neka je Γ kontura i neka je zatvoreno područje unutar konture Γ. Pretpostavimo da je podskup od Ω. Zaključak: rijedi formula ( N M ) dx dy M dx + N dy (2.23) Γ gdjeγ označava pozitivno orijentiranu krivulju Γ. okažimo teorem za jedan specijalan slučaj. okaz. Pretpostavimo da je zatvoreno i ograničeno područje takvo da svaka paralela sa y- osi, odnosno sa x-osi, siječe rub Γ područja u najviše dvije točke. Sa a i b označimo brojeve takve da je skup sadržan u pruzi izme du paralela sa y-osi koje idu točkama a i b, tj. [a,b] R. Uvjeti na su takvi da postoje dvije funkcije f 1, f 2 : [a,b] R po dijelovima klase C 1 na [a,b] i takve da je skup izme du grafova funkcija f 1 i f 2, tj. {(x, y) R 2 : f 1 (x) y f 2 (x); x [a,b]} (2.24) Sa Γ 1 označimo graf funkcije f 1 i sa Γ 2 graf funkcije f 2. Sada je Γ Γ 1 Γ 2. Krivulju Γ 1 orijentiramo od točke (a, f 1 (a)) prema točki (b, f 1 (b)), a krivulju Γ 2 od točke (b, f 2 (b)) prema točki (a, f 2 (a)). Tako orijentirane krivulje označimo sa Γ 1 i Γ 2. 11
Slika 2.3: Područje - apscise a i b Pretpostavka da je M funkcija klase C 1 na otvorenom skupu Ω koji sadrži skup osigurava neprekidnost funkcije Φ M na Ω. No tada vrijedi b f 2 (x) Φ dx dy Φ(x, y) dy dx (2.25) Newton-Leibnizova formula daje: f 2 (x) f 1 (x) Prema tome (2.25) prelazi u Φ dy f 2 (x) f 1 (x) a f 1 (x) M dy M(x, f 2(x)) M(x, f 1 (x)). (2.26) M b a b dx dy [M(x, f 2 (x)) M(x, f 1 (x))] dx M(x, f 2 (x)) dx + M(x, f 1 (x)) dx. a b a No Prema tome je iz čega slijedi b a a b M(x, f 2 (x)) dx M dx + 0 dy M dx Γ 2 M(x, f 1 (x)) dx M dx + 0 dy M dx Γ 1 M dx dy Γ 1 M dx dy M dx Γ 2 Γ 2 Γ 1 M dx M dx (2.27) 12
Slika 2.4: Područje - ordinate c i d Neka su sada c i d ordinate najniže i najviše točke ruba i g 1, g 2 takve funkcije da je Umjesto (2.25) sada imamo formulu {(x, y) R 2 : g 1 (y) x g 2 (y); y [c,d]} (2.28) Φ dx dy d c g 2 (y) g 1 (y) koja u slučaju neprekidne funkcije Φ N prelazi u Φ(x, y) dx dy (2.29) N d d dx dy [N (g 2 (y), y) M(g 1 (y), y)] dy N (g 2 (y), y) dy c c + d c N (g 1 (y), y) dy N dx dy Zbrojimo li (2.27) i (2.30) dobivamo Greenovu formulu: N dy N dy (2.30) ( N M ) dx dy (M dx + N dy). (2.31) 13
2.3 Greenov teorem za višestruko povezana područja Teorem 2.2. Neka su Γ 0,Γ 1,...,Γ n konture s ovim svojstvima: 1. bilo koje dvije od tih krivulja su disjunktne; 2. krivulje Γ 1,...,Γ n leže u unutarnjem području krivulje Γ 0 3. krivulja Γ i leži u vanjskom području krivulje Γ j za i j,i 1, j 1. Neka je unija krivulje Γ 0 sa onim dijelom unutarnjeg područja krivulje Γ 0 iz kojeg su izbačena unutarnja područja krivulja Γ 1,...,Γ n. Neka su M i N funkcije klase C 1 na otvorenom skupu koji sadrži skup. Tada vrijedi Greenova formula ( N M ) n dx dy (M dx + N dy) (M dx + N dy) (M dx + N dy) k1 Γ 0 Γ k gdje Γ i (i 0,1,...,n) označava pozitivno orijentiranu krivulju Γ i. Slika 2.5: išestruko povezano područje okaz. Pokažimo teorem za područje kao na slici (2.5). Ovaj skup nastaje tako da iz unutarnjeg područja krivulje Γ 0 izbacimo unutarnje područje krivulje Γ 1 zajedno s Γ 1. Uzmimo točke A,B,C,E, A,B,C,E kao na slici (2.5) b). Primjetimo sada da se skup raspada na dva skupa 1 i 2 od kojih je svaki unutarnje područje po dijelovima glatkih jednostavnih krivulja. Prema Greenovom teoremu je ( N M 1 2 ( N M ) dx dy (M dx + N dy) ) 1 dx dy (M dx + N dy) 2 (2.32) s tim da su krivulje 1 i 2 pozitivno orijentirane. Zbrojimo li formule (2.32), tada zbroj lijevih strana daje lijevu stranu formule (2.31), a zbroj desnih strana prelazi u + + + + + + +. (2.33) Budući da je B A AB, A A E EC EC C B B C E, B A A A E + AB E E A BC C, Γ 0 C E EE A C B B + BC C Γ 1 14
to prelazi u (M dx + N dy) + Γ 0 Γ 1 (M dx + N dy), (2.34) a to pokazuje da formula (2.31) vrijedi ukoliko granicu od orijentiramo kao na slici (2.5) c). 2.4 Greenov teorem u R n Teorem 2.3. Neka je Ω R n otvoren i ome den skup i Ω klase C 1. Tada za skalarno polje f klase C 1 na nekoj okolini od Ω (najmanje na zatvaraču skupa Ω ) vrijedi Ω dx Ω f n i ds (2.35) gdje je n (n 1,n 2,...,n n ) polje vanjskih jediničnih vektora normale na Ω zadano s (2.21). okaz. U dokazu ćemo koristiti tehniku koja se zove particija jedinice. Ukratko, neka je dan realni broj ɛ > 0. Tada postoji familija funkcija ϕ 1,...,ϕ n definiranih na R n klase C 1 takvih da vrijedi n ϕ k 1 na zatvaraču od Ω k1 za svaki k,ϕ k 0 izvan kugle radijusa ɛ Prvo se izaberu nenegativne funkcije ϕ k koje zadovoljavaju drugo svojstvo takve da je njihova suma pozitivna na zatvaraču od Ω i onda se svaka od njih normalizira tako da se podijeli sa ukupnom sumom. Funkcije ne moraju nužno biti klase C 1, već bilo koje klase C k. Koristeći particiju jedinice, dovoljno je dokazati (2.35)za svaki produkt ϕ k f i zatim zbrojiti sve rezultate da bi dokazali teorem. Sada promatramo dva slučaja. Prvi je slučaj kada je čitava kugla unutar koje je funkcija f nenegativna sadržana u interioru skupa Ω. Tada je desna strana od (2.35) jednaka nuli jer je f n i jednako nuli na Ω. Tada za lijevu stranu dobivamo a unutarnji integral iznosi Ω dx R n dx R n 1 dx i 0. dx i ds, rugi slučaj je nešto kompliciraniji. Ovdje je funkcija f nenegativna unutar kugle proizvoljno malog radijusa ɛ, ali ta kugla siječe Ω. Particiju jedinice ćemo primjeniti na ovaj slučaj tako da izaberemo tako male kugle da kada jedna presiječe Ω, otvoreni skup Ω u okolini te kugle možemo opisati kao "jednu stranu" grafa funkcije klase C 1. 15
Slika 2.6: Primjer drugog slučaja io skupa Ω koji je prikazan na slici možemo opisati nejednakošću x j > ϕ(x 1,..., x j 1, x j +1,..., x n ), odnosno x j < ϕ(x 1,..., x j 1, x j +1,..., x n ) ukoliko se skup nalazi sa druge strane ruba, ali tu varijantu nećemo razmatrati. Prilagodimo sada neke oznake. Prvo, pošto je f jednaka nuli izvan neke proizvoljno male kugle, smijemo pretpostaviti da je f definirana za sve x j koji zadovoljavaju gornju nejednakost. rugo, razmjestit ćemo koordinate tako da je j n. Treće, sa x ćemo označiti vektor x (x 1,..., x n 1 ) tako da je f definirana za sve x takve da je x n > ϕ(x ), x, gdje je R n 1 proizvoljno mala kugla. Sada možemo polje n zadati sa n ( ϕ ) ϕ 1,, n 1, 1, (2.36) ϕ 2 + 1 te Prema tome, ds ϕ 2 + 1 dx 1...dx n 1 ϕ 2 + 1 dx (2.37) { ϕ n i dx dx dx za i n za i n (2.38) Iz ovih formula slijedi da moramo promatrati još dva slučaja. Neka je prvo i n. Ovdje imamo Ω čime je teorem dokazan. n dx ϕ(x ) dx n dx n f (x,ϕ(x )) dx Ω f x n x n ϕ(x ) dx f n n ds rugi slučaj gledamo za i n. Ovdje imamo problem što moramo prvo napraviti integraciju po x n, pa ćemo za svaki fiksan x napraviti zamjenu x n ϕ(x )+t. Tada za 0 < t < imamo: 16
Ω dx ϕ(x ) 0 (0, ) (0, ) (x, x n ) dx n dx (x,ϕ(x ) + t) dt dx (x,ϕ(x ) + t) dt dx [ (f (x,ϕ(x ) + t)) ϕ ] dt dx n Sada provodimo dvije integracije. Prvo ćemo vidjeti što se dogodi s prvim dijelom integrala. Pošto integraciju provodimo za fiksan t, ustvari imamo (f (x,ϕ(x ) + t)) dx i 0. Za drugi dio integrala vratimo se s varijable t na x n pa dobivamo Ω dx (0, ) Ω Ovime je u potpunosti dokazan teorem. ϕ ϕ ϕ (x,ϕ(x ) + t) dt dx n ϕ(x ) n (x, x n ) dx n dx f (x, x n ) x n x n ϕ(x ) dx ϕ f (x,ϕ(x )) dx f n i ds 2.5 Teorem o divergenciji Teorem 2.4. Neka je zatvoreno područje u prostoru R 3 ograničeno sa po dijelovima glatkom zatvorenom plohom koja samu sebe ne presijeca i neka je n polje vanjskih normala na S zadano s (2.21). Ako je a vektorsko polje klase C 1 u okolini područja, onda vrijedi formula: div a dx dy dz S a #» ds (2.39) 17
odnosno div a d S a n #» ds (2.40) Slika 2.7: Po dijelovima glatka ploha S S 1 S 2 S 0 Formula 2.40 zove se još i Gauss-Green-Ostrogradski formula, a ovim teoremom omogućeno je pretvaranje integrala po plohi S u trostruki integral po području koje ta ploha ome duje. okaz teorema se provodi jednako kao i dokaz Greenovog teorema u R n jer je teorem o divergenciji ustvari Greenov teorem definiran na R 3 za vektorsko polje a. 2.5.1 Neke posljedice teorema o divergenciji Neka je (O;i, j,k) desni pravokutni koordinatni sustav i zatvoreno područje prostora ograničeno plohom S takvom da se teorem o divergenciji može primjeniti na svako vektorsko polje klase C 1 u okolini od. Teorem o gradijentu Teorem 2.5. Neka je f skalarno polje klase C 1 u okolini područja. Tada vrijedi gradf d f n ds (2.41) gdje je n polje jediničnih vektora normale dano formulom (2.21). okaz. Jednostavnim računom dobivamo: gradf d i d + j d + k z d i div(i f )d + j div(j f )d + k div(k f )d čime je teorem dokazan. i i f n ds + j j f n ds + k k f n ds [( n i )i + ( n j )j + ( n k)k]f ds f n ds 18
Teorem o rotaciji Teorem 2.6. Neka je a vektorsko polje klase C 1 u okolini područja. Tada vrijedi rot a d ( n a) ds (2.42) gdje je n polje jediničnih vektora normale dano formulom (2.21). okaz. Jednostavnim računom dobivamo: rot a d i i [ az a ] y d + j z div(a z j a y k)d + j [ ax z a z ] d + k div( a z i + a x k)d + k div(a y i a x j )d i (a z j a y k) n ds + j ( a z i + a x k) n ds + k (a y i a x j ) n ds čime je teorem dokazan. [ i n j a y ( n a) ds n k j n i a z a x n k + k n i a z a x ] n j ds a x [ ay a ] x d 2.6 Stokesov teorem Neka je (O;i, j,k) desni pravokutni koordinatni sustav u prostoru, Ω područje koje leži u x y- ravnini i neka je f : Ω R funkcija klase C 2 na Ω. Uzmimo zatvoreno područje Ω takvo da je γ glatka kontura i pretpostavimo da paralele sa x-osi, odnosno sa y-osi, sijeku krivulju u najviše dvije točke. Puni valjak R nad područjem isijeca dio S plohe z f (x, y), (x, y) Ω. Sa Γ označimo krivulju koja obrubljuje plohu S, tj. dio plohe S koji se projicira na γ. Krivulju γ orijentiramo u pozitivnom smjeru i tu orijentaciju prenesemo na Γ, tj. krivulju Γ orijentiramo tako da točka (x, y, f (x, y)) napreduje po Γ u pozitivnom smislu, kada točka (x, y) prolazi po γ suprotno kretanju kazaljke na satu. 19
Slika 2.8: aljak R Ako je x U (t), y (t), t [a,b] glatka parametrizacija krivulje γ koja odgovara pozitivnoj orijentaciji, onda je sa ρ(t) U (t)i + (t)j + f (U (t), (t))k, t [a,b] (2.43) dana glatka parametrizacija krivulje Γ. Napomenimo da je ploha S dana sa r (x, y) xi + y j + f (x, y)k, (x, y). Jedinični vektor T tangente na krivulju Γ ima isti smjer kao i vektor ρ. Sada ćemo sa n(p) označiti jedinični vektor normale u točki P S usmjeren tako da se gledano sa vrha vektora n krivulja Γ oko S obavija suprotno kretanju kazaljke na satu. Ploha S, za koju je u svakoj točki odabran jedinični vektor normale, orijentirana je ploha. Ukoliko su ploha S i njezin rub Γ orijentirani na gore opisani način, kažemo da su oni koherentno orijentirani. Teorem 2.7. Neka je S po dijelovima glatka ploha i neka je granica S od S (orijentirana sa P n(p)) po dijelovima glatka jednostavna zatvorena krivulja, orijentirana koherentno s orijentacijom plohe S funkcijom tangente P n(p). Tada vrijedi formula rot a ds #» a T ds (2.44) za svako vektorsko polje a klase C 1 u okolini plohe S. S okaz. Stokesov teorem će biti dokazan uz neke vrlo restriktivne uvjete. Funkcija f će biti klase C 2, a granica γ područja glatka krivulja. Ti uvjeti se mogu oslabiti tako da f bude klase C 1, a granica γ po dijelovima glatka krivulja takva da područje zadovoljava uvjete Greenova teorema. S 20
Slika 2.9: Primjer područja za koje vrijedi Stokesov teorem Primjenit ćemo formulu (2.31) za pogodno odabrane funkcije M a r Koristit ćemo formulu ( r ( a) r ) ( a r ) ( a r ) koju je lako direktno provjeriti. Polazeći od parametrizacije (2.43) krivulje Γ imamo i N a r. (2.45) S a T ds b a a[r (U (t), (t))]ρ (t)dt b [ r a[r (U (t), (t))] U (t) + r ] (t) dt a [ ( (M dx + N dy) a r ) ( a r )] dx dy ( ( a) r ) ( dx dy ( a) i j ) + k dx dy S ( a) #» ds čime je teorem dokazan. U slučaju da je a M i + N j i S, Stokesova formula prelazi u Greenovu formulu. 21
3 Primjene Greenovog teorema 3.1 Cauchyjev teorem efinicija 3.1. Neka je Ω C, f : Ω C i definirajmo realne funkcije u i v sa f (z) u(x, y) + i v(x, y), z x + i y Ω, (3.1) tj. u Ref, v Imf. Ako je funkcija f neprekidna na Ω, f se zove analitička funkcija na Ω. Teorem 3.1. Ako je funkcija f analitička u otvorenom skupu Ω C i ako je Γ kontura koja zajedno sa svojim unutarnjim područjem leži u Ω, onda je f (z) dz 0 (3.2) Γ okaz. Neka je Ω C otvoren skup i neka je f analitička funkcija na Ω. Tada su realni u Ref i imaginarni v Imf dijelovi od f : Ω C funkcije klase C 1 koje su vezane Cauchy-Riemannovim uvjetima rijedi Γ f (z) dz u v, Γ u v (u dx v dy) + i Γ (v dx + u dy) Primjenjujemo Greenov teorem (2.31) uzimajući M u, N v, odnosno M v, N u i koristeći jednadžbe (3.3) dobivamo Time je teorem dokazan. Γ Γ (u dx v dy) (v dx + u dy) ( v u ) dx dy 0 ( u v ) dx dy 0 (3.3) 3.2 Zakon sačuvanja mase Uzmimo da proučavamo stacionarno protjecanje fluida. To je takvo protjecanje tekućine pri kojem brzina v i gustoća ρ tekućine ne ovise o vremenu nego samo o položaju u prostoru. Zamislimo plohu S u tekućini i pokušajmo odrediti količinu tekućine koja tokom kratkog vremenskog intervala t proteče kroz plohu S. U tu svrhu plohu S podijelimo na male plohe S 1,...,S m. Količina tekućine koja kroz malu plohu S k površine µ(s k ) proteče tokom vremena t odre dena 22
je volumenom valjka kome je baza S k, a duljina izvodnice je jednaka v t. Označimo li sa n(q k ) jedinični vektor normale na plohu S k u točki Q k koja leži na S k, onda je sa ρ(q k )µ(s k ) v(q k ) n(q k ) t približno dana količina tekućine koja kroz S k proteče za vrijeme t. No tada je sa n ρ(q k )µ(s k ) v(q k ) n(q k ) k1 približno dana količina tekućine koja pro de u jedinici vremena plohom S. Odavde vidimo da plošni integral ρ v n ds (3.4) S daje traženu količinu tekućine koja u jedinici vremena proteče kroz plohu S, što možemo shvatiti i kao količinu tekućine koja u jedinici vremena isteče i uteče u kuglu (r ) radijusa r koja je ome dena plohom S. Ako je (3.4) strogo pozitivna veličina, to onda znači da se iz (r ) u jedinici vremena više tekućine izlije nego što se ulije. To bi značilo da u tom dijelu prostora postoje izvori tekućine. Sa 1 ρ v n ds, (3.5) µ( (r )) S gdje je µ( (r )) volumen kugle (r ), dana je prosječna gustoća jakosti izvora koji se nalaze u (r ). Prije demo li na limes po r 0 i iskoristimo formulu 1 div a (P) lim a n ds r 0 µ( (r )) dolazimo do zaključka da divρ v u točki P daje intenzitet izvora tekućine u točki P. Prema tome, div a (P) > 0 znači da polje a ima izvor u točki P. Analogno tome, div a (P) < 0 znači da polje a u točki P ima ponor, a ako je div a 0 na, onda to znači da nema ni izvora ni ponora. Uzmimo sada da promatramo protjecanje tekućine kojoj gustoća ρ zavisi od položaja i od vremena, tj. da je ρ funkcija od x, y, z i od t. Masa tekućine u području je tada dana s m(t) ρ d, a sa v dm dt S ρ v ds (3.6) dana je količina tekućine koja u jedinici vremena iza de iz područja. Promjena (3.6) nastaje iz dva dijela. U prvom redu promjena gustoće tokom vremena koja doprinosi da masa ρ d (3.7) tekućine iza de iz. Nadalje, izvori (ili ponori) jačine τ koji se nalaze u doprinose da iz iza de tekućina mase 4π ρ τ d. (3.8) 23
Teorem o divergenciji daje ρ v ds div(ρ v) d. (3.9) Zbroj od (3.7) i (3.8) daje masu koja u jedinici vremena isteče iz, a to je jednako (3.9). Prema tome ρ 4π ρ τ d d div(ρ v) d [ div(ρ v) + ρ ] 4πτ d 0. (3.10) Budući da je podintegralna funkcija u (3.10) neprekidna i da je zamišljeno područje proizvoljno iz (3.10), dobivamo: ρ + div(ρ v) 4 π ρ τ (3.11) Jednadžba (3.11) naziva se jednadžba kontinuiteta i ona je temeljna jednadžba hidrodinamike. 3.3 Eulerova jednadžba za idealne fluide Teorem 3.2 (Jednadžba transporta). Neka je F vektorsko polje na R 3 i označimo tok vektorskog polja F s početkom u x u vremenu t sa φ( x, t). Neka je J( x, t) Jakobijan od φ t : x φ( x, t) za neki t fiksan. Tada vrijedi J( x, t) [div F (φ( x, t))] J( x, t). (3.12) Za danu funkciju f (x, y, z, t) i područje W R 3, jednadžba transporta glasi: ( ) d f f (x, y, z, t) dx dy dz d t t + f div F dx dy dz, (3.13) W t gdje je W t φ t (W ), što označava područje koje se kreće s tokom, i gdje je W t f t + f F. Neka su φ, J, F, f definirani kao u teoremu. ektorska forma gornjeg teorema glasi ( ) d (f F ) dx dy dz d t (f F ) + F (f F ) + (f F )div F dx dy dz (3.14) W t W t gdje F (f F ) označava 3x3 matricu (f F ) koja djeluje na vektor stupac F. Jednadžba kontinuiteta nije dovoljna da bismo potpuno opisali kretanje fluida. Fluidi koje opisuje jednadžba kontinuiteta mogu biti stlačivi. Ako je div v 0 (nestlačivi slučaj) i ρ je konstanta, tada vrijedi formula ρdiv v + v ρ + ρ 0. Me dutim općenito, čak i u slučaju nestlačivih fluida, formula nije automatski primjenjiva jer je ρ funkcija od (x, y, z) i t. Prema tome, čak i ako vrijedi div v 0, div(ρ v) 0 tako der može biti istinito. 24
Ovdje ćemo razmatrati Eulerovu jednadžbu idealnog fluida. Neka se neviskozan fluid giba kroz prostor brzinom v. Kada kažemo da je fluid idealan, pri tome mislimo da ako je W neki dio prostora kroz koji se fluid giba, sile tlaka djeluju na rub od W duž njegove normale. Pretpostavimo da je sila na jediničnu površinu koja djeluje na W jednaka p n, gdje je p(x, y, z, t) funkcija koju ćemo zvati tlak. Prema tome, ukupna sila koja djeluje na W jednaka je F W p nds. (3.15) W Ovo je vektorska veličina; i -ta komponenta od F W je integral po i -toj komponenti od p n nad W (što je plošni integral realne funkcije). Ako je e neki fiksan vektor u prostoru, dobivamo F W e p e nds, što je integral skalara nad W. Prema teoremu o divergenciji i ako iskoristimo relaciju div(f F ) f div F + F f dobivamo E F W div(p E) dx dy dz (gradp) E dx dy dz pa je W F W W W W p dx dy dz (3.16) Sada primjenimo Newtonov drugi zakon na područje W t koje se giba. Kao u jednadžbi transporta, W t φ t (W ), gdje φ t (x) φ(x, t) označava vektorski tok polja v. Promjena brzine gibanja fluida u W t jednaka je sili koja djeluje na njega: d p v dx dy dz F Wt p dx dy dz. d t W t Primjenimo vektorski oblik jednadžbe transporta na lijevu stranu i dobivamo ( ) (ρ v) + v (ρ v) + ρ vdiv v dx dy dz p dx dy dz. W t Pošto je W t prozivoljan, to je ekvivalentno W t W t (ρ v) + v (ρ v) + ρ vdiv v p. Pojednostavljivanje pomoću formule izvedene iz jednadžbe kontinuiteta koja glasi nam daje ρdiv v + v ρ + 0 ( ) v ρ + v v p. (3.17) Gornja jednadžba se naziva Eulerova jednadžba za idealne fluide. Za stlačive fluide, p će biti funkcija od ρ (npr. za neke plinove vrijedi p Aρ γ, gdje su A i γ konstante). Ako je fluid nestlačiv, ρ će biti odre deno iz uvjeta div v 0. 25
3.4 rugi Fickov zakon Neka je T (t, x, y, z) funkcija klace C 2 koja označava temperaturu u nekom tijelu u vremenu t. Tada je T funkcija vremena, a toplina "teče" unutar vektorskog polja T F. Primjetimo da T ide u smjeru porasta temperature. Pošto toplina prelazi s toplijeg tijela na hladnije, stavljen je minus da bi model odgovarao fizikalnoj stvarnosti. Gustoća energije, odnosno količina energije u jedinici vremena, se označava sa cρ 0 T, gdje je c konstanta koju zovemo specifični toplinski kapacitet, a ρ 0 je gustoća mase, što je tako der konstanta. ektor toka energije je definiran sa J k F, gdje je k konstanta koju nazivamo provodljivost. Pretpostavimo sada da je ukupna količina energije očuvana. To znači da J i ρ cρ 0 T ispunjavaju zakon očuvanja mase, gdje ρ ima ulogu mase (iako je ustvari gustoća energije). Sada imamo d ρd J n ds d t što je ekvivalentno jednadžbi kontinuiteta Me dutim, W div J + ρ W div J div( k T ) k T gdje je Laplaceov operator zadan sa (2.7). Nadalje, Prema tome, jednadžba (3.18) prelazi u gdje je κ k cρ 0 konstanta difuzije. ρ (cρ 0T ) T cρ 0. 0. (3.18) T k T κ T, (3.19) cρ 0 Jednadžba (3.19) se naziva jednadžba difuzije ili drugi Fickov zakon. 3.5 Maxwellove jednadžbe i nehomogena valna jednadžba Neka su E i H funkcije od (t, x, y, z) klase C 1 takve da čine vektorsko polje za svaki t. Fizikalno, E možemo promatrati kao električno, a H kao magnetno polje. Takva polja zadovoljavaju Maxwellove jednadžbe gdje je ρ(t, x, y, z) gustoća naboja, a J(t, x, y, z) gustoća električne struje: E + H H E E ρ (Gaussov zakon) (3.20) H 0 (ne postoje magnetni monopoli) (3.21) 0 (Faradayev zakon) (3.22) J (Ampereov zakon) (3.23) 26
Prema prethodnim jednadžbama možemo zaključiti da, s protjecanjem vremena t, polja E i H me dudjeluju te djeluju na naboje ili tokove struje koji su prisutni. Pošto je H 0, postoji vektorsko polje A takvo da vrijedi H A (ako pretpostavimo da je H definirano na čitavom R 3 za svako vrijeme t). ektorsko polje A nije jedinstveno pa možemo koristiti A A + f za bilo koju funkciju f (t, x, y, z) jer je f 0. Za svaki takav A, prema jednadžbi (3.22), dobivamo 0 E + H E + A ( ) E A E + A Primjetimo da je vektorsko polje E + A potencijalno. To znači da postoji realna funkcija φ na R 3 takva da vrijedi E + A φ. (3.24) Primjenimo sada jednadžbu (3.24) i relaciju ( A) ( A) A na jednadžbu (3.23) i u tom slučaju dobivamo ( ) J H E ( A) A φ Prema tome, što znači ( A) A + 2 A 2 + ( φ). A 2 A 2 J + ( A) + ( φ) ( A 2 A 2 J + A + φ ). (3.25) Iskoristimo li ponovno jednadžbu (3.24) i jednadžbu (3.20), dobivamo ( ) ρ E φ A φ ( A), odnosno φ ρ ( A). (3.26) Iskoristimo sada slobodu koju imamo pri izboru vektorskog polja A. Uvodimo "uvjet" A + φ 0. (3.27) Moramo biti sigurni da to možemo napraviti. Pretpostavimo li da imamo zadane A 0 i pripadnu funkciju φ 0, možemo li izabrati novi A A 0 + f i novi φ takav da vrijedi A + φ 0? S novim A, novi φ je φ 0. 27
Uvjet (3.27) tada postaje to jest 0 ( A 0 + f ) ( ) φ 0 A 0 + f + φ 0 2 f 2, ( f 2 f 2 A 0 + φ ) 0. (3.28) Prema tome, da bismo mogli izabrati A i φ koji zadovoljavaju A + φ 0, moramo moći riješiti jednadžbu (3.28) koju zovemo nehomogena valna jednadžba. Ako prihvatimo da A i φ mogu biti izabrani tako da zadovoljavaju A+ φ (3.25) i (3.26) za A i φ postaju A 2 A 2 J φ 2 φ 2 ρ. 0, tada jednadžbe Obratno, ako A i φ zadovoljavaju jednadžbe A+ φ 0, φ 2 φ ρ i A 2 A J, tada 2 2 polja E φ A i H A zadovoljavaju Maxwellove jednadžbe. U tom slučaju Maxwellove jednadžbe možemo promatrati kao valne jednadžbe. 28
Literatura 1 S. Kurepa, Matematička analiza 3, Tehnička knjiga, Zagreb, 1975. 2 K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Mathematical Methods for Physics and Engineering, Cambridge University Press, Cambridge, 2006. 3 C.L. Evans, Partial ifferential Equations, American Mathematical Society, Berkeley, 1997. 4 Š. Ungar, Matematička analiza 4, skripta 5 I. Slapničar, Matematika 3, Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje, Split, 2006. 6 H. Kraljević, S. Kurepa, Matematička analiza 4 (Funkcije kompleksne varijable), Tehnička knjiga, Zagreb, 1986. 7. A. Zorich, Mathematical Analysis II, 4th Corrected Edition, Moscow, 2002. 8 J. E. Marsden, A. J. Tromba, ector Calculus, Fifth Edition, New York, 2003. 29