Predavanja iz Statistike. Autor: dr.sc. Zdenka Zenzerović

Predavanja z Statstke Autor: dr.sc. Zdenka Zenzerovć 1

1. UVOD Pojam masovne pojave statstčka masa defncja statstke statstčka jednca statstčko oblježje vrste statstčkog oblježja faze statstčkog rada pojam statstčke tabele tablce formranje statstčkog nza vrste statstčkh nzova. Masovna pojava je svaka pojava koja sadrţ velk broj jednca; prmjerce: student Sveuĉlšta u Rjec, dnevn broj putnka prevezenh gradskm autobusma, znos ostvarenog bruto domaćeg prozvoda u promatranoj vremenskoj jednc, promet tereta u hrvatskm lukama, td. Statstčka masa je ona masovna pojava koja je odabrana za predmet statstĉkog straţvanja koja se sptuje odgovarajućm statstĉkm metodama s cljem odreċvanja znaĉajk promatrane pojave. Statstka je znanstvena dscplna koja prouĉava masovne pojave prmjenjujuć na njh odgovarajuće statstĉke metode korsteć prtom brojĉan grafĉk naĉn zraţavanja. Statstĉka masa je skup jednca kao svak skup moţe se grafĉk prkazat krugom, a toĉkama unutar kruga jednce sadrţane u statstĉkoj mas. Prmjerce, broj zaposlenh u prvred Republke Hrvatske u 000. godn prkazan je na shem 1. Shema 1. Prkaz statstĉke mase Zaposlene osobe u RH u 000.god..= jedna zaposlena osoba Broj jednca u promatranoj statstĉkoj mas je konaĉan l beskonaĉan broj. Za svaku pojavu za koju se moţe odredt ukupan broj jednca je skup s konaĉnm brojem, prmjerce, broj zaposlenh u prvred Republke Hrvatske, meċutm za neke pojave nje z objektvnh razloga moguće odredt ukupan broj jednca pa je rjeĉ o skupovma s beskonaĉnm brojem jednca, prmjerce: broj vozla u gradu tjekom dana,. Statstčka jednca je, dakle, element statstĉke mase. Broj statstĉkh jednca nazva se frekvencjom oznaĉava smbolom f. Statstĉka masa treba bt defnrana prostorno, vremensk pojmovno, tj. potrebno je odredt prostor vrjeme na koje se odnos statstĉka jednca kao svojstva koja mora mat jednca da b bla ukljuĉena u odgovarajuću statstĉku masu.

Prmjerce, za pojavu z prethodne sheme statstĉka jednca je jedna osoba zaposlena u prvred Republke Hrvatske u 000. godn u radnom odnosu na neodreċeno vrjeme. 1 Statstĉke jednce maju nz svojstava po kojma se podudaraju jedna s drugom, al po kojma se meċusobno razlkuju. MeĊutm, najmanje jedno svojstvo mora bt zajednĉko da b jednce prpadale stom skupu, a te osobne prozlaze z defncje statstĉke mase. Statstčko obljeţje je svojstvo l osobna statstĉke jednce. Svaka statstĉka jednca ma relatvno velk broj svojstava koja se mogu gruprat u ĉetr skupne: atrbutvno, prostorno, vremensko numerĉko obljeţje. Prostorno obljeţje oznaĉava prostor (geografsko podruĉje), vremensko obljeţava vrjeme na koje se odnos statstĉka jednca; numerĉko obljeţje jest ono koje se moţe zrazt samo brojem, a atrbutvno rjeĉma (ako obljeţje nje prostorno l vremensko). Prmjerce, osoba zaposlena u prvred Republke Hrvatske u 000. godn ma ova obljeţja: spol, struĉna sprema, godne radnog staţa, znos plaće, godne starost, djelatnost, vrjeme zapošljavanja: godne, mjesec, podruĉje: općne, ţupanje, mjesto boravka, td. Analzom pojednh svojstava statstĉke jednce mogu se odredt znaĉajke promatrane pojave. Da b se ostvaro postavljen clj straţvanja potrebno je provest odreċene faze statstčkog rada, to: 1. Statstčko promatranje - faza prkupljanja nformacja o statstĉkm jedncama obuhvaćenh promatranom statstĉkom masom. S obzrom na obuhvat jednca promatranje je scrpno l reprezentatvno, prema vremenu provoċenja jednokratno, perodĉno l tekuće promatranje, a prema naĉnu, prkupljanje se organzra psanm l usmenm putem.. Grupranje (klasfkacja) - faza grupranja nformacja prema jednom l vše odabranh statstĉkh obljeţja u kojoj se kao rezultat dobvaju statstĉk podac. Statstĉk podatak je sreċena, odnosno obraċena nformacja predstavlja broj statstĉkh jednca (frekvencju) koje prpadaju pojednom oblku statstĉkog obljeţja. 3. Statstčka analza - faza u kojoj se, na podatke o jednoj l vše promatranh statstĉkh masa, prmjenjuju odgovarajuće statstĉke metode da b se odredle znaĉajke th pojava. Rad preglednost nformacje o statstĉkm jedncama statstĉk podac prkazuju se u statstĉkoj tabel, to rezultat statstĉkog promatranja u zvještajnoj, a rezultat grupranja u analtĉkoj tabel. U praks te u struĉnoj znanstvenoj lteratur u zadnje se vrjeme ĉesto korst termn tablca umjesto tabela. MeĊutm, statstĉka tablca ne nastaje kao rezultat faze statstĉkog promatranja, već se sastoj od nza brojeva dobvenh prmjenom odgovarajućh raĉunskh radnj l znosa odreċenh velĉna koje se upotrebljavaju u 1 Prema statstĉkoj metodologj zaposlenom osobom smatra se osoba koja je s poslodavcem sklopla ugovor o zasnvanju radnog odnosa na neodreċeno vrjeme. Općento, pojmovno defnranje statstĉke mase propsano je obrazloţeno u Statstĉkoj metodologj Drţavnog zavoda za statstku Republke Hrvatske. Statstĉk podatak je sreċena, gruprana nformacja. Informacja je da su u vremenu od 10 do 10.15 sat evdentran sljedeć prjelaz automobla preko raskršća: u 10.01 jedan bjel automobl, u 10.05 jedan crven automobl, u 10.06 jedan crven automobl, u 10.10 nt bjel, nt crven automobl, u 10.15 jedan crven automobl. Podatak je da su u vremenu od 10 do 10.15 sat prošl kroz promatrano raskršće jedan bjel automobl, tr crvena automobla jedan automobl boje razlĉte od bjele crvene. 3

stupac stupac Zbrojn stupac rješavanju raznh zadataka. U Rjeĉnku hrvatskog jezka [Anć, str. 733.] dopušta se termn tablca kao snonm za tabelu. Prmjerce, grupran podac o broju zaposlenh prema djelatnost prkazuju se u oblku statstĉke tabele, a logartm brojeva, sluĉajn brojev, vjerojatnost pr odreċenm teorjskm razdobama nalaze se u statstĉkm tablcama. Statstčka tabela je skup statstĉkh jednca jedne l vše pojava razvrstanh prema jednom l vše obljeţja statstĉkh jednca te, rad preglednost, prkazanh u odgovarajućem broju redaka stupaca. Sadrţaj oblk statstĉke tabele prkazan su na shem. Shema. Sadrţaj statstĉke tabele Broj tabele NASLOV TABELE Tumaĉ redaka predstupac l pretkolona Oznaka retka Oznaka retka Oznaka stupca Tumaĉ stupaca-zaglavlje Oznaka stupca Redak Redak Ukupno Polje tabele Polje tabele Ukupno Zbrojn redak Opaska Oznaka zvora Izvor: Serdar, V.-Šošć, I.: Uvod u statstku, Školska knjga, Zagreb, 1986., str.17. U praks se pojavljuju tr vrste analtčkh tabela: Jednostavna tabela - tabela s jednm stupcem za prkazvanje statstĉkh podataka jedne statstĉke mase kod koje su statstĉke jednce razvrstane prema jednom obljeţju. Sloţena tabela - tabela s dva l vše stupaca za prkazvanje statstĉkh podataka dvju l vše statstĉkh masa kod kojh su statstĉke jednce razvrstane prema jednom obljeţju. Kombnrana tabela - tabela s dva l vše ulaza za prkazvanje statstĉkh podataka jedne l vše statstĉkh masa kod kojh su statstĉke jednce gruprane stodobno prema vše od jednog obljeţja. Grupranjem statstĉkh jednca prema odabranom obljeţju dobva se statstĉk nz. Statstčk nz je nz podataka koj se odnose na statstĉke jednce gruprane prema jednom odabranom obljeţju koj su prkazan u statstĉkoj tabel. Obljeţje prema kojem je obavljeno grupranje odreċuje vrstu statstĉkog nza. Tako se razlkuju: atrbutvn, geografsk, numerĉk vremensk nzov. 4

U tabel 1 dan su podac o broju zaposlenh bruto domaćem prozvodu u prvred Republke Hrvatske u 000. godn prema djelatnostma, a u tabel podac o prometu robe u hrvatskm lukama u 00. godn po pravcma kretanja predstavljaju prmjere atrbutvnog, odnosno atrbutvnog geografskog nza. U tabelama 3, 4 5 statstĉke jednce (grupe zaposlenka u tabel 3, broj dana u tabel 4 te tone tereta u tabel 5), gruprane su prema numerĉkom obljeţju (broj sat, broj pozva udaljenost u km) zato se nzov z th tabela svrstavaju u numerĉke nzove. Podac z tabela 6 7 odnose se na broj prevezenh putnka u gradskom zraĉnom prjevozu Republke Hrvatske u razdoblju od 1991. do 001.godne, odnosno na svjetsku kontejnersku flotu u razdoblju od 199. do 001. godne predstavljaju prmjere vremenskh nzova. TABELA 1. Broj zaposlenh bruto domać prozvod u prvred Republke Hrvatske u 000. godn prema djelatnostma (stanje 31.3.) Šfra DJELATNOST BROJ ZAPOSLENIH (stanje 31.03.) UKUPNO ŢENE BRUTO DOMAĆI PROIZVOD (u ml. kuna) A Poljoprvreda, lov šumarstvo 30 017 7 88 10 951,3 D PreraĊvaĉka ndustrja 51 440 104 508 6 835,0 E Opskrba elektrĉnom energjom, plnom vodom 7 351 5 484 3 854,1 F GraĊevnarstvo 60 986 8 03 5 875,9 G Trgovna na velko na malo 136 059 70 51 13 159,7 H Hotel restoran 34 516 19 808 4 17,5 I Prjevoz, skladštenje veze 80 356 411 1 45,3 J,K Fnancjske druge usluge 73 591 39 090 18 863,6 B,Ĉ Ostalo 9 11 1 385 1 138,4 UKUPNO PRIVREDA 703 437 79 9 97 30,8 Napomena: Bruto domać prozvod zraţen je u tekućm cjenama. Šfra J obuhvaća fnancjsko posredovanje, šfra K poslovanje nekretnnama, znajmljvanje poslovne usluge, šfra B rbarstvo te šfra C rudarstvo vaċenje. Izvor: SLJH-001., str. 16.; SLJH-00., str. 196. TABELA. Promet robe u glavnm hrvatskm lukama u 00. godn prema pravcma kretanja (u tonama) UKUPAN PRAVCI KRETANJA LUKA PROMET UNUTRAŠNJI (u tonama) PROMET IZVOZ UVOZ TRANZIT Dubrovnk 19 573 19 99 98 176 Ploĉe 97 055 65 78 3 938 75 090 87 749 Pula 538 3 1 480 468 7 64 993 3 037 Rjeka 4 983 7 1 357 191 1 045 840 1 14 850 1 455 391 Splt 1 533 059 659 597 53 34 350 10 Šbenk 481 74 10 135 86 708 380 480 4 419 Zadar 351 483 39 567 37 957 73 959 UKUPNO 8 879 416 15 547 166 507 69 590 90 77 Izvor: Promet brodova po mjesecma luĉkm kapetanjama u 00. godn, Drţavn zavod za statstku Republke Hrvatske, Zagreb, tabela 18. 5

TABELA 3. Skupne zaposlenka prema vremenu utrošenom za montažu brodskog motora BROJ UTROŠENIH SATI SKUPINA ZAPOSLENIKA Izvor: Prema predavanjma J. Ĉaval 1 800 A 000 B 100 Ĉ 00 D 300 E 500 F TABELA 4. Razdoba dana za rujan, lstopad, studen prosnac 001. godne prema broju telefonskh pozva dnevno Broj pozva 0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 dnevno Broj dana 6 13 6 19 17 14 7 3 4 4 3 Izvor: Isps pozva HT odabranog pretplatnka TABELA 5. Prevezena roba u cestovnom prometu Republke Hrvatske u 000. godn prema udaljenost UDALJENOST (u km) PREVEZENA ROBA (u 000 tona) do 4 934, 5 49 1 178,1 50 149 794,0 150 99 783,7 300 499 579,6 500 699 166,7 700 999 6,7 preko 1000 09,1 UKUPNO 4 87,1 Napomena: Podac o prevezenoj rob prkupljen su od poduzeća ĉja je osnovna djelatnost prjevoz robe, što znaĉ da nje obuhvaćena ona roba koju prevoze fzĉke osobe regstrrane kao obrtnc. Izvor: Prjevoz, skladštenje veze u 000., str.44. 6

TABELA 6. Prevezen putnc u gradskom zračnom prjevozu Republke Hrvatske u razdoblju od 1991. do 001. godne GODINA BROJ PREVEZENIH PUTNIKA Gradsk Zraĉn prjevoz prjevoz (u ml.) (u tsućama) 1991. 47,4 139 199. 419,1 38 1993. 415,3 507 1994. 418,7 661 1995. 411,7 679 1996. 393,4 84 1997. 395,5 866 1998. 379,7 90 1999. 386,0 96 000. 389,3 1 07 001. 398,5 1 45 Napomena: Broj putnka u gradskom prjevozu obuhvaća broj prevezenh putnka u tramvajma autobusma. Broj putnka u zraĉnom prjevozu obuhvaća putnke prevezene u domaćem meċunarodnom prjevozu. Izvor: SLJH-97, str. 90., Prjevoz, skladštenje veze u 1999., str. 54, Prjevoz, skladštenje veze u 001., str. 51., SLJH-00, str. 303., SLJH-0, str. 319. TABELA 7. Svjetska kontejnerska flota u razdoblju od 199. do 001. godne stanje krajem godne GODINA BROJ BRODOVA TEU (u 000) 199. 1414 1 957,6 1993. 1461 114,5 1994. 1603 367,0 1995. 1763 688,8 1996. 1949 3 07,1 1997. 187 3 585,7 1998. 38 4 046,5 1999. 457 4 78,7 000. 590 4 70, 001. 756 5 314,7 Izvor: World Fleet Statstcs, Lloyd s Regster, 199. 001. 7

VJEŢBA 1. Statstčka tabela Zadatak 1.1. Je l svaka statstĉka masa masovna pojava obrnuto? Objasnt pojmove masovna pojava statstĉka masa na odabranm prmjerma. Zadatak 1.. Za tabele od 1. do 7. odredt statstĉke mase koje su predmet statstĉke analze, statstĉke jednce te obljeţje l obljeţja prema kojma su gruprane statstĉke jednce. Zadatak 1.3. Navest neka obljeţja jedne zaposlene osobe gruprat h prema vrstama statstĉkog obljeţja. O kojoj se vrst statstĉkog nza rad ako se u tabel nalaze podac o osobama zaposlenm u Republc Hrvatskoj u 000. godn prema djelatnostma, odnosno o zaposlenm osobama u Republc Hrvatskoj u razdoblju od 1990. do 000. godne? Analogno objasnt sluĉaj da su na raspolaganju podac o zaposlenm osobama u 000. godn po ţupanjama Republke Hrvatske. Zadatak 1.4. Opsat faze rada koje treba provest da b se dobla odgovarajuća statstĉka tabela. Za lustracju uzet tabele 1.. Zadatak 1.5. Opsat postupak sastavljanja statstĉke tabele: odreċvanje naslova, broja redaka stupaca, zbrojnog retka l stupca, navoċenje zvora, opaske l napomene. Objasnt osnovnu podjelu tabele na tekstualn do (predstupac zaglavlje tabele) brojĉan do (m x n polja u kojma se nalaze frekvencje, odnosno broj statstĉkh jednca koje prpadaju nekom retku nekom stupcu tabele). Objasnt sadrţaj pojednh oznaka koje se nalaze u poljma tabele umjesto frekvencja. Zadatak 1.6. Iz tabela 1. do 7. odredt vrstu statstĉke tabele, vrstu statstĉkog nza te, korsteć prethodna objašnjenja, objasnt odgovore. 8

RJEŠENJA. 1.1. Masovna pojava je šr pojam od statstĉke mase, jer je statstĉka masa ona masovna pojava koja je odabrana za predmet statstĉkog straţvanja. Prmjer za statstĉke mase su: zaposlen u Republc Hrvatskoj, promet u tonama po lukama, zaposlen prema broju utrošenh sat, tone tereta prema udaljenost, prevezen putnc po granama prjevoza,.... 1.. Svaka statstĉka masa sadrţ konaĉan l beskonaĉan broj statstĉkh jednca koje su gruprane prema jednom l vše statstĉkh obljeţja, ovsno o ĉemu formra odgovarajuću vrstu statstĉkoga nza. Red. broj 1. stat.masa. stat. masa 1. stat. obljeţje. stat. obljeţje Vrsta stat. nza Vrsta tabele 1. zaposlen BDP u ml. djelatnost atrbutvn sloţena. tone tereta luke pravc geografskoatrbutvn kombnrana kretanja 3. skupne broj numerĉk jednostavna zaposlenka utrošenh sat 4. dan broj pozva numerĉk jednostavna dnevno 5. tone tereta udaljenost numerĉk jednostavna u km 6. putnc u putnc u godne vremensk sloţena gradskom zraĉnom pr. (ntervaln) 7. brodov TEU u 000 godne vremensk (trenutaĉn) sloţena 1.3. Obljeţje jedne zaposlene osobe u RH: - djelatnost (A) - razdoblje od 1990. do 000. godne (V) - ţupanje RH (G) - spol (A) - struĉna sprema (A) - godne starost (N) - godne radnog staţa (N),... 1.4. Statstĉka tabela je skup podataka poredanh u odreċenom broju redaka stupaca. Da b se dobla odgovarajuća statstĉka tabela potrebno je: - defnrat statstĉku masu obljeţje koje će bt predmet statstĉkog promatranja; statstĉka masa se defnra prostorno, vremensk pojmovno. - psanm l usmenm putem prkupt nformacje o svakoj statstĉkoj jednc promatrane statstĉke mase - prkupljene nformacje gruprat prema zadanom obljeţju; grupranjem nformacja dobva se statstĉk podatak - statstĉk podac se unose u tabelu u odgovarajuće polje ovsno o retku stupcu tabele. 1.5. Postupak sastavljanja tabele- prema shem. na stranc 4. 9

1.6. Tabela se sastoj od tekstualnog djela, to : - zaglavlja u kojem se objašnjava što predstavljaju brojev u stupcma - pretkolone ( predstupca) u kojoj je objašnjeno što znaĉe brojev u pojednm retcma tabela. 1.7. nema pojave 0 frekvencja je manja od 0.5... ne raspolaţe se podatkom Ø prosjeĉna vrjednost frekvencje 1) oznaka za napomenu (opasku) spod tabele. 1.8. Rješenje je dano u 1.. 10

. ANALIZA ATRIBUTIVNIH I GEOGRAFSKIH NIZOVA Atrbutvn geografsk nzov se dobvaju grupranjem statstĉkh jednca prema atrbutvnom, odnosno geografskom obljeţju. Rad preglednost takv se nzov prkazuju statstĉkm tabelama odgovarajućeg oblka. Analza navedenh vrsta nzova obuhvaća grafĉko prkazvanje zraĉunavanje relatvnh brojeva za podatke koj se nalaze u tm tabelama..1. Grafčko prkazvanje Prednost nedostac grafčkh prkaza vrste grafčkh prkaza površnsk grafkon stupc kvadrat krugov polukrugov kartogram djagramska karta pktogram statstčka karta. Grafĉk prkaz podataka jednog l vše nzova z statstĉke tabele ma nz prednost od kojh je najvaţnja da se grafkonom moţe postć jasna, zorna slka o promatranoj pojav te brzo uoĉavanje njeznh znaĉajk meċusobnh odnosa pojednh podataka. Grafĉk prkaz ma nedostataka, zmeċu ostalog, da grafkon nkad ne moţe dostć toĉnost podataka z statstĉke tabele. MeĊutm, prednost su znatno veće od nedostataka pa se, zahvaljujuć razvoju osobnh raĉunala programske podrške, za grafĉk prkaz kaţe da govor vše od tsuću rjeĉ Petz. Grafčko prkazvanje atrbutvnh nzova Atrbutvn se nzov prkazuju grafĉk površnskm grafkonma u kojma su statstĉke jednce (frekvencje) predstavljene odgovarajućm površnama odabranh geometrjskh lkova. Vrste površnskh grafkona su: Površnsk grafkon pomoću stupaca: jednostavnh razdjeljenh (strukturnh) dvostrukh Površnsk grafkon pomoću kvadrata Površnsk grafkon pomoću kruga sektora kruga Površnsk grafkon pomoću polukruga sektora polukruga. Stupc se ucrtavaju u grafkon s pravokutnm koordnatnm sustavom, a ostal geometrjsk lkov: kvadrat, krugov polukrugov u grafkon bez koordnatnog sustava. Pravokutnc maju jednake baze pa se frekvencje mogu usporeċvat prema vsn stupca. 11

Jednostavn stupc se korste za prkazvanje frekvencja jedne statstĉke mase. Prmjerce, grafĉk prkaz broja zaposlenh u prvred Republke Hrvatske u 000. godn prema djelatnostma. Razdjeljen stupc se prmjenjuju za prkazvanje ukupne frekvencje parcjalnh frekvencja koje su do ukupne frekvencje jedne statstĉke mase. Prmjerce, grafĉk prkaz broja zaposlenh u prvred Republke Hrvatske u 000. godn prema djelatnostma spolu. Vsna stupca prkazuje ukupan broj zaposlenh, a posebno oznaĉena površna unutar stupca broj muškaraca, odnosno ţena. Dvostruk stupc su naĉn prkazvanja frekvencja dvju l vše pojava zraţenh u stm jedncama mjere l za sluĉajeve umjesto razdjeljenh stupaca. Prmjerce, broj zaposlenh u prvred neprvred Republke Hrvatske u 000. godn prema djelatnostma l za prethodn prmjer prkaza zaposlenh muškaraca ţena. Kvadrat se korste u sluĉaju kad se usporeċuje manj broj frekvencja (dvje do tr). Površna kvadrata odreċena je strancom a P, 1 gdje P oznaĉava frekvencju koja se prkazuje kvadratom. Prtom je vaţno odabrat odgovarajuće mjerlo (s kojm se frekvencja P podjel) kako b stranca kvadrata a odgovarala predvċenoj velĉn grafkona. Prmjerce, ako se za grafĉk prkaz ukupnog broja zaposlenh u prvred Republke Hrvatske u 1999. 000. godn odabere mjerlo: 1 cm = 40 000 zaposlenh, tada će broj zaposlenh u Republc Hrvatskoj u 1999. godn bt prkazan kvadratom sa strancom od 4, cm, a u 000. godn sa strancom kvadrata od 4,19 cm. Krugov su naĉn prkazvanja podataka u sluĉajevma analognm kvadratu al s prednošću pred kvadratom jer se sektorma kruga moţe grafĉk prkazat struktura pojave. Velĉna kruga odreċena je polumjerom r P /. Mjerlo se odabre prema velĉn frekvencje koja se prkazuje krugom P te velĉn grafkona. Sektor kruga, zraţen brojem stupnjeva sektora kruga, zraĉuna se na sljedeć naĉn x = (do / cjelna) 360. 3 Prmjerce, za prethodn prmjer broj zaposlenh jedne godne predstavljen je odgovarajućom površnom kruga, a broj zaposlenh pojedne djelatnost odgovarajućm sektorom kruga. Polukrugov se korste u sluĉajevma analognm kvadratu krugu, al najĉešće kad je rjeĉ o samo dva polukruga. Ako su frekvencje obje pojave zraţene u stm jedncama mjere (broj zaposlenh u 1999. 000. godn) tada su polukrugov s nejednakm polumjerom zavsno od velĉne frekvencje (jer se odabre jedno mjerlo za oba polukruga), a u obrnutom sluĉaju kad su frekvencje dvju pojava zraţene u razlĉtm jedncama mjere (broj zaposlenh bruto domać prozvod), tada jedno mjerlo ne moţe vrjedt za obje pojave pa se uzmaju dva polukruga s jednakm, prozvoljno velkm polumjerom. U tom sluĉaju polukrug 1

ne prkazuje velĉnu pojave, al sektor polukrugova prkazuju strukturu obje pojave prema odabranom obljeţju (djelatnost). Broj stupnjeva sektora polukruga zraĉunava se prema formul x = (do / cjelna) 180 4 Naĉn odabra te zradba pojedne vrste navedenh grafĉkh prkaza dan su u rješenjma vjeţbe.1., koja se odnos na grafĉko prkazvanje atrbutvnh geografskh nzova. Grafčko prkazvanje geografskh nzova Geografsk se nzov grafĉk prkazuju u svm oblcma površnskh grafkona navedenm za atrbutvne nzove te još jednom vrstom površnskh grafkona koj se nazvaju kartogramma. Kartogram je geografska karta u kojoj su frekvencje predstavljene odgovarajućm površnama odabranh geometrjskh lkova l odabranh znakova, odnosno šrafura razlĉtog ntenzteta. Prednost kartograma u odnosu na prethodno objašnjene površnske grafkone je u ĉnjenc da kartogram zorno prkazuje geografsku (prostornu) razdobu promatrane pojave. Razlkuju se tr vrste kartograma: Djagramska karta vrsta kartograma u kojem su frekvencje promatrane pojave prkazane odgovarajućm površnama pravokutnka (stupaca), kvadrata, kruga l polukruga. Ova vrsta kartograma preporuĉuje se u sluĉajevma prkazvanja manjeg broja statstĉkh jednca (frekvencja) geografskog nza. Naĉn zraĉunavanja th površna objašnjen je u djelu o grafĉkom prkazvanju atrbutvnh nzova. Prmjerce, promet roba u hrvatskm lukama u 00. godn po pravcma kretanja moţe se prkazat tako da se na kart jadranske obale oznaĉe luke na tom mjestu ucrtaju odgovarajuć krugov sektor kruga kojma je predoĉen ukupan promet pojedne luke udo pojednh pravaca kretanja. Pktogram vrsta kartograma u kojem se frekvencje prkazuju pomoću znakova tako da se prozvoljno odabran znak za odreċen broj jednca ucrtava na površnu prpadajuće geografske grupe. Ova vrsta grafkona veoma je lustratvna za prkazvanje nzova s velkm brojem geografskh grupa. Prmjerce, ako jedna toĉka oznaĉava 100 automobla onda na podruĉju općne koja ma 10000 regstrranh automobla bt će ucrtano 100 toĉkca. Statstčka karta vrsta kartograma u kojem se frekvencje prkazuju šrafurama l bojama razlĉtog ntenzteta. Ova vrsta grafkona preporuĉuje se u sluĉajevma kad geografsk nz ma velk broj grupa, a frekvencje nsu apsolutn, već relatvn brojev. Prmjerce: velĉna opasnost od poţara, postotak nepsmenh, postotak glasaĉa koj su zašl na bralšta, dubna mora,. 13

U praks se mogu korstt razlĉte kombnacje navedenh grafĉkh prkaza, prmjerce: dvostruk razdjeljen stupc, trostruk stupc, slĉno, to je opravdano ako grafkon na spravan jasan naĉn prkazuje podatke z statstĉke tabele omogućuje donošenje zakljuĉaka o znaĉajkama promatrane pojave. Isto tako, nek grafĉk prkaz naveden za atrbutvne geografske nzove mogu se takoċer korstt za numerĉke vremenske nzove. Takv sluĉajev naveden su u zadacma za vjeţbu u sljedećm poglavljma. 14

VJEŢBA.1. Grafčko prkazvanje atrbutvnh geografskh nzova Zadatak.1.1. Grafĉk prkazat broj zaposlenh u prvred Republke Hrvatske u 000. godn prema djelatnostma (podac z tabele 1.). Koj zakljuĉak prozlaz z grafkona? Zadatak.1.. Grafĉk prkazat broj zaposlenh u prvred Republke Hrvatske u 000. godn prema djelatnostma spolu. Usporedt moguće varjante grafĉkog prkaza. Zadatak.1.3. Ukupan broj zaposlenh u prvred Republke Hrvatske u 1999. godn znoso je 71 771 osobu, a u 000. godn 703 437 osoba. Prkazat ove dvje frekvencje odgovarajućm grafkonom. Usporedt moguće varjante grafĉkog prkazvanja. Zadatak.1.4. Broj zaposlenh u prvred Republke Hrvatske u 1999. godn prema djelatnostma znoso je prema SLJH-000., str. 10., 175.: Djelatnost Broj zaposlenh Poljoprvreda, lov šumarstvo 30 968 PreraĊvaĉka ndustrja 59 10 Opskrba elektrĉnom energjom, plnom vodom 6 944 GraĊevnarstvo 65 537 Trgovna na velko na malo 134 115 Hotel restoran 35 48 Prjevoz, skladštenje veze 80 67 Fnancjske druge usluge 70 734 Ostalo 9 44 Na temelju podataka za 1999. godnu podataka z tabele 1. za 000. godnu grafĉk prkazat strukturu zaposlenh prema djelatnostma. Usporedt strukturu zaposlenh u 000. godn sa strukturom zaposlenh u 1999. godn. Zadatak.1.5. Grafĉk prkazat broj zaposlenh bruto domać prozvod u prvred Republke Hrvatske u 000. godn prema djelatnostma. Usporedt zaposleno osoblje bruto domać prozvod prema pojednm djelatnostma. Zadatak.1.6. Pomoću odgovarajućh stupaca grafĉk prkazat promet robe u glavnm lukama Republke Hrvatske u 00. godn po pravcma kretanja. Obrazloţt dobven grafkon. Zadatak.1.7. Kojom b se vrstom kartograma najbolje prkazal podac o prometu robe u lukama Republke Hrvatske u 00. godn? Konstrurat odgovarajuć grafkon. 15

RJEŠENJA..1.1. Grafĉk prkaz pomoću jednostavnh stupaca..1.. Grafĉk prkaz pomoću razdjeljenh (strukturnh) l dvostrukh stupaca..1.3. Grafĉk prkaz pomoću dva kruga, svak krug svojom površnom odgovara velĉn frekvencje koju taj krug prkazuje. Zbog toga je potrebno odabrat mjerlo; prmjerce, 1 cm = 40000 zaposlenh pa je za 1999. godnu r 1999 = 4, cm, a za 000. godnu r 000 = 4,19 cm..1.4. Korsteć grafĉk prkaz z zadatka.1.3. preporuĉuje se u krugove ucrtat sektore kruga koj prkazuju strukturu zaposlenh u R Hrvatskoj prema djelatnostma: A D E F G H I J,K B,C Ukupno 1999. 16 131 14 33 68 18 40 35 5 360 000. 40 100 14 49 15 46 70 4 360.1.5. Zaposleno osoblje bruto domać prozvod u prvred R Hrvatske su dvje pojave koje su zraţene u razlĉtm jedncama mjere, pa u takvm sluĉajevma statstka predlaţe grafĉk prkaz pomoću jednakh krugova l polukrugova prozvoljne velĉne, a sektorma kruga, odnosno polukruga udo pojedne djelatnost u ukupnom broju zaposlenh u R Hrvatskoj l ukupnom znosu bruto domaćeg prozvoda. Sektor kruga: A D E F G H I J,K B,C Ukupno Zap. osoblje 15 19 14 31 70 17 41 38 5 360 BDP 40 100 14 49 15 46 70 4 360 Sektor polukruga x 0 = do/cjelna*180, pa su sektor polukruga dvostruko manj od navedenh sektora kruga..1.6. Promet robe u glavnm lukama R Hrvatske u 00. godn po pravcma kretanja moţe se prkazat razdjeljenm l dvostrukm (všestrukm) stupcma..1.7. Podac z prethodnog zadatka mogu se prkazat djagramskom kartom. Potrebno je odabrat mjerlo koje ovs o velĉn grafkona, zatm zraĉunat polumjer kruga za svaku luku posebno te sektore kruga kojm je prkazan udo pojednog pravca kretanja. Sektor kruga: Dbk Ploĉe Pula Rjeka Splt Šbenk Zadar Unutr. promet 355 4 1 98 155 8 40 Izvoz - 1 314 76 13 65 39 Uvoz 8 43 81 8 84 81 Tranzt 3 307 105-3 - 16

360 360 360 360 360 360 360 Za lustracju je prloţena djagramska karta koju je zrado zvanredn student Pomorskog fakulteta kap. Ronald Ruţć (006.) 17

.. Relatvn brojev Pojam apsolutnog broja (frekvencje) pojam relatvnog broja (frekvencje) vrste relatvnh brojeva zračunavanje grafčko prkazvanje relatvnh brojeva postoc relatvn brojev koordnacje ndeks. Apsolutna frekvencja je broj statstĉkh jednca dobven nakon obavljene faze statstĉkog promatranja grupranja jednca prema odabranom obljeţju. Prmjerce, brojev o zaposlenma bruto domaćem prozvodu u tabel 1. su apsolutne frekvencje, kao sve frekvencje u ostalm tabelama od broja. do 7.: broj tona tereta u cestovnom prjevozu, broj prevezenh putnka u gradskom prjevozu, td. U praks se javlja potreba usporeċvanja apsolutnh frekvencja: broj zaposlenh u preraċvaĉkoj ndustrj s ukupnm brojem zaposlenh, bruto domać prozvod s brojem zaposlenh, broj zaposlenh u preraċvaĉkoj ndustrj s brojem zaposlenh u djelatnost prjevoza, skladštenja veza, td. Rezultat takve usporedbe su relatvn brojev. Relatvn broj je broj kojm je zraţen odnos zmeċu dvju vše apsolutnh frekvencja: f r = f 1 / f. 5 Zavsno od frekvencje koja se nalaz u brojnku frekvencje z nazvnka relatvnog broja razlkuju se tr vrste relatvnh brojeva: postoc, relatvn brojev koordnacje ndeks. Svaka vrsta relatvnog broja zraĉunava se grafĉk prkazuje odgovarajućm naĉnom. Postoc (%) Postotak je relatvan broj koj pokazuje odnos jednog djela statstĉkh jednca prema ukupnom broju statstĉkh jednca promatrane pojave. Iz defncje da je postotak udo parcjalne frekvencje u ukupnoj frekvencj sljed da se postotak zraĉunava tako da se parcjalna frekvencja (frekvencja koja se usporeċuje) podjel s ukupnom frekvencjom (koja je baza usporedbe): % = (do / cjelna) 100. 6 Prmjerce, udo broja zaposlenh u preraċvaĉkoj ndustrj u ukupnom broju zaposlenh u Republc Hrvatskoj u 000. godn znoso je 35,7%; udo pojedne luke, prmjerce luke Rjeka u ukupnom prometu svh hrvatskh luka u 00. godn bo je 56,1%, odnosno nešto vše od polovce cjelokupnog prometa hrvatskh luka, td. Postotak teorjsk moţe zauzet vrjednost u ntervalu 0 % 100, al u praks taj nterval glas: 0 % 100. 18

3.. Srednje vrjednost Pojam srednje vrjednost artmetčka sredna medjan mod prosjek artmetčkh sredna prosjek relatvnh brojeva. Srednja vrjednost numerĉkog nza je reprezentant pojednaĉnh vrjednost numerĉkog obljeţja u promatranom numerĉkom nzu. Prmjerce: znos sat koj u prosjeku utroš jedna grupa zaposlenka, prosjeĉan broj telefonskh pozva dnevno, udaljenost u klometrma koju prelaz 50% od ukupne kolĉne tereta, slĉno. Artmetčka sredna ( X ) Artmetĉka sredna predstavlja prosjeĉnu vrjednost numerĉkog obljeţja; to je vrjednost numerĉkog obljeţja koja u prosjeku prpada jednoj statstĉkoj jednc. Izraĉunavanje artmetĉke sredne zavs od tpa numerĉkog nza dobva se djeljenjem totala (sume vrjednost numerĉkog obljeţja) s ukupnm brojem statstĉkh jednca ( ukupnom frekvencjom): Tp I. Jednostavna artmetĉka sredna X n x 1 N Tp II. Vagana (ponderrana) artmetĉka sredna X n 1 n 1 f x f Tp III. Vagana (ponderrana) artmetĉka sredna gdje je: X n 1 n 1 f x f x = vrjednost numerĉkog obljeţja, razredna sredna za III. tp nza, = 1,,n f = frekvencja, = 1,,n. 19

Medjan (M) nzu. Medjan je pozcjska srednja vrjednost koja se odreċuje prema poloţaju jednca u Medjan je vrjednost numerĉkog obljeţja koja prpada sredšnjoj jednc, N/, tj. frekvencj koja djel razdobu na dva jednaka djela. Medjan je takva vrjednost numerĉkog obljeţja za koju vrjed da 50 % jednca ma vrjednost jednaku manju od medjana, a preostalh 50% jednca vrjednost numerĉkog obljeţja jednaku veću od medjana. OdreĊvanje medjana ovs o tpu numerĉkog nza: Tp I. Oĉta se vrjednost numerĉkog obljeţja koja prpada sredšnjoj jednc; ako je broj jednca paran, onda je medjan prosjek vrjednost koj prpada dvjema sredšnjm jedncama. Tp II. Sastav se kumulatvn nz manje od, pronaċe sredšnja jednca N/ vrjednost koja prpada sredšnjoj jednc je medjan. Tp III. Sastav se kumulatvn nz manje od, pronaċe N/ toj frekvencj prpadajuć medjaln razred. Za odreċvanje toĉne vrjednost medjana korst se sljedeća formula gdje je: N/ f 1 M L1 fmed N/ sredšnja jednca L 1 donja granca medjalnog razreda velĉna medjalnog razreda f med frekvencja medjalnog razreda f 1 suma svh frekvencja do medjalnog razreda. Medjan se moţe odredt grafĉkm putem da se u pravokutnom koordnatnom sustavu unesu frekvencje kumulatvnog nza manje od, na os y oznaĉ sredšnja jednca N/, zatm povuĉe paralela s os x do kumulante u sjecštu s lnjom kumulatvnog nza spust okomca do os x. Ta vrjednost na os apscse je vrjednost medjana. Mod (M o ) Mod je vrjednost numerĉkog obljeţja koja prpada najvećoj frekvencj. Drugm rjeĉma, mod je najĉešća vrjednost numerĉkog obljeţja u nzu. Mod se ne moţe odredt za razdobe u kojoj su sve frekvencje meċusobno jednake (tp I.). Ako razdoba ma dva jednaka vrha (bmodalna razdoba) tada se oĉtaju dvje vrjednost moda. 0

OdreĊvanje moda ovs o tpu numerĉkog nza: Tp I. Nema moda Tp II. Oĉta se vrjednost numerĉkog obljeţja koja prpada najvećoj frekvencj. Tp III. PronaĊe se najveća frekvencja; razred koj joj prpada je modaln razred. Toĉna vrjednost moda dobje se prema formul gdje je: b a M o L1 ( b a) ( b c) M o mod b najveća frekvencja u nzu (korgrana kod nejednakh razreda) a frekvencja znad b c frekvencja spod b L 1 donja granca modalnog razreda velĉna modalnog razreda. Mod se moţe odredt grafĉkm putem: to je vrjednost numerĉkog obljeţja koja se dobje spuštanjem okomce z vrha krvulje na os x. Prosjek artmetčkh sredna ( X ) Prosjek artmetĉkh sredna je artmetĉka sredna artmetĉkh sredna zraĉunava se kao vagana artmetĉka sredna srednjh vrjednost gdje je : X k 1 k 1 XN N X prosjek artmetĉkh sredna X,..., 1 X k artmetĉke sredne N 1,..., N k broj jednca z kojh su zraĉunate artmetĉke sredne Prosjek postotaka ( P ) Prosjeĉan postotak zraĉunava se l harmonjskom l artmetĉkom srednom. Vagana artmetĉka sredna se korst kad su zadan postoc (P) ukupne frekvencje (C), tj. frekvencje koje se nalaze u nazvnku pr zraĉunavanju postotaka 1

gdje je: P k 1 k 1 PC C P prosjek postotaka P 1,..., P k postoc C 1,..., C k ukupne frekvencje. Prosjek relatvnh brojeva koordnacje ( R ) Analogno prethodnm srednjm vrjednostma prosjek relatvnh brojeva kkoordnacje dobva se po formul za vaganu srednu gdje je : R R prosjek relatvnh brojeva koordnacje R 1,..., R k relatvn brojev koordnacje B 1,..., B k baze relatvnog broja koordnacje. k 1 k 1 RB B

VJEŢBA 3.. Srednje vrjednost Zadatak 3..1. Izraĉunat total za vrjednost numerĉkh obljeţja zadanh u tabelama 3., 4. 5. Postoje l razlke u zraĉunavanju totala za pojedne tpove numerĉkog nza? Zadatak 3... Kolko znos broj sat koj je u prosjeku potreban jednoj skupn zaposlenka za montaţu brodskog motora (tabela 3.)? Koje skupne zaposlenka utroše manje, a koje vše vremena od prosjeka? Zadatak 3..3. Na temelju podataka z tabele 4. zraĉunat prosjeĉan broj telefonskh pozva po jednom danu. Kolk je udo dana s brojem pozva manjm od prosjeka, a kolk s većm brojem pozva od prosjeka? Po ĉemu se zraĉunavanje prosjeka u ovom zadatku razlkuje od zraĉunavanja u zadatku 3...? Zadatak 3..4. Ako udaljenost koju prelaz jedna tona tereta u cestovnom prjevozu Republke Hrvatske u 000. godn poprma vrjednost od 0 do 1500 km, kolka je udaljenost koju prelaz u prosjeku jedna tona? Na kolko se naĉna moţe zraĉunat traţena vrjednost? Provjert je l se, bez obzra na metodu, uvjek dobva st rezultat. Zadatak 3..5. Ako jednak broj skupna zaposlenka utroš manje l vše sat u odnosu na neku vrjednost numerĉkog obljeţja, kako se zove takva srednja vrjednost? Kolko ona znos za podatke u tabel 3.? Zadatak 3..6. Kolk broj telefonskh pozva ostvaruje 50% od ukupnog broja dana u tabel 4., a kolk broj pozva najveć broj dana? Traţene vrjednost moguće je oĉtat z grafkona. Usporedt rezultate. Zadatak 3..7. Koju udaljenost prelaz 50% od ukupne kolĉne tereta u cestovnom prjevozu Republke Hrvatske u 000. godn? O kojoj je srednjoj vrjednost rjeĉ? Rezultat provjert na grafkonu. Zadatak 3..8. Zašto nje moguće odredt u tabel 3. broj sat koj je utrošo najveć broj skupna zaposlenka? Je l b to blo moguće kada b frekvencje u tabel 3. znosle,,,,, l 1,1,,1,,1? Objasnt pojedne sluĉajeve. Zadatak 3..9. Izraĉunat udaljenost u klometrma koju prelaz najveć broj tona tereta u cestovnom prjevozu Republke Hrvatske u 000. godn. Rezultat provjert na grafkonu. Zadatak 3..10.Usporedt rezultate dobvenh srednjh vrjednost za nzove z tabela 3., 4. 5. U kakvom su odnosu pojedne srednje vrjednost s obzrom na njhov poredak na os x? Utjeĉe l poredak srednjh vrjednost na os x na oblk krvulje? Objasnt to na zadanm prmjerma. Zadatak 3..11.Prosjeĉno ostvarenje norme u jednom poduzeću za ĉetr radne jednce znoslo je: 98,7%, 10%, 85,6% 94,9%. Broj zaposlenh po jedncama znoso je: 141, 98, 10 100 zaposlenh. Izraĉunat prosjeĉno ostvarenje 3

norme u promatranom poduzeću. U kojm se jedncama norma ostvaruje spod, a u kojma znad prosjeka poduzeća? Zadatak 3..1.Za tr poduzeća raspoloţv su ov podac: Poduzeće Broj zaposlenh Prosjeĉna plaća u kunama Nabavna vrjednost osnov. sredst. u 000 kn % amortzacje od nab.vrjed. A 78 00 150 40 B 90 3010 3650 55 C 13 150 4870 7 Prema I. Šošć Uvod u statstku, 00., str. 43. Za promatrana poduzeća zraĉunat: 1) prosjeĉan znos plaće u kunama po jednoj zaposlenoj osob, ) prosjeĉan postotak amortzacje, 3) prosjeĉan znos nabavne vrjednost u kunama po jednoj zaposlenoj osob. 4

RJEŠENJA. 3..1. Total je zbroj vrjednost numerĉkoga obljeţja; za numerĉke nzove tpa I. znos X, a za ostale tpove II. III. fx : X = 1900 sat fx = 468 pozva fx = 1 097 518,7 km. 3... X = 150 sat 3..3. X = 3,9 telefonskh pozva dnevno; za tp II. numerĉkog nza potrebno je prmjent vaganu (ponderranu) artmetĉku srednu. 3..4. X = 5,7 km; taj se rezultat moţe dobt pomoću vagane artmetĉke sredne pomoću metode lnearne transformacje obljeţja ( koja se ne obraċuje na predavanjma ). 3..5. Medjan znos M = 150 sat. 3..6. M = 3 pozva, M o = pozva dnevno. Navedene srednje vrjednost mogu se oĉtat z grafkona; mod spuštanjem okomce s vrha krvulje na os x, a medjan z grafĉkog prkaza kumulatvnog nza. 3..7. M = 90,77 km. 3..8. Mod se ne moţe odredt ako razdoba nema vrha; u tabel 3. jer su sve frekvencje jednake znose 1, takoċer ako su sve frekvencje jednake znose. U trećem sluĉaju razdoba ma dva moda, za treću petu vrjednost numerĉkog obljeţja. 3..9. M o = 9,98 km. 3..10. Tab. 3. X = 150 sat, M = 150 sat, M o = nema ga Tab. 4. X = 3,9 pozva, M = 3 pozva, M o = pozva Tab. 5. X = 5,67 km, M = 90,77 km, M o = 9,98 km. Ako je razdoba smetrĉna onda sve tr srednje vrjednost maju jednaku vrjednost numerĉkog obljeţja; ako X > M > M o razdoba je desnostrano asmetrĉna, a u obrnutom sluĉaju ljevostrano asmetrĉna. 3..11. X = 95,15 % 3..1. Prosjeĉan znos plaće po jednoj zaposlenoj osob je prosjek artmetĉke sredne X = 3,5 kn, prosjeĉan postotak amortzacje je prosjek postotaka P = 39,15 %, a prosjeĉan znos nabavne vrjednost/1 zaposlenoj osob je prosjek relatvnh brojeva koordnacje R = 0 080 kn. 5

3.3. Mjere dsperzje Pojam dsperzje mjere dsperzje vrste mjera dsperzje raspon varjacje varjanca, standardna devjacja koefcjent varjacje nterkvartl koefcjent kvartlne devjacje moment. Dsperzja je pojam za raspršenost ĉlanova numerĉkog nza od neke srednje vrjednost. Mjere dsperzje su velĉne kojm se utvrċuje velĉna raspršenost ĉlanova numerĉkog nza od neke srednje vrjednost, odnosno utvrċuje reprezentatvnost srednjh vrjednost. Apsolutne mjere dsperzje su zraţene u stm jedncama mjere kao numerĉko obljeţje. To su: raspon varjacje, varjanca, standardna devjacja, nterkvartl. Njhov je nedostatak što ne omogućuju usporedbu dsperzje raznorodnh nzova. Relatvne mjere dsperzje zraţene su u relatvnm brojevma: koefcjent varjacje, koefcjent kvartlne devjacje. Raspon varjacje (R) je nterval zmeċu najveće najmanje vrjednost numerĉkog obljeţja R = x max - x mn. Varjanca ( ) je artmetĉka sredna kvadrata odstupanja vrjednost numerĉkog obljeţja od njhove artmetĉke sredne. Izraţena je u stm jedncama mjere kao numerĉko obljeţje. Standardna devjacja () Standardna devjacja je prosjeĉno odstupanje pojednaĉnh vrjednost numerĉkog obljeţja od artmetĉke sredne. Ako je odstupanje maleno to ukazuje na malu raspršenost, odnosno dsperzju ĉlanova numerĉkog nza od artmetĉke sredne z ĉega sljed dobra reprezentatvnost artmetĉke sredne. U obrnutom sluĉaju kad je dsperzja velka, reprezentatvnost artmetĉke sredne je slaba. Standardna devjacja se zraĉunava zavsno od tpa numerĉkog nza: Tp I. N 1 ( x X) N 6

Tp II. f f 1 1 n n f x f x 1 1 n n Tp III. n n f x f x 1 1 n n f f 1 1 gdje je: standardna devjacja N ukupan broj jednca x vrjednost numerĉkog obljeţja (ako je obljeţje u razredma tada x oznaĉava razrednu srednu, =1,...,n) X artmetĉka sredna f frekvencja, =1,...,n Koefcjent varjacje (V) je relatvna mjera dsperzje zraţena u % koja se zraĉunava prema formul V = / X 100. Već koefcjent varjacje pokazuje veću raspršenost, odnosno manju reprezentatvnost artmetĉke sredne. Koefcjent varjacje moţe prjeć vrjednost 100% u sluĉajevma kad se rad o veoma heterogenom nzu. Interkvartl (Q 3 Q 1 ) Interkvartl je razlka zmeċu gornjeg donjeg kvartla. To je mjera dsperzje kojom se utvrċuje reprezentatvnost medjana kao srednje vrjednost. Donj kvartl (Q 1 ) je vrjednost numerĉkog obljeţja za koju vrjed da 5% (N/4) jednca u nzu ma vrjednost numerĉkog obljeţja jednaku l manju od donjeg kvartla 75% (3N/4) jednca vrjednost numerĉkog obljeţja jednaku l veću od donjeg kvartla. Gornj kvartl (Q 3 ) je vrjednost numerĉkog obljeţja za koju vrjed da 75% (3N/4) jednca u nzu ma vrjednost numerĉkog obljeţja jednaku l manju od gornjeg kvartla 5% (N/4) jednca s obljeţjem jednakm l većm od gornjeg kvartla. Iz prethodnog prozlaz da je raspon zmeċu donjeg gornjeg kvartla nterval unutar kojeg se kreće vrjednost numerĉkog obljeţja za 50% jednca u nzu da se zmeċu Q 1 Q 3 nalaz medjan. Što je raspon zmeċu donjeg gornjeg kvartla manj, medjan je reprezentatvnj jer je zgusnutost oko medjana veća, obrnuto. 7

Izraĉunavanje nterkvartla je analogno zraĉunavanju medjana, samo što se za donj kvartl Q 1 polaz od N/4 jednca, a za Q 3 od 3N/4 jednca. Za treć tp numerĉkog nza korste se formule: I Q Q Q 3 1 gdje je: I Q nterkvartl Q 1 donj kvartl Q 3 gornj kvartl N ukupan broj jednca L 1 donja granca kvartlnog razreda N /4 f 1 Q1 L1 fkvart 3 N / 4 f 1 Q3 L1 fkvart f 1 zbroj frekvencja u kumulatvnom nzu do kvartlnog razreda, ne ukljuĉujuć frekvencju kvartlnog razreda ( f kvart ) velĉna kvartlnog razreda. Koefcjent kvartlne devjacje (V Q ) je relatvna mjera dsperzje zauzma vrjednost od 0 do 1 Q3 Q1 VQ Q3 Q1 gdje je : V Q koefcjent kvartlne devjacje Q 1 donj kvartl Q 3 gornj kvartl. Što je V Q blţe 0, dsperzja je manja a medjan reprezentatvnj, obrnuto. Moment su odstupanja vrjednost numerĉkog obljeţja od artmetĉke sredne podgnuth na neku potencju. Buduć da se moment korste pr zraĉunavanju mjera asmetrje bt će objašnjen u poglavlju 3.4. 8

VJEŢBA 3.3. Mjere dsperzje numerčkh nzova Zadatak 3.3.1. Ĉemu sluţe mjere dsperzje? Kada se zraĉunavaju u kojm se sluĉajevma prmjenjuju? Koja je razlka zmeċu apsolutnh relatvnh mjera dsperzje? Zadatak 3.3.. Kolk je raspon varjacje za numerĉka obljeţja u tabelama 3., 4. 5.? Je l moguće usporeċvat raspon varjacje zadanh numerĉkh nzova? Što znaĉ raspon varjacje od 10000 kuna? Zadatak 3.3.3. Za numerĉke nzove u tabelama 3., 4. 5. zraĉunat prosjeĉno odstupanje od artmetĉke sredne. O kojoj mjer dsperzje je rjeĉ? Što se moţe zakljuĉt za artmetĉke sredne promatranh nzova? Zadatak 3.3.4. Na koje je naĉne moguće zraĉunat standardnu devjacju za tabelu 5.? U kojm je jedncama zraţena standardna devjacja za zadan prmjer? Provjert da se moţe doć do stog rezultata na dva naĉna. Usporedt prednost nedostatke pojednog naĉna zraĉunavanja standardne devjacje. Zadatak 3.3.5. Je l moguće usporedt velĉnu dsperzje za zadane nzove u tabelama 3., 4. 5., a na temelju rezultata z zadatka 3.3.3.? Kada se korst koefcjent varjacje kolko on znos za zadane nzove? Protumaĉt što znaĉ kada koefcjent varjacje znos 100%. Moţe l koefcjent varjacje bt već od 100%? Zadatak 3.3.6. Grafĉk odredt vrjednost nterkvartla za numerĉke nzove u tabelama 3., 4. 5. Zašto nterkvartl moţe posluţt kao mjera dsperzje? Što znaĉ ako za nek numerĉk nz donj kvartl znos 5, a gornj 35 godna starost? Zadatak 3.3.7. Na temelju grafkona z zadatka 3.3.6. oĉtat ove vrjednost: 1) Kolk broj sat utroš 3/4 skupna zaposlenka? Prelaz l ta vrjednost prosjeĉan znos utrošenh sat po jednoj skupn za kolko se % razlkuje? ) U kojem se ntervalu kreće broj telefonskh pozva koj je ostvarla polovca od ukupnog broja dana? 3) Do koje udaljenost u klometrma prelaz 3/4 od ukupne kolĉne tereta? Odgovara l taj znos 3/4 ntervala u kojem se kreće vrjednost numerĉkog obljeţja, tj. udaljenost? Zadatak 3.3.8. Kolk je koefcjent kvartlne devjacje za nzove z tabela 3., 4. 5.? Što se moţe zakljuĉt o reprezentatvnost medjana? 9

RJEŠENJA. 3.3.1. Mjere dsperzje sptuju reprezentatvnost srednjh vrjednost; apsolutne mjere dsperzje su: raspon varjacje, standardna devjacja nterkvartl, a relatvne mjere: koefcjent varjacje koefcjent kvartlne devjacje. Apsolutne su zraţene u stm jedncama mjere kao numerĉko obljeţje, dok su relatvne mjere dsperzje zraţene relatvnm brojevma. 3.3.. Raspon varjacje znos: Tab. 3. 700 sat Tab. 4. 1 pozva Tab. 5. 1500 km. Raspon varjacje je apsolutna mjera dsperzje, zbog toga nje moguće usporeċvat dsperzju raznorodnh nzova. Preporuka: ako je raspon varjacje 10000 kuna, u praks je korsnje navest donju gornju grancu, prmjerce, raspon od 0000 do 30000 kuna. 3.3.3. Standardna devjacja ( ) je prosjeĉno odstupanje od artmetĉke sredne: Tab. 3. = 1,74 sat Tab. 4. =,76 pozva Tab. 5. = 30,37 km. 3.3.4. Za numerĉke nzove tpa III. Standardna devjacja se moţe zraĉunavat na dva naĉna: pomoću produkata fx, fx l metodom lnearne transformacje obljeţja (koja nje obraċena na predavanjma). Standardna devjacja je apsolutna mjera dsperzje zraţena je u stm jedncama mjere kao numerĉko obljeţje. 3.3.5. Na temelju rezultata z zadatka 3.3.3. nje moguće usporeċvat velĉnu dsperzje, zato se preporuĉa zraĉunavanje odgovarajuće relatvne mjere dsperzje, a to je koefcjent varjacje V: Tab. 3. V = 10,31 % Tab. 4. V = 70,80 % Tab. 5. V = 134,3 %. Koefcjent varjacje V pokazuje velĉnu dsperzje, odnosno raspršenost ĉlanova nza u odnosu na X. Što je V već to je dsperzja veća, a reprezentatvnost X manja; za V< 50% X je dovoljno reprezentatvna, a za vrjednost V>50% artmetĉka sredna nje dovoljno reprezentatvna. Buduć da V = / X 100, vrjednost V moţe prelazt znos od 100% u tom sluĉaju pokazuje nedovoljnu reprezentatvnost artmetĉke sredne. 3.3.6. Vrjednost nterkvartla mogu se oĉtat z grafĉkog prkaza kumulatvnog nza: N/4 jednca ma vrjednost numerĉkog obljeţja jednaku manju od donjeg kvartla Q 1, 3N/4 jednca ma vrjednost numerĉkog obljeţja jednaku veću od gornjeg kvartla Q 3, Q 3 Q 1 je nterkvartl; on predstavlja šrnu ntervala u kojem se kreće vrjednost numerĉkog obljeţja za 50% od ukupnog broja jednca. Šr nterval pokazuje veću dsperzju ĉlanova numerĉkog nza u odnosu na medjan, odnosno manju reprezentatvnost medjana obrnuto. 3.3.7. Na temelju grafkona z zadatka 3.3.6. prethodnh rezultata sljed: 30

1) X = 150 sat, Q 3 = 300 sat; Q 3 je već od artmetĉke sredne za 7%. ) Q 3 Q 1 = 5 3 = pozva 3) Q 3 = 9,13 km. Taj znos ne odgovara ¾ ntervala u kojem se kreće udaljenost u km; razlog je u ĉnjenc da tone tereta nsu ravnomjerno rasporeċene prema udaljenost od 0 do 1500 km. 3.3.8. Koefcjent kvartlne devjacje znos: Tab. 3. V Q = 0,07 Tab. 4. V Q = 0,43 Tab. 5. V Q = 0,81. Medjan je reprezentatvna srednja vrjednost za podatke u tabelama 3. 4. MeĊutm, za tabelu 5. nje dovoljno reprezentatvan, al u usporedb s koefcjentom varjacje sljed da je M pak reprezentatvnj od X. 31

3.4. Mjere asmetrje zaobljenost Pojam asmetrje mjere asmetrje moment ( oko sredne, oko nule ) α 3 ( alfa tr ) Pearsonova mjera asmetrje Bowleyova mjera asmetrje mjera zaobljenost α 4 ( alfa četr ) Asmetrja je pojam suprotan smetrj pokazuje da se ljev krak krvulje ne preklapa s desnm krakom krvulje preko os smetrje ( okomce s vrha krvulje ). Mjere asmetrje Mjere asmetrje su velĉne kojm se utvrċuje da l postoj smetrja l asmetrja te, u sluĉaju asmetrje, smjer njezna jaĉna (velĉna). Prema smjeru (oblku) asmetrja je ljevostrana (negatvna) l desnostrana (poztvna), a prema jaĉn jaka (velka) l slaba (manja). Za utvrċvanje asmetrje korste se moment. Moment oko sredne l centraln moment (µ k) predstavljaju artmetĉku srednu odstupanja vrjednost numerĉkog obljeţja od artmetĉke sredne podgnuth na neku potencju, tj. n µ k = 1 N f ( x X ) k. 1 Na temelju prvog svojstva artmetĉke sredne za poztvno asmetrĉnu krvulju µ je već od 0, za negatvno asmetrĉnu krvulju µ je manj od 0, a za smetrĉnu krvulju µ je jednak 0. Moment maju svoj redn broj, a za mjerenje asmetrje uzma se treć moment oko sredne µ 3. Izraĉunava se pomoću momenata oko nule, jednostavnh l vaganh, ovsno o tpu numerĉkog nza. Alfa tr (α 3 ) je mjera asmetrje koja se najĉešće korst, a zraĉunava se 3 3 3. Mjera asmetrje α 3 zauzma vrjednost u pravlu u ntervalu [ + ] ovsno o oblku jaĉn asmetrje: 3

Izraĉunavanje µ 3 prema tpu numerĉkog nza: Tp I. µ 3 = ( x X ) N = m 3 3 m 1 m + m 1 3 N N N N N k 3 4 x x x x x 1 1 1 1 1, 1,, 3, 4 mk m m m m N N N N N Napomena: zbrsat formulu za m k m 4! gdje je: X artmetĉka sredna x vrjednost numerĉkog obljeţja N ukupan broj jednca m 1 m n pomoćn moment koj se korste rad lakšeg zraĉunavanja momenata oko sredne; kod numerĉkog nza tpa I. rad se o jednostavnm pomoćnm momentma. Tp II. µ 3 = m 3 3 m 1 m + m 1 3 n n n n n k 3 4 f x f x f x f x f x 1 1 1 1 1 k, 1,, 3, k n n n 4 n m m m m m f f f f f 1 1 1 1 1 Napomena: zbrsat formulu za m k m 4! m 1 m n pomoćn moment; za numerĉk nz tpa II. zraĉunavaju se vagan pomoćn moment f frekvencja x vrjednost numerĉkog obljeţja. 33

fx 1 Tp III. Ako je artmetĉka sredna za zadan nz zraĉunata prema formul X n f n 1, n n f x f x 1 1 standardna devjacja prema formul, treć moment oko n n f f 1 1 sredne zraĉunava se pomoću vaganh pomoćnh momenata oko nule (kao za tp II.) tako da se prdruţ kolona fx 3 : µ 3 = m 3 3 m 1 m + m 1 3 n n n n n k 3 4 f x f x f x f x f x 1 1 1 1 1 k, 1,, 3, k n n n 4 n m m m m m f f f f f 1 1 1 1 1 Napomena: zbrsat formulu za m k m 4! f frekvencja x razredna sredna. Pearsonova mjera asmetrje (S k ) je mjera asmetrje koja se zasnva na razlc artmetĉke sredne moda l na razlc artmetĉke sredne medjana. Zauzma vrjednost u ntervalu [ 3 +3 ] ovsno o oblku krvulje jaĉn asmetrje: S S k1 k X Mo 3 ( X M) Taj koefcjent ma vrjednost nula kod smetrĉne razdobe, veću od nule a poztvno manju od nule za negatvno asmetrĉnu razdobu. Jaka smetrja utjeĉe da se vrjednost S k prblţava vrjednost +3, odnosno 3. Bowleyova mjera asmetrje (S kq ) se korst za mjerenje asmetrje to odnosa zmeċu medjana kvartla koj se kreće u ntervalu [ 1 +1 ] S kq Q M Q Q Q 3 1 3 1. Ako je nz smetrĉan, ovaj koefcjent ma vrjednost nula. Što je nz jaĉe poztvno asmetrĉan S kq se prblţava vrjednost +1, a kod jako negatvno asmetrĉnh nzova prblţava se vrjednost 1. 34

Mjera zaobljenost (α 4 ) Mjera zaobljenost je velĉna kojom se utvrċuje zaobljenost promatranog numerĉkog nza. Za usporeċvanje uzma se zaobljenost normalne krvulje za koju vrjed da je α 4 = 3. Alfa četr α 4 je mjera zaobljenost koja se, analogno mjer asmetrje α 3, dobva po formul 4 4 4 ; µ 4 je ĉetvrt moment oko sredne koj se zraĉunava pomoću momenta oko nule µ 4 = m 4 4m 1 m 3 + 6 m 1 m 3 m 1 4. Izraĉunavanje momenata oko nule ovs o rednom broju momenta tpu numerĉkog nza, što je objašnjeno kod mjera asmetrje. Za mjeru zaobljenost α 4 potrebno je dodatno zraĉunat ĉetvrt pomoćn moment oko nule m 4 (uz pretpostavku da su prv, drug treć pomoćn moment zraĉunat kod mjera asmetrje). Ĉetvrt pomoćn moment se raĉuna kao jednostavn za numerĉke nzove tpa I. a vagan za numerĉke nzove tpa II. tpa III.: Upsat formulu! 35

VJEŢBA 3.4. Mjere asmetrje zaobljenost Zadatak 3.4.1. Koja se krvulja nazva smetrĉnom? Kakav oblk poprma krvulja ako nje smetrĉna? Kako asmetrja utjeĉe na zakljuĉvanje o ponašanju frekvencja s obzrom na vrjednost numerĉkog obljeţja? Što su mjere asmetrje? Zadatak 3.4.. Zašto se moment mogu korstt za mjerenje asmetrje? Po ĉemu se razlkuju moment oko sredne od momenata oko nule? Koj moment dolaze u obzr pr zraĉunavanju mjere asmetrje 3? Izraĉunat prv, drug treć moment oko nule za nzove u tabelama 3., 4. 5. Zadatak 3.4.3. Na temelju rezultata z prethodnog zadatka zraĉunat odgovarajuć moment oko sredne potreban za 3. Prema dobvenoj vrjednost zakljuĉt rad l se o desnostranoj l ljevostranoj asmetrj. Zadatak 3.4.4. Kolko znos mjera asmetrje 3 za promatrane nzove? Kakav zakljuĉak prozlaz z dobvenog rezultata? Što znaĉ ako je 3 =0? Zadatak 3.4.5. Kada se upotrebljava Bowleyova mjera asmetrje? Koje vrjednost moţe zauzet ova mjera? Kolko ona znos za nz u tabel 4.? Zadatak 3.4.6. Koje su velĉne uzete u obzr pr mjerenju asmetrje Pearsonovom mjerom asmetrje? Što znaĉ ako ta mjera za nek nz znos +,0? Izraĉunat Pearsonovu mjeru asmetrje za nz u tabel 5. Zakljuĉak o smjeru jaĉn asmetrje provjert na grafkonu z zadatka 3.1.6. Zadatak 3.4.7. Kakav oblk moţe mat razdoba frekvencja s obzrom na zaobljenost? Na koj se naĉn mjer zaobljenost? Kako zgleda krvulja ako ma 4 =1,8, a kako ona kojoj je 4 =8,35? Napravt skcu. Zadatak 3.4.8. Izraĉunat 4 za nzove u tabelama 3., 4. 5. Po ĉemu se razlkuje zraĉunavanje? Kako se mogu zraĉunat moment oko nule za nz u tabel 5.? Korstt oba naĉna rad provjere rezultata. Moţe l 4 bt s negatvnm predznakom (manj od 0)? Obrazloţt odgovore. Zadatak 3.4.9. Usporedt za nzove u tabelama 3., 4. 5. dobvene rezultate srednjh vrjednost, mjera dsperzje, mjera asmetrje mjere zaobljenost. Utvrdt znaĉajke svake promatrane pojave zasebno. Objasnt specfĉnost prmjera za nz z tabele 3. O kakvom je nzu rjeĉ? Da l rezultat o asmetrj zaobljenost potvrċuju zakljuĉke dobvene ranje na temelju srednjh vrjednost? 36