ZBIRKA ZADATAKA IZ ELEKTRONIKE

UNEZTET U BEOGADU FZČK FAKULTET Dr Stevan Stojadinović ZBKA ZADATAKA Z ELEKTONKE BEOGAD, 00.

PEDGOO Ova zbirka sadrži zadatke iz gradiva koje se predaje u toku zimskog semestra studentima treće godine Fizičkog fakulteta u Beogradu u okviru kurseva Elektronika, Fizička elektronika i Elektronika za fizičare, sa fondom od dva časa nedeljno. Zbirka sadrži 66 zadatka koji su detaljno rešeni. Zadaci su podeljeni u šest poglavlja i to: Metodi teorije električnih kola, Laplasove transformacije, Tranzistori, Diferencijalni pojačavač, Operacioni pojačavač i Digitalna elektronika. Svako poglavlje sadrži uvod sa kratkim teorijskim objašnjenjem osnovnih pojmova vezanim za dato poglavlje. Autor se zahvaljuje recenzentima Prof. Dr Aleksandru Stamatoviću i Prof. Dr Ljubiši Zekoviću. Prof. Dr Aleksandar Stamatović je nizom korisnih sugestija doprineo da delovi ovog teksta budu jasniji. Beograd, 00. AUTO

SADŽAJ. METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA.... LAPLASOE TANSFOMACJE...39 3. TANZSTO...74 4. DFEENCJALN POJAČAAČ...6 5. OPEACON POJAČAAČ...3 6. DGTALNA ELEKTONKA...50 7. LTEATUA...83

METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA. METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA Električno kolo je sistem koji se sastoji od aktivnih elektronskih elemenata (npr. tranzistora), pasivnih elektronskih elemenata (otpora, kapaciteta i induktiviteta) i spoljnih električnih izvora koji služe kao izvori energije. Pri analizi električnih kola uvode se pretpostavke vezane za idealizaciju elektronskih elemenata koji čine električno kolo. Električna kola sa elementima koji imaju tačno definisane osobine, u ograničenom i jasno definisanom delu prostora, nazivaju se kola sa koncentrisanim parametrima. Ovakva kola se mogu analizirati kao sistem fizički odvojenih otpora, kapaciteta i induktiviteta. Ona približno opisuju realno stanje električnog kola na niskim učestanostima i koriste se zato što uprošćavaju fizičku sliku procesa u kolu i matematički aparat za analizu kola. NAPONSK STUJN ZO dealni naponski izvor opisuje se naponom čija vrednost i talasni oblik ne zavisi od struje koja kroz njega protiče. Mogu biti jednosmerni naponski izvori (slika.a) ili naizmenični naponski izvori (slika.b).

METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA dealni strujni izvor opisuje se strujom čiji intenzitet i talasni oblik ne zavisi od napona koji vlada na njegovim krajevima. Mogu biti jednosmerni strujni izvori (slika.a) ili naizmenični strujni izvori (slika.b). ealni naponski i strujni izvori razlikuju se od idealnih pošto kod njih postoje unutrašnji gubici energije. ealni naponski izvor se aproksimira idealnim naponskim izvorom vezanim u seriju sa otporom, a realni strujni izvor se aproksimira idealnim strujnim izvorom vezanim u paraleli sa otporom. ealni naponski i strujni izvori su ekvivalentni (slika 3).

METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA PASN ELEKTONSK ELEMENT Na slici 4 prikazana su tri idealna pasivna elementa: otpor, kapacitet C i induktivitet L. zmeđu napona na ovim elementima i struja koje kroz njih protiču postoje relacije: v (t) v (t) i (t) i (t) Gv (t) dil (t) vl (t) L il (t) dt vl (t) dt L dvc (t) vc (t) ic (t) dt ic (t) C C dt KHOFO ZAKON Na slici 5 je prikazano složeno električno kolo. Blokovi sa brojevima od do 6 predstavljaju elemente kola (otpore, kapacitete, induktivitete ili izvore). A, B, C, i D su čvorovi. Svaki deo kola između dva susedna čvora naziva se grana, a zatvoren put čiji je polazni i krajni čvor isti predstavlja konturu (petlju). Matematičko opisivanje složenih sistema vrši se pomoću Kirhofovih zakona o naponima i strujama. 3

METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA ) Kirhofov zakon o strujama: Algerbarski zbir struja u bilo kom čvoru električnog kola u svakom trenutku jednak je nuli. Kod primene ovog zakona struje koje utiču u čvor imaju znak plus, a koje ističu znak minus. Primenom Kirhofovog zakona o strujama na čvor A kola sa slike 5 može se napisati sledeća jednačina: i i3 i4 0 ) Kirhofov zakon o naponima: Algerbarski zbir elektromotornih sila i padova napona u zatvorenoj električnoj konturi u svakom trenutku jednak je nuli. Kod primene ovog zakona elektromotorne sile se uzimaju sa znakom plus ako se kod ophoda konture prolazi kroz električni izvor od minusa ka plusu, a padovi napona na pasivnim elementima su pozitivni ako je smer ophoda konture suprotan smeru proticanja struje. Primenom Kirhofovog zakona o naponima na konturu ABCA kola sa slike 5 može se napisati sledeća jednačina: v v v3 0 4

METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA Ako je broj čvorova u kolu N, a broj grana N, tada je broj nepoznatih struja jednak je broju grana. Primenjujući Kirhofove zakone na sve čvorove i sve zatvorene putanje u kolu, dobija se veći broj jednačina nego što je potrebno. Pri tome su neke jednačine posledica ostalih. Da bi se dobilo N nezavisnih jednačina, koliko ima nepoznatih struja, treba Kirhofov zakon o strujama primeniti na N čvor, a ostale jednačine se dobijaju primenom Kirhofovog zakona o naponima na N N (N ) zatvorenih putanja u kolu koje se razlikuju bar po jednoj grani. Za matematičko opisivanje većine složenih kola potrebno je korišćenje oba Kirhofova zakona. Međutim, u mnogim slučajevima primena metoda i teorema iz teorije električnih kola uprošćava postavljen zadatak. 5

METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA.) Za kolo sa slike. odrediti struje svih grana primenom metode konturnih struja. Poznato je: 6, 3, 3, 4 6, 5, 300 Ω, 00 Ω, 3 00 Ω, 4 300 Ω, 5 00 Ω, 6 00 Ω, 7 00 Ω. ešenje: Metoda konturnih struja primenjuje se kod kola sa naponskim izvorima. Ovom metodom određuju se struje primenom Kirhofovog zakona o naponima. Prilikom odabira kontura treba voditi računa da svaka odabrana kontura sadrži barem jednu granu po kojoj se ona razlikuje od ostalih kontura. Ukupan broj kontura koje treba odabrati, odnosno ukupan broj jednačina koje treba napisati metodom konturnih struja je N N (N ), gde je: N broj grana u kolu, N broj čvorova u kolu, N broj jednačina. U kolu na slici.. su uočene tri konture numerisane sa indeksima (kontura ADBA), (kontura ACDA) i (kontura BCAB) sa 6

METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA konturnim strujama, i respektivno. Primenom Kirhofovog zakona o naponima na konture, i mogu se napisati sledeće jednačine: Za konturu : ( ) ( ) ( ) 0 (..) 3 7 4 Za konturu : ( ) ( ) 0 (..) 3 4 6 4 5 Za konturu : ( ) ( ) 0 (..3) 5 3 5 Posle sređivanja ove jednačine postaju: ( 4 7) 4 3 (..4) 4 (4 5 6) 5 3 4 5 ( 3 5) 5 7

METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA odnosno:,,,,,, (..5), gde su:,,, 4 7,, 4 5 6,, 3 5,, 4,,,,,, 5 3, 3 4, 5 Otpornost ij za i j (i,j,,) predstavlja sopstvenu otpornost pojedinih kontura. Otpornost ij za i j (i,j,,) predstavlja zajedničku otpornost i te i j te konture uzetu sa negativnim znakom. Elektromotorna sila i (i,,) predstavlja sumu elektromotornih sila za datu konturu. U matričnom obliku prethodni sistem jednačina izgleda:,,,,,,,,,. (..6) ili kraće [ ] [ ] [ ], gde su: [ ],,,,,,,,,, [ ], [ ] 8

METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA Matrica [ ] je matrica sistema. Ova matrica je simetrična u odnosu na glavnu dijagonalu. Na glavnoj dijagonali nalaze se elementi koji predstavljaju sopstvene otpornosti pojedinih kontura, a na mestima ij (i j) elementi koji predstavljaju zajedničke otpornosti i te i j te konture uzete sa negativnim znakom. Matrice [ ] i [ ] su matrice kolona. [ ] pobuda, a [ ] matrica konturnih struja. ešavanjem sistema jednačina (..4) dobija se: 0.0A, 0.04 A, 0.0 A. je matrica Sa slike.. se vidi da su: Struja kroz granu BA: Struja kroz granu DB: 0.0A 0.0A 9

METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA Struja kroz granu BC: Struja kroz granu AD: Struja kroz granu AC: 3 0.0 A 4 0.03 A 5 0.0 A Struja kroz granu CD: 6 0.04 A Jednačine konturnih struja su izvedene polazeći od jednačina koje su napisane primenom Kirhofovog zakona o naponima. Prednost metode konturnih struja je u tome što se umesto pisanja šest jednačina sa šest nepoznatih struja grana, primenom Kirhofovih zakona, pišu tri jednačine za konture, i. ešavanjem ovih jednačina dobijaju se konturne struje, i koje su i struje u granama po kojima se pojedine konture međusobno razlikuju (struje, 3 i 6 ), dok se struje u ostalim granama dobijaju iz jednačina konturnih struja..) Za kolo sa slike. izračunati struje svih grana primenom metode napona čvorova. Poznato je: 0. A, 0. A, 00 Ω, 00 Ω, 3 300 Ω, 4 00 Ω, 5 00 Ω. 0

METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA ešenje: Metoda napona čvorova primenjuje se u kolima sa strujnim izvorima. Ovom metodom određuju se naponi između pojedinih čvorova u kolu i jednog proizvoljnog referentnog čvora koristeći Kirhofov zakon o strujama. Za referentni čvor najpogodnije je uzeti čvor koji je granama spojen sa najvećim brojem čvorova. Tada se najveći broj od traženih struja dobija neposredno iz napona čvorova. Ukupan broj jednačina koje treba napisati metodom napona čvorova je: N N, gde je: N broj čvorova u kolu, N broj jednačina. Kao referentni čvor u kolu na slici.. uzet je čvor. Primenom Kirhofovog zakona o strujama za čvorove, i mogu se napisati sledeće jednačine: Za čvor : ( ) 0 (..) 4

METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA Za čvor : ( ) ( ) 0 (..) 4 Za čvor : 5 ( ) 0 (..3) 3 5 Posle sređivanja ove jednačine postaju: ( ) 0 4 4 ( ) 0 (..4) 4 5 0 ( ) odnosno: G G G,,,, 4 3,, 5 5 5 G G G (..5) G G G,,, gde su: G,, 4 G,, 4 5 G,, 3 5 G, G,, G, G, 0, 4 G, G, 5, 0,

METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA Provodnost G ij za i j (i,j,,) predstavlja sopstvenu provodnost pojedinih čvorova. Provodnost G ij za i j (i,j,,) predstavlja zajedničku provodnost i tog i j tog čvora uzetu sa negativnim znakom. Struja i (i,,) predstavlja sumu struja svih strujnih izvora vezanih za odgovarajući čvor. U matričnom obliku prethodni sistem jednačina izgleda: G G G,,, G G G,,, G G G,,,. (..6) ili kraće [ G ] [ ] [ ], gde su: G [ G] G G,,, G G G,,, G G G,,,, [ ], [ ] Matrica [ G ] je matrica sistema. Ova matrica je simetrična u odnosu na glavnu dijagonalu. Na glavnoj dijagonali nalaze se elementi koji predstavljaju sopstvene provodnosti pojedinih čvorova, a na mestima G ij (i j) elementi koji predstavljaju zajedničke provodnosti i tog i j tog čvora uzete sa negativnim znakom. Matrice [ ] i [ ] su matrice kolona. [ ] je matrica pobuda, a [ ] matrica napona između čvorova. ešavanjem sistema jednačina (..4) dobija se: 6., 9., 6.5. 3

METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA Sa slike.. se vidi da su: Struja kroz granu -: Struja kroz granu -: Struja kroz granu -: Struja kroz granu -: 0.3A 3 0.09A, 4 0.0 A 0.7 A Struja kroz granu -:, 5 0.078 A.3) zračunati struje kroz otpornike i 5 u kolu sa slike.3: a) metodom konturnih struja b) metodom napona čvorova 4

METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA Poznato je:, 6, 3 0. A, 00 Ω, 00 Ω, 3 00 Ω, 4 00 Ω, 5 300 Ω, 6 00 Ω. ešenje: a) Ako se strujni izvor zameni ekvivalentnim naponskim izvorom kolo sa slike.3 postaje: gde je: 3 6 3 0. Primenom metode konturnih struja dobija se: ( ) (.3.) ( 3 4) 4 4 (4 5 6) ( 3) 5

METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA ešavanjem sistema jednačina (.3.) dobija se da su konturne struje: 0.067 A, 0.04 A, 0.047 A. Struje kroz otpornike i 5 su: 0.07 A 5 0.047 A b) Ako se naponski izvori zamene ekvivalentnim strujnim izvorima kolo sa slike.3 postaje: gde su: 0. A i 0.08 A. Primenom metode napona čvorova dobija se: ( ) 3 3 3 4 3 5 5 4 ( ) (.3.) 5 ( 5 6 ) 3 6

METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA ešavanjem sistema jednačina (.3.) dobija se da su naponi čvorova: 5.333,.333, 5.333. Struje kroz otpornike i 5 su: 5 0.07 A 5 0.047 A.4) Za kolo sa slike.4 odrediti struju kroz potrošač P koristeći Tevenenovu teoremu i princip superpozicije. Poznato je: 8, 6, 00 Ω, 00 Ω, 3 00 Ω, 4 300 Ω, 5 00 Ω, P 00 Ω. ešenje: Prema Tevenenovoj teoremi svaka dva kraja linearnog električnog kola, sa proizvoljnim brojem naponskih izvora i impedansi, mogu se svesti na kolo sa jednim naponskim izvorom vezanim u seriju sa impedansom. Naponski izvor je jednak naponu na krajevima kola kada je kolo otvoreno, a serijska impedansa jednaka je ukupnoj impedansi, pod uslovom da su svi naponski izvori koji deluju u kolu kratko vezani. 7

METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA Primenom Tevenenove teoreme kolo sa slike.4, levo od tačaka a i b, može se zameniti ekvivalentnim naponskim izvorom Th vezanim u seriju sa ekvivalentnom otpornošću Th (slika.4.). Da bi se odredila otpornost Th umesto naponskih izvora i treba staviti kratku vezu (slika.4.). Ekvivalentna Tevenenova otpornost Th je: [( ) ] 65 Ω Th 3 5 4 (.4.) Ekvivalentni Tevenenov naponski izvor izračunava se metodom superpozicije: Th Th 0 Th 0 (.4.) 8

METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA Za 0 kolo sa slike.4, levo od tačaka a i b, izgled kao kolo na slici.4.3. Primenom Kirhofovog zakona o naponima na kolo sa slike.4.3 dobija se da je struja : (.4.3) Tada je: 3 4 5 3 5 Th 3.3 0 4 (.4.4) Za 0 kolo sa slike.4, levo od tačaka a i b, izgled kao kolo na slici.4.4. 3 4 5 9

METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA Primenom metode konturnih struja na kolo sa slike.4.4 dobija se: ( (.4.5) ) ( ) 0 (.4.6) 3 4 5 Eliminacijom struje iz jednačina (.4.5) i (.4.6) dobija se: (.4.7) ( 3 4 5 ) ( 3 4 5 ) Tada je: 0 4 4. (.4.8) Th Ekvivalentni Tevenenov naponski izvor je: Th 0 Th 0 0.9 (.4.9) Th P Struja kroz potrošač P je prema slici.4.: T 3.466 0 A (.4.0) P T.5) Za kolo sa slike.5 odrediti struju kroz potrošač P koristeći Tevenenovu teoremu i princip superpozicije. Poznato je: 0.00 A, 6, 50 Ω, 50 Ω, 3 00 Ω, 4 50 Ω, 5 00 Ω, 6 00 Ω, P 300 Ω. 0

METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA ešenje: Da bi odredili otpornost Th prema Tevenenovoj teoremi umesto naponskog izvora treba staviti kratku vezu, a umesto strujnog izvora otvorenu vezu (slika.5.). Ekvivalentna Tevenenova otpornost Th je: [( ) ] ( ) 34. Ω 6 Th 3 4 5 5 (.5.) Ekvivalentni Tevenenov naponski izvor izračunava se metodom superpozicije: Th Th 0 Th 0 (.5.) Za 0 kolo sa slike.5, levo od tačaka a i b, izgled kao kolo na slici.5..

METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA Primenom metode napona čvorova na kolo sa slike.5. dobija se: 0 0 ) ( 4 3 4 4 (.5.3) 0 0 ) ( 4 5 3 5 4 4 (.5.4) 0 ) ( 0 4 3 3 (.5.5) ) ( 0 0 4 6 5 3 5 (.5.6) ešavanjem sistema jednačina dobija se: 0.007, 0.38, 3 0.7 i 4 0.5. Sa slike.5. se vidi da je 0.38 0 Th. Za 0 kolo sa slike.5 levo, od tačaka a i b, izgled kao kolo na slici.5.3. Primenom metode konturnih struja na kolo sa slike.5.3 dobija se: ) ( ) ( 3 3 (.5.7) 0 ) ( ) ( 6 5 4 3 3 (.5.8)

METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA Eliminacijom struje iz jednačina (.5.7) i (.5.8) dobija se: 3 (.5.9) ( ) ( )( ) 3 4 5 6 3 4 5 6 Tada je: Th 0 5 6 ( ) 5.5 (.5.0) Ekvivalentni Tevenenov naponski izvor je: Th Th 0 Th 0 5.638 (.5.) Primenom Tevenenove teoreme kolo sa slike.5 može se prikazati kolom na slici.5.4. Struja kroz potrošač P je: Th 0.03 A (.5.) P P T.6) Odrediti zakon promene napona na kondenzatoru C u kolu sa slike.6 posle otvaranja prekidača S. Pretpostaviti da je prekidač dovoljno vremena bio zatvoren tako da se u kolu uspostavio ustaljen režim. 3

METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA ešenje: Kako je pre otvaranja prekidača S u kolu vladao ustaljen režim, struja kroz kondezator i C 0. Napon na kondezatoru neposredno pre otvaranja prekidača S je: v C 3 (t 0 ) (.6.) 3 Prilikom otvaranja prekidača S napon na kondenzatoru se ne menja trenutno, odnosno: v C (t 3 ) (.6.) 0 ) vc(t 0 3 Posle otvaranja prekidača S kolo sa slike.6 izgleda kao kolo na slici.6.. 4

METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA se: Primenom Kirhofovog zakona o naponima na kolo sa slike.6. dobija ( )i(t) vc (t) (.6.3) Kako su struja i napon na kondenzatoru vezani relacijom: dvc (t) i(t) C (.6.4) dt jednačina (.6.3) može se napisati u obliku: dvc (t) ( )C vc (t) (.6.5) dt Jednačina (.6.5) je nehomogena linearna diferencijalna jednačina sa konstantnim koeficijentima. ešenje ove jednačine jednako je zbiru opšteg rešenja homogene jednačine: dvc (t) ( )C vc (t) 0 (.6.6) dt i jednog partikularnog rešenja nehomogene jednačine (.6.5). Opšte rešenje homogene jednačine (.6.6) određuje slobodan režima, koji zavisi samo od električnih osobina kola, a ne zavisi od karaktera izvora koji se nalazi u kolu, i oblika je: t τ v (t) Ae (.6.7) Ch gde je τ ( ) C vremenska konstanta kola. Partikularno rešenje nehomogene jednačine (.6.5) određuje ustaljen režim u kolu, koji zavisi od karaktera izvora koji u njemu deluje, i oblika je: v Cp (.6.8) Opšte rešenje jednačine (.6.5) je: 5

METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA t vc (t) vch (t) vcp Ae τ (.6.9) Konstanta A se određuje iz početnih uslova. U trenutku otvaranja prekidača napon na kondezatoru dat je jednačinom (.6.) i tada je: v 3 (t 0 ) A (.6.0) C 3 odnosno: A (.6.) 3 Zakon promene napona na kondezatoru posle otvaranja prekidača S je: t v τ C(t) e (.6.) 3.7) Odrediti zakon promene napona na otporniku u kolu sa slike.7 posle zatvaranja prekidača S. Svi početni uslovi su nula. ešenje: Posle zatvaranja prekidača S kolo sa slike.7 izgleda kao kolo na slici.7.. 6

METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA Primenom metode konturnih struja na kolo sa slike.7. dobija se: dv(t) dv (t) v(t) i(t) i (t) v(t) C C (.7.) dt dt dv(t) dv (t) 0 i (t) v (t) i (t) C v C (.7.) dt dt Jednačina (.7.) može se napisati u obliku: dv (t) dv(t) C v (t) C (.7.3) dt dt Sabiranjem jednačina (.7.) i (.7.) dobija se: dv (t) v (t) v (t) C (.7.4) dt Diferenciranjem jednačine (.7.4) dobija se: dv(t) d v (t) dv (t) C (.7.5) dt dt dt z jednačina (.7.3) i (.7.5) dobija se sledeća diferencijalna jednačina: dv (t) d v (t) dv (t) C v (t) C C (.7.6) dt dt dt odnosno: 7

METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA d v (t) dv (t) C 3C v (t) 0 (.7.7) dt dt Jednačina (.7.7) je homogena linearna diferencijalna jednačina sa konstantnim koeficijentima drugog reda. ešenje ove jednačine je oblika: pt v (t) Ke (.7.8) Zamenom jednačine (.7.8) u jednačinu (.7.7) dobija se: C p 3Cp 0 (.7.9) Jednačina (.7.9) je karakteristična jednačina. Koreni karakteristične jednačine su: 3C ± 9 C 4 C 3C ± 5 C p, C C (.7.0) odnosno: p 3 5 3 5 0.38 i p C C C Zakon promene napona v (t) je:.6 C p t v (t) o p t K e K e (.7.) Zakon promene napona v o (t) je: ( p t pt p e K p e ) v (t) i (t) C K (.7.) Konstante K i K određuju se iz početnih uslova: (0 ) 0 K K v (.7.3) (0 ) C(Kp K p ) (.7.4) vo K z jednačina (.7.3) i (.7.4) sledi da su konstante K i K : 0.446 C(p p ) i K 0.446 C(p p ) 8

METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA Zakon promene napona v o (t) je:.6 0.38 t t v C C o (t).7 e 0.7 e (.7.5).8) Odrediti zakon promene struje kroz otpornik u kolu sa slike.8 posle zatvaranja prekidača S. Pretpostaviti da je pre zatvaranja prekidača u kolu vladao ustaljen režim. ešenje: Kako je pre zatvaranja prekidača S u kolu vladao ustaljen režim, napon na zavojnici je v L 0. Struja kroz zavojnicu neposredno pre otvaranja prekidača je: i L(t 0 ) (.8.) Prilikom otvaranja prekidača S struja kroz zavojnicu se ne menja trenutno, odnosno: i L(t 0 ) il(t 0 ) (.8.) Posle zatvaranja prekidača S kolo sa slike.8 izgleda kao kolo na slici.8.. 9

METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA se: v Primenom Kirhofovog zakona o naponima na kolo sa slike.8. dobija (t) ( )i (t) (.8.3) L L Kako su struja i napon na zavojnici vezani relacijom: dil (t) vl (t) L (.8.4) dt jednačina (.8.3) postaje: L di (t) (.8.5) L il (t) dt ešenje nehomogene linearne diferencijalne jednačine sa konstantnim koeficijentima (.8.5) je: i γt L (t) Ae ( ) (.8.6) gde je γ. L Konstanta A se određuje iz početnih uslova. U trenutku zatvaranja prekidača struja kroz zavojnicu je data jednačinom (.8.) i tada je: A (.8.7) 30

METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA odnosno: A (.8.8) Zakon promene struje kroz zavojnicu je: i i L γt (t) e (.8.9) Sa slike.8. se vidi da je: (t) i (t) i (t) (.8.0) L i (t) i (t) (.8.) Zakon promene struje kroz otpornik je : i (t) i L (t) e γt (.8.).9) Odrediti zakon promene napona na zavojnici L u kolu sa slike.9 posle zatvaranja prekidača S. ešenje: Posle zatvaranja prekidača S kolo sa slike.9 izgleda kao kolo na slici.9.. 3

METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA Primenom metode konturnih struja na kolo sa slike.9. dobija se: di(t) di (t) i(t) L L (.9.) dt dt di(t) di (t) L (L L ) i (t) 0 (.9.) dt dt Sabiranjem jednačina (.9.) i (.9.) dobija se: di (t) i(t) i (t) L (.9.3) dt Diferenciranjem jednačina (.9.3) dobija se: L d i (t) di (t) di(t) 0 (.9.4) dt dt dt z jednačine (.9.) sledi da je: di(t) L L di (t) i (t) (.9.5) dt L dt L z jednačina (.9.4) i (.9.5) dobija se sledeća diferencijalna jednačina: L d i (t) L L di (t) i (t) 0 dt L (.9.6) dt L Jednačina (.9.6) je homogena linearna diferencijalna jednačina sa konstantnim koeficijentima drugog reda. ešenje ove jednačine je oblika: 3

METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA 33 pt Ke (t) i (.9.7) Zamenom jednačine (.9.7) u jednačinu (.9.6) dobija se: 0 L p L L L p L (.9.8) Jednačina (.9.8) je karakteristična jednačina. Koreni karakteristične jednačine su:, L L L 4 L L L L L L p ± (.9.9) odnosno:, L L L L L L p ± (.9.0) Kako je: 0 L L L L L L L L L L > Oba rešenja karakteristične jednačine su realna i negativna: L L L L L L p (.9.) L L L L L L p (.9.) ešenje diferencijalne jednačine (.9.6) je: t p t p e K e K (t) i (.9.3)

METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA Konstante K i K određuju se iz početnih uslova. U trenutku zatvaranja prekidača S je: i (t 0 ) i (t 0 ) 0 (.9.4) z jednačina (.9.3) i (.9.4) sledi da je: 0 K K (.9.5) U trenutku zatvaranja prekidača kolo sa slike.9 izgleda kao kolo na slici.9.. Sa slike.9. se vidi da je: vl (t 0 ) v (t 0 ) (.9.6) L Diferenciranjem jednačine (.9.3) dobija se: di p t p t Kpe K p e (.9.7) dt z jednačina (.9.6) i (.9.7) sledi da je: L K p K p (.9.8) z jednačina (.9.5) i (.9.8) dobijaju se konstante K i K : K (.9.9) L (p p) L L L LL 34

METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA K (.9.0) L (p p) L L L LL Zakon promene napona na zavojnici L je: p t p t ( p e p e ) di vo(t) L (.9.) dt L L LL.0) Odrediti zakon promene struje kroz zavojnicu L u kolu sa slike.0 posle prebacivanja prekidača iz položaja a u položaj b. Pretpostaviti da se pre prebacivanja prekidača u kolu uspostavio ustaljen režim. zmeđu parametara kola postoji veza L C. ešenje: Kako je pre prebacivanja prekidača S u kolu vladao ustaljen režim, kolo sa slike.0 izgleda kao kolo sa slike.0.. Sa slike.0. se vidi da su struja kroz zavojnicu L i napon na kondenzatoru C, neposredno pre prebacivanja prekidača S iz položaja a u položaj b: 35

METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA i L (t 0 ) (.0.) vc (t 0 ) il (t 0 ) (.0.) Prilikom prebacivanja prekidača S iz položaja a u položaj b struja kroz zavojnicu L i napon na kondenzatoru C se ne menjaju trenutno, odnosno: il (t 0 ) il (t 0 ) (.0.3) vc (t 0 ) vc (t 0 ) il (t 0 ) (.0.4) Posle prebacivanja prekidača S iz položaja a u položaj b kolo sa slike.0 izgleda kao kolo na slici.0.: 36

METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA Sa slike.0. se vidi da je: i (t) v (t) (.0.5) C i (t) v (t) v (t) (.0.6) L C dvc (t) i(t) i (t) (.0.7) dt C di (t) vl (t) L (.0.8) dt z jednačina (.0.5) i (.0.6) sledi da je: di (t) i (t) i (t) vl (t) i(t) i (t) L 0 (.0.9) dt odnosno: L di (t) di (t) i(t) i (t) C (.0.0) dt dt Jednačina (.0.6) se može napisati u obliku: di (t) i (t) L [ i(t) i (t)] dt (.0.) dt C odnosno: i i di (t) d (t) di (t) d (t) i (t) i (t) C LC C C (.0.) dt dt dt dt i z jednačina (.0.0) i (.0.) sledi da je: d i (t) di (t) (t) C C (.0.3) dt dt odnosno: d i (t) di (t) C C i (t) 0 (.0.3) dt dt 37

METOD TEOJE ELEKTČNH KOLA ešenje homogene linearne diferencijalne jednačine sa konstantnim koeficijentima drugog reda (.0.3) je oblika: pt i (t) Ke (.0.4) Zamenom jednačine (.0.4) u jednačinu (.0.3) dobija se: C p Cp 0 (.0.5) Koreni karakteristične jednačine (.0.5) su: C ± 4 C 8 C p, C (.0.6) odnosno: j j p i p C C ešenje diferencijalne jednačine (.0.4) je: t C t t i (t) e K cos K sin (.0.7) C C Konstante K i K određuju se iz početnih uslova. U trenutku prebacivanja prekidača S je: i (t 0 ) K (.0.8) di vl (t 0 ) L t 0 L K K (.0.9) dt C C z jednačina (.0.8) i (.0.9) sledi da je K K. Zakon promene struje kroz zavojnicu L je: t C t t i (t) e cos sin (.0.0) C C 38

LAPLASOE TANSFOMACJE. LAPLASOE TANSFOMACJE Laplasove transformacije zasnivaju se na integralima: [ ] st dt F (s) L f (t) f (t)e () 0 σ j st f (t) L [ F(s) ] F(s)e ds j () π σ j gde su: L operator direktne Laplasove transformacije L operator inverzne Laplasove transformacije s σ ω kompleksna promenjiva Laplasove transformacije F(s) kompleksni lik funkcije f(t) f(t) original funkcije F(s) ntegral () predstavlja direktnu Laplasovu transformaciju i prevodi vremensku funkciju f(t) u kompleksnu funkciju, dok integral () predstavlja inverznu Laplasovu transformaciju i prevodi kompleksnu funkciju F(s) u vremensku funkciju f(t). Egzistencija integrala () zavisi od oblika funkcije f(t) i vrednosti σ. Laplasova transformacija funkcije f(t) postoji samo za σ > σ o. eličina σ o 39

LAPLASOE TANSFOMACJE naziva se apcisa apsolutne konvergencije i predstavlja minimalnu (realnu i pozitivnu) vrednost σ σ o const. koja obezbeđuje konvergenciju integrala funkcije f(t): 0 σ f (t) e t dt <, σ σo (3) Laplasove transformacije imaju veliku primenu u analizi i sintezi sistema, u rešavanju sistema diferencijalnih jednačina sa konstantnim koeficijentima, kao i u nalaženju prenosne funkcije sistema. OSOBNE DEKTNE LAPLASOE TANSFOMACJE. Teorema linearnosti [ a f (t) a f (t)] a F (s) a F (s) L, ( a, a ). Teorema o izvodu originala (realno diferenciranje) d L f (t) sf(s) f (0 dt n d n L f (t) s F(s) n dt n ) k s n k f (k ) 3. Teorema o integralu originala (realno integraljenje) L [ f (t)dt] L t 0 f (t)dt F(s) s F(s) s 0 f (t)dt s (0 ) 40

LAPLASOE TANSFOMACJE 4. Teorema o izvodu kompleksnog lika (kompleksno diferenciranje) [ ] L tf (t) n n n d [ f (t)] ( ) F(s) L t d ds F(s) ds 5. Kompleksno integraljenje f (t) L t s F(s)ds 6. Teorema kašnjenja (realna translacija) as [ a) ] e F(s) L f (t, a > 0 n 7. Teorema pomeranja (kompleksna translacija) αt [ f (t)] F(s α) L e 8. Teorema sličnosti s L [ f (at)] F a a 9. Teorema o početnoj vrednosti lim f (t) limsf(s) t 0 s 0. Teorema o konačnoj vrednosti lim f (t) limsf(s) t s 0. Konvolucija originala Ako je funkcija f(t) data konvolucionim integralom f (t) t 0 f(t τ)f( τ) dτ 4

LAPLASOE TANSFOMACJE tada je: [ ] F (s)f (s) F(s) L f (t) LAPLASOE TANSFOMACJE OSNONH FUNKCJA. Heaviside ova funkcija Ova funkcija je poznata i pod imenom jedinična odskočna funkcija. Data je relacijom: U (t) 0 t 0 t < 0 Funkcija U(t) ima prekid u tački t 0 (slika ). Ako prekid postoji u tački t τ (slika ), tada funkcija glasi: U (t τ) 0 t τ t < τ Laplasova transformacija Heaviside ove funkcije je: [ U(t) ] L L s s sτ [ U(t τ) ] e 4

LAPLASOE TANSFOMACJE. Dirac ova delta funkcija Ova funkcija je poznata i pod imenom jedinična impulsna funkcija. Data je relacijom: t 0 δ( t) 0 t 0 Pri tome je: 0 δ( t)dt Laplasova transformacija Dirac ove delta funkcije je: L st st [ δ(t) ] δ(t)e dt e t 0 0 0 3. Nagibna funkcija Ova funkcija je data relacijom: f (t) atu(t) δ(t)dt ili, s obzirom na definiciju funkcije U(t) f (t) at, t 0 Laplasova transformacija nagibne funkcije je: a L [ at] s 4. Eksponencijalne funkcije Za opadajuću eksponencijalnu funkciju datu relacijom: αt f (t) e U(t), α > 0 Laplasova transformacija je: αt [ ] L e s α 43

LAPLASOE TANSFOMACJE Za rastuću eksponencijalnu funkciju datu relacijom: f (t) ( e αt )U(t) Laplasova transformacija je: αt [ e ] α L s(s α) 5. Prostoperiodične funkcije Za sinusnu i kosinusnu funkciju (t) f U(t)sin( βt) f (t) U(t)cos( βt) Laplasova transformacija je: [ β t) ] L sin( s β β [ β t) ] L cos( s s β NEZNA LAPLASOA TANSFOMACJA nverzna Laplasova transformacija zasniva se na integralu (). ntegraljenje se vrši duž prave e (s) σ izabrane tako da se svi polovi funkcije F(s) nalaze levo od nje. U svim slučajevima od interesa funkcija F(s) se može prikazati u obliku racionalne razlomljene funkcije, odnosno: F(s) P(s) Q(s) b a m ms n ns a m bm s n n s...bs b0 (4)... a s a gde su P(s) i Q(s) polinomi po s, pri čemu je stepen polinoma u brojitelju manji ili jednak stepenu polinoma u imenitelju ( m n). Nule polinom P(s) 0 44

LAPLASOE TANSFOMACJE i Q(s) nazivaju se nule i polovi funkcije F(s). Pošto su P(s) i Q(s) polinomi sa realnim koeficijentima, njihove nule, odnosno nule i polovi funkcije F(s) mogu biti ili realni, ili u konjugovano kompleksnim parovima. Tada se inverzna Laplasova transformacija može naći razvojem funkcije F(s) u parcijalne razlomke (Hevisajdov razvoj) ili primenom Košijeve teoreme ostataka. U mnogim slučajevima inverzna Laplasova transformacija može se naći u tablicama Laplasovih transformacionih parova. Metoda parcijalnih razlomaka Funkcija (4) može se napisati u obloku: P(s) P(s) F(s) Q(s) A(s s)(s s) (s s Mogući su sledeći slučajevi: a) koreni su međusobno različiti: F (s) Funkcija F(s) može se tada prikazati u obliku: K s s K s s K n s s n n ) n K k k s sk gde su K, K, K n konstantni koeficijenti. Množenjem jednačine sa ( k s s ) i prelaženjem na graničnu vrednost dobija se: Kk lim (s sk ) s s s s k odnosno: n k k lim (s s s s k k ) P(s) Q(s) K k (s s k P(s) ) Q(s) s s k 45

LAPLASOE TANSFOMACJE nverzna Laplasova transformacija funkcije F(s) određuje se na taj način što se za svaki član parcijalnog razlomka odredi inverzna transformacija: n n K k skt f (t) L K ke k s sk k Ako su neki koreni kompleksni, oni se javljaju u konjugovanim parovima. Neka su funkcija (4) može prikazati u obliku: s * k α k jβk i s k s k α k jβk P(s) K k K k F(s) * (s s )(s s )Q (s) s s * k k k s s k Za koeficijente K k i K k dobija se: K k (s s k P(s) ) Q(s) s s k (s k P(s s * k k ) )Q (s k. Tada se ) P(s) Q (s) P(s k ) jβ Q (s k k ) K (s s P(s) ) Q(s) * k k * s s k (s * k P(s s k * k ) )Q (s * k ) P(s ) jβ Q (s k * k * k ) Kompleksni koeficijenti K k i K k su konjugovani: K k x k jy k K k e jϕ k K * k K k x k jyk K k e jϕ k gde je: yk ϕ k arctg. x k Pri nalaženju inverzne Laplasove transformacije funkcije F(s) članovi zbira sa kompleksnim korenima se objedinjuju. Tada je: 46

LAPLASOE TANSFOMACJE L K k s s k * K k s s * k K k e αkt e j( βktϕk ) K k e αkt e j( βktϕk ) K k e αkt cos( β k t ϕ k ) b) koreni su višestruki Kada se koreni polinoma u imenitelju funkcije (4) ponavljaju, ona se može napisati u obliku: F(s) P(s) Q(s) A(s s P(s) m ) (s s ) (s sn ) m mn Svaki koren s k multipliciteta m k može se napisati u obliku: K (s s k m k ) k K (s s k mk k ) K km s s odnosno za celu funkciju F(s) dobija se: F (s) K n mk kj mk j k j (s sk ) k k m k j (s s K kj mk j k ) Koeficijenti korena s k određuju se tako što se prethodna jednačina k pomnoži sa ( s s k ) i stavi s sk : m mk mk [(s sk ) F(s) ] [ K k K k (s sk ) K km (s sk ) ] K k s s k Diferenciranjem ovog izraza po s, pre prelaska na graničnu vrednost, i smenom d ds (s s sk, dobija se: [ K k K k3(s sk ) ] K k m sk ) F(s) s s s s k k k k s s k 47

LAPLASOE TANSFOMACJE Za nalaženje opšteg koeficijenta K kj diferenciranje treba produžiti do (m k ) og izvoda, a zatim staviti s s k. Tada je: K j d m (j )! j, j,, m k ds k kj (s sk ) F(s) s s Sa poznatim koeficijentima K kj, inverzna transformacija funkcije postaje: k f (t) n k m k j (m K k kj t j)! m j s t k e k 48

LAPLASOE TANSFOMACJE TABLCA LAPLASOH TANSFOMACONH PAOA N o F(s) f(t), t 0 δ (t) n n, n,,3,... t s (n )! 3 4 5 6 7 8 (s α) s n (s α) n n n t e (n )! e αt n αt k 0 αt γt e e (s α)(s γ) γ α s a o (s α)(s γ) (a o α)e n! ( α) k (n k)!(k!) αt (a γ α s a αt o [(a o α)t ] e (s α) (s α)(s γ)(s δ) αt o t k γ) e γt γt δt e e e ( γ α)( δ α) ( α γ)( δ γ) ( α δ)( γ δ) 9 0 (s αt α)s s ao (s α)(s γ)(s δ) e αt α αt γt δt (ao α)e (ao γ)e (ao δ)e ( γ α)( δ α) ( α γ)( δ γ) ( α δ)( γ δ) s a o a o α a o a o αt ( t )e (s α) s α α α sin( βt) s β β 49

LAPLASOE TANSFOMACJE 3 4 5 6 7 s s s β s β s β (s α) β sh( βt) β cos(β t) ch( β t) αt e β sin( βt) s α αt e cos( βt ) (s α) β e δ ( t a) 0 as 3 4 5 6 7 8 e as U(t a ) s as e ( t a)u(t a) s α(t a) e as e U(t a) s α e as (s α) (t a)e α(t a) U(t a) e as α(t a) γ(t a) e e (s α)(s γ) γ α as e U(t) U(t a) s e as e bs U(t a) U(t b) s as (s a)e ( t a)u(t a ) as a U(t a) 50

LAPLASOE TANSFOMACJE.) Odrediti zakon promene napona na otporniku 3 u kolu sa slike. posle zatvaranja prekidača S. Napon na kondenzatoru u trenutku zatvaranja prekidača S je v C (t 0 ) C const. ešenje: zmeđu napona na kondenzatoru i struje koja kroz njega protiče postoji veza: vc (t) ic (t) dt (..) C Primenom teoreme o integralu originala jednačina (..) postaje: C (s) sc C (s) C 0 ic s (t)dt Z C (s) C v (s) C (0 s ) (..) gde je Z C (s). z jednačine (..) sledi da se kondenzator sa sc početnim naponom v C (t 0 ) može prikazati kolom u kome je serijski sa v (t 0 ) kondenzatorom vezan idealan naponski izvor C, koji uzima u s obzir početne uslove (slika..). 5

LAPLASOE TANSFOMACJE Posle zatvaranja prekidača S kolo sa slike. izgleda kao kolo na slici... s Primenom metode konturnih struja na kolo sa slike.. dobija se: ( ) (s) (s) (..3) C (s) 3 (s) (..4) s sc Eliminacijom struje (s) iz jednačina (..3) i (..4) dobija se: C ( ) ( ) 3 (s) s s sc (..5) odnosno: 5

LAPLASOE TANSFOMACJE 53 τ s (s) C 3 3 (..6) gde je 3 3 ) C( τ vremenska konstanta kola. Zakon promene napona na otporniku 3 je: ( ) τ s (s) (s) C 3 3 3 3 o (..7) Primenom inverzne Laplasove transformacije zakon promene napona (t) v o je: ( ) τ t C 3 3 3 o e (t) v (..8).) Odrediti zakon promene struje kroz otpornik u kolu sa slike. posle zatvaranja prekidača S. Pretpostaviti da je pre zatvaranja prekidača u kolu vladao ustaljen režim.

LAPLASOE TANSFOMACJE ešenje: zmeđu napona na induktivitetu i struje koja kroz njega protiče postoji veza: dil (t) vl (t) L (..) dt Primenom teoreme o izvodu originala jednačina (..) postaje: (s) sl (s) Li (0 ) Z (s) (s) Li (0 ) (..) L L L L L L gde je Z L (s) sl. z jednačine (..) sledi da se induktivitet sa početnom strujom i L (0 ) može prikazati kolom u kome je serijski sa zavojnicom vezan idealan naponski izvor Li L (0 ), koji uzima u obzir početne uslove (slika..). Kako je pre otvaranja prekidača S u kolu vladao ustaljen režim, struja kroz zavojnicu L neposredno pre otvaranja prekidača je: il (t 0 ) (..3) Neposredno po otvaranju prekidača struja kroz zavojnicu L se ne menja, odnosno: il (t 0 ) i (t 0 ) L (..4) 54

LAPLASOE TANSFOMACJE i Struja kroz zavojnicu L u trenutku zatvaranja prekidača S je: (t 0 ) 0 (..5) L Posle zatvaranja prekidača S kolo sa slike. izgleda kao kolo na slici... Primenom metode konturnih struja na kolo sa slike.. dobija se: L (sl )L (s) (s) s L (..6) 0 (s) (sl ) (s) (..7) L L ešavanjem ovog sistema jednačina Kramerovim pravilom dobija se: sl sl (sl )(sl ) L L s (sl ) 0 sl s L sl L s 0 s sl L L L s LL 55

LAPLASOE TANSFOMACJE 56 Struja kroz otpornik je: L L L L s L L L L L s s L (s) (..8) Zakon promene struje i(t) je: [ ] t L L L L t L L L L e L L L L e L (s) L i(t) (..9) odnosno: t L L L L e L L L L L (t) i (..0).3) Odrediti zakon promene struje kroz generator u kola sa slike.3 posle zatvaranja prekidača S. Pretpostaviti da je pre zatvaranja prekidača u kolu vladao ustaljen režim.

LAPLASOE TANSFOMACJE ešenje: Kako je pre zatvaranja prekidača S u kolu vladao ustaljen režim, struja ne teče kroz kondenzator C, a pad napona na zavojnici L je nula. Zato je: i v L (t 0 ) (.3.) C (t 0 ) (.3.) Prilikom zatvaranja prekidača struja kroz zavojnici i napon na kondenzator se ne menjaju trenutno, odnosno: i v L C (t (t ) (.3.3) 0 ) il (t 0 0 ) vc (t 0 ) (.3.4) Posle zatvaranja prekidača S kolo sa slike.3 izgleda kao na slici.3.. Sa slike.3. se vidi da je: (s) (s) (s) (.3.5) 57

LAPLASOE TANSFOMACJE 58 gde su: L s s )L ( s L s s L s sl L s (s) (.3.6) C s ) ( sc s s (s) 3 3 3 (.3.7) Primenom inverzne Laplasove transformacije dobija se: [ ] t L t L e e L L (s) L (t) i (.3.8) [ ] C t 3 3 e ) ( (s) L (t) i (.3.9) Zakon promene struje kroz generator je: t C 3 t L 3 e e (t) i (t) i (t) i (.3.0)

LAPLASOE TANSFOMACJE.4) Za C filtere propusnike niskih učestanosti sa slike.4 izračunati: a) prenosnu funkciju b) amplitudno frekventnu karakteristiku c) gornju graničnu frekvenciju i nacrtati amplitudno frekventnu karakteristiku ešenje: Prenosna funkcija je definisana odnosom kompleksnih funkcija odziva i pobude pri nultim početnim uslovima. Ona je potpuno određena strukturom sistema i parametrima koji sačinjavaju sistem. a) Prenosna funkcija kola sa slike.4.a je: o (s) ZC(s) G(s) (.4.) (s) Z (s) gde je i C Z C (s). Prenosna funkcija je: sc sc C ωo G(s), s s ωo sc C Smenom s jω jednačina (.4.) postaje: ω o (.4.) C 59

LAPLASOE TANSFOMACJE ωo G(jω ) (.4.3) jω ω ω o j ω o b) amplitudno frekventna karakteristika kola sa slike.4.a je: G(jω ) (.4.4) ω ωo pri čemu je: G (jω) 0 i G(j ω ) 0. ω ω c) Grafik amplitudno frekventne karakteristike prikazan je na slici.4.. Frekvencija ω ωh na kojoj je G(jω H ) 0. 707 naziva se gornja granična frekvencija. z jednačine (.4.4) sledi da je ω H ωo. C a) Prenosna funkcija kola sa slike.4.b je: o (s) ZC(s) G(s) (.4.5) (s) Z (s) i C 60

LAPLASOE TANSFOMACJE odnosno: s sc C s ωz G(s) a (.4.6) s p s ω sc C( ) gde su: ω z, C ω p ω p, a < C( ) ω Smenom s jω jednačina (.4.6) postaje: p jω ωz G(jω ) a (.4.7) jω ω b) Amplitudno frekventna karakteristika kola sa slike.4.b je: z z p ω ω G(jω ) a (.4.8) ω ω pri čemu je: G (jω) a, G(j ω ) 0. ω ω c) Grafik amplitudno frekventne karakteristike prikazan je na slici.4.. 6

LAPLASOE TANSFOMACJE Gornja granična frekvencija ω H se određuje iz uslova da je: G(jω) ωω H ω H a H ω ω p p ω, odnosno ω H ω p a. Postoji samo za a <..5) Za C filtere propusnike visokih učestanosti sa slike.5 izračunati: a) prenosnu funkciju b) amplitudno frekventnu karakteristiku c) donju graničnu frekvenciju i nacrtati amplitudno frekventnu karakteristiku ešenje: a) Prenosna funkcija kola sa slike.5.a je: o (s) G(s) (.5.) (s) Z (s) i gde je Z C (s). Prenosna funkcija je: sc C 6

LAPLASOE TANSFOMACJE s s G(s), s s ωo sc C Smenom s jω jednačina (.5.) postaje: ω o (.5.) C jω G (jω) (.5.3) jω ω ω o o j ω b) amplitudno frekventna karakteristika kola sa slike.5.a je: G(jω ) (.5.4) ωo ω pri čemu je: G (jω) i G(j ω ) 0 0. ω ω c) Grafik amplitudno frekventne karakteristike prikazan je na slici.5.. Frekvencija ω ωl na kojoj je G(jωL ) 0. 707 naziva se donja granična frekvencija. z jednačine (.5.4) sledi da je ω L ωo. C 63

LAPLASOE TANSFOMACJE a) Prenosna funkcija kola sa slike.5.b je: o (s) G(s) (.5.5) (s) Z (s) i C odnosno: s C s ωz G(s) s p s ω sc sc C (.5.6) ωz gde su: ω z, ω p, C C ωp a < Smenom s jω jednačina (.5.6) postaje: p jω ωz G(jω ) (.5.7) jω ω b) Amplitudno frekventa karakteristika kola sa slike.5.b je: z p ω ω G(jω ) (.5.8) ω ω pri čemu je: G (jω), G(j ω ) a 0. ω ω c) Grafik amplitudno frekventne karakteristike prikazan je na slici.5.. Donja granična frekvencija ω L se određuje iz uslova da je: G(jω) ωω L ω ω L L ω ω z p ω L L ω a ωp ωp, tj. za ω ω a. L p Postoji samo za a <. 64

LAPLASOE TANSFOMACJE.6) Za naponski delitelj sa slike.6: a) zračunati prenosnu funkciju b) zračunati i nacrtati amlitudno frekventnu karakteristiku za: i) C < C ii) C > C iii) C C 65

LAPLASOE TANSFOMACJE 66 ešenje: a) Prenosna funkcija kola sa slike.6 je: (s) Z (s) Z (s) Z (s) (s) G(s) i o (.6.) gde su: C s sc (s) Z C s sc (s) Z Prenosna funkcija je: ) C (C s C s C s C s C s G(s) (.6.) odnosno: p z s s a G(s) ω ω (.6.3) gde su: z C ω, ) C (C p ω, a Smenom s jω jednačina (.6.3) postaje: p z j j a ) G(j ω ω ω ω ω (.6.4)

LAPLASOE TANSFOMACJE 67 b) Amplitudno frekventna karakteristika kola sa slike.6 je: p z a ) G(j ω ω ω ω ω (.6.5) i) Za C C < sledi da je: C ) ( C C C C C ) C (C < odnosno z p ω < ω. Grafik amplitudno frekventna karakteristika je prikazana na slici.6.. z jednačine (.6.5) sledi da je a a ) G(j z p < ω ω ω ω i a ) G(j ω 0 ω.

LAPLASOE TANSFOMACJE ii) Za C > C sledi da je ω p > ωz. Grafik amplitudno frekventna karakteristika je prikazana na slici.6.. z jednačine (.6.4) sledi da je: G(jω) ω ω a ω p > z a i G(j ω ) a 0 ω iii) Za C C iz jednačine (.6.4) sledi da je G(jω ) prikazana na slici.6.3. a. Grafik amplitudno frekventna karakteristika je 68

LAPLASOE TANSFOMACJE.7) Odrediti zakon promene izlaznog napona C kola sa slike.7. ako se od trenutka t 0 pobuđuje naponom prikazanim na slici.7.. ešenje: Ulazni napon je definisan na sledeći način: (t) v i at 0 0 t < T T t T t > T a (.7.) T Ulazni napon može se predstaviti superpozicijom tri međusobno nezavisna napona prikazanim na slici.7.3. 69

LAPLASOE TANSFOMACJE gde su: v (t) atu(t) (.7.) (t) v (t) v 3 a(t T)U(t T) (.7.3) U(t T) (.7.4) Ulazni napon je: vi (t) v(t) v (t) v3(t) atu(t) a(t T)U(t T) U(t T) (.7.5) Primenom direktne Laplasove transformacije jednačina (.7.5) postaje: a a st at st i (s) L[ vi (t)] e e (.7.6) s s s Prenosna funkcija C kola sa slike.7. je: G (s), τ C (.7.7) τ s τ zlazni napon je: a a st at st o(s) G(s) i(s) e e (.7.8) τ s s s s τ Zakon promene izlaznog napona sa vremenom je: v o (t) aτ e at e t τ t T τ t U(t) aτ e τ U(t T) t T τ t T U(t T) τ (.7.9) 70

LAPLASOE TANSFOMACJE.8) Odrediti zakon promene izlaznog napona C kola sa slike.8. ako se od trenutka t 0 pobuđuje naponom prikazanim na slici.8.. ešenje: Ulazni napon je dat superpozicijom dva međusobno nezavisna napona: vi i i (t) v (t) v (t) (.8.) gde su: v (t) i at 0 0 t < T t > T a (.8.) T v (t) i a(t T) 0 T t T t > T a (.8.3) T Napon v i (t) može se predstaviti superpozicijom tri međusobno nezavisna napona prikazanim na slici.8.3. Napon v i (t) može se predstaviti superpozicijom tri međusobno nezavisna napona prikazanim na slici.8.4. 7

LAPLASOE TANSFOMACJE Napon v i (t) je: vi(t) v(t) v (t) v3(t) atu(t) a(t T)U(t T) U(t T) Napon v i (t) je: vi (t) v4 (t) v5 (t) v6 (t) a(t T)U(t T) U(t T) a(t T)U(t T) (.8.4) (.8.5) (t) v i z jednačina (.8.4) i (.8.5) sledi da je ulazni napon: atu(t) a(t T)U(t T) a(t T)U(t T) (.8.6) Primenom direktne Laplasove transformacije jednačina (.8.6) postaje: a a st a st i(s) L[ vi(t) ] e e (.8.7) s s s Prenosna funkcija kola sa slike.8. je: s G(s), τ C (.8.8) s τ 7

LAPLASOE TANSFOMACJE zlazni napon je: st st e e o (s) G(s) i (s) a a a (.8.9) s s s s s s τ τ τ v o Zakon promene izlaznog napona sa vremenom je: (t) aτ e U(t) aτ e U(t T) aτ e t t T t τ τ T τ U(t T) 73

TANZSTO 3. TANZSTO Tranzistori su aktivni elementi koji prenose na potrošač veću snagu od one koju ulaže pobudni generator, na račun snage koju ulaže jednosmerni izvor za napajanje. Pored korišćenja u pojačavačkim kolima, tranzistori se koriste i u impulsnim i digitalnim kolima, pošto se brzo mogu prevesti iz stanja koje predstavlja približno kratak spoj, u stanje koje predstavlja otvorena vezu. Postoje dva tipa tranzistora: bipolarni tranzistori (BJT - tranzistori ) i tranzistori sa efektom polja ( FET - tranzistori ). BPOLAN TANZSTO Bipolarni tranzistori su elementi sa tri izvoda: baza B, emitor E i kolektor C. zrađuju se u dva oblika PNP i NPN čiji su simboli prikazani na slici. Da bi tranzistor radio kao linearni pojačavač potrebno je da spoj baza emitor bude direktno polarisan, a spoj baza kolektor inverzno polarisan. eza između jednosmernih struja tranzistora u ovom režimu je: C β B i E (β) B, gde je β koeficijenat strujnog pojačanja. sti odnos važi i za naizmenične struje, odnosno: c β b i e (β) b. 74

TANZSTO Na slici je data zavisnost struje kolektora C od napona CE za razne vrednosti struje baze. Napon CE ima veliki uticaj na struju kolektora u dve oblasti: za veoma male napone CE (0. do 0.3 ) kada tranzistor radi u zasićenju (slika a) i za velike napone (5 do 50 ) kada nastupa proboj (slika b). zmeđu ove dve oblasti tranzistor radi u aktivnom režimu i napon CE manje utiče na struju C. Struja C ima svoju minimalnu i maksimalnu vrednost. Minimalna vrednost određena je uslovom da se tranzistor ne zakoči, a maksimalna je određena maksimalno dozvoljenom disipacijom P Dmax ( CE C ) max. 75

TANZSTO U pojačavačkim kolima sa bipolarnim tranzistorima jednosmerno stanje napona i struja u kolu je opisano radnom tačkom Q (mirnom tačkom), koja predstavlja stanje napona i struja na krajevima tranzistora u odsustvu promenjivog signala na ulazu pojačavačkog kola (slika 3). adna tačka leži na radnoj pravi. Kada na ulaz pojačavačkog kola deluje promenjiv signal, naponi i struje na krajevima tranzistora ne ostaju na vrednostima datim radnom tačkom, već se menjaju duž radne prave. Za radnu tačku tranzistora u pojačavačkim kolima se može odabrati bilo koja tačka na radnoj pravi, u granicama dozvoljenih napona i struja. U linearnim pojačavačkim kolima radnu tačku treba postaviti na sredini radne prave tako da promena ulaznog signala ne dovede do izobličenja izlaznog signala. 76

TANZSTO Na slici 3 je prikazana uticaj sinusne promene struje baze na položaj radne tačke. Pojačavačka kolo sa bipolarnim tranzistorima rade u linearnom režimu samo za male promene signala u okolini radne tačke Q. TANZSTO SA EFEKTOM POLJA Tranzistori sa efektom polja su elementi sa tri izvoda: gejt G, sors S i drejn D. Dve osnovne vrste tranzistora sa efektom polja su JFET i MOSFET. JFET - ovi mogu biti N - kanalni (slika 4a) ili P - kanalni (slika 4b). Na slici 5 je za N - kanalni JFET data zavisnost struje drejna D od napona DS za razne vrednosti napona GS. Na slici je ucrtana linija DS GS P, gde je P napon praga provođenja. Da bi pojačavač sa JFET - om radio kao linearni pojačavač mirnu radnu tačku treba postaviti desno od ove linije, odnosno za N - kanalni JFET treba da važi DS GS P. 77

TANZSTO 78

TANZSTO 3.) U pojačavaču sa zajedničkim emitorom sa slike 3. odrediti jednosmerne struje kolektora C, emitora E i baze B, kao i jednosmerne napone na kolektoru C, emitoru E i bazi B. Poznato je: 5 kω, 5 kω, C 4 kω, E kω, C µf, C µf, CC 5, BE 0.6, β 00. ešenje: Da bi odredili jednosmerne struje i jednosmerne napone u kolu potrebno je odrediti baznu struju. Kada je tranzistor u aktivnom režimu (spoj baza emitor direktno polarisan, a spoj baza kolektor inverzno polarisan), određivanjem struje baze, određene su i sve struje i naponi u kolu. Kondenzatori C i C su prazni pre uključenja jednosmernog napajanja CC. Kada se uključi jednosmerno napajanje kondenzatori se u prelaznom režimu pune do napona koji su određeni elementima kola kroz koje teče struja u stacionarnom stanju. Kondenzator C onemogućava prolaz jednosmerne struje kroz pobudni generator i, a kondezator C 79

TANZSTO onemogućava prolaz jednosmerne struje kroz potrošač. Za jednosmerni režim rada kolo sa slike 3. može se prikazati kolom na slici 3.., pri čemu je bazno kolo ( CC,, ) predstavljeno pomoću ekvivaletnog Tevenenovog kola. Prema Tevenenovoj teoremi je: CC 3.75 (3..) Th Th 3.75 Ω k (3..) Zbir padova napona po konturi baza emitor daje: 0 (3..3) Th Th B BE E E Kako je: ( β ) (3..4) E B z jednačina (3..3) i (3..4) sledi da je bazna struja: 80

TANZSTO B Th BE 5.5 0 A (3..5) ( β ) Tada je: Th E C β B.5 0 3 A E ( β ) B.5 0 3 B Th ThB Th 3.75 E B BE 3.5 C CC C C 9 A 3.) Za pojačavač sa zajedničkim emitorom sa slike 3. izračunati: a) Naponsko pojačanje G o i b) Objasniti zašto ne valja uzemljiti emitor Poznato je: 0 kω, 0 kω, C 0 kω, E kω, CC 5, BE 0.6, β 00, C. 8

TANZSTO ešenje: Kako C, Z C 0, kondenzator C predstavlja kratku vezu za jωc naizmeničnu struju. Za naizmenični režim kolo sa slike 3. može se prikazati kolom na slici 3... a) Naponsko pojačanje je: o G (3..) gde su: o i (3..) i be C c (3..3) m E e e be (3..4) g Transkonduktansa g m povezana je sa otporom emitora relacijom g m. Transkonduktansa g m data je relacijom: r e 8

TANZSTO C g m (3..5) T gde su: kt T (3..6) e k.38 0-3 JK Bolcmanova konstanta e.6 0 9 C elementarno naelektrisanje T apsolutna temperatura Na sobnoj temperaturi T 5 m. Jednosmerna struja kolektora je data relacijom (videti prethodni zadatak): β(cc BE ) 3. ma (3..7) ( β ) E C i A Tada je transkonduktansa g m 0.3. z jednačina (3..3) i (3..4) sledi da je: g m E ( E )e e (3..8) g g m Kako je: m β c e e (3..9) β naponsko pojačanje je : g m C G 4.98 (3..0) g m E Kako je g m E >> naponsko pojačanje je: 83

TANZSTO C G (3..) E b) Kod pojačavača sa zajedničkim emitorom naponsko pojačanje zavisi od odnosa otpornika C i E. U slučaju kada je E 0 (pojačavač sa uzemljenim emitorom) naponsko pojačanje bi bili veoma veliko C G gmc. Međutim, otpornost r e je veoma zavisna od promene r e temperature ambijenta i od mirne radne tačke, odnosno jednosmerne struje kolektora C (jednačina (3..5)). Struja kolektora je: BE e T (3..) C S i sa promenom ulaznog napona menja se struja C, a samim tim i r e. Zato pojačanje ovog stepena zavisi od trenutne vrednosti napona na ulazu, pa će napon na izlazu biti deformisan. Pojačavač sa uzemljenim emiterom je nepodesan za polarizaciju. Sa promenom temperature, pri konstantnoj struji C, napon BE se smanjuje za oko. m / o C (napon BE je proporcionalan sa ). Zbog toga struja C raste sa porastom temperature T (za faktor 0 sa porastom temperature za 30 o C), i male promene temperature mogu da dovedu pojačavač u saturaciju. Zato se ne koristi često pojačavač sa uzemljenim emiterom. 3.3) Dizajnirati pojačavač sa zajedničkim emitorom koji ima pojačanje G 00 i koji se napaja iz izvora CC 5. Struju kolektora u mirnoj radnoj tački postaviti na C 0.5 ma, a graničnu učestanost ulaznog kola postaviti na f g 00 Hz. adi temperaturne stabilnosti napon na emitoru u 84

TANZSTO mirnoj radnoj tački postaviti na E. Objasniti ulogu svih elemenata u kolu. Poznato je: β 00, BE 0.6. ešenje: Na slici 3.3. je prikazana realizacija pojačavača sa zajedničkim emitorom sa NPN tranzistorom. Otpornici i vrše polarizaciju baze. Otpornik E određuje jednosmerni napon na emitoru i zajedno sa otpornikom C određuje jednosmernu struju kolektora u mirnoj radnoj tački. Otpornik reguliše naponsko pojačanje. Kondenzator C onemogućava prolaz jednosmerne struje kroz pobudni generator, a kondenzator C onemogućava prolaz jednosmerne struje kroz otpornik i predstavlja kratku vezu za naizmeničan signal. Za jednosmerni režim rada kolo sa slike 3.3. izgleda kao kolo na slici 3.3.. 85

TANZSTO Jednosmerni napon CE treba postaviti na polovini napona napajanja CC (sredina radne prave) da bi se dobio maksimalno neizobličen signal na izlazu. CC CE (3.3.) Sa slike 3.3. se vidi da je: 0 (3.3.) CC C C CE E E E Kako je: (3.3.3) C B C z jednačina (3.3.), (3.3.) i (3.3.3) sledi da je: CC C C E ( ) (3.3.4) E Jednosmerni napon na emitoru je: (3.3.5) E E Tada je: E C 86

TANZSTO E E kω (3.3.6) C z jednačina (3.3.4) i (3.3.6) sledi da je: CC C E 3 kω (3.3.7) C Jednosmerni napon na bazi je:.6 (3.3.8) B E BE Otpornike i treba odabrati tako da jednosmerna struja baze bude mnogo manja (obično 0 puta) u odnosu na struju kroz razdelnik napona,. Tada je i struja je: CC C C 0B 0 (3.3.9) β 0 B Jednosmerni napon na bazi je tada: CC (3.3.0) z jednačine (3.3.9) sledi da je: 0CC 300 kω (3.3.) C z jednačina (3.3.0) i (3.3.) sledi da je: B ( ) 3 kω (3.3.) CC 68 kω (3.3.3) Za naimenični režim kolo sa slike 3.3. može se prikazati kolom na slici 3.3.3. Naponsko pojačanje je: 87