CINEMATICA PUNCTULUI

CINEMATICA PUNCTULUI

CINEMATICA PUNCTULUI 7. Ciemtic puctului mteil Ciemtic puctului mteil studiză mişce mecică puctelo mteile, făă se tie cot de msele şi foţele ce cţioeză sup lo. Mişce puctelo mteile se poteză l u epe de ce se cosideă fixt u umit sistem de efeiţă. Repeul (sistemul de efeiţă) pote fi fix su mobil. Î pot cu epeul fix, mişce puctului mteil se umeşte mişce bsolută, i î pot cu epeul mobil, mişce se umeşte mişce eltiă. 7.. Elemetele ciemtice le mişcăii puctului mteil 7... Lege de mişce Mişce uui puct mteil M este cuoscută dcă î oice momet se pote peciz poziţi lui î pot cu u epe pesupus fix O. Petu cest, se defieşte ectoul de poziţie OM l puctului mteil M fţă de oigie O epeului, c fucţie de timp (fig. 7.): (t) (7.) Fucţi ectoilă (t) epezită lege de mişce puctului mteil sub fomă ectoilă. Acestă fucţie ectoilă tebuie să îdepliescă umite esticţii impuse de feomeul fizic l mişcăii puctului: e tebuie să fie cotiuă, uifomă, fiită î modul şi deibilă de cel puţi două oi. Acest ecto fiid defiit de două fucţii scle î pl su de tei fucţii scle î spţiu ezultă că puctul mteil libe e două gde de libette î pl su tei gde de libette î spţiu. Defiie ectoului de poziţie pote fi făcută î coodote cteziee pi cuoştee fucţiilo scle î timp x x(t), y y(t), z z(t) (7.) deoece xi + y j + zk (7.3) esoii i, j, k i epeului fix fiid ectoi costţi. Dcă se folosesc coodotele cilidice, cuoştee lui este echiletă cu cuoştee umătoelo fucţii scle: ρ ρ(t), (t), z z(t) (7.4)

7. Ciemtic puctului mteil 3 ce epezită z polă, ughiul pol, especti cot puctului mteil M (fig.7.). Vectoul de poziţie este de fom: ρ u p + z k (7.5) Vesoii u p şi u ce se folosesc î cdul coodotelo cilidice sut ectoi ibili i deitele lo se expimă cu jutoul deitelo ughiului pol. Fucţiile de timp x x(t), y y(t), z z(t), ρ ρ(t), (t) ce defiesc poziţi puctului mteil M fţă de epeul O, fomeză legile de mişce (ecuţiile de mişce) scle le puctului mteil. 7... Tiectoi puctului mteil Tiectoi este locul geometic l poziţiilo succesie ocupte de puct î mişce. Îte tiectoie şi cub pe ce se deplseză puctul u există îtotdeu o idetitte. Spe exemplu, pe u cec, u puct pote pcuge umi u c su pote pcuge de mi multe oi cecul. Ecuţiile (7.), (7.), (7.3), (7.4) şi (7.5) pot fi cosidete c fiid ecuţiile pmetice le tiectoiei. Pi elimie pmetului t îte ecuţiile scle le mişcăii (7.), se obţi ecuţiile două supfeţe: f (x, y, z), f (x, y, z) (7.6) ce pi itesecţi lo detemiă tiectoi sub fom implicită. Cu jutoul legilo de mişce î coodote cilidice, se pot obţie î mod log ecuţiile implicite le tiectoiei: Φ (ρ,, z), Φ (ρ,, z) (7.7) Î uele pobleme de ciemtică se cuoşte tiectoi. Î cest cz, mişce puctului mteil pote fi defiită pit-o siguă ecuţie sclă, stfel: se lege pe cub (C) u puct bit M o şi u ses poziti de măsue celo pe cubă. Poziţi uui puct oece M pote fi defiită pi loe s(t) cului de cubă M o M (fig. 7.). Lege de mişce puctului M pe tiectoie î cest cz, este dtă de ecuţi s s(t) (7.8) ce se umeşte ecuţie oă (lege oă) mişcăii putului mteil.

4 CINEMATICA PUNCTULUI 7..3. Vitez puctului mteil Mişcăile se pot deosebi îte ele şi pi fptul că puctele mteile pot pcuge celeşi distţe î itele de timp difeite su distţe difeite î celşi itel de timp. Aceste cosideete impu itoducee uei oi oţiui umită iteză. Vitez este o măime ectoilă ce pecizeză diecţi şi sesul î ce se efectueză mişce. Petu detemie ectoului iteză, om umăi iţi î timp ectoului de poziţie OM puctului M de pe tiectoie î pot cu u epe fix O. L u momet oece t, puctul M e ectoul de poziţie (t). Ît-u itel suficiet de scut dt, puctul M juge î poziţi M căui îi coespude ectoul de poziţie (t + t). (fig. 7.). Pi ume, î itelul de timp dt, puctul M s M ( t) (t + t) O pcus cul de cubă MM`de lugime s căui îi coespude ectoul iţie: ( t + t) ( t) ectoului de poziţie. Itelul de timp t fiid fote mic, se pote simil elemetul de c cu elemetul de codă. Î cest cz potul / t se defieşte c iteză medie: ( t+ t) ( t) m (7.9) t t fig. 7. Vitez medie dă o imgie sup modului cum se deplseză puctul. De cele mi multe oi îsă iteeseză diecţi şi sesul mişcăii. Aceste se obţi cu jutoul itezei isttee. Limit cestui pot câd t tide l zeo, epezită itez isttee (su itez) puctului mteil l mometul t: ( t + t) ( t) lim lim t t t m (C) t d dt & (7.) Deci î mişce uui puct mteil, itez este u ecto epezett de deit ectoului de poziţie l puctului î pot cu timpul. Deitele uei fucţii ectoile (su scle) î pot cu timpul se oteză cu pucte. Astfel, de exemplu dx d x & şi & dt dt

7. Ciemtic puctului mteil 5 Petu detemie elemetelo ccteistice le ectoului iteză, di elţi (7.) deducem: s ds lim lim lim lim τ & sτ (7.) t s t dt t t t t deoece s ds lim τ (esoul tgetei) lim s&, lim (7.) t t t dt t s Î cocluzie, ectoul iteză este plict î puctul M, e diecţi tgetei î M l tiectoie i sesul este dt de mişce puctului pe tiectoie. Măime ectoului iteză este ds s& (7.3) dt Ecuţi de dimesiui itezei este [ ] LT (7.4) Uitte de măsuă petu iteză este m/s (di elţi (7.3)). 7..4. Acceleţi puctului mteil Acceleţi este o măime ce tă iţi itezei uui puct î decusul mişcăii, c diecţie, ses şi modul. Î itelul mic de timp t, puctul mteil stăbte pe tiectoie cul MM ` şi e î M itez (t) i î M (t + t). Î cest fel, itez s- modifict cu ( t + t) ( t) (fig. 7.3). Pe poţiue MM `, cceleţi medie este defiită pi potul: ( t + t) ( t) m (7.5) t t Acceleţi l mometul t (cceleţi isttee su mometă) fi limit câd t tide l zeo potului (7.5): ( t + t) ( t) d m lim lim & && (7.6) t t t t dt Pi ume cceleţi este deit î pot cu timpul itezei su deit dou î pot cu timpul ectoului de poziţie l puctului especti. Acceleţi este o măime ectoilă, âd puctul de plicţie î M, este coţiută î plul de iţie l itezei, deci î plul osculto î puctul M l tiectoie (plul două

6 CINEMATICA PUNCTULUI tgete ifiit popite) şi este îdepttă spe iteioul tiectoiei (îspe cocitte). Ecuţi de dimesiui (t) cceleţiei este M M' (C) m ( t + t ) (t + t) fig. 7.3 [ ] LT (7.7) Uitte de măsuă cceleţiei este m/s. 7..5. Hodogful itezei Puctul M î deplse s pe cub (C) ocupă poziţiile M, M,..., M cu itezele,,...,. Ît-u puct bit O, costuim (C) ectoii echipoleţi cu ectoii iteză (fig. 7.4). Locul geometic l extemităţilo M M 3 3 ectoilo echipoleţi cu itezele M este o cubă (H) umită hodogful itezelo. Cu jutoul cubei (H) se pote obse (H) iţi itezei puctului M. Ecuţi ectoilă fig. 7.4 3 hodogfului itezei se obţie di elţi ( H ) ( t) (7.8) Ecuţi litică hodogfului itezei se obţie poiectâd elţi (7.8) pe xele uui epe les şi elimiâd pmetul t. Rezultă imedit că itez uui puct oece P de pe hodogf este tocmi cceleţi: dop d & ( H ) ( t) (7.9) dt dt

7. Ciemtic puctului mteil 7 7..6. Iiţii mişcăii î pot cu schimbe epeului Cosideăm două epee fixe (O şi O ) î pot cu ce se studiză mişce puctului (fig. 7.5), stfel că putem scie: ( t) + ( t) (7.) cu costt. Vitezele şi cceleţiile uui puct bit M de pe tiectoie potte l cele M (C) două epee se obţi di elţi (7.) pi deiăi succesie: & & && &, (7.) ( t ) ( t ) Obseăm că itez şi cceleţi O sut iite î pot cu schimbe epeului. O fig.7.5 7..7. Vitez şi cceleţi ughiulă Î uele czui, de exemplu î mişce puctului pe cec, poziţi cestui pe tiectoie este dtă de u ughi. Î pot cu o xă fixă Ox (fig. 7.6), obţiem: (t) (7.) Dcă M şi M sut două poziţii M succesie, l mometele t especti t+ t pe cecul cu cetul î O, defiim itez x ughiulă medie: ( t + t) ( t) ω m t t (7.3) Vitez ughiulă isttee fi limit potului (7.3) petu t tizâd l zeo: fig. 7.6 ( t + t) d ω lim lim (7.4) m t t t t dt Î mod log, defiim cceleţi ughiulă isttee: ω( t + t) ω( t) dω ε lim & ω & t t dt (7.5) Ecuţiile de dimesiui sut:

8 CINEMATICA PUNCTULUI [ ] T, [ ε ] T ω (7.6) Vitez ughiulă se măsoă î d/s i cceleţi ughiulă î d/s. 7..8. Vitez şi cceleţi eolă Sut czui câd este ecesă itoducee uei măimi ce să ccteizeze iţi iei cupise îte două ze ectoe şi cul de tiectoie pcus de u puct M (fig. 7.7). Î itelul de timp t mic, puctul pcuge cul MM i i tiughiului cubiliiu OMM se poximeză cu i uui tiughi căui ie este: A (C) M (7.7) M ( t + t) Măimii scle A îi sociem ectoul A de măime A, pepedicul pe plul OMM i sesul dt de egul bughiului dept fig. 7.7 (pi deplse lui M căte M ): O A (7.8) Vitez eolă se itoduce petu descie modul cum ectoul de poziţie pcuge ( mătuă ) supfţ coică OMM. Vitez eolă medie se cosideă pi defiiţie: A Ωm (7.9) t t Pi tecee l limită petu t tizâd l zeo (M tide spe M ), obţiem itez eolă isttee: A Ω lim lim (7.3) t t t t Poiecţiile itezei eole pe u sistem de xe ctezi se obţi di elţi (7.3): Ω x ( yz& yz & ), Ω y ( zx& xz& ), Ω z ( xy& xy & ) (7.3) Vitez eolă este ulă câd ectoii şi sut coliei su câd puctul M tece pi O. Î pticul, dcă tiectoi este o cubă plă (sitută î plul Oxy), tuci Ω Ω, Ω. Î coodote pole, se pote scie: x y z x cos, y si (7.3) stfel că se obţie:

7. Ciemtic puctului mteil 9 & Ω ( ) & z x + y (7.33) Acceleţi eolă ccteizeză modul de iţie l itezei eole. Pi defiiţie, cceleţi eolă este deit itezei eole î pot cu timpul: dω Γ Ω & ( & + & ) (7.34) dt Poiecţiile cceleţiei ughiule sut: Γ x ( yz & zy &&), Γy ( zx && xz &&), Γz ( xy && & xy ) (7.35) Î pticul, dcă mişce se efectueză cu iteză eolă costtă, tuci ectoii şi sut coliei tot timpul mişcăii, deci cceleţi puctului M tece pemet pi puctul fix O. Umeză că Γ Ω &, i di Ω c ezultă c stfel că ectoii şi c sut pepediculi. Deci locul geometic l puctelo M este u pl pepedicul pe c ce tece pi puctul fix O. 7.3. Studiul mişcăii puctului î difeite sisteme de coodote 7.3.. Sistemul de coodote cteziee Î sistemul de coodote cteziee, ectoul de poziţie l uui puct mteil M este defiit pi coodotele sle x, y, z (fig. 7.8): xi + yj + zk (7.36) x fig. 7.8 k i x x z M y y y x x j x M' z (C) y Cuoştee mişcăii eie l cuoştee cesto coodote c fucţii de timp: x x(t), y y(t), z z(t) (7.37) Relţiile (7.37) defiesc lege de mişce şi epezită de semee ecuţiile pmetice le tiectoiei. Pi elimie timpului di ecuţiile (7.37), se obţi ecuţiile tiectoiei sub fomă implicită: f (x, y, z), f (x, y, z) (7.38) Petu obţiee itezei î coodote cteziee, folosim fomul (7.) şi ţiem sem că esoii xelo i, j, k sut ectoi costţi:

CINEMATICA PUNCTULUI & xi & + yj & + zk & (7.39) Poiecţiile itezei sut: x x&, y y&, z z& (7.4) i măime itezei este: x + y + z x& y& x& + + dx + dy + dz ds s& dt dt (7.4) Ughiuile supotului ectoului iteză cu xele ezultă di elţiile: x& y& z& cos(, i ), cos(, j), cos(, k ) (7.4) Acceleţi puctului se detemiă di elţi (7.6): & && && xi + && yj + & zk (7.43) Poiecţiile cceleţiei sut: x & x && x, y & y && y, z & z & z (7.44) i măime cceleţiei este: x + y + z & x + && y + & z (7.45) Cosiusuile ughiuilo făcute de cceleţie cu xele sut: && x && y && z cos(, i ), cos(, j), cos(, k ) (7.46) Î pticul, petu mişcăi î pl, cosideăm sistemul de efeiţă Oxy, stfel că lege de mişce puctului este dtă de ecuţiile: x x(t), y y(t) (7.47) Ecuţi tiectoiei (C) ezultă pi elimie timpului di elţiile (7.47): f(x, y) (7.48) Vectoul iteză este: y (C) xi & + yj & (7.49) x M x i măime itezei: γ x& + y& (7.5) y Vectoul cceleţie este: & xi + & yj (7.5) y cu măime fig. 7.9 O & + & x y (7.5) M' x Dcă mişce este ectiliie, se x lege x Ox c tiectoie mişcăii (fig. 7.). Lege mişcăii este: x x(t) (7.53)

7. Ciemtic puctului mteil cu itez: xi & (7.54) şi cceleţi & xi (7.55) O i Fig. 7. M x Se obseă că ceste u diecţi xei Ox. Petu obţiee hodogfului mişcăii, folosim fomul (7.8). Coodotele uui puct de pe cub hodogfului, î pot xele cteziee, le otăm cu X, Y, Z, stfel că se pote scie: X ( t) x& ( t), Y ( t) y& ( t), Z( t) z& ( t) (7.56) Pi elimie di ecuţiile (7.56) pmetului t se obţi ecuţiile hodogfului sub fomă litică: F(X, Y, Z), G(X, Y, Z) (7.57) Aplicţie: U puct mteil se deplseză î plul Oxy după lege: x si t, y b si t cos t,, b > Să se detemie tiectoi, itez, cceleţi şi hodogful mişcăii. Rezole: Pi elimie timpului îte cele două ecuţii pmetice le tiectoiei, obţiem ecuţi litică tiectoiei (elipsă): b x + y - b x, Vitez e poiecţiile: x si t, y bcost,cu modulul si t + b cos t, cceleţi e poiecţiile: x 4cost, y 4bsi t, modulul cceleţiei este: 4 cos t + b si t, i ecuţiile pmetice le hodogfului mişcăii sut: X si t, Y bcost, di ce ezultă ecuţi litică hodogfului: b X + Y 4 b. 7.3.. Sistemul de coodote pole Dcă u puct e o tiectoie plă, putem folosi sistemul de coodote pole. Poziţi uui puct M este defiită pi coodotele: OM (ză polă) şi ughiul dite x fixă Ox şi z polă (fig. 7.). Mişce puctului este defiită dcă se cuosc coodotele şi c şi fucţii de timp: (t), (t) (7.58) Relţiile (7.58) fomeză ecuţiile pmetice le tiectoiei î coodote pole. Pi elimie timpului îte elţiile (7.58), obţiem ecuţi tiectoiei î coodote pole sub fomă litică: f(, ) (7.59)

CINEMATICA PUNCTULUI Petu stbilie diecţiilo pe ce se poiecteză itez şi cceleţi î sistemul de coodote pole, pocedăm stfel: cosideăm că ughiul pol ămâe costt i iză. Deci puctul M descie dept OM ce epezită u di diecţiile de y poiecte. Pe cestă diecţie legem (C) esoul u î sesul de ceştee l zei M(,) pole. Cosideăm j u u x O i fig. 7. poi că z polă ămâe costtă ( costt). Rezultă că puctul M descie u c de cec de ză OM. A dou diecţie se lege tget l cest c de cec î puctul M. Pe cestă diecţie se lege esoul u cu oigie î puctul fix O, cu sesul poziti dt de sesul de ceştee l ughiului. Vesoii u şi u sut pepediculi şi defiesc xele sistemului de coodote pol. Î timpul mişcăii, esoii u şi u îşi schimbă diecţi, deci xele sistemului de coodote pole sut mobile, d esoii u şi u ămâ pepediculi. Deoece om e eoie de deitele î pot cu timpul le esoilo u şi u (ce î geel sut difeite de zeo), om expim ceşti ectoi î fucţie de esoii xelo fixe Oxy, i şi j : u cos i + si j, u si i + cos j (7.6) Deiâd î pot cu timpul elţiile (7.6) şi âd î edee că i &, & j, obţiem: u& si & i + cos & j u (7.6) u& cos & i si & j u Vectoul de poziţie OM l puctului M se expimă î fucţie de esoul u stfel: u (7.6) Vitez se obţie pi deie î pot cu timpul elţiei (7.6) şi ţiâd sem de elţiile (7.6):

7. Ciemtic puctului mteil 3 & u & + u& u & + & u (7.63) D u + u (7.64) stfel că obţiem poiecţiile itezei î coodote pole: & &, (7.65) Compoetele şi fiid pepedicule, modulul itezei este: & & + + (7.66) Acceleţi se obţie deiâd expesi (7.63) î pot cu timpul şi ţiâd sem că temeii & u şi & u sut poduse de două especti tei fucţii de timp: & (&& u + & u& ) + ( & & u + && u + & u& ) Îlocuid pe u& şi u& cu expesiile lo (7.6) şi gupâd temeii, obţiem: (& & ) u + ( && + & & ) u (7.67) D u + u (7.68) stfel îcât poiecţiile cceleţiei î coodote pole sut: & & && & & ; + (7.69) Aplicţie: Mişce uui puct e loc ît-u pl, stfel îcât î coodote pole, lege de mişce este dtă de: 5 4cost, ctg(3 tg t), > Să se detemie tiectoi î coodote pole şi cteziee, itez şi cceleţi puctului şi hodogful mişcăii. + tg Rezole: Î coodote pole, tiectoi este cub 3, 9 + tg i î coodote cteziee, putem scie: x cos ± cost, y si ± 3 si t de ude putem obţie elips: 9x + y. Poiecţiile 4 si t 3 itezei sut: &, &, i măime 5 4cos t 5 4cos t itezei este: 9 + 6si t & + & 5 + 4cos t. Poiecţiile 5 4cos t cceleţiei sut: & 5 4cos, && + & & & t şi deci măime cceleţiei deie: 5 cost. Hodogful mişcăii î

4 CINEMATICA PUNCTULUI coodote pole, e ecuţiile pmetice: 4 si t 3 X, Y stfel că ecuţi litică 5 4cos t 5 4cos t 4 4 deie: X Y + Y Y + 9 : Î coodote cteziee, fom hodogfului coicide cu tiectoi mişcăii: 9X + Y 9. 7.3.3. Sistemul de coodote cilidice Î sistemul de coodote cilidice (sistem mobil), poziţi uui puct oece M este cuoscută cu jutoul ughiului pol (t), zei pole ρ ρ(t) şi cotei z z(t) (fig. 7.), ude Oxy este u sistem de xe fixe şi < ( Ox, OM '), ρ OM, z MM i M este poiecţi lui M pe plul Oxy ( π ). Ecuţiile: (t); ρ ρ(t) ; z z(t) (7.7) epezită şi ecuţiile pmetice le tiectoiei (su lege de mişce î coodote cilidice). Vesoii sistemului de coodote cilidice sut: u ρ, esoul zei pole; u k pepedicul pe u ρ coţiut î plul z O u Oxy diijt î sesul de ceştee l y ughiului şi esoul k l xei Oz. u p ρ Numi esoul k este u ecto M' costt. Ecuţiile tiectoiei se obţi fig. 7. di elţiile (7.7) pi elimie lui t: f ( ρ,, z), f ( ρ,, z) (7.7) Legătu dite esoii u ρ, u, i şi j este dtă de elţiile: u ρ cos i + si j, u si i + cos j (7.7) Pi deie î pot cu timpul elţiilo (7.7), obţiem: u& ρ & ( si i + cos j) & u (7.73) u& & ( cos i si j) & u ρ

7. Ciemtic puctului mteil 5 Di figu 7., ectoul de poziţie l puctului mteil M se scie sub fom: OM ' + M ' M ρuρ + zk (7.74) Pi deie ectoului de poziţie (7.74) î pot cu timpul, ţiâd sem de elţiile (7.73) şi de k &, obţiem ectoul iteză: & & ρuρ + ρu& ρ + zk & & ρuρ + ρ& u + zk & (7.75) D ρuρ + u + zk, stfel îcât poiecţiile itezei pe xe sut: & & ρ ρ ; ρ ; z z& (7.76) Modulul itezei este: ρ + + z & ρ + ρ & + z& (7.77) Acceleţi se obţie pi deie ectoului iteză (7.75), î pot cu timpul: & && ρuρ + & ρu& ρ + & ρ & u + ρ && u + ρ & u& + && zk Îlocuid deitele esoilo, ezultă: (&& ρ ρ & ) uρ + (& ρ & + ρ && ) u + && zk (7.78) D ρuρ + u + zk coduce l poiecţiile cceleţiei pe xe: ρ && ρ ρ & ; & ρ & + ρ && ; z && z (7.79) şi l măime cceleţiei: ρ + + z (&& ρ ρ& ) + ( & ρ& + ρ&& ) + && z (7.8) Sistemul de coodote cilidice sut o geelize sistemului de coodote pole di pl ( z ) Vitez eolă, î coodote cilidice se scie: Ω ρz& up + ( z & ρ ρz& ) u + ρ & k (7.8) i cceleţi eolă: Γ z( && ρ ρ& ) up + ( z&& ρ zρ& ρ&& z) u + ρ( & ρ& + ρ&& ) k (7.8) Aplicţie: U puct mteil M se mişcă pe u cilidu dept cu bz elips de ecuţie x + y, desciid o elice cu ughiul de îclie α. Vitez b eolă poiecţiei M' puctului M pe plul Oxy este costt k. Să se detemie itez puctului M (fig. 7.3)

6 CINEMATICA PUNCTULUI Rezole: Di ecuţi elipsei, deducem: x cos ϕ; y bsi ϕ; ϕ R. Pe de ltă pte, î fucţie de z polă şi de ughiul pol, putem scie: x ρ cos ; y ρ si. Di elţiile teioe ezultă: y b ρ x + y cos ϕ + b si ϕ; tg tgϕ () x Di codiţi Ω z k, ezultă p & k şi deci: & k cos ϕ + b si ϕ (b) Deiâd elţi () î pot cu timpul, obţiem: & b & ϕ (c) cos ϕ + b si ϕ Di elţiile (b) şi (c) obţiem: k k & ϕ ; ϕ t + ϕ b b Lugime cului de elipsă elemet ds pcus de puctul M' (poiecţi puctului M pe plul Oxy) este ds dx + dy si ϕ + b cos ϕ ϕ& dt şi deci: k s& si ϕ + b cos ϕ b Cuoscâd ughiul de îclie α, ezultă zs tgα. z M' M' M' M O z y M M M' s M' x fig. 7.3 M Cu ceste, putem obţie deitele coodotelo cilidice:

7. Ciemtic puctului mteil 7 4k si( t + ϕ) kb ( ) & ρ b b k k cos ( t+ ϕ) + b si ( t+ ϕ) b b & k k k ; cos ( t+ ϕ) + b si ( t+ ϕ) b b k k k z& si ( t+ ϕ) + b cos ( t+ ϕ) tgα b b b şi pi ume, itez deie: ρ + ρ & & + z& k si ( k t+ ϕ) + b cos ( k t+ ϕ) b cosα b b 7.3.4. Sistemul de coodote sfeice Poziţi uui puct M î coodote sfeice este detemit cu jutoul zei ectoe, zimutului şi logitudiii ϕ (fig. 7.4). Lege de mişce puctului M (su ecuţiile pmetice le tiectoiei) este: (t); (t); ϕ ϕ (t) (7.83) ude OM, ( Oz, OM ), [,π ], ϕ ( Ox, OM `), ϕ [,π ] i M' este poiecţi puctului M pe plul Oxy.Ecuţi litică tiectoiei î coodote sfeice se obţie pi elimie pmetului t îte ecuţiile (7.83) z f (,, ), (7.84) u Vesoii sistemului de coodote sfeice sut: u î pelugie zei M u ϕ ectoe OM cu sesul poziti dt de u ceştee cestei; u - coţiut î plul O y zom, pepedicul pe OM î sesul cescăto l lui şi u ϕ î sesul cescăto x fig. 7.4 φ M' l lui ϕ şi pepedicul pe plul zom. Deoece om e eoie de deitele cesto esoi î pot cu timpul, legătu îte esoii sistemului

8 CINEMATICA PUNCTULUI de coodote sfeice şi i sistemului de coodote cteziee fixe, este dtă de elţiile: u si cos ϕi + si si ϕj + cos k ; u cos cosϕi + cossiϕ j sik ; (7.85) uϕ siϕ i + cos ϕ j Pi deie î pot cu timpul elţiilo (7.85), obţiem: u& & (coscosϕi + cossi ϕj si k ) + ϕ& ( si si ϕi + si cosϕj) & u + ϕ& si uϕ u& & (si cosϕi + si si ϕj + cos k ) + ϕ& ( cos si ϕi + coscos ϕj) & u + ϕ& cosuϕ u& ϕ & ϕ(cosϕi + si ϕ j) & ϕ(cosu + si ϕu ) (7.86) Vectoul de poziţie l puctului M se pote expim cu jutoul esoului u stfel: u (7.87) Pi deie î pot cu timpul elţiei (7.87) şi ţiâd sem de elţiile (7.86), obţiem itez puctului M: & u & + u& u & + & u + & ϕsiu& ϕ (7.88) D: u + u + uϕ stfel că poiecţiile itezei pe xele sistemului de coodote sfeice sut: & ; & ; ϕ & ϕ si (7.89) Măime itezei este: + + ϕ & + & + & ϕ si (7.9) Pi deie elţiei (7.88) î pot cu timpul, obţiem ectoul cceleţie: & u & + u && + && u + && u + + & u& + && ϕsi uϕ + ϕ&& si uϕ + + ϕ & & cos uϕ + ϕ& si u& ϕ Ţiâd sem de elţiile (7.86) şi gupâd temeii, cceleţi se mi scie: (&& & & ϕ si ) u + (& & + & & ϕ si cos ) u + (7.9) + ( && ϕsi + & & ϕsi + & ϕ& cos ) uϕ Rezultă: && & & ϕ si

7. Ciemtic puctului mteil 9 & & + & & ϕ si cos (7.9) ϕ && ϕ si + & & ϕsi + & ϕ& cos i măime cceleţiei + + (7.93) ϕ Aplicţie: B DE de lugime R culiseză cu cpătul D pe sfetul de cec AB de ză R situt î plul Oxy i cu cpătul E pe sfetul de cec BC de ză R situt î plul plul Oyz. Vitez culisei E este o (costtă). Să se detemie itez şi cceleţi mijlocului M l bei (fig.7.5), cuoscâd că î mometul iiţil D se flă î A Ox. z C R E R R O α E' B γ M R M' y A D x fig. 7.5 Rezole: Di dtele poblemei ezultă: DOE 9. Vom ezol poblem î coodote sfeice. Petu cest otăm β M ` Oy şi γ M ` OM şi ude M este poiecţi puctului M pe plul fix Oxy. De semee, otăm cu E π poiecţi lui E pe x Oy. Coodotele sfeice sut : R, γ, π φ β. Petu detemie ughiului β, se foloseşte tiughiul OM E î ce:

CINEMATICA PUNCTULUI R OE ' R cosα, OM ' OM M ' M + si α R M ' E ' DE ' DE E ' E + cos α cosα cosα Rezultă cos β şi deci β ccos ; Ughiul γ se + cos α + cos α R detemiă di tiughiul OMM î ce OM OM M ' M + cos α, + cos α + cos α stfel că ezultă cosγ şi pi ume γ ccos. Petu detemi itez, clculăm î pelbil deitele coodotelo sfeice:.,.. cosα. siα γ ; ϕ β R + cos α R + cos α Poiecţiile itezei î coodote sfeice sut:.. cos t ; R ; ( + cos t ) R. ϕ ϕsi si t R 4 + cos α cos α Măime itezei este: α ; α t + cos α R Poiecţiile cceleţiei pe xele sistemului sfeic sut î cest cz :.. 4 cos α cos α ( + ϕ si ) R + cos α 4 3 si α( + cos α) cos α ; 3 ϕ R R + cos α ( + cos α) 7.3.5. Sistemul de coodote itiseci (tule, Feet) Sistemul de coodote itiseci, umite şi coodote tule su coodote Feet se foloseşte î czul î ce tiectoi este cuoscută. Tiedul lui

7. Ciemtic puctului mteil Feet este mobil, âd oigie î puctul mobil M ce efectueză mişce.axele tiedului sut umite xe itiseci şi ceste sut: tget (de esoτ ) cu sesul poziti î sesul pmetului scl s cescăto, măsut de l oigie celo M o ; oml piciplă (de eso ) defiit c itesecţie plului osculto cu plul oml; bioml (de esob ) defiită c itesecţie dite plul oml şi plul ectifit (fig.7.6).mişce puctului este cuoscută cu jutoul ecuţiei oe mişcăii: ss(t) (7.94) Petu detemie compoetelo itezei şi cceleţiei î tiedul Feet, om folosi două elţii cuoscute di geometi difeeţilă: d τ (7.95) ds dτ (7.96) ds ρc Î elţi (7.96) (Feet) ρ c epezită z de cubuă tiectoiei î puctul cosidet. Vectoul de poziţie se s M Pl expimă î fucţie de cul de M τ ectifict cubă s, dică: b (C) () s (7.97) Vitez se obţie pi Pl deie ectoului de poziţie î osculto pot cu timpul, ţiâd sem că cest ecto depide implicit de Pl oml timp. Di elţiile (7.97) şi (7.95) ezultă: d ds O & s& τ (7.98) fig. 7.6 ds dt Poiecţiile itezei pe xele tiedului Feet o fi: τ s & ; ; b (7.99) Se pote deduce că itez este diijtă după tgetă, (fpt cuoscut de l defiiţi itezei) şi că măime itezei este s&. Deiâd elţi (7.98) î pot cu timpul, obţiem expesi ectoului cceleţiei: & && sτ + s& & τ ude, ţiâd sem de elţi (7.96), se pote dτ dτ scie: & ds τ s& stfel că cceleţi deie: dt ds dt ρ c

CINEMATICA PUNCTULUI s& && sτ + ττ + (7.) ρc Poiecţiile cceleţiei pe xele sistemului itisec sut deci: && τ s ; & s& (7.) ρc ρc Modulul cceleţiei este : 4 τ + & + (7.) ρc Se obseă că cceleţi e poiecţi pe biomlă ulă î tot timpul mişcăii, ectoul cceleţiei fiid cupis î plul osculto. Acceleţi tgeţilă τ este pozitiă su egtiă, după semul lui &. Acceleţi omlă este îtotdeu cetipetă, deoece este îdepttă î celşi ses cu esoul dică spe cetul de cubuă. Vectoul cceleţie fi deci îdeptt îtotdeu spe iteioul cocităţii tiectoiei. Dcă ît-u itel de timp, cceleţi tgeţilă este ulă ( τ ), ezultă & şi deci costt. O stfel de mişce se umeşte uifomă. Î czul uei mişcăi uifome cubiliii (ρ c ), cceleţi u pote fi ulă deoece /ρ c. Acest se explică pi cee că cceleţi omlă pe dtoită iţiei diecţiei itezei, ce e loc chi şi tuci câd mişce este uifomă. Tiectoi fiid cubă, tget ît-u puct mobil l ei îşi schimbă cotiuu diecţi. Dcă mişce este ectiliie, ρ c şi deci, stfel că ττ && sτ diecţiile cceleţiei şi itezei fiid celeşi. Petu c cceleţi să fie ulă tot timpul mişcăii, tebuie c τ şi, cee ce coduce l iteză costtă (mişce uifomă) şi l ρ c (mişce ectiliie). Pi ume, sigu mişce făă cceleţie este mişce ectiliie şi uifomă. Dcă, puctul mteil se flă î epus, cz eiteest. Di elţi (7.) se pote detemi z de cubuă: ρ c (7.3) & Di elţiile (7.98) şi (7.), ezultă: 3 & τ & τ + b (7.4) ρc ρc Di cestă elţie, ezultă:

7. Ciemtic puctului mteil 3 3 ρ c (7.5) cee î coodote cteziee, coduce l fomul: 3 ( x& + y& + z& ) ρc (7.6) ( yz &&& zy &&&) + ( zx &&& xz &&&) + ( xy &&& yx &&&) Di fomul (7.6) ezultă că z de cubuă se pote clcul umi cu elemete ciemtice (poiecţii de iteze şi cceleţii). Î pticul, dcă cub este plă: y f(x), z şi ţiâd sem y că & dy f '( x x dx ) &, ( ) && y && xf ' x + x& f '' ( x ), obţiem fomul zei de cubuă sub fom: ρ c ( + f '( x )) 3, f ''( x) f ''( x) d f ( x) (7.7) dx Aplicţii: ) Să se detemie z de cubuă petu fiece di plicţiile de l pgfele 7.3., 7.3. şi 7.3.4. Rezole : Folosid fomul (7.3), obţiem: Petu plicţi 7.3.: ( ) 3 si t+ b cos t ρc b ρ c 3 5+ 4cost Petu plicţi 7.3.: ( ) 3 Petu plicţi 7.3.4: 3 4 6 4 + 3cos α+ cos α cos α ρc R( + cos α cos α) 4 8 4 ( cos α+ 4cos α 7cos α+ cos α cos α+ 6cos α) ) U puct se deplseză cu iteză costtă o pe lăţişoul de x ecuţie y kch (kcosttă). Să se detemie z de cubuă lăţişoului şi k cceleţi puctului l u momet dt t. x Rezole: Folosid fomul (7.7), obţiem: ρ c kch h Petu -l expim pe x c fucţie de t, folosim fomul o s&, ude lugime cului de cubuă elemet este dt de elţi:

4 CINEMATICA PUNCTULUI ds dx + dy dx + + sh dx dx k ds sh dx dy x x x + ce pi itege deie: s sh k + k x su x dx ksh k x dx x dx x Rezultă, s& ch stfel că ch ce se scie: dt ch dx k dt k dt k x Acestă ecuţie se itegeză şi se obţie t ksh de ude ezultă: k x kl t+ t + k k Folosid ultim expesie, z de cubuă ρ c se scie î fucţie de t: ρ c t + k. Acceleţi puctului cosidet e poiecţiile: τ k & ; k ρc t + k Rezultă că cceleţi este îdepttă spe cetul de cubuă. 7.4. Ciemtic ibţiilo 7.4.. Geelităţi Î pctică se îtâlesc fecet pocese şi mişcăi ibtoii. Cuoscâd cuzele ce poocă ibţiile, se îcecă pi difeite studii să se dimiueze efectul lo dăuăto. D sut şi situţii câd fucţioe uo tipui de mşii se bzeză pe feomee ibtoii. Vibţiile motoelo su uei be, oscilţiile uui pedul sut câte exemple de mişcăi de cest ge. Este eces să fie studite î mod specil mişcăile uui sistem mteil l ce itezele îşi schimbă sesul de mi multe oi ît-u itel de timp. U sistem mteil efectueză o ibţie (oscilţie) dcă pmetii ce îi detemiă cofiguţi l u momet dt, iză lteti î timp fţă de loile poziţiei de echilibu sttic. O mişce osciltoie este peiodică dcă tote elemetele mişcăii se epetă idetic după u itel miim de timp T (umit peiodă). Peiod se măsoă î secude (s). După o peiodă, poziţi, itez şi cceleţi tutuo puctelo sut

7. Ciemtic puctului mteil 5 celeşi. Dcă otăm cu x(t) pmetul ce detemiă cofiguţi sistemului mteil l u momet dt t, tuci mişce este peiodică dcă există T> stfel c: x(t)x(t+t) oice fi timpul t, cu t şi t+t di domeiul de itees. De exemplu, mişce uui puct mteil pe x Ox după lege de mişce x(t)7si9πt e peiod T/9 [s]. Mişce efectută ît-o peiodă se umeşte ciclu l ibţiei (oscilţiei) peiodice. Număul de peiode ît-o secudă se umeşte feceţ ibţiei şi f. Feceţ se măsoă î hetz [Hz]. Î exemplul de mi sus feceţ este T f9/ [Hz]. Î czul uui sistem mecic cu u umă fiit () de gde de libette, mişce este peiodică dcă fiece pmetu x k ( k, ) ce defieşte cofiguţi sistemului este o fucţie peiodică de peiodă T k : x k (t) x k (t+t k ). Dcă peiodele T k sut comesubile îte ele şi dcă există umee T T T tule N k ( k, ) stfel îcât... ( T ) tuci peiod N N N mişcăii este eglă cu podusul dite T o (loe comuă potelo di ultim elţie şi cel mi mic multiplu comu l umeelo N, N,, N. De exemplu mişce uui sistem mecic cu tei gde de libette defiită pi ecuţiile π x 3si6t, x 5cos 8t+ 9, x3 7sit este peiodică de peiodă Tπ[s], π π π deoece T [], s T [] s, T3 [] s sut comesubile îte ele şi 3 4 6 T T T3 π ( T ) i cel mi mic multiplu comu l umeelo 4,3 şi este 4 3 (TT o π). D mişce uui sistem cu două gde de libette defiită pi π π ecuţiile y 3si6t, y 7si 5t u este peiodică cu tote că T şi T, 3 5 umeele T şi T u sut comesubile. Se obseă că feceţ şi peiod sut iese. Î geel se îtâleşte u spectu lg de feceţe (de l cele jose pâă l loi fote îlte). Ce mi simplă şi ce mi des îtâlită mişce ibtoie este ibţi moică. 7.4.. Vibţi moică O mişce cu u sigu gd de libette uui sistem mecic este o ibţie moică, dcă fucţi x x(t) ce defieşte mişce (şi pote fi lugime su u ughi) este de fom:

6 CINEMATICA PUNCTULUI si ( ω + ϕ ) su x x cos( ωt ϕ ) x x t + (7.8) cu x, ω şi ϕ costte ele. Peiod ibţiei moice estet π deoece peiod fucţiei ω tigoometice sius (su cosius) este π stfel că: ω ( t+ T) + ϕ ( ωt+ ϕ) π. Feceţ ibţiei moice este f T ω π Pulsţi ibţiei moice este umăul de peiode ît-u itel de timp egl cu π secude. Rezultă p π ω Pulsţi se mi umeşte feceţ T ciculă. Agumetul ωt+ϕ este fz şi se măsoă î dii, i ϕ este fz iiţilă, ω este pulsţi (feceţ ciculă) ibţiei şi se măsoă î d/s. Cetul de ibţie este puctul î ce cceleţi x&& este ulă. Î czul ibţiei epezette de ecuţiile (7.8) cetul de ibţie este î oigie xei. Dcă cetul de ibţie este puctul de bscisă x x, ecuţi ibţiei moice e fom: x x' x si ωt ϕ x x' + x cos ωt+ ϕ (7.9) + ( + ) su ( ) Elogţi este loe sclă distţei l u momet dt îte cetul de ibţie şi mobil. Î czul elţiei (7.8), elogţi este x, i î czul elţiei (7.9) elogţi este x-x. Amplitudie ibţiei moice este mximul elogţiei, deci x o. Coeim să epezetăm o ibţie moică pit-o ecuţie de fom (7.8) su (7.9) î ce x o >. Dcă x o < tuci se îlocui fz iiţilă ϕ cu π-ϕ su π+ϕ. Două ibţii moice ce se efectueză după legile x x si ( ωt+ ϕ ), ( ) x xsi ωt+ ϕ+ ϕ (7.) sut î fză dcă ϕ o. Dcă ϕ o >, tuci mişce dtă de x este defztă de mişce dtă de x cu ughiul ϕ o (defzj). Dcă ϕ o π, cele două mişcăi sut î opoziţie. Deiâd î pot cu timpul succesi î fomul (7.8), obţiem itez şi cceleţi puctului M: π x& xωsi ( ωt+ ϕ) xωcos ωt+ ϕ+ (7.) && x x ( ) ω cos ωt+ ϕ xω cos( ωt+ ϕ+ π) (7.) Rezultă că itez şi cceleţi sut de semee fucţii moice de timp. Vitez e mplitudie x o ω şi este defztă îite fţă de mişce cu ughiul ϕ o π, i cceleţi e mplitudie xo ω şi este defztă îite fţă de mişce cu ughiul ϕ o π. Digmele mişcăii moice sut dte î figu 7.7

7. Ciemtic puctului mteil 7 Dcă mplitudie x o su pulsţi ω sut fucţii de timp, tuci ibţi moică espectiă se spue că este modultă î mplitudie especti î feceţă. Lege uei ibţii moice modultă î mplitudie este de fom x(t) f(t)cos(ωt+ϕ) î ce f(t) este o fucţie de timp ecosttă. Lege uei ibţii x ωx ω x fig. 7.7 moice modută î feceţă este de fom x(t) x o cos g(t) î ce fucţi g(t) u este o fucţie liiă î timp. 7.4.3. Repezete ectoilă ibţiilo moice Cosideăm ectoul OA de modul x o ce se oteşte î juul oigiii cu itez ughiulă costtă ω (fig.7.8). Î mometul iiţil, ughiul dite OA şi x Ox y este ϕ. Umeză că l A'' A u momet dt t, ughiul dite OA şi x Ox este ωt+ϕ. B x Vectoul OA ωx epezită mişce moică (7.8 ), deoece lege cestei ω ωt+φ mişcăi este dtă de poiecţi ω x O A' x OA' x cos( ωt + ϕ ) ectoului pe x fig. 7.8 C fixă Ox, i mişce

8 CINEMATICA PUNCTULUI moică (7.8 ) de poiecţi OA'' x si ( ωt + ϕ ) pe x Oy. Vitez ughiulă de otţie este eglă cu pulsţi mişcăii moice. Î celşi mod, deducem că itez ibţiei moice dtă de elţi (7.) pote fi epezettă pit-u ecto OB căui măime este ωx o şi se oteşte cu ceeşi iteză ughiulă ω, fiid î s cu ughiul π/ fţă de ectoul OA.Acceleţi se epezită pi ectoul OC căui măime este ω x o şi este î s cu ughiul π fţă de ectoul OA.Umeză că cceleţi şi mişce sut î opoziţie de fză. Mişcăile moice x x cos ( ωt+ ϕ ) şi x x si ( ωt+ ϕ ) sut defzte cu ughiulπ deoece x se mi pote scie sub fom x x si ( ωt+ ϕ π ). Deci ceste se epezită pi doi ectoi pepediculi cu măimile x especti x. 7.4.4. Repezete pi umee complexe ibţiilo moice Vectoul otito OA di pgful pecedet se epezită î plul complex Oxy pi fixul z l extemităţilo sle A: i( t ) z x cos( t ) isi ( t ) xe ω + ω + ϕ + ω + ϕ ϕ (7.3) Număul complex z epezită fie ibţi moică (7.8 ) (pi pte s elă) fie ibţi moică (7.8 ) (pi pte s imgiă). Vitez ibţiei moice se obţie pi deie î pot cu timpul î elţi (7.3): i( t ) z xsi ( t ) i xcos( t ) i xe ω + ϕ & ω ω + ϕ + ω ω + ϕ ω iωz (7.4) i cceleţi fi deit î pot cu timpul itezei: && z ω x ( ) ( ) cos ωt+ ϕ iω xsi ωt+ ϕ iωz& ω z (7.5) Relţiile (7.4) şi (7.5) se mi pot scie şi sub fomele: π i ωt+ ϕ+ ( ) i t z& iωz ωx e, z z x e ω + ω ω ϕ + && π stfel că putem scie (c l pgful 7.4.3.) că itez este defztă de mişce cu π/ i cceleţi este defztă fţă de mişce cu ughiul π. Obseăm di elţi (7.4) că deit uui umă complex este echiletă cu îmulţie cestui cu iω cee ce îsemă că îmulţie cu umăul

7. Ciemtic puctului mteil 9 pu imgi i dă ughi π/ î sesul lui ω, i îmulţie cu ω tsfomă mplitudie x o î ωx o. Pctic, î clcule lege de mişce se îlocuieşte cu z, itez cu z& i cceleţi cu z&& i după efectue clculelo coespuzătoe se itepeteză ezulttul obţiut legâd pte s elă dcă e iteeseză ibţi moică (7.8 ) su pte s imgiă dcă e iteeseză ibţi moică (7.8 ). 7.4.5. Compuee ibţiilo moice coliie de ceeşi pulsţie Cosideăm xele coliie Ox şi O x (fig.7.9) stfel îcât oigie O e fţă de oigie fixă O o mişce moică cu lege x OO' x cos( ωt ϕ ) +. Puctul M e î pot cu oigie O o ltă mişce ibtoie moică după lege x O' M x cos ωt+ ϕ ( ) fig. 7.9 x. Î cele ce umeză, om ăt că mişce bsolută puctului M î pot cu oigie O este tot o mişce ibtoie moică. Notăm xomoo +O Mx +x şi deci: y x x (x + x cos( ωt + ϕ ) + x cos ϕ si ϕ + x cos ϕ cos( ωt + ϕ ) cos ωt (x ) si ωt C cos ωt C x cos( ωt + ϕ)... ude m ott: C x cos + x cos x cos y' M O O' x xx' x ) ϕ ϕ ϕ si ϕ + si ωt (7.6) C xsiϕ+ xsiϕ xsiϕ (7.7) Di sistemul (7.7) se deduc loile x o şi ϕ: x C + C x + x + xxcos( ϕ ϕ) (7.8) x siϕ + x siϕ tgϕ x cosϕ + x cosϕ (7.9)

3 CINEMATICA PUNCTULUI Î mod log se pote geeliz ezulttul obţiut petu u umă de > x x cos ωt+ ϕ, i, ibţii moice coliie de ceeşi pulsţie i i ( i) compuee cesto fi tot o ibţie moică ( ) x i + x ix j cos( ϕi ϕ j) i i< j cos x, tgϕ i i x x i i siϕ i cosϕ i (7.) U cz pticul, d des îtâlit, este câd lege de mişce puctului M este de fom: x x cosωt+ x siωt (7.) dică cele două mişcăi compoete sut defzte cu ughiul π Lege mişcăii ezultte se mi scie sub fom: x x ( ωt ϕ ) cos +, ude: x x x + x ; tgϕ x Di elţi (7.6), ezultă itez puctului M î mişce ezulttă: x& ωx ωt+ ϕ (7.) si ( ) i cceleţi deie: & && x ω x cos ( ωt + ϕ ) ω x (7.3 7.4.6. Compuei de ibţii coliie cu pulsţii difeite. Feomeul de bătăi Pesupuem că cele două ibţii moice compoete u pulsţii difeite ω şi ω ; ω > ω: x xcos( ωt+ ϕ) ; x xcos( ωt+ ϕ) (7.4) Mişce ezulttă este: x x+ x xcos( ωt+ ϕ) + xcos( ωt+ ϕ) (7.5) Expesi (7.5) se mi pote scie sub fom:

7. Ciemtic puctului mteil 3 x x cos ω + ω t ω ω t x cos ω + ω t ω ϕ ω + + + t+ ϕ ω+ ω ω ω ω+ ω ω ω x cos tcos t+ ϕ x si tsi t+ ϕ + ω+ ω ω ω ω+ ω ω ω + x cos tcos t ϕ + x si tsi t ϕ x cos ω ω t ϕ x cos ω ω + + t ϕ cos ω + ω t+ x si ω ω t ϕ x si ω ω + + + t ϕ si ω + ω t ω+ ω ω+ ω ω+ ω C( t)cos t+ C( t)si t x( t) cos t ϕ( t) + (7.6) ude m ott: ω ω ω ω C() t xcos t+ ϕ + xcos t ϕ ω ω ω ω C() t xsi t+ ϕ + xsi t ϕ (7.7) Di elţi (7.6), pi idetifice, deducem sistemul: x()cos t ϕ() t C(), t x()si t ϕ() t C() t (7.8) şi de ici obţiem fucţiile: x() t C () t + C () t x + x + xxcos ( ω ω) t+ ϕ ϕ (7.9) ω ω ω ω x si t+ ϕ x si t ϕ C () t ϕ() t ctg ctg (7.3) Ct () ω ω ω ω x cos t+ ϕ + x cos t ϕ După cum se obseă, pi compuee două ibţii moice se obţie o mişce ibtoie ezulttă ce pezită umătoele deosebii eseţile fţă de o ibţie moică: mplitudie ibţiei ezultte este o fucţie peiodică de timp de peiodă T π /( ω ω) deoece x ( t + T ) x ( t) ; fz l mometul t ibţiei ezultte u mi este liiă î t, fiid de fom ( t) ( ω + ω ) t/+ ϕ( t)) i fucţi ϕ (t) eifică ecuţi: ϕ ( t + T ) ϕ( t) + λπ, λ N

3 CINEMATICA PUNCTULUI Vibţi defiită de elţi (7.6) este umită ibţiie csimoică modultă î mplitudie şi feceţă. Este impott de eţiut că, deşi fucţi mplitudie este peiodică i ϕ(t) e popiette euţtă, totuşi ibţi ezulttă fi peiodică umi dc pulsţiile ω şi ω le ibţiilo moice compoete * o fi comesubile, dică potul lo este o fcţie ţiolă: ω / ω m/, m, N. Deoece m / ω / ω ( m )/( ω ω), peiod T mişcăii ezultte defiită de elţi (7.6) fi: π π π π T mt T m ( m ) ( m ) T ( m+ ) (7.3) ω ω ω ω ω + ω ude T π/ ω şi T π / ω sut peiodele mişcăilo moice compoete (7.4). Dcă cele două pulsţii ω şi ω le mişcăilo compoete u loi fote popite, difeeţω ω este fote mică î compţie cu medi pulsţilo ( ω + ω) / deci fucţiile x (t) si ϕ(t) iză fote îcet i compţie cu fucţiile cos ( ω + ω) t / şi si ( ω + ω) t /. Peiod T şi T le mişcăilo compoete sut pope egle stfel că î timpul uei peiode T T, mplitudie mişcăii ezultte si fucţi ϕ ămâ costte, stfel că î cest timp, mişce ezulttă e pote coside moică. Ît-u itel de timp oece, mişce ezulttă pote fi cosidetă c o succesiue de mişcăi moice, fiece âd ceeşi dută T T d cu mplitudii difeite. Amplitudiile cesto mişcăi moice sut cupise îte limitele x -x, x +x (di elţi (7.9)) de iţie le mplitudiii mişcăii ezultte. Feomeul se epetă după itelele de timp egle cu peiod T π /( ω ω). Mişce î codiţiile de mi sus potă umele de bătăi (fig.7.). Feceţ bătăilo este: f / T ω / π ω / π f f. T' x x + x x x t fig.7.

7. Ciemtic puctului mteil 33 Î mod semăăto se pot compue u umă fiit de mişcăi compoete, obţiâdu-s mişce ezulttă. Vitez mişcăii ezultte fi obţiută pi deie î pot cu timpul elţiei (7.6): ω + ω ω + ω ω + ω x& x& ( t)cos[ t + ϕ( t)] x& ( t)[ + & ϕ( t)]si[ t + ϕ( t)] Acceleţi mişcăii ezultte este: ω + ω ω + ω ω + ω && x & && x cos[ t + ϕ( t)] x& ( t)[ + & ϕ( t)]si[ t + ϕ( t)] ω + ω ω + ω ω + ω x ( t) & ϕ ( t)si[ t + ϕ( t)] x ( t)[ + & ϕ( t)] cos[ t + ϕ( t)] 7.4.7. Compuee ibţiilo ectiliii moice otogole Există umeose situţii câd puctele uo elemete le uui sistem ibt cu două su tei gde de libette u mişcăi stfel îcât coodotele lo cteziee se pezită sub fom uo legi moice. Acest yy' x eie l coside mişce uui semee O' puct c o compuee de două, especti tei M x' ibţii ectiliii moice otogole. Î cele ce y umeză, om coside umi dou stfel de x mişcăi: fie sistemul fix de xe Oxy şi u sistem O mobil O x y căui oigie O se mişcă pe Oy fig.7. după lege O O y y cos( ω t + ϕ). Pe x O x ce ămâe plelă cu Ox se mişcă puctul M după lege O M x x x cos( ) ω t + ϕ (fig.7.). Mişce puctului M fi ezultt compueii două ibţii moice otogole. Ecuţiile pmetice le tiectoiei puctului M ce se mişcă i plul Oxy sut: x x cos( ω t + ϕ); y y cos( ωt + ϕ) (7.3) Cosideăm mi multe czui pticule:. Dc cele două pulsţii sut egle ω ω ω (ibţii moice otogole sicoe), tuci di sistemul (7.3) elimiăm pmetul t şi obţiem o coică otită fţă de epeul fix, fţă de ce u fost scise ecuţiile mişcăii puctului: y x + x y x y cos( ϕ ϕ) xy x y si ( ϕ ϕ) (7.33) Discimitul coicei (7.33) este: δ x y x y cos ( ϕ ϕ ) x y si ( ϕ ϕ ) > (7.34)

34 CINEMATICA PUNCTULUI cee ce este ccteistic uei elipse. Deci, pi compuee două ibţii moice otogole sicoe se obţie o mişce puctului pe o elipsă cu cetul î oigie sistemului de xe fixe Oxy şi ce este otită fţă de cest. Î fucţie de defzjul ϕ ϕ, se îtâlesc umătoele două situţii pticule: ) ϕ ϕ kπ, k Z cz î ce ecuţi (7.33) se mi scie: ( y x ± x y) de ude ezultă: y y ± x (7.35) x Ecuţiile (7.35) epezită două depte ce tec pi oigie şi u ptele egle cu ± y / x, semul supeio coespude defzjului ϕ ϕ dii, i semul ifeio coespuzâd defzjului ϕ ϕ π dii. Putem tge cocluzi că pi compuee două ibţii moice otogole sicoe şi defzte de u multiplu îteg de π dii, se obţie o mişce ectiliie osciltoie moică, cu cetul de oscilţie situt î oigie xelo. π b) ϕ ϕ (k + ) ; k Z, cz î ce ecuţi (7.33) deie: x y ( ) + ( ) (7.36) x y cee ce epezită o elipsă de semixe x şi y cu cetul î oigie xelo. Petu diese loi le lui k Z, o ezult do sesui lteâde de pcus pe elipsă. Î figu 7. sut ătte tiectoiile puctului petu câte loi le defzjului ϕ ϕ. O x fig.7. π π 3π ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ π 4 4. Dcă cele două pulsţii sut difeite, em două situţii disticte: ) Pulsţiile ω şi ω u sut comesubile (potul lo u este u umă ţiol). Î cest cz, tiectoi puctului fi o cubă îchisă, îscisă î deptughiul cu cetul î oigie sistemului de xe şi cu ltuile egle cu x şi y (fig. 7.3).

7. Ciemtic puctului mteil 35 b) Pulsţiile ω şi ω sut comesubile: există două umee tule pime îte ele m şi stfel îcât: ω (7.37) ω m Pesupuem ω > ω, cee ce implică >m. Notăm: m ω ω ω ω (7.38) m Di elţiile (7.3) deducem peiodele celo două mişcăi: π π T x ; Ty (7.39) ω ω Di elţi (7.37) şi petu itele de timp egle cu multiplii îtegi i itelului ezultă: TmT x T y (-m)t xy ude π π T xy (7.4) fig. 7.3 ω ω ω Di elţi (7.3 ) ezultă: cos(ω t+ϕ )cos( ωt+ϕ -ϕ +ω t+ϕ ) y cos(ω t+ϕ )cos( ωt+ ϕ)-si(ω t+ϕ )si( ωt+ ϕ) (7.4) y Di elţiile (7.4) şi (7.3 ), pi elimie fucţiei ω t+ϕ, obţiem: y x + x y x y cos( ωt + ϕ) x y si ( ωt + ϕ) (7.4) ude m ott ϕϕ -ϕ. Fucţiile si( ωt+ ϕ) şi cos( ωt+ ϕ) ce p î elţi (7.4) u popietăţile: si[ ω(t+t)+ ϕ]si[ ωt+ ϕ+(-m) ωt xy ]si( ωt+ ϕ) cos[ ω(t+t)+ ϕ]cos[ ωt+ ϕ+(-m) ωt xy ]cos( ωt+ ϕ) ω ω ω ω 3 ϕ ϕ fig.7.4 π ϕ ϕ 3π ϕ ϕ 4 3π ϕ ϕ

36 CINEMATICA PUNCTULUI Pe de ltă pte şi fucţiile cos(ω t+ϕ ) şi cos(ω t+ϕ ) u popietăţile: cos[ω (t+t)+ϕ ]cos(ω t+ϕ +ω mt x )cos(ω t+ϕ ) (7.43) cos[ω (t+t)+ϕ ]cos(ω t+ϕ +ω T y )cos(ω t+ϕ ) (7.44) Relţiile (7.43) şi (7.44) pu î eideţă fptul că î codiţiile elţiei (7.37), puctul M tece peiodic pi celeşi loi după itele de timp egle cu peiod T. Pi ume, se pote tge cocluzi că tiectoi puctului M î mişce detemită pi ecuţiile (7.3) este codiţi (7.37) o cubă îchisă, îcdtă îtu deptughi cu cetu î oigie sistemului de xe şi de ltui egle cu x o especti y o şi ce se epetă idetic cu peiod T. Fomulele cesto cube îchise, umite cube Lissjous depid de potul celo două pulsţii le ibţiilo otogole compoete, pecum şi de defzjul lo. Î figu 7.4 sut epezette câte fome le cestei cube petu loile: ω ω şi π 3π 3π 3 şi petu defzjele ϕ ϕ ; ; ; ω ω 4 7.4.8. Vibţi motiztă Vibţi motiztă e lege: ht x xe cos( pt + ϕ) (7.45) ude x, h, p, ϕ sut costte. Coodot x se umeşte elogţie, costt h> se umeşte fcto de motize, p se umeşte pseudopulsţie i ϕ este fz iiţilă (l mometul t). Vitez se obţie di elţi (7.45) pi deie î pot cu timpul: ht x& hx x pe si( pt + ϕ) (7.46) x ht i cceleţi deie: T x e && x & hx& h x p x (7.47) Se obseă că loile itezei şi cceleţiei descesc ` `` ` `` ` `` t î timp. Amplitudie x e -ht t t t t t 3 t 3 t3 O t este fucţie de timp, desceşte şi tide spe zeo, deci ibţi motiztă este modultă î mplitudie. Î ht x e czul h< ibţi este cescătoe, modultă cescăto î mplitudie. fig. 7.5 Mişce osciltoie motiztă u este peiodică,

7. Ciemtic puctului mteil 37 deoece u se epetă idetic după u umit itel de timp. Totuşi, umite popietăţi le mişcăii cum sut: itesecţi digmei ibţiei cu x timpului (x) î celşi ses, itelul de timp îte două pucte de extem succesie, pecum şi ht itesecţi digmei ibţiei motizte cu cubele expoeţile x x e, se epetă după u itel de timp, T π / p umit pseudopeiodă. Digm ibţiei motizte (7.45) este dtă î figu 7.5. Puctul mteil itesecteză x timpului câd cos(pt+ϕ) cee ce implică: π π ϕ t k k +, k Z (7.48) p p p Îte două tecei cosecutie pi x timpului, itelul de timp este: π T tk + tk i îte două tecei succesie î celşi ses pi x t, p itelul de timp este: π tk + tk T (7.49) p Poziţiile de extem (mximul şi miimul elogţiei) le puctului se obţi h pi ule deitei (7.46), cee ce coduce l ecuţi: tg( pt + ϕ ) ce p e soluţiile: π ϕ h t k k ctg, k Z (7.5) p p p p Petu k umă p, se obţi mxime i petu k imp, miime. Itelul de timp îte două pucte de extem cosecutie de ceeşi tuă este: π t k + t k T. Dcă x ( t k ) şi x( t k+ ) sut două mxime cosecutie, tuci p ezultă: x(t k + ) ht e (7.5) x(t k ) cee ce îsemă că mximele (su miimele) fomeză o pogesie geometică de ţie e -ht. Digm ibţiei motizte (7.45) este cupisă îte cubele expoeţile x±x e -ht (7.5) Petu loile lui t petu ce cos(pt+ϕ)±, cee ce coduce l loile: π ϕ t k k, k Z (7.53) p p digm ibţiei motizte este tgetă l cubele (7.5).

38 CINEMATICA PUNCTULUI Acest lucu ezultă imedit, pi clculul deitelo î pot cu timpul le fucţiei dte de elţiile (7.45) şi (7.5) şi ţiâd sem că si( p t k + ϕ). Se k obţi ceeşi coeficieţi ughiuli dţi de x hx e ht & ±. Petu k umă p, digm este tgetă l cub expoeţilă xx e -ht, i petu k umă imp, digm este tgetă l expoeţilă x-x e -ht. Şi î cestă situţie om clcul itelul de timp îte două pucte de tgeţă succesie cu u di ceste cube: π t k + t k T p Umeză c si puctele de tgeţă cu u di cubele (7.5) se epetă cu peiod T. Compâd elţiile (7.5) şi (7.53), petu ceeşi loe lui k Z, costtăm că: h t tk + ctg (7.54) p p cee ce îsemă că mometul câd elogţi este extemă este teio mometului câd digm mişcăii este tgetă cubelo (7.5) cu itelul de timp egl cu / p ctg h / p. Pi logitme elţiei (7.5) obţiem: x( t k ) l ht δ (7.55) x( t k + ) Logitmul tul l câtului două mxime su miime succesie se umeşte decemetul logitmic l ibţiei motizte, şi este deci egl cu podusul dite fctoul de motize h si pseudopeiod T. Iesul τ l fctoului de motize se umeşte costt de timp şi deci: τ T h. Dcă decemetul logitmic δ este mi mic, pi dezolte î δ seie fucţiei e δ î elţi (7.5) se pote obţie poximti x + δ de ude x + x x + δ. Î cocluzie: desceştee eltiă două mxime (miime) x + succesie, este eglă cu decemetul logitmic. Aplicţie: Lege de mişce x uui puct mteil este ibtoie motiztă cu fctoul de motize h si pseudopulsţi p h. U l doile puct se mişcă după lege x & x + hx& + h x. Să se detemie lege de mişce x cuoscâd că l mometul t, x x, x &. Rezole: Notăm x C e -ht cos(pt+ϕ) ude C şi ϕ şi se o detemi ulteio di codiţiile iiţile petu l doile puct. Di defiie lui x, ezultă: x (h -p )C e -ht cos(pt+ϕ) şi x& -hx -p(h -p )C e -pt si(pt+ϕ). Di codiţiile iiţile dte, ezultă: (h -p )C cosϕ x şi hx +p(h -p )C si ϕ - de ude se obţi:

7. Ciemtic puctului mteil 39 p x + ( + hx ) hx + C si ϕ ctg p h p x p Există umătoele situţii: ) h>p stfel că: ht hx + x p x + ( + hx ) e cos( pt ctg ) p x p b) h<p stfel că: ht hx + x p x + ( + hx ) e cos( pt + π ctg ) p x p 7.5. Mişcăi pticule le puctului mteil 7.5.. Mişce ectiliie Î czul mişcăii ectiliii, puctul mteil e c tiectoie o deptă.studiul mişcăii se simplifică dcă se lege x Ox chi tiectoi mişcăii (fig.7.6), i mişce pote fi studită cu o siguă fucţie de O M M x timp, lege de mişce fiid: x xx(t) (7.56) Vitez şi cceleţi u especti expesiile: x x&, & x (7.57) Digmele mişcăii fig. 7.6 itezei şi cceleţiei se obţi pi epezete ît-u pl, pe x bsciselo timpul, i pe odotă lege mişcăii xx(t), especti lege itezei x& (t) şi cceleţiei & x& (t). Aceste digme du o imgie ituitiă sup modului cum se desfăşoă mişce. Î uele czui, se pue şi poblem iesă: cuoscâd itez su cceleţi puctului mteil, se pue poblem să detemiăm lege s de mişce. Acest coduce l ecuţii difeeţile de fom: x& f(t,x), & x& g(b,x, x& ) (7.58) ce sut de odiul uu, especti doi. Pi itege cesto ecuţii, se obţie lege de mişce ce depide de o costtă, especti două costte de itege. Petu detemie lo tebuie să cuoştem codiţiile iiţile dică poziţi şi itez l mometul iiţil: tt ; x(t )x ; (t ) (7.59) U lt mod de epezete sitetică mişcăii este imgie mişcăii î plul fzelo, ude pe x bsciselo se epezită lege de mişce x i pe odot

4 CINEMATICA PUNCTULUI iteză. Astfel de epezetăi gfice se pot utiliz umi petu studiul mişcăilo sistemelo cu u sigu gd de libette. Apliciţie: U puct mteil se mişcă pe x Ox, după lege: x(t) 3 (t)+ (t)- () ude (t) este itez puctului. Să se detemie lege de mişce c fucţie de timp, dcă x(). Rezole: Di codiţi x(), ecuţi 3 (t)+ (t)- e sigu soluţie cceptbilă (). Pi deie elţiei () i pot cu timpul şi simplifice cu (t), ezultă ecuţi difeeţilă î ecuoscut (t): (3+)ddt cu soluţi 3 (t)+(t)t+c (b) Di codiţi (), ezultă costt de itege C 7/ ce îlocuită î ecuţi (b), coduce l ecuţi de gd doi î : 9 (t)+4(t)-t-7. Acestă ecuţie e soluţiile: ( + 5 + 6t 5 + 6t t) ; (t) 3 3 Soluţi (t) u coie petu c (), stfel că + 5 + 6 t ( t ) 3 ce se mi scie sub fom 5 + 6 t dx dt. Ultim ecuţie se itegeză 3 şi obţiem: 3 x ( t ) ( 5 + 6 t ) t + C. Di codiţi x(), ezultă 7 3 C 5 şi deci: 5 + 6 t 3 5 x ( t ) ( ) t 7 3 3 7 7.5.. Mişce ectiliie uifomă X x x t + x α O fig. 7.7 t t Mişce ectiliie şi uifomă este mişce căei tiectoie este o deptă şi căei iteză este costtă: x& costt (7.6) Pi itege ecuţiei (7.6), se obţie lege de mişce: x(t) t+c (7.6) Ude costt de itege c se detemiă di codiţi t, xx, stfel că cx, deci lege de mişce se scie sub fom: x t+x (7.6) Acceleţi puctului este: & (7.63)

7. Ciemtic puctului mteil 4 Mişce ectiliie şi uifomă este sigu mişce cu cceleţie ulă. Î figu 7.7 sut epezette digmele mişcăii petu > şi x >. Di ecuţi (7.6) ezultă că cestă digmă este o liie deptă, cu odot l oigie eglă cu x i ughiul fomt cu x timpului este dt de αctg. Digm itezei este o deptă plelă cu x timpului l distţ de oigie. Acceleţi se epezită pit-o deptă ce se cofudă cu x timpului. Dcă ectoul cceleţie este ul:, ezultă & x ; && y ; & z. Pi itege, obţiem: xat+x,ybt+y,zct+z (7.64) ude costtele de itege A, B, C, x,y,z se detemiă di codiţiile iiţile. Pi elimie timpului îte ecuţiile (7.64), obţiem tiectoi: x x x y x z ce epezită ecuţi uei depte. Poiecţiile A B C itezei pe xe sut: x x& A, y y& B, z & z C i modulul itezei este: x + y + z + A + B + C costt. 7.5.3. Mişce ectilie uifom ită Mişce ectilie uifom ită e tiectoi o deptă şi cceleţi costtă. Mişce se umeşte uifom cceletă dcă cceleţi este pozitiă şi uifom îcetiită dcă cceleţi este egtiă. Dc x Ox coicide cu tiectoi, ezultă: & x costt. Pi itege de două oi, obţiem: x& t+c C. x t + C t + Î codiţiile iiţile: t, xx,, se obţi: C, C x şi deci lege mişcăii şi itez dei especti: x t + t + x (7.65) t + (7.66) Î plicţii este ueoi util să se expime itez puctului mteil î fucţie de bscis x. Elimiâd timpul îte elţiile (7.65) şi (7.66), obţiem fomul lui Glilei: + ( x x) Exemple de digme le mişcăii sut dte î fig.7.8 petu mişce uifom cceletă i i fig. 7.9 petu mişce uifom îcetiită. Se obseă că loe extemă (mximă su miimă) lui x este tisă l mometul t câd. Cz pticul: mişce uui puct sub cţiue gitţiei (fig. 7.3)

4 CINEMATICA PUNCTULUI Î cest cz putem scie: g. Petu codiţiile iiţile t, xx,, ezultă: x gt + t + x h. Petu cădee libeă di oigie, codiţiile iiţile sut t, x, şi obţiem:, gt de ude deducem: t ; h ; gh g g h gt Aplicţie: U puct mteil, poeşte di epus, se deplseză ectiliiu şi după s tige itez de 36km/h efectuâd o mişce uifom cceletă. Î cotiue, puctul e o mişce uifomă pe distţ de km. După cee puctul este fât uifom şi se opeşte pe o distţă de, km. Să se studieze mişce şi să se tseze digmele mişcăii. Rezole: Î pim etpă (pimele s), mişce este uifom cceletă, cu lege x t + t + x. Alegem oigie timpului şi spţiului î A. Plecâd di epus, em şi x, stfel că lege de mişce şi itez sut especti: x t ; t ()