MEHANIKA FLUIDA II Što vala zapamtt 5 DODATAK IZ KINEMATIKE FLUIDA Nastavak na sažetak 6 z Mehanke fluda I Prv Helmholtzov teorem Gbane krutog tela (kod koeg e relatvn međusobn položa čestca stalan) moguće e prkazat zbroem translatornog sfernog (l rotacskog) gbana. Za razlku od krupog tela, flud e tvar koa se pod delovanem ma kako malog smčnog naprezana neprekdno deformra, pa e za očekvat da će u struanu fluda relatvn međusobn položa čestca fluda bt promenv. Prrast brzne u dve vrlo blske točke prostora opsue se pomoću gradenta brzne u oblku dv = d Gradent brzne e tenzor drugog reda ko se može prkazat zbroem smetrčnog D antsmetrčnog V dela, odnosno preko smetčnog dela dualnog vektora Ω k u oblku = D + V = D + ε kωk Tenzor brzne deformace Smetrčn do D tenzora gradenta brzne nazva se tenzorom brzne deformace, a defnran e zrazom T D = + l u smolčkom zapsu D = ( gradv+ grad v) Tablčn prkaz komponent tenzora brzne deformace, ko ma šest razlčth komponent e + + D = + + + + Ako se u određenom trenutku t uoč elementarn volumen fluda oblka paraleloppeda koemu su dulne brdova d, d d, tada će u vremenskom trenutku t+ dt ta paralelopped proment položa (usled translace rotace), al oblk usled deformace. Deformaca tog paraleloppeda se očtue kroz promene dulna negovh brdova kroz promenu kuta među negovm brdovma. Članov na glavno dagonal tenzora brzne deformace označuu brzne relatvne promene dulne brdova, t. vred: Dd ( ) D D, gde e operator materalne dervace. Vred d Dt Dt
MEHANIKA FLUIDA II Što vala zapamtt 6 ( ) ( ) Dd Dd D D d Dt d Dt Brzna relatvne promene obuma dv = ddd elementa fluda e defnrana zrazom D( dv) D( ddd) D + D + D dvv dv Dt ddd Dt U nestlačvom struanu fluda e gustoća fluda konstantna, pa nema promene volumena čestca fluda što znač da mora bt = dvv. Članov zvan glavne dagonale govore o brzn kutne deformace, t. o brzn smanena kuta među brdovma početnog elementarnog paraleloppeda. Tako b npr. vredlo D θ v v = D = D = +, Dt gde e θ kut zmeđu brdova d d z početne konfgurace. Analogno vred za ostale komponente. Tenzor vrtložnost Antsmetrčn do tenzora gradenta brzne se nazva tenzorom vrtložnost, a defnran e zrazom: T V = l u smolčkom zapsu V = ( gradv grad v) Tablčn prkaz komponent tenzora vrtložnost, ko ma tr po apsolutno vrednost razlčte komponente e 0 V = 0 0 Vektor vrtložnost Vektor vrtložnost e u matematčkom smslu dualn vektor tenzora gradenta brzne, odnosno tenzora vrtložnost, a defnran e zrazom: Ωk = εk = εkv l Ω = rotv U fzkalnom smslu vektor vrtložnost odgovara dvostruko vrednost vektora kutne brzne ω ( Ω = ω ) koom rotra čestca fluda. Kod krutog tela vektor kutne brzne e edan te st za sve čestce tela, dok pr struanu fluda on može bt razlčt za svaku čestcu fluda. Struane fluda kod koega e vektor vrtložnost dentčk ednak nul ( rotv ) e po defnc bezvrtložno, odnosno potencalno struane. Komponente tenzora vrtložnost mogu se prkazat preko komponent vektora vrtložnost l komponenata vektor kutne brzne rotace, u oblku V = ε kωk = ε kωk
MEHANIKA FLUIDA II Što vala zapamtt 7 Ako se u polaznom zrazu za prrast brzne dv = vb va u dve blske točke A B (udalene za d ) gradent brzne prkaže s pomoću tenzora brzne deformace vektora kutne brzne, dobe se zraz za brznu u točk B zraženu s pomoću brzne u točk A vb = v A + Dd + εkωkd translaca deformaca sferno gbane Gorn zraz označue sadrža prvog Helmholtzovog teorema ko kaže da se gbane dvu blskh točaka kontnuuma može prkazat zbroem translacskog sfernog gbana (kao kod krutog tela) te deformacskog gbana. Jasno e da ako se flud gba bez deformaca, da e to gbane poput krutog tela. Prmer takva gbana e rotaca fluda zaedno s posudom oko vertkalne os (sluča relatvnog mrovana obrađen u MF I). Druga posebna klasa struana e ona kod koe nema rotace čestca fluda, što znač da su vektor kutne brzne, odnosno vektor vrtložnost, odnosno rotv ednak nul. Kao što e pre rečeno (vdet sažetak prvh predavana) vektorsko pole koemu e rotor ednak nul se nazva bezvrtložnm l potencalnm polem, a koe e onda bezcrkulacsko konzervatvno. Takvo se pole može prkazat gradentom skalarnog potencala v = gradϕ. Stoga će se struane u koem nema rotaca čestca fluda zvat potencalnm struanem. OSNOVE NESTLAČIVOG POTENCIJALNOG STRUJANJA Prmećeno e da model potencalnog struana fluda vred u uvetma kod koh se vskozne sle mogu zanemart. Bezvrtložno struane se poavlue npr. pr opstruavanu tela to u područu podale od stenke (gde e uteca vskoznh sla zanemarv). Struane fluda koe nastae pr samom početku gbana tela u mruućo tekućn, također se može opsat potencalnm polem brzne. U tehnčko praks se model potencalnog struana prmenue u slučaevma u koma su vskozne sle mnorne u odnosu na nercske gravtacske sle. Tpčne prmene modela potencalnog struana su u aerodnamc teor turbostroeva za određvane sle uzgona pr optecanu aeroprofla, te u brodogradn npr. za određvane otpora valova gbaućeg broda u analz ponašana plvaućh struktura na valovma. Nestlačvo struane opsano e ednadžbom kontnuteta ednadžbom kolčne gbana (II. Newtonovm zakonom) u koo su zanemarene vskozne sle (vdet npr. sažetak. predavana z MFI) v v p ρa = ρ + = ρ f. t Ako masena sla odgovara sl gravtace, tada se ona može prkazat preko potencala, ρ g ko za sluča da e os usmerena vertkalno uvs, glas ρ f = ρgδ =. Sustav gorne dve ednadžbe (često se nazvau Eulerove ednadžbe) označue sustav parcalnh dferencalnh ednadžb prvog reda, a opsue nevskozno struane fluda (koe može bt vrtložno). Jednadžba kontnuteta e lnearna ednadžba, a ednadžba kolčne
MEHANIKA FLUIDA II Što vala zapamtt 8 gbana e nelnearna zbog člana. Zbog nelnearnost ednadžbe kolčne gbana ova se sustav može rešt samo numerčkm putem. Uz pretpostavku potencalnog struana, u koem vred v = ednadžba kontnuteta prelaz u Laplaceovu ednadžbu ϕ ϕ ϕ 0 l Δ ϕ= + + Nelnearn član u ednadžb kolčne gbana prelaz u ρ = ρ = ρ pa ednadžba kolčne gbana prelaz u oblk ρ + + ρg + p t Zbro u uglato zagrad očto ne funkca prostornh koordnata, pa vred zraz (ko e poznat pod nazvom Euler-Bernoulleva ednadžba) ρ + + ρg + p= f () t t gde e f () t neka funkca vremena. Za sluča staconarnog potencalnog struana polazn sustav ednadžb e ϕ ϕ ϕ ϕ = + + + ρg + p = C = konst. Osnovna prednost ovog sustava ednadžb ko opsue nevskozno bezvrtložno struane e u čnenc, da e nelnearna ednadžba kolčne gbane prešla u algebarsku ednadžbu, te se gorn sustav ednadžb rešava tako da se prvo reš ednadžba kontnuteta, čme e određeno pole brzne, a zatm se z druge ednadžbe (koa e oblka Bernoulleve ednadžbe) odred pole tlaka. Treba naglast da e u gorno ednadžb konstanta C edna te sta za celo područe struana (ne za struncu kao kod Bernoulleve ednadžbe) pa se ednadžba može postavlat zmeđu blo koe dve točke u područu struana, ne vodeć računa o struncama. Laplaceova ednadžba e lnearna parcalna dferencalna ednadžba, koa se za sluča staconarnoga struana rešava uz zadane rubne uvete. Tpčn rubn uvet na stenc optecanog tela e uvet nepromočvost stenke, t. normalna komponenta brzne na stenc mora bt ednaka brzn stenke. Za prmer prema slc, gde flud nastruava na n mruuće telo, vred na površn tela vn = vn = n 0 n Dovolno daleko od tela, uteca tela se ne oseća, pa e potencal ednak potencalu neporemećenog struana ϕ =. ϕ
MEHANIKA FLUIDA II Što vala zapamtt 9 Osnovna svostva rešena Laplaceove ednadžbe () Prncp superpozce. S obzrom da e Laplaceova ednadžba lnearna, vred prncp superpozce (l zbro dvau rešena Laplaceove ednadžbe također e rešene Laplaceove ednadžbe). Ako potencal () ϕ () ϕ zadovolavau Laplaceovu ednadžbu onda e asno da e zbro () () ϕ = ϕ + ϕ također rešene Laplaceove ednadžbe er vred ( ϕ ϕ ) + () () ϕ = - sto vred za brzne: () () () () () () v = ; v = ; v v + v Dakle brzne uzrokovane dvama potencalma se zbraau. () () Oprez! To ne vred za tlakove p p + p er e tlak defnran nelnearnom ednadžbom. () Potencal ne može mat nt maksmum nt mnmum unutar područa, nego samo po rubu. rub Slka prkazue područe V opasano rubom S unutar koeg e defnran n potencal brzne ko zadovolava ϕ S Laplaceovu ednadžbu. Δ V Δ S područe Integrranem Laplaceove ednadžbe po M volumenu V uz prmenu Gaussove V formule sled ϕ dv = n ds = ds n s Pretpostavmo da e u točk M lokaln maksmum, tada b bo poztvan za sve točke n površne ΔS koa okružue točku M, pa b ds >0 što e u suprotnost s Laplaceovom n Δs ednadžbom. Slčno vred za pretpostavku mnmuma u točk M. () Brzna struana također ne može mat ekstrem unutar područa struana s ϕ Dervranem Laplaceove ednadžbe sve što vred za ϕ vred za komponente brzne v k. po k sled vk, pa e asno da
MEHANIKA FLUIDA II Što vala zapamtt 0 (4) Pole brzne u potencalnom struanu e bezcrkulacsko (crkulaca brzne po zatvoreno krvul ednaka e nul) er e: Γ = v d = d 0 dϕ C C C Struna funkca (funkca toka) u ravnnskom struanu U ravnnskom struanu se slka struana ponavla u međusobno paralelnm ravnnama npr. paralelnm s 0, pa vred v 0. strunca: ψ = konst. v ϕ = konst. 0 Slka prkazue strunce u ravnnskom potencalnom struanu. Vektor brzne v e po defnc kolnearan s lukom strunce d okomt na krvule ϕ = konst. (er e v = gradϕ ). Uvodmo strunu funkcu (funkcu toka) ψ sa svostvom da ψ = konst. d d označue struncu. Iz ednadžbe strunce = sled v v v d v d dψ ψ= konst. Ako e v = v =, onda će ednadžba strunce preć u oblk dψ, što znač da će na strunc bt ψ = konst. S obzrom da e v =, sled veza zmeđu potencala brzne ϕ funkce toka ψ v v r r r ϑ l u polarnm koordnatama v vϑ r ϑ r Gorne relace su poznate pod nazvom Cauchy-Remanov uvet.
MEHANIKA FLUIDA II Što vala zapamtt Veza zmeđu funkce toka protoka fluda zmeđu dve strunce strunca: B v ds strunca: Q A n 0 Slka prkazue dve strunce u ravnnskom struanu (prostorno gledauć to su dve strune površne). Prema ednadžb kontnuteta u nestlačvom struanu protok zmeđu dve strune površne e konstantan. Ako se protok zraz po ednc dulne okomto na ravnnu slke, onda e protok kroz krvulu AB defnran zrazom B Q= vn d s A Ako elementarn luk ds čn s os kut α tada su komponente ednčnog vektora n, n = (sn α, cos α), pa se komponente vektora nds mogu zrazt u oblku normale ( ) n s =, što uvršteno u zraz za protok dae d (d, d ) B B B Q= vn d d d d B A s = v v = K K ψ ψ ( ) ψ ( ) A A A Kao što se očekvalo, protok Q ne zavs od zbora položaa točaka A B na struncama, er e ednak razlc vrednost funkce toka na tm struncama.