Spaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii normate. Spaţii Hilbert

Metode de Optimizare Noţiui recapitulative de Aaliză Matematică şi Algebră Liiară Spaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii ormate. Spaţii Hilbert Reamitim o serie de defiiţii şi teoreme legate de spaţiile topologice, metrice, ormate şi spaţiile Hilbert. Topologie. Mulţimi deschise. Mulţimi îchise. Veciătăţi. Pucte iteriore, exterioare, aderete, de frotieră. Fie X o mulţime. O familie τ de submulţimi ale lui X se umeşte topologie pe X dacă şi umai dacă sut îdepliite următoarele codiţii: 1. X şi sut elemete ale lui τ 2. Dacă I este o familie oarecare de idici şi dacă G i τ petru orice i G i i I I, atuci τ. 3. Dacă I este o familie fiită de idici şi dacă G i τ petru orice i I, atuci G i i I τ. Mulţimea X îzestrată cu o topologie τ se umeşte spaţiu topologic şi se otează (X,τ). Dacă u există posibilitatea uei cofuzii, u se mai precizează topologia τ. Elemetele uui spaţiu topologic se umesc pucte, iar elemetele topologiei se umesc mulţimi deschise (cu alte cuvite, G X se umeşte mulţime deschisă dacă şi umai dacă G τ). O submulţime F a spaţiului topologic X se umeşte îchisă dacă este complemetara (î raport cu X) uei mulţimi deschise. Topologia î care familia mulţimilor deschise este {, X} se umeşte topologia idiscretă sau trivială pe X. Topologia τ d = 2 X se umeşte topologia discretă pe X. Familia reuiuilor de itervale deschise ale lui R împreuă cu dă o topologie pe R umită topologia uzuală (sau topologia aturală) pe R O submulţime V a spaţiului topologic X se umeşte veciătate a puctului x X dacă există o mulţime deschisă G astfel îcât x G V. Mai geeral, V este o veciătate a mulţimii A X dacă există o mulţime deschisă G astfel îcât A 1

Mădălia Roxaa Bueci Metode de Optimizare Curs - 2007 G V. Se poate arăta uşor că o submulţime A X este deschisă dacă şi umai dacă este veciătate petru orice puct al său. O mulţime U(x) de veciătăţi ale uui puct x X se umeşte sistem fudametal de veciătăţi petru puctul x dacă petru orice V veciătate a lui x există U U (x) astfel îcât U V. Dacă otăm cu V(x) mulţimea tuturor veciătăţilor lui x atuci sut adevărate următoarele proprietăţi: V1. Dacă V V(x) atuci x V. V2. Dacă V V(x) şi V U, atuci U V(x). V3. Dacă V, U V(x), atuci V U V(x). V4. Dacă V V(x), atuci există U V(x) astfel îcât V este veciătate petru fiecare puct y U. Se poate arăta că proprietăţile V1-V4 defiesc uic topologia lui X, î sesul că dacă fucţia x V(x) satisface codiţiile V1-V4, atuci τ= {G X: G V(x) petru orice x G } { } este o topologie pe X şi V(x) este mulţimea veciătăţilor lui x î această topologie. Se spue că această topologie a fost geerată cu ajutorul veciătăţilor. Această observaţie e permite să defiim o topologie pe X porid de la o familie {U(x)} x X de submulţimi ale lui X cu proprietatea că V(x) = {V X: există U U(x) astfel îcât U V} satisface codiţii V1-V4 petru orice x. Î cele ce urmează A este o submulţime a spaţiului topologic X. Se umeşte iteriorul mulţimii A, şi se otează cu it(a) (sau A), reuiuea tuturor mulţimilor deschise icluse î A. It(A) poate fi defiit î mod echivalet ca fiid cea mai mare mulţime deschisă (relativ la relaţia de icluziue) coţiută î A. Puctele mulţimii it(a) se umesc pucte iterioare ale lui A. Î coseciţă, x it(a) dacă şi umai dacă există o mulţime deschisă G astfel îcât x G A. Mulţimea A este deschisă dacă şi umai dacă A=it(A). Se umeşte îchiderea mulţimii A, şi se otează cu A, itersecţia tuturor mulţimilor îchise ce coţi pe A. A poate fi defiită î mod echivalet ca fiid cea mai mică mulţime îchisă (relativ la relaţia de icluziue) care coţie pe A. Puctele mulţimii A se umesc pucte aderete ale lui A. Se observă imediat că 2

Metode de Optimizare Noţiui recapitulative de Aaliză Matematică şi Algebră Liiară x A dacă şi umai dacă petru orice veciătate V a lui x, V A. Mulţimea A este îchisă dacă şi umai dacă A= A. Mulţimea A se umeşte desă î X dacă A=X. Se poate arăta că X- A =it(x-a) şi X-it(A)= X A. Se umeşte exteriorul mulţimii A, şi se otează cu exterior(a), mulţimea it(x-a). U puct x exterior(a) se umeşte puct exterior lui A. Rezultă imediat că x exterior(a) dacă şi umai dacă există o veciătate V a lui x astfel îcât V A=. Se umeşte frotiera mulţimii A, şi se otează cu Fr(A) sau (A), mulţimea A X A. Elemetele mulţimii Fr(A) se umesc pucte frotieră ale lui A (pucte care u aparţi ici iteriorului ici exteriorului mulţimii A). Vom ota cu fr(a)=fr(a)-a= A-A (mulţimea puctelor frotieră ale lui A care u aparţi lui A). Se poate arăta că: it(a)=a-fr(a) A=A Fr(A) Fr(X-A)=Fr(A) Fr(A B) Fr(A) Fr(B) Fr(A B) Fr(A) Fr(B) X=it(A) exterior(a) Fr(A) Fr( A) Fr(A) Fr(it(A)) Fr(A) A este deschisă dacă şi umai dacă Fr(A)= A-A A este îchisă dacă şi umai dacă Fr(A)=A-it(A) Mulţimea A se umeşte mulţime de tipul G δ dacă se poate scrie sub forma uei itersecţii umărabile de mulţimi deschise ale lui X. Mulţimea A se umeşte mulţime de tipul F σ dacă se poate scrie sub forma uei reuiui umărabile de mulţimi îchise ale lui X. Dacă (X, τ) este u spaţiu topologic şi A o submulţime a lui X, atuci τ A = {A G: G τ} 3

Mădălia Roxaa Bueci Metode de Optimizare Curs - 2007 este o topologie pe A umită topologia idusă pe A de topologia τ, sau restricţia (urma) topologiei τ pe A. Se mai spue că A este subspaţiu topologic al lui X. Orice elemet al lui τ A se umeşte mulţime deschisă î A, iar orice submulţime a lui A îchisă î topologia τ A (i.e. complemetara uui elemet al lui τ A ) se umeşte mulţime îchisă î A. Mulţimea B este τ A -îchisă (îchisă î A) dacă şi umai dacă există o mulţime îchisă F (relativ la τ) astfel îcât B = F A. Îchiderea lui B î topologia τ A este itersecţia ditre îchiderea lui B î topologia τ şi A. Fie τ 1 şi τ 2 două topologii pe X. Se spue că τ 1 este mai slabă (sau mai puţi fiă) decât τ 2 sau că τ 2 este mai tare (sau mai fiă) decât τ 1 dacă orice mulţime deschisă î topologia τ 1 este deschisă şi î topologia τ 2 (cu alte cuvite, G τ 1 => G τ 2 ). U spaţiu topologic X se umeşte spaţiu T 2 sau spaţiu (separat) Hausdorff dacă şi umai dacă oricare ar fi puctele disticte x, y X, există două mulţimi deschise disjucte G x şi G y astfel îcât x G x şi y G y. Şiruri î spaţii topologice Se umeşte şir î spaţiul topologic X (sau cu termei di spaţiu topologic X) o fucţie x: N X. U şir x: N X se otează cu (x ), x = x() petru orice N. Se umeşte subşir al şirului x: N X şirul x g ude g: N N este o fucţie strict crescătoare (adică, g() < g(+1) petru orice ). Notâd k = g(), obţiem x g() = x(k ) = k x. x. U subşir x g se otează cu ( k ) U puct a X se umeşte limita şirului (x ) di X (sau se spue că (x ) coverge la a î X) şi se scrie lim x =a dacă şi umai dacă petru orice veciătate V a lui a există V N astfel îcât petru orice V avem x V. Dacă X este spaţiu T 2 (Hausdorff), atuci limita uui şir (dacă există) este uică. U şir di spaţiu topologic X care are limită î X se umeşte coverget î X. U şir care u este coverget se umeşte diverget. 4

Metode de Optimizare Noţiui recapitulative de Aaliză Matematică şi Algebră Liiară U puct a X se umeşte puct limită al şirului (x ) dacă şi umai dacă petru orice veciătate V a lui a şi orice N există k, astfel îcât x k V. U puct a este puct limită al şirului (x ) dacă şi umai dacă există u subşir al şirului (x ) coverget la a. Fie A o submulţime evidă a mulţimii umerelor reale. U elemet M R (respectiv m R) se umeşte majorat respectiv, miorat) al mulţimii A dacă petru orice x A avem x M (respectiv x m). Cel mai mic majorat (respectiv, cel mai mare miorat) al mulţimii A se umeşte margie superioară (respectiv, margie iferioară) a mulţimii A şi se otează cu sup A sau sup x, respectiv if x A A sau if x. Dacă A u admite majoraţi (respectiv, mioraţi), sup A = x A (respectiv, if A = - ). Este uşor de observat că M (respectiv, m) este margiea superioară (respectiv, margiea iferioară) a mulţimii A dacă şi umai dacă sut îdepliite următoarele două codiţii: 1. x M (respectiv, x m) petru orice x A. 2. petru orice ε > 0, există x ε A astfel îcât x ε > M-ε (respectiv, x ε < m+ε) Petru u şir de umere reale ( x ) 0 sup x = sup{x, 0 } şi se otează if x = if {x, 0 }. Este uşor de arătat că dacă şirul de umere reale (x ) este crescător (adică x x +1 petru orice ) atuci lim x descrescător (adică x x +1 petru orice ) atuci = sup x. De asemeea, dacă şirul (x ) este lim x = if x. Petru şirul de umere reale (x ) otăm A = {x k, k }. Se umeşte limita superioară (respectiv limita iferioară) a şirului (x ) şi se otează lim sup (respectiv, lim if x ) limita şirului descrescător (respectiv, crescător) (b ), ude b = if A (respectiv, b = sup A ). Altfel spus, lim sup x = if sup x k, k lim if x = sup if x k. k x 5

Mădălia Roxaa Bueci Metode de Optimizare Curs - 2007 Evidet, if x (x ) se poate arăta că lim if x lim sup x Există lim x dacă şi umai dacă sup x. Petru orice şir de umere reale lim if x = caz cele trei limite coicid. Orice puct limită a al lui (x ) are proprietatea că : lim if x a lim sup x. lim sup x, şi î acest Fucţii cotiue pe spaţii topologice Fie X şi Y două spaţii topologice, A o submulţime a lui X şi fie f : A Y o fucţie. Fie a u puct de acumulare al lui A (adică u puct cu proprietatea că petru orice U veciătate a lui a, A (U \ {a}) ). Se spue că f are limita b Y î puctul a şi se scrie lim f ( x) x a = b dacă petru orice veciătate V a lui b există o veciătate U V a lui a astfel îcât f(x) V petru orice x (U V \ {a}) A. Se spue că f : A Y este cotiuă îtr-u puct a A dacă petru orice veciătate V a lui f(a) există o veciătate U V a lui a astfel îcât f(x) V petru orice x U V A. Se observă că f este cotiuă î orice puct izolat (adică u puct a A petru care există o veciătate U a lui a astfel îcât A U = {a}). Dacă a A este puct de acumulare petru A, atuci f este cotiuă î a dacă şi umai dacă lim f ( x) astfel îcât x a lim x = f(a). Dacă f este cotiuă î a şi (x ) este u şir di X =a, atuci lim f ( x ) =f(a). Se spue că f : A Y este cotiuă pe A dacă f este cotiuă î orice puct a A. Dacă X şi Y sut două spaţii topologice şi f:x Y este o fucţie, atuci următoarele afirmaţii sut echivalete: 1. f cotiuă pe X 2. Petru orice mulţime deschisă G Y, f -1 (G) este deschisă î X 3. Petru orice mulţime îchisă F Y, f -1 (F) este îchisă î X 4. Petru orice A X avem 6

Metode de Optimizare Noţiui recapitulative de Aaliză Matematică şi Algebră Liiară 5. Petru orice B Y avem f( A) f ( A ) -1-1 f ( B) ( ) f B. Dacă X şi Y sut două spaţii topologice şi f:x Y este o fucţie bijectivă, atuci f se umeşte homeomorfism dacă f şi f -1 sut cotiue. Spaţii compacte U spaţiu topologic X se umeşte compact dacă este Hausdorff şi di orice acoperire deschisă a sa se poate extrage o subacoperire fiită (mai precis, oricare ar fi familia (G i ) i de mulţimi deschise cu proprietatea că i G i = X, există o subfamilie fiită G i 1, G i 2,..., Gi astfel îcât j=1 G i j = X). O submulţime A a uui spaţiu topologic X se umeşte compactă dacă îzestrată cu topologia idusă de X este spaţiu compact. Orice submulţime compactă a uui spaţiu Hausdorff este îchisă. O submulţime A a uui spaţiu topologic X se umeşte relativ compactă dacă A compactă. Dacă X este u spaţiu compact, Y este u spaţiu topologic Hausdorff şi f:x Y este o fucţie cotiuă, atuci f(x) este compactă î Y. O submulţime a lui R (cu topologia uzuală) este compactă dacă şi umai dacă este îchisă şi mărgiită. Dacă X este u spaţiu compact şi f:x R este o fucţie cotiuă, atuci f este mărgiită şi îşi atige extremele, adică există x mi, x max X astfel îcât: f(x mi ) f(x) f(x max ) petru orice x X. Spaţii local compacte U spaţiu topologic X se umeşte local compact dacă este Hausdorff şi dacă orice puct al său are o veciătate compactă. Se poate arăta că X este local compact dacă şi umai dacă este o submulţime deschisă a uui spaţiu compact. 7

Mădălia Roxaa Bueci Metode de Optimizare Curs - 2007 Petru orice submulţime compactă K a spaţiului local compact X şi petru orice veciătate V a lui K, există o fucţie cotiuă f: K [0, 1] astfel îcât f (x) = 1 petru orice x K şi f (x) = 0 petru orice x X-V. R (cu topologia uzuală) este spaţiu local compact. Spaţii metrice Fie X o mulţime. Se umeşte distaţă (sau metrică) pe X o fucţie d: X X R cu următoarele proprietăţi: 1. d(x, y) 0 petru orice x, y X; 2. d(x, y) = 0 dacă şi umai dacă x = y; 3. d(x,y) = d(y,x) petru orice x, y X; 4. d(x,y) d(x,z) + d(z,y) petru orice x, y, y X. Perechea (X, d) se umeşte spaţiu metric. Petru orice a X şi orice r >0 se umeşte bila (deschisă) di X cetrată î a de rază r şi se otează cu B(a, r) mulţimea: B(a, r) = {x X: d(a,x)< r}. Familia bilelor di spaţiul metric (X, d) defiesc o topologie umită topologia asociată (caoic) distaţei (metricii) d. Mai precis, o mulţime G este deschisă î această topologie dacă petru orice x G există r x >0 astfel îcât B(x,r x ) G. Două distaţe (metrice) se umesc echivalete dacă topologiile asociate coicid. U spaţiu topologic se umeşte metrizabil dacă există o distată (metrică) d pe X cu proprietatea că topologia asociată lui d coicide cu topologia de pe X. Fie (X, d) u spaţiu metric şi fie (x ) u şir di X. Puctul a X este limita şirului (x ) di X (relativ la topologia idusă de metrica d) dacă şi umai dacă petru orice ε>0 există ε N astfel îcât petru orice ε avem d(a,x ) <ε. Fie (X, d) u spaţiu metric şi fie (x ) u şir di X. Şirul (x ) se umeşte şir Cauchy (sau fudametal) dacă şi umai dacă petru orice ε>0 există ε N astfel îcât petru orice m, ε avem d(x m,x ) <ε (sau echivalet, petru orice ε>0 există ε N astfel îcât petru orice ε şi orice p N avem d(x +p,x ) <ε). 8

Metode de Optimizare Noţiui recapitulative de Aaliză Matematică şi Algebră Liiară Orice şir coverget este şir Cauchy. Reciproca u este adevărată. U spaţiu metric (X, d) î care orice şir Cauchy este coverget se umeşte spaţiu metric complet. Fie (X, d X ) şi (Y, d Y ) două spaţii metrice şi fie f :X Y o fucţie. Petru orice a X următoarele afirmaţii sut echivalete 1. f cotiuă î a 2. Dacă (x ) este u şir di X astfel îcât lim x =a, atuci lim f x ( ) =f(a). 3. petru orice ε>0 există δ ε >0 astfel îcât petru orice x X cu d X (x,a)<δ ε rezultă d Y (f(x), f(a))<ε. O fucţie f : X Y ître spaţiile metrice (X, d X ) şi (Y, d Y ) se umeşte uiform cotiuă dacă petru orice ε > 0 există δ ε > 0 astfel îcât petru orice x, y X cu proprietatea că d X (x, y) < δ ε, să avem d Y (f(x), f(y)) < ε. Evidet, orice fucţie uiform cotiuă este cotiuă. Dacă X este spaţiu compact, atuci orice fucţie cotiuă f :X Y este uiform cotiuă. Spaţii ormate şi spaţii Hilbert U spaţiu liiar (vectorial) V peste corpul K (K=R sau K=C) este o mulţime evidă îzestrată cu două operaţii: o operaţie iteră + : V x V V, (x, y) x + y, umită aduarea vectorilor, împreuă cu care V are o structură de grup abelia, adică satisface axiomele: 1. (x + y)+ z = x + (y + z), oricare ar fi x, y, z V ( legea este asociativă); 2. x + y = y + x oricare ar fi x, y V ( legea este comutativă); 3. există î V u elemet 0, umit vectorul ul, astfel îcât x + 0 = 0 + x oricare ar fi x V ( există elemet eutru); 4. oricare ar fi x V există - x V astfel îcât x + (- x) = (-x) + x = 0 (orice elemet admite simetric) şi o operaţie exteră : K x V V, (α, x) α x (de îmulţire a vectorilor cu scalari) care satisface axiomele: 9

Mădălia Roxaa Bueci Metode de Optimizare Curs - 2007 a. dacă 1 K este elemetul eutru la îmulţire di K, atuci 1x = x, oricare ar fi x K. b. (αβ)x = α(βx) oricare ar fi α, β K şi x V; c. (α + β) x = α x + β x oricare ar fi α, β K şi x V; d. α (x + y) = α x + α y oricare ar fi α K şi x, y V. Petru spaţiul liiar V peste K, elemetele lui V se umesc vectori, corpul K se umeşte corpul scalarilor, iar elemetele lui se umesc scalari. Două spaţii liiare V şi W peste corpul K se umesc spaţii liiare izomorfe dacă există o aplicaţie bijectivă h: V W cu proprietăţile: h(x+y) = h(x) + h(y) petru orice x, y V şi h(αx) = αh(x) petru orice α K şi orice x V. Aplicaţia h (cu proprietăţile de mai sus) se umeşte izomorfism de spaţii liiare. Fie V u spaţiu liiar peste corpul K. Vectorul x V este combiaţie liiară a familiei de vectori {x i, i I}, dacă x se poate scrie sub forma x = iei α x i i, ude umai u umăr fiit ditre coeficieţii α i sut euli. Familia {x i,i I} de vectori di V se umeşte familie liiar idepedetă (sistem liiar idepedet) dacă şi umai dacă vectorul ul 0 se poate scrie ca o combiaţie liiară de vectori ai familiei umai cu scalari uli: mai precis, petru orice mulţime fiită I 0 I petru care există scalarii α i, i I 0 astfel îcât αixi =0 rezultă α i = 0 petru orice i I 0. Familia {x i, i I} de vectori di V se umeşte sistem de geeratori petru V dacă petru orice x V există mulţimea fiită I 0 I şi scalarii α i I 0 astfel îcât x = αixi. Se umeşte bază a spaţiului liiar V o iei 0 familie de vectori care este liiar idepedetă şi sistem de geeratori. U spaţiu liiar se umeşte fiit dimesioal dacă există o bază a sa cu u umăr fiit de vectori. Orice două baze ale lui V au acelaşi cardial. Se umeşte dimesiuea spaţiului liiar V peste corpul K şi se otează cu dim K V umărul cardial al uei baze. Dacă pe K = {(α 1, α 2,, α ) t : α i K, oricare ar fi i {1, 2, }} (K=R sau K=C) defiim aduarea şi îmulţirea cu scalari di K î maiera de mai jos 10 iei 0

Metode de Optimizare Noţiui recapitulative de Aaliză Matematică şi Algebră Liiară (α 1, α 2,, α ) + (β 1, β 2,, β ) = (α 1 + β 1, α 2 + β 2,, α + β ) α(α 1, α 2,, α ) = (αα 1, αα 2,, αα ), atuci este uşor de observat că sut îdepliite codiţiile cerute de defiiţia spaţiului vectorial şi deci K este spaţiu vectorial peste K. Dacă petru orice i {1, 2,..., } otăm e i = (0, 0,..., 1, 0,...0) t poziţia i atuci B = {e 1, e 2,..., e } este o bază î K umită baza caoică. Deci dim K K =. Se poate arătă că orice spaţiu liiar V peste K a cărui dimesiue dim K V = este izomorf cu K. Fie V u spaţiu liiar peste corpul K. O submulţime G a lui V se umeşte subspaţiu liiar (sau subspaţiu vectorial) dacă di x, y G rezultă x+y G şi αx G petru orice α K (sau echivalet, oricare ar fi x, y V şi α, β K, avem αx+βy G). Orice subspaţiu liiar G al lui V este spaţiu liiar peste K î raport cu operaţiile iduse de pe V. Dacă A este o submulţime a lui V, atuci cel mai mic (î raport cu relaţia de icluziue) subspaţiu liiar al lui V care coţie A se umeşte subspaţiul liiar geerat de A şi se otează cu Sp(A). Se poate arăta că mulţimea Sp(A) coicide cu mulţimea tuturor combiaţiilor liiare formate cu vectori di A. Fie V u spaţiu vectorial peste corpul K (K=R sau K=C). O ormă pe V este o fucţie p: V [0, ) care satisface următoarele codiţii: 1. p(x) = 0 dacă şi umai dacă x = 0. 2. p(x +y) p(x) + p(y) petru orice x şi y V. 3. p(λx) = λ p(x) petru orice λ K şi orice x V. Perechea (V, p) se umeşte spaţiu ormat. Î cele ce urmează vom ota p(x) = x petru orice x V şi vom spue că V este u spaţiu ormat î loc de (V, ), atuci câd orma se subîţelege. Pe orice spaţiu ormat se poate defii o metrică (distaţă) caoică d pri d(x, y) = x - y petru orice x, y V. Pri urmare oricărui spaţiu ormat i se pot asocia î mod caoic o structură metrică şi o structură topologică. Petru orice x 0 V şi orice r >0 vom ota cu B(x 0, r) bila di V cetrată î x 0 de rază r: 11

Mădălia Roxaa Bueci Metode de Optimizare Curs - 2007 B(x 0, r) = {x V: x - x 0 < r}. Petru orice spaţiu ormat V (îzestrat cu structura metrică şi structura topologică asociate î mod caoic) sut adevărate următoarele afirmaţii: 1. Şirul (x ) di V coverge la x V dacă şi umai dacă lim x - x = 0 2. Şirul (x ) di V este şir Cauchy (fudametal) dacă şi umai dacă petru orice ε>0 există ε N astfel îcât x - x m < ε petru orice m, ε. 3. : V [0, ) este o aplicaţie cotiuă 4. Fucţiile (x, y) x + y [: V V V] şi (λ, x) λx [: K V V] sut cotiue (V V şi K V sut îzestrate cu topologia produs). O ormă se umeşte completă dacă metrica asociată ei este completă (i.e. dacă orice şir Cauchy este coverget). U spaţiu ormat se umeşte spaţiu Baach dacă orma cu care este îzestrat este completă. Normele p 1 şi p 2 defiite pe spaţiul vectorial V se umesc echivalete dacă topologiile asociate (î mod caoic) lor coicid. Petru a desema faptul că p 1 şi p 2 sut echivalete vom folosi otaţia p 1 ~ p 2. Se poate arăta că ormele p 1 şi p 2 sut echivalete dacă şi umai dacă există M, m >0 astfel îcât m p 1 (x) p 2 (x) M p 1 (x) petru orice x V. V se umeşte K algebră ormată dacă V este K algebră şi î plus este îzestrat cu o ormă ce satisface următoarele două proprietăţi: 1. (V, ) este spaţiu ormat 2. xy x y petru orice x, y V, O algebră ormată îzestrată cu o ormă completă se umeşte algebră Baach. Fie V şi W două spaţii liiare peste corpul K (K=R sau K=C). O aplicaţie f:v W se umeşte liiară dacă şi umai dacă f(λx + µy) = λf(x) + µf(y) petru orice λ, µ K şi x, y V. Dacă f : V W este o aplicaţie liiară, iar V şi W sut spaţii ormate, atuci următoarele afirmaţii sut echivalete: 1. f este cotiuă 2. f este cotiuă î origie 3. Există M > 0 cu proprietatea că f(x) M x petru orice x E. 4. sup f(x) <. x 1 12

Metode de Optimizare Noţiui recapitulative de Aaliză Matematică şi Algebră Liiară 5. sup f(x) <. x = 1 Vom ota cu L(V, W) spaţiul aplicaţiilor liiare şi cotiue f : V W. Petru orice f L(V, W), avem sup f(x) = sup f(x) = if {M > 0 : f(x) M x petru orice x V }. x 1 x = 1 Dacă petru orice f L(V, W), defiim f = sup f(x), atuci (L(V, W), ) x 1 devie u spaţiu ormat. Spaţiul L(V, W) este deumit spaţiul operatorilor liiari şi mărgiiţi defiiţi pe V cu valori î W, iar elemetele di L(V, W) se mai umesc operatori liiari mărgiiţi. Spaţiul operatorilor liiari şi mărgiiţi L(V, W) este spaţiu Baach dacă şi umai dacă W este spaţiu Baach. Dacă V este u spaţiu ormat iar pe spaţiul L(V, V) itroducem drept lege de "îmulţire" compuerea operatorilor, atuci L(V, V) devie o algebră ormată. Dacă V este u spaţiu ormat peste corpul K, atuci spaţiul ormat L(V, K) se umeşte dualul lui V şi se otează V'. Fie H u spaţiu vectorial peste corpul K (K=R sau K=C). Se umeşte produs scalar pe H o aplicaţie ϕ : H H K care are următoarele proprietăţi: 1. ϕ(x+y, z) = ϕ(x, z) + ϕ(y, z) petru orice x, y, z H. 2. ϕ(λx, y) = λϕ(x, y) petru orice λ K şi x H 3. ϕ(x, y) = ( y, x) ϕ petru orice x, y H. 4. ϕ(x,x) > 0 petru orice x 0. Vom ota ϕ(x,y) = <x, y> petru orice x, y H. Se spue că orma spaţiului ormat (H, ) provie dit-u produs scalar <, > dacă x = x, x petru orice x di H. U spaţiu pre-hilbert este u spaţiu ormat î care orma provie ditr-u produs scalar, iar u spaţiu Hilbert este u spaţiu pre-hilbert complet (cu ormă completă). Dacă H u spaţiu pre-hilbert, atuci: 1. Două elemete x şi y di H se umesc ortogoale dacă <x, y> =0. 2. Petru A H şi x H, x se spue ortogoal pe A şi se otează x A, dacă <x,y>=0 petru orice y A. 13

Mădălia Roxaa Bueci Metode de Optimizare Curs - 2007 3. O familie (x i ) i de elemete ale lui H se umeşte sistem ortogoal sau familie ortogoală dacă <x i, x j > =0 petru orice i j. 4. U sistem ortogoal (x i ) i se umeşte ortoormal dacă x i = 1 petru orice i. 5. Se umeşte bază ortoormată a spaţiului Hilbert H u sistem ortoormal maximal (î raport cu relaţia de icluziue). Este uşor de arătat că orice sistem ortogoal de vectori euli este liiar idepedet. Dacă H este u spaţiu Hilbert şi (x i ) i este u sistem ortoormal, atuci următoarele afirmaţii sut echivalete: 1. (x i ) i bază ortoormală 2. Dacă x H şi x x i petru orice i, atuci x = 0. 3. Dacă x H, atuci x = i x, x i x i. 4. Dacă x, y H, atuci <x, y> = i x, x x, y. i i 5. Dacă x H, atuci x = i 2 x, x i. Orice două baze ortoormale ale uui spaţiu Hilbert au acelaşi cardial. Dimesiuea (hilbertiaă) a uui spaţiu Hilbert este cardialul uei baze ortoormate. Dacă F este u subspaţiu al spaţiului Hilbert H, atuci se otează cu F = {x, x F} complemetul ortogoal al lui F. Dacă F este u subspaţiu îchis, atuci H = F F (orice elemet di H poate fi reprezetat î mod uic ca suma ditre u elemet di F şi uul di F ). Se umeşte adjuctul operatorului liiar şi mărgiit A L(H 1, H 2 ) (ude H 1, H 2 sut spaţii Hilbert) operatorul liiar şi mărgiit A* L(H 2, H 1 ) care satisface codiţia: <A(x), y > =<x, A*(y) > petru orice x H 1, y H 2. Orice operator liiar şi mărgiit admite u uic adjuct. Dacă H este u spaţiu Hilbert şi A L(H, H), atuci 1. A se umeşte autoadjuct (sau hermitia) dacă A = A*. 2. A se umeşte uitar dacă AA* = A*A =I. 14

Metode de Optimizare Noţiui recapitulative de Aaliză Matematică şi Algebră Liiară 3. A se umeşte pozitiv dacă A este autodjuct şi <A(x), x> 0 petru orice x H. Cosiderăm spaţiul vectorial V = K (K=R sau K=C), N*. Pe acest spaţiu orice două orme complete sut echivalete. Vom ota cu, 1, 2 următoarele orme uzuale pe K : x = x 1 = max x j 1 j j= 1 x j 1/ 2 2 x 2 = x j j= 1 petru orice x = (x 1, x 2,, x ) K. Norma 2 se umeşte ormă euclidiaă şi provie di produsul scalar <x, y> = x j y j petru x = (x 1, x 2,, x ) şi y = (y 1, y 2,, y ) j= 1 (dacă K = R, atuci <x, y> = x jy j ). Acest produs scalar este umit produsul scalar caoic pe K. Petru K = R sau K = C avem: j= 1 K este spaţiu Hilbert (î raport cu produsul scalar de mai sus) K este spaţiu Baach (î raport cu orma 2 idusă de produsul scalar) K este spaţiu metric complet (î raport cu distaţa euclidiaă idusă de orma 2 ) K este spaţiu topologic (î raport cu topologia idusă de distaţa euclidiaă). Î raport cu această topologie K este spaţiu local compact. O submulţime A lui K este compactă dacă şi umai dacă este îchisă (echivalet, coţie limita fiecărui şir coverget cu termei di A) şi mărgiită (echivalet, există M>0 astfel îcât x 2 M petru orice x A). Elemete de aaliză matriceală Vom ota cu M m, (K) mulţimea matricelor cu m liii şi coloae (K = R sau K = C). M m, (K) are o structură de spaţiu vectorial relativ la operaţiile: 15

Mădălia Roxaa Bueci Metode de Optimizare Curs - 2007 aduare: A = (a ij ) i,j,b=(b ij ) i,j,c=(c ij ) i,j M m, (K), C = A+B dacă şi umai dacă c ij = a ij + b ij petru orice 1 i m şi 1 j. îmulţire cu scalari: A = (a ij ) i,j, C=(c ij ) i,j M m, (K), λ K. C = λa dacă şi umai dacă c ij = λa ij petru orice 1 i m şi 1 j. Produsul AB a două matrice A = (a ij ) i,j M m, (K) şi B=(b ij ) i,j M,p (K) este o matrice C=(c ij ) i,j M m,p (K) petru care c ij = a k= 1 ikb kj petru orice 1 i m şi 1 j p. Traspusa uei matrice A=(a ij ) i,j, este o matrice otată A t = ( a t i, j ) i,j, ale cărei elemete sut: a t i, j = a j,i petru orice 1 i, 1 j m. Cojugata uei matrice A=(a ij ) i,j, este o matrice otată A * = ( a * i, j ) i,j, ale cărei elemete sut: a * i, j = a j, i petru orice 1 i, 1 j m. Cojugata este caracterizată pri : <Ax, y> = <x, A * y> petru orice x C şi orice y C m. (ude <, > este produsul scalar caoic pe C ) O matrice petru care m= se umeşte pătratică. Elemetul eutru la îmulţire î M, (K) este matricea uitate I : 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 O matrice A M, (K) este iversabilă dacă există B M, (K) astfel îcât AB=BA=I. Iversa uei matrice A se otează A -1. Matricea A este iversabilă dacă şi umai dacă det(a) 0 - î acest caz se zice esigulară. Matricele petru care A=A t se umesc matrice simetrice, iar cele petru care A=A * se umesc matrice hermitiee (evidet, petru matrice cu coeficieţi reali cele două oţiui coicid). O matrice A se zice ortogoală dacă A -1 =A t şi uitară dacă A -1 =A *. Matricea A este diagoală dacă a ij =0 petru orice i j: 16

Metode de Optimizare Noţiui recapitulative de Aaliză Matematică şi Algebră Liiară a 1 0 0 A = 0 a 2 0 = diag(a 1, a 2,, a ) 0 0 a O matrice A M m, (K) poate fi tratată ca u vector di K m : (a 11, a 12,, a 1, a 21, a 22,, a 2,, a m1, a m2,, a m ). Datorită acestui fapt orma uei matrice poate fi itrodusă î mod similar cu orma uui vector di K m. Pe de altă parte, se ştie că există u izomorfism de spaţii liiare ître M m, (K) şi L(K, K m ). Fiecărei matrice A = (a i,j ) i,j i se asociază operatorul liiar S(A) defiit pri S(A)(x) = Ax = ( a x ) ij j 1 i m petru orice x = (x 1, x 2,, x ) t K. j= 1 Î cele ce urmează vom idetifica A cu S(A). Cele mai des utilizate orme de matrice sut ormele operatoriale: astfel petru o matrice A M m, (K), dacă pe K m se cosideră orma α, iar pe K se cosideră orma β, atuci se otează cu A αβ orma de aplicaţie liiară: A αβ : = sup Ax α = sup Ax α. x β 1 x β = 1 Î cazul î care α=β se utilizează otaţia A α = A αα şi se spue că A α este orma operatorială a lui A subordoată ormei vectoriale α. Fie A M, (C). Scalarul λ di C se umeşte valoare proprie petru A dacă există vectorul eul x C astfel îcât: Ax= λx Vectorul x se umeşte vector propriu asociat valorii proprii λ. Se umeşte subspaţiu propriu asociat valorii proprii λ, subspaţiul liiar V λ = {x C : Ax = λx} Mulţimea valorilor proprii ale lui A formează spectrul lui A şi se otează cu σ(a). Raza spectrală a lui A se defieşte pri: ρ(a) = max λ σ( A) Normele operatoriale petru o matrice A M m,, (C) subordoate ormelor vectoriale, 1, 2 sut respectiv: λ 17

Mădălia Roxaa Bueci Metode de Optimizare Curs - 2007 A = max a 1 i m j1 = m A 1 = max a 1 j i1 = A 2 = ρ ( A * A). ij ij Petru orice matrice A M, (C) şi orice orma operatorială avem ρ(a) A. Dacă este o ormă operatorială pe M, (C), atuci lim A k k =0 dacă şi umai dacă ρ(a) < 1. Fie <, > produsul scalar caoic pe K (K = R sau C) O matrice A M, (K), K = R (respectiv, K = C) se umeşte pozitiv defiită dacă este simetrică (respectiv, hermitiaă) şi dacă <Ax, x> > 0 petru orice x 0 di K. egativ defiită dacă este simetrică (respectiv, hermitiaă) şi dacă <Ax, x> < 0 petru orice x 0 di K. pozitiv semidefiită dacă este simetrică (respectiv, hermitiaă) şi dacă <Ax, x> 0 petru orice x K. egativ semidefiită dacă este simetrică (respectiv, hermitiaă) şi dacă <Ax, x> 0 petru orice x K. O matrice pozitiv defiită itroduce u produs scalar pe K pri formula: <x, y> A = <Ax, y> petru orice x, y K. Î cele ce urmează e vom cocetra asupra matricelor A M, (R) simetrice. Petru o astfel de matrice otăm determiaţii situaţi pe diagoala pricipală cu a 11 a 12 a 1k k = a 12 a 22 a 2k a 1k a 2k a kk (k =1,2, ) şi îi umim miori pricipali. 18

Metode de Optimizare Noţiui recapitulative de Aaliză Matematică şi Algebră Liiară Dacă A M, (R) este o matrice simetrică şi miorii pricipali k (k {1,2, }) sut toţi pozitivi, atuci A este pozitiv defiită. Dacă A M, (R) este o matrice simetrică şi miorii pricipali k (k {1,2, }) respectă următoarea alteraţă a semelor: 1 < 0, 2 >0, 3 <0, 4 >0,..., (-1) >0, atuci A este egativ defiită. Dacă A M, (R) este o matrice simetrică, atuci toate valorile ei proprii sut reale şi există o bază ortoormată a lui R formată di vectori proprii ai lui A. Î coseciţă, există o matrice ortogoală Q (avâd pe coloae vectori proprii al lui A) astfel îcât: λ 1 0 0 0 Q t AQ* = 0 λ 2 0 0 0 0 0 λ ude λ 1, λ 2,..., λ sut valorile proprii ale lui A. Matricea simetrică A M, (R) este o matrice pozitiv semidefiită dacă şi umai dacă toate valorile ei proprii sut eegative. De asemeea, A M, (R) este pozitiv defiită dacă şi umai dacă toate valorile ei proprii sut (strict) pozitive. Factorul de codiţioare al uei matrice pătrate A M, (R) se defieşte pri cod(a) = A A -1 ude este o orma operatorială a matricei A. Pri coveţie cod(a) = dacă A este sigulară. Dacă A este pozitiv defiită, atuci A 2 = ρ(a) = λ max, ude λ max este cea mai mare valoare proprie a lui A, iar A -1 2 = ρ(a -1 ) = 19 1 λ mi, ude λ mi este cea mai mică valoare proprie a lui A. Î coseciţă, petru o matrice pozitiv defiită A, factorul de codiţioare cod(a) = λ λ max mi, ude λ max (respectiv, λ mi ) este cea mai mare, respectiv cea mai mică valoare proprie a lui A. Se umeşte câtul Rayleigh asociat matricei A M, (R), fucţia

Mădălia Roxaa Bueci Metode de Optimizare Curs - 2007 R A : R \{0} R, R A (x) = < x,ax > < x,x >. Se observă uşor că R A (αx) = R A (x) petru orice x R \{0} şi orice α R. Dacă A este o matrice simetrică, atuci x R \{0} este puct staţioar petru R A (adică R A (x) = 0) dacă şi umai dacă x este vector propriu al matricei A. Pricipiul de mimax Courat-Fischer: Dacă A M, (R) este o matrice simetrică cu valorile proprii λ 1 λ 2... λ, atuci λ k = sup ( ) if dim S = k x S,x 0 R < x,ax > < x,x >, 1 k. (S este subspaţiu liiar al lui R ). Ca o coseciţă a pricipiului de mimax Courat-Fischer, rezultă că petru o matrice simetrică A λ max = max x 0 < x,ax > < x,x >, λ mi = mi x 0 < x,ax > < x,x >, ude λ max (respectiv, λ mi ) este cea mai mare, respectiv cea mai mică valoare proprie a lui A. Ca urmare λ mi < x,ax > < x,x > λ max petru orice x 0. max R A (x) = max { λ max, λ mi } = A 2. x 0 Lema Gershgori: Valorile proprii ale matricei A M, (R) sut coţiute î reuiuea discurilor K j1 = j, ude K j = λ C : λ ajj ajk, 1 j. k= 1 k j 20