Oscilacije (podsetnik) -Oscilacije prestavljaju periodično ponavljanje određene fizičke veličine u vremenu. -U mehanici telo osciluje ako periodično prolazi kroz iste položaje tj. kretanje se ponavlja. Linearne harmonijske oscilacije: F k ma k d m Restituciona sila. k sin( t + ϕ) T t - T 1
Prigušene oscilacije: Osim restitucione sile na telo dodatno deluje i sila otpora sredine koja dovodi do prigušenja. F ot bv d d + + β A βt A e cos( t + ϕ ) t -A Prinudne oscilacije U slučaju prinudnih oscilacija osim restitucione sile i sile otpora na telo dodatno deluje i periodična sila F. Ova sila kompenzuje gubitke usled prigušenja tako da telo nastavlja da osciluje tj. oscilacije se ne gase. ma k bv + F cost d d m k b + F cost d k b d F + cost m m m d d β + f cost
k m Sopstvena ugaona frekvenca tj. ugaona učestanost u slučaju da nema prigušenja ni prinude Diferencijalna jednačina prinudnih oscilacija d d + + β f Stacionarno rešenje: cost Acos( t + ϕ) A ( ) + 4β Amplituda je srazmerna primenjenoj sili a obrnuto srazmerna prigušenju. f ϕ β arctg Fazna razlika između prinudne sile i oscilacija. Acos( t + ϕ) Ovo je rešenje opisuje stacionarno stanje tj. važi nakon nekog perioda akomodacije između prinudne sile i samog oscilatora. Dakle nakon prelaznog perioda nestabilnosti sistem počinje da osciluje frekvencom (ili ugaonom učestanošću) same prinude bez obzira kolika je njegova sopstvena učestanost. Međutim, amplituda oscilovanja snažno zavisi od bliskosti ove dve učestanosti, sopstvene ( ) i prinudne (). A ( ) + 4β f > A 3
Zavisnost amplitude prinudnih oscilacija od prinudne učestanosti. Amplituda dostiže velike vrednosti za f A Malo prigušenje ( ) + 4β A Srednje prigušenje Veliko prigušenje Uganu učestanost pri kojoj je amplituda maksimalna nalazimo iz prvog izvoda za izraza za amplitudu. f d da ( ) 4 + β d d Rezonantna učestanost: rez β A rez β β Amplituda može dostići ekstremne vrednosti kada je prigušenje malo. f A 4
Pojava prinudnih oscilacija pri kojoj je rez se naziva rezonancom. Poznavanje ove pojave je veoma važno u tehnologiji i mora se uzeti u obzir u prozivodnji mašina i građevinskih objekata. Dobar primer su viseći mostovi pod naletom vetra ili brodovi pod udarima talasa. Talasi Mehanički talas (talasno kretanje) je širenje oscilatornog poremećaja u elastičnoj materijalnoj sredini. -Talas je prostorno vremenski fenomen. Karakteriše se fizičkom ičk veličinom koja je periodična i u prostoru i u vremenu. -Pri prostiranju talasa, ne premeštaju se delići sredine. Oni osciluju oko ravnotežnih položaja, a prenosi se energija talasa. 5
Po svojoj fizičkoj prirodi talasi mogu biti: 1) Mehanički talasi, gde se širi oscilatorni poremećaj čestica u elastičnoj materijalnoj sredini. Na primer: talas u žici, talasi na vodi, zvuk itd. Za širenje ovih talasa je nužno postojanje materijalne sredine npr. čvrsti materijal, voda, vazduh itd. ) Elektromagnetni talasi, gde se širi oscilatorni poremećaj električnog i magnetnog polja. Na primer: radio talasi, svetlost itd. Za širenje ovih talasa nije nužno postojanje materijalne sredine pa se mogu širiti i u vakuumu. Po pravcu oscilovanja delića mogu biti: 1) Transverzalni talasi, gde delići elastične sredine osciluju normalno na pravac prostiranja talasa. Javljaju j se samo u sredinama gde postoje elastične sile smicanja - čvrsta tela. ) Longitudinalnih talasi, gde delići sredine osciluju duž pravca prostiranja talasa (primer je zvuk). 6
Transverzalni talasi Pravac kretanja čestica. Pravac širenja talasa. Primer: oscilovanje žice na gitari. Longitudinalni talasi Pravac kretanja čestica. Pravac širenja talasa. Primer: zvuk. 7
Po prema delu prostora koji zauzimaju talasi mogu biti: 1) Jednodimenzioni ili linijski (talas kroz žicu) ) Dvodimenzioni ili površinski (primer: talasi na površini vode) 3) Trodimenzioni ili zapreminski (primer: zvuk). Površina koja spaja tačke do kojih istovremeno stigao talasni poremećaj je talasni front. Sferni talas talasni front je sfera. Ravanski talas talasni front je ravan. c 8
Talasna funkcija i jednačina talasa Talasna funkcija daje elongaciju čestice i funkcija je dve promenljive vremena i koordinate. Funkcija je periodična i mora zavisiti i od vremena i od koordinate. talas koji se prostire i smeru -ose f ( ct ) f ( ct + ) talas koji se prostire u suprotnom smeru od -ose Ako izvor talasa osciluje je harmojiskom funkcijom onda dobijamo talasnu funkciju harmonijsku u prostoru i vremenu.. ( t) ( ) sin( t ϕ) sin( ϕ k) zavisnost od vremena za fiksno zavisnost od koordinate u trenutku t Harmonijska talasna funkcija elonga cija t Funkcija dve promenljive periodična u prostoru i vremenu. 9
Jednačina harmonijskog progresivnog talasa Ako je izvor talasa harmonisjki oscilator onda sve čestice osciluju po harmonijskom zakonu sa kašnjenjem u zavisnosti od koordinate čestice: ) Gde je: sin( t k ) - elongacija - rastojanje od izvora talasa tj. koordinata posmatrane čestice - amlituda oscilovanja, maksimalna elongacija čestice, maksimalno rastojanje od ravnotežnog položaja čestice. - kružna učestanost Φ(t-k) faza oscilovanja, ugao koji određuje položaj i smer kretanja u trenutku t na rastojanju od izvora talasa k - talasni broj, određuje prostornu učestanost talasa. Talasna funkcija daje elongaciju čestice i funkcija je dve promenljive: vremena i koordinate (,t) sin( T t k - - T λ λ t T- period talasa, vreme trajanja jedne oscilacije delića sredine. λ- talasna dužina, T ) π Rastojanje između dve najbliže čestice u istoj fazi tj. prostorni period talasa. π λ k 1
1 ν T π Frekvenca talasa λ c λν Brzina prostiranja talasa T k π sin( t k ) sin t T t sin π sin T λ π t T π λ c Možemo reći da svaka čestica duž pravca prostiranja talasa osciluje harmonjiski sa istim periodom T a njena početna faza (tj. kašnjenje) je određeno njeim položajem (tj. koordinatom ). Brzina i ubrzanje čestice pogođene talasom sin( t k ) d v cos( ( t k ) dv a sin( t k) Zaključujemo: a Brzina je prvi izvod elongacije dakle ne menja po istom zakonu kao elongacija već je fazno pomerena za π/ rad. Ubrzanje je prvi izvod brzine (drugi izvod elongacije) menja se po istom zakonu kao elongacija ali sa suprotnim smerom. 11
Fazna razlika govori kašnjenju oscilovanja delića na dve različite koordintate to je u stvari razlika faza za te dve čestice. 1 φ t k - Δ Δφ φ φ 1 k( ) 1 k Δ π Δ λ Delići osciluju u fazi: Δφ nπ tj. Δ nλ Delići osciluju u Δφ (n 1) π tj. Δ (n 1) suprotnim fazama: λ Brzina prostiranja talasa kroz različite sredine elastičnih osobina podužna masa žice), 1
γ Zvuk γ γ RT c M γ p ρ 13