M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupa P3, XII predavanje, 2017.
|
|
- Κυριάκος Ζερβός
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupa P3, XII predavanje, Mehaničke oscilacije Oscilacije neke fizičke veličine su periodične promene te veličine oko ravnotežne vrednosti. Posmatrajmo sistem sačinjen od lake opruge koeficijenta krutosti k i tela mase m, koje je postavljeno na idealno glatku podlogu, prikazan na slici 1. Telo se kreće translatorno, tako da je njegovo kretanje potpuno opisano Njutnovim zakonima, kao za materijalnu tačku. U pravcu x ose na telo deluje samo elastična sila opruge F el = kx i, gde x označava istezanje opruge, a istovremeno i koordinatu tela. Tačka x = 0, kada je opruga neistegnuta, predstavlja položaj stabilne ravnoteže. Telo koje miruje u x = 0 ostaće u ovom položaju. Ali ako se telo pomeri istezanjem ili sabijanjem opruge iz x = 0 ili ako u x = 0 ima brzinu v 0 0, ono će se kretati oscilatorno oko x = 0. Pri tome, elastična sila nastoji da telo vrati u stanju ravnoteže, pa se stoga naziva restituciona sila. Slika 1: Primer oscilatora. Funkcija potencijalne energije analiziranog tela je: E p (x) = 1 2 kx2 (1) i prikazana je na slici 2.Kao što je objašnjeno u poglavlju o stabilnosti kretanja, maksimalne vrednosti koordinate x su A i +A. Rastojanje tela od ravnotežnog položaja x naziva se elongacija, a maksimalna pozitivna vrednost elongacije x max = A je amplituda oscilacija. Slika 2: Zavisnost potencijalne energije oscilatora prikazanog na prethodnoj slici. Za velike vrednosti deformacije opruge elastična sile ne zavisi linearno od deformacije. Drugim rečima, E p je kvadratna funkcija elongacije samo za male vrednosti amplitude, odnosno male vrednosti ukupne mehaničke 1
2 energije tela. U ovom slučaju radi se o malim oscilacijama tela. U ovom poglavlju će isključivo biti reči o malim oscilacijama. Da bismo objasnili značenje pojma male oscilacije, razmotrimo potencijalnu energiju koja komplikovano zavisi od koordinate x, ali tako da ima minimum u x = 0, kao što je prikazano na slici 3. Za male vrednosti ukupne mehaničke energije (malo A), međutim, zavisnost E p (x) se može aproksimirati paraboličnom zavisnošću od x, tako što se E p (x) razvije u Meklorenov red: x=0 ( E p (x) = E p (0)+ ( ) dep x+ 1 dx x=0 2 ( ) d 2 E p dx 2 x (2) x=0 Ako uzmemo u obzir da je: (1) referentna tačka za potencijal u x = 0, (2) funkcija E p (x) ima minimum u ( dep dx ) x=0 = 0) i (3) ako zanemarimo članove reda većeg od 2: E p (x) 1 2 kx2. (3) Slika 3: Funkciju potencijalne energije je za male vrednosti energije E moguće aproksimirati sa kx 2 /2. Elastična sila, čija je algebarska vrednost F el = de p /dx = kx, uvek je usmerena ka položaju stabilne ravnoteže. Njutnova jednačina kretanja je: mẍ = F el = kx, (4) odnosno: ẍ+ω 2 x = 0. (5) Ovde je ω = k/m. (6) Ova diferencijalna jednačina se rešava tako što se pretpostavi rešenje oblikax(t) = Ce pt, C = const, što, zamenom u diferencijalnu jednačinu (5), daje: C(p 2 e pt +ω 2 e pt ) = 0. (7) Da bi ova jednačina važila u bilo kom vremenskom trenutku, mora biti ispunjeno: p 2 +ω 2 = 0. (8) 2
3 Ova jednačina se u teoriji diferencijalnih jednačina naziva karakteristična jednačina (koja odgovara diferencijalnoj jednačini (5)) i ima dva korena: p 1,2 = ±iω. (9) Prema tome, diferencijalna jednačina ima dva fundamentalna rešenja x 1 (t) = e iωt i x 2 (t) = e iωt. Opšte rešenje diferencijalne jednačine je linearna kombinacija fundamentalnih rešenja: x(t) = C 1 e iωt +C 2 e iωt, (10) gde su C 1 i C 2 konstante koje su u opštem slučaju kompleksni brojevi, a njihove vrednosti mogu se dobiti na osnovu početnih uslova. Ako iskoristimo e iz = cosz +isinz (z je proizvoljan broj), dobija se: x(t) = K 1 cosωt+k 2 sinωt, (11) gde su K 1 = C 1 +C 2 i K 2 = i(c 1 C 2 ). Konstante K 1 i K 2 moraju biti realni brojevi, jer je elongacija x realna fizička veličina, a argumenti cos i sin su realne promenljive. Upravo izvedena parametarska jednačina kretanja može se pisati u pogodnijem obliku: x(t) = Asin(ωt+ϕ 0 ). (12) Ako su poznati K 1 i K 2, vrednosti A i ϕ 0 se mogu odrediti na osnovu Asinϕ 0 = K 1 i Acosϕ 0 = K 2 : A = K 2 1 +K2 2, (13) ϕ 0 = arctg K 1 K 2. (14) Svaki sistem kod koga se vremenska promena neke fizičke veličine izražava funkcijom (12) naziva se linearni harmonijski oscilator (LHO). Oscilator je linearan jer je komponenta rezultantne eksterne sile u pravcu kretanja linearna funkcija koordinate, ili, ekvivalentno, jer je diferencijalna jednačina kretanja linearna. 1 Diferencijalna jednačina LHO (5) je homogena, jer svi članovi sadrže nepoznatu funkciju i njene izvode. Oscilacije opisane funkcijom (12) su proste, jer je A = const i harmonijske, jer se promena elongacije u funkciji vremena izražava harmonijskom funkcijom. Veličine kojima se karakteriše LHO su: x-elongacija; A-amplituda oscilacija; ω-kružna učestanost (frekvencija) oscilacija; ϕ 0 -početna faza; ωt+ϕ 0 -faza. Jedinica za kružnu učestanost oscilacija je rad/s: [ω] = rad s. (15) 1 Linearne diferencijalne jednačine sadrže nepoznatu funkciju i sve izvode te funkcije na prvi stepen. 3
4 Pored navedenih veličina, LHO se karakteriše i periodom oscilovanja: T = 2π ω. (16) T je vreme za koje se obavi jedna puna oscilacija, pri čemu sistem dva puta prođe kroz ravnotežni položaj, obe amplitudne tačke i vrati se u prvobitni pložaj. Za vreme T faza oscilacija se promeni za 2π rad. Recipročna vrednost T je učestanost (frekvencija) oscilacija: f = 1 T = ω 2π. (17) Jedinica za frekvenciju je herc: [f] = Hz = 1 s. (18) Tipičan izgled zavisnosti x(t) je prikazan na slici 4. Slika 4: Zavisnost elongacije x od vremena. T označava period oscilacija. Na osnovu funkcije x(t) može se odrediti zavisnost algebarske vrednosti intenziteta vektora brzine od vremena: ( v(t) = ẋ = Aωcos(ωt+ϕ 0 ) = v max sin ωt+ϕ 0 + π ), (19) 2 gde je v max = ωa (20) maksimalna vrednost intenziteta vektora brzine. Uočimo da brzina fazno prednjači elongaciji za π/2 rad. Slično se mož odrediti zavisnost algebarske vrednosti intenziteta ubrzanja od vremena: a(t) = ẍ = Aω 2 sin(ωt+ϕ 0 ) = a max sin(ωt+ϕ 0 +π), (21) gde je a max = ω 2 A (22) maksimalna vrednost intenziteta ubrzanja. a(t) fazno prednjači elongaciji za π rad. Slično je elastična sila: F(x) = kx = ma = F max sin(ωt+ϕ 0 +π), (23) 4
5 gde je F max maksimalna vrednost (intenziteta) sile: F max = mω 2 A = ka. (24) Zavisnost kinetičke energija oscilatora od vremena je: E k = 1 2 mv2 = 1 2 mω2 A 2 cos 2 (ωt+ϕ 0 ), (25) dok je zavisnost potencijalne energije od t: E p (x) = 1 2 kx2 = 1 2 mω2 x 2 = 1 2 mω2 A 2 sin 2 (ωt+ϕ 0 ). (26) Ukupna mehanička energija je: E k +E p = 1 2 mω2 A 2 = E = const. (27) Odavde se lako može odrediti zavisnost brzine oscilatora od elongacije: mv 2 + kx2 2 2 = E = mω2 A 2. (28) 2 Koristeći k = mω 2 : v 2 = ω 2 A 2 ω 2 x 2. (29) Prema tome, intenzitet brzine je: v = ω A 2 x 2. (30) 1 Primeri LHO 1. Teg obešen o oprugu: Posmatrajmo teg obešen o elastičnu oprugu zanemarljivo male mase u gravitacionom polju Zemlje (videti sliku 5). Najpre se opruga istegne za y = mg/k. Ako je brzina tela u ovom položaju jednaka nuli, telo ostaje u stanju mirovanja (položaj stabilne ravnoteže), jer je rezultantna sila na telo jednaka nuli: k y mg = 0. (31) Ako se zatim opruga istegne, telo se kreće oscilatorno oko ravnotežnog oložaja. Ako sa y označimo rastojanje od položaja stabilne ravnoteže, algebarska vrednost rezultantne spoljašnje sile na telo je: Jednačina kretanja je, dakle: F (ext) rez = mg F el = mg k( y +y) = mg k y ky. (32) }{{} 0 ÿ + k y = 0. (33) m Ova jednačina ima oblik diferencijalne jednačine LHO. Iz nje se dobija kružna učestanost oscilacija: k ω = m, (34) a period oscilovanja je: m T = 2π k. (35) 5
6 Slika 5: Primer oscilatora: malo telo obešeno o vertikalno postavljenu oprugu. 2. Matematičko klatno: Posmatrajmo malo telo (materijalnu tačku) mase m obešeno o neistegljiv konac zanemarljive mase i dužine l (videti sliku 6). Telo se nalazi u položaju stabilne ravnoteže ako je postavljeno vertikalno ispod tačke vešanja. Tada je sila zatezanja konca T = mg. Ukoliko se telo otkloni iz položaja ravnoteže tako što se zarotira za ugao θ 0, a zatim pusti, doći ce do oscilacija oko položaja stabilne ravnoteže. S obzirom da se telo kreće po delu kružnice, kretanje tela se određuje pomoću momentne jednačine. Primetimo da bi moment rezultantne sile koji bi uzrokovao porast ugla θ imao smer z ose. S obzirom da je sila zatezanja T postavljena duž konca, samo je moment sile Zemljine teže različit od nule i usmeren je suprotno od z ose. Algebarska vrednost ovog momenta je, prema tome: M Oz = mglsinθ. (36) Jednačina za z projekciju momenta ima formu: I z α = I θ = M 0z = mglsinθ, (37) gde je I z moment inercije tela u odnosu na z osu: I z = ml 2. (38) Ova jednačina je nelinearna diferencijalna jednačina i ima komplikovano rešenje. Međutim, za male vrednosti ugla θ (θ 1 rad): sinθ θ. (39) 6
7 Slika 6: Matematičko klatno. Momentna jednačina postaje: Dakle: odnosno: Kružna učestanost oscilacija je: a period: I z θ = mglθ. (40) ml 2 θ+mglθ = 0, (41) θ + g θ = 0. (42) l ω = g l, (43) l T = 2π g. (44) 3. Fizičko klatno: Posmatrajmo kruto telo koje osciluje oko osovine čiji se pravac poklapa sa osom z. Osa z prolazi kroz tačku O koja se nalazi u xy ravni u kojo je centar mase (videti sliku 7). Trenje u osovini i otporna sila sredine na telo se zanemaruju. Momentna jednačina za momentnu tačku O je: Iα = I θ = M 0z = mgssinθ, (45) gde je I moment inercije tela u odnosu na osu z (I I z ), a s je rastojanje centra mase od tačke vešanja (s = r CM ). Ovde smo uzeli u obzir činjenicu da je moment sile reakcije osovine N jednak nuli. Slično kao kod 7
8 Slika 7: Primer oscilatora: fizičko klatno. matematičkog klatna, za θ 1 rad, sinθ θ, tako da jednačina kretanja ima oblik: I θ+mgsθ = 0, (46) odnosno: Odavde se lako dobije: a period oscilacija: θ + mgs θ = 0. (47) I mgs ω =, (48) I I T = 2π mgs. (49) Treba primetiti da je matematičko klatno specijalan slučaj fizičkog klatna. Naime, moment inercije matematičkog klatna je I = ml 2, a s = l, tako da je: 4. Oscilator sa dve paralelno vezane opruge: ml T = 2π 2 mgl = 2π l g. (50) Posmatrajmo oscilator sa dve paralelno vezane opruge krutosti k 1 i k 2 i telom mase m koje se kreće po glatkoj podlozi, kao što je prikazano na slici 8. U položaju stabilne ravnoteže x = 0 opruge su neistegnute. Ako se sistem izvede iz razvnoteže, telo će oscilovati. Pri tome na telo deluju elastične sile dve opruge, F el1 i F el2, čije su algebarske vrednosti: F el1 = k 1 x, (51) 8
9 Slika 8: Oscilator sa dve paralelno vezane opruge: (a) nenapregnute opruge, (b) napregnute opruge, (c) sistem opruga zamenjen jednom oprugom krutosti k ekv. F el2 = k 2 x, (52) kako je prikazano na slici 8(b). Sistem od dve opruge može se ekvivalentirati jednom oprugom koeficijenta krutosti k ekv. Pri tome se nameću uslovi: (1) da ista sila deluje na telo u sistemima sa jednom i dve opruge i (2) da je elongacija tela ista u sistemima sa jednom i dve opruge. Prema tome, u sistemu sa oprugom koeficijenta krutosti k ekv algebarska vrednost intenziteta sile je: F el = k ekv x = F el1 +F el2 = (k 1 +k 2 )x. (53) Ekvivalentni koeficijent krutosti sistema dve paralelno vezane opruge je: k ekv = k 1 +k 2. (54) Koristeći ranije izvedeni rezultat za kružnu učestanost oscilovanja sistema sa jednom oprugom (ω = k/m), kružna učestanost oscilovanja tela koje je zakačeno za dve opruge je: k1 +k 2 ω = m. (55) Jednostavnim uopštavanjem može se pokazati da je ekvivalentna kapacitivnost sistema od n paralelno vezanih opruga: k ekv = n k i, (56) što je po obliku slično izrazu za ekvivalentnu kapacitivnost n paralelno vezanih kondenzatora. i=1 9
10 5. Oscilator sa dve redno vezane opruge: Slika 9: Oscilator sa dve redno vezane opruge: (a) nenapregnute opruge, (b) napregnute opruge, (c) sistem opruga zamenjen jednom oprugom krutosti k ekv. Posmatrajmo sada oscilator sa dve redno vezane opruge krutosti k 1 i k 2 za koje je vezano telo mase m koje se kreće po idealno glatkoj podlozi, kao na slici 9. Kao u slučaju dve paralelno vezane opruge pretpostavljamo da je telo u položaju stabilne ravnoteže kada su opruge nenapregnute (x = 0). Pretpostavimo zatim da se opruge istegnu (deo (b) prikazane slike). Obe opruge su lake (zanemarljive mase), tako da je elastična sila kojom telo deluje na drugu oprugu kutosti k 2 jednaka (vektorski) sili kojom druga opruga deluje na prvu oprugu krutosti k 1 : F el F el2 = F el1. (57) Pri tome se prva opruga istegne za x 1, a duga opruga za x 2, tako da je ukupno istezanje opruga x jednako x = x 1 +x 2. (58) Zamenimo sistem opruga jednom oprugom krutosti k ekv pod istim uslovima kao za sistem dve paralelno vezane opruge, tako da važi x = F el /k ekv. Prema tome, F el k ekv = F el k 1 + F el k 2. (59) Odavde sledi izraz za ekvivalentnu krutost sistema dve paralelno vezane opruge: k ekv = k 1k 2 k 1 +k 2. (60) 10
11 Kružna učestanost oscilovanja tela koje je zakačeno za sistem od dve redno vezane opruge je, prema tome: k 1 k 2 ω = m(k 1 +k 2 ). (61) Uopštavanjem bi se jednostavno dobio izraz za recipročnu vrednost ekvivalentne krutosti sistema od n redno vezanih opruga: 1 k ekv = n i=1 1 k i. (62) Ova formula je po obliku slična formuli za ekvivalentnu krustost sistema redno vezanih kondenzatora. 2 Prigušene oscilacije Slika 10: Primer sistema u kome su oscilacije prigušene. Ako se amplituda oscilacija smanjuje u toku vremena, te oscilacije se nazivaju prigušene ili amortizovane. Posmatrajmo sistem prikazan na slici 10 koji se sastoji od opruge krutosti k i tela mase m. Sredina u kojoj se kreće telo deluje na telo otpornom silom F ot. S obzirom da je otporna sila sredine disipativna, mehanična energija tela se smanjuje. Pored otporne sile, u pravcu u kome se telo kreće (x pravac), na telo deluje elastična sila opruge F el. Za male vrednosti brzine tela, otporna sila sredine je proporcionalna algebarskoj vrednosti brzine, tj. algebarska vrednost otporne sile je F ot = bv = bẋ, b = const. Njutnova jednačina kretanja tela za kretanje duž x ose je: mẍ = i F i = kx bẋ, (63) odnosno: Ako podelimo ovu jednačinu sa m: gde su: i mẍ+bẋ+kx = 0. (64) ẍ+2αẋ+ω 2 0x = 0, (65) α = b 2m ω 2 0 = k m. α se naziva koeficijent prigušenja ili koeficijent amortizovanja oscilacija, a ω 0 je sopstvena kružna učestanost oscilacija. Sopstvena kružna učestanost oscilacija je zapravo kružna učestanost prostih (neprigušenih) oscilacija, 11
12 koju smo ranije označavali sa ω. Slično kao kod prostih oscilacija, fundamentalna rešenja imaju oblik x = e pt. Zamenom ove funkcije u jednačinu (65) lako se dobije karakteristična jednačina: p 2 +2αp+ω 2 0 = 0. (66) Koreni ove jednačine su: p 1,2 = α± α 2 ω0 2. (67) U zavisnosti od međusobnog odnosa α i ω 0 mogu se razlikovati 3 slučaja. I α > ω 0 U ovom slučaju koreni karakteristične jednačine su realni i različiti: p 1 = (α α 2 ω0 2) = p 1 < 0, (68) Opšte rešenje je linearna kombinacija fundamentalnih rešenja: p 2 = (α+ α 2 ω0 2) = p 2 < 0. (69) x(t) = C 1 e p1 t +C 2 e p2 t, (70) gde vrednosti koeficijenata C 1 i C 2 zavise od početnih uslova. Kretanje opisano poslednjom funkcijom naziva se aperiodično (preamortizovano) kretanje. II α = ω 0 U ovom slučaju su koreni karakteristične jednačine jednaki: p 1 = p 2 = α. (71) Može se pokazati da su u ovom slučaju e αt i te αt fundamentalna rešenja. Prema tome, opšte rešenje je: x(t) = (C 1 +C 2 t)e αt. (72) Kretanje opisano ovom jednačinom naziva se kritično aperiodično kretanje ili kritično amortizovano kretanje. Aperiodično i kritično periodično kretanje su ilustrovani na slici 11. III α < ω 0 Ako je α < ω 0, tada su koreni karakteristične jednačine kompleksni: p 1,2 = α±iω 1, (73) gde je ω 1 = ω 2 0 α2. (74) Opšte rešenje Njutnove jednačine je: x(t) = C 1 e αt e iω1t +C 2 e αt e iω1t = e αt (C 1 e iω1t +C 2 e iω1t ). (75) 12
13 Slika 11: Parametarska jednačina kretanja x(t) u slučaju aperiodičnog i kritičnog aperiodičnog kretanja. Slika 12: Kvaziperiodično kretanje. 13
14 Slično kao kod prostih oscilacija: C 1 e iω1t +C 2 e iω1t = A 0 sin(ω 1 t+ϕ 0 ). (76) Dakle, Ovakvo kretanje je oscilatorno sa vremenski zavisnom amplitudom A(t): gde je: x(t) = A 0 e αt sin(ω 1 t+ϕ 0 ). (77) x(t) = A(t)sin(ω 1 t+ϕ 0 ), (78) A(t) = A 0 e αt > 0. (79) A 0 je vrednost vremenski zavisne amplitude u t = 0. Tipična zavisnost x(t) je prikazana na slici 12 zajedno sa funkcijama A(t) i A(t) koje su zajedno anvelopa x(t). Ovakvo kretanje se naziva kvaziperiodično (podamortizovano) kretanje. Ovde je ω 1 kružna učestanost prigušenih oscilacija, a period (zapravo kvaziperiod, jer se ne radi o periodičnom kretanju) ovih oscilacija je: 2.1 Određivanje A 0 i ϕ 0 na osnovu početnih uslova T = 2π 2π = (80) ω 1 ω 2 0 α2. Amplituda prigušenih oscilacija A 0 i početna faza ϕ 0 mogu se odrediti ako su poznati položaj tela u početnom trenutku x 0 = x(t = 0) i algebarska vrednost intenziteta brzine v 0 = v(t = 0). Naime, na osnovu direktno sledi: Početna brzina je: Koristeći sledi: i x(t) = A 0 e αt sin(ω 1 t+ϕ 0 ), (81) v(t) = ẋ = αa 0 e αt sin(ω 1 t+ϕ 0 )+A 0 e αt ω 1 cos(ω 1 t+ϕ 0 ). (82) Ako se poslednje dve jednačine kvadriraju i saberu: Odavde sledi amplituda u početnom trenutku: v 0 = ẋ(0) = αa 0 sinϕ 0 +ω 1 A 0 cosϕ 0. (83) x 0 = x(t = 0) = A 0 sinϕ 0, (84) sinϕ 0 = x 0 A 0 (85) cosϕ 0 = 1 ω 1 A 0 (v 0 +αa 0 sinϕ 0 ) = v 0 +αx 0 ω 1 A 0. (86) sin 2 ϕ 0 +cos 2 ϕ 0 = x2 0 A 2 + (v 0 +αx 0 ) 2 0 ω1 2 = 1. (87) A2 0 A 0 = x ( v0 +αx 0 ω 2 1 ). (88) 14
15 Deljenjem jednačine (85) sa (86) dobija se izraz za tangens početne faze: tgϕ 0 = 2.2 Parametri prigušenih oscilacija x 0 A 0 v 0+αx 0 ω 1A 0 = ω 1x 0 v 0 +αx 0. (89) Postoji nekoliko parametara koji se koriste za opis kvaziperiodičnog prigušenog kretanja. 1. Dekrement prigušenja Dekrement prigušenja je odnos amplitude i-te i i+1 oscilacije, odnosno: β = A(t) A(t+T) = eαt, (90) gde je korišćen izraz za vremenski zavisnu amplitudu prigušenih oscilacija A(t) = A 0 e αt. 2. Logaritamski dekrement prigušenja Logaritamski dekrement prigušenja se definiše kao: 3. Faktor dobrote oscilatora Λ = lnβ = ln A(t) = αt. (91) A(t+T) Faktor dobrote oscilatora je odnos mehaničke energije oscilatora na početku i-te oscilacije i gubitka mehaničke energije tokom i-te oscilacije: E i E(t) Q = 2π = 2π E i E i+1 E(t) E(t+T). (92) Ako se desna strana pomnoži i podeli periodom oscilacija T, faktor dobrote oscilatora je: Ovde je E/T srednja snaga gubitaka u i-toj oscilaciji, Faktor dobrote je dat izrazom: Q = ω 1 E(t) E/T. (93) P gi = E T = E i E i+1. (94) T Q = ω 1 E i P gi. (95) Ako su oscilacije proste (kada nema prigušenja), tada Q. Na osnovu zavisnosti elongacije od vremena x(t) (77) i v(t) = ẋ(t) moguće je u opštem slučaju izvesti komplikovani izraz za faktor dobrote prigušenih oscilacija. Jednostavan slučaj za analizu je α ω 0, kada: v(t) = ẋ = A 0 e αt [ αsin(ω 1 t+ϕ 0 )+ω 1 cos(ω 1 t+ϕ 0 )] A 0 e αt ω 1 cos(ω 1 t+ϕ 0 ), (96) gde je uzeto ω 1 ω 0 za α ω 0. Odavde se lako dobije izraz za kinetičku energiju oscilatora: E k (t) = 1 2 mv2 1 2 mω2 0A 2 0e 2αt cos 2 (ω 0 t+ϕ 0 ), (97) 15
16 dok je izraz za potencijalnu energiju oscilatora: Prema tome, ukupna energija je: E p (t) = 1 2 kx2 = 1 2 mω2 0e 2αt sin 2 (ω 0 t+ϕ 0 ). (98) E(t) = E k (t)+e p (t) = 1 2 mω2 0A 2 0E 2αt. (99) Ako je prigušenje oscilacija slabo, mehanička energija oscilatora opada, dakle, eksponencijalno sa vremenskom konstantom τ E = (2α) 1. U vremenskom trenutku t+t: Faktor dobrote je: E(t+T) = 1 2 mω2 0 A2 0 E 2α(t+T). (100) Q = 2π 1 2 mω2 0 A2 0 e 2αt 1 2 mω2 0 A2 0 /2e 2αt (1 e 2αT ). (101) Za male vrednost argumenta funkcija e u može se približno predstaviti razvojem u Meklorenov red do prvog stepena po u: Dakle, e u 1 u. (102) 1 Q = 2π 1 e 2αT 2π 1 1 (1 2αT) = π αt. (103) Koristeći Λ = αt i ω 1 ω 0 = 2π/T, faktor dobrote za α ω 0 je: 3 Prinudne oscilacije Q = ω 0 2α = π Λ = π αt. (104) Posmatrajmo oscilator prikazan na slici 13. Opruga je vezana za kotur koji se okreće ugaonom brzinom ω i za koji je vezana opruga u tački van centra. Masa opruge je zanemarljivo mala, tako da je rezultantna sila na oprugu jednaka nuli. Odavde se može zaključiti da je sila kojom kotur deluje na oprugu jednaka sili kojom opruga deluje na telo mase m. Slika 13: Oscilator na koji deluje pogonska sila intenziteta F p. Na telo deluju: elastična sila opruge F el = kx i; 16
17 otporna sila sredine, suprotno usmerena od vektora brzine F ot = b v = bv i; b je konstanta proporcionalnosti (koeficijent otporne sile), a v algebarska vrednost intenzitet brzine tela; prostoperiodična pogonska sila (pobuda) F p = F 0 cos(ωt) i, gde je ω kružna učestanost prostoperiodične pobude, a radi jednostavnosti pretpostavljeno je da je početna faza pobude jednaka nuli. ϕ 0 = 0. Njuntova jednačina za kretanje tela duž x pravca je: mẍ = βv kx+f 0 cosωt, (105) odnosno: ẍ+2αẋ+ω 2 0 x = f 0cosωt, (106) gde je f 0 = F 0 /m amplituda pogonske sile po jedinici mase. Poslednja jednačina je nehomogena diferencijalna jednačina, jer je jedan od sabiraka poznata funkcija f 0 cosωt (u homogenoj diferencijalnoj jednačini svi članovi sadrže nepoznatu funkciju). Opšte rešenje nehomogene diferencijalne jednačine jednako je zbiru opšteg rešenja homogene diferencijalne jednačine i partikularnog rešenja nehomogene jednačine: x(t) = x h (t)+x p (t). (107) Partikularno rešenje ne zavisi od opšteg rešenja homogene diferencijalne jednačine i do njegovog oblika se dolazi na poseban načina za datu poznatu funkciju. Pretpostavimo da je kretanje započeto u vremenskom trenutku t 0 = nt, gde je T = 2π/ω, a n N. Za posmatranu diferencijalnu jednačinu partikularno rešenje je: x p (t) = acos(ω(t+t 0 ) ϕ), (108) gde je ϕ početna faza ove komponente rešenja. Opšte rešenje homogene jednačine dobijeno je u prethodnom poglavlju: x h (t) = A 0 e α(t+t0) sin(ω 1 (t+t 0 )+ϕ 0 ). (109) Ako je t 0 α 1, tada je x h (t = 0) x p (t = 0), tako da je za t > 0 elongacija: x(t) = x h (t) = acos(ωt ϕ). (110) Zamena ovog rešenja u diferencijalnu jednačinu (106) daje kao rezultat zavisnost amplitude i faze od kružne učestanosti pobude, a(ω) i ϕ(ω). Da bismo našli ove zavisnosti, zamenimo oblike x(t), ẋ(t) i ẍ(t), x(t) = acos(ωt ϕ) = acosϕcosωt+asinϕsinωt, (111) ẋ(t) = ωasin(ωt ϕ) = ωasinϕcosωt ωacosϕsinωt (112) i ẍ(t) = ω 2 acos(ωt ϕ) = ω 2 acosϕcosωt ω 2 asinϕsinωt (113) u polaznu diferencijalnu jednačinu. Ukoliko se posebno grupišu članovi koji sadrže cosωt i sinωt, sledi: [a(ω 2 0 ω 2 )cosϕ+2aαωsinϕ f 0 ]cosωt +[ a(ω 2 0 ω2 )sinϕ+2aαωcosϕ]sinωt = 0. (114) 17
18 Ova jednakost mora biti ispunjena u svakom trenutku, odakle se lako zaključi da su faktori koji množe cosωt i sin ωt jednaki nuli: Na osnovu druge jednačine ovog sistema sledi: a(ω 2 0 ω2 )cosϕ+2aαωsinϕ = f 0, (115) a(ω 2 0 ω2 )sinϕ+2aαωcosϕ = 0 (116) ( ) 2αω ϕ(ω) = arctg ω0 2. (117) ω2 Ova funkcija predstavlja zavisnost amplitude od kružne učestanosti pobude i naziva se fazno-frekventna karakteristika oscilatora (videti sliku u P. Marinković, Fizika 1: skripta, 2017.). Kvadrati jednačina (115) i (116) su: a 2 (ω 2 0 ω 2 )cos 2 ϕ+4a 2 (ω 2 0 ω 2 )αωcosϕsinϕ+4a 2 α 2 ω 2 sin 2 ϕ = f 2 0, (118) a 2 (ω 2 0 ω2 )sin 2 ϕ 4a 2 (ω 2 0 ω2 )αωcosϕsinϕ+4a 2 α 2 ω 2 cos 2 ϕ = 0, (119) respektivno. Sabiranjem dve poslednje jednačine lako se dobije: a(ω) = f 0 (ω0 ω) 2 +4α 2 ω 2. (120) Ova funkcija predstavlja zavisnost amplitude od kružne učestanosti pobude i naziva amplitudsko-frekventna karakteristika oscilatora (videti sliku u P. Marinković, Fizika 1: skripta, 2017.). Za pobudu koja je konstantna u funkciji vremena, ω = 0, tako da je: a(ω = 0) = a 0 = f 0 ω 2 0 (121) i ϕ(ω = 0) = ϕ 0 = 0. (122) Treba uočiti da ove vrednosti ne zavise od ω 0 i α. a(ω 0 ) je pomeraj tela pod dejstvom konstantne sile. a 0 ćemo zvati stacionarna amplituda. Za α = 0: a(ω) = f 0 (123) (ω0 ω) 2, tako da se lako uoči da je za ω = ω 0, a(ω 0 ). Zapravo je prava linija ω = ω 0 vertikalna asimptota u zavisnosti a(ω) za α = 0. Ako je α 0, amplituda prinudnih oscilacija ima konačnu maksimalnu vrednost a max. Ako je a = a max, kažemo da je oscilator u rezonanciji sa pobudom, a kružna učestanost pobude pri kojoj se dešava rezonancija naziva se rezonantna kružna učestanost ω rez. Rezonantna kružna učestanost se može jednostavno odrediti na osnovu uslova: du dω = 0, (124) ω=ωrez gde je: 2(ω 2 0 ω 2 )( 2ω)+4α 2 (2ω) = 0. (125) 18
19 Ova jednačina ima tri rešenja, ω 1 = 0 i ω 2,3 = ± ω 2 0 2α2. Može se pokazat da je prvo rešenje ω = ω 1 vrednost za koju funkcija u(ω) ima maksimalnu vrednost, dok je treće rešenje ω = ω 2 0 2α2 nefizičko. Dakle, rezonantna kružna učestanost data je izrazom: ω rez = ω0 2 2α2. (126) Može se pokazato da d 2 u/dω 2 ω=ωrez > 0, što znači da funkcija a(ω) ima maksimum u ω = ω rez. Takođe, lako se uoči da sa rastom α, ω rez opada i da za α > α kr = ω 0 / 2 funkcija a(ω) nema maksimum, već monotono opada sa rastom ω. Minimalna vrednost u je: tako da je rezonantna amplituda: a rez raste sa smanjenjem α i a rez za α = 0. u min = u(ω rez ) = (ω 2 0 ω2 rez )+4α2 ω 2 rez = 4α2 (ω 2 0 α2 ), (127) Za slabo prigušenje (α ω 0 ), rezonantna amplituda je: f 0 a(ω rez ) = a rez = 2α. (128) ω0 2 α2 a ranije smo pokazali da je: a rez f 0 2αω 0, (129) a 0 = f 0 /ω 2 0. (130) Kada ω, sve zavisnosti prikazane na slici teže nuli, jer se sila menja tako brzo da sistem ne stiže da se pomeri iz položaja ravnoteže. Za slabo prigušenje (α ω 0 ), odnos a rez i a 0 je: a rez a 0 Raznije smo izveli izraz za faktor dobrote oscilatora Q za slučaj slabog prigušenja: f 0 2α ω 0 f 0 = ω 0 2α. (131) ω0 2 Q = ω 0 2α. (132) Dakle, ako je prigušenje slabo, faktor dobrote oscilatora jednak je odnosu rezonantne i stacionarne amplitude: Q = a rez a 0. (133) Prema izrazu 117, sve funkcije ϕ(ω) za različite vrednosti α prolaze kroz dve tačke, (ω = 0,ϕ = 0) i (ω = ω 0,ϕ = π/2). Prema tome, fazno kašnjenje jednako je π/2 ako je kružna učestanost pobude jednaka sopstvenoj kružnoj učestanosti oscilatora. Za α = 0, kriva ϕ(ω) je stepenasta: 0, ω < ω 0 ϕ(ω) = π 2, ω = ω 0 π, ω > ω 0. Za α > 0, ω rez < ω 0, što znači da je fazno kašnjenje manje od π/2. Na kraju spomenimo da prinudne oscilacije imaju tehnološki značaj. Na primer, sopstvena učestanost oscilovanja krila aviona mora biti različita od učestanosti vibracija motora. Dobro je poznato da marševski korak čete vojnika po mostu može da dovede do rušenja mosta. (134) 19
20 4 Izbijanje oscilacija Rezultat slaganja dve oscilacije različitih kružnih učestanosti, x 1 (t) = Asin(ω 1 t+ϕ 1 ) (135) i je: gde su: i respektivno. x 2 (t) = Asin(ω 2 t+ϕ 2 ) (136) x t (t) = x 1 (t)+x 2 (t) = 2Acos(ω t+ϕ )sin(ω + t+ϕ + ), (137) ω ± = ω 1 ±ω 2 2 (138) ϕ ± = ϕ 1 ±ϕ 2, (139) 2 Ako je ω 1 ω 2, zavisnost rezultujuće elongacije od vremena je harmonijska funkcija kružne učestanosti ω + i promenljive amplitude koja se menja harmonijski između 0 i 2A (videti sliku 15.12, P. Marinković, Fizika 1 - skripta, 2017.) Period izbijanja je: Frekvencija izbijanja je: T izb = π ω = 2π ω 1 ω 2. (140) f izb = ω 1 ω 2 2π = f 1 f 2. (141) 20
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραM. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupa P3, VII predavanje, 2017.
M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupa P3, VII predavanje, 2017. Konzervativne sile i potencijalna energija 1 Konzervativne sile Definicija konzervativne sile. Sila je konzervativna ako rad te sile
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα1 Osnovni problemi dinamike materijalne tačke
M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupe P2 i P3, V predavanje, 2017. 0.1 III Njutnov zakon Posmatrajmo dva tela za koja smatramo da su materijalne tačke. Ove dve čestice međusobno interaguju tako
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότερα1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II
1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja
Διαβάστε περισσότεραRad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet
Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραnvt 1) ukoliko su poznate struje dioda. Struja diode D 1 je I 1 = I I 2 = 8mA. Sada je = 1,2mA.
IOAE Dioda 8/9 I U kolu sa slike, diode D su identične Poznato je I=mA, I =ma, I S =fa na 7 o C i parametar n= a) Odrediti napon V I Kolika treba da bude struja I da bi izlazni napon V I iznosio 5mV? b)
Διαβάστε περισσότεραOscilacije (podsetnik)
Oscilacije (podsetnik) -Oscilacije prestavljaju periodično ponavljanje određene fizičke veličine u vremenu. -U mehanici telo osciluje ako periodično prolazi kroz iste položaje tj. kretanje se ponavlja.
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραOscilacije. Glava Prosto harmonijsko kretanje
Glava 3 Oscilacije Veoma specifična vrsta kretanja se dešava kada na telo deluje sila proporcionalna otklonu tela od ravnotežnog položaja. Ukoliko je ta sila uvek usmerena ka ravnotežnom položaju, uspostavlja
Διαβάστε περισσότεραTEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar
TEHNIƒKA MEHANIKA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof. dr Stanko Br i Prof. dr Rastislav Mandi Doc. dr Stanko ori email: cstanko@grf.bg.ac.rs Graževinski fakultet Univerzitet u Beogradu k. god.
Διαβάστε περισσότεραGlava 3. Oscilacije. 3.1 Prosto harmonijsko kretanje
Glava 3 Oscilacije Veoma specifična vrsta kretanja se dešava kada na telo deluje sila proporcionalna otklonu tela od ravnotežnog položaja. Ukoliko je ta sila uvek usmerena ka ravnotežnom položaju, uspostavlja
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako izgleda
Διαβάστε περισσότεραRAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) IV deo. Miloš Marjanović
Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) IV deo Miloš Marjanović MOSFET TRANZISTORI ZADATAK 35. NMOS tranzistor ima napon praga V T =2V i kroz njega protiče
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότερα1 Ubrzanje u Dekartovom koordinatnom sistemu
M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupe P2 i P3, II predavanje, 2017. 1 Ubrzanje u Dekartovom koordinatnom sistemu Posmatrajmo materijalnu tačku koja se kreće po trajektoriji prikazanoj na slici 1.
Διαβάστε περισσότεραM. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupa P3, VI predavanje, 2017.
M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupa P3, VI predavanje, 2017. 1 Kretanje neslobodne materijalne tačke Telo može biti primorano da se kreće po površi ili liniji. Takav oblik kretanja naziva se neslobodno
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραNovi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
Διαβάστε περισσότεραRAD, SNAGA I ENERGIJA
RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραZadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
Διαβάστε περισσότεραUniverzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika
Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.
Διαβάστε περισσότεραMEHANIKA FLUIDA. Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti
MEHANIKA FLUIDA Isticanje kroz otvore sa promenljivim nivoom tečnosti zadatak Prizmatična sud podeljen je vertikalnom pregradom, u kojoj je otvor prečnika d, na dve komore Leva komora je napunjena vodom
Διαβάστε περισσότεραFakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:
Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραPonašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile
Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile POVOĐENJE TOČKA Dejstvo bočne sile pravac kretanja pod uglom u odnosu na pravac uzdužne ravni pneumatika BOČNA SILA PAVAC KETANJA PAVAC UZDUŽNE AVNI PNEUMATIKA
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραSlika 1: Slika uz zadatak 3.
Univerzitet u Beogradu-Elektrotehnički fakultet Oktobarski ispitni rok iz Fizike 1, 14.9.2016. godine Ispit sadrži 6 zadataka. Trajanje ispita je 3h. Predmetni nastavnici: Jovan Cvetić (P1), Predrag Marinković
Διαβάστε περισσότεραMatematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.
Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραOM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA
OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog
Διαβάστε περισσότεραPonašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile
Ponašanje pneumatika pod dejstvom bočne sile POVOĐENJE TOČKA Dejstvo bočne sile pravac kretanja pod uglom u odnosu na pravac uzdužne ravni pneumatika BOČNA SILA PAVAC KETANJA PAVAC UZDUŽNE AVNI PNEUMATIKA
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότερα4 Numeričko diferenciranje
4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραPrvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum
27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.
Διαβάστε περισσότερα1 Kinematika krutog tela
M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupe P2 i P3, IV predavanje, 2017. 1 Kinematika krutog tela Kruto telo je sistem materijalnih tačaka čija se međusobna udaljenost ne menja tokom vremena. Kruta tela
Διαβάστε περισσότερα5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.
5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a
Διαβάστε περισσότερα1 Vektor ubrzanja u prirodnom koordinatnom sistemu
M. Tadić, Predavanja iz Fizike 1, ETF, grupe P2 i P3, III predavanje, 2017. 1 Vektor ubrzanja u prirodnom koordinatnom sistemu Posmatrajmo trajektoriju materijalne tačke prikazanu na slici 1. Smatramo
Διαβάστε περισσότεραTAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)
TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραPROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE
Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότερα4 Izvodi i diferencijali
4 Izvodi i diferencijali 8 4 Izvodi i diferencijali Neka je funkcija f() definisana u intervalu (a, b), i neka je 0 0 + (a, b). Tada se izraz (a, b) i f( 0 + ) f( 0 ) () zove srednja brzina promene funkcije
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραGlava 7. Oscilacije. 1 Prilikom posmatranja kretanja tela oko nas, u principu možemo da uočimo dva tipa
Glava 7 Oscilacije Da li kretanje bove na ustalasalom moru, deteta koje se ljulja, okinute žice na gitari, atoma u kristalnoj rešetci, ima nešto zajedničko? Odgovor je pozitivan, sva pomenuta tela osciluju,
Διαβάστε περισσότεραPrema I Njutnovom zakonu, telo može da ociluje jedino ukoliko na njega deluje neka sila. 2
Glava 8 Oscilacije Da li kretanje bove na ustalasalom moru, deteta koje se ljulja, okinute žice na gitari, atoma u kristalnoj rešetci, ima nešto zajedničko? Odgovor je pozitivan, sva pomenuta tela osciluju,
Διαβάστε περισσότεραUZDUŽNA DINAMIKA VOZILA
UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραSlika 1: Uz zadatak 2.
Univerzitet u Beogradu-Elektrotehnički fakultet Junski ispitni rok iz Fizike 1, 8.6.016. godine Predmetni nastavnici: Jovan Cvetić (P1), Predrag Marinković (P) i Milan Tadić (P3) Trajanje ispita je 3h
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραInženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)
Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραn F Δ s= F d s [ J ] =m g h Kinetičku energiju tijelo posjeduje usljed kretanja na nekom putu. zatranslaciju: E k = (m v² ) 2 za rotaciju: E k
1. Definisati mehanički rad, snagu, energiju i napisati formule u slučaju translacije i rotacije. Rad se određuje proizvodom sile koja djeluje na tijelo i rastojanja koje tijelo pređe usljed djelovanja
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραAnalitička geometrija
1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότεραMATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012
MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x
Διαβάστε περισσότεραF (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2
F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =
Διαβάστε περισσότεραSOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE
1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar
Διαβάστε περισσότερα( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min
Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu
Διαβάστε περισσότεραZadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.
Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi
Διαβάστε περισσότεραINTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Διαβάστε περισσότεραJunski ispitni rok iz Fizike 1, godine
Univerzitet u Beogu-Elektrotehnički fakultet Junski ispitni rok iz Fizike 1, 196215 godine Predmetni nastavnici: Jovan Cvetić (P1), Predrag Marinković (P2) i Milan Tadić (P3) Trajanje ispita je 3 h 1 Tačka
Διαβάστε περισσότεραPoglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema
Poglavlje 7 Blok dijagrami diskretnih sistema 95 96 Poglavlje 7. Blok dijagrami diskretnih sistema Stav 7.1 Strukturni dijagram diskretnog sistema u kome su sve veliqine prikazane svojim Laplasovim transformacijama
Διαβάστε περισσότεραOSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić
OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti
Διαβάστε περισσότερα